גורמים אקראיים, מקוננים וספליט-פלוט

קבוע או אקראי?

ההבדל אינו בגורם עצמו אלא בשאלה. גורם קבוע – הרמות שבניסוי הן בדיוק אלה שמעניינות אותנו, ו"מרחב ההסקה הוא קבוצת הרמות הספציפית שנבדקה" (Montgomery, 2020, p. 493). גורם אקראי – הרמות "נבחרו באקראי מאוכלוסייה גדולה יותר של רמות, והחוקר רוצה להסיק על כל האוכלוסייה" (שם). Maxwell, Delaney ו-Kelley (2018) מנסחים זאת דרך השכפול: גורם קבוע הוא כזה שאותן רמות היו נכללות גם בשכפול של המחקר; באקראי המטרה היא "להכליל לא להשפעות של כמה רמות מסוימות, אלא לאוכלוסייה של רמות שהרמות שנבחרו רק מייצגות" (עמ' 548). גורמים כאלה "נדגמים" יותר משהם "מופעלים" (עמ' 549): בתי ספר, כיתות, מטפלים, מפעילים, אצוות, ימים – והגורם האקראי הנפוץ מכולם, הנבדקים (עמ' 547).

גם כשבתי הספר אינם מדגם אקראי של ממש – למשל אלה שהסכימו להשתתף – השאלה היא אם המסקנה אמורה לחול רק עליהם. אם כן, הגורם קבוע; אם רוצים לדבר על "בתי ספר בכלל" – אקראי (Maxwell et al., 2018, p. 549). ובקבוצות שנבחרו מטעמי נוחות, Murray ו-Blitstein (2003, כמצוטטים אצל Maxwell et al., 2018, עמ' 607) כותבים שלא רק מותר אלא "הכרחי" להגדיר את הקבוצה כאפקט אקראי. התעלמות מגורם אקראי, או הגדרתו כקבוע, "עלולה להוביל לחלק מהמבחנים להיות מוטים כלפי מעלה" (עמ' 551).

גורם אקראי אחד: רכיבי שונות ומתאם תוך-קבוצתי

במודל החד-כיווני האקראי, y_ij = μ + τ_i + ε_ij, ההשפעות τ_i הן משתנה מקרי עם שונות σ²_τ, והשונות של תצפית היא σ²_τ + σ² – "רכיבי השונות" (Montgomery, 2020, p. 101). החישוב זהה לניתוח שונות רגיל, "המסקנות, לעומת זאת, שונות לגמרי" (עמ' 103): ההשערה היא H₀: σ²_τ = 0, על כל אוכלוסיית הרמות. מהתוחלות E(MS_Tr) = σ² + nσ²_τ ו-E(MS_E) = σ² נובעים האומדנים σ̂² = MS_E ו-σ̂²_τ = (MS_Tr − MS_E)/n (משוואות 3.48-3.51, עמ' 103).

ל-σ²_τ עצמו אין רווח סמך מדויק (עמ' 106), אבל ליחס σ²_τ/(σ²_τ + σ²) – המתאם התוך-קבוצתי (ICC) – יש (משוואות 3.56-3.57, עמ' 106), והעמוד מחשב אותו. ה-ICC "מציין את שיעור השונות שמיוחס לגורם האקראי" (Maxwell et al., 2018, p. 547), והוא מקביל ל-ω² של אפקטים קבועים (עמ' 565). בדוגמת הנולים של Montgomery (דוגמה 3.10) – ICC בין .38 ל-.98 (עמ' 106). בנתוני הישגים בבתי ספר ICC טיפוסי הוא .15-.25 (Hedges & Hedberg, 2007, כמצוטטים אצל Maxwell et al., 2018, עמ' 608).

תוחלות ממוצעי הריבועים: איך נבחר המכנה

בניתוח שונות רגיל כל מבחן הוא מול השארית. כשיש גורם אקראי זה כבר לא נכון: "כשיש גורם אקראי במערך, כל אינטראקציה שלו עם גורם אחר משפיעה על ממוצע הריבועים של ההשפעה העיקרית של הגורם האחר" (Maxwell et al., 2018, p. 555). למשל, בתוכנית לימודים (קבועה) × בתי ספר (אקראיים): אם התוכנית עובדת טוב יותר בחלק מבתי הספר, ההפרש בין התוכניות במדגם תלוי באילו בתי ספר נדגמו – ומבחן מול השארית "נותן ערכי F גדולים מדי, אלא אם האינטראקציה באוכלוסייה היא בדיוק אפס" (עמ' 558).

הכלי הוא תוחלת ממוצע הריבועים E(MS) של כל איבר. Montgomery (2020, סעיף 13.4, עמ' 505-507) נותן כללים לכל מערך מאוזן – מוצלב, מקונן או משולב: התוחלת של איבר היא σ², ועוד הרכיב שלו עצמו, ועוד הרכיבים של כל האיברים האקראיים שמכילים אותו; "המקדם של כל רכיב הוא מספר התצפיות בכל ערך שונה שלו" (עמ' 506). את F בונים כך שהמונה והמכנה "שונים רק ברכיב או בגורם הקבוע שמעניין אותנו" (עמ' 505). העמוד מיישם את הכללים בדיוק כך, ומציג את התוחלות בלוח 2 – ואותן אפשר להשוות ללוחות 13.10, 14.1, 14.11 ו-14.17 בספר. Maxwell et al. (2018) מסכמים בכלל אצבע: "מלבד ההשפעה עצמה, התורמים היחידים לתוחלת הם אינטראקציות עם גורמים אקראיים או השפעות אקראיות מקוננות" (עמ' 593).

מודל מעורב: מוגבל או לא-מוגבל?

כשגורם קבוע A מוצלב עם גורם אקראי B, יש שתי גרסאות לאינטראקציה. במודל המוגבל סכום ההשפעות של האינטראקציה על פני הרמות של A הוא אפס בכל רמה של B (Montgomery, 2020, Equation 13.8, p. 500); אז E(MS_B) = σ² + anσ²_β, ו-B נבדק מול השארית. במודל הלא-מוגבל אין הגבלה כזו (עמ' 502); אז E(MS_B) כולל גם את האינטראקציה, ו-B נבדק מול MS_AB (עמ' 503). המבחן של הגורם הקבוע זהה בשניהם.

Montgomery "מעדיף את המודל המוגבל" ומציין שהוא "למעשה מעט כללי יותר" (עמ' 503); Maxwell et al. (2018) "דוחים את הגישה הלא-מוגבלת", כי בה השערת האפס על הגורם האקראי כבר אינה אומרת שהממוצעים השוליים שווים (עמ' 606). מנגד, JMP ו-Minitab (כברירת מחדל) עובדים במודל הלא-מוגבל (Montgomery, 2020, p. 504), וכך גם lmer ב-R; ולפי Maxwell et al. (2018) – גם SPSS ו-SAS (עמ' 605-606). לכן ברירת המחדל בעמוד היא המודל המוגבל, עם מתג למודל הלא-מוגבל; "קריאת התוצאה" מציינת אילו מבחנים משתנים במעבר. הקשר בין הרכיבים בשני המודלים: σ²_β = σ²_γ + σ²_αγ/a – בספר (עמ' 503) הנוסחה מודפסת הפוך (ממצא E3, ראו בהמשך); בדוגמה 13.2: 10.2798 + (−0.1399)/3 = 10.2332.

כשאין מבחן מדויק: F מקורב

עם שני גורמים אקראיים או יותר לפעמים אין ממוצע ריבועים אחד שהתוחלת שלו מתאימה. אז בונים צירוף: MS' = MS_r + … + MS_s במונה ו-MS'' = MS_u + … + MS_v במכנה, כך שההפרש בתוחלות הוא בדיוק הרכיב הנבדק, ו-F = MS'/MS'' מתפלג בקירוב F עם דרגות החופש של Satterthwaite (1946, as cited in Montgomery, 2020): p = (ΣMS)²/Σ(MS²/f) לכל צד (משוואות 13.14-13.18, עמ' 509). אפשר גם להחסיר ממוצעי ריבועים, אבל Montgomery מעדיף צירוף ש"אין בו ממוצעי ריבועים במקדם שלילי" (עמ' 512) – והעמוד בונה תמיד צירוף כזה, ובוחר את הקצר ביותר. בדוגמה 13.5 (מפל לחץ) המבחן של הטמפרטורה הוא (MS_A + MS_ABC)/(MS_AB + MS_AC) = 2.22 עם 2.11 ו-7.88 דרגות חופש (עמ' 511-512), ו-Minitab, שמחסיר, מקבל 2.30. המבחן הזה "רק בקירוב מתפלג F" (Maxwell et al., 2018, p. 560).

איחוד (pooling). חלופה היא להוציא אינטראקציה זניחה מהמודל ולצרף אותה לשארית. אבל החלטה על אינטראקציה מתוך הנתונים "יכולה להיות מסוכנת", כי היא חשופה לטעויות משני הסוגים (Montgomery, 2020, p. 508). הכלל המעשי: "אם לממוצע ריבועי השגיאה המקורי יש שש דרגות חופש או יותר – לא לאחד"; ואחרת רק אם ה-F של האיבר אינו מובהק ב-α גבוה, כמו 0.25 (עמ' 509). Maxwell et al. (2018) מוסיפים שהגישה השמרנית היא להמשיך להשתמש באינטראקציה כמכנה בלי קשר לתוצאת המבחן המקדים (עמ' 562), ושהדרך המעשית ביותר להגדיל את העוצמה היא פשוט להוסיף רמות לגורם האקראי (עמ' 563). בעמוד מסמנים איברים לאיחוד בהגדרות.

גורמים מקוננים

"גורם מקונן בגורם אחר אם כל רמה שלו מופיעה יחד עם רמה אחת בלבד של הגורם השני" (Maxwell et al., 2018, p. 573): כיתות בבתי ספר, אצוות אצל ספקים, מטפלים בשיטות טיפול. המבחן המעשי של Montgomery: "אם אפשר למספר מחדש את רמות הגורם באופן שרירותי" – אצווה 1 של ספק א' ואצווה 1 של ספק ב' אינן אותה אצווה – "הגורם מקונן" (2020, עמ' 519). לכן אין אינטראקציה בין גורם מקונן לגורם שבתוכו (עמ' 519), וסכום הריבועים שלו הוא הסכום של ההבדלים בין הרמות שלו בתוך כל הורה (עמ' 521). בעמוד אפשר למספר את הרמות המקוננות מחדש בכל הורה (1-4 בכל ספק) או ברצף (1-12); כשהמספור רץ, העמוד מזהה את הקינון לבד.

הגורם המקונן הוא בדרך כלל אקראי (Maxwell et al., 2018, p. 574), ואז הוא המכנה של הגורם שמעליו: ההשוואה בין שיטות הטיפול נבחנת מול השונות בין המטפלים, לא בין הנבדקים – "השאלה אם מתמחים גברים מדרגים אחרת ממתמחות נענית כראוי ביחס לשונות בין המתמחים" (עמ' 583). כך גם במחקרים שבהם מקצים כיתות שלמות לתנאים (עמ' 575). Wampold ו-Serlin (2000, כמצוטטים אצל Maxwell et al., 2018, עמ' 590) מראים שהתעלמות מגורם מקונן אקראי עם ICC של .3 יכולה לנפח את שיעור טעות מסוג I פי שלושה ויותר. ניתוח של מערך מקונן כאילו היה מוצלב מייצר "אינטראקציה" חסרת משמעות; SS_B + SS_A×B של הניתוח המוצלב הוא בדיוק SS_B(A) (Montgomery, 2020, pp. 522-524). מערכים משולבים – חלק מהגורמים מוצלבים וחלק מקוננים, כמו בדוגמה 14.2 (מתקנים × סידורים, מפעילים מקוננים בסידור) – מנותחים באותם כללים (עמ' 530-534).

ספליט-פלוט

לפעמים "אי-אפשר לערוך את ההרצות בסדר אקראי לגמרי" (Montgomery, 2020, p. 534). בדוגמה של חוזק המתיחה של נייר (סעיף 14.4) שלוש שיטות הכנה של עיסת נייר נבדקות בארבע טמפרטורות: מכינים אצווה בשיטה אחת, מחלקים אותה לארבעה חלקים ואופים כל אחד בטמפרטורה אחרת – "תשע אצוות בסך הכול" במקום 36 (עמ' 535). האצווה היא חלקה ראשית (whole plot), השיטה – גורם החלקה הראשית, וכל חלק – תת-חלקה (עמ' 535). העיקרון: "הגורמים הקשים לשינוי יוצרים את החלקות הראשיות, והקלים – את תת-החלקות" (עמ' 539). למערך שתי שגיאות: גורם החלקה הראשית נבדק מול חזרה × גורם החלקה הראשית (שגיאת החלקה הראשית), וגורם תת-החלקה והאינטראקציה – מול שגיאות של תת-החלקה, שבדרך כלל קטנות יותר, "כי תת-החלקות הומוגניות יותר" (עמ' 537). לכן "כדאי לשים בתת-החלקות את הגורם שמעניין אותנו יותר" (עמ' 535).

במודל המלא (משוואה 14.15) החזרות אקראיות, ולחזרות ולחזרה × תת-החלקה אין מבחן (עמ' 536); אם מניחים שהאינטראקציות עם החזרות בתת-החלקה זניחות, מאחדים אותן ומקבלים מודל פשוט יותר (משוואה 14.16, עמ' 537) – זה המודל שבו JMP משתמש (שם), וגם aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) ב-R. בעמוד: בלשונית "תכנון ספליט-פלוט" – סדר ההרצה והטבלה הצפויה; בניתוח – חזרה אקראית, שני הגורמים קבועים, ולאיחוד מסמנים את חזרה × תת-החלקה ואת חזרה × האינטראקציה. במדעי ההתנהגות אותו מבנה נקרא גם "מערך מעורב": גורם בין-נבדקי וגורם תוך-נבדקי, כשהנבדקים מקוננים בגורם הבין-נבדקי (Maxwell et al., 2018, pp. 689-690) – בעמוד: הנבדק אקראי ומקונן בקבוצה, ומוצלב עם הגורם התוך-נבדקי.

ספליט-פלוט "בלי כוונה". כשמריצים ניסוי פקטוריאלי בסדר שמקטין את מספר השינויים של גורם קשה לשינוי, ואחר כך מנתחים כאילו הסדר היה אקראי, "נוטים לעשות יותר מדי טעויות מסוג I בגורמי החלקה הראשית, ויותר מדי טעויות מסוג II בגורמי תת-החלקה" (Montgomery, 2020, p. 538). וכלל אצבע: "אם כל ההשפעות והאינטראקציות מובהקות, כדאי לבדוק היטב איך הניסוי נערך בפועל" (עמ' 540).

רכיבי השונות: אומדנים, רווחי סמך וערכים שליליים

העמוד אומד את רכיבי השונות בשיטת ANOVA: פותרים את משוואות התוחלת של האיברים האקראיים "אחרי שמסלקים את ממוצעי הריבועים שמכילים גורמים קבועים" (Montgomery, 2020, p. 501). זו שיטת מומנטים, ש"אינה דורשת את הנחת הנורמליות" (עמ' 103). טעות התקן – √(Σ2c_i²MS_i²/f_i), כמו בפלט של JMP בספר (לוחות 3.20 ו-14.7, עמ' 109, 527). לשונות השגיאה יש רווח סמך מדויק מחי-בריבוע (משוואה 13.19, עמ' 512); לשאר – קירוב Satterthwaite (משוואות 13.20-13.23, עמ' 514-515), ש"אפשר להשתמש בו רק כשהאומדן חיובי" (עמ' 515), ועובד היטב כשדרגות החופש גדולות והמקדמים חיוביים (עמ' 516). בדוגמה 13.6: σ̂²_τβ = 31.36, r = 5.19, והרווח 12.39 עד 179.83 (בספר 180.84, בגלל עיגול הקוונטיל – ממצא E25).

אומדן שלילי. ההפרש בין שני ממוצעי ריבועים יכול לצאת שלילי. Montgomery מונה שלוש דרכים: לקבל אותו כסימן שהרכיב אפס – אבל "אפס במקום האומדן השלילי עלול לשבש את התכונות של אומדנים אחרים"; לאמוד מחדש בשיטה שנותנת תמיד ערכים לא-שליליים; או לראות בו סימן שהמודל שגוי (עמ' 104). דרך מעשית נוספת: כשה-p של האינטראקציה גדול, להוציא אותה ולנתח מחדש – "גישה קלה יחסית שעובדת לעיתים קרובות כמעט כמו שיטות מתוחכמות יותר" (עמ' 497). Maxwell et al. (2018) מציינים שהמוסכמה היא לקבוע את האומדן לאפס (עמ' 566), ושבדרך כלל זה סימן למדגם קטן או לרכיב קרוב לאפס (עמ' 964). העמוד מציג את האומדן השלילי כפי שהוא (בכתום), ומחשב את החלק מהשונות הכוללת כאילו הוא אפס.

ANOVA או REML? REML היא "הגרסה המקובלת של נראות מרבית לאמידת רכיבי שונות" (Montgomery, 2020, p. 108), ויתרונה ש"היא מייצרת טעויות תקן, ולכן קל למצוא רווחי סמך" (עמ' 513). במערך מאוזן "שתי השיטות מסכימות" (עמ' 109, 499) – אבל רק כש-REML אינו מוגבל לערכים לא-שליליים (כמו ב-JMP). lmer ב-R מגביל, ולכן כשאחד מאומדני ANOVA שלילי, הוא מאפס אותו ומשנה גם את האחרים: בדוגמה 13.1 – חלקים 10.2513 במקום 10.2798 (ממצא E9). בדוגמת העמוד – שיטה × בית ספר: −0.089 ב-ANOVA, 0 ב-REML. במערך לא-מאוזן משתמשים במודל מעורב – "שיטת הבחירה כשגודלי המדגם אינם שווים" (Maxwell et al., 2018, p. 954); העמוד מנתח רק מערכים מאוזנים, ובמערך לא-מאוזן מציע תסריט R עם lmer.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – מבנה המערך כפי שהעמוד הבין אותו: סוג כל גורם, מספר הרמות, ובתוך מה הוא מקונן. כדאי לבדוק אותו ראשון – רוב הטעויות בניתוח כזה הן טעויות במבנה.

לוח 2 – ניתוח השונות: SS, df ו-MS כרגיל; העמודה E(MS) – מה כל ממוצע ריבועים אומד (σ²_X – רכיב שונות של איבר אקראי, θ²_X – גודל ההשפעה של איבר קבוע, כמו אצל Maxwell et al., 2018, עמ' 557); "מכנה המבחן" – מול מה נבדק כל איבר. F עם ^a – F מקורב, עם דרגות חופש לא שלמות. "אין מבחן" – אין צירוף מתאים; "משמש כשארית" – האיבר העליון כשאין חזרות בתאים.

לוח 3 ותרשים 1 – רכיבי השונות: אומדן, טעות תקן, החלק מהשונות הכוללת (ICC של כל רכיב), ורווח סמך. העמודה "האומדן" מראה את הנוסחה – אפשר לשחזר אותה ביד מלוח 2. ICC (במערך חד-כיווני) – עם רווח סמך מדויק. ממוצעים – לכל גורם קבוע, עם טעות תקן מהמכנה של המבחן שלו (Montgomery, 2020, p. 501).

בדוגמה (שלוש שיטות הוראה × ארבעה בתי ספר, שתי כיתות בכל שיטה בכל בית ספר, שלושה תלמידים בכיתה): השיטה נבדקת מול שיטה × בית ספר, F(2, 6) = 5.18, p = .049 – מובהק בקושי, עם שש דרגות חופש בלבד; בית הספר, במודל המוגבל, נבדק מול הכיתות, F(3, 12) = 2.14, p = .148; ההבדלים בין הכיתות מובהקים, F(12, 48) = 2.48, p = .013, והכיתה אחראית לכ-30% מהשונות. האינטראקציה שיטה × בית ספר – אומדן שלילי קטן.

הנחות ואזהרות

איזון. כללי התוחלות חלים על מערכים מאוזנים בלבד – אותו מספר רמות בכל הורה ואותו מספר תצפיות בכל תא (Montgomery, 2020, p. 505). בגורם מקונן אקראי עם גדלים לא שווים "אין מבחן מדויק" (Maxwell et al., 2018, p. 586).

התפלגות. ההשפעות האקראיות והשגיאות מתפלגות נורמלית, בלתי תלויות, עם שונות אחידה – גם בתוך כל רמה של הגורם הקבוע (Maxwell et al., 2018, p. 585). F מקורב ורווחי Satterthwaite – קירובים בלבד.

עוצמה. "העוצמה תלויה גם במספר הנבדקים וגם במספר הרמות של הגורם האקראי – ומספר הרמות הוא בדרך כלל השיקול החשוב יותר" (Maxwell et al., 2018, p. 572). עם ארבעה בתי ספר, למבחן של השיטה יש שש דרגות חופש בלבד, גם אם בכל בית ספר מאות תלמידים.

גורמים אקראיים מוצלבים רבים. כשיש יותר מגורם אקראי אחד מלבד אלה שבאיבר, לרוב אין מבחן מדויק (Maxwell et al., 2018, p. 559), והמבחן המקורב דורש רמות רבות.

מה העמוד אינו מחשב. מערכים לא-מאוזנים (בשבילם – תסריט lmer), מערכים מקוננים מדורגים (staggered; Montgomery, 2020, Section 14.1.4), ספליט-פלוט חלקי בלי חזרות שמנותח בגרפים חצי-נורמליים (סעיף 14.5.1), רווחי MLS (משוואות 13.24-13.27), שיפועים אקראיים ומנבאים ברמת הקבוצה (Maxwell et al., 2018, Chapter 16), ו-ICC למהימנות של שופטים (פרק 11). ספליט-ספליט-פלוט ומערך רצועות (סעיפים 14.5.2-14.5.3) מנתחים בעמוד כמערך עם חזרה אקראית ושלושה או שני גורמים קבועים, עם איחוד האיברים המתאימים. בעמוד "תכנון ניסויים" – ניסויים פקטוריאליים עם גורמים קבועים, 2^k ושברים; ובעמוד "משטחי תגובה" – גורמים כמותיים ונקודת המיטב.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

ב-Analyze › General Linear Model › Univariate מכניסים את הגורמים האקראיים ל-Random Factor(s); איבר מקונן כותבים בסינטקס, /DESIGN = A B(A). SPSS מחשב תוחלות ממוצעי ריבועים ובונה מבחנים, כולל מקורבים – במודל הלא-מוגבל (Maxwell et al., 2018, pp. 605-606), ולכן להשוואה בוחרים בעמוד "לא-מוגבל". את מבחני המודל המוגבל מוסיפים ב-/TEST = method VS method*school (עמ' 568); הסינטקס של העמוד כותב אותם לבד. רכיבי שונות – ב-VARCOMP עם /METHOD=SSTYPE(3) (אומדני ANOVA, לא-מוגבל). הנתיבים הם מידע כללי על התוכנה, והסינטקס לא הורץ ב-SPSS. ב-PSPP, התוכנה החופשית שקוראת סינטקס של SPSS, אין UNIANOVA ו-VARCOMP, ופקודת GLM שלה אינה מקבלת איברים מקוננים; את סכומי הריבועים של מערך מוצלב בדקנו בה, והם זהים לעמוד.

ואיך עושים זאת ב-R?

שתי דרכים. הקלאסית – lm לסכומי הריבועים, ואז מבחנים ורכיבים לפי התוחלות, ביד; זה מה שהתסריט של העמוד עושה, עם המכנים שהעמוד בחר. aov עם Error() נותן את המבחנים של המודל הלא-מוגבל (למשל aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) לספליט-פלוט). המודרנית – lmer מחבילת lme4: (1 | school) לגורם אקראי, (1 | method:school) לאינטראקציה שלו, ו-(1 | school:class) לגורם מקונן; lmerTest מוסיפה מבחני F. lmer הוא מודל לא-מוגבל עם רכיבים לא-שליליים – ראו "ANOVA או REML". הסקריפט שלמטה הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה האנגלי, והערכים בהערות זהים לעמוד. כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, ושמות משתנים באנגלית.

# גורמים אקראיים ומקוננים – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל
library(lme4)     # מודלים מעורבים (install.packages("lme4"))

# טעינה: מבנה ארוך – שורה = תלמיד; הגיליון "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_mix_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))
for (v in c("method", "school", "class")) d[[v]] <- factor(d[[v]])

# סכומי הריבועים: שיטה, בית ספר, האינטראקציה, וכיתה המקוננת בשיטה × בית ספר
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))
a <- anova(lm(score ~ method + school + method:school + method:school:class, data = d))
MS <- setNames(a[["Mean Sq"]], c("method", "school", "method:school", "class", "Residuals")); round(MS, 3)
# תוצאה: 511.097 212.759 98.690 99.222 40.056

# מבחנים במודל המוגבל (ברירת המחדל בעמוד): בית ספר נבדק מול כיתה, לא מול שיטה × בית ספר
c(method = MS[["method"]] / MS[["method:school"]], school = MS[["school"]] / MS[["class"]],
  method.school = MS[["method:school"]] / MS[["class"]], class = MS[["class"]] / MS[["Residuals"]])
# תוצאה: 5.179 (2, 6), 2.144 (3, 12), 0.995 (6, 12), 2.477 (12, 48)

# רכיבי השונות בשיטת ANOVA, במודל המוגבל
c(school = (MS[["school"]] - MS[["class"]]) / 18, method.school = (MS[["method:school"]] - MS[["class"]]) / 6,
  class = (MS[["class"]] - MS[["Residuals"]]) / 3, residual = MS[["Residuals"]])
# תוצאה: 6.308, -0.089, 19.722, 40.056

# להשוואה: REML – מודל לא-מוגבל, ורכיבים לא שליליים (שיטה × בית ספר מתאפס)
m <- lmer(score ~ method + (1 | school) + (1 | method:school) + (1 | method:school:class), data = d)
print(VarCorr(m), comp = "Variance")
# תוצאה: בית ספר 6.318, שיטה × בית ספר 0.000, כיתה 19.663, שארית 40.056

דיווח התוצאות

הדיווח צריך לאפשר לשחזר את המערך ואת הניתוח: אילו גורמים קבועים ואילו אקראיים ולמה, מה מקונן במה, כמה רמות וכמה תצפיות בכל תא; איזה מודל (מוגבל או לא-מוגבל) ואילו איברים אוחדו; לכל מבחן – F עם דרגות החופש של המכנה האמיתי (לא של השארית, כשהמכנה אחר) ו-p; ורכיבי השונות או ה-ICC, עם רווחי סמך. APA (2020, סעיף 6.43) מבקש "די מידע כדי שהקורא יוכל לאשש את הניתוחים". כללי הצורה (סעיף 6.36): p ו-ICC בלי אפס לפני הנקודה; F ורכיבי שונות – עם. פסקת הממצאים בפלט בנויה כך, בעברית ובאנגלית.

טעויות נפוצות

לבדוק הכול מול השארית. כשיש גורם אקראי, זה מנפח את F של הגורמים הקבועים שמוצלבים איתו או שמעליו (Maxwell et al., 2018, pp. 558, 590).

לנתח מערך מקונן כאילו היה מוצלב. מתקבלת "אינטראקציה" שאין לה פירוש (Montgomery, 2020, pp. 522-524). שואלים: האם אצווה 1 אצל ספק א' היא אותה אצווה כמו אצווה 1 אצל ספק ב'?

להתעלם מהחלקות הראשיות. ספליט-פלוט שמנותח כמערך אקראי לגמרי – יותר מדי טעויות מסוג I בגורם החלקה הראשית ומסוג II בתת-החלקות (עמ' 538).

מעט רמות לגורם האקראי. שלושה או ארבעה בתי ספר – והמבחן של השיטה כמעט חסר עוצמה, לא משנה כמה תלמידים (Maxwell et al., 2018, p. 572).

להשוות רכיבי שונות בין תוכנות בלי לבדוק את המודל. מוגבל או לא-מוגבל, ANOVA או REML, עם או בלי איפוס – כל אחד נותן מספר אחר לאותו רכיב. בדוגמת חוזק הנייר, JMP מדווח 2.4757 לחזרות (לוח 14.19, עמ' 538 – לא-מוגבל, מאוחד), והמודל המוגבל נותן 2.90.

לאחד אינטראקציה רק כי אינה מובהקת. עם שש דרגות חופש או יותר לשגיאה – לא מאחדים; ואחרת – רק אם ה-p מעל 0.25 (Montgomery, 2020, p. 509).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Satterthwaite (1946), Murray ו-Blitstein (2003), Hedges ו-Hedberg (2007) ו-Wampold ו-Serlin (2000) – כמצוטטים אצל Montgomery (2020) ואצל Maxwell et al. (2018). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור; הציטוטים לפי העמוד המודפס. נקראו סעיף 3.9 ופרקים 13-14 של Montgomery, ופרק 10, סעיפים מפרקים 11-12 ופרק 16 של Maxwell et al. החישוב בעמוד מאומת מול R 4.3.3 (lm, aov עם Error, lme4, lmerTest), ומול כל המספרים המודפסים בדוגמאות 3.10, 13.1-13.6, 14.1-14.2 ובדוגמת חוזק הנייר (סעיף 14.4) של Montgomery ובלוחות 10.5, 10.9 ו-12.19 של Maxwell et al.