מבחן חי-בריבוע לאי-תלות

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים בחי-בריבוע לאי-תלות?

כששני המשתנים קטגוריאליים ורוצים לדעת אם ההתפלגות של האחד תלויה בשני: האם שיעור המשתתפים בפעילות קהילתית שונה בין ותיקים לחדשים? האם בחירת מסלול לימודים קשורה לרקע? עם משתנה קטגוריאלי אין ממוצע – "הממוצע של משתנה קטגוריאלי חסר משמעות" (Field, 2024, Section 19.3) – ולכן מנתחים שכיחויות: כמה נבדקים נפלו בכל צירוף של קטגוריות. Pallant (2020, פרק 16) מנסחת את אותה שאלה בשלוש דרכים: האם יש קשר בין מגדר לעישון? האם גברים נוטים יותר לעשן? האם שיעור המעשנים זהה בשני המגדרים? – זה אותו מבחן. אם אחד המשתנים רציף, זה לא המבחן: להשוואת ממוצעים בין קבוצות – מבחן t או ANOVA; לניבוי משתנה קטגוריאלי ממנבאים רציפים – רגרסיה לוגיסטית (Field, Section 19.2). לוח על שלושה משתנים קטגוריאליים ומעלה – ניתוח לוג-ליניארי (Field, Section 19.4), שאינו באתר.

איך המבחן עובד

המודל הוא "אין קשר". אם אין קשר, השכיחות הצפויה בכל תא נגזרת משולי הלוח בלבד: E = (סכום השורה × סכום העמודה) / N (Field, 2024, Equation 19.3). המבחן מסכם את הפער בין הנצפה לצפוי בכל התאים, מתוקנן לפי הצפוי – χ² = Σ (O − E)²/E (Equation 19.2; Gravetter & Wallnau, 2017, Section 17.3) – והסטטיסטי מתפלג בקירוב חי-בריבוע עם df = (r − 1)(c − 1) דרגות חופש: מספר התאים שאפשר "לבחור בחופשיות" אחרי שסכומי השורות והעמודות נתונים (Gravetter & Wallnau, Equation 17.5). הדוגמה של Field (לוח 19.1): 200 חתולים אומנו לרקוד בתמורה לאוכל או לחיבה; 28 מתוך 38 שקיבלו אוכל רקדו, לעומת 48 מתוך 162 שקיבלו חיבה – χ²(1) = 25.36, p < .001. אפשר להדביק את הלוח הזה לעמוד במצב "לוח שכיחויות מוכן" ולקבל את כל המספרים שבפרק.

ארבע השורות בלוח המבחנים – ומה מדווחים

חי-בריבוע של פירסון הוא המבחן; שאר השורות עונות על השאלה מה קורה כשהמדגם קטן. מבחן פישר המדויק (Field, Section 19.3.3) אינו מבחן אחר אלא חישוב מדויק של ההסתברות במקום הקירוב להתפלגות חי-בריבוע – הקירוב טוב כשהשכיחויות הצפויות גדולות מ-5, ומתערער כשהן קטנות; לכן פישר נועד ללוח 2×2 עם מדגם קטן, ו-SPSS מדפיס אותו אוטומטית לכל לוח 2×2. יחס הנראות (G²; Section 19.3.4) מבוסס על נראות מקסימלית, מתפלג כמו פירסון, ובמדגם גדול כמעט זהה לו; Field מעדיף אותו במדגמים קטנים. תיקון הרציפות של יטס (סעיף 19.3.5) מפחית 0.5 מכל סטייה מוחלטת לפני הריבוע, כי בלוח 2×2 פירסון נוטה ל-p קטן מדי – וכאן שני הספרים נפרדים: Field כותב שיש "לא מעט ראיות" שהתיקון מתקן יתר ומייצר ערכי χ² קטנים מדי (Howell, 2012, as cited in Field), ומסכם "כדאי להכיר אותו, וכנראה עדיף להתעלם ממנו"; Pallant (2020, פרק 16) מורה לדווח בלוח 2×2 דווקא את שורת Continuity Correction, ומדגימה זאת במשפט הדיווח שלה. העמוד מציג את שניהם, ומסמן לדיווח לפי כלל האתר: פירסון; ובלוח 2×2 שמפר את תנאי השכיחויות הצפויות – פישר. מי שהמנחה שלו מבקש יטס – המספרים בלוח 3, והדיווח בנוסח של Pallant (סעיף הדיווח להלן).

עוצמת הקשר: φ, V של קרמר ויחס הסיכויים

מובהקות אומרת שיש קשר; היא לא אומרת כמה הוא חזק, ובמדגם גדול גם הבדל קטן באחוזים יוצא מובהק (Field, 2024, Section 19.5.3). שלושה מדדים מתקנים את χ² לגודל המדגם ולממדי הלוח כדי לקבל מספר בין 0 ל-1 (Field, Section 19.3.6): φ – √(χ²/N), מדויק ללוח 2×2 ובו שווה למתאם פירסון בין שני המשתנים הדיכוטומיים (ולכן יש לו סימן; Gravetter & Wallnau, 2017, משוואה 17.8); מקדם המגע של פירסון, שלעיתים רחוקות מגיע ל-1; ו-V של קרמר – √(χ²/(N·df*)) כש-df* = min(r − 1, c − 1) (Gravetter & Wallnau, Equation 17.9) – שיכול להגיע ל-1 גם בלוח גדול, ולכן "המועיל ביותר" (Field). בלוח 2×2 φ ו-V זהים. הספים: לפירוש φ משתמשים בספי המתאם – .10 קטן, .30 בינוני, .50 גדול (Cohen, 1988, כמצוטט אצל Pallant, 2020, ואצל Gravetter & Wallnau, 2017); ל-V בלוח גדול יותר הספים נמוכים יותר, לפי df* (Gravetter & Wallnau, Table 17.10): ל-df* = 2 – .07 / .21 / .35; ל-df* = 3 – .06 / .17 / .29. העמוד מתרגם לפי הלוח הזה. הקשר בין השניים: Cohen מגדיר את w כ-V·√df* עם הספים .10 / .30 / .50 – אותם ספים בדיוק, בסקלה אחרת.

יחס הסיכויים (OR) הוא, לדעת Field (סעיף 19.8.4), מדד האפקט הנפוץ והמועיל יותר ללוח 2×2 – "המקבילה הקטגוריאלית של השוואה ממוקדת". סיכויים (odds) הם מספר המקרים שכן חלקי מספר המקרים שלא: הסיכויים לרקוד אחרי אוכל 28/10 = 2.8, אחרי חיבה 48/114 = .42, והיחס ביניהם 6.65 – "אם חתול אומן באוכל, הסיכויים שירקוד גבוהים פי 6.65 מאשר אילו אומן בחיבה" (משוואות 19.40-19.42). העמוד מוסיף רווח סמך של 95% על סקלת הלוג (כמו Risk Estimate ב-SPSS): רווח שאינו כולל 1 – הקשר מובהק. שימו לב לכיוון: הסיכויים לקטגוריה הראשונה של העמודות, בשורה הראשונה לעומת השנייה – סדר הקטגוריות בלוח קובע אם תקבלו 6.65 או 1/6.65 = .15, ושניהם אותו ממצא.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – האחוזים. Field (2024, סעיף 19.8) קורא את לוח ההצלבה של החתולים דרך האחוזים בתוך כל סוג אימון: מהמאומנים באוכל 73.7% רקדו, מהמאומנים בחיבה 29.6% – "כשאוכל היה הפרס רוב החתולים רקדו, כשחיבה הייתה הפרס רובם סירבו". Pallant (2020, פרק 16) עושה זאת עם "% within sex": 17.9% מהגברים מעשנים לעומת 20.6% מהנשים, ומזכירה לוודא ששני האחוזים בכל שורה מסתכמים ל-100. זו הקריאה העיקרית של התוצאה; המבחן רק אומר אם ההבדל בין השורות גדול מכפי שמקרה מסביר.

לוח 2 – הצפוי והשאריות. קודם בודקים את השכיחות הצפויה המזערית (התנאי – בסעיף ההנחות). אחר כך, בלוח גדול מ-2×2, השאריות אומרות אילו תאים מניעים את הקשר: השארית המתוקננת (O − E)/√E היא ציון z (Field, Section 19.8.1) – מחוץ ל-±1.96 התא חורג מהצפוי במובהק ב-.05, ±2.58 ב-.01, ±3.29 ב-.001, והסימן אומר אם יותר או פחות מהצפוי; אצל החתולים שני תאי האוכל מובהקים (3.6 ו-−2.8) ושני תאי החיבה לא (−1.7 ו-1.4): "הקשר בין סוג הפרס לריקוד מונע בעיקר על-ידי האוכל". Pallant משתמשת בשארית המתוקננת-המתואמת (Adjusted Residual), שמתקנת גם לגודל השורה והעמודה: מעל 2 – יותר מהצפוי, מתחת ל-−2 – פחות, "מעין מבחן פוסט-הוק". העמוד מציג את שתיהן, ומסמן בצהוב תאים שהמתואמת שלהם מחוץ ל-±1.96.

לוח 3 – המבחנים. קוראים את פירסון (או את השורה המסומנת); בלוח 2×2 שימו לב שהערך המדויק של פישר מודפס בעמודת p בלי ערך χ². לוח 4 – עוצמת הקשר. V (או φ) עם המילה לפי הספים, ובלוח 2×2 יחס הסיכויים עם רווח הסמך. התרשים מראה את לוח 1 בעיניים: אם העמודות בכל קבוצה באותו יחס – אין קשר.

הנחות ואזהרות

אי-תלות של התצפיות. המבחן אינו נשען על ההנחות של המודל הליניארי (נורמליות וכדומה – משתנה קטגוריאלי אינו יכול להתפלג נורמלית), אך יש לו שתיים משלו (Field, 2024, Section 19.5). הראשונה: כל נבדק, פריט או ישות תורם לתא אחד בלבד (Section 19.5.1; Gravetter & Wallnau, 2017, Section 17.4). לכן אי אפשר להריץ חי-בריבוע על מדידות חוזרות – אותם אנשים לפני ואחרי – ולא על נבדק שסומן בכמה קטגוריות. למדידות חוזרות בשני משתנים דיכוטומיים – מבחן מקנמר (Pallant, 2020, Chapter 16); למערכים מורכבים יותר Field מפנה למודלים מעורבים מוכללים.

השכיחויות הצפויות. בלוח 2×2 אף תא אינו אמור להיות מתחת ל-5; בלוח גדול יותר – כל התאים מעל 1 ולא יותר מ-20% מתחת ל-5 (Field, Section 19.5.2). Pallant מוסיפה שיש מחברים שממליצים בלוח 2×2 על 10 לפחות. הפרה "פוגעת בעוצמת המבחן באופן דרמטי – עד כדי כך שאולי לא כדאי לטרוח" (Field). התרופות: בלוח 2×2 – פישר המדויק; בלוח גדול – איחוד קטגוריות (רק כשיש לכך היגיון תוכני: אביב, קיץ ו"סתיו/חורף"), או עוד נתונים. הוספת קבוע לכל התאים אינה פותרת דבר. שימו לב: התנאי הוא על השכיחות הצפויה, לא הנצפית – תא נצפה ריק אינו בעיה בפני עצמו.

מדגם גדול. "הבדלים קטנים יחסית בשכיחויות התאים יכולים להניב קשר מובהק אם המדגם גדול דיו" (Field, Section 19.5.3) – ולכן קוראים אחוזים ומדד אפקט, לא רק p (תרשים 1).

מה העמוד אינו מחשב. מקדם המגע ו-λ של גודמן וקרוסקל (Field, טיפ 19.1); מבחן z להשוואת פרופורציות עמודות עם תיקון בונפרוני (Compare column proportions – Field, סעיף 19.8: האותיות ליד השכיחויות בפלט SPSS); Bayes factor ללוח (סעיף 19.8.3); ניתוח לוג-ליניארי לשלושה משתנים ומעלה (סעיפים 19.4, 19.9-19.11); מבחן מקנמר ומבחן חי-בריבוע לטיב התאמה (Gravetter & Wallnau, Sections 17.1-17.2). הרווח לשאריות המתוקננות של Field (±1.96) והסף של Pallant (±2) – אותו רעיון בעיגול שונה; העמוד משתמש ב-1.96.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

Analyze › Descriptive Statistics › Crosstabs… – משתנה אחד ל-Row(s), השני ל-Column(s) (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 19.7.3). בכפתור Statistics…: Chi-square, Phi and Cramer's V, וללוח 2×2 גם Risk (יחס הסיכויים). בכפתור Cells…: Observed, Expected (לבדיקת התנאי), Row באחוזים, ובשאריות Standardized (Field) ו/או Adjusted standardized (Pallant). מבחן פישר מודפס אוטומטית ללוח 2×2; ללוח גדול יותר – כפתור Exact…. הסינטקס של Pallant, בתוספת התאים והמדדים שהעמוד מציג:

CROSSTABS
  /TABLES=training BY dance
  /FORMAT=AVALUE TABLES
  /STATISTICS=CHISQ PHI RISK
  /CELLS=COUNT ROW EXPECTED SRESID ASRESID
  /COUNT ROUND CELL.

לוח שכיחויות מוכן (Field, Section 19.7.2): מקלידים שורה לכל תא – קוד השורה, קוד העמודה והשכיחות – ומשקללים: Data › Weight Cases… › Weight cases by משתנה השכיחות (WEIGHT BY freq.). זה מה שהסינטקס של העמוד מייצר כשהקלט הוא לוח מוכן, כולל תוויות הערכים. קריאת הפלט: Crosstabulation – Count ו-% within = לוח 1, Expected Count, Std. Residual ו-Adjusted Residual = לוח 2; Chi-Square Tests – Pearson Chi-Square, Continuity Correction (יטס), Likelihood Ratio, Fisher's Exact Test ב-Exact Sig. (2-sided) ו-(1-sided) = לוח 3, והערת השוליים "a" – כמה תאים מתחת ל-5 והצפוי המזערי; Symmetric Measures – Phi, Cramer's V = לוח 4; Risk Estimate – Odds Ratio עם רווח הסמך = לוח 4. Linear-by-Linear Association שבפלט – מבחן למגמה ליניארית בין שני משתני סדר, אינו בעמוד.

ואיך עושים זאת ב-R?

הכול ב-R הבסיסי: table ללוח, chisq.test עם correct = FALSE לפירסון (ברירת המחדל של R היא תיקון יטס בלוח 2×2 – ההפך מ-SPSS), $expected, $residuals (מתוקננות) ו-$stdres (מתואמות), fisher.test. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוח (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: הקובץ נשמר ב-UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, ושמות בעברית דורשים סביבת UTF-8 (ב-Windows: R 4.2 ומעלה, או Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# חי-בריבוע לאי-תלות – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_chi_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")

# לוח ההצלבה: שורות = ותק, עמודות = השתתפות (נבדקים עם ערך חסר באחד מהם נשמטים)
tab <- table(d$"ותק_בקהילה", d$"השתתפות")
tab
prop.table(tab, 1)                       # אחוזים מתוך השורה

# מבחן חי-בריבוע של פירסון בלי תיקון רציפות (כמו Pearson Chi-Square ב-SPSS)
ct <- chisq.test(tab, correct = FALSE)
ct                                       # χ² = 17.79, df = 2, p < .001
ct$expected                              # שכיחויות צפויות – בדיקת התנאי (אף תא מתחת ל-5)
ct$residuals                             # שאריות מתוקננות (O − E)/√E
ct$stdres                                # שאריות מתוקננות-מתואמות (Adjusted Residual ב-SPSS)

# V של קרמר: √(χ² / (N · min(r − 1, c − 1)))
sqrt(ct$statistic / (sum(tab) * (min(dim(tab)) - 1)))   # V = .242

# לוח 2×2: מגדר × השתתפות – תיקון יטס, פישר המדויק ויחס הסיכויים
tab2 <- table(d$"מגדר", d$"השתתפות")
chisq.test(tab2, correct = FALSE)$statistic     # פירסון = .023
chisq.test(tab2, correct = TRUE)$statistic      # תיקון יטס = .001
fisher.test(tab2)$p.value                       # פישר דו-צדדי = .907
(tab2[1, 1] * tab2[2, 2]) / (tab2[1, 2] * tab2[2, 1])   # יחס הסיכויים מהמדגם = .965 (fisher.test מדפיס אומדן מותנה, שונה מעט)

דיווח התוצאות

מדווחים את הסטטיסטי עם דרגות החופש ו-N בסוגריים, את p ואת מדד האפקט; לפי APA (2020, סעיף 6.36) φ ו-V – שאינם עולים על 1 – בלי אפס מוביל, ו-χ² עצמו בשתי ספרות. Field (2024, סעיף 19.8.5): "נמצא קשר מובהק בין סוג האימון לבין אם החתולים רקדו, χ²(1) = 25.36, p < .001. יחס הסיכויים הראה שהסיכויים לרקוד היו גבוהים פי 6.65 אם החתול אומן באוכל" – והוא ממליץ לצרף גם את לוח ההצלבה. Gravetter ו-Wallnau (2017, סעיף 17.4) מוסיפים את N ואת φ: χ²(1, n = 200) = 6.381, p < .05, φ = 0.179, ואחריו משפט על הכיוון. Pallant (2020, פרק 16), עם יטס: "מבחן חי-בריבוע לאי-תלות (עם תיקון הרציפות של יטס) לא הצביע על קשר מובהק בין מגדר לעישון, χ²(1, n = 436) = .34, p = .56, phi = −.03". משפטי הדיווח שבעמוד הולכים בדרך של Field עם N בסוגריים כמו Gravetter ו-Wallnau; משפט הניגוד ("בקרב X 72% היו…") הוא ה"כיוון" ששני הספרים דורשים אחרי המספרים. כשדיווחתם פישר – כותבים "מבחן פישר המדויק, p = …" בלי χ².

טעויות נפוצות

לקרוא את השכיחויות במקום את האחוזים. 48 חתולים שרקדו אחרי חיבה זה יותר מ-28 אחרי אוכל – ובכל זאת אוכל עובד טוב יותר, כי 162 קיבלו חיבה ורק 38 אוכל. Field (סעיף 19.5.3): האחוזים משקפים את הדפוס, השכיחויות תלויות בגודל הקבוצות.

לבדוק את התנאי על הנצפה. התנאי הוא על השכיחות הצפויה. תא נצפה עם 2 נבדקים יכול להיות בסדר גמור; תא צפוי 2.4 – לא.

חי-בריבוע על מדידות חוזרות. אותם 100 אנשים לפני ואחרי הם 100 תצפיות, לא 200. מקנמר (Pallant, Chapter 16).

לדווח p בלי אחוזים ובלי מדד אפקט. במדגם של 2,000 גם הבדל של שלוש נקודות אחוז מובהק; V = .04 אומר לקורא מה שה-p מסתיר (תרשים 1).

להתבלבל בכיוון של יחס הסיכויים. OR = 6.65 ו-OR = .15 הם אותו ממצא בכיוון הפוך; אומרים במילים של מי הסיכויים ולמה, כמו במשפט שהעמוד מייצר.

לנצל את ארבע השורות. לבחור בין פירסון, יטס, יחס הנראות ופישר לפי מי שנותן p קטן יותר. קובעים מראש – כלל האתר, או ההנחיה של המנחה – ומדווחים את אותה שורה בכל הלוחות במחקר.

לאחד קטגוריות אחרי שראו את התוצאה. איחוד מותר כשיש לו היגיון תוכני ומתועד מראש (Field, Section 19.5.2); איחוד שנבחר כי הוא הופך את המבחן למובהק הוא p-hacking.

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Pearson (1900), Fisher (1922), Yates ו-Howell (2012) – כמצוטטים אצל Field (2024); Cohen (1988) – כמצוטט אצל Gravetter ו-Wallnau (2017) ואצל Pallant (2020). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. הערה לקורא שמשווה לספרים: Pallant מדפיסה לסף "קטן" של V בשתי קטגוריות .01 – טעות דפוס של .10 (הערך אצל Gravetter & Wallnau, לוח 17.10, ואצל Cohen); Gravetter ו-Wallnau מדפיסים χ² = 6.381 לדוגמה 17.4 – החישוב המדויק נותן 6.380 (הם עיגלו את ארבעת האיברים לפני הסיכום).