מבחן מאן-ויטני

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים?

כשיש שתי קבוצות של נבדקים שונים ומשתנה אחד להשוות ביניהן – ומבחן t אינו במקומו. Gravetter ו-Wallnau (2017, Appendix E.1) מונים את הסיבות לעבור מציונים לדרגות: הנתונים נמדדו מלכתחילה בסולם סדר; הציונים מפרים את ההנחות של t ו-ANOVA (נורמליות, שוויון שונויות); שונות גבוהה במיוחד, שהדרגות "מוחקות"; או ציון בלתי-מוגדר – נבדק שלא סיים את המשימה מקבל פשוט את הדרגה הגבוהה ביותר. Field (2024, סעיף 7.2) מוסיף את המצב השכיח: מדגם קטן, שבו אי-אפשר להישען על משפט הגבול המרכזי ואי-אפשר לתקן את הנתונים – ומעיר ששיטות חסינות (עמוד חריגים והנחות) כבר ירשו את המבחנים הא-פרמטריים, אבל SPSS מציע מעט מהן, והמבחנים האלה הם "מבוא עדין" לבדיקת השערות. Pallant (2020, פרק 16) מציגה אותו כחלופה הא-פרמטרית למבחן t לבלתי-תלויים: "האם גברים ונשים נבדלים ברמת ההערכה העצמית?".

באתר זה המקום הטבעי לשני מצבים: פריט דירוג יחיד (ליקרט 1-5), שלפי מוסכמת האתר הוא משתנה סדר ואין לו ממוצע (משתנים וסולמות מדידה) – השוואה בין שתי קבוצות נעשית כאן, או בשכיחויות ובחי-בריבוע; וציון סולם או משתנה כמותי במדגם קטן או עם חריגים, כשבדיקת הנורמליות (בדיקת נורמליות, לפי קבוצה) או תרשים הקופסאות מראים התפלגות שאינה סבירה ל-t. כששתי הקבוצות גדולות (30 ומעלה) והנתונים כמותיים, מבחן t הוא ברירת המחדל – Gravetter ו-Wallnau: "אם הנתונים מתאימים ל-ANOVA או לאחד ממבחני t, המבחן הסטנדרטי עדיף על החלופה לנתוני סדר" (Appendix E.1) – ומאן-ויטני מחזק אותו או מחליף אותו לפי שיקול דעת; תיבת "קריאת התוצאה" אומרת באיזה מצב אתם. שלוש קבוצות או יותר – מבחן קרוסקל-וליס, ההרחבה של המבחן הזה (Gravetter & Wallnau, Appendix E.4).

ההיגיון: דרגות במקום ציונים

הרעיון, כפי ש-Field (2024, סעיף 7.4.1) מתאר אותו, "אלגנטי להפליא": מדרגים את כל הציונים של שתי הקבוצות יחד, מהנמוך (דרגה 1) לגבוה, בלי להתחשב בקבוצה. אם אין הבדל בין הקבוצות, הדרגות הגבוהות והנמוכות יתפזרו ביניהן בערך שווה, וסכומי הדרגות יהיו דומים; אם קבוצה אחת גבוהה יותר, הדרגות הגבוהות יתרכזו בה וסכום הדרגות שלה יהיה גדול יותר. ערכים זהים (תיקו) מקבלים את ממוצע הדרגות שהיו מקבלים – שני ציוני 6 שהיו דרגות 3 ו-4 מקבלים 3.5, שלושה ציוני 35 במקומות 16-18 מקבלים 17 (Field; Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.1: "3 4 4 7 9 9 9 12 ← 1 2.5 2.5 4 6 6 6 8"). מכאן שני סטטיסטים שקולים: W_s של וילקוקסון – סכום הדרגות בקבוצה הקטנה (וכשהקבוצות שוות – הסכום הקטן) – ו-U של מאן-ויטני, שמחושב ממנו: U = n₁n₂ + n₁(n₁ + 1)/2 − R₁ (נוסחה 7.8). Gravetter ו-Wallnau (Appendix E.2) נותנים ל-U פירוש ישיר: "כאילו שתי הקבוצות הן שתי נבחרות בתחרות" – כל נבדק בקבוצה א מקבל נקודה על כל נבדק בקבוצה ב שמדורג מתחתיו; U_A הוא סך הנקודות של א, U_B של ב, U_A + U_B = n_An_B, והסטטיסטי המדווח הוא הקטן מביניהם. בדוגמה שלהם (E.1), שתי קבוצות של שישה: U_A = 30, U_B = 6, ולכן U = 6.

מובהקות. בשני המקורות שני מסלולים. במדגם קטן – התפלגות מדויקת: לוח B9 של Gravetter ו-Wallnau נותן ערך קריטי (ל-6 מול 6, U ≤ 5 מובהק ב-.05; U = 6 לא), ו-SPSS מדפיס Exact Sig.; Field (קופסה 7.2): במדגם קטן – "למעשה כל מה שמתחת ל-50" – משתמשים ב-p המדויק. במדגם גדול – הקירוב הנורמלי: התוחלת וטעות התקן של הסטטיסטי נגזרות מגודלי הקבוצות בלבד – W̄_s = n₁(n₁ + n₂ + 1)/2, SE = √(n₁n₂(n₁ + n₂ + 1)/12) (Field, נוסחאות 7.1-7.2; ל-10 מול 10: 105 ו-13.23) – ו-z הוא המרחק של הסטטיסטי מתוחלתו ביחידות טעות תקן (נוסחה 7.5; Gravetter & Wallnau, נספח E.2, עם U: z = (U − n_An_B/2)/√(n_An_B(n_A + n_B + 1)/12); בדוגמה E.1 – −1.92, לא בתחום הקריטי של ±1.96, "אותה מסקנה כמו מהלוח"). SPSS מתקן את טעות התקן לתיקו – והעמוד גם; Gravetter ו-Wallnau ו-PSPP אינם מתקנים, וההפרש ב-z בדרך כלל בספרה השלישית.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – דרגות וחציונים. זה לוח Ranks של SPSS (N, Mean Rank, Sum of Ranks) בתוספת החציון, הרבעונים והטווח של כל קבוצה. הדבר הראשון שקוראים: הדרגה הממוצעת – "הקבוצה עם הדרגה הממוצעת הנמוכה היא הקבוצה שבה יותר ציונים נמוכים" (Field, 2024, Section 7.4.4); בדוגמת הסמים של Field, ביום ראשון הדרגות הממוצעות היו 11.95 ו-9.05 – דומות – וביום רביעי 15.10 מול 5.90. החציון הוא מה שמדווחים במקום הממוצע: "סטטיסטי מתאים יותר למבחנים א-פרמטריים" (Field, סעיף 7.4.6; Pallant, 2020, פרק 16 – שם מפיקים אותו בצעד נפרד ב-Means). שימו לב שחציונים זהים אינם אומרים שאין הבדל: המבחן משווה את כל ההתפלגות דרך הדרגות, לא את החציונים – ולכן ייתכן מבחן מובהק עם חציונים שווים, בייחוד בפריט דירוג.

לוח 2 – המבחן. לוח Test Statistics של התפריט הישן ב-SPSS: Mann-Whitney U, Wilcoxon W, Z, Asymp. Sig. (2-tailed) ו-Exact Sig.. U ו-W הם תיאור – מספרם תלוי בגודלי הקבוצות, ואינו מודד אפקט; z שלילי תמיד, כי U הוא הקטן מהשניים, ולכן אינו אומר דבר על הכיוון – הכיוון נקרא מלוח 1. העמוד מדפיס שני ערכי p: אסימפטוטי (מהקירוב הנורמלי, עם תיקון תיקו) ומדויק (2·P(U ≤ U_נצפה) מההתפלגות המדויקת של U ללא תיקו – מה ש-SPSS מדפיס כ-Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]; מוסכמת האתר: מחושב כששתי הקבוצות עד 50 נבדקים). הכלל של Field (קופסה 7.2): מדגם קטן – המדויק; גדול – האסימפטוטי מספיק. בדוגמה שלו, ביום ראשון U = 35.5, p = .280 (לא מובהק: "אקסטזי אינו מדכא יותר מאלכוהול למחרת"), וביום רביעי U = 4, p < .001 – "כותבים p < .001 כי ה-p הנצפה קטן מאוד"; הערכים האלה הם בין בדיקות העמוד. שני העמודים האחרונים – מדדי האפקט.

תרשים הקופסאות מראה את מה שהמבחן בודק: היכן יושבות ההתפלגויות זו ביחס לזו – החציון (קו עבה), הרבעונים (הקופסה), השפמים והחריגים (Pallant, 2020, Chapter 6). Field (סעיף 7.4.6): "דווחו את החציונים וטווחיהם, או ציירו תרשים קופסאות".

גודל האפקט – שני סרגלים, "גם וגם"

SPSS אינו מדפיס מדד אפקט למבחן, ושני המקורות מציעים שניים שונים. r של Pallant (2020, פרק 16): r = |z|/√N, כש-N הוא מספר כל הנבדקים – "ערך מקורב של r" – עם המוסכמות של Cohen (1988, עמ' 79-83): .1 קטן, .3 בינוני, .5 גדול; בדוגמה שלה z = −1.23, N = 436, r = .06, "קטן מאוד". r_rb של Field (2024, סעיף 7.4.5): המתאם הדרגתי-דו-סדרתי (rank-biserial; Cureton, as cited in Field), בנוסחת Wendt: r_rb = 1 − 2U/(n₁n₂) (נוסחה 7.11), עם הפירוש האינטואיטיבי של Kerby: בדוגמה, r_rb = .29 ביום ראשון – "כ-29% מהנתונים המדורגים תומכים ברעיון שהדיכאון גבוה יותר אחרי אקסטזי" – ו-.92 ביום רביעי, "תמיכה חזקה מאוד". העמוד מחשב אותו מ-U₁ של הקבוצה הראשונה שבחרתם, כך שהסימן אומר כיוון: חיובי – קבוצה א גבוהה; ומציג את אחוז הזוגות התומכים. שני המדדים אינם זהים ואינם ניתנים להמרה זה לזה (r תלוי גם ב-N דרך z); מדווחים לפחות אחד, ואומרים איזה.

הנחות ואזהרות

שתי הנחות כלליות (Pallant, 2020, Chapter 16): דגימה אקראית, ותצפיות בלתי-תלויות – "כל נבדק נספר פעם אחת, אינו יכול להופיע ביותר מקבוצה אחת, והנתונים של נבדק אחד אינם משפיעים על אלה של אחר"; מדידות חוזרות של אותם נבדקים – לווילקוקסון למזווגים, לא לכאן. Field (2024, הערה 2 לפרק 7) מזכיר שגם המבחנים האלה אינם "נטולי התפלגות": הם מניחים התפלגות רציפה – ולכן בנתוני דירוג עם תיקו רבים, תיקון התיקו ב-z חשוב. עוצמה. Field (קופסה 7.1): הדרגות מאבדות מידע על גודל ההפרשים, ולכן כשהנחות המבחן הפרמטרי מתקיימות, הוא חזק יותר; אבל כשהתפלגות הדגימה אינה נורמלית, שיעור הטעות מסוג I של המבחן הפרמטרי אינו ידוע – ואז הטענה "למבחנים א-פרמטריים פחות עוצמה" פשוט אינה מוגדרת. קבוצות קטנות מאוד. עם פחות מחמישה נבדקים בקבוצה המבחן כמעט אינו יכול לצאת מובהק (ההתפלגות המדויקת גסה); העמוד מזהיר.

ערכים חסרים. נבדק נכלל כשיש לו ערך תקף במשתנה התלוי ובמשתנה הקיבוץ – מחיקה לפי ניתוח (/MISSING ANALYSIS). מבחנים מרובים. כמה משתנים בלחיצה אחת הם כמה מבחנים, כל אחד עם 5% סיכון לטעות מסוג I. מה העמוד אינו מחשב. p מדויק לקבוצות גדולות מ-50, Monte Carlo (קופסה 7.2), קולמוגורוב-סמירנוב לשתי קבוצות, Moses ו-Wald-Wolfowitz (טיפ 7.1 של Field), מבחן חד-זנבי כפלט, רווח סמך להפרש החציונים (Hodges-Lehmann של R) ו-bootstrap.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

שני תפריטים, שני פלטים. הדרך החדשה (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Sections 7.3 and 7.4.3): Analyze › Nonparametric Tests › Independent Samples… – בלשונית Objective בוחרים Customize analysis (Field: "לא כדאי לתת למחשב לחשוב במקומכם"); ב-Fields – המשתנה הקטגוריאלי ל-Groups והתלוי ל-Test Fields; ב-Settings – Customize tests ו-Mann-Whitney U (2 samples); לפני כן, Pallant: ב-Edit › Options › Output לבחור Pivot tables and charts. הפלט: Hypothesis Test Summary (רק ההחלטה), ולחיצה כפולה פותחת את Independent-Samples Mann-Whitney U Test Summary עם תרשים הדרגות – Total N, Mann-Whitney U, Wilcoxon W, Standard Error, Standardized Test Statistic (ה-z) ו-Asymptotic Sig., ובגרסאות עם מודול המבחנים המדויקים גם Exact Sig.. שימו לב: בתפריט החדש U ו-W מחושבים מהקבוצה השנייה (הקוד הגבוה) ואינם בהכרח הקטנים – בדוגמה של Pallant U = 21594 כש-n = 184 × 252, והסטטיסטי המתוקנן שלילי או חיובי לפי הכיוון; ה-p זהה. החציונים אינם בפלט – Pallant מפיקה אותם ב-Analyze › Compare Means › Means עם Median ב-Cell Statistics.

הדרך הישנה, שהעמוד מייצר כסינטקס (כי היא מאפשרת לבחור שתיים מכמה קבוצות ומדפיסה את U ו-W כמו בלוח 2): Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › 2 Independent Samples… – המשתנה ל-Test Variable List, משתנה הקיבוץ ל-Grouping Variable עם Define Groups, ו-Mann-Whitney U מסומן:

NPAR TESTS
  /M-W=עמדות_ציון BY קבוצה(1 2)
  /MISSING ANALYSIS.

MEANS TABLES=עמדות_ציון BY קבוצה
  /CELLS=COUNT MEDIAN.

קריאת הפלט. Ranks = לוח 1 (N, Mean Rank, Sum of Ranks); Test Statistics = לוח 2 – Mann-Whitney U, Wilcoxon W, Z, Asymp. Sig. (2-tailed), ולקבוצות קטנות גם Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]; MEANS – החציונים. הסינטקס נבדק מול PSPP (המימוש החופשי): U, W וסכומי הדרגות זהים; ה-z של PSPP בלי תיקון תיקו.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי wilcox.test(x, y) – בשם "Wilcoxon rank sum test", אותו מבחן. שלושה הבדלים מ-SPSS שכדאי לדעת: הסטטיסטי W של R הוא מספר הזוגות שבהם הקבוצה הראשונה גבוהה (לא U הקטן ולא W של וילקוקסון); ברירת המחדל מוסיפה תיקון רציפות ל-p האסימפטוטי – correct = FALSE נותן את p של SPSS ושל העמוד; וה-p המדויק (exact = TRUE) מחושב רק בלי תיקו. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים.

# מבחן מאן-ויטני – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_mw_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; g <- d[["קבוצה"]]
y1 <- y[g == 1 & !is.na(y)]; y2 <- y[g == 2 & !is.na(y)]

# חציון ורבעונים (type = 6 = SPSS) לכל קבוצה – לוח 1
median(y1); quantile(y1, c(.25, .75), type = 6)      # ניסוי: Mdn 3.375, [2.91, 4.00]
median(y2); quantile(y2, c(.25, .75), type = 6)      # ביקורת: Mdn 3.125, [2.50, 3.55]

# דרגות: סכום ודרגה ממוצעת לכל קבוצה (דרגה ממוצעת לתיקו)
r <- rank(c(y1, y2)); R1 <- sum(r[seq_along(y1)]); R2 <- sum(r[-seq_along(y1)])
c(R1, R2, R1 / length(y1), R2 / length(y2))          # 4147, 3113; דרגות ממוצעות 69.12, 51.88

# המבחן: p אסימפטוטי בלי תיקון רציפות = SPSS; W של R = n1n2 − U1
wt <- wilcox.test(y1, y2, exact = FALSE, correct = FALSE)
wt                                                    # W = 2317, p = .0066
n1 <- length(y1); n2 <- length(y2)
U1 <- n1 * n2 + n1 * (n1 + 1) / 2 - R1; U2 <- n1 * n2 + n2 * (n2 + 1) / 2 - R2
c(U = min(U1, U2), W = min(R1, R2))                  # U = 1283, W = 3113 – כמו SPSS

# z (שלילי כמו ב-SPSS), r = |z|/√N (Pallant) ו-r_rb = 1 − 2U1/(n1n2) (Field)
z <- -abs(qnorm(wt$p.value / 2))
c(z = z, r = abs(z) / sqrt(n1 + n2), r_rb = 1 - 2 * U1 / (n1 * n2))   # −2.72, .248, .287

# מדגם קטן בלי תיקו – p מדויק (דוגמה E.1 של Gravetter ו-Wallnau)
wilcox.test(c(27, 2, 9, 48, 6, 15), c(71, 63, 18, 68, 94, 8), exact = TRUE)   # W = 6, p = .065

דיווח התוצאות

Field (2024, סעיף 7.4.6): מדווחים את הסטטיסטי (U, או W_s אם מעדיפים), את z, את p המדויק (לא p ≤ .05), מדד אפקט – ואת החציונים של שתי הקבוצות: "רמות הדיכאון של משתמשי אקסטזי (Mdn = 17.50) לא נבדלו מובהק ממשתמשי אלכוהול (Mdn = 16.00) למחרת, U = 35.50, z = −1.11, p = .280, r_rb = .29. אבל עד יום רביעי משתמשי האקסטזי (Mdn = 33.50) היו מדוכאים מובהק יותר (Mdn = 7.50), U = 4.00, z = −3.48, p < .001, r_rb = .92". Pallant (2020, פרק 16) באותה תבנית עם n ו-r: "U = 21594, z = −1.23, p = .22, r = .06". Gravetter ו-Wallnau (Appendix E.2) מוסיפים שלפי APA כדאי לכלול גם את סכומי הדרגות. משפטי הדיווח שבפלט בנויים כך – חציון ו-n לכל קבוצה, U, z, p (המדויק כשחושב), r_rb ו-r. כללי הצורה (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p ו-r בלי אפס לפני הנקודה; U, W, z עם.

טעויות נפוצות

לקרוא כיוון מהסימן של z. בפלט הישן z שלילי תמיד; הכיוון – מהדרגות הממוצעות או מהחציונים (Field, 2024, Section 7.4.4).

לדווח ממוצעים. המבחן על דרגות; מדווחים חציונים (Field, Section 7.4.6; Pallant, 2020, Chapter 16).

לקרוא "לא מובהק" במדגם קטן כ"אין הבדל". עם 6 מול 6 נבדקים, U = 6 אינו מובהק אף שהקבוצות שונות בעליל (Gravetter & Wallnau, דוגמה E.1) – עוצמה.

להשוות את U של R, של התפריט החדש ושל הישן. שלוש הגדרות (מספר הזוגות; מהקבוצה השנייה; הקטן) – אותו p.

לחשוב שחציונים שווים = מבחן לא מובהק. המבחן משווה התפלגויות; בפריט דירוג שני חציונים "3" יכולים להסתיר הבדל מובהק בדרגות.

לברוח למאן-ויטני בכל פעם שמבחן נורמליות מובהק. בקבוצות גדולות משפט הגבול המרכזי מכסה את t (Field, 2024, סעיף 6.2.7; עמוד בדיקת נורמליות) – ומאן-ויטני מאבד את גודל ההפרשים (קופסה 7.1).

לדווח רק את r או רק את r_rb בלי לומר איזה. שני סרגלים שונים; .29 אצל Field הוא r_rb, .06 אצל Pallant הוא r.

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Mann ו-Whitney (1947), Wilcoxon (1945), Cureton (1956), Wendt (1972) ו-Kerby (2014) – כמצוטטים אצל Field (2024). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור; Gravetter ו-Wallnau (2017, Appendix E, pp. 687-692), Cohen (1988), Pallant (2020) ו-APA (2020) – לפי עמוד, פרק וסעיף של המהדורה המודפסת; Field (2024) בעותק דיגיטלי מזורם – לפי סעיף, נוסחה וקופסה (לוח 7.1 שלו הוא קובץ הבדיקה של העמוד). הסינטקס – מאומת מול PSPP; R הורץ ב-4.3.3.