מבחן t למדגם יחיד

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים וערך הבדיקה

מדריך

מתי משתמשים?

כשיש מדגם אחד, ממוצע אחד, ושאלה אחת: האם הממוצע הזה שונה מערך מסוים. Gravetter ו-Wallnau (2017, פרק 9) מציגים שני מצבים. הראשון – אוכלוסייה ידועה לפני טיפול: ממוצע האוכלוסייה לפני הטיפול ידוע (למשל 30), מדגם קיבל טיפול, והשאלה היא אם הממוצע אחרי הטיפול עדיין 30 (עמ' 274-275, איור 9.3). השני, והשכיח יותר במדעי החברה – ערך שנגזר מהיגיון, בלי שום ידע קודם על האוכלוסייה: שאלות דירוג על סולם 1-7, שבו 4 הוא "ניטרלי", ושאלת המחקר היא אם לנשאלים יש בכלל עמדה – H₀: μ = 4 (עמ' 275-276; מחקר ההומור של McGee ו-Shevlin, 2009, שבפתיחת הפרק: תיאור עם חוש הומור קיבל M = 4.53, גבוה מובהק מ-4); או תינוקות שהביטו בשני פרצופים במשך 20 שניות – אם אין העדפה, הממוצע לפרצוף היפה הוא 10 שניות, H₀: μ = 10 (דוגמה 9.2). "כל מה שצריך כדי לחשב t הוא השערת אפס ומדגם מהאוכלוסייה הלא-ידועה" (עמ' 275).

המבחן הזה הוא היסוד של משפחת ה-t: שני המבחנים האחרים באתר – למדגמים בלתי-תלויים (שתי קבוצות נפרדות) ולמדגמים מזווגים (אותם נבדקים פעמיים) – משווים שני ממוצעים זה לזה; כאן משווים ממוצע אחד לקבוע. ציון סולם רב-פריטי (עמוד אלפא של קרונבך וציון סולם) מטופל כמשתנה רווח לפי מוסכמת האתר (משתנים וסולמות מדידה), ולכן אפשר לבדוק אותו מול אמצע הסולם; פריט ליקרט יחיד – לא (שכיחויות וחציון, בעמוד השכיחויות).

ההיגיון: ההפרש חלקי טעות התקן

הרעיון של Gravetter ו-Wallnau (2017, סעיף 9.1): ממוצע מדגם מקרב את ממוצע האוכלוסייה, וטעות התקן אומרת כמה הפרש סביר לצפות ביניהם. ב-z-score מחלקים את ההפרש M − μ בטעות התקן האמיתית, שדורשת את סטיית התקן של האוכלוסייה – שכמעט אף פעם אינה ידועה; "כל הסיבה למבחן היא ללמוד על אוכלוסייה לא-ידועה" (עמ' 269). הפתרון: אומדים את טעות התקן מהמדגם, s_M = s/√n (נוסחה 9.1), ומקבלים את t – אותו מבנה כמו z, עם אומדן במכנה: t = (M − μ)/s_M (נוסחה 9.2). המונה מודד את ההפרש בפועל בין הנתונים להשערה; המכנה – כמה הפרש סביר לצפות במקרה; כשהמונה גדול בהרבה מהמכנה, t גדול (חיובי או שלילי) והנתונים אינם מתיישבים עם ההשערה (עמ' 275).

מכיוון שגם המכנה נאמד ומשתנה ממדגם למדגם, t משתנה יותר מ-z: התפלגות t שטוחה ורחבה יותר מהנורמלית, במיוחד כשדרגות החופש – df = n − 1 (נוסחה 9.3) – קטנות, ומתקרבת אליה ככל ש-n גדל (סעיף 9.1, איור 9.1): ב-df = 1 הערך הקריטי הדו-זנבי ל-.05 הוא 12.706, ב-df = 8 – 2.306, ובאינסוף – 1.96 (לוח 9.1). העמוד אינו משתמש בלוח: הוא מחשב את p המדויק מהתפלגות t, כפי ש"תדפיס מחשב" עושה (עמ' 287), ומדווח אותו כמספר ולא כ-p < .05.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – סטטיסטיקה של המדגם. N של הערכים התקפים, הממוצע, סטיית התקן (מדגמית, n − 1) וטעות התקן של הממוצע. זה לוח One-Sample Statistics של SPSS. בודקים קודם ש-N הגיוני – חסרים רבים או ערך מלל בעמודה מקטינים אותו, והעמוד מודיע על כך בטעינה.

לוח 2 – המבחן. לוח One-Sample Test של SPSS: ערך הבדיקה, t, df, p דו-זנבי, ההפרש M − μ₀ (Mean Difference) ורווח הסמך של 95% להפרש. הסימן של t ושל ההפרש אומר לאיזה כיוון המדגם סוטה מערך הבדיקה: חיובי – הממוצע גבוה ממנו. p קטן מ-.05 – הממוצע שונה מובהק מערך הבדיקה; אחרת – לא נמצא הבדל מובהק (Gravetter & Wallnau, 2017, עמ' 277: "ההחלטה הסטטיסטית"). רווח הסמך. הלוח מדפיס את הרווח להפרש, כמו SPSS; בהערת הלוח ובתרשים מופיע אותו רווח לממוצע – μ = M ± t·s_M (נוסחה 9.6; דוגמה 9.5) – שהוא פשוט הרווח להפרש ועוד ערך הבדיקה. כשרווח ההפרש כולל את האפס (כלומר רווח הממוצע כולל את ערך הבדיקה), המבחן אינו מובהק, ולהפך. הרווח צר יותר ככל שהמדגם גדול וככל שרמת הביטחון נמוכה (עמ' 286); ולכן, Gravetter ו-Wallnau מזהירים, הוא תיאור של האפקט אבל לא תחליף ל-d או ל-r² (עמ' 286).

גודל האפקט

"ייתכן שאפקט טיפול קטן מאוד יהיה 'מובהק סטטיסטית', במיוחד כשהמדגם גדול מאוד", ולכן מדווחים לצד המבחן גם מדד לגודל האפקט (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 279). שניים בפלט, ושניהם כמעט אינם תלויים בגודל המדגם (עמ' 284):

d של כהן (אומדן). ההפרש בין ממוצע המדגם לערך הבדיקה ביחידות סטיית תקן של המדגם: d = (M − μ)/s (נוסחה 9.4). בדוגמת התינוקות: (13 − 10)/3 = 1.00 – האפקט שווה לסטיית תקן אחת (דוגמה 9.3, איור 9.5). Gravetter ו-Wallnau מעירים שכשמציבים ערכי מדגם במקום פרמטרים, חוקרים רבים מעדיפים לקרוא לזה "d אומדן" (עמ' 280); זה גם Cohen's d שבפלט SPSS 27 ומעלה למדגם יחיד. המוסכמות של Cohen (1988, עמ' 25-27): 0.2 קטן, 0.5 בינוני, 0.8 גדול – עם אזהרתו שהספים הם לצורך התמצאות, והאפקט נשפט בהקשר התחום.

r² – אחוז השונות המוסבר. כמה מהשונות בציונים "מוסברת" בהזזה מערך הבדיקה: בדוגמה, השונות סביב 10 היא SS = 153, ואחרי הסרת האפקט (3 נקודות מכל ציון) – 72; ההפרש, 81 מתוך 153, הוא 52.94% (לוח 9.2). הנוסחה מהמבחן עצמו: r² = t²/(t² + df) (נוסחה 9.5) – בהקשר של t קוראים לזה לפעמים גם ω². ספי Cohen ל-r² (לוח 9.3): .01 קטן, .09 בינוני, .25 גדול – שימו לב שאלה ספי r בריבוע (.1/.3/.5), והם שונים מהספים שעמוד מבחן t לבלתי-תלויים מביא ל-η² מ-Pallant (.01/.06/.14); העמוד הזה הולך אחרי המקור שלו, Gravetter ו-Wallnau. סטיית תקן גדולה מקטינה גם את t וגם את שני מדדי האפקט; גודל מדגם מקטין רק את p (עמ' 278, 284).

הנחות ואזהרות

שתי ההנחות (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 277-278): התצפיות בלתי-תלויות זו בזו – אירוע אחד אינו משפיע על ההסתברות של השני (נבדק שנמדד פעמיים, זוגות, כיתות – מפרים זאת); והאוכלוסייה מתפלגת נורמלית – הנחה שנחוצה למתמטיקה, אבל "להפרתה השפעה מעשית קטנה, במיוחד כשהמדגם גדול יחסית"; במדגם קטן מאוד היא חשובה, ו"אם יש סיבה לחשוד שההתפלגות אינה נורמלית – להשתמש במדגם גדול, ליתר ביטחון". Field (2024) מסביר למה: מה שנדרש הוא התפלגות דגימה נורמלית של הממוצע, ומשפט הגבול המרכזי מבטיח אותה כשהמדגם גדול מספיק (סעיפים 6.2.7 ו-6.8.3) – הערך המקובל הוא 30, אבל בהתפלגות עם זנבות כבדים ייתכן שיידרשו 100 ואף יותר (קופסה 6.4); במדגם קטן מסתכלים על ההיסטוגרמה (שכיחויות וסטטיסטיקה תיאורית) ועל חריגים (חריגים והנחות), ובמדגם גדול לא מכריעים לפי מבחן נורמליות (קופסה 6.7). תיבת "קריאת התוצאה" מזכירה זאת כש-n קטן מ-30.

ערך הבדיקה הוא החלטה, לא ממצא. הוא נקבע לפני הניתוח מתוך היגיון או ידע חיצוני – אמצע הסולם, ממוצע מפורסם, נורמה – ומדווח עם נימוקו. לבחור אותו אחרי שרואים את הממוצע, או לנסות כמה ערכים עד שיוצא מובהק, הורס את משמעות p (ראו אתיקה במחקר, סעיף 7).

מבחן חד-זנבי. Gravetter ו-Wallnau (סעיף 9.4) מראים איך מריצים מבחן כיווני – הערך הקריטי לקוח מהזנב האחד, ומדווחים "חד-זנבי" במפורש – ומציינים שהדו-זנבי נפוץ יותר, והכיווני מתאים כשיש הצדקה מראש. העמוד מחשב p דו-זנבי בלבד; מי שמתכנן מראש מבחן חד-זנבי, ההפרש בכיוון החזוי, מחלק את p בשניים – ומדווח זאת.

ערכים חסרים. לכל משתנה נבדק נכללים הנבדקים שיש להם ערך תקף בו – מחיקה לפי ניתוח (/MISSING=ANALYSIS), כברירת המחדל של SPSS; N יכול להשתנות ממשתנה למשנהו. מבחנים מרובים. כמה משתנים בלחיצה אחת הם כמה מבחנים, כל אחד עם 5% סיכון לטעות מסוג I; מדווחים את כולם, ושוקלים תיקון (עמוד המתאמים: Holm / FDR).

מה העמוד אינו מחשב. רווח סמך ל-d (SPSS 27 ומעלה מדפיס אותו), bootstrap, מבחן חד-זנבי כפלט, מבחן הסימן ווילקוקסון למדגם יחיד (החלופות הא-פרמטריות), ו-Bayes factor.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

המקורות שהאתר נשען עליהם (Field, 2024; Pallant, 2020) אינם מתארים את ההליך הזה – הם עוברים ישר למבחנים לשתי קבוצות – ולכן התיאור כאן הוא של האתר, מאומת מול PSPP (מימוש חופשי של SPSS): Analyze › Compare Means › One-Sample T Test… – המשתנה (או כמה) לתיבה Test Variable(s), ערך הבדיקה בשדה Test Value (ברירת המחדל 0 – כמעט אף פעם לא מה שרוצים); Options… – רמת רווח הסמך והטיפול בחסרים; בגרסה 27 ומעלה – תיבת Estimate effect sizes. הסינטקס שהעמוד מייצר:

T-TEST
  /TESTVAL=3
  /MISSING=ANALYSIS
  /VARIABLES=עמדות_ציון
  /ES DISPLAY(TRUE)
  /CRITERIA=CI(.95).

קריאת הפלט. One-Sample Statistics = לוח 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean); One-Sample Test = לוח 2 – בכותרת Test Value = 3, ואז t, df, Sig. (2-tailed) (ב-27 ומעלה גם One-Sided p – להתעלם), Mean Difference ו-95% Confidence Interval of the Difference – רווח להפרש, לא לממוצע; One-Sample Effect Sizes – שורת Cohen's d, Point Estimate (SPSS מדפיס גם Hedges' correction, שאינו בעמוד). ערך בדיקה אחד לכל המשתנים בפקודה; כשבעמוד נבחרו ערכים שונים למשתנים שונים, הסינטקס מכיל פקודת T-TEST לכל ערך.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי t.test(x, mu = …) נותן את t, df, p ורווח סמך לממוצע (ולא להפרש כמו SPSS – מחסרים את μ₀ כדי להשוות); d ו-r² מחושבים ביד. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים.

# מבחן t למדגם יחיד – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_ttest1_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; y <- y[!is.na(y)]

# סטטיסטיקה של המדגם – לוח 1
c(n = length(y), M = mean(y), SD = sd(y), SE = sd(y) / sqrt(length(y)))   # n 120, M 3.270, SD 0.745, SE 0.068

# המבחן מול ערך הבדיקה 3 (אמצע סולם 1-5) – לוח 2; רווח הסמך של R הוא לממוצע
tt <- t.test(y, mu = 3)
tt                                   # t = 3.96, df = 119, p = .00013, רווח סמך לממוצע [3.135, 3.404]
tt$conf.int - 3                      # רווח הסמך להפרש, כמו SPSS: [0.135, 0.404]

# גודל האפקט: d של כהן = (M − μ)/s, ו-r² = t²/(t² + df)
(mean(y) - 3) / sd(y)                                                     # d = 0.362
unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))                # r² = .117

דיווח התוצאות

מדווחים את התיאור ואז את המבחן: הממוצע וסטיית התקן, ערך הבדיקה ומה הוא מייצג, t עם דרגות החופש בסוגריים, p מדויק, גודל האפקט – ורווח הסמך מיד אחרי המבחן (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 287; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). הדוגמה של Gravetter ו-Wallnau: "התינוקות הביטו בפרצוף היפה M = 13 מתוך 20 שניות בממוצע, SD = 3.00. הזמן היה גבוה מובהק מהצפוי בהיעדר העדפה, t(8) = 3.00, p = .017, r² = 0.5294", ועם רווח סמך: t(8) = 3.00, p < .05, 80% CI [11.603, 14.397]. כש-p המדויק זמין – מדווחים אותו (p = .017, לא p < .05); ו"p = 0.000" בתדפיס אינו אפס אלא עיגול – כותבים p < .001 (עמ' 287). במבחן חד-זנבי כותבים "חד-זנבי" במפורש (עמ' 289).

כללי הצורה (APA, 2020, Section 6.36): t וההפרש עם אפס לפני הנקודה; p ו-r² בלי (אינם יכולים לעלות על 1); d עם אפס. משפטי הדיווח שבפלט בנויים כך, בעברית ובאנגלית, עם רווח הסמך של 95% לממוצע.

טעויות נפוצות

להשאיר את ערך הבדיקה 0. ברירת המחדל של SPSS בודקת אם הממוצע שונה מאפס – כמעט תמיד "מובהק" וכמעט תמיד חסר משמעות. ערך הבדיקה הוא ההשערה (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 275-276).

לבחור את ערך הבדיקה אחרי שרואים את הממוצע. ההשערה קודמת לנתונים; אחרת p אינו אומר דבר.

לקרוא את רווח הסמך של SPSS כרווח לממוצע. הוא רווח להפרש מערך הבדיקה; לממוצע – מוסיפים את ערך הבדיקה (או קוראים את הערת הלוח בעמוד).

לפרש "לא מובהק" כ"הממוצע שווה לערך הבדיקה". רווח סמך שכולל את ערך הבדיקה אומר שההפרש האמיתי יכול להיות שלילי, אפס או חיובי – לא שהוא אפס. מדווחים את d ואת הרווח.

מבחן למדגם יחיד על פריט ליקרט בודד. לפי מוסכמת האתר פריט יחיד הוא משתנה סדר – שכיחויות וחציון; הממוצע של ציון סולם רב-פריטי – כן.

לבלבל בין סרגלי r² ו-η². .09 הוא r² בינוני אצל Gravetter ו-Wallnau (לוח 9.3); .06 הוא η² בינוני אצל Pallant – שני סרגלים, אותו רעיון, מספרים שונים.

לחלק את p בשניים אחרי שראו את הכיוון. מבחן חד-זנבי מתוכנן מראש, מנומק, ומדווח ככזה (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 9.4).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

McGee ו-Shevlin (2009) ו-Slater ועמיתיו (1998) – כמצוטטים אצל Gravetter ו-Wallnau (2017). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור; Gravetter ו-Wallnau (2017), Cohen (1988) ו-APA (2020) – לפי עמוד וסעיף של המהדורה המודפסת; Field (2024) בעותק דיגיטלי מזורם – לפי סעיף. הליך SPSS – תיאור של האתר, מאומת מול PSPP (אינו מצוטט ממקור).