ANOVA למדידות חוזרות

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים והגדרות

מדריך

מתי משתמשים?

כשאותם נבדקים תורמים לכל הממוצעים: נמדדים בכל התנאים של ניסוי, או בכמה נקודות זמן (Field, 2024, Section 15.2). דוגמאות: חרדה לפני תוכנית, בסופה ובמעקב; זמן תגובה בשלושה תנאי רעש; דירוג של אותם פריטים על ידי אותם אנשים. כשיש גם קבוצות נפרדות – תוכנית מול ביקורת – המערך מעורב: גורם בין-נבדקי וגורם תוך-נבדקי (שם, סעיף 16.2). שתי מדידות בלבד – העמוד מחשב, אבל מבחן t למדגמים מזווגים נותן את אותה הכרעה (F = t²; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 433-435) ובנוסף d ורווח סמך להפרש. קבוצות שונות בכל תנאי – ניתוח שונות חד-כיווני; כמה גורמים בין-נבדקיים – תכנון ניסויים.

מבנה הנתונים

מבנה רחב, כמו ב-SPSS: שורה לכל נבדק, עמודה לכל מדידה (Field, 2024, Section 15.8.1). בשני גורמים תוך-נבדקיים – עמודה לכל צירוף, בסדר שבו הגורם השני מתחלף מהר: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1)... – כמו הרשימה בחלון של SPSS (שם, סעיף 15.14). העמוד מציג מתחת לרשימה איזו עמודה הוקצתה לאיזה צירוף, ושמות כמו absent_0, absent_4... מפורקים אוטומטית לשמות הרמות. נבדק שחסרה לו מדידה אחת – אינו נכלל כולו (מחיקה רשימתית, כמו SPSS), והעמוד מדווח כמה נבדקים הושמטו.

ההיגיון: פירוק השונות

השונות הכוללת מתחלקת לשונות בין התנאים ולשונות בתוך התנאים, ואז – וזה ההבדל – השונות בתוך התנאים מתפרקת שוב: חלק ממנה הוא ההבדלים הקבועים בין הנבדקים, והוא מוצא מהטעות (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 420-424). מה שנשאר – האינטראקציה בין התנאים לנבדקים – הוא מכנה ה-F. בדוגמה שם: SS בין התנאים 84, בין הנבדקים 66 וטעות 22, ו-F(2, 10) = 19.09 (שם, עמ' 426) – העמוד נותן אותם מספרים. לכן מערך תוך-נבדקי רגיש יותר: בדוגמה המספרית של Gravetter ו-Wallnau אותם הבדלים נותנים F של 1.91 בקבוצות נפרדות ו-11 במדידות חוזרות (שם, עמ' 430-431). במערך עם שני גורמים תוך-נבדקיים לכל אפקט טעות משלו – האינטראקציה של האפקט עם הנבדקים (Maxwell et al., 2018, p. 673).

כדוריות ותיקון ε

המבחן החד-משתני מניח כדוריות: שהשונות של ההפרש בין כל שתי מדידות שווה (Maxwell et al., 2018, p. 627; Field, 2024, Section 15.5.1). בשתי מדידות יש הפרש אחד, וההנחה מתקיימת תמיד (Maxwell et al., 2018, p. 628). במדידות לאורך זמן היא מופרת לעתים קרובות – מדידות סמוכות מתואמות יותר מרחוקות – ואז שיעור הטעות מסוג I יכול להגיע ל-.10 או .15 במקום .05 (שם, עמ' 629-630).

הפתרון: להכפיל את דרגות החופש של המבחן ב-ε, אומדן של מידת הסטייה מכדוריות – 1 כשהיא מתקיימת, ועד 1/(k − 1) בסטייה הגדולה ביותר (ibid., p. 630; Field, 2024, Sections 15.5.2, 15.5.4). ה-F עצמו לא משתנה, רק ה-p. ארבע אפשרויות, מהליברלית לשמרנית: בלי תיקון, Huynh-Feldt, Greenhouse-Geisser וגבול תחתון. Maxwell ועמיתיו "חושבים שאין להשתמש לעולם" במבחן שאינו מתוקן (2018, עמ' 632), ההמלצה הכללית שלהם היא Greenhouse-Geisser, כי Huynh-Feldt עלול לא לשמור על שיעור הטעות (שם, עמ' 634), והגבול התחתון שמרני מדי (שם). Field (2024, סעיף 15.5.4) מביא גם את הכלל הנפוץ – Huynh-Feldt כשהאומדן מעל .75 – ואת האפשרות לקחת ממוצע של השניים. העמוד מדווח לפי Greenhouse-Geisser, ואפשר לבחור אחרת.

Mauchly: מבחן מובהקות להנחת הכדוריות. Field ממליץ לא להסתמך עליו: הוא תלוי בגודל המדגם – במדגם גדול מובהק גם בסטייה זניחה, ובקטן לא מובהק גם בגדולה – ולכן עדיף לתקן תמיד לפי ε (2024, סעיף 15.5.2). גם Maxwell ועמיתיו כותבים שיש לו "ערך מועט כמבחן מקדים" (2018, עמ' 629). העמוד מציג אותו כי SPSS מציג אותו.

הגישה הרב-משתנית

דרך אחרת, שאינה מניחה כדוריות בכלל: להפוך את k המדידות ל-k − 1 משתני הפרש ולבדוק אם כל הממוצעים שלהם אפס – ניתוח שונות רב-משתני (Maxwell et al., 2018, pp. 728, 741; Field, 2024, Section 15.5.4). SPSS מדפיס ארבעה מבחנים: Pillai, Wilks, Hotelling ו-Roy. באפקט תוך-נבדקי טהור הם תמיד זהים (Maxwell et al., 2018, pp. 832-833); כשהם שונים, Pillai העמיד ביותר (שם, עמ' 829). Pallant (2020, פרק 18) קוראת תמיד את המבחן הרב-משתני.

מה עדיף? המבחן הרב-משתני מדויק כשההתפלגות נורמלית, אבל חלש במדגמים קטנים, ובלתי אפשרי כשיש פחות נבדקים ממדידות (Maxwell et al., 2018, pp. 775-777). הכלל של Algina ו-Keselman (1997, as cited in Maxwell et al., 2018, p. 776): רב-משתני כשיש עד 4 מדידות, ε ≤ .90 ולפחות k + 15 נבדקים, או 5-8 מדידות, ε ≤ .85 ולפחות k + 30; אחרת – חד-משתני עם תיקון. הכלל מתייחס ל-ε באוכלוסייה, ובחירה לפי האומדן מהמדגם "עלולה להיות בעייתית" (שם). בסיכום Maxwell ועמיתיו נותנים לגישה הרב-משתנית "יתרון קל" (שם, עמ' 778). "קריאת התוצאה" בפלט מחשבת את הכלל על הנתונים שלכם.

מערך מעורב

כשיש גם גורם בין-נבדקי, יש שני סוגי מבחנים (Maxwell et al., 2018, pp. 691-693). האפקט הבין-נבדקי נבדק מול השונות בין הנבדקים בתוך הקבוצות – הוא שקול לניתוח שונות חד-כיווני על הממוצע של כל נבדק, וכדוריות אינה נוגעת לו (שם, עמ' 692, 706). האפקט התוך-נבדקי והאינטראקציה עם הקבוצה נבדקים מול האינטראקציה של הגורם התוך-נבדקי עם הנבדקים בתוך הקבוצות. האינטראקציה היא בדרך כלל השאלה: האם השינוי לאורך הזמן שונה בתוכנית ובביקורת? מדווחים עליה ראשונה (Pallant, 2020, Chapter 20).

הנחה נוספת: שמטריצות השונות-המשותפת של המדידות שוות בקבוצות. המבחנים עמידים להפרה שלה כשהקבוצות שוות בגודלן (Maxwell et al., 2018, p. 704). SPSS בודק אותה ב-Box's M; Pallant (2020, פרק 20) מציעה לקרוא אותו ב-α = .001 כי הוא רגיש מאוד, ו-Maxwell ועמיתיו (2018, עמ' 840) מעריכים שתועלתו המעשית מועטה. העמוד מציג אותו ואת לוין לכל מדידה.

ניגודים, השוואות זוגיות ואפקטים פשוטים

מבחן ה-F אומר שיש הבדל, לא איפה. שלוש דרכים להמשיך – ובוחרים אחת לפי השאלה (Field, 2024, Sections 15.9.5, 15.15.3):

ניגודים מתוכננים – שאלות מוגדרות מראש: מגמה לינארית או ריבועית לאורך זמן (פולינומיאלי, ברירת המחדל של SPSS), כל תנאי מול תנאי בסיס (פשוט), או כל רמה מול הבאה (חוזר) (שם, סעיף 15.8.2). כאן חשוב שכל ניגוד ייבדק עם טעות משלו – השונות של ציוני הניגוד – ולא עם הטעות המשותפת, שמניחה כדוריות; ניגודים רגישים להפרת כדוריות הרבה יותר מהמבחן הכולל (Maxwell et al., 2018, pp. 638-639). כך העמוד, וכך SPSS.

השוואות זוגיות – כל זוג מדידות, עם תיקון בונפרוני. במדידות חוזרות זו ההמלצה, ולא Tukey, שלא שומר על שיעור הטעות כשאין כדוריות (Maxwell et al., 2018, pp. 757-758; Field, 2024, Section 15.5.3).

אפקטים פשוטים – כשיש אינטראקציה: האפקט של גורם אחד בכל רמה של האחר – למשל, השינוי לאורך זמן בתוכנית לחוד ובביקורת לחוד (Field, 2024, Section 15.15.3). כל אפקט כזה הוא מבחן נוסף; Field ממליץ לפרק אינטראקציה במעט מבחנים ככל האפשר ולתקן למספרם (שם).

גדלי אפקט

SPSS מדפיס אטא בריבוע חלקית: SS_אפקט/(SS_אפקט + SS_טעות) – ההבדלים בין הנבדקים אינם במכנה (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427). לכן היא גדולה, ואינה בת השוואה לאטא בריבוע של מחקר בין-נבדקי. Maxwell ועמיתיו (2018, עמ' 634-635) מעדיפים אומגה בריבוע שמשאירה את השונות בין הנבדקים במכנה, כמו במחקר בין-נבדקי – "נראה רצוי לא להתעלם ממנה" (שם, עמ' 635) – והיא אומדת את האוכלוסייה ולא את המדגם. בדוגמה של McCarthy שם: ω² = .04 (שם), כשאטא בריבוע חלקית של אותם נתונים היא .22. העמוד מציג את שתיהן, ואת אומגה בריבוע – במערכים שיש לה נוסחה בספר (גורם תוך-נבדקי אחד או שניים, או אחד עם גורם בין-נבדקי; שם, משוואות 11.35, 12.6 ו-12.22-12.24). לניגוד ולהשוואה זוגית אפשר לחשב d (מבחן t למדגמים מזווגים).

איך קוראים את הפלט?

הלוחות בסדר של SPSS: הממוצעים; הכדוריות (Mauchly ו-ε); המבחנים התוך-נבדקיים לפי התיקון שנבחר; לוח שמשווה את ה-p בארבע הדרכים; המבחנים הרב-משתניים; במערך מעורב – המבחן הבין-נבדקי, לוין ו-Box's M; הניגודים; הממוצעים השוליים; ההשוואות הזוגיות; האפקטים הפשוטים; ותרשים. קוראים קודם את האינטראקציה, אחר כך את האפקטים הראשיים. "קריאת התוצאה" מצביעה על מה שחשוב במקרה שלכם – מידת הסטייה מכדוריות, חד-משתני או רב-משתני, ואינטראקציה.

הנחות

ההנחות של ניתוח שונות רגיל – בלתי תלות בין הנבדקים, נורמליות (בעיקר במדגם קטן) ושוויון שונויות – ועוד אחת: "הומוגניות השונות-המשותפת", כלומר שהנבדקים שומרים פחות או יותר על מקומם היחסי בין התנאים (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 428). בגרסה המדויקת – כדוריות (לעיל). במערך מעורב – גם מטריצות שוות בין הקבוצות (Maxwell et al., 2018, p. 704). כשההנחות לא מתקיימות: מבחן חסין על ממוצעים קטומים (rmanova בחבילת WRS2 ב-R; Field, 2024, סעיף 15.10), מבחן פרידמן כמוצא אחרון (שם, סעיף 15.7), או מודל רב-רמתי (שם, סעיף 15.5.4).

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

Analyze → General Linear Model → Repeated Measures: מגדירים את הגורם התוך-נבדקי ואת מספר הרמות, משבצים את העמודות לפי הסדר, ומוסיפים גורם בין-נבדקי אם יש (Field, 2024, Sections 15.8, 16.5; Pallant, 2020, Chapters 18, 20). ב-Options – תיאורים, גודל אפקט, ובמערך מעורב מבחני הומוגניות; ב-EM Means – השוואת אפקטים ראשיים עם בונפרוני. הלוח הרלוונטי: Tests of Within-Subjects Effects, בשורה של Greenhouse-Geisser (Field, 2024, Section 15.9). העמוד מוריד סינטקס מוכן (GLM ... /WSFACTOR). PSPP אינו מריץ מדידות חוזרות ב-GLM, ולכן הסינטקס לא נבדק בו.

ואיך עושים זאת ב-R?

הדרך הקרובה ל-SPSS: מודל רב-משתני (lm עם מטריצת תגובה) ו-car::Anova עם idata ו-idesign – נותן את המבחנים הרב-משתניים, את החד-משתניים, את Mauchly ואת התיקונים; emmeans – ממוצעים שוליים והשוואות. שני הבדלים קטנים מ-SPSS: Mauchly ב-R כולל איבר מסדר שני, ו-Huynh-Feldt בחבילת car מחושב בתיקון אחר כשיש קבוצות. התסריט שלמטה הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה (הערכים בהערות).

# ANOVA למדידות חוזרות ב-R – קובץ הדוגמה של העמוד (36 סטודנטים, תוכנית/ביקורת × שלוש מדידות של חרדת מבחנים)
library(car)       # Anova על מודל רב-משתני
library(emmeans)   # ממוצעים שוליים והשוואות
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # חובה לסוג III

d <- data.frame(group = factor(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), labels = c("program", "control")),
                pre = c(46, 53, 34, 59, 59, 50, 39, 39, 41, 61, 38, 79, 60, 59, 68, 75, 55, 43, 38, 51, 48, 44, 56, 51, 64, 51, 44, 60, 60, 61, 33, 48, 45, 39, 52, 32),
                post = c(48, 34, 39, 48, 53, 42, 32, 27, 25, 41, 44, 65, 54, 59, 51, 67, 39, 38, 40, 46, 47, 59, 45, 54, 64, 55, 55, 64, 50, 56, 30, 39, 46, 43, 50, 30),
                followup = c(34, 45, 27, 42, 55, 43, 41, 42, 40, 55, 45, 67, 55, 57, 51, 70, 44, 36, 37, 51, 53, 52, 54, 64, 78, 50, 49, 62, NA, 53, 37, 53, 47, 47, 51, 30))
d <- na.omit(d)                                     # מחיקה רשימתית: נשארים 35
fit <- lm(cbind(pre, post, followup) ~ group, data = d)
idata <- data.frame(time = factor(1:3))
av <- Anova(fit, idata = idata, idesign = ~ time, type = 3)
summary(av, multivariate = TRUE)
# זמן (time): F(2, 66) = 5.94, GG eps = .94
# אינטראקציה (group:time): F(2, 66) = 9.46, p (GG) = .0003
# Pillai לאינטראקציה: V = .42, F(2, 32) = 11.50

ml <- list(time = c("pre", "post", "followup"))
pairs(emmeans(fit, ~ time | group, mult.name = "time", mult.levs = ml), adjust = "bonferroni")
# בתוכנית: pre - post = 8.44 (p = .0001)

דיווח התוצאות

מדווחים את המערך, איזה תיקון נעשה ואת ה-ε, ולכל אפקט F עם דרגות החופש המתוקנות (למשל F(1.60, 11.19)), p וגודל אפקט – ומציינים איזה (Field, 2024, Section 15.12). כשמדווחים את המבחן הרב-משתני – את Pillai (V) ואת ה-F שלו (שם; Pallant, 2020, פרק 18 – שם Wilks). ממוצעים וסטיות תקן – בלוח. במערך מעורב – האינטראקציה ראשונה (Pallant, 2020, Chapter 20). העמוד כותב פסקה כזו בעברית ובאנגלית.

טעויות נפוצות

לנתח מדידות חוזרות כאילו היו קבוצות נפרדות – ההבדלים בין הנבדקים נשארים בטעות, והמבחן מאבד את רוב היתרון שלו (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 430-431).

לקרוא את השורה שאינה מתוקנת – "Sphericity Assumed" – בלי לבדוק כדוריות (Maxwell et al., 2018, p. 632).

להחליט על התיקון לפי Mauchly – המבחן תלוי בגודל המדגם; מתקנים לפי ε (Field, 2024, Section 15.5.2).

לבחור בין Greenhouse-Geisser ל-Huynh-Feldt אחרי שרואים איזה מובהק – Field (2024, סעיף 15.9.3) מראה איך באותם נתונים אחד נותן .063 והשני .048; ההחלטה צריכה להיקבע מראש, והחשוב הוא גודל האפקט.

Tukey או ניגודים עם הטעות המשותפת – שניהם מניחים כדוריות; בונפרוני וטעות נפרדת לכל ניגוד (Maxwell et al., 2018, pp. 639, 757-758).

להשוות אטא בריבוע חלקית ממדידות חוזרות לזו של מחקר בין-נבדקי – המכנים שונים (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427; Maxwell et al., 2018, p. 635).

להסיק סיבתיות משינוי לאורך זמן בלי קבוצת ביקורת – אפקטים של סדר כמו תרגול, שעמום ועייפות יכולים להסביר אותו (Field, 2024, Section 1.6.5; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 430); בתנאים – לאזן את הסדר בהגרלה (Field, שם; עמוד משתנים, סולמות ומערכי מחקר).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Algina ו-Keselman (1997) – כמצוטטים אצל Maxwell ועמיתיו (2018); Girden (1992) ואחרים – כמצוטטים אצל Field (2024). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. Field (2024) ו-Pallant (2020) בעותק דיגיטלי מזורם – ציטוט לפי סעיף ופרק; Maxwell ועמיתיו (2018) ו-Gravetter ו-Wallnau (2017) – לפי העמוד המודפס. מוסכמות האתר: מבנה רחב ומחיקה רשימתית כמו SPSS; Greenhouse-Geisser כברירת מחדל בדיווח; Huynh-Feldt בנוסחה המקורית כמו SPSS; סוג III וממוצעים שוליים לא-משוקללים; שתי ספרות אחרי הנקודה בלוחות. החישוב מאומת מול R 4.3.3 (car, emmeans) ומול המספרים המודפסים: אצל Maxwell ועמיתיו – לוחות 11.5, 12.1, 12.7 ו-12.15 (עם 12.5, 12.19 והאומדנים של ε), 13.2 ו-14.9; אצל Gravetter ו-Wallnau – לוח 13.2 והפלט של SPSS באיור 13.4; ובהשוואה לתדפיסים של SPSS אצל Field (2024) ו-Pallant (2020).