מבחן t למדגמים בלתי-תלויים

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים?

כשרוצים לדעת אם ממוצע של משתנה כמותי שונה בין שתי קבוצות נפרדות של נבדקים – קבוצת ניסוי מול ביקורת, גברים מול נשים, לקוחות מול לא-לקוחות. Pallant (2020, פרק 17) מגדירה את המתכון: משתנה בלתי-תלוי קטגוריאלי אחד עם שתי קבוצות בדיוק, ומשתנה תלוי כמותי אחד; כל נבדק שייך לקבוצה אחת בלבד. Field (2024, סעיף 10.5) מבחין בין שני "אריזות" של אותה סטטיסטיקה: מבחן t לבלתי-תלויים – כשהתצפיות מגיעות מישויות שונות; ומבחן t למזווגים – כשאותם נבדקים (או זוגות מותאמים) נמדדים פעמיים. Field מוסיף שמבחן t לבלתי-תלויים הוא מקרה פרטי של המודל הליניארי: רגרסיה עם מנבא דו-ערכי, שבה המקדם b הוא ההפרש בין שני הממוצעים (סעיף 10.4) – אותו t, אותו p.

ליותר משתי קבוצות – ניתוח שונות חד-כיווני (ANOVA), לא סדרה של מבחני t (סעיף "הנחות ואזהרות"); לאותם נבדקים בשני מדדים – מבחן t למזווגים; כשהמשתנה התלוי הוא סדר או מפר קשות את ההנחות – מאן-ויטני (Pallant, 2020, Chapter 16), שאינו בעמוד זה. ציון סולם רב-פריטי (ממוצע פריטים, עמוד אלפא של קרונבך וציון סולם) מטופל כמשתנה רווח לפי מוסכמת האתר (עמוד משתנים וסולמות מדידה), ולכן מתאים כמשתנה תלוי; פריט ליקרט יחיד – לא.

ההיגיון: אות חלקי רעש

Field (2024, סעיף 10.5.1): שני המדגמים נותנים שני ממוצעים, והם שונים זה מזה במעט או בהרבה. אם שניהם באו מאותה אוכלוסייה, ההפרש ביניהם נובע מתנודה מדגמית בלבד, והיא נמדדת בטעות התקן של ההפרש; t הוא ההפרש הנצפה חלקי טעות התקן הזאת – "אות חלקי רעש". ככל שההפרש גדול ביחס לטעות התקן, קשה יותר להאמין שהוא מקרי. ערך p הוא ההסתברות לקבל t כזה או קיצוני ממנו אם ההפרש האמיתי באוכלוסייה הוא אפס.

טעות התקן של ההפרש נבנית מהשונויות של שתי הקבוצות. כשהקבוצות שונות בגודלן, משתמשים בשונות משותפת (pooled variance): ממוצע משוקלל של שתי השונויות, כשהמשקל של כל קבוצה הוא דרגות החופש שלה (n − 1), כי מדגם גדול מאמיד את האוכלוסייה טוב יותר (Field, 2024, Section 10.5.3, Equation 10.15; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 305-307). דרגות החופש של המבחן: df = n₁ + n₂ − 2. זו השורה "שונויות שוות" בלוח. השורה השנייה, Welch, אינה מאחדת את השונויות אלא משתמשת בכל אחת בנפרד, ומתקנת את דרגות החופש כלפי מטה (ולכן הן בדרך כלל לא שלמות – 21.54 בדוגמה של Field, סעיף 10.8.3); כשהשונויות והגדלים שווים, שתי השורות זהות.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – סטטיסטיקה קבוצתית. Pallant (2020, פרק 17) מתחילה כאן: לבדוק ש-N של כל קבוצה הגיוני – קבוצה ריקה או קטנה בהרבה מהצפוי מעידה לרוב על קוד שגוי (0 ו-1 במקום 1 ו-2) או על חסרים רבים. לצד הממוצע וסטיית התקן – טעות התקן של הממוצע, שממנה נבנים רווחי הסמך שבתרשים.

לוח 2 – המבחן, בשתי שורות. זהו לוח Independent Samples Test של SPSS. השורה הראשונה מניחה שוויון שונויות, השנייה לא (Welch), ובשורה הראשונה מודפס גם מבחן לוין לשוויון שונויות. איזו שורה קוראים? כאן המקורות נחלקים, והעמוד מציג את שתי העמדות:

בפועל שתי השורות נותנות כמעט תמיד אותה מסקנה, ותיבת "קריאת התוצאה" שבפלט אומרת אם הן מסכימות. כשהן חולקות – בדרך כלל קבוצות בגודל שונה מאוד עם שונויות שונות מאוד – Gravetter ו-Wallnau (2017, עמ' 313-314) מסבירים למה אי אפשר לסמוך על שורת השונות המשותפת: אם שתי השונויות אומדות דברים שונים, הממוצע שלהן חסר משמעות, ו-t קיצוני יכול לנבוע ממנו ולא מהפרש הממוצעים; במצב כזה שורת Welch היא הדיווח הבטוח, בלי קשר לכלל שבחרתם.

t, df ו-p. p דו-זנבי (Sig. 2-tailed): קטן מ-.05 – ההבדל מובהק; גדול – לא נמצא הבדל מובהק (Pallant, 2020, Chapter 17). הסימן של t תלוי רק באיזו קבוצה נבחרה כ"קבוצה א": ההפרש מחושב א פחות ב (Field, 2024, Section 10.8.3, Note 5). רווח הסמך להפרש. הטווח שבו, ברמת ביטחון 95%, נמצא הפרש הממוצעים באוכלוסייה (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 319-320). כשהוא כולל את האפס, המבחן אינו מובהק – וההפך; Gravetter ו-Wallnau (עמ' 320) מראים שזו אותה הכרעה בשתי שפות. רווח הסמך רחב יותר ככל שהמדגם קטן, ולכן הוא תיאור של אי-הוודאות ולא מדד טהור לגודל האפקט.

גודל האפקט

מובהקות אינה גודל: במדגם גדול מספיק גם הפרש זעום יוצא מובהק, ובמדגם קטן גם הפרש גדול לא (Field, 2024, סעיף 3.7.3 – שתי הדוגמאות באיורים 2.21 ו-2.22). לכן הלוח מדפיס שני מדדים שאינם תלויים בגודל המדגם:

d של כהן – ההפרש בין הממוצעים ביחידות סטיית תקן: "אם האדם שר במקום לדבר, הזמן שהמאזין נשאר ירד ב-0.667 סטיות תקן" (Field, Section 3.7.3). העמוד מחלק את ההפרש בשורש השונות המשותפת, כמו Gravetter ו-Wallnau (2017, עמ' 317, נוסחה 10.8) וכמו Cohen's d בפלט SPSS; Field (סעיף 3.7.3) מזכיר חלופה – סטיית התקן של קבוצת הביקורת, כשהטיפול עשוי לשנות גם את הפיזור. המוסכמות של Cohen (1988, עמ' 25-27): 0.2 קטן, 0.5 בינוני ("גלוי לעין בלתי מזוינת"), 0.8 גדול – ועמן אזהרתו של Cohen עצמו, שמביא Field: הספים מעודדים חשיבה עצלה, והאפקט נשפט בהקשר התחום וכלי המדידה. d מדווח בדרך כלל כערך חיובי (Gravetter & Wallnau, p. 317).

אטא בריבוע (η², אצל Gravetter ו-Wallnau r²) – חלק השונות במשתנה התלוי שמוסבר בהשתייכות לקבוצה: t²/(t² + df) (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 317-318, Equation 10.9; Pallant, 2020, Chapter 17). Pallant מביאה את ספי Cohen (1988, עמ' 284-287): .01 קטן, .06 בינוני, .14 גדול – ומזהירה לא לבלבל בין הסרגלים: d = 0.5 הוא בינוני, η² = .06 הוא בינוני, ואלה מספרים שונים לאותו אפקט. העמוד מחשב את η² משורת השונויות השוות, כמו בדוגמה של Pallant.

הנחות ואזהרות

שלוש ההנחות (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 313): התצפיות בכל קבוצה בלתי-תלויות זו בזו; שתי האוכלוסיות מתפלגות נורמלית; ולשתיהן אותה שונות (הומוגניות). אי-התלות היא ההנחה שאין לה תיקון – נבדק שנמדד פעמיים, זוגות, או תלמידים מאותן כיתות מפרים אותה, ואז המבחן הנכון אחר (מזווגים, או מודל שמתחשב במבנה). הנורמליות "פחות חשובה, במיוחד במדגמים גדולים" (Gravetter & Wallnau, p. 313); Field (2024, סעיף 10.6) מפנה לפרק 6: מה שנדרש הוא התפלגות דגימה נורמלית של ההפרש, ומשפט הגבול המרכזי מבטיח אותה במדגם סביר – ולכן לא בודקים נורמליות במבחן מובהקות (קופסה 6.7), אלא מסתכלים על ההיסטוגרמה, על הצידוד ועל הגבנוניות של כל קבוצה (עמוד בדיקת נורמליות – לפי קבוצה; עמוד שכיחויות וסטטיסטיקה תיאורית) ועל חריגים (עמוד חריגים והנחות).

הומוגניות השונויות. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 313-314): ההנחה חשובה בעיקר כשיש פער גדול בגודל הקבוצות, וכלל אצבע לפני כל מבחן – אם שונות אחת גדולה פי שלושה-ארבעה מהשנייה, יש מקום לדאגה. Field (סעיף 6.9.6) מוסיף שבקבוצות שוות בגודלן ההנחה "כמעט לא רלוונטית". העמוד מדפיס את מבחן לוין כמו SPSS (סביב הממוצע – כך בפלט מבחן t של SPSS; Explore מדפיס כמה גרסאות של המבחן, סביב הממוצע וסביב החציון), ואת שתי השורות; סעיף "איך קוראים" מסביר את שתי העמדות.

ערכים חסרים. נבדק שחסר לו הערך במשתנה התלוי או במשתנה הקיבוץ אינו נכלל בהשוואה של אותו משתנה תלוי בלבד – מחיקה לפי ניתוח (/MISSING=ANALYSIS בסינטקס), כברירת המחדל של SPSS; לכן N יכול להשתנות ממשתנה תלוי למשנהו. הקבוצות שאינן נבחרות (במשתנה קיבוץ עם יותר משתי רמות) פשוט אינן נכנסות. מה לעשות בחסרים – עמוד ערכים חסרים.

מבחנים מרובים. כמה משתנים תלויים בלחיצה אחת הם כמה מבחנים, וכל אחד נושא 5% סיכון לטעות מסוג I; Field (2024, סעיף 10.8.2) מזכיר שריבוי מבחני t מנפח את שיעור הטעות, ולהשוואה של יותר משתי קבוצות משתמשים ב-ANOVA ולא בסדרת מבחני t. כשמדווחים כמה מבחנים – מדווחים את כולם, גם הלא-מובהקים, ושוקלים תיקון (עמוד המתאמים: Holm / FDR).

מה העמוד אינו מחשב. רווח סמך ל-d (SPSS 27 ומעלה מדפיס אותו – Field, סעיף 10.8.5), רווחי סמך ב-bootstrap ומבחן t חסין (Yuen – Field, Section 10.8.4), מבחן חד-זנבי (Field, סעיף 10.8.3: "ברוב המצבים להתעלם מהערך החד-זנבי"), ו-Bayes factor. מבחן t למדגם יחיד – בעמוד משלו; החלופה הא-פרמטרית, מאן-ויטני – גם כן.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

הערת גרסאות. ההליך יציב לאורך הגרסאות; הבדל אחד שתפגשו בעמוד זה: מגרסה 27 הדיאלוג כולל את תיבת הסימון Estimate effect sizes ומדפיס לוח Independent Samples Effect Sizes עם Cohen's d ורווח סמך (Field, 2024, סעיפים 10.8.2 ו-10.8.5 – לפי גרסה 29), ואילו Pallant (2020, לפי גרסה 26) כותבת ש-SPSS "אינו מספק גודל אפקט למבחני t" ומחשבת אטא בריבוע ביד. בגרסאות ישנות – מחקו את שורת /ES DISPLAY(TRUE) מהסינטקס שהעמוד מייצר.

ההליך (Pallant, 2020, Chapter 17; Field, 2024, Section 10.8.2): Analyze › Compare Means › Independent-Samples T Test… – המשתנה התלוי (או כמה) לתיבה Test Variable(s), משתנה הקיבוץ ל-Grouping Variable, ובכפתור Define Groups… מקלידים את שני הקודים של הקבוצות (1 ו-2 בקובץ הדוגמה; אם לא זוכרים – לחיצה ימנית על שם המשתנה ו-Variable Information). Field מזכיר את האפשרות Cut point – לחלק לשתי קבוצות לפי ערך חותך – ומזהיר מפיצול לפי חציון (קופסה 10.1). Options… – רמת רווח הסמך (95%) והטיפול בחסרים; Bootstrap… – רווחי סמך שאינם מניחים נורמליות (BCa). הסינטקס:

T-TEST GROUPS=קבוצה(1 2)
  /MISSING=ANALYSIS
  /VARIABLES=עמדות_ציון גיל
  /ES DISPLAY(TRUE)
  /CRITERIA=CI(.95).

קריאת הפלט. Group Statistics = לוח 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean); Independent Samples Test = לוח 2 – Levene's Test (F, Sig.) בשורה הראשונה, ואז בשתי השורות t, df, Sig. (2-tailed) (ב-SPSS 27 ומעלה גם One-Sided p – להתעלם), Mean Difference, Std. Error Difference, 95% Confidence Interval of the Difference; Independent Samples Effect Sizes – שורת Cohen's d, עמודת Point Estimate, היא ה-d שבהערת הלוח (SPSS מדפיס גם Hedges' correction ו-Glass's delta, שאינם בעמוד). כפתור "הורדת סינטקס SPSS" בפלט מייצר את הטעינה, המילון (אם היה מקרא) ופקודת T-TEST על המשתנים ובקודים שנבחרו.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי t.test() מריצה כברירת מחדל את Welch; var.equal = TRUE נותן את שורת השונויות השוות. מבחן לוין סביב הממוצע – leveneTest(center = mean) מחבילת car (ברירת המחדל שלה היא החציון, וזה לא מה ש-SPSS מדפיס במבחן t). d ו-η² מחושבים ביד מהנוסחאות שבמדריך. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים (ב-Windows: R 4.2 ומעלה, או Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# מבחן t למדגמים בלתי-תלויים – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל
library(car)      # מבחן לוין: leveneTest

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_ttest_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
g <- factor(d[["קבוצה"]], levels = c(1, 2), labels = c("ניסוי", "ביקורת"))
y <- d[["עמדות_ציון"]]

# סטטיסטיקה קבוצתית – לוח 1
tapply(y, g, function(v) c(n = sum(!is.na(v)), M = mean(v, na.rm = TRUE), SD = sd(v, na.rm = TRUE)))
# תוצאה: ניסוי n 60, M 3.474, SD 0.682; ביקורת n 60, M 3.065, SD 0.754

# מבחן לוין סביב הממוצע – כמו בפלט מבחן t של SPSS
leveneTest(y ~ g, center = mean)                         # F = 0.387, p = .535

# שורה 1 – שונויות שוות; שורה 2 – Welch (ברירת המחדל של R)
t.test(y ~ g, var.equal = TRUE)    # t = 3.11, df = 118, p = .0023, הפרש 0.409, רווח סמך [0.149, 0.669]
t.test(y ~ g)                      # t = 3.11, df = 116.8, p = .0024

# גודל האפקט: d של כהן על השונות המשותפת, ואטא בריבוע = t²/(t² + df)
a <- y[g == "ניסוי" & !is.na(y)]; b <- y[g == "ביקורת" & !is.na(y)]
sp2 <- ((length(a) - 1) * var(a) + (length(b) - 1) * var(b)) / (length(a) + length(b) - 2)
(mean(a) - mean(b)) / sqrt(sp2)                          # d = 0.568
tt <- t.test(a, b, var.equal = TRUE); unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))   # אטא בריבוע = .076

דיווח התוצאות

מדווחים את הממצא ואז את הסטטיסטיקה: ממוצע וסטיית תקן (או טעות תקן) של כל קבוצה, t עם דרגות החופש בסוגריים, p מדויק, ההפרש עם רווח הסמך, וגודל האפקט (Field, 2024, Section 10.10; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 321; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). הדוגמה של Field (סעיף 10.10.1): "בממוצע, משתתפים שקיבלו גלימת היעלמות ביצעו יותר מעשי קונדס (M = 5, SE = 0.48) מאלה שלא (M = 3.75, SE = 0.55). ההפרש, −1.25, 95% CI [−2.70, 0.07], לא היה מובהק, t(21.54) = −1.71, p = .101; עם זאת הוא ייצג אפקט של d = 0.70 [−1.52, 0.13]" – שימו לב שהמסקנה "לא מובהק" ו"אפקט ניכר" יושבות באותו משפט, ושניהם נכונים. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 321): כש-p מדויק זמין מהמחשב מדווחים אותו (p = .018, לא p < .05), ורווח הסמך בא מיד אחרי המבחן. Pallant (2020, פרק 17) מדווחת "דו-זנבי" ואת אטא בריבוע, ולסדרת מבחנים – לוח APA עם n, M, SD לכל קבוצה, df, t, p, ההפרש עם רווח הסמך וגודל האפקט.

כללי הצורה (APA, 2020, Section 6.36): t והפרש הממוצעים עם אפס לפני הנקודה (יכולים לעלות על 1), p ו-η² בלי (אינם יכולים), d עם אפס; דרגות חופש לא-שלמות של Welch – בשתי ספרות (t(21.54)). משפטי הדיווח שבפלט בנויים כך, בעברית ובאנגלית.

טעויות נפוצות

לקרוא את השורה הלא-נכונה – או את שתיהן ולבחור את הנוחה. קובעים מראש כלל (לוין, או "תמיד Welch") ומדווחים לפיו; כשהשורות חולקות, שורת Welch היא הבטוחה (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 313-314).

לפרש "לא מובהק" כ"אין הבדל". רווח סמך שכולל אפס אומר שההפרש האמיתי יכול להיות שלילי, חיובי או אפס (Field, 2024, Section 10.8.4) – לא שהוא אפס. מדווחים את d ואת הרווח.

לדווח p בלי ממוצעים, סטיות תקן וגודל אפקט. הקורא צריך לדעת לא רק אם יש הבדל אלא כמה (Field, 2024, Section 3.7.6; Pallant, 2020, Chapter 17).

סדרת מבחני t במקום ANOVA. שלוש קבוצות הן שלושה מבחני t, וכל מבחן נוסף מנפח את טעות מסוג I (Field, 2024, Section 10.8.2).

מבחן לבלתי-תלויים על נתונים מזווגים. לפני-אחרי של אותם אנשים, זוגות, אחים – מפרים את אי-התלות; עוברים למבחן t למזווגים (Field, 2024, Section 10.5).

לבלבל בין הסרגלים של d ושל אטא בריבוע. 0.5 הוא d בינוני; .06 הוא η² בינוני (Pallant, 2020, Chapter 17).

לפצל משתנה רציף לשתי קבוצות לפי חציון כדי להריץ מבחן t. מאבדים כוח ומידע (Field, 2024, Box 10.1); משאירים את המשתנה רציף ומשתמשים במתאם או ברגרסיה.

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Student (1908), Levene (1960), Yuen (1974) ו-Zimmerman (2004) – כמצוטטים אצל Field (2024). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. Field (2024) ו-Pallant (2020) בעותק דיגיטלי מזורם – ציטוט לפי סעיף ופרק; Gravetter ו-Wallnau (2017), Cohen (1988) ו-APA (2020) – לפי עמוד וסעיף של המהדורה המודפסת.