מבחן קרוסקל-וליס

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים?

כשיש שלוש קבוצות או יותר של נבדקים שונים ומשתנה אחד להשוות ביניהן – וניתוח שונות חד-כיווני אינו במקומו. Gravetter ו-Wallnau (2017, Appendix E.4) מציגים את קרוסקל-וליס כחלופה לניתוח השונות החד-כיווני של פרק 12: "ניתוח השונות מצריך ציונים מספריים שמהם מחשבים ממוצעים ושונויות; קרוסקל-וליס מצריך רק שאפשר לדרג את הנבדקים" – והוא ההרחבה של מאן-ויטני משתי קבוצות לשלוש ויותר. הקבוצות יכולות להיות תנאי טיפול (ילדים שמציירים לבד, בקבוצה, או עם פיקוח – ומדרגים את כל הציורים יחד לפי יצירתיות) או אוכלוסיות קיימות (בני 5, 6 ו-7). Field (2024, סעיף 7.6) מציג אותו כמבחן ל"קבוצות בלתי-תלויות מרובות" לצד מבחן פרידמן למדידות חוזרות, בדוגמת ארוחות הסויה וספירת הזרע: ארבע קבוצות של 20 גברים, ובדיקת הנתונים (סעיף 7.6.3) מראה בכל קבוצה תרשים Q-Q שסוטה מהאלכסון, שפירו-וילק מובהק (חוץ מקבוצה אחת), ולוין מובהק – "סיפור עצוב: כנראה לא נורמלי וכנראה שונויות לא שוות". Pallant (2020, פרק 16): "החלופה הא-פרמטרית לניתוח שונות חד-כיווני בין נבדקים… הציונים מומרים לדרגות, והדרגה הממוצעת של כל קבוצה מושווית" – "האם רמת האופטימיות שונה בשלוש קבוצות גיל?".

באתר זה המקום הטבעי לשני מצבים: פריט דירוג יחיד (ליקרט 1-5), שלפי מוסכמת האתר הוא משתנה סדר ואין לו ממוצע (משתנים וסולמות מדידה) – השוואה בין כמה קבוצות נעשית כאן, או בשכיחויות ובחי-בריבוע; וציון סולם או משתנה כמותי בקבוצות קטנות או עם חריגים, כשבדיקת הנורמליות (בדיקת נורמליות, לפי קבוצה) או תרשים הקופסאות מראים התפלגות שאינה סבירה לניתוח שונות. כשכל הקבוצות גדולות (30 ומעלה) והנתונים כמותיים, ניתוח שונות חד-כיווני הוא ברירת המחדל – Gravetter ו-Wallnau: "אם הנתונים מתאימים ל-ANOVA או לאחד ממבחני t, המבחן הסטנדרטי עדיף על החלופה לנתוני סדר" (Appendix E.1) – וקרוסקל-וליס מחזק אותו או מחליף אותו לפי שיקול דעת; תיבת "קריאת התוצאה" אומרת באיזה מצב אתם. שתי קבוצות בלבד – מבחן מאן-ויטני (אותו p, ועוד U, p מדויק ושני מדדי אפקט); אותם נבדקים בכמה מדידות – מבחן פרידמן (Field, Section 7.7), לא בעמוד זה.

ההיגיון: דרגות ו-H

כמו במאן-ויטני, מדרגים את כל הציונים יחד מהנמוך (דרגה 1) לגבוה "בלי להתחשב בקבוצה שאליה שייך הציון" (Field, 2024, Section 7.6.1), וערכים זהים מקבלים את ממוצע הדרגות שלהם (Section 7.4.1; Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.1). אחר כך "אוספים את הציונים חזרה לקבוצות" וסוכמים את הדרגות בכל קבוצה – R_i אצל Field, T אצל Gravetter ו-Wallnau. אם אין הבדל, הדרגות הגבוהות והנמוכות מתפזרות בין הקבוצות והדרגות הממוצעות דומות לדרגה הממוצעת הכוללת (N + 1)/2; אם קבוצה אחת גבוהה, הדרגות הגבוהות מתרכזות בה. הסטטיסטי מודד את הפיזור של סכומי הדרגות: H = 12/(N(N + 1)) · Σ(R_i²/n_i) − 3(N + 1) (נוסחה 7.26; נספח E.4 – אותה נוסחה עם T). בדוגמת הסויה סכומי הדרגות הם 927, 883, 883 ו-547 (הקבוצה שאכלה סויה שבע פעמים בשבוע – הנמוכה), ו-H = 251.66 − 243 = 8.659 (נוסחה 7.27); בדוגמה E.2 של Gravetter ו-Wallnau (שלוש קבוצות של חמישה, T = 39.5, 26.5, 54) – H = 3.785. נתוני שתי הדוגמאות הן בין בדיקות העמוד.

מובהקות. H מתפלג בקירוב כחי-בריבוע עם df = k − 1 – מספר הקבוצות פחות אחת (Field, Section 7.6.1; Gravetter & Wallnau, Appendix E.4). ל-4 קבוצות df = 3 ו-H = 8.659 נותן p = .034; ל-3 קבוצות הערך הקריטי ב-.05 הוא 5.99, ו-3.785 אינו עובר אותו – "הנתונים אינם מספקים ראיה מספקת להבדל בין שלושת הטיפולים". הקירוב מצריך לפחות חמש תצפיות בכל קבוצה (Gravetter & Wallnau). SPSS מתקן את H לתיקו – הערת השוליים "The test statistic is adjusted for ties" בפלט של Pallant – בחלוקה ב-C = 1 − Σ(t³ − t)/(N³ − N); נוסחת הספרים אינה מתקנת, וההפרש בדוגמה E.2 (שני ערכים חוזרים) הוא 3.785 מול 3.819. העמוד מדפיס את המתוקן, ובהערת הלוח גם את הלא-מתוקן.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – דרגות וחציונים. לוח Ranks של SPSS (N, Mean Rank) בתוספת סכום הדרגות, החציון, הרבעונים והטווח של כל קבוצה. הדבר הראשון שקוראים: הדרגה הממוצעת – Pallant (2020, פרק 16): "בודקים את הדרגה הממוצעת של הקבוצות… זו אומרת לאיזו קבוצה הדירוג הכולל הגבוה ביותר, שמתאים לציון הגבוה ביותר"; בדוגמה שלה קבוצת הגיל המבוגרת (45+) עם הדרגה הממוצעת הגבוהה – "האופטימיות הגבוהה ביותר", והצעירה – הנמוכה. בדוגמת הסויה: 46.35, 44.15, 44.15 ו-27.35 – שלוש קבוצות דומות ואחת נמוכה. החציון הוא מה שמדווחים במקום הממוצע (Field, 2024, סעיף 7.6.8; Pallant מפיקה אותו בצעד נפרד ב-Means: 22, 22 ו-23).

לוח 2 – המבחן. בפלט החדש של SPSS: Total N, Test Statistic (זה H; Pallant: "חי-בריבוע, המוצג כ-Test Statistic"), Degree of Freedom ו-Asymptotic Sig. (2-sided test); בפלט הישן – Chi-Square, df, Asymp. Sig.. הכלל (Field, טיפי Cramming Sam לפרק 7): "מסתכלים בשורה Asymptotic Sig. – ערך של .05 ומטה נלקח בדרך כלל כהבדל מובהק בין הקבוצות". בדוגמת הסויה H(3) = 8.66, p = .034 – "אנשים יסיקו בדרך כלל שכמות ארוחות הסויה משפיעה מובהק על ספירת הזרע"; אצל Pallant χ²(2, n = 435) = 8.57, p = .014. אבל המבחן הכולל "אומר שספירות הזרע היו שונות בחלק מהקבוצות, אבל לא אילו קבוצות" (Field, Section 7.6.5) – ולזה הלוח הבא.

תרשים הקופסאות הוא מה שהפלט החדש של SPSS מצרף למבחן (פלט 7.6): Field קורא ממנו שהקופסה של קבוצת שבע הארוחות קטנה יותר ("הציונים דחוסים יותר") ושהחציון שלה "נראה מעט נמוך מהאחרות" – "אולי ההבדל יושב בין קבוצת שבע הארוחות לשאר?" – והחריגים (העיגולים מעל השפמים) הם "כמה גברים שייצרו כמות משתוללת במיוחד".

ההשוואות הזוגיות – לוח 3

"הדרך הפשוטה ביותר לפרק את האפקט הכולל היא להשוות את כל זוגות הקבוצות" (Field, 2024, Section 7.6.2) – ב-4 קבוצות שישה זוגות. אפשר היה להריץ שישה מבחני מאן-ויטני, אבל "כשעושים הרבה מבחנים על אותם נתונים מנפחים את שיעור הטעות המשפחתי" (סעיף 2.10.8) – ולכן ה-p של כל השוואה מתוקן כך שבכל המבחנים יחד הסיכון לטעות מסוג I נשאר 5%. הלוח שהעמוד מדפיס הוא לוח Pairwise Comparisons של SPSS (פלט 7.7; אצל Pallant – Pairwise Comparisons of age 3 groups): לכל זוג הסטטיסטי הוא הפרש הדרגות הממוצעות – "ל-7 מול 1 ארוחות 44.15 − 27.35 = 16.80" – טעות התקן שלו, ה-z (Std. Test Statistic: "ההפרשים מומרים לציוני z בחלוקה בטעות התקן, ומהם ה-p"; ל-7 מול 1: z = 2.286, p = .022), ושני ערכי p: Sig. ו-Adj. Sig. – ה-p כפול מספר ההשוואות (תיקון בונפרוני, הערת השוליים בלוח), עד 1. Field: "העמודה Adj. Sig. מכילה את ה-p המתוקנים, ואותם אנחנו מפרשים (לא משנה כמה מפתה לפרש את העמודה Sig.)". בדוגמת הסויה אף ערך מתוקן אינו מתחת ל-.05 – "אם כי ההשוואה בין שבע ארוחות לאפס מתקרבת, p = .058, וזה מזכיר לנו שמבחני מובהקות מעודדים חשיבה בשחור-לבן, ומדדי אפקט עשויים לעזור": "למרות האפקט הכולל המובהק, אף השוואה ספציפית אינה מצביעה על הבדל מובהק". Pallant, לעומת זאת, סורקת את העמודה Sig. ("מחפשים ערכים מתחת ל-.05") ומוצאת השוואה מובהקת אחת, הצעירים מול המבוגרים – אף שבלוח שלה Sig. = .004 ו-Adj. Sig. = .011 (שניהם מובהקים; בטקסט שלה מודפס .002). מוסכמת האתר: קוראים את ה-p המתוקן, כמו Field וכמו SPSS; הלוח מדפיס גם את הלא-מתוקן. ההשוואות האלה הן המבחן הידוע כמבחן Dunn – כך הוא נקרא ב-R (dunn_test), ו-SPSS אינו נוקב בשמו.

SPSS מציע גם הליך מדורג (Stepwise step-down, פלט 7.8): הקבוצות מסודרות לפי סכום הדרגות, ובכל צעד בודקים אם הקבוצה הבאה "שקולה" לקודמות; התוצאה היא תת-קבוצות הומוגניות, עם תיקון פחות חמור – בדוגמת הסויה קבוצת שבע הארוחות לבדה, ושלוש האחרות יחד (p = .943). Field: "ההליכים האלה מסובכים למדי, אל תדאגו אם אינכם מבינים אותם לגמרי". העמוד אינו מחשב אותו (ראו "מה העמוד אינו מחשב").

גודל האפקט – r_rb לכל זוג

"אין דרך קלה להמיר סטטיסטי קרוסקל-וליס עם יותר מדרגת חופש אחת למדד אפקט r. אבל מדד אפקט כזה ממילא אינו שימושי במיוחד (כי הוא מסכם אפקט כללי). ברוב המקרים מעניין יותר לדעת את גודל האפקט של השוואה ממוקדת" (Field, 2024, Section 7.6.7) – ולכן Field מחשב מדד אפקט לכל זוג: ה-U של מבחן מאן-ויטני על שתי הקבוצות, ומ-r_rb = 1 − 2U/(n₁n₂) (נוסחה 7.11; לוח 7.4). בדוגמת הסויה האפקטים "ניכרים (ודומים בגודלם) לשבע ארוחות מול כל שאר הקבוצות, באזור .5, אבל טריוויאליים (r_rb < .1) להשוואות בין הקבוצות האחרות" – .48, .39 ו-.44 מול .04, .06 ו-.02. כדי להשיג את ששת ערכי ה-U ב-SPSS Field מריץ שישה NPAR TESTS /M-W בסינטקס ("עד שהיינו מתים משעמום – למזלנו הסינטקס הוא ידידכם"); העמוד מחשב אותם ישירות ומדפיס אותם בלוח 3. הסימן אומר כיוון: חיובי – הקבוצה הראשונה בזוג גבוהה (בלוח 7.4 של Field הערכים מודפסים בלי סימן); ותיבת "קריאת התוצאה" מתרגמת אותו לאחוז הזוגות התומכים (Kerby, as cited in Field) ולמילה בסרגל של Cohen (1988, עמ' 79-83: .1 קטן, .3 בינוני, .5 גדול – כמו בעמוד מאן-ויטני). Pallant אינה מביאה מדד אפקט למבחן זה – בדיווח שלה החציונים הם המדד.

הנחות ואזהרות

שתי הנחות כלליות (Pallant, 2020, Chapter 16): דגימה אקראית, ותצפיות בלתי-תלויות – "ניתוח בין קבוצות, ולכן בכל קבוצה אנשים שונים"; אותם נבדקים בכמה תנאים – מבחן פרידמן. חמש תצפיות בקבוצה. "הנחה אחת… כדי להצדיק את השימוש בהתפלגות חי-בריבוע: כל תנאי חייב להכיל לפחות חמישה ציונים" (Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.4); העמוד מזהיר, ו-SPSS מציע p מדויק במודול המבחנים המדויקים. עוצמה. Field (קופסה 7.1): הדרגות מאבדות מידע על גודל ההפרשים, ולכן כשהנחות המבחן הפרמטרי מתקיימות הוא חזק יותר; וכשאינן מתקיימות, הטענה "למבחנים א-פרמטריים פחות עוצמה" אינה מוגדרת. בדיקה מקדימה. Field (סעיף 7.6.3) בודק לפני המבחן נורמליות לפי קבוצה (תרשימי Q-Q, ובקבוצות קטנות גם שפירו-וילק – "אם המבחן זיהה סטייה במדגם כה קטן, היא כנראה ניכרת") – עמוד בדיקת נורמליות לפי קבוצה.

ערכים חסרים. נבדק נכלל כשיש לו ערך תקף במשתנה התלוי ובמשתנה הקיבוץ – מחיקה לפי ניתוח (/MISSING ANALYSIS). מבחנים מרובים. כמה משתנים בלחיצה אחת הם כמה מבחנים כוללים, כל אחד עם 5% סיכון לטעות מסוג I; התיקון בלוח 3 הוא בתוך כל מבחן בלבד. מה העמוד אינו מחשב. ההליך המדורג (Stepwise step-down), מבחן החציון (טיפ 7.3 של Field), מבחן המגמה Jonckheere-Terpstra (סעיף 7.6.6: "כשמצפים שהחציונים יעלו או יירדו בסדר הקבוצות" – בדוגמת הסויה J = 912, z = −2.48, p = .013), p מדויק ו-Monte Carlo, מדד אפקט כולל (אטא בריבוע של H – אינו באף אחד מהמקורות), ומבחן פרידמן למדידות חוזרות.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

הדרך החדשה (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 7.6.4): Analyze › Nonparametric Tests › Independent Samples… – בלשונית Objective בוחרים Customize analysis; ב-Fields – המשתנה התלוי ל-Test Fields והמשתנה הקטגוריאלי ל-Groups; ב-Settings – Customize tests, Kruskal-Wallis 1-way ANOVA, וב-Multiple comparisons – All pairwise (או Stepwise step-down); לפני כן, Pallant: ב-Edit › Options › Output לבחור Pivot tables and charts. הפלט: Hypothesis Test Summary (רק ההחלטה), ולחיצה כפולה פותחת את Independent-Samples Kruskal-Wallis Test Summary עם תרשים הקופסאות ולוח ה-Pairwise Comparisons. החציונים אינם בפלט – Pallant מפיקה אותם ב-Analyze › Compare Means › Means עם Median ב-Cell Statistics.

הסינטקס שהעמוד מייצר כולל את שתי הדרכים: הישנה (Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › K Independent Samples…, עם Define Range לקודים), שמדפיסה Ranks ו-Test Statistics כמו בלוחות 1-2 ורצה גם ב-PSPP; והחדשה של Pallant, שמוסיפה את ההשוואות הזוגיות (לוח 3):

NPAR TESTS
  /K-W=עמדות_ציון BY השכלה(1 4)
  /MISSING ANALYSIS.

NPTESTS
  /INDEPENDENT TEST (עמדות_ציון) GROUP (השכלה) KRUSKAL_WALLIS(COMPARE=PAIRWISE)
  /MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE
  /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.

MEANS TABLES=עמדות_ציון BY השכלה
  /CELLS=COUNT MEDIAN.

קריאת הפלט. Ranks = לוח 1 (N, Mean Rank); Test Statistics = לוח 2 (Chi-Square = H מתוקן לתיקו, df, Asymp. Sig.); Pairwise Comparisons = לוח 3 (Test Statistic, Std. Error, Std. Test Statistic, Sig., Adj. Sig. – שימו לב ש-SPSS מסדר את הזוגות לפי הדרגה הממוצעת, והסימן של הסטטיסטי תלוי בגרסה: בפלט של Field חיובי, בפלט של Pallant שלילי; העמוד מדפיס ראשונה פחות שנייה בסדר הרמות); MEANS – החציונים. הסינטקס נבדק מול PSPP (המימוש החופשי): דרגות ממוצעות, H, df ו-p זהים ללוחות 1-2; NPTESTS אינו קיים ב-PSPP.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי kruskal.test(y, g) נותן את H ("Kruskal-Wallis chi-squared", מתוקן לתיקו כמו SPSS), df ו-p. את ההשוואות הזוגיות של SPSS נותנת dunn_test מחבילת rstatix עם p.adjust.method = "bonferroni" – אותם z ו-p (הסימן של ה-z שם הוא שנייה פחות ראשונה); ואת r_rb מחשבים מ-wilcox.test לכל זוג (ה-W של R הוא n₁n₂ − U₁). הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים.

# מבחן קרוסקל-וליס – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)    # קריאת אקסל
library(rstatix)   # השוואות זוגיות של Dunn עם תיקון בונפרוני (כמו NPTESTS ב-SPSS)

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_kw_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
ok <- !is.na(d[["עמדות_ציון"]]) & !is.na(d[["השכלה"]])
y <- d[["עמדות_ציון"]][ok]; g <- factor(d[["השכלה"]][ok])

# חציון ורבעונים (type = 6 = SPSS) ו-n לכל קבוצה – לוח 1
do.call(rbind, tapply(y, g, function(v) c(n = length(v), Mdn = median(v), quantile(v, c(.25, .75), type = 6))))
                                                      # n 17/18/50/32; Mdn 3.38, 3.31, 3.06, 3.50

# דרגות: כל הערכים מדורגים יחד (דרגה ממוצעת לתיקו); סכום ודרגה ממוצעת לכל קבוצה
r <- rank(y); cbind(sumRank = tapply(r, g, sum), meanRank = tapply(r, g, mean))   # 68.94, 57.94, 49.16, 69.69

# המבחן: H עם תיקון תיקו (כמו SPSS), df = k − 1, p מחי-בריבוע – לוח 2
kruskal.test(y, g)                                   # chi-squared = 8.884, df = 3, p = .031

# השוואות זוגיות: z, p ו-p מתוקן בונפרוני – לוח 3
dunn_test(data.frame(y = y, g = g), y ~ g, p.adjust.method = "bonferroni")   # 3 מול 4: z = 2.68, p = .007, מתוקן .045

# גודל האפקט לכל זוג – r_rb = 1 − 2U1/(n1n2) (Field, 2024, לוח 7.4); W של wilcox.test = n1n2 − U1
a <- y[g == "3"]; b <- y[g == "4"]
U1 <- length(a) * length(b) - wilcox.test(a, b, exact = FALSE)$statistic
1 - 2 * U1 / (length(a) * length(b))                 # −.345 (קבוצה 4 גבוהה)

# דוגמת Field (2024, לוח 7.3): ארבע קבוצות של 20 – H(3) = 8.66, p = .034; 7 מול 1 ארוחות: z = 2.29, p = .022, מתוקן .133
# דוגמה E.2 של Gravetter ו-Wallnau: H = 3.785 בלי תיקון תיקו (הספר); kruskal.test מתקן לתיקו – 3.819
kruskal.test(list(c(14, 3, 21, 5, 16), c(2, 14, 9, 12, 5), c(26, 8, 14, 19, 20)))

דיווח התוצאות

Field (2024, סעיף 7.6.8): מדווחים את הסטטיסטי H, את דרגות החופש ואת המובהקות – "ספירות הזרע הושפעו מובהק מאכילת ארוחות סויה, H(3) = 8.66, p = .034" – ואחריהם את מבחני ההמשך עם מדדי האפקט: "השוואות זוגיות עם p מתוקנים הראו שאין הבדלים מובהקים… בין שבע ארוחות לארבע (p = .133, r_rb = .44), לאחת (p = .133, r_rb = .39) או לאף אחת (p = .058, r_rb = .48)…". Pallant (2020, פרק 16) מוסיפה את n לכל קבוצה ואת החציונים: "מבחן קרוסקל-וליס הראה הבדל מובהק ברמות האופטימיות בין שלוש קבוצות גיל (קבוצה 1, n = 147: 18-29…), χ²(2, n = 435) = 8.57, p = .014. קבוצת הגיל המבוגרת (45+) רשמה חציון גבוה מובהק (Md = 23) מהצעירה… (Md = 22)". Gravetter ו-Wallnau (Appendix E.4): "אין תבנית תקנית… הדוח צריך לכלול סיכום של הנתונים, ערך חי-בריבוע, df, N ו-p" – "H = 3.785 (2, N = 15), p > .05". משפטי הדיווח שבפלט משלבים את שלושתם ("גם וגם"): n וחציון לכל קבוצה, H(df, N) = …, p, ואחרי מבחן כולל מובהק – הזוגות המובהקים עם z, ה-p המתוקן ו-r_rb. כללי הצורה (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p ו-r_rb בלי אפס לפני הנקודה; H ו-z עם.

טעויות נפוצות

לעצור במבחן הכולל. H מובהק אומר שיש הבדל, לא בין אילו קבוצות (Field, 2024, Section 7.6.2) – מדווחים את ההשוואות הזוגיות.

לקרוא את Sig. במקום Adj. Sig. שישה מבחנים על אותם נתונים – בלי תיקון, "לפחות טעות אחת מסוג I ביותר מ-5% מהמקרים" (Field; Section 2.10.8). Pallant קוראת את Sig.; מוסכמת האתר – המתוקן.

לפרש "אף זוג לא מובהק" כ"אין אפקט". בדוגמת הסויה המבחן הכולל מובהק, אף זוג לא, ו-r_rb ≈ .5 לשבע ארוחות מול כל השאר (Field, Section 7.6.7) – מדווחים את האפקט.

לדווח ממוצעים. המבחן על דרגות; מדווחים חציונים (Field, Section 7.6.8; Pallant, 2020, Chapter 16).

להשוות את z של העמוד לזה של R או של SPSS בלי לבדוק סימן. אותו ערך מוחלט; הסימן תלוי בסדר הזוג ובתוכנה.

קבוצות של שניים-שלושה נבדקים. הקירוב לחי-בריבוע מצריך חמישה בקבוצה (Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.4).

לברוח לקרוסקל-וליס בכל פעם שמבחן נורמליות מובהק. בקבוצות גדולות משפט הגבול המרכזי מכסה את ניתוח השונות (Field, 2024, סעיף 6.2.7; עמוד בדיקת נורמליות) – והדרגות מאבדות את גודל ההפרשים (קופסה 7.1).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Kruskal ו-Wallis (1952), Jonckheere (1954), Terpstra (1952) ו-Kerby (2014) – כמצוטטים אצל Field (2024). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור; Gravetter ו-Wallnau (2017, Appendix E, pp. 687-697), Cohen (1988, עמ' 79-83 – מוסכמות r), Pallant (2020) ו-APA (2020) – לפי עמוד, פרק וסעיף של המהדורה המודפסת; Field (2024) בעותק דיגיטלי מזורם – לפי סעיף, נוסחה, לוח ופלט (לוח 7.3 שלו, 80 נבדקים, הוא קובץ הבדיקה של העמוד). הסינטקס – מאומת מול PSPP; R הורץ ב-4.3.3 עם rstatix 0.7.2.