מבחן t למדגמים מזווגים

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת שתי המדידות

מדריך

מתי משתמשים?

כשלכל נבדק יש שתי מדידות מאותו סוג והשאלה היא אם הממוצע השתנה: אותו שאלון לפני התערבות ואחריה, שני תנאים שכל נבדק עבר, שני פריטים באותו סולם שאותם אנשים דירגו – או זוגות מותאמים, שבהם כל נבדק בקבוצה אחת מותאם אחד-לאחד לנבדק בקבוצה השנייה (תאומים, בני זוג, או התאמה לפי גיל ומין). Pallant (2020, פרק 17) מגדירה: קבוצה אחת של נבדקים, שני אוספים של ציונים על אותו משתנה רציף – ומשתנה בלתי-תלוי קטגוריאלי אחד עם שתי רמות (זמן 1 / זמן 2). Field (2024, סעיף 10.5) מביא את "מכונת הבלבול": מבחן t למזווגים, מבחן t תלוי, מבחן למדידות חוזרות, מבחן לזוגות מותאמים – כולם אותו מבחן. Gravetter ו-Wallnau (2017, עמ' 336-338) קוראים לשני המערכים – מדידות חוזרות וזוגות מותאמים – בשם המשותף related-samples designs, ומדגישים שהם שקולים סטטיסטית: הנתונים הם זוגות של ציונים, ומה שנבדק הוא ההפרש בתוך כל זוג.

היחידה הנבדקת היא ההפרש בתוך הנבדק (או בתוך הזוג) – ולכן זהו מבחן שונה ממבחן t למדגמים בלתי-תלויים, שבו כל קבוצה מורכבת מאנשים אחרים. יותר משתי מדידות של אותם נבדקים – ניתוח שונות למדידות חוזרות (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, Chapter 13), בעמוד ANOVA למדידות חוזרות, לא סדרה של מבחני t מזווגים; כשההפרשים מפרים קשות את הנחת הנורמליות במדגם קטן – מבחן וילקוקסון (Pallant, 2020, Chapter 16; Gravetter & Wallnau, Appendix E), בעמוד משלו. ציון סולם רב-פריטי (ממוצע פריטים, עמוד אלפא של קרונבך וציון סולם) מטופל כמשתנה רווח לפי מוסכמת האתר (עמוד משתנים וסולמות מדידה), ולכן מתאים כמדידה; פריט ליקרט יחיד – לא.

ההיגיון: ההפרשים, לא הציונים

השלב הראשון הוא לחשב לכל נבדק את ההפרש בין שתי המדידות – D (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 339-340, Equation 11.1). מכאן ואילך המבחן אינו רואה את הציונים המקוריים אלא רק את ההפרשים: הממוצע שלהם, M_D, הוא אומדן ההשפעה; סטיית התקן שלהם, s_D, אומרת עד כמה ההשפעה עקבית בין הנבדקים. השאלה היא אם ממוצע ההפרשים באוכלוסייה, μ_D, הוא אפס. Field (2024, סעיף 10.5.2, משוואות 10.6-10.7): t הוא ממוצע ההפרשים חלקי טעות התקן של ההפרשים (s_D/√N) – "אות חלקי רעש": ההפרש הנצפה ביחס למה שסביר לקבל משתי דגימות מקריות מאותה אוכלוסייה. דרגות החופש: df = n − 1, כשהיחידה היא הזוג (Gravetter & Wallnau, pp. 341-342).

למה המערך המזווג חזק יותר. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 353-354, לוח 11.4) מראים את זה על אותם מספרים בדיוק: שלושה נבדקים, הפרש ממוצע של 5 נקודות. כמבחן לבלתי-תלויים – השונות בתוך כל תנאי כוללת את ההבדלים הגדולים בין האנשים (ביל 33, ג'ון 18), טעות התקן 5.77, t = 0.87, לא מובהק. כמדידות חוזרות – ההבדלים בין האנשים נעלמים בהפרשים (כל אחד ירד בכמה נקודות), טעות התקן 1.15, t = −4.35, מובהק. כל נבדק משמש ביקורת של עצמו. Field (סעיף 10.9.4) מנסח את אותו רעיון דרך המתאם שבלוח 2: ככל שהמדידות מתואמות יותר, סטיית התקן של ההפרשים קטנה יותר והמבחן רגיש יותר.

איך קוראים את הפלט?

שלושת הלוחות הם שלושת הלוחות של SPSS (Pallant, 2020, Chapter 17; Field, 2024, Section 10.9.4):

לוח 1 – סטטיסטיקה תיאורית של שתי המדידות (Paired Samples Statistics): ממוצע, N, סטיית תקן וטעות תקן של כל מדידה, על הנבדקים שיש להם שתיהן. Pallant מתחילה כאן את "שלב 2": אחרי שנמצא הבדל מובהק, בלוח הזה רואים לאיזה כיוון – איזו מדידה גבוהה יותר. Field מעיר שהמספרים כאן זהים לאלה של אותם נתונים במערך בלתי-תלוי; מה שמשתנה הוא לוח 3.

לוח 2 – המתאם (Paired Samples Correlations): מתאם פירסון בין שתי המדידות עם p. אצל Field (סעיף 10.9.4) הוא גבוה ומובהק בדוגמת גלימת ההיעלמות (r = .806, p = .002) – כצפוי, כי שתי המדידות באו מאותם אנשים ואנשים עקביים עם עצמם. אצל Pallant (פרק 17) r = .862 בין פחד מסטטיסטיקה בזמן 1 ובזמן 2. מתאם נמוך אינו שגיאה, אבל הוא אומר שהמערך המזווג כמעט אינו מרוויח (Gravetter & Wallnau, p. 354) – ולפעמים שהזיווג בקובץ שגוי.

לוח 3 – ההפרשים (Paired Samples Test): ממוצע ההפרשים (M_D; ראשונה פחות שנייה, כמו ב-SPSS), סטיית התקן של ההפרשים, טעות התקן שלהם, רווח סמך 95% להפרש, ואז t, df ו-p דו-זנבי. Pallant (פרק 17, "שלב 1"): מסתכלים קודם בעמודת Sig. (2-tailed) – קטן מ-.05, יש הבדל מובהק; רושמים את t, את df ואת ההפרש עם רווח הסמך. Field (סעיף 10.9.4) מפרק את המספרים: t = −1.25/0.329 = −3.804, df = N − 1 = 11, p = .003 – "רק 0.3% סיכוי ל-t כזה אם ממוצע ההפרשים באוכלוסייה הוא אפס". הסימן של t ושל ההפרש תלוי רק בסדר שבחרתם: אם המדידה השנייה גבוהה, ההפרש שלילי. רווח הסמך. הטווח שבו, ברמת ביטחון 95%, נמצא ממוצע ההפרשים באוכלוסייה (Gravetter & Wallnau, pp. 348-349, Equation 11.5): כשהוא כולל את האפס המבחן אינו מובהק, וההפך – אותה הכרעה בשתי שפות. ככל שהמדגם קטן, הרווח רחב, ולכן הוא תיאור של אי-ודאות ולא מדד טהור לגודל האפקט (עמ' 349).

גודל האפקט

מובהקות אינה גודל: במדגם גדול גם שינוי זעום יוצא מובהק (Field, 2024, Section 3.7.3). הלוח מדפיס שלושה מדדים, כי שלושת המקורות מדווחים מדדים שונים – והעמוד מציג את כולם:

מה ההבדל בפועל: d_z מודד את עקביות השינוי בתוך האנשים, ולכן תלוי במתאם – מתאם גבוה מכווץ את סטיית התקן של ההפרשים ומנפח אותו; d המתוקן ואטא בריבוע קרובים יותר למה שהיה מתקבל במערך בלתי-תלוי. תיבת "קריאת התוצאה" שבפלט מציגה את שלושתם ואומרת אם הם מספרים אותו סיפור. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 350-351, איורים 11.3-11.4) ממחישים: אותו הפרש ממוצע של 2 נקודות עם s = 2 הוא אפקט גדול ומובהק, ועם s = 6 – כשחלק עולים וחלק יורדים – אינו מובהק: "שונות גדולה מטשטשת דפוסים".

הנחות ואזהרות

שתי הנחות (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 346): התצפיות בתוך כל תנאי בלתי-תלויות זו בזו (אנשים שונים), והתפלגות ההפרשים באוכלוסייה נורמלית. Field (2024, סעיף 10.9.2) מדייק: מה שחשוב הוא התפלגות ההפרשים, לא הציונים עצמם – "אפשר ששתי מדידות לא-נורמליות בעליל ייתנו הפרשים שמתפלגים יפה"; לכן אם בודקים נורמליות, מחשבים את עמודת ההפרש ובודקים אותה (עמוד שכיחויות וסטטיסטיקה תיאורית; חריגים – עמוד חריגים והנחות). Pallant (פרק 17) ו-Gravetter ו-Wallnau (עמ' 346) מסכימים שבמדגם של 30 זוגות ומעלה ההפרה אינה מדאיגה; במדגם קטן עם הפרשים לא-נורמליים – וילקוקסון, או רווחי סמך ב-bootstrap (Field, Section 10.9.5) ומבחן t חסין (Yuen) – שאינם בעמוד.

הזיווג חייב להיות נכון. השורה היא הנבדק: שתי המדידות באותה שורה הן של אותו אדם (או אותו זוג מותאם). קובץ שממוין מחדש בעמודה אחת בלבד הורס את הזיווג בלי שום הודעת שגיאה – המתאם בלוח 2 הוא בדיקת השפיות: מתאם אפסי בין "לפני" ל"אחרי" של אותו שאלון הוא כמעט תמיד בעיית נתונים.

ערכים חסרים. נבדק שחסרה לו אחת משתי המדידות אינו נכלל כלל – אין לו הפרש (/MISSING=ANALYSIS, ברירת המחדל של SPSS); העמוד מדווח כמה נשרו. בלפני-אחרי זו נשירה (attrition): אם מי שנשר שונה ממי שנשאר, ההשוואה מוטה. מה לעשות בחסרים – עמוד ערכים חסרים.

סדר, זמן ותרגול. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 354-355): החיסרון של מדידות חוזרות הוא שגורמים שמשתנים בזמן – מצב רוח, בריאות, מזג אוויר – והתנסות במדידה הראשונה (אפקט תרגול, אפקט סדר) יכולים לשנות את הציון השני בלי קשר לטיפול. התרופה המערכית: איזון סדר (counterbalancing) – חצי מהנבדקים בסדר א-ב וחצי ב-א; כשצפויים אפקטים חזקים של זמן או סדר, עדיף מערך בלתי-תלוי. Pallant (פרק 17, "זהירות"): הבדל מובהק לפני-אחרי אינו הוכחה שההתערבות גרמה לו – חלוף הזמן ואירועים אחרים יכולים להסביר אותו; קבוצת ביקורת שלא קיבלה את ההתערבות הייתה משפרת את המערך.

רווחי הסמך שבתרשים. Field (סעיף 10.9.2) מזהיר: רווחי סמך של כל מדידה בנפרד מתעלמים מהזיווג, ובמדידות חוזרות הם יכולים לחפוף גם כשההבדל מובהק מאוד (הוא מציע תיקון לפי ממוצע הנבדק). התרשים בעמוד מציג אותם כתיאור של כל מדידה; הרווח שקובע הוא רווח הסמך להפרש שבלוח 3.

מה העמוד אינו מחשב. רווח סמך ל-d (SPSS 27 ומעלה מדפיס אותו – Field, סעיף 10.9.6), bootstrap ומבחן t חסין (Yuen – Field, Section 10.9.5), מבחן חד-זנבי (Gravetter & Wallnau, עמ' 345-346, דוגמה 11.3 – ההליך הדו-שלבי), ניתוח שונות למדידות חוזרות, Bayes factor (Field, Section 10.9.7), וכמה זוגות בלחיצה אחת (SPSS מאפשר; כאן זוג אחד בכל פעם – וכשמריצים כמה, כל מבחן נושא 5% סיכון לטעות מסוג I). החלופה הא-פרמטרית, וילקוקסון למדגמים מזווגים – בעמוד משלו.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

הערת גרסאות. ההליך יציב; מגרסה 27 הדיאלוג כולל Estimate effect sizes ומדפיס לוח Paired Samples Effect Sizes עם Cohen's d ורווח סמך, ובו גם בחירת המתקנן (Standardizer): סטיית התקן של ההפרשים (d_z, ברירת המחדל), מתוקנת למתאם (ה-d של Field, סעיף 10.9.3), או ממוצע השונויות. Pallant (2020, לפי גרסה 26) כותבת ש-SPSS "אינו מספק גודל אפקט למבחני t" ומחשבת אטא בריבוע ביד. בגרסאות ישנות – מחקו את שורת /ES מהסינטקס.

ההליך (Pallant, 2020, Chapter 17; Field, 2024, Section 10.9.3): Analyze › Compare Means › Paired-Samples T Test… – מסמנים את שני המשתנים (הראשון, ואז עם Ctrl השני) ומעבירים אותם יחד לתיבת Paired Variables; הסדר קובע את כיוון ההפרש (Variable1 − Variable2). אפשר להוסיף זוגות נוספים באותו דיאלוג. Options… – רמת רווח הסמך (95%) והטיפול בחסרים; Bootstrap… – רווחי סמך BCa שאינם מניחים נורמליות (Field, Section 10.9.5). הסינטקס:

T-TEST PAIRS=עמדות_ציון WITH עמדות_ציון_2 (PAIRED)
  /ES DISPLAY(TRUE) STANDARDIZER(SD)
  /CRITERIA=CI(.9500)
  /MISSING=ANALYSIS.

קריאת הפלט. Paired Samples Statistics = לוח 1 (Mean, N, Std. Deviation, Std. Error Mean); Paired Samples Correlations = לוח 2 (N, Correlation, Sig.; ב-SPSS 27 ומעלה Two-Sided p); Paired Samples Test = לוח 3 – תחת Paired Differences: Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean, 95% Confidence Interval of the Difference (Lower, Upper), ואז t, df, Sig. (2-tailed) (ב-27 ומעלה One-Sided p ו-Two-Sided p – מדווחים את הדו-צדדי); Paired Samples Effect Sizes – שורת Cohen's d, עמודת Point Estimate, היא d_z שבהערת הלוח (Hedges' correction – לא בעמוד). כפתור "הורדת סינטקס SPSS" בפלט מייצר את הטעינה, המילון (אם היה מקרא) ופקודת T-TEST PAIRS על הזוג שנבחר.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי t.test(x, y, paired = TRUE) נותן את לוח 3 (ההפרש x − y), ו-cor.test(x, y) את לוח 2. R מתעלם בעצמו משורות שבהן אחת המדידות חסרה (עם paired = TRUE הוא משמיט את הזוג). d_z, d המתוקן ו-η² מחושבים ביד מהנוסחאות שבמדריך. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים (ב-Windows: R 4.2 ומעלה, או Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# מבחן t למדגמים מזווגים – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_tpaired_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
ok <- complete.cases(d[["עמדות_ציון"]], d[["עמדות_ציון_2"]])   # רק נבדקים עם שתי המדידות (113 מתוך 120)
x <- d[["עמדות_ציון"]][ok]; y <- d[["עמדות_ציון_2"]][ok]

# לוח 1 – סטטיסטיקה של שתי המדידות
rbind(ראשונה = c(n = length(x), M = mean(x), SD = sd(x)), שנייה = c(n = length(y), M = mean(y), SD = sd(y)))
# תוצאה: ראשונה n 113, M 3.262, SD 0.754; שנייה n 113, M 3.412, SD 0.731

# לוח 2 – המתאם בין המדידות
cor.test(x, y)                       # r = .852, p < .001

# לוח 3 – מבחן t למזווגים (ההפרש = x − y)
t.test(x, y, paired = TRUE)          # t = -3.94, df = 112, p < .001, הפרש -0.150, רווח סמך [-0.226, -0.075]

# גודל האפקט: dz, d מתוקן למתאם, ואטא בריבוע = t²/(t² + df)
D <- x - y; r <- cor(x, y)
mean(D) / sd(D)                                         # dz = -0.370
mean(D) / (sd(D) / sqrt(2 * (1 - r)))                   # d מתוקן = -0.202
tt <- t.test(x, y, paired = TRUE); unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))   # אטא בריבוע = .122

דיווח התוצאות

מדווחים את הממצא ואז את הסטטיסטיקה: ממוצע וסטיית תקן (או טעות תקן) של כל מדידה, t עם דרגות החופש בסוגריים, p מדויק, ההפרש עם רווח הסמך, וגודל האפקט (Field, 2024, Section 10.10; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 349; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). הדוגמה של Pallant (2020, פרק 17): "נמצאה ירידה מובהקת סטטיסטית בציוני FOST מזמן 1 (M = 40.17, SD = 5.16) לזמן 2 (M = 37.5, SD = 5.15), t(29) = 5.39, p < .001 (דו-זנבי). הירידה הממוצעת הייתה 2.67, עם רווח סמך 95% מ-1.66 עד 3.68. אטא בריבוע (.50) הצביע על גודל אפקט גדול." הדוגמה של Field (סעיף 10.10.1), על אותם נתונים כמערך מזווג: "ההפרש, −1.25, BCa 95% CI [−1.75, −0.75], היה מובהק, t(11) = −3.80, p = .003, וייצג אפקט של d = 0.68 [−1.19, −0.18]". Gravetter ו-Wallnau (עמ' 349): "שינוי ממילה ניטרלית לקללה הפחית את הכאב הנתפס בממוצע ב-M = 2.00 נקודות, SD = 2.00. האפקט היה מובהק, t(8) = −3.00, p = .017, r² = 0.529" – וכש-p מדויק זמין מהמחשב, מדווחים אותו ולא p < .05.

כללי הצורה (APA, 2020, Section 6.36): t, ההפרש ו-d עם אפס לפני הנקודה (יכולים לעלות על 1), p, r ו-η² בלי (אינם יכולים). משפטי הדיווח שבפלט בנויים כך, בעברית ובאנגלית, עם d_z; מי שמדווח את d המתוקן של Field או אטא בריבוע – מחליף את המדד מהערת הלוח ואומר איזה מדד זה.

טעויות נפוצות

מבחן לבלתי-תלויים על מדידות חוזרות. לפני-אחרי של אותם אנשים מפר את אי-התלות; מבחן לבלתי-תלויים על אותם נתונים גם מאבד את היתרון של הזיווג – t = 0.87 במקום −4.35 בדוגמה של Gravetter ו-Wallnau (עמ' 353-354).

מבחן מזווג על אנשים שונים. ההפך: שתי קבוצות נפרדות שהודבקו זו לצד זו בעמודות "לפני" ו"אחרי" אינן זוגות; ההפרשים חסרי משמעות. לשאלה "מי בשורה" יש תשובה אחת – אותו נבדק (או אותו זוג מותאם).

לפרש שינוי כסיבתיות. בלי קבוצת ביקורת, הזמן שעבר, אירועים אחרים ותרגול הם הסברים חלופיים (Pallant, 2020, Chapter 17; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 354).

לדווח d בלי לומר איזה. d_z ו-d המתוקן יכולים להיות שונים פי שניים על אותם נתונים (−0.37 מול −0.20 בקובץ הדוגמה); מציינים את המתקנן, ולא משווים d_z ל-d של מערך בלתי-תלוי.

לבדוק נורמליות של המדידות במקום של ההפרשים. ההנחה היא על ההפרשים (Field, 2024, Section 10.9.2).

לפרש "לא מובהק" כ"אין שינוי". רווח סמך שכולל אפס אומר שהשינוי האמיתי יכול להיות שלילי, חיובי או אפס – לא שהוא אפס. מדווחים את d_z ואת הרווח.

סדרת מבחני t על שלוש מדידות ומעלה. שלושה מועדים הם ניתוח שונות למדידות חוזרות (ANOVA למדידות חוזרות), לא שלושה מבחני t.

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Student (1908), Yuen (1974) ו-Stephens, Atkins ו-Kingston (2009) – כמצוטטים אצל Field (2024) ואצל Gravetter ו-Wallnau (2017). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. Field (2024) ו-Pallant (2020) בעותק דיגיטלי מזורם – ציטוט לפי סעיף ופרק; Gravetter ו-Wallnau (2017), Cohen (1988) ו-APA (2020) – לפי עמוד וסעיף של המהדורה המודפסת.