מתאמי פירסון וספירמן

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים וסוג המתאם

מדריך

מתי משתמשים?

כשרוצים לבדוק את הקשר בין שני משתנים: האם עלייה בערכו של האחד קשורה לעלייה, או דווקא לירידה, בערכו של האחר. פירסון דורש שני משתנים כמותיים (סולם רווח או סולם מנה); ספירמן מתאים גם כשאחד המשתנים נמדד בסולם סדר – ההבחנה המלאה מיד בהמשך. שניהם מניחים תצפיות עצמאיות: כל שורה בנתונים היא נבדק אחר, ואין קשר בין השורות – אותו נבדק שנמדד פעמיים, או תלמידים מאותה כיתה, מפרים את ההנחה הזאת. מקדם המתאם מדווח שני דברים בבת אחת – כיוון הקשר (חיובי או שלילי) ועוצמתו. חשוב לזכור: מתאם אינו סיבתיות. גם קשר חזק מאוד עדיין לא אומר שמשתנה אחד גורם לשני: ייתכן שמשתנה שלישי, שלא נמדד כלל, יוצר את הקשר בין שניהם; ייתכן שכיוון ההשפעה הפוך ממה שחשבנו; וייתכנו הסברים נוספים. על בחינת חשד למשתנה שלישי ראו מתאם חלקי בהמשך העמוד.

פירסון או ספירמן?

ומה אם אחד המשתנים דיכוטומי? כאשר משתנה אחד הוא דיכוטומי (שני ערכים בלבד, למשל למד/לא למד) והשני כמותי (למשל שכר), משתמשים במתאם נקודתי-דו-סדרתי (Point-biserial): מקודדים את המשתנה הדיכוטומי כ-0 ו-1, והחישוב עצמו זהה לחישוב מתאם פירסון (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 516-517; Field, 2024, Section 8.4.5; Cohen et al., 2003, Section 2.3.3, pp. 29-30) – ולכן בפועל אפשר לחשבו גם במחשבון שבעמוד זה, באמצעות קידוד כזה.

אבל לא ליצור דיכוטומיה מלאכותית. הכיוון ההפוך אינו מומלץ: לא חוצים משתנה רציף לשתי "קבוצות" (למשל חלוקה בחציון – median split) כדי "לפשט" את הניתוח. החצייה מוותרת על מידע: במשתנים המתפלגים נורמלית, המתאם שיתקבל אחרי חצייה בממוצע יהיה רק כ-80% מהמתאם המקורי – הפסד של כחמישית, ששקול לוויתור על כ-38% מהמדגם; וככל שנקודת החיתוך מתרחקת מהממוצע (למשל "גבוה/נמוך" לפי סף כלשהו) ההפסד גדל – בחיתוך בסטיית תקן אחת נותרים רק כשני שלישים מהמתאם (Cohen, 1983). גם העוצמה הסטטיסטית נפגעת: הסיכוי לגלות קשר שקיים באמת יורד – בדוגמה של MacCallum ועמיתיו, עבור ρ = .40 ו-N = 50, העוצמה יורדת מ-.84 ל-.63 אחרי חציית משתנה אחד בממוצע (MacCallum et al., 2002, pp. 26-27). מתאם נקודתי-דו-סדרתי מיועד למשתנה שהוא דיכוטומי מטבעו – לא למשתנה רציף שנחצה.

איך קוראים את התוצאה?

מקדם המתאם r – ובמתאם ספירמן: r_s – נע בין -1 ל-+1, ויש בו שני מרכיבים שכל אחד מהם מספר סיפור אחר. הסימן – חיובי או שלילי – אומר מה כיוון הקשר. הגודל, בלי קשר לסימן (|r|), אומר עד כמה הקשר חזק: ככל שהוא קרוב יותר ל-1 הקשר – הליניארי בפירסון, המונוטוני בספירמן – חזק יותר, וככל שהוא קרוב יותר ל-0 – חלש יותר.

מתאם פירסון מושלם (r = ±1) פירושו שכל הנקודות מונחות בדיוק על קו ישר אחד – עולה או יורד. מתאם ספירמן מושלם (r_s = ±1) דורש פחות מזה: מספיק שכל עלייה במשתנה אחד תלווה תמיד בעלייה (או תמיד בירידה) במשתנה האחר – גם אם הנקודות אינן מונחות על קו ישר.

ומה אומר r = 0? רק שאין קשר ליניארי. מתאם נמוך או אפסי אינו מוכיח שאין שום קשר בין המשתנים: עדיין ייתכן ביניהם קשר חזק שאינו ליניארי – למשל בצורת U – שמקדם פירסון פשוט אינו רואה. לכן כדאי תמיד להציץ גם בתרשים הפיזור שבפלט.

אותו r – תמונות שונות לגמרי. ההדגמה המפורסמת ביותר לחשיבות תרשים הפיזור היא "רביעיית אנסקומב": ארבעה מערכי נתונים שלכולם אותם ממוצעים, אותן סטיות תקן ואותו מתאם – r = .816 – אך בתרשים פיזור הם נראים שונים לגמרי זה מזה: באחד – קשר ליניארי רגיל; בשני – עקומה שאינה ליניארית; בשלישי – קו מושלם שנקודה חריגה אחת "מושכת" ממנו את המקדם; וברביעי – מתאם שכולו נשען על תצפית קיצונית בודדת (Anscombe, 1973). המסקנה: אף פעם לא מסתפקים במקדם לבדו – תמיד מסתכלים גם על הנתונים עצמם. ואת ההצצה הזו אין צורך לדחות עד ל-SPSS: בעמוד גרף פיזור וקו רגרסיה שבאתר אפשר להעלות את אותו קובץ נתונים, לבחור זוג משתנים ולקבל מיד את תרשים הפיזור שלהם – עם קו הרגרסיה, מקדמי המתאם ו-R².

עוצמת הקשר. אין סף אוניברסלי לחלוקת מתאמים לחלשים, בינוניים או חזקים. לצורכי התמצאות נהוג להשתמש במוסכמות של כהן (Cohen, 1988, pp. 79-81): |r| < .10 – זניח; .10-.30 – חלש; .30-.50 – בינוני; .50 ומעלה – חזק. זהו גם הסולם שבו משתמשים משפטי הדיווח האוטומטיים שבעמוד זה. יש מדריכים המציעים חלוקה מעט שונה, וכהן עצמו מדגיש שאלה מוסכמות לשימוש רק כשאין בנמצא אמות מידה מתאימות יותר לתחום. לכן את עוצמת המתאם יש לפרש בהתאם להקשר המחקרי, לאופי המשתנים ולממצאים קודמים בתחום – ולא לפי ספים מוכנים מראש (Cohen, 1988, p. 79; Field, 2024, Section 8.2.2; Pallant, 2020, Chapter 11).

מובהקות אינה עוצמה. מדגם גדול אינו הופך את הקשר עצמו לחזק יותר – הוא רק הופך את המדידה שלו למדויקת יותר. התוצאה: במדגם גדול גם מתאם זעום עשוי לצאת מובהק, ובמדגם קטן קשר אמיתי עלול פשוט להתפספס. לכן מדווחים תמיד גם את r, גם את p וגם את N, ולא מסתפקים באחד מהם בלבד.

רווח הסמך. ה-r שבמדגם הוא אומדן; רווח הסמך של 95% אומר באיזה טווח סביר שנמצא המתאם באוכלוסייה – ובכך הוא משלים את מה שה-p לבדו אינו אומר. לוח הפירוט ומשפטי הדיווח שבעמוד מציגים אותו לכל מתאם פירסון, בחישוב שבטרנספורמציית פישר (הנוסחה והדוגמה – בסעיף הנוסחאות; Field, 2024, סעיף 8.2.4). שני דברים לקרוא בו: האם הוא כולל את האפס (אם כן – הנתונים אינם שוללים היעדר קשר, וזה מקביל ל-p לא מובהק), וכמה הוא רחב – רווח כמו [.02, .53] (למשל r = .30 עם n = 50) מלמד שהמתאם נאמד בחוסר דיוק ניכר, גם אם הוא מובהק. הרווח אינו סימטרי סביב r – וזה תקין. Field (2024, סעיף 8.8) ממליץ לדווח את רווח הסמך לצד המתאם – וכך עושים משפטי הדיווח שבעמוד.

מדוע המתאם נמוך מהצפוי? שני גורמים "טכניים" מכווצים מתאמים באופן שיטתי. טווח מוגבל (restriction of range): כאשר המדגם מכסה רק חלק מטווח הערכים – למשל בדיקת הקשר בין ציון מיון להצלחה בתפקיד רק בקרב מי שהתקבלו – המתאם הנצפה יוצא נמוך מהמתאם באוכלוסייה המלאה; כהן אף מזהיר שטבלאות גודל המדגם שלו אינן תקפות בתנאי טווח מוגבל (Cohen, 1988, p. 100). הנחתה בשל מהימנות (attenuation): כשכלי המדידה אינם מדויקים, נוסף לציונים רעש אקראי – והרעש הזה מנחית (מקטין) את המתאם הנצפה (Cohen, 1988, p. 79). הכלל בקירוב: המתאם שנראה במדגם שווה למתאם האמיתי כפול √(r_xx·r_yy) – שורש מכפלת המהימנויות של שני הכלים. דוגמה: קשר אמיתי של .50 בין שני מדדים שמהימנות כל אחד מהם .70 ייראה במדגם רק כ-.35. לכן, כשמשווים מתאם לממצאים קודמים, כדאי לשים לב גם לטווח המדגם וגם למהימנות הכלים. לדיון שיטתי בגורמים המשפיעים על גודל r – כולל נוסחאות התיקון לשתי התופעות – ראו Cohen et al.‏ (2003, סעיף 2.10).

ריבוי השוואות. כאשר בודקים מתאמים רבים בבת אחת, גדל הסיכוי שלפחות אחד מהם יימצא מובהק במקרה: בחמישה משתנים נערכים כבר עשרה מבחנים. במחקר מאשש רצוי להגדיר את ההשערות מראש, או לשקול תיקון לערכי המובהקות בשל ריבוי ההשוואות (למשל תיקון Holm או FDR).

המתאם אינו אחוזים. מתאם של r = .50 אינו מציין "קשר של 50%". כדי לבטא את שיעור השונות המשותפת לשני המשתנים מעלים את מקדם פירסון בריבוע: במקרה זה r² = .25, כלומר 25% שונות משותפת. פרשנות השונות המשותפת נכונה למתאם פירסון – לא מחילים אותה באופן אוטומטי על ריבוע מקדם ספירמן.

טעויות נפוצות

לדווח את ערך ה-p בלי לדווח את עוצמת המתאם (r) – המובהקות לבדה לא אומרת עד כמה הקשר חזק. לפרש תוצאה "לא מובהקת" כהוכחה ש"אין קשר" – אולי המדגם פשוט קטן מדי מכדי לגלות קשר קיים. להסיק סיבתיות ממתאם. להציג את r כאחוזים. להריץ מתאם פירסון על פריט ליקרט בודד בלי לשקול את ספירמן – לפריט בודד ספירמן מתאים ברוב המקרים יותר, אם כי זו מוסכמה מקובלת ולא כלל מוחלט: Jamieson (2004) בצד המחמיר, Norman (2010) בצד המקל – והוא גם הראה על נתוני ליקרט אמיתיים (64 זוגות מתאמים) שפירסון וספירמן נותנים כמעט אותן תוצאות, גם בהתפלגויות מוטות מאוד (מתאם של .99 בין שני סוגי המקדמים). ולשכוח לדווח את גודל המדגם (N) שעליו מבוסס כל מתאם.

ולסמוך על מחיקה זוגית בלי לחשוב. המחשבון, SPSS ו-R (עם pairwise.complete.obs) מחשבים כל מתאם על הנבדקים שיש להם ערך תקף בשני המשתנים של אותו זוג – וזו הסיבה שבלוח הדוגמה N נע בין 447 ל-483. הנוחות הזאת אינה בחינם. Gelman & Hill (2007, עמ' 531-532) קוראים לשיטה "ניתוח המקרים הזמינים" (available-case analysis) ומצביעים על שתי בעיות. הראשונה: כל מתאם במטריצה מחושב על תת-קבוצה אחרת של הנבדקים, ולכן המתאמים "אינם בהכרח עקביים זה עם זה" – הם מתארים, בפועל, מדגמים שונים במקצת. השנייה, שחלה גם על מחיקה רשימתית: אם מי שלא ענה שונה באופן שיטתי ממי שענה, האומדן מוטה. הדוגמה שלהם מסקר בניו-יורק: 90% מהמשיבים השחורים דיווחו על הכנסתם לעומת 81% מהלבנים, ולכן סיכום ההכנסה מייצג אוכלוסייה אחרת מזו שסיכום ההשכלה מייצג. המסקנה המעשית אינה לוותר על מחיקה זוגית – כשהחסר קטן ואקראי היא סבירה, ולרוב עדיפה על זריקת נבדקים שלמים – אלא שלושה הרגלים: לדווח את טווח ה-N (כפי שהלוח עושה); לבדוק, כשהפער בין הזוגות גדול, מי חסר ובאיזה משתנה; ולזכור שכשהחסר אינו אקראי, הפתרון הוא השלמת נתונים מבוססת-מודל (imputation; שם, סעיפים 25.3-25.6; ראו עמוד טיפול בערכים חסרים), לא בחירה בין שתי שיטות מחיקה.

מתאם חלקי – נטרול משתנה שלישי

לעיתים המתאם בין שני משתנים אינו משקף קשר ישיר ביניהם, אלא "נוצר" בידי משתנה שלישי המתואם עם שניהם – תופעה המכונה מתאם מדומה (spurious correlation). מתאם חלקי (Partial correlation) בודק חשד כזה: הוא מחשב את המתאם בין x ל-y תוך נטרול סטטיסטי של משתנה שלישי z (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 502; Field, 2024, Section 8.5.2; Cohen et al., 2003, Section 3.3.3, p. 74).

דוגמה מוכרת: במדגם של ערים, מספר בתי התפילה בעיר מתואם חזק עם מספר הפשעים החמורים בה – r = .92. ההסבר אינו שבתי התפילה מולידים פשע: שני המשתנים מתואמים עם משתנה שלישי – גודל האוכלוסייה (r = .96 עם מספר בתי התפילה ו-r = .96 עם מספר הפשעים). בעיר גדולה יש הרבה משניהם, בעיירה קטנה – מעט משניהם. לאחר נטרול גודל האוכלוסייה המתאם החלקי צונח לאפס – מתאם מדומה קלאסי (Gravetter & Wallnau, 2017, עמ' 497, 503; הנתונים בדוגמה זו מומצאים לצורכי המחשה, כמצוין בספר). שימו לב שכאן r_xy ≈ r_xz·r_yz – וזה בדיוק התנאי הפורמלי לקשר מדומה: x קשור ל-y אך ורק דרך z (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4, p. 78). אבל הנטרול לא תמיד "מפרק" את הקשר: בדוגמה של Pallant (2020, פרק 12) המתאם בין תחושת שליטה ללחץ נתפס הוא r = −.58, ואחרי נטרול רצייה חברתית הוא נשאר כמעט זהה (מתאם חלקי r = −.55). כשהמתאם החלקי קרוב למתאם המקורי, זו דווקא ראיה שהקשר עומד בזכות עצמו ואינו תוצר של המשתנה השלישי שנבדק. את המתאם החלקי מחשבים משלושת המתאמים הזוגיים:

ובדוגמת בתי התפילה והפשע (במספרים המדויקים שבספר):

קרוב משפחה: המתאם החצי-חלקי. במתאם החלקי המשתנה השלישי מנוטרל משני המשתנים. במתאם חצי-חלקי (semi-partial; ב-SPSS הוא מכונה Part) מנטרלים את z מאחד המשתנים בלבד. ההבדל בפרשנות: ריבוע המתאם החצי-חלקי נותן את התרומה הייחודית של x להסבר y, כשיעור מתוך כלל השונות של y. בריבוע המתאם החלקי, לעומת זאת, השיעור מחושב רק מתוך השונות שנותרה לאחר נטרול z (Field, 2024, Section 8.5). המדד חשוב בעיקר ברגרסיה מרובה, שבה הוא מבטא את תרומתו הייחודית של כל מנבא. הנוסחה זהה לזו של המתאם החלקי – רק שבמכנה נותר שורש אחד בלבד:

אפשר גם לנטרל שני משתנים בו-זמנית – מתאם חלקי מסדר שני (Field, 2024, Section 8.5.3). שימו לב: מתאם חלקי נמוך אינו "מבטל" את הקשר הנצפה – הוא מלמד שחלק ניכר ממנו מוסבר על ידי המשתנה השלישי; ובחירת המשתנה לנטרול היא שיקול תאורטי, לא סטטיסטי. לפיתוח המלא של המתאם החלקי והחצי-חלקי בהקשר רב-משתני ראו Cohen et al.‏ (2003, סעיפים 3.3.2-3.3.3, עמ' 72-75).

שלושה תפקידים שונים למשתנה שלישי. המתאם החלקי מטפל במשתנה שלישי בתפקיד אחד – מבלבל (confounder), שיוצר קשר מדומה כמו גודל האוכלוסייה בדוגמת בתי התפילה והפשע (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4). אך משתנה שלישי יכול לשחק גם ממתן (moderator): עוצמת הקשר בין x ל-y או כיוונו משתנים בהתאם לערכי z – הצצה ראשונה לכך נותנת השוואת המתאם בין קבוצות (ראו "השוואה בין שני מתאמים" בסעיף הנוסחאות), והבדיקה המלאה נעשית באינטראקציה ברגרסיה (הפיתוח הקלאסי: Cohen et al.‏, 2003, פרק 7); או מתווך (mediator): z הוא המנגנון שדרכו x קשור ל-y (x → z → y), ואז מפרקים בניתוח תיווך את הקשר הכולל לאפקט ישיר ועקיף (הפיתוח: Cohen et al.‏, 2003, פרק 12; Field, 2024, סעיפים 11.3-11.4). חשוב לדעת: המתאם החלקי אינו יכול להבחין בין מבלבל למתווך – החישוב זהה בשני המקרים, וההבחנה ביניהם היא עניין של תאוריה ושל תכנון מחקר. מיתון ותיווך שייכים לעולם הרגרסיה – ראו עמוד מיתון ותיווך (אינטראקציה, שיפועים פשוטים, השפעה עקיפה עם bootstrap), עמוד רגרסיה ליניארית מרובה, ולתיווך במודל נתיבים – עמוד ניתוח נתיבים ותיווך, שמפרק את הקשר להשפעה ישירה ועקיפה עם רווחי סמך.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

המחשבון שבעמוד זה מקביל להגדרות הנפוצות של הליך ה-Bivariate Correlations ב-SPSS. למדריכים מפורטים ראו Pallant (2020, פרקים 11-12) ו-Field (2024, פרק 8).

הערת גרסאות. צילומי המסך שבסעיף זה הופקו ב-SPSS גרסה 21. ההליכים עצמם יציבים לאורך הגרסאות, אך מיקומם של פריטים בתפריט ושמות של אפשרויות עשויים להשתנות מעט – ואם המסך אצלכם נראה קצת אחר, זו כנראה הסיבה. דוגמה מוחשית מופיעה בהמשך העמוד: לחצן Confidence Interval נוסף לחלון ה-Bivariate Correlations רק בגרסה 27, ובגרסאות מוקדמות יותר לא תמצאו אותו שם. Field (2024) נכתב לפי גרסה 29, והוא עצמו מרגיע בעניין: בין מהדורה למהדורה יוצאות גרסאות חדשות, וההליכים שהספר מתאר כמעט אינם מושפעים מכך.

בתפריט בוחרים Analyze › Correlate › Bivariate…:

בתיבת הדו-שיח שנפתחת (Bivariate Correlations) מופיעה בצד אחד רשימת המשתנים שבקובץ, ולתיבת Variables מעבירים את המשתנים שאת הקשר ביניהם רוצים לבדוק (שניים או יותר). תחת Correlation Coefficients, מקדם פירסון (Pearson) מסומן בסימן וי כברירת מחדל – לחיצה נוספת מבטלת אותו – ואילו את מקדם ספירמן (Spearman), שאינו מסומן כברירת מחדל, מסמנים באותה תיבה עצמה; אפשר גם לסמן את שניהם יחד, כמו האפשרות "שניהם" שבעמוד זה. (Kendall's tau-b הוא מקדם דרגות נוסף המופיע שם, שהעמוד אינו מחשב.)

ברירות המחדל של SPSS זהות לאלה של העמוד – מובהקות דו-זנבית (Two-tailed), סימון מתאמים מובהקים בכוכביות (Flag significant correlations) ומחיקה זוגית של ערכים חסרים (Options › Exclude cases pairwise) – ולכן ברוב המקרים התוצאות אמורות להיות זהות עד כדי הבדלי עיגול. (העמוד מחשב תמיד מובהקות דו-זנבית, ואינו כולל אפשרויות נוספות של ההליך כגון מבחן חד-זנבי.) הבדל סימון קטן אחד: SPSS מסמן רק p < .05 ו-p < .01, ואילו כאן מסומן גם *** עבור p < .001, כמקובל בטבלאות APA (American Psychological Association [APA], 2020, Section 7.14).

לחיצה על Paste בתיבת הדו-שיח שומרת את הפעולה כסינטקס – שימושי לתיעוד הניתוח ולשחזורו:

CORRELATIONS
  /VARIABLES=מנהיגות יעילות מוכנות שייכות אמון
  /PRINT=TWOTAIL NOSIG
  /MISSING=PAIRWISE.

ורווח הסמך? הסינטקס שלמעלה אינו מדפיס אותו. ב-SPSS 27 ומעלה לוחצים בחלון ה-Bivariate Correlations על Confidence interval… ומסמנים Estimate confidence interval of bivariate correlation parameter – ולפלט נוספת טבלה שנייה עם הגבולות התחתון והעליון של כל מתאם (Field, 2024, Sections 8.4.1-8.4.2). לפירסון החישוב הוא טרנספורמציית פישר – אותו רווח שמציג לוח הפירוט בעמוד זה. בגרסאות מוקדמות יותר הלחצן אינו קיים, ואת הרווח מחשבים בנוסחה שבסעיף הנוסחאות – או כאן בעמוד.

ועוד לפני המקדמים – מבט על כל הזוגות בבת אחת. את עצת תרשים הפיזור אפשר ליישם על כל צמדי המשתנים במכה אחת, באמצעות מטריצת תרשימי פיזור: בתפריט Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot… › Matrix Scatter › Define, מעבירים את המשתנים לרשימת Matrix Variables ומאשרים. את אותה מטריצה אפשר לבנות גם ב-Chart Builder המודרני, שבו יוצרים גם תרשים פיזור בודד עם קו התאמה או תרשים פיזור מקובץ לפי קבוצות (Field, 2024, Section 5.8). גם כאן Paste שומר את הסינטקס:

לתרשים פיזור בודד, מפורט יותר – עם קו רגרסיה, R² ומשפטי דיווח מוכנים – ראו את עמוד גרף הפיזור, ובו גם מדריך SPSS מלא ומצולם להליך.

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

שלוש נקודות בקריאת המטריצה. ראשית, כל המשבצות מציגות ענן עולה – בהלימה לעשרת המתאמים החיוביים והחזקים שבטבלת הפלט, ובלי סימנים לקשר עקום או לחריגים משפיעים; זו בדיוק הבדיקה שרביעיית אנסקומב מלמדת (ראו לעיל). שנית, הנקודות נערמות על "רשת" מסודרת – זה צפוי כאשר המשתנים הם ממוצעים של פריטי סולם בדידים, ואינו בעיה. ושלישית, שימו לב שפקודת GRAPH משתמשת כברירת מחדל במחיקה רשימתית (/MISSING=LISTWISE) – בניגוד למחיקה הזוגית של טבלת המתאמים – ולכן מספר הנקודות בכל משבצת עשוי להיות קטן מעט מה-N של אותו זוג בטבלה.

ובדיקת הנורמליות בפועל? כזכור, הנורמליות נוגעת בעיקר לתוקף מבחן המובהקות, ובייחוד במדגמים קטנים. את הבדיקה עושים גרפית: בתפריט Analyze › Descriptive Statistics › Explore מסמנים Normality plots with tests ומקבלים תרשים Q-Q – אם הנקודות צמודות לקו האלכסון, ההתפלגות קרובה לנורמלית – לצד מדדי הא-סימטריה (skewness) והגבנוניות (kurtosis) שבאותו פלט (Field, 2024, Sections 6.9.4-6.9.5). וכשנותר ספק – רווח סמך ב-bootstrap (ראו בסעיף הנוסחאות) מפחית מאוד את התלות בהנחת הנורמליות; גם הוא, כמובן, נשען על תצפיות עצמאיות ועל מדגם שמייצג את האוכלוסייה.

קריאת הפלט

כך נראית טבלת הפלט של SPSS (Correlations) עבור חמשת משתני החוסן – מנהיגות, יעילות, מוכנות, שייכות ואמון. טבלת הפלט היא מטריצה סימטרית: המשתנים משמשים ככותרות גם בשורות וגם בעמודות, וכל זוג מקבל שני תאים זהים – אחד מעל האלכסון ואחד מתחתיו. בכל תא שלוש שורות:

השורה הראשונה בכל תא – מקדם המתאם (Pearson Correlation). בשורה המסומנת בחץ, למשל, המתאם בין מוכנות למנהיגות הוא .722 – מתאם חיובי: רמות גבוהות של מוכנות נוטות ללכת יחד עם רמות גבוהות של מנהיגות, ועל פי מוסכמות כהן זהו מתאם חזק. אילו היה הסימן שלילי, המשמעות הייתה הפוכה – ככל שערכו של האחד עולה, ערכו של האחר יורד. על האלכסון יופיע תמיד 1: כל משתנה מתואם בצורה מושלמת עם עצמו. זה לא ממצא – פשוט מדלגים על האלכסון.

השורה השנייה – המובהקות (Sig. (2-tailed)). SPSS מציג את ערך ה-p בשלוש ספרות אחרי הנקודה, ולכן .000 אין פירושו אפס אלא p < .001 – וכך גם מדווחים (לעולם לא p = 0; APA, 2020, סעיף 6.36). הכוכביות שליד המקדמים, המוסברות בהערת השוליים שמתחת לטבלה, מסמנות מתאם מובהק; בטבלה זו כל המתאמים מובהקים.

השורה השלישית – גודל המדגם (N). מספר הנבדקים שעל נתוניהם חושב אותו מתאם. שימו לב ש-N משתנה מזוג לזוג (למשל 455 בזוג מנהיגות-יעילות לעומת 447 בזוג מנהיגות-מוכנות): זוהי המחיקה הזוגית – כל מתאם מחושב על הנבדקים שיש להם ערך תקין בשני המשתנים של אותו זוג, בהתאם ל-/MISSING=PAIRWISE שבסינטקס.

מה חשוב לדעת על המחיקה הזוגית. היתרון – כל מתאם מנצל את מרב הנתונים הקיימים. המחיר – כל מתאם מחושב על תת-מדגם שונה במקצת, ולכן ההשוואה בין מקדמים במטריצה אינה מבוססת בדיוק על אותם נבדקים; כשהחוסרים מרובים, מטריצה כזו אף עלולה לצאת בלתי עקבית עבור ניתוחי המשך הנשענים עליה (כגון רגרסיה מרובה או SEM). לכן מדווחים N לכל מתאם (כמו בהערת הלוח שמציג עמוד זה), וכשיש נתונים חסרים רבים שוקלים מחיקה רשימתית (Options › Exclude cases listwise בחלון ה-Bivariate) או טיפול ייעודי בנתונים חסרים.

שני דברים קובעים את הקריאה: גודל המקדם, שממנו נקראת העוצמה, וסימנו, שממנו נקרא הכיוון. בטבלה זו כל עשרת המתאמים חיוביים, חזקים (.622-.738) ומובהקים. טבלת הפלט של מתאם ספירמן בנויה במבנה זהה בדיוק. העמוד הזה מציג את אותו מידע בפורמט APA חסכוני יותר: מטריצת משולש תחתון שבה הכוכביות מסמנות את המובהקות, ו-N מדווח בהערת הלוח.

דיווח התוצאות

ההכרעה בין טקסט ללוח היא עניין של כמות: זוג אחד מסתכם במשפט; עשרה זוגות, כמו כאן, כבר אינם נקראים ברצף – ולכן משלבים שני מישורים: לוח תמציתי שמרכז את כל המתאמים, וטקסט שמדגיש את התמונה העולה מן הלוח – בלי לחזור על כל מספר שכבר מופיע בו. כך ייראה הדיווח עבור הפלט שקראנו זה עתה.

הלוח. את מטריצת SPSS לא מעתיקים לעבודה כמות שהיא: היא מציגה כל מתאם פעמיים, ובדיווח מחקרי אין צורך לדווח על אף מתאם יותר מפעם אחת. לוח מתאמים רצוי שיהיה תמציתי ויכיל את המידע ההכרחי בלבד: משולש תחתון, ערכים בלי אפס מוביל ובשתי ספרות אחרי הנקודה – כך דורש פורמט ה-APA (APA, 2020, Section 6.36) – ובלי ערכי p מדויקים – את המובהקות מסמנים בכוכביות, שהמקרא שלהן נרשם מתחת ללוח (סעיף 7.14). זהו בדיוק מבנה לוח המתאמים לדוגמה שבמדריך: המשתנים ממוספרים בעמודת הכותרות, בכותרות העמודות מופיעים המספרים בלבד, והאלכסון – שבו המתאם של משתנה עם עצמו הוא 1 – מסומן בקו מפריד ארוך (em dash), ולא במספר (סעיף 7.21, לוח 7.10). גם את גודל המדגם אין צורך לרשום בכל תא: כאשר אותו N חוזר על עצמו מדווחים אותו פעם אחת, מתחת ללוח או מתחת לכותרתו, וכאשר הוא משתנה מזוג לזוג – כמו כאן, בגלל המחיקה הזוגית – מדווחים את הטווח. (מטריצת המתאמים שהעמוד מציג בפלט נשארת דווקא בשלוש ספרות, כמו ב-SPSS וב-R, כדי להקל על בדיקה והצלבה מולן; בלוח שמגישים בעבודה מעגלים לשתיים – כפתור "העתקת לוח להגשה" שמתחת למטריצה עושה זאת אוטומטית.) שימו לב: המתאמים שסומנו בפלט ** (מובהק ברמת .01) הם בפועל p < .001 – ולכן בלוח הם מסומנים ***.

הטקסט. דיווח מילולי על מתאם כולל שלושה רכיבים: המתאם עצמו, מובהקותו וגודל המדגם. הכלל שמאחוריהם: הטקסט צריך לכלול די מידע כדי שהקורא יבין את הניתוח שנעשה ויוכל לאמת אותו, ובכלל זה גדלי אפקט ורווחי סמך כשיש כאלה (APA, 2020, Section 6.43). מנסחים אותו כך שהממצא נקרא במילים והסטטיסטיקה מובאת בסוגריים, למשל: נמצא כי ככל שהיעילות גבוהה יותר, כך גם האמון גבוה יותר (r = .74, 95% CI [.69, .78], p < .001, n = 479). רווח הסמך נכנס לסוגריים אחרי r – כך מדווח גם Field (2024, סעיף 8.8), וכך מנסחים משפטי הדיווח שבעמוד. את גודל המדגם אפשר לדווח כ-n, או כדרגות חופש בסוגריים שאחרי ה-r – r(477) = .74, כאשר df = N − 2 – וכש-N אחיד לכל המתאמים, מדווחים אותו פעם אחת בראש פרק הממצאים וחוסכים את החזרה. בגוף הטקסט מפנים ללוח, מתארים את הדפוס הכללי ומבליטים ממצאים בולטים, למשל המתאם החזק ביותר והחלש ביותר:

את הלוח ואת משפטי הדיווח בפורמט הזה מפיק המחשבון שבעמוד הזה אוטומטית מקובץ הנתונים, ואפשר להוריד את הפלט המלא כקובץ Word.

והתרשים. כשגרף הפיזור עצמו נכנס לפרק הממצאים – ולא רק משמש לבדיקת ההנחות לפני החישוב – הוא איור, ולאיור יש מבנה משלו: מספר, כותרת באות נטויה, שמות המשתנים על שני הצירים, והערה מתחתיו. את ההערה קל לשכוח, אבל היא הרכיב שהופך את האיור לעומד בפני עצמו, ו-APA (2020, סעיף 7.28) מפרטת מה עליה לומר: להסביר יחידות מדידה, סמלים וקיצורים שאינם מוסברים במקרא, ולהסביר כל הצללה, צבע או אלמנט עיצובי אחר שנושא משמעות. בגרף פיזור זה מתורגם לשני משפטים קצרים – מה מייצגת כל נקודה (נבדק אחד, לפי ערכיו בשני המשתנים) ומהו הקו (קו הרגרסיה הליניארית). ואם מוצגים בגרף סימני שגיאה או רצועת ביטחון, יש לומר במפורש אם הם מייצגים סטיות תקן, שגיאות תקן, גבולות סמך או טווחים – והמדריך מוסיף שכדאי לציין לצדם גם את גודל המדגם (שם). הערת האיור נכתבת בפורמט של הערת לוח, ובאותו סדר – כללית, ספציפית, הסתברות – וכוכביות המובהקות, אם יש, מוסברות בהערת הסתברות בדיוק כמו מתחת ללוח (סעיף 7.14).

בפלט של העמוד הזה כל תרשים פיזור מגיע עם הערת איור כזאת, שנבנית אוטומטית: מה מייצגת כל נקודה ובאיזה ציר כל משתנה, מהו הקו (וכשנבחר ספירמן בלבד אין קו – והמשפט נשמט), וגודל המדגם עם שיטת הטיפול בחסרים. את התרשים עצמו מעתיקים מהמסך (הוא אינו נכלל בקובץ ה-Word), ואת ההערה – מלוח הפלט.

ואיך עושים זאת ב-R?

R היא סביבת עבודה חינמית בקוד פתוח לסטטיסטיקה, ואותו ניתוח בדיוק מתבצע בה בכמה שורות: cor() נותנת את מטריצת המתאמים, crossprod(!is.na()) את N של כל זוג, ו-cor.test() – לזוג בודד – את t, p ורווח הסמך (בטרנספורמציית פישר, כמו העמוד). הסקריפט שלהלן הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה של העמוד (DATA_correlations_example_heb.xlsx, שלושת המשתנים שנבחרים בו כברירת מחדל), והתוצאות – זהות ללוחות 1-2 ולמשפטי הדיווח – רשומות בהערות. כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, שמות קצרים באנגלית לחישוב, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים (ב-Windows: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") או R 4.2 ומעלה). החליפו את הנתיב ואת שמות המשתנים בשלכם; ב-R כותבים בנתיב לוכסן רגיל (/).

# מתאמי פירסון וספירמן – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_correlations_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("גיל", "עמדות1", "עמדות_ציון")]              # המשתנים שנבחרו בעמוד (ברירת המחדל של קובץ הדוגמה)
names(d) <- c("age", "att1", "att")                    # שמות קצרים באנגלית

# לוח 1 – מטריצת פירסון במחיקה זוגית, שלוש ספרות כמו SPSS וכמו הלוח בעמוד
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs"), 3)   # גיל-עמדות1 .116, גיל-עמדות_ציון .209, עמדות1-עמדות_ציון .684

# מספר הנבדקים בכל זוג (N של המחיקה הזוגית – הערת הלוח)
crossprod(!is.na(d))                                  # 114, 116, 118 (ובאלכסון: 116, 118, 120 תצפיות תקפות לכל משתנה)

# לוח 2 – זוג בודד: r, df, t, p ורווח סמך 95% בטרנספורמציית פישר (כמו העמוד)
cor.test(d$age, d$att)                                # r = .209, t(114) = 2.278, p = .0246, רווח סמך [.027, .377] – כמו לוח 2 ומשפט הדיווח

# מתאם ספירמן – אותה מטריצה על הדרגות; ל-p של זוג בודד: cor.test(..., method = "spearman", exact = FALSE)
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs", method = "spearman"), 3)   # .095, .226, .669
cor.test(d$age, d$att, method = "spearman", exact = FALSE)   # rho = .226, p = .0145 (קירוב t, כמו SPSS וכמו העמוד)

שתי נקודות חשובות בקוד: הארגומנט use = "pairwise.complete.obs" הוא המחיקה הזוגית – בלעדיו, בנוכחות ערכים חסרים R יחזיר NA, ועם מחיקה רשימתית התוצאות לא יתאימו ל-SPSS; ו-cor.test מחשבת לזוג בודד על התצפיות המלאות של אותו זוג בלבד (ולכן df = 114 בדוגמה – 116 נבדקים עם ערך בשני המשתנים). p-value < 2.2e-16 הוא הסימון של R לערך קטן מכל מה שהוא מציג – ובדיווח כותבים p < .001. בספירמן, כשיש דירוגים שווים, cor.test בלי exact = FALSE יזהיר "Cannot compute exact p-value with ties" – זה תקין: הוא עובר לקירוב, אותו קירוב שגם SPSS וגם עמוד זה משתמשים בו. (אופציונלי: חבילת Hmisc עם rcorr() מדפיסה r, n ו-p לכל הזוגות בפלט אחד בסגנון SPSS.)

שלושת הכלים – SPSS, R והמחשבון שבעמוד זה – מחשבים את אותם מקדמים כשהם מוגדרים באותו אופן – מחיקה זוגית ומובהקות דו-זנבית: ב-SPSS ובמחשבון אלו ברירות המחדל, וב-R הדבר מצוין מפורשות בקוד שלמעלה. לכן על אותו קובץ נתונים הם מחזירים את אותן תוצאות. הצלבה כזו בין שני כלים היא דרך מצוינת לוודא שהניתוח נעשה נכון.

הנוסחאות מאחורי המקדמים

לפיתוח מפורט של הנוסחאות שבסעיף זה ראו Gravetter & Wallnau (2017, פרק 15).

מקדם פירסון – מציוני תקן. הדרך השקופה ביותר להבין את פירסון היא דרך ציוני תקן: ממירים כל ערך לציון תקן – כמה סטיות תקן הוא מעל או מתחת לממוצע של המשתנה שלו, z_x = (x − x) / s_x – ואז מסכמים את המכפלות של זוגות ציוני התקן ומחלקים ב-n − 1:

(מדוע n − 1? כי זו החלוקה שבתוך סטיית התקן המדגמית s שממנה נבנו ציוני התקן. בספרים שמגדירים ציוני תקן עם סטיית תקן של אוכלוסייה מחלקים גם כאן ב-n – ובלבד שהמוסכמה אחידה במונה ובמכנה, r יוצא זהה.)

ההיגיון: כאשר תצפית גבוהה מהממוצע בשני המשתנים, שני ציוני התקן חיוביים והמכפלה חיובית; כאשר היא גבוהה באחד ונמוכה באחר, המכפלה שלילית. אם רוב המכפלות חיוביות – r יוצא חיובי; אם רובן שליליות – שלילי; וכשאין דפוס עקבי, המכפלות החיוביות והשליליות מקזזות זו את זו ו-r מתקרב ל-0.

שונות משותפת (Covariance). אפשר להגיע לאותו רעיון גם מהערכים הגולמיים: לכל תצפית כופלים את הסטייה מהממוצע של x בסטייה מהממוצע של y, מסכמים את המכפלות ומחלקים ב-n − 1 – אותה מוסכמה של סטיית התקן המדגמית:

ה-covariance מודדת עד כמה שני המשתנים "זזים יחד", אבל בערכים גולמיים – ולכן גודלה תלוי ביחידות המדידה (מדידת גובה בס"מ במקום במטרים תנפח אותה פי 100). כדי לקבל מדד חופשי מיחידות מחלקים בסטיות התקן של שני המשתנים – והתוצאה היא בדיוק מקדם פירסון:

החלוקה הזו מתקננת את השונות המשותפת אל טווח קבוע, ‎-1 עד ‎+1. שימו לב להבחנה בין שני מונחים קרובים שפגשנו בעמוד: ה-covariance היא ההשתנות המשותפת ביחידות הגולמיות, ואילו r² מבטא את שיעור השונות המשותפת – מדד מתוקנן וחסר יחידות. (הערה טכנית: יש ספרים שמחלקים ב-n ויש ב-n − 1; ה-r יוצא זהה, כי אותו גורם מופיע במונה ובמכנה ומצטמצם.)

שלוש תכונות שכדאי להכיר. ראשית, r אינו מושפע מטרנספורמציה ליניארית של המשתנים – הוספת קבוע או כפל בקבוע חיובי (מעבר מס"מ למטרים, מנקודות לאחוזים) אינם משנים אותו כלל; כפל בקבוע שלילי הופך רק את הסימן, והעוצמה |r| נשמרת. שנית, את r עצמו לא מפרשים כסולם יחס: r = .40 אינו קשר "חזק פי שניים" מ-r = .20; כדי להשוות כמויות של שונות משותפת משווים את הריבועים (.16 לעומת .04). ושלישית, פירסון מביא בחשבון את הערכים הממשיים של התצפיות – בניגוד לספירמן, שרואה רק את מיקומן בדירוג.

מקדם ספירמן – מהדרגות. ספירמן מחושב על הדירוגים בלבד. כאשר אין דירוגים שווים, אפשר להשתמש בנוסחה המקוצרת המוכרת:

כאשר d_i הוא הפרש הדרגות של תצפית i בין שני המשתנים, ו-n מספר התצפיות. אם שני הדירוגים זהים לחלוטין, כל ההפרשים הם 0 ומתקבל r_s = +1; אם הדירוג באחד המשתנים הפוך בדיוק לדירוג באחר, מתקבל r_s = -1. לערכים הגולמיים אין שום משקל – רק למיקום בדירוג.

דוגמה קטנה: חמישה מועמדים דורגו בריאיון על ידי שני מראיינים, ורוצים לדעת עד כמה הדירוגים מסכימים זה עם זה:

כלומר הסכמה גבוהה בין שני המראיינים. הערה חשובה לשימוש בפועל: כאשר יש דירוגים שווים (ties) נותנים לתצפיות השוות את ממוצע הדרגות שלהן, ואז הנוסחה המקוצרת כבר אינה מדויקת. הדרך הכללית – שנכונה תמיד – היא לחשב את מקדם פירסון על הדרגות. כך בדיוק מחושב ספירמן גם בעמוד זה וגם ב-SPSS, ולכן כשאין דירוגים שווים שתי הדרכים מחזירות בדיוק אותו ערך.

מבחן המובהקות של המתאם. מתאם שנמצא במדגם עדיין טעון בדיקה: האם יש די ראיות לכך שהוא קיים גם באוכלוסייה? השערת האפס היא שאין מתאם באוכלוסייה (ρ = 0). מ-r ומגודל המדגם n מחשבים ערך t:

ערך זה מתפלג t עם df = n − 2 דרגות חופש – אלה דרגות החופש שפגשנו בפורמט הדיווח r(df). אם ערך ה-p המתקבל קטן מרמת המובהקות (בדרך כלל 5%), דוחים את השערת האפס ומסיקים שקיים מתאם באוכלוסייה. הנוסחה מנוסחת עבור פירסון; ערך ה-p של ספירמן מחושב – בעמוד זה וגם ב-SPSS – באותו קירוב t עצמו, ומכאן ההסתייגות שהוזכרה למעלה לגבי מדגמים קטנים. את ההשערה אפשר לנסח כלא-מכוונת (דו-זנבית) או כמכוונת (חד-זנבית), בהתאם להשערת המחקר. ההבחנה יכולה להכריע: בדוגמה של Gravetter & Wallnau (2017, עמ' 507-509), מתאם של r = .35 במדגם של 30 נבדקים נותן t(28) = 1.97 – ערך שאינו חוצה את הסף הדו-זנבי (2.048) אך חוצה את הסף החד-זנבי (1.701). אותו מתאם עצמו מובהק בבדיקה מכוונת ואינו מובהק בבדיקה לא-מכוונת; לכן את כיוון ההשערה קובעים מראש, לפי התאוריה, ולא אחרי שרואים את התוצאה. הנוסחה, ההסבר לדרגות החופש ומבחן ה-t מפותחים גם אצל Field (2024, סעיף 8.2.3).

רווח סמך למתאם פירסון. ה-r שנמצא במדגם הוא אומדן נקודתי, ולצדו מומלץ לדווח גם רווח סמך. מכיוון שהתפלגות הדגימה של r אינה סימטרית, הרווח מחושב דרך טרנספורמציית פישר (Fisher z): ממירים את r לערך z′,

שטעות התקן שלו היא 1/√(n − 3). בונים רווח סמך של 95% סביב z′ (±1.96 טעויות תקן) וממירים את גבולותיו חזרה לסולם r. הרווח המתקבל אינו סימטרי סביב r – וזה תקין. דוגמה: r = .30 עם n = 50 נותן רווח סמך של .02 עד .53 – תזכורת מוחשית לכך שבמדגמים קטנים גם "מתאם בינוני" נאמד בחוסר דיוק רב. כך בדיוק מחושב רווח הסמך שבלוח הפירוט ובמשפטי הדיווח של העמוד (Field, 2024, סעיף 8.2.4, משוואות 8.12-8.14; בדוגמה שלו – r = .87 עם n = 5 – הרווח הוא [−.05, .99]: במדגם זעיר הרווח כמעט חסר תועלת). ב-SPSS 27 ומעלה אפשר לבקש את אותם רווחים ישירות בחלון ה-Bivariate Correlations (לחצן Confidence interval; ראו לעיל).

רווח סמך ב-bootstrap. כשיש חשש מהפרת הנחת הנורמליות, אפשר לבנות רווח סמך גם ב-bootstrap – דגימה חוזרת מהמדגם עצמו, ללא הנחות על צורת ההתפלגות (אך בהנחת תצפיות עצמאיות ומדגם שמייצג את האוכלוסייה); זו גם הדרך המקובלת לרווח סמך למתאם ספירמן. ב-SPSS: לחצן Bootstrap בחלון ה-Bivariate, ומקובל לדווח את הגרסה מתוקנת ההטיה (BCa) של רווח הסמך. תוצאות ה-bootstrap משתנות מעט מהרצה להרצה, כי השיטה מבוססת על דגימה אקראית – זו תכונה, לא תקלה (Field, 2024, Sections 8.4, 6.10.8).

השוואה בין שני מתאמים. טרנספורמציית פישר משמשת גם כאן. כשהמתאמים באים משתי קבוצות בלתי תלויות (למשל: האם הקשר בין חרדת בחינות לציון שונה בין גברים לנשים?), ממירים כל מתאם ל-z′ ובודקים את ההפרש:

את ה-z המתקבל משווים להתפלגות הנורמלית: ערך מוחלט מעל 1.96 פירושו הבדל מובהק ברמת 5% (דו-זנבי). כשהמתאמים באים מאותו מדגם (למשל: האם x קשור ל-y חזק יותר משקשור אליו z?) ההשוואה נעשית במבחן t עם df = N − 3, המשתמש בשלושת המתאמים הזוגיים; ב-SPSS אין לכך תפריט מובנה (Field, 2024, Section 8.6). ולתשומת לב: זה שמתאם אחד יצא מובהק והשני לא – אינו ראיה לכך שהם שונים זה מזה; את ההבדל עצמו יש לבדוק ישירות.

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Cohen, J. (1983). The cost of dichotomization. Applied Psychological Measurement, 7(3), 249-253. https://doi.org/10.1177/014662168300700301

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Jamieson, S. (2004). Likert scales: How to (ab)use them. Medical Education, 38(12), 1217-1218. https://doi.org/10.1111/j.1365-2929.2004.02012.x

MacCallum, R. C., Zhang, S., Preacher, K. J., & Rucker, D. D. (2002). On the practice of dichotomization of quantitative variables. Psychological Methods, 7(1), 19-40. https://doi.org/10.1037/1082-989X.7.1.19

Norman, G. (2010). Likert scales, levels of measurement and the "laws" of statistics. Advances in Health Sciences Education, 15(5), 625-632. https://doi.org/10.1007/s10459-010-9222-y

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. Field (2024) ו-Pallant (2020) בעותק דיגיטלי מזורם – ציטוט לפי סעיף ופרק; Gravetter ו-Wallnau (2017), Cohen (1988), Cohen ואחרים (2003), Gelman ו-Hill (2007) ו-APA (2020) – לפי עמוד וסעיף של המהדורה המודפסת; המאמרים (Anscombe, 1973; Cohen, 1983; MacCallum et al., 2002; Jamieson, 2004; Norman, 2010) – לפי הטקסט המקורי. החישוב בעמוד מאומת מול scipy ו-R.