ניתוח שונות עם משתנה נלווה (ANCOVA)

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים?

כשמשווים ממוצעים של קבוצות (כמו בניתוח שונות חד-כיווני), ויש משתנה רציף נוסף שקשור למשתנה התלוי – משתנה נלווה (covariate; בעבר נקרא באנגלית concomitant variable, "משתנה שבא יחד" עם עיקר המחקר – Maxwell et al., 2018, עמ' 452; נקרא גם "משתנה בקרה"). המקרה הנפוץ: ניסוי עם מדידה לפני ואחרי – ההשוואה היא בציון "אחרי", והציון "לפני" הוא המשתנה הנלווה (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.5.1). ANCOVA היא מודל ליניארי שמכיל גם גורם קטגוריאלי וגם מנבא רציף (Field, 2024, Section 13.3). כשיש כמה מדידות לאותם נבדקים והשאלה היא השינוי עצמו – ANOVA למדידות חוזרות.

ההיגיון: קווים מקבילים

המודל מתאים לכל קבוצה קו רגרסיה של המשתנה התלוי על המשתנה הנלווה – באותו שיפוע לכל הקבוצות, השיפוע המשותף בתוך הקבוצות (b_W) – ובודק אם הקווים המקבילים האלה נמצאים בגבהים שונים (Maxwell et al., 2018, pp. 463-466). הטעות היא הסטייה של כל נבדק מהקו של הקבוצה שלו, ולכן כשהמשתנה הנלווה מנבא היטב, הטעות קטנה בהרבה מבניתוח שונות רגיל. בדוגמה הקטנה של Maxwell ועמיתיו, סכום ריבועי הטעות יורד מ-28 ל-12 (שם, עמ' 467-468). בתרשים הפיזור שהעמוד מצייר רואים את זה ישירות.

ממוצעים מתוקנים

הממוצע המתוקן של קבוצה הוא הגובה של הקו שלה בממוצע הכללי של המשתנה הנלווה: Ȳ′_j = Ȳ_j − b_W(X̄_j − X̄) (Maxwell et al., 2018, Equation 9.27, p. 469). קבוצה שהתחילה גבוה במשתנה הנלווה "יורדת" לאורך הקו, וקבוצה שהתחילה נמוך "עולה" – התיקון הוא "החלקה של הממוצע לאורך קו הרגרסיה" (שם, עמ' 471). מבחן ה-F של הגורם בודק את ההבדלים בין הממוצעים המתוקנים, ולכן מפרשים אותם ולא את הגולמיים (Field, 2024, Section 13.7.2). בדוגמה של Maxwell ועמיתיו: ממוצעי הדיכאון אחרי הטיפול 7.3, 12.2 ו-14.0, והמתוקנים 7.54, 11.98 ו-13.98 (2018, עמ' 483-484) – העמוד נותן את אותם מספרים.

עם הקצאה אקראית ובלעדיה

כשהקבוצות הוקצו באקראי, הן שוות בממוצע במשתנה הנלווה, והתרומה העיקרית של ANCOVA היא הקטנת הטעות – מבחן חזק יותר ורווחי סמך צרים יותר, כשהמתוקנים והגולמיים אומדים את אותו הבדל (Maxwell et al., 2018, pp. 454-455, 471). גם אם יצא שהקבוצות שונות מעט במשתנה הנלווה במקרה, ANCOVA עדיפה (שם, עמ' 476).

כשהקבוצות קיימות מראש – כיתות, בתי ספר, מי שבחר להשתתף – התיקון עלול לשנות את התוצאה ואפילו להפוך אותה. ANCOVA "אינה תחליף להקצאה אקראית" (Maxwell et al., 2018, p. 454): היא עונה על השאלה "האם הקבוצות היו שונות אילו היו שוות במשתנה הנלווה", ואין דרך להבטיח שהיא מתקנת נכון הבדלים שלא נמדדו (ibid., p. 455; Field, 2024, Section 13.5.1). בנוסף, כשהמשתנה הנלווה נמדד עם טעות מדידה, התיקון חסר (Maxwell et al., 2018, p. 482). העמוד בודק אם המשתנה הנלווה שונה בין הקבוצות ("איזון"). זו אינה דרישה סטטיסטית, אבל היא קובעת איך לפרש (ibid., pp. 475-476; Field, 2024, Section 13.5.1).

בחירת המשתנה הנלווה

המשתנה הנלווה צריך להימדד לפני הטיפול – משתנה שהטיפול יכול היה להשפיע עליו "מוציא" חלק מהאפקט עצמו (Pallant, 2020, Chapter 22; Maxwell et al., 2018, p. 478). בוחרים אותו מראש, לפי מחקרים קודמים שמראים שהוא מנבא את המשתנה התלוי, ולא לפי הנתונים של המחקר הנוכחי (שם, עמ' 494). מדידת "לפני" של המשתנה התלוי היא מועמד טוב (שם, עמ' 451). הוא צריך להיות מהימן – Pallant מציעה אלפא של קרונבך מעל .7, עדיף מעל .8 (פרק 22; ראו אלפא של קרונבך). כמה משתנים נלווים? במחקר קטן לא יותר משניים או שלושה (Maxwell et al., 2018, p. 493), ולא כאלה שמתואמים מאוד זה עם זה – סביב r = .80 כדאי להוריד אחד (Pallant, 2020, Chapter 22).

הומוגניות השיפועים

ההנחה המרכזית: הקשר בין המשתנה הנלווה למשתנה התלוי זהה בכל הקבוצות – הקווים באמת מקבילים. בודקים אותה במודל שמוסיף את האינטראקציה גורם × משתנה נלווה: אם היא מובהקת, השיפועים שונים (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.8; Maxwell et al., 2018, p. 520). העמוד מריץ את הבדיקה תמיד, ומראה גם את השיפוע בכל קבוצה. מה עושים כשהיא מופרת? Pallant (2020, פרק 22) כותבת שאז לא כדאי להריץ ANCOVA; Field (2024, סעיף 13.8) מציע לשמור את המודל עם האינטראקציה ולפרש אותו; Maxwell ועמיתיו (2018, עמ' 536-537) ממליצים על מודל עם שיפועים נפרדים – כבר כשמבחן ההומוגניות קרוב למובהקות, למשל p < .2 – ועל שיטת Johnson-Neyman, שמראה באילו ערכים של המשתנה הנלווה ההבדל בין הקבוצות מובהק (שם, עמ' 531-535). העמוד אינו מריץ את Johnson-Neyman; ל-SPSS יש מאקרו שמריץ אותו (שם, עמ' 535-536).

ANCOVA או ציוני שינוי?

דרך נפוצה אחרת: לחשב לכל נבדק "אחרי פחות לפני" ולהשוות את ההפרשים בניתוח שונות. בניסוי עם הקצאה אקראית שתי הדרכים בודקות את אותה השערה, אבל ל-ANCOVA טעות קטנה יותר, ולכן היא "כמעט תמיד עדיפה" (Maxwell et al., 2018, pp. 499-501). ציון שינוי שקול ל-ANCOVA עם שיפוע שנקבע מראש ל-1 (שם, עמ' 499). כשהקבוצות אינן אקראיות, שתי הדרכים שואלות שאלות שונות ועשויות לתת תשובות שונות – "הפרדוקס של Lord" (שם, עמ' 501-502). דרך שלישית – לחשב שאריות מרגרסיה על המשתנה הנלווה ולנתח אותן – אינה שקולה ל-ANCOVA, וכדאי להימנע ממנה (שם, עמ' 498).

השוואות זוגיות

כשיש יותר משתי קבוצות, משווים את הממוצעים המתוקנים בזוגות. שגיאת התקן של כל הפרש כוללת את ההבדל בממוצעי המשתנה הנלווה (Maxwell et al., 2018, Equation 9.37, p. 490). העמוד מתקן לפי בונפרוני – ההמלצה של Field (2024, סעיף 13.6.6), וגם הדרך של SPSS, שבו מבחני Post Hoc הרגילים חסומים כשיש משתנה נלווה (שם, סעיף 13.6.5). Maxwell ועמיתיו מציעים לכל ההשוואות הזוגיות את Tukey כשערכי המשתנה הנלווה נקבעו מראש, ואת Bryant-Paulson כשהם נמדדו (2018, עמ' 490-492); כיוון שמשתנה נלווה נמדד בדרך כלל כמו המשתנה התלוי, יש הממליצים לראות בו משתנה מקרי (שם, עמ' 475).

גדלי אפקט

SPSS מדפיס אטא בריבוע חלקית – השונות שהגורם מסביר מתוך מה שהמשתנים האחרים לא הסבירו (Field, 2024, Section 13.4). Maxwell ועמיתיו (2018, עמ' 486-489) מציעים לחשוב על המשתנה הנלווה כעל "חלק מהותי" של המערך – הוא קיים באוכלוסייה – ולכן לא להוציא אותו מהשונות הכוללת: אומגה בריבוע לפי משוואה 9.31 (בדוגמה שלהם .12; לשם השוואה, R² של הגורם הוא .18 מתוך כל השונות ו-.22 כשמנכים את המשתנה הנלווה – עמ' 487-488), ו-d להשוואה זוגית – ההפרש בין הממוצעים המתוקנים חלקי סטיית התקן מניתוח השונות בלי המשתנה הנלווה (משוואה 9.32). העמוד מציג את שלושתם (אומגה בריבוע – כשיש גורם אחד).

איך קוראים את הפלט?

לפי הסדר: הממוצעים הגולמיים (גם של המשתנה הנלווה); הבדיקות המקדימות – איזון, הומוגניות השיפועים ולוין; לוח ה-ANCOVA – שורה לכל משתנה נלווה ולכל גורם; השיפוע; הממוצעים המתוקנים מול הגולמיים; ההשוואות הזוגיות; לוח שמשווה לניתוח השונות בלי המשתנה הנלווה – כמה הטעות ירדה ואם המסקנה השתנתה; ותרשימים. "קריאת התוצאה" מצביעה על מה שחשוב במקרה שלכם.

הנחות

ההנחות של ניתוח שונות – טעויות בלתי תלויות, נורמליות ושונות שווה – ועוד שתיים: קשר ליניארי בין המשתנה הנלווה למשתנה התלוי בכל קבוצה, והומוגניות השיפועים (Maxwell et al., 2018, pp. 473-475; Pallant, 2020, Chapter 22). ליניאריות בודקים בתרשים הפיזור; קשר עקום אפשר להכניס עם איבר ריבועי (Maxwell et al., 2018, p. 493). העמוד מריץ לוין על הערך המוחלט של השאריות מהמודל. כשההנחות לא מתקיימות – Field (2024, סעיפים 13.5.3, 13.9) מתאר בוטסטרפ ו-ANCOVA חסינה.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

Analyze → General Linear Model → Univariate: המשתנה התלוי, הגורם ב-Fixed Factor(s) והמשתנה הנלווה ב-Covariate(s) (Field, 2024, Section 13.6; Pallant, 2020, Chapter 22). את הומוגניות השיפועים בודקים בריצה נפרדת עם Model → Build terms שכוללת את האינטראקציה (Field, 2024, Section 13.8). ב-EM Means – השוואות עם בונפרוני; ב-Options – גודל אפקט, מבחני הומוגניות ו-Parameter estimates. העמוד מוריד סינטקס עם שתי הריצות (UNIANOVA ... WITH). PSPP אינו מריץ GLM עם משתנים נלווים, ולכן הסינטקס לא נבדק בו.

ואיך עושים זאת ב-R?

מודל ליניארי (lm) עם ניגודי סכום-לאפס, car::Anova(type = 3) ללוח, anova(m, ms) להומוגניות השיפועים, ו-emmeans לממוצעים המתוקנים ולהשוואות (המשתנה הנלווה בממוצע – ברירת המחדל). התסריט שלמטה הורץ כלשונו על הדוגמה של Maxwell ועמיתיו (2018, לוח 9.7, עמ' 483), והערכים בהערות.

# ANCOVA ב-R – הדוגמה של Maxwell ועמיתיו (2018, לוח 9.7): דיכאון לפני ואחרי, שלוש קבוצות של 10
library(car)       # Anova מסוג III
library(emmeans)   # ממוצעים מתוקנים
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # חובה לסוג III

d <- data.frame(group = factor(rep(c("SSRI", "Placebo", "Wait"), each = 10), levels = c("SSRI", "Placebo", "Wait")),
                pre  = c(18, 16, 16, 15, 14, 20, 14, 21, 25, 11, 18, 16, 15, 14, 20, 25, 11, 25, 11, 22, 15, 19, 10, 29, 24, 15, 9, 18, 22, 13),
                post = c(12, 0, 10, 9, 0, 11, 2, 4, 15, 10, 11, 4, 19, 15, 3, 14, 10, 16, 10, 20, 17, 25, 10, 22, 23, 10, 2, 10, 14, 7))
m  <- lm(post ~ pre + group, data = d)
ms <- lm(post ~ pre + group + group:pre, data = d)
anova(m, ms)                          # הומוגניות השיפועים: F(2, 24) = 1.06, p = .36
Anova(m, type = 3)                    # קבוצה: F(2, 26) = 3.73, p = .038; לפני: F(1, 26) = 10.77
coef(m)["pre"]                        # שיפוע משותף b = 0.645
emmeans(m, pairwise ~ group, adjust = "bonferroni")
# ממוצעים מתוקנים: 7.54, 11.98, 13.98; SSRI מול המתנה: -6.44, p = .039

דיווח התוצאות

מדווחים את המשתנה הנלווה ואת הבדיקות המקדימות, בעיקר הומוגניות השיפועים (Pallant, 2020, Chapter 22), ואז את ה-F של המשתנה הנלווה ושל הגורם, עם p וגודל אפקט (Field, 2024, Section 13.11; Pallant, ibid.). בלוח – הממוצעים הגולמיים עם סטיית תקן והמתוקנים עם שגיאת תקן, ו-n בכל קבוצה (שם). העמוד כותב פסקה כזו בעברית ובאנגלית.

טעויות נפוצות

"לפקח" על הבדלים בין קבוצות קיימות ולהסיק סיבתיות – ANCOVA אינה מחליפה הקצאה אקראית (Maxwell et al., 2018, p. 454; Field, 2024, Section 13.5.1).

משתנה נלווה שנמדד אחרי הטיפול – עלול להוציא חלק מהאפקט (Maxwell et al., 2018, p. 478).

לפרש את הממוצעים הגולמיים במקום המתוקנים (Field, 2024, Section 13.7.2).

לדלג על בדיקת השיפועים – כשהם שונים, ההבדל בין הקבוצות תלוי בערך של המשתנה הנלווה (Field, 2024, Section 13.8).

לבחור משתנים נלווים לפי הנתונים – למשל, את מי שמתואם הכי חזק עם המשתנה התלוי במדגם הנוכחי (Maxwell et al., 2018, p. 494).

ניתוח של שאריות במקום ANCOVA (Maxwell et al., 2018, p. 498).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. Field (2024) ו-Pallant (2020) בעותק דיגיטלי מזורם – ציטוט לפי סעיף ופרק; Maxwell ועמיתיו (2018) – לפי העמוד המודפס. מוסכמות האתר: מחיקה רשימתית; סוג III; ממוצעים מתוקנים בממוצע הכללי של המשתנים הנלווים, לא-משוקללים על פני גורם שני; לוין על הערך המוחלט של השאריות מהמודל; שתי ספרות אחרי הנקודה בלוחות. "משתנה נלווה" – התרגום של covariate באתר (בעקבות concomitant variable), כדי לא לבלבל עם משתנה מתווך (mediator). החישוב מאומת מול R 4.3.3 (car, emmeans) ומול המספרים המודפסים אצל Maxwell ועמיתיו (2018): לוחות 9.1, 9.7-9.10 ו-9.12, תרגיל 4.