גרף פיזור וקו רגרסיה

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן (גם ערכים מופרדים בפסיקים, כמו רביעיית אנסקומב שבמדריך):

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים בגרף פיזור?

גרף פיזור (נקרא גם דיאגרמת פיזור, scatter plot) מציג את הקשר בין שני משתנים כמותיים. כל נקודה היא נבדק אחד: מיקומה נקבע לפי ערכו בשני המשתנים – משתנה אחד על ציר X, השני על ציר Y, וכל נבדק הוא הזוג (x, y) שלו. הגרף הוא הצעד הראשון לפני חישוב מתאם, משום שהוא חושף דברים שהמספר לבדו מסתיר – קשר לא-ליניארי, תצפיות חריגות, או קבוצות נפרדות בתוך המדגם. ועוד לפני כל חישוב, מבט בענן הנקודות מראה את שלוש התכונות שמקדם המתאם יבוא אחר-כך לתמצת במספר אחד: כיוון – עולה או יורד; צורה – קו ישר, עקומה, או שום דבר; ועוצמה – עד כמה הנקודות צמודות לאותה צורה (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 487-488; Pallant, 2020, pp. 153-154). מהשלוש, המספר מתמצת היטב רק את הראשונה והשלישית – ואת השנייה הוא בכלל מניח מראש.

המאמר שהפך את גרף הפיזור לחובה פותח בשלוש אמונות שכמעט כולנו חונכנו עליהן, וכולן שגויות: שחישובים הם מדויקים וגרפים הם "בערך"; שלכל סוג נתונים יש חישוב אחד נכון; ושחישובים מסובכים הם מעלה, ואילו להסתכל בנתונים זו רמאות (Anscombe, 1973, p. 17). המחשב, כותב Anscombe, צריך להפיק גם חישובים וגם גרפים – ואת שניהם צריך ללמוד. וכשמציירים Y מול X לפני כל חישוב, אחד מחמישה דברים יקרה: הנקודות יושבות כמעט על קו ישר; הן יושבות על עקומה חלקה שאינה קו ישר; הן מפוזרות בלי קשר ל-X; משהו באמצע; או – המקרה המעניין מכולם – רובן צמודות לקו או לעקומה, ומעטות רחוקות מאוד. במקרה האחרון יש אפקט לראות, אך חישובי הרגרסיה הרגילים עלולים לפספס אותו (שם). את השני אפשר לעיתים להחזיר לראשון בטרנספורמציה של סולם X או Y; ובחמישי מתחילים תמיד בבדיקה שהערכים החריגים הוקלדו נכון – ואם הם אמיתיים, מניחים אותם בצד לעיון מיוחד, ש"עשוי להתברר כמתגמל מאוד".

ומכאן הכלל הפשוט של Gelman & Hill (2007, עמ' 554): לצד כל רגרסיה שמריצים – מציירים גרף פיזור; ולא רק את הנתונים, אלא גם את המודל שהותאם להם, כי "טבלת מקדמים אינה נותנת את התחושה שגרף נותן" (שם, עמ' 548). ושתי הערות שלהם על איזה גרף: מטריצת פיזור של כל הזוגות (ראו הרחבות) היא כמו להריץ רגרסיה של כל משתנה על כל משתנה – מועילה, אבל לומדים יותר מגרפים שנבחרו במחשבה; וכשלשני המשתנים יש סדר בזמן או סדר סיבתי, ה"לפני" על ציר X וה"אחרי" על ציר Y (שם, עמ' 553).

איך קוראים את הגרף: קו הרגרסיה ו-R²

קו הרגרסיה הוא הקו הישר שממזער את סכום ריבועי המרחקים האנכיים מהנקודות אל הקו – "הקו הטוב ביותר" במובן הזה בלבד, ולא במובן שהוא עובר הכי קרוב לכל נקודה בנפרד. השיפוע שלו מתאר בכמה יחידות משתנה Y צפוי להשתנות עבור עלייה של יחידה אחת ב-X: שיפוע חיובי מתאר קשר עולה, שיפוע שלילי – קשר יורד, ושיפוע קרוב לאפס – היעדר קשר ליניארי.

R² (מקדם הקביעה) מבטא את שיעור השונות במשתנה Y שקו הרגרסיה "מסביר" באמצעות X. ערכו תמיד בין 0 ל-1 (או 0% ל-100%), והוא אינו תלוי בכיוון הקשר: R² = .25 פירושו ש-25% מהשונות ב-Y מוסברים על ידי X, בין אם הקשר עולה ובין אם יורד. הקשר בינו לבין מקדם פירסון פשוט – R² הוא ריבוע של r – ולכן כדי לחזור מ-R² אל r לוקחים שורש ומוסיפים את הסימן לפי כיוון קו הרגרסיה (עולה = חיובי, יורד = שלילי). מכאן גם סולם גודל האפקט: R² של .01 הוא קשר קטן, .09 – בינוני, ו-.25 ומעלה – גדול (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 501) – בדיוק הספים r = .1 / .3 / .5 שלפיהם המחשבון מתאר את עוצמת הקשר במילים. וכיוון שהריבוע מוחק את הסימן, מתאם של +.80 ומתאם של −.80 הם קשרים עקביים באותה מידה – הסימן והעוצמה בלתי תלויים זה בזה (שם, עמ' 489).

שיפוע אינו עוצמה. טעות נפוצה היא לקרוא קו תלול כ"קשר חזק" וקו מתון כ"קשר חלש". עוצמת הקשר היא עד כמה הנקודות צמודות לקו – ולא כמה הקו תלול. השיפוע מתאר בכמה יחידות Y משתנה לכל יחידה של X, ולכן הוא תלוי ביחידות המדידה: אותם נתונים בדיוק ייתנו קו תלול אם Y נמדד בנקודות ומתון אם הוא נמדד במאות נקודות – ומתאם זהה בשני המקרים. ובניסוח של Cohen (1988, עמ' 75, 77): r הוא בעצמו שיפוע – שיפוע הקו כששני המשתנים תוקננו לאותה שונות – ואילו b הוא אותו שיפוע ביחידות הגולמיות, b = r·s_Y/s_X; וכשליחידות יש משמעות משל עצמן (שקלים, שנים, נקודות במבחן) עדיף לרוב לדווח את b, שגם נשאר יציב כשפיזור X משתנה בין מדגמים. בלוח שמפיק המחשבון שני הדברים מופרדים במפורש: r ו-R² מודדים עוצמה, b מודד שיפוע. אפשר לראות זאת גם בנתוני הדוגמה: מסוגלות×אמון ומנהיגות×מוכנות הם שני זוגות עם שיפוע כמעט זהה (0.687 ו-0.716) אך R² שונה (.545 לעומת .522) – והשיפוע הגדול יותר דווקא בזוג החלש יותר.

ומה קורה כשמחליפים בין הצירים. המתאם אינו יודע מי X ומי Y – r סימטרי, ויתקבל אותו ערך בשני הסידורים. קו הרגרסיה יודע גם יודע: הקו של Y על X ממזער מרחקים אנכיים, והקו של X על Y ממזער מרחקים אופקיים, ואלה שני קווים שונים שמתלכדים רק כשהמתאם מושלם. גם שני מקדמי השיפוע שונים – הם שווים זה לזה רק כשסטיות התקן של שני המשתנים שוות – ולכן גם גרף הפיזור עצמו אינו סימטרי: אותם נתונים נראים אחרת כשמחליפים בין הצירים (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 110). בנתוני הדוגמה: אמון על מסוגלות נותן b = 0.687; מסוגלות על אמון נותן b = 0.793 – ואותו r = .738 בשני המקרים. אפשר לבדוק זאת במחשבון בלחיצה אחת, בהחלפת שני המשתנים. זו הסיבה שההצבה – מנבא ב-X, תוצאה ב-Y – היא החלטה שיש לקבל לפני החישוב ולדווח עליה, ולא עניין של נוחות.

המילים הן מוסכמה, המספר הוא הממצא. המחשבון מתאר את העוצמה במילים לפי הספים .1 / .3 / .5 של Cohen (1988) – המקובלים במדעי החברה, אך לא היחידים. יש ספרי לימוד שמשתמשים בסולם בן חמש מדרגות: עד .1 אין קשר, .1-.3 חלש, .3-.5 בינוני, .5-.7 גבוה, ומעל .7 גבוה מאוד. המתאם .738 שבנתוני הדוגמה הוא "חזק" לפי הסולם האחד ו"גבוה מאוד" לפי האחר – ולכן מדווחים תמיד את המספר, ומציינים את התיאור המילולי כתוספת. כדאי לדעת ש-Cohen עצמו הציע את הספים במפורש כמוסכמה "לשימוש כשאין הגדרות מתאימות יותר", והזמין כל תחום לקבוע לעצמו הגדרות אחרות (1988, עמ' 79). מאחורי כל סף עומד נימוק: .10 הוא קשר שאינו נראה בהתבוננות רגילה, אך רבים מהקשרים שהמדעים ה"רכים" רודפים אחריהם הם מסדר גודל כזה (עמ' 79); .30 – "אמצע הטווח" של המתאמים בין משתנים פסיכולוגיים שונים, וקשר ש"צופה רגיש סביר" כבר מבחין בו בעין (עמ' 80); ו-.50 – "גבוה ככל שהם מגיעים": הגבול המעשי של מתאמים בין משתנים שונים בפסיכולוגיה של האישיות, החינוך והייעוץ, כמו המתאם בין משכל לציונים בבית-הספר (עמ' 80-81). מעליו, מעיר Cohen, נמצאים בדרך כלל רק מקדמי מהימנות (עמ' 78) – ולכן מתאם כמו .74 בין שני סולמות שאלון, כמו בנתוני הדוגמה, הוא גבוה במיוחד לפי אמות מידה אלה, ושווה לשאול אם שני הסולמות אינם מודדים בחלקם את אותו הדבר. ואם רוצים מספר שמודד ישירות את הפיזור סביב הקו – "עד כמה הנקודות צמודות אליו" – זו שגיאת התקן של האומדן (standard error of the estimate): סטיית התקן של השאריות, ביחידות של Y; ככל שהיא קטנה יותר, הניבוי מדויק יותר (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 40-41). היא אינה בלוח של עמוד זה, אך מופיעה בלוח Model Summary של הליך הרגרסיה (ראו מהגרף לרגרסיה).

ומתי מתאם ספירמן. הלוח שמפיק המחשבון מציג לצד פירסון גם את מתאם ספירמן, המחושב על הדרגות של הערכים ולא על הערכים עצמם. Gravetter & Wallnau (2017, עמ' 510-511) מונים שני מצבים שבהם משתמשים בו: כשהמשתנים נמדדים בסולם סדר (דירוגים), וכשמצפים לקשר עקבי בכיוון אחד שאינו בהכרח קו ישר – למשל אימון וביצוע, שמשתפר עם כל אימון אך בקצב הולך ופוחת; ספירמן מודד את העקביות של הקשר בלי תלות בצורתו, כי כשהקשר עקבי הדרגות מסתדרות על קו ישר גם אם הערכים לא. בלשון גרף הפיזור: ספירמן שואל אם הענן עולה (או יורד) באופן עקבי, לאו דווקא בקו ישר, ולכן הוא פחות רגיש לתצפית חריגה בודדת ולעיקול שאינו משנה את הכיוון. השוואת שתי השורות בלוח היא בדיקה מהירה: כשהשניים קרובים, הקשר ליניארי בקירוב וללא חריגים משמעותיים; כשספירמן גדול בהרבה מפירסון, יש בענן משהו – עיקול או נקודה מרוחקת – ששווה לחזור ולהסתכל עליו.

וכשהקשר אינו קו ישר. מתאם נמוך אינו מוכיח שאין קשר: ייתכן קשר חזק ועקבי שאינו ליניארי, שקו ישר ומקדם פירסון פשוט אינם רואים. הדוגמה הקלאסית מהפסיכולוגיה היא הקשר בין חרדה לביצוע – עד רמה מסוימת של חרדה הביצוע משתפר, ומעבר לה הוא יורד; בגרף הפיזור זו צורת U הפוכה, ומתאם פירסון עלול להתקרב לאפס למרות שהקשר ברור לעין – פירסון מודד קשרים בקו ישר בלבד, ולצורות אחרות יש מדדים אחרים (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 488; Pallant, 2020, p. 153). זו עוד סיבה להתחיל תמיד מהגרף – ראו גם רביעיית אנסקומב בעמוד המתאמים.

הרביעייה – לנסות במחשבון. ארבעת מערכי הנתונים הבדויים של Anscombe (1973, עמ' 19), אחד-עשר זוגות כל אחד, נותנים את אותו פלט סטנדרטי בדיוק: n = 11, ממוצע X 9.0, ממוצע Y 7.5, קו הרגרסיה Ŷ = 3 + 0.5·X, R² = .667 – ובכל זאת רק הראשון הוא מה שרוב האנשים מדמיינים כשהם רואים את המספרים האלה: השני עקומה חלקה, השלישי קו ישר מושלם עם נקודה אחת שסוטה, והרביעי עשר נקודות באותו X ונקודה אחת שקובעת לבדה את השיפוע. אפשר לראות זאת במחשבון שבעמוד: העתיקו את הבלוק הבא ללשונית ההדבקה, ובחרו בזה אחר זה x עם y1, y2, y3, ואז x4 עם y4:

x,y1,y2,y3,x4,y4
10,8.04,9.14,7.46,8,6.58
8,6.95,8.14,6.77,8,5.76
13,7.58,8.74,12.74,8,7.71
9,8.81,8.77,7.11,8,8.84
11,8.33,9.26,7.81,8,8.47
14,9.96,8.10,8.84,8,7.04
6,7.24,6.13,6.08,8,5.25
4,4.26,3.10,5.39,19,12.50
12,10.84,9.13,8.15,8,5.56
7,4.82,7.26,6.42,8,7.91
5,5.68,4.74,5.73,8,6.89

שימו לב לשתי שורות בלוח. r ו-R² זהים בארבעתם (.816, .667; הבדלי עיגול בספרה השלישית) – זו בדיוק הנקודה של Anscombe. אבל מתאם ספירמן שונה מאוד: .82, .69, .99 ו-.50 – במערך השלישי ספירמן גבוה בהרבה מפירסון (קו מושלם עם חריג אחד), וברביעי הוא נמוך בהרבה (עשר דרגות קשורות ונקודה אחת) – בדיוק הסימן שתואר למעלה ב"ומתי מתאם ספירמן". המספרים, אם יודעים לאן להסתכל, דווקא כן רומזים; אבל הגרף פשוט מראה.

וכשהענן מתפצל לגושים. ענן שנראה כמו שניים-שלושה גושים נפרדים, מסודרים באלכסון, הוא סימן אזהרה למשתנה שלישי. הדוגמה של Gravetter & Wallnau (2017, עמ' 497, 502-503): בין מספר בתי הכנסייה למספר הפשעים בערים נמצא מתאם חיובי חזק – לא כי תפילה מולידה פשע, אלא כי שניהם גדלים עם גודל העיר; בתוך כל קבוצת גודל, הקשר נעלם. בגרף הפיזור זה נראה כגושים לפי גודל העיר, שכל אחד מהם לבדו חסר מגמה. כשחושדים בכך, צובעים או מפצלים את הגרף לפי המשתנה השלישי (ראו Overlay Scatter ו-Panel by בהרחבות), או מחשבים מתאם חלקי – בעמוד המתאמים.

ומה שהקו מספר על הנבדקים הקיצוניים. כשהמתאם אינו מושלם, הנקודות הקיצוניות ב-X אינן הקיצוניות ב-Y: הנבדקים הגבוהים ביותר במשתנה אחד נוטים להיות גבוהים – אך פחות – במשתנה השני, וכך גם הנמוכים ביותר. זו נסיגה לממוצע (regression toward the mean; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 501-502), והיא הסיבה שקו הרגרסיה תמיד מתון יותר מהאלכסון של הענן. אין כאן שום כוח שמושך – זו עובדה סטטיסטית שנובעת מכך שהקשר אינו מושלם; אבל היא מסבירה, למשל, למה "שחקן השנה" בעונתו הראשונה מאכזב בשנייה, ולמה מי שקיבל את הציון הגבוה ביותר במבחן א' יהיה בדרך כלל רק מעל הממוצע במבחן ב'. Gelman, Hill & Vehtari (2020, עמ' 87-90) פותרים גם את הפרדוקס שמטריד רבים: אם בנות של אימהות גבוהות נמוכות מהן בממוצע, האם לא נהיה כולנו באותו גובה בעוד כמה דורות? לא – כי הניבוי נסוג לממוצע, אך התצפית אינה הניבוי: שגיאת הניבוי מוסיפה בחזרה בדיוק את הפיזור שהנסיגה מורידה, והשונות בין הדורות נשארת קבועה. המסוכן יותר הוא כשל הנסיגה (regression fallacy) – לייחס לנסיגה סיבה. הדוגמה של טברסקי וכהנמן, שהם מביאים: מדריכי טיסה שהבחינו שאחרי שבח על תמרון מוצלח הביצוע הבא גרוע יותר, ואחרי נזיפה – טוב יותר, והסיקו ששבח מזיק; למעשה תמרון מצוין הוא גם תוצאה של מזל, ואחריו צפויה ירידה בלי קשר לתגובת המדריך. אותו דבר עם תלמידים ש"התעצלו" אחרי ציון גבוה במבחן אמצע: בסימולציה שבה הציונים הם יכולת אמיתית ועוד רעש טהור, בלי שום מוטיבציה, מתקבל בדיוק אותו דפוס. גרף פיזור של "לפני" מול "אחרי" – עם קו רגרסיה מתון מהאלכסון – הוא בדיוק המצב שבו כדאי לזכור זאת.

ולגרף כזה יש עזר חזותי פשוט, שאין בו במחשבון שבעמוד ואפשר להוסיף ב-SPSS או ב-R: Gelman & Hill (2007, עמ' 556) ממליצים לצייר "קו ברירת מחדל" – קו אופקי בגובה אפס, או, בגרף של לפני מול אחרי באותן יחידות, את האלכסון y = x שמסמן שוויון. ברגע שהאלכסון על הגרף, הנסיגה לממוצע נראית בעין: מי שהיה גבוה ב"לפני" יושב ברובו מתחת לאלכסון, מי שהיה נמוך – מעליו, וקו הרגרסיה חוצה את האלכסון בממוצע. ובאותו הקשר – כששני הצירים מודדים את אותו הדבר באותן יחידות, מציירים את הגרף ריבועי ובאותו סולם בשני הצירים, גם אם חלקים גדולים ממנו נשארים ריקים; וכשהמשתנים שונים, דווקא לא ריבועי, כדי לא לשדר במרומז שוויון שאינו קיים (שם).

שלושה מבטים, בסדר הזה. Pallant (2020, עמ' 156-157) מציעה לקרוא כל גרף פיזור בשלושה שלבים קבועים, לפני שמחשבים דבר:

כלל אצבע למעטפת. Gravetter & Wallnau (2017, עמ' 489) מציעים דרך לאמוד את r בעין: מציירים סביב הנקודות מעטפה – הקו הסגור הצר ביותר שמכיל את כולן. מעטפה בצורת כדור-פוטבול היא מתאם של בערך .7; מעטפה שמנה יותר – מתאם קרוב יותר ל-0; מעטפה צרה יותר – קרוב יותר ל-1. עם נתונים בדידים כמו סולמות ליקרט, שבהם נקודה אחת מסתירה עשרות נבדקים (ראו למעלה), האומדן הזה מטעה – שם סומכים על המספר.

הקו שהעין מציירת אינו קו הרגרסיה. כשמבקשים מסטודנטים לצייר ביד את קו הרגרסיה על ענן נקודות, הם מציירים כמעט תמיד את ציר האורך של הענן – הקו ש"עובר הכי קרוב" לכל הנקודות (בשפה הסטטיסטית: קו הרכיב הראשי). אבל קו הרגרסיה ממזער מרחקים אנכיים בלבד, והוא תמיד מתון יותר: במשתנים מתוקננים עם מתאם .5 שיפועו הוא בדיוק חצי משיפוע ציר הענן (Gelman, Hill & Vehtari, 2020, pp. 187-188). ולמרות המראה, הוא הקו הנכון לניבוי: בקצה השמאלי של הענן כל הנקודות יושבות מעל ציר האורך – הוא מנבא נמוך מדי לערכי X נמוכים וגבוה מדי לגבוהים – ואילו קו הרגרסיה עובר דרך ממוצע Y בכל ערך של X. זה גם ההסבר הגאומטרי לנסיגה לממוצע שתוארה למעלה.

הקו הוא מודל, והמודל מנבא. קו הרגרסיה הוא הצורה הפשוטה ביותר של מה ש-Field (2024, סעיף 9.2) מכנה "המודל הליניארי": Ŷ = b₀ + b₁X. שני הפרמטרים הם בדיוק שתי השורות האחרונות בלוח שמפיק המחשבון – החותך b₀ (a בלוח): הערך הצפוי של Y כאשר X = 0; והשיפוע b₁ (b בלוח): השינוי הצפוי ב-Y לכל עלייה של יחידה אחת ב-X. הכובע מעל ה-Y מזכיר שזהו ערך מנובא (predicted value), לא ערך שנצפה: מציבים ערך של X ומקבלים את ה-Y שהמודל צופה. בנתוני הדוגמה, למשל, למשיב שרמת המסוגלות שלו 4.0 המודל צופה אמון של 1.159 + 0.687 × 4.0 ≈ 3.91. הניבוי הזה אינו מדויק לכל נבדק – ההפרש בין הערך שנצפה לערך המנובא הוא השארית (residual), והקו נבחר כך שסכום ריבועי השאריות יהיה הקטן ביותר האפשרי (שיטת הריבועים הפחותים, Field, 2024, סעיף 9.2.4). שלוש עובדות פשוטות על הקו הזה עוזרות לקרוא כל תרשים (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 16.1): הוא עובר תמיד דרך הנקודה (ממוצע X, ממוצע Y); סימן השיפוע שלו הוא סימן המתאם; וכשהמתאם אפס הוא קו אופקי בגובה ממוצע Y – בדיוק מודל "אין קשר" שבפסקה הבאה.

מאיפה מגיע R², ומה המבחן שמאחורי ה-p. כדי לדעת אם המודל טוב, משווים אותו למודל הפשוט ביותר שיש – "אין קשר": לנבא לכל נבדק את ממוצע Y, יהיה X אשר יהיה. סכום ריבועי המרחקים של התצפיות מהממוצע (SS_T) הוא כמות השונות שיש להסביר; סכום ריבועי המרחקים מקו הרגרסיה (SS_R) הוא מה שנותר בלתי מוסבר אחרי שהתאמנו את הקו; וההפרש ביניהם (SS_M) הוא השיפור שהקו הביא. R² הוא פשוט היחס SS_M / SS_T – חלק השונות שהמודל מסביר מתוך מה שהיה להסביר (Field, 2024, Section 9.2.4). על אותם סכומי ריבועים בנוי מבחן F, ששואל אם המודל טוב מהממוצע בצורה מובהקת; ועל השיפוע בנוי מבחן t עם n − 2 דרגות חופש, ששואל אם b₁ שונה מאפס (סעיף 9.2.5). כשיש מנבא אחד בלבד, שני המבחנים האלה ומבחן המובהקות של מתאם פירסון הם מבחן אחד בשלוש תחפושות: F = t², וערך ה-p זהה בשלושתם. לכן ה-p שבלוח המחשבון הוא בו-בזמן המובהקות של המתאם, של השיפוע ושל המודל כולו.

הנחות, חריגים ותצפיות משפיעות

ההנחות – לפי סדר חשיבותן

שני המשתנים כמותיים (רציף או סדר); משתנה קטגוריאלי (למשל אזור או דת) אינו מתאים לגרף פיזור – שם מתאימים תרשים קופסאות או ניתוח שונות. מעבר לכך, Field (2024, סעיף 9.4.1) מסדר את הנחות המודל הליניארי לפי חשיבותן, בעקבות Field & Wilcox (2017) ו-Gelman, Hill & Vehtari (2020, סעיף 11.1). אצל האחרונים הרשימה פותחת בשתי הנחות שאינן סטטיסטיות כלל, והן החשובות מכולן: תוקף – שהנתונים עונים על שאלת המחקר: משתנה התוצאה באמת מודד את התופעה (ציוני מבחן אינם "אינטליגנציה"), המודל כולל את המנבאים הרלוונטיים, והוא מוכלל למקרים שעליהם רוצים לדבר; וייצוגיות – שהמדגם מייצג את התפלגות Y בהינתן X. ההבחנה המעשית שנובעת מכך שווה זהב: ברירה של המדגם לפי X (למשל עודף נשים או עודף גבוהים במדגם על גובה והכנסה) אינה פוגעת ברגרסיה; ברירה לפי Y (עודף עשירים) כן (עמ' 153-154). רק אחריהן באות ארבע ההנחות הסטטיסטיות, בסדר הזה:

הנקודה החשובה שמאחורי הסדר הזה: הפרה של ההנחות פוגעת בעיקר בהכללה – במבחני המובהקות וברווחי הסמך – ולא באומדני הקו. השיפוע והחותך שהמחשבון מציג נכונים לנתונים שלפניכם גם כשההנחות אינן מתקיימות; מה שנעשה מפוקפק הוא המסקנה מהמדגם על האוכלוסייה (Field, 2024, Section 9.4). ליתר דיוק (Field & Wilcox, 2017, Section Critical assumptions): כששונות השאריות אינה אחידה או שהתצפיות תלויות זו בזו, אומדני a ו-b נשארים לא-מוטים – אבל הנוסחה של שגיאת התקן שלהם מניחה שונות קבועה, ולכן שגיאות התקן מוטות, ואיתן ערכי ה-p ורווחי הסמך. הקו נכון; המידה שבה אפשר לסמוך עליו – לא. כך גם Cohen (1988, עמ' 75): כמדד תיאורי של קשר ליניארי, r אינו דורש שום הנחה – לא על התפלגות המשתנים ולא על אחידות השונות; ההנחות נכנסות רק עם מבחן המובהקות, וגם אז הפרה מתונה שלהן, במיוחד במדגם גדול, אינה פוגעת ברצינות בתקפות המבחן. עוד שתי דרישות מעשיות: למשתנים חייבת להיות שונות – משתנה שכל ערכיו זהים אינו יכול לנבא דבר (המחשבון מציג במקרה כזה הודעת שגיאה); ומשתנה התוצאה צריך להיות רציף ולא "חסום" – סולם 1-5 שבו כל התשובות מרוכזות ב-4 ו-5 מגביל את מה שאפשר לגלות.

ואיך בודקים. את הליניאריות בודקים בגרף הפיזור עצמו – זו כל מטרתו של העמוד הזה. את שתי ההנחות על השאריות בודקים בתרשים שאריות, שמתקבל מהליך הרגרסיה ולא מגרף הפיזור: על ציר ה-X הערכים החזויים, על ציר ה-Y השאריות, ורוצים לראות רצועה אחידה לכל אורך הטווח – בלי משפך (הפרה של אחידות השונות) ובלי קשת (שריד של קשר לא-ליניארי). ב-SPSS: בחלון הרגרסיה, כפתור Plots, את *ZPRED ל-X ואת *ZRESID ל-Y. ואת נורמליות השאריות עדיף לבדוק בעין – בהיסטוגרמה או, טוב יותר, בתרשים Q-Q (שם, בסימון Normal probability plot): ככל שהנקודות צמודות לאלכסון, ההתפלגות קרובה יותר לנורמלית. מבחני הנורמליות הפורמליים (Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilk) תלויים בגודל המדגם יותר מאשר בצורת ההתפלגות: במדגם קטן הם חלשים, ובמדגם גדול הם יוצאים מובהקים כמעט תמיד, גם על סטייה זעירה – Pallant (2020, עמ' 138-139) מעירה שזה נפוץ במדגמים גדולים ומפנה, בעקבות Tabachnick & Fidell, להיסטוגרמה ולתרשים Q-Q במקומם. וGelman, Hill & Vehtari (2020, עמ' 155) הולכים צעד רחוק יותר: לצורך אמידת הקו – להבדיל מניבוי של תצפית בודדת – נורמליות השאריות "כמעט אינה חשובה כלל", ולכן הם כלל אינם ממליצים לבדוק אותה; אין רע בתרשים Q-Q, אבל את תשומת הלב כדאי להפנות לתוקף, לייצוגיות ולליניאריות.

תרשים השאריות עצמו הוא רעיון של Anscombe (1973, עמ' 18), והוא מסביר למה לא די בגרף הפיזור: לכאורה תרשים השאריות לא יכול להראות דבר שאין בגרף המקורי, אבל משהסרנו את הקו, ציר ה-Y נמתח ומה שנשאר נראה בבירור. ארבעה דברים לחפש בו: כמה שאריות גדולות בהרבה מכל האחרות (חריגים); שאריות שמסתדרות בעקומה (קשר לא-ליניארי); פיזור שגדל בהדרגה עם הערכים החזויים (שונות לא-אחידה); והתפלגות מוטה של השאריות. שלושת האחרונים, אם יש מזל, נעלמים יחד בטרנספורמציה של Y – למשל לוגריתם – וה"עקומה" נפתרת גם בטרנספורמציה של X או בהוספת איבר ריבועי. ואפשר, כמובן, לבדוק כל אחד מהם במבחן פורמלי, אבל התרשים "מראה מגוון של תכונות במהירות ובחיות, ומבחנים פורמליים נראים לעיתים קרובות מיותרים" (שם).

ומה לא לצייר. אחרי רשימה כזאת של אבחונים, שווה לזכור את ה"טיפ המהיר" של Gelman & Hill (2007, עמ' 548): "האם באמת אתם רוצים לייצר את כל תרשימי ה-Q-Q, תרשימי ההשפעה וכל שאר הדברים שחבילה סטטיסטית פולטת? מה תעשו עם כל זה?" – ואת הכלל שהם מציעים במקום: כל גרף שמציגים – היו מוכנים להסביר. גרף הפיזור עם קו הרגרסיה ותרשים השאריות הם השניים שכמעט תמיד עומדים במבחן הזה; את השאר מצרפים כשיש להם מה לומר.

חריג ותצפית משפיעה – לא אותו דבר

המחשבון שבעמוד מסמן בתרשים ומרכז בלוח "תצפיות לבדיקה" את הנקודות שחורגות מספי שלושת המדדים שמוסברים כאן – שארית מתוקננת, מינוף ומרחק Cook – עם ההסתייגות הקבועה: חריגה היא סיבה לבדוק, לא למחוק.

הדבר השני שגרף הפיזור מגלה, אחרי צורת הקשר, הוא נקודות שיושבות לבד – הרחק מהענן, בקצה אחד הצירים או בשניהם. נקודה כזאת יכולה להיות נבדק יוצא-דופן באמת, אבל לעיתים קרובות היא סתם ספרה שהוקלדה לא נכון, ולכן הצעד הראשון הוא תמיד לחזור לקובץ ולבדוק את הערך. אם הוא אמיתי, Anscombe (1973, עמ' 17-18) ממליץ להניח את התצפית בצד לעיון נפרד ולהתאים את הקו ליתר הנתונים – ומוסיף שהעיון הזה "עשוי להתברר כמתגמל מאוד". למה זה חשוב דווקא כאן: מתאם פירסון רגיש מאוד לנקודה בודדת. Gravetter & Wallnau (2017, עמ' 499) מדגימים זאת בחמש נקודות שהמתאם ביניהן כמעט אפס (r = −.08); הוספת נקודה קיצונית אחת מקפיצה אותו ל-r = .85 – "קשר חזק" שנשען כולו על נבדק אחד. מי שקורא רק את המספר לא יידע זאת לעולם. Field (2024, סעיף 9.3) מוסיף הבחנה שכדאי להפנים: חריג הוא תצפית שהמודל מנבא רע – שאריתה גדולה; תצפית משפיעה היא תצפית שבלעדיה הקו היה נראה אחרת. אלה שני דברים שונים, ותצפית יכולה להיות האחד בלי השני.

הדוגמה של Field (2024, Jane Superbrain 9.1) ממחישה זאת יפה: בשמונה רובעים בלונדון נמדדו מספר הפאבים ומספר מקרי המוות. בשבעה מהם הקשר ליניארי מושלם; השמיני – ה"סיטי" של לונדון, מייל רבוע אחד עם מעט תושבים והמון פאבים לנוסעים – יושב רחוק מכולם. ובכל זאת השארית שלו היא כמעט הקטנה ביותר, כי הוא "מושך" את הקו אליו עד שהקו עובר קרוב אליו. לפי השארית הוא אינו חריג; לפי מדדי ההשפעה הוא משנה את הקו לחלוטין. המסקנה: בגרף פיזור, נקודה בודדת רחוק בקצה ציר ה-X מסוכנת יותר מנקודה שרחוקה מהקו במרכז הטווח.

שש תצורות שכדאי להכיר. הספר שממנו יצאו רוב מדדי ההשפעה המודרניים פותח דווקא בגרף פיזור: Belsley, Kuh & Welsch (1980, עמ' 8-9) מציגים שש תצורות מסוגננות של "נקודה מוזרה", והן מפה טובה למה שעלול להסתתר בענן. באיור שלהלן הקו המלא הוא קו הרגרסיה על כל הנקודות, והקו המקווקו – הקו שהיה מתקבל בלי הנקודות המסומנות:

(א) פיזור אחיד – המצב הרצוי; אם פיזור ה-X קטן, השיפוע לא יהיה מדויק, אבל שגיאת התקן שלו כבר אומרת זאת. (ב) חריג במרכז טווח ה-X – נקודה רחוקה מהקו, אבל ליד ממוצע ה-X: השיפוע כמעט אינו זז, רק החותך; זהו החריג ה"תמים" יחסית, שסימנו שארית גדולה. (ג) פער, אבל עקבי – נקודה מרוחקת שיושבת בדיוק על המשך הקו: לא מזיקה, ואף מועילה – היא מקטינה את השונות של אומדן השיפוע. זו התזכורת שנקודה קיצונית אינה בהכרח נקודה רעה. (ד) הנקודה שקובעת את השיפוע – התצורה המדאיגה ביותר: בלי הנקודה המרוחקת אין כמעט קשר, ואיתה יש קשר ברור; למעשה, כמו שהמחברים אומרים, יש כאן "בפועל רק שתי נקודות". השארית שלה קטנה – הקו עובר דרכה – ולכן מדדי השאריות לא יתפסו אותה; המנוף כן. Cook & Weisberg (1982, עמ' 102-103) פותחים את הדיון בהשפעה בדיוק בגרף כזה, ומדגישים שגם מי שצופה מראש את שינוי הקו יופתע ממה שקורה למדדים: עם הנקודה המרוחקת R² = .90; בלעדיה – פחות מ-.01. (ה) שתיים שמושכות – שתי נקודות במנוף גבוה, שכל אחת מהן לבדה מטה את הקו; כאן, כותבים המחברים, נדרשת פעולה: השמטה, או – עדין יותר – הקטנת משקלן, או שינוי המודל. (ו) הסוואה הדדית – שתי נקודות צמודות: השמטת אחת מהן כמעט אינה משנה את הקו, כי השנייה ממשיכה למשוך, ולכן מדדים שבודקים תצפית-תצפית (כמו מרחק Cook) עלולים לפספס את שתיהן (שם, עמ' 9, 31). זו הסיבה שאין תחליף לעין: זוג כזה בולט בגרף הפיזור מיד.

לכימות: שאריות מתוקננות (standardized residuals) – השאריות בציוני תקן: ערך מוחלט מעל 3.29 הוא סיבה לדאגה; אם יותר מ-1% מהתצפיות מעל 2.58, או יותר מ-5% מעל 1.96 – המודל מייצג את הנתונים רע; מרחק Cook – השפעת התצפית על המודל כולו: בכמה זזים כל המקדמים יחד כשמשמיטים אותה. המדד הוא, בפירוק של Cook & Weisberg (1982, עמ' 117), מכפלה של שני הגורמים האחרים ברשימה הזאת – השארית המתוקננת בריבוע כפול "פוטנציאל" המנוף (h/(1 − h)) – ולכן תצפית יכולה להיות משפיעה משתי סיבות שונות: כי היא רחוקה מהקו, או כי היא רחוקה בציר ה-X; בדוגמה שהם מביאים (3.5.1) ארבע תצפיות מקבלות בדיוק אותו D = 3, שתיים מכל סיבה. הסף המקובל, D > 1, פירושו שהשמטת התצפית מזיזה את אומדני המודל אל מעבר לאזור סמך של 50% – ו-Cook & Weisberg מציעים אותו כ"בסיס להשוואה" בלבד, ומזהירים שההגדרה של "גדול" תלויה בבעיה (עמ' 118); ומנוף (leverage) – עד כמה ערך ה-X של התצפית קיצוני, לבדוק ערכים מעל פעמיים הממוצע 2(k + 1)/n (Hoaglin & Welsch, 1978, סעיף 2; Belsley, Kuh & Welsch, 1980, עמ' 17; עם מנבא אחד: 4/n). המנוף, h, הוא בהגדרה משקלה של התצפית בערך החזוי של עצמה – ב-h = 1 המודל "מקדיש" לה פרמטר וקו הרגרסיה עובר דרכה בהכרח – וברגרסיה פשוטה יש לו נוסחה שקופה: h = 1/n + (x − x̄)² / Σ(x − x̄)² – חלקה של התצפית בפיזור הכולל של X (Hoaglin & Welsch, 1978, Section 3). מכאן שני דברים שכדאי לזכור. בגרף פיזור של שני משתנים המנוף פשוט נראה: תצפית קיצונית בציר ה-X היא תצפית במנוף גבוה, ואין צורך במדד; המדד נעשה הכרחי רק כשיש כמה מנבאים, ואז תצפית יכולה להיות מרוחקת בצירוף שלהם בלי להיות קיצונית באף אחד מהם, ושום גרף לא יגלה אותה (שם, סעיף 2). ושנית, האסטרטגיה ש-Hoaglin & Welsch מציעים (סעיף 5): בודקים את המנוף לאיתור נקודות רגישות בציר ה-X ואת השאריות המסטודנטות לאיתור ערכי Y חריגים – שניהם, כי תצפית במנוף גבוה עשויה להציג שארית קטנה דווקא משום שכבר משכה אליה את הקו, ומדד השאריות לבדו יחמיץ אותה. ואזהרה שלהם שמאזנת את כל האמור: הנקודות הקיצוניות ב-X הן גם אלה שנושאות את רוב המידע על השיפוע, ולכן השמטת נקודת מנוף עלולה להקטין מאוד את הדיוק שבו אפשר לאמוד אותו – "החלטות כאלה אינן יכולות להתקבל אוטומטית". Belsley, Kuh & Welsch מוסיפים שני מדדים שמופיעים גם הם בחלון Save של SPSS: Standardized DfBeta – בכמה שגיאות תקן זז השיפוע כשמשמיטים את התצפית, סף 2/√n; ו-Standardized DfFit – בכמה זז הערך החזוי שלה, סף 2√(p/n), כש-p הוא מספר הפרמטרים כולל החותך (1980, עמ' 28). המנוף מדד את הסכנה הפוטנציאלית – כמה רחוקה התצפית ב-X; שני אלה מודדים את הנזק בפועל. את כל אלה מפיקים ב-SPSS מתוך הליך הרגרסיה (כפתור Save), לא מגרף הפיזור – ראו מהגרף לרגרסיה.

טווח מוגבל של ערכים. מלכודת שקטה שאינה נראית בגרף עצמו: כשהמדגם מכסה רק חלק צר מטווח הערכים האפשרי – למשל מדידת הקשר בין משכל להישגים רק בקרב סטודנטים לתואר מתקדם – המתאם שיתקבל שונה, ולרוב נמוך, מזה שהיה מתקבל מהטווח המלא. ככל שהטווח של שני המשתנים במדגם רחב יותר, כך אומדן הקשר אמין יותר; וכשחוקרים קבוצה קיצונית בכוונה (למשל מטופלים ברמת חרדה גבוהה), אין להכליל את המתאם מעבר לטווח שנדגם (Pallant, 2020, p. 136). בגרף הפיזור זה נראה כענן שמכסה רק פינה אחת של הצירים. Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, עמ' 57-58) מדגימים זאת במספרים: כשמצמצמים מדגם של חברי סגל למי שסיימו דוקטורט לפני 5-11 שנים בלבד (במקום 3-18), המתאם בין הוותק למספר הפרסומים יורד מ-.657 ל-.388, ו-R² מ-.43 ל-.15 – ואילו שיפוע הרגרסיה כמעט אינו זז (1.98 לעומת 2.46). זו תכונה כללית: כשהקשר ליניארי, b יציב לשינויים בפיזור של X, ו-r אינו. מכאן שתי המלצות מעשיות – לדווח תמיד את סטיות התקן של המשתנים, כדי שקורא יוכל לשפוט אם הטווח מוגבל; וכשמשווים את הקשר בין מדגמים שסטיות התקן שלהם שונות, להשוות את השיפועים ולא את המתאמים.

מה שהגרף אינו יכול להראות: מהימנות המדידה. שאלונים מודדים בשגיאה, ושגיאת מדידה מנחיתה כל מתאם: המתאם בין שני ציונים נצפים אינו יכול לעלות על שורש מכפלת המהימנויות שלהם, r_XY ≤ √(r_XX·r_YY). שני סולמות במהימנות .80 כל אחד לא יוכלו להתקשר מעבר ל-.80, ומתאם נצפה של .44 ביניהם מתאים למתאם של .55 בין המבנים ה"אמיתיים" – זהו התיקון להנחתה (correction for attenuation): מחלקים את r באותו שורש (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 55-57). שני דברים נובעים מכך. ראשית, אי-מהימנות היא הסבר מספיק למתאם נמוך, אך אינה יכולה ליצור מתאם גבוה מדומה – מתאם חזק בין מדדים לא-מהימנים הוא ממצא חזק במיוחד. Cohen (1988, עמ' 79) משתמש בדיוק בחשבון הזה כדי להסביר למה r = .10 אינו "קטן מדי" מכדי לחפש אותו: שני מבנים תיאורטיים שמתאמם האמיתי .25, כשכל אחד מהם נמדד בכלי שמתקשר .63 עם המבנה שלו, יתקשרו במדידה .25 × .63 × .63 = .10 בלבד – "בפסיכולוגיה", בציטוט שהוא מביא מת'רסטון, "אנחנו מודדים אנשים לפי צלליהם". שנית, המתאם המתוקן הוא ערך היפותטי ולא נתון: לדווח אותו רק לצד המתאם הנצפה, ובזהירות – כשהמהימנויות נאמדו במדגם אחר או נאמדו נמוך מדי, התיקון עלול לתת ערך מופרז, ואף גדול מ-1. ונקודה עדינה על קו הרגרסיה: השיפוע b אינו מושפע מאי-מהימנות ב-Y (הרעש שם נספג בשאריות), אך כן מושפע מאי-מהימנות ב-X. את המהימנות עצמה מחשבים בעמוד אלפא של קרונבך וציון סולם.

פריט מול הסולם שהוא חלק ממנו. מלכודת קרובה: גרף פיזור של פריט בודד מול ציון-הסולם הכולל אותו יראה תמיד קשר חיובי – פשוט משום שהפריט הוא חלק מהסכום. עם k פריטים שאינם קשורים כלל זה לזה, כל פריט מתקשר עם הסכום ב-1/√k: עם שני פריטים – .71, עם ארבעה – .50, ללא שום קשר אמיתי (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 59). לכן מתאם של פריט עם הסולם מחושב תמיד מול הסולם בלעדיו (corrected item-total correlation) – וזה בדיוק העמודה שמפיק עמוד המהימנות. באותה רוח (שם, עמ' 53): r = 1 אפשרי רק כששני המשתנים מתפלגים באותה צורה, וככל שההתפלגויות שונות – במיוחד כשהן מוטות לכיוונים מנוגדים, או כששני המשתנים דיכוטומיים בפרופורציות שונות מאוד – כך התקרה של המתאם נמוכה מ-1.

ואזהרה חשובה מכולן. מדדי האבחון נועדו לראות עד כמה המודל מתאים לנתונים – לא להצדיק מחיקת נקודות כדי לקבל תוצאה רצויה, למשל להפוך שיפוע לא-מובהק למובהק (Field, 2024, Section 9.3.3). Belsley, Kuh & Welsch (1980, עמ' 3-4), שפיתחו רבים מהמדדים האלה, כתבו אותם במפורש כדי למנוע את התרופה הנפוצה והלא-מתאימה באותה מידה – "לזרוק את החריגים", שרבים מהם, כפי שהם מעירים, כלל אינם משפיעים: תצפית חריגה אינה בהכרח תצפית רעה, ולעיתים היא נושאת את המידע המעניין ביותר במדגם; רק אחרי שזיהו אותה אפשר לשפוט את איכותה ולהחליט מה לעשות. תצפית חריגה שאינה משפיעה על הקו אינה מסכנת את המודל, ובכל מקרה השאלה המעניינת היא למה היא לא מתאימה לו. שתי שיטות נפוצות לטיפול בחריגים פגומות מסיבה עקרונית (Field & Wilcox, 2017, Section Alternative estimators): חיתוך לפי סטיות תקן – למשל השמטת כל תצפית שרחוקה מהממוצע יותר מ-2.5 סטיות תקן, מנהג רווח בנתוני זמני תגובה – נשען על הממוצע וסטיית התקן, שהם עצמם המדדים הרגישים ביותר לחריגים, ולכן חריג אחד גדול "מסווה" אחרים; והסרה ידנית של חריגים, שאחריה מריצים את הרגרסיה הרגילה על מה שנשאר – מתעלמת מכך שהנתונים כבר "נוקו", ולכן שגיאות התקן שמתקבלות שגויות, ויהיה המדגם גדול ככל שיהיה. החלופות הרובסטיות – ממוצעים קטומים ב-20%, אומדני-M שמזהים חריג באופן אמפירי ומקטינים את משקלו, ורגרסיה רובסטית – זמינות בעיקר ב-R (שם, עמ' 17-18, 32-34); מה שכן זמין ב-SPSS, ומומלץ בכל מקרה, הוא הבוטסטרפ שבסעיף מהגרף לרגרסיה. ומה עושים בפועל כשתצפית אחת תרמה הרבה לקו? Anscombe (1973, עמ' 18-20) מנסח את המבחן ואת הפתרון. המבחן: אנחנו שלווים יותר לגבי קשר שנשאר גלוי גם אחרי שהשמטנו כמה תצפיות – איזה שהן – כלומר קשר ש"מחלחל לכל התצפיות ואינו נובע בעיקר מאחת או שתיים". והפתרון, מדוגמה של הוצאות על חינוך בחמישים מדינות ארה"ב שבה אלסקה, עם ערכי מנבאים רחוקים מכולן, תרמה במיוחד לקו: לא להוציא את אלסקה – כי אחריה יבואו הוואי, קליפורניה, ניו יורק, "והיכן עוצרים?" – אלא לדווח את הרגרסיה על כל המדינות, להוסיף שאלסקה תרמה לה הרבה, ולומר מה קורה בלעדיה (שם: הקו כמעט לא השתנה, שגיאות התקן גדלו מעט ו-R² ירד). שני הדברים – הקשר בכל הנתונים ותרומתה המיוחדת של התצפית – הם הממצא. Cook & Weisberg (1982, עמ' 104) מסכמים את מרחב האפשרויות, אחרי שהם מבהירים שהמדדים שפיתחו "אינם נועדו לספק כללים לדחיית נתונים": תצפית שמקורה בשגיאת מדידה, הקלדה או תנאי ניסוי לא-מתאימים – מתקנים או מוחקים; תצפית שאין לה הסבר כזה – מבחן חריגים פורמלי (ובהסתייגות שאין לצפות ממנו לעוצמה רבה), איסוף נתונים נוספים, או – מה שמתאים לרוב – דיווח שני הניתוחים, עם התצפית ובלעדיה. ההכרעה הסופית, הם כותבים, תלויה תמיד בהקשר, ולכן אין המלצה גורפת.

כמה נבדקים צריך?

כללי האצבע הנפוצים – 10 או 15 נבדקים לכל מנבא – פשטניים עד כדי חוסר תועלת (Field, 2024, Section 9.5): גודל המדגם הדרוש תלוי בעוצמת הקשר שמצפים למצוא ובעוצמה הסטטיסטית הרצויה. עם מנבא אחד, ולעוצמה של 0.8 לפי המקובל (Cohen, 1988), Field מחשב: כ-25 נבדקים מספיקים לגילוי קשר חזק (R² ≈ .26), כ-55 לקשר בינוני (R² ≈ .13), אך לקשר חלש (R² ≈ .02) דרושים מאות. ומדגם קטן מטעה גם בכיוון ההפוך: R הצפוי מנתונים אקראיים לחלוטין הוא k/(N − 1) – עם 21 נבדקים ומנבא אחד, גם רעש טהור ייתן R של 0.05, וקל להתרשם מ"קשר" שאינו קיים.

המספרים של Field נשענים על הטבלאות של Cohen, וכדאי להכיר אותן במקור: בטבלה 3.4.1 (1988, עמ' 102), למבחן דו-כיווני ברמת .05 ועוצמה .80, דרושים 28 זוגות לגילוי r = .50, 85 ל-r = .30, ו-783 ל-r = .10 (ולעוצמה .90: 37, 113 ו-1,047). ההבדלים הקטנים מהמספרים של Field נובעים מכך שהוא מגדיר את האפקט ב-R² של .02 / .13 / .26. את הטבלה קוראים גם הפוך: עם n = 50, למשל, הסיכוי לגלות קשר בינוני הוא רק .57 (שם, דוגמה 3.4) – וזה מדגם שנראה לרבים סביר בהחלט. והערה של Cohen שכדאי לזכור: הטבלאות אינן תקפות כשטווח הערכים במדגם מוגבל (עמ' 100) – ראו טווח מוגבל של ערכים למעלה.

מאיפה המספרים האלה באים. Gelman & Hill (2007, עמ' 441) מסבירים את ההיגיון שמאחורי כל טבלת עוצמה בשורה אחת: כדי שיהיה סיכוי של 80% לקבל תוצאה מובהקת, האפקט האמיתי צריך להיות 2.8 שגיאות תקן מהאפס – 1.96 כדי שרווח הסמך של 95% לא יכלול את האפס, ועוד 0.84 כדי להגיע לאחוזון ה-80 של ההתפלגות הנורמלית. עם שגיאת התקן של מקדם מתאם (בטרנספורמציית z של פישר, 1/√(n − 3)) הכלל הזה משחזר את המספרים שלמעלה: ל-r = .30 יוצאים 85 נבדקים, ל-r = .10 קרוב ל-780. שתי מסקנות מעשיות נובעות מכאן. האחת: שגיאות התקן יורדות כמו 1/√n, ולכן כדי לחצות שגיאת תקן צריך פי ארבעה נבדקים – ב-r = .10 זה ההבדל בין 783 לכ-3,100 (שם, עמ' 446). השנייה, חשובה יותר: כל חישוב עוצמה מניח את גודל האפקט האמיתי, "הנחה שמטבעה אינה ניתנת לבדיקה מהנתונים הזמינים" – מדגם קודם שנתן r = .30 עקבי גם עם קשר חלש בהרבה – ולכן "אין לצפות בהכרח למובהקות ממחקר מוצע, גם אם גודל המדגם חושב נכון" (שם, עמ' 447). טבלת העוצמה היא כלי תכנון, לא הבטחה.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

המחשבון שבעמוד זה מקביל להליך Simple Scatter שבתפריט Graphs ב-SPSS. למדריך המפורט ראו Field (2024, סעיף 5.8) ו-Pallant (2020, עמ' 153-157). ל-SPSS שני מסלולים לגרף פיזור: תיבות הדו-שיח הוותיקות (Legacy Dialogs), שבהן נלך כאן צעד אחר צעד, ו-Chart Builder החדש יותר, שמוצג בסוף הסעיף. שניהם מפיקים את אותו גרף.

הערת גרסאות. צילומי המסך שבסעיף זה הופקו ב-SPSS גרסה 21. ההליכים עצמם יציבים לאורך הגרסאות, אך מיקומם של פריטים בתפריט, שמות של לשוניות ומספר האפשרויות בגלריה עשויים להשתנות מעט – ואם המסך אצלכם נראה קצת אחר, זו כנראה הסיבה. גם Field (2024), שסעיף זה נשען עליו, נכתב לפי גרסה 29. Field עצמו מרגיע בעניין – בין מהדורה למהדורה יוצאות גרסאות חדשות, וההליכים שהספר מתאר כמעט אינם מושפעים מכך.

בתפריט בוחרים Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot…:

בתיבת הדו-שיח Scatter/Dot שנפתחת בוחרים את סוג הגרף מבין חמש אפשרויות, ולאחר מכן לוחצים Define:

Simple Scatter – גרף פיזור של משתנה תלוי אחד ובלתי תלוי אחד; זהו הסוג העיקרי, מה שמחשב עמוד זה, והוא גם המסומן כברירת מחדל בפתיחת התיבה. Overlay Scatter – כמה זוגות משתנים על אותו גרף. Matrix Scatter – מטריצה המציגה בבת אחת את כל הזוגות האפשריים מתוך רשימת משתנים (שני אלה מורחבים בהמשך, בסעיף הרחבות). 3-D Scatter – גרף פיזור של שלושה משתנים בבת אחת. ו-Simple Dot, האפשרות היחידה כאן שאינה גרף פיזור – תרשים נקודות המתאר את התפלגותו של משתנה אחד, בדומה להיסטוגרמה שבה כל תצפית היא נקודה.

בבחירת Simple Scatter נפתח חלון ההגדרה Simple Scatterplot: את המשתנה התלוי מעבירים לתיבת Y Axis ואת המשתנה הבלתי תלוי לתיבת X Axis – בדוגמה שלפנינו אמון (trust) בציר Y ומסוגלות (efficacy) בציר X:

שלוש תיבות נוספות בחלון שימושיות, אך אינן חובה: Set Markers by צובעת את הנקודות לפי קטגוריות של משתנה שלישי (הרעיון ותיק: Anscombe, 1973, עמ' 20, קרא לו triple scatterplot – גרף של שני משתנים שבו סמל הנקודה מקודד משתנה שלישי, ומבחינתו זה היה תחליף עני-אך-מספיק לגרף תלת-ממדי); Label Cases by מוסיפה תווית לכל נקודה, שימושי לאיתור תצפית חריגה מסוימת; ו-Panel by Rows/Columns מפצלת את הגרף לתת-גרפים נפרדים לפי קבוצות (ראו Overlay Scatter בסעיף הבא). לחיצה על OK מפיקה את הגרף:

שלושה דברים בגרף הזה ראויים לתשומת לב לפני שממשיכים. ראשית, הנקודות מסודרות ברשת. שני המשתנים הם ממוצעים של פריטי סולם, ולכן הם מקבלים רק ערכים בקפיצות של חצי נקודה. זה תקין לחלוטין, ואינו מעיד על תקלה בנתונים.

שנית, וזה חשוב יותר – רואים על המסך הרבה פחות נקודות מ-479. נבדקים שערכיהם זהים בשני המשתנים מצוירים זה על גבי זה (overplotting), ונקודה בודדת על המסך עשויה לייצג עשרות תצפיות. המשמעות המעשית: בגרף כזה אי אפשר לאמוד את עוצמת הקשר בעין, משום שהצפיפות – המידע החשוב – פשוט אינה נראית; לכן מודדים אותה במספר (r או R²) ולא בהתרשמות. מה שכן נראה היטב הוא צורת הענן: הפינה הימנית-תחתונה – מסוגלות גבוהה בלוויית אמון נמוך – ריקה כמעט לחלוטין, וזה בדיוק סימנו של קשר חיובי. (בתרשים שבעמוד זה הנקודות מצוירות בשקיפות חלקית, ולכן הצטברות של תצפיות באותו מקום נראית ככתם כהה יותר – רמז חזותי לצפיפות שאין בפלט הרגיל של SPSS.) תרופה נוספת ל-overplotting היא ג'יטר (jittering): מוסיפים לערך של כל נבדק, באחד הצירים או בשניהם, "רעש" אקראי זעיר, כדי שנקודות שישבו זו על זו יתפזרו מעט ותיווצר תחושה של צפיפות. הערכים עצמם אינם משתנים – רק הציור – והחישוב נעשה כמובן על הנתונים המקוריים (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 111). המקרה שבו הטכניקה הזאת הכרחית ממש הוא גרף פיזור שאחד ממשתניו קטגוריאלי, למשל מגדר בקידוד 0/1: בלי ג'יטר כל קבוצה היא טור אנכי אחד, שבו אי אפשר להבחין בין נבדק אחד למאה.

כמה רעש להוסיף? Gelman & Hill (2007, עמ' 554) נותנים כלל: לנתונים בערכים שלמים – מספר אקראי אחיד בין −0.3 ל-+0.3 לכל ערך של X ושל Y; ובכלל, "בדיוק מספיק כדי שהאופי הבדיד של הנתונים עדיין יהיה ברור". לנתוני ליקרט בקפיצות של חצי נקודה, כמו בדוגמה, הטווח המקביל הוא כ-±0.15. הם גם דוחים את החלופה שבה מסמנים נקודה חופפת בספרה (2, 3…) או בסמל מיוחד: זה מטעה חזותית, ומבחינה עקרונית אינו מספק, כי אז התצוגה של כל נבדק תלויה יותר מדי בנבדקים האחרים. ב-R זה geom_jitter(width = 0.15, height = 0.15) במקום geom_point בסקריפט שבסעיף ה-R.

ושלישית, יש כאן תצפית חריגה. בפינה השמאלית-עליונה יושבת נקודה בודדה – מסוגלות 1.00 עם אמון 5.00 – הרחק מדפוס יתר התצפיות. זו בדיוק התצפית שסעיף ההנחות שלמעלה ממליץ לעצור ולבדוק: אם היא שגיאת הקלדה, מקומה אינו בניתוח; ואם היא נתון אמיתי, היא נשארת – אבל כדאי לדעת שהיא שם, ולבדוק עד כמה היא מושכת אליה את קו הרגרסיה. ולסיום, המחשה קטנה לכל מה שנאמר בפסקה הקודמת: בקובץ הנתונים עצמו אין שם תצפית אחת אלא שתיים – שני נבדקים בעלי אותם ערכים בדיוק, המצוירים זה על גבי זה ונראים כנקודה אחת.

שלב העריכה: חלון ה-Chart Editor. שלא כמו במחשבון שבעמוד זה, ב-SPSS קו הרגרסיה אינו מופיע אוטומטית עם הגרף – מוסיפים אותו בעריכה. לחיצה כפולה (double-click) על הגרף בחלון הפלט פותחת אותו בחלון נפרד, Chart Editor, ולצדו נפתח חלון Properties – מרכז העריכה של הגרף:

כלל אחד חשוב בחלון Properties: הלשוניות שבו משתנות לפי מה שמסומן בגרף. בצילום שלמעלה לא סומן דבר, ולכן מופיעות רק שתי לשוניות – Chart Size, שבה נקבעים גובה הגרף ורוחבו בנקודות (כאן 375 על 468.75, עם שמירה על יחס הגובה-רוחב), ו-Variables. לחיצה על אחת מנקודות הפיזור מסמנת את כל סדרת הנקודות, ומוסיפה לחלון שתי לשוניות נוספות:

ב-Marker נקבע מראה הנקודות: Type – צורת הסימן (עיגול, ריבוע, משולש); Size – גודלו; ו-Fill ו-Border – צבע המילוי וצבע המסגרת. כברירת מחדל המילוי ריק (Transparent) והמסגרת שחורה, ומכאן העיגולים החלולים שבפלט. הלשונית הזו שימושית יותר משנדמה: הקטנת הסימן, או מילויו בצבע בהיר בשקיפות, מסייעת דווקא בגרף צפוף כמו שלנו, שבו נקודות רבות יושבות זו על גבי זו.

לשונית Spikes מוסיפה מכל נקודה קו דק אל עוגן קבוע: Floor – אל ציר ה-X, Origin – אל ראשית הצירים, ו-Centroid – אל מרכז הכובד של הענן. ברירת המחדל, None, היא גם המומלצת לגרף פיזור רגיל; Centroid יכול להמחיש שיעור בפיזור סביב המרכז, אך בגרף עם מאות תצפיות הוא יוצר סבך קווים.

לשונית Variables היא העמוקה מכולן: היא מציגה את הרכיבים שמהם בנוי הגרף ואת המשתנים שמזינים אותם. הרשימה הנפתחת Element Type מגלה מה עוד אפשר לצייר על אותם נתונים – Marker (הנקודות, וזה הרכיב הקיים), Fit Line (קו התאמה), Interpolation Line, Distribution Line, Path ועוד. כאן אפשר גם להוסיף רכיב חדש לגרף בלחצן New. ואולם, לרוב אין צורך במסלול הזה: קו הרגרסיה נוסף בפקודה ייעודית אחת, וזה השלב הבא.

והוספת קו הרגרסיה עצמו. בתפריט Chart Editor בוחרים Elements › Fit Line at Total…. הפקודה מוסיפה לחלון Properties לשונית חדשה, Fit Line, שבה נבחרת שיטת ההתאמה (Fit Method): ברירת המחדל Linear היא הרגרסיה הליניארית הפשוטה – בדיוק זו שמחשב עמוד זה – ולצדה Quadratic, Cubic, Loess ו-Mean of Y. לחיצה על Apply ואז Close מוסיפה את הקו לגרף, ומציגה עליו את ערך R Sq Linear (בגרסאות ישנות יותר של SPSS הכיתוב מופיע ללא הסימן הריבועי, כטקסט "RSq Linear"). סגירת חלון ה-Chart Editor מחזירה את הגרף המעודכן אל חלון הפלט.

ומה עושה Loess? זו האפשרות המעניינת מבין החלופות לקו הישר: קו מוחלק שאינו מניח דבר על צורת הקשר, אלא פשוט עוקב אחר המגמה בנתונים, קטע אחר קטע (locally weighted scatterplot smoother). השימוש הנכון בו הוא כבדיקה: אם הקשר באוכלוסייה ליניארי, קו ה-Loess אמור להיראות כמו קירוב גס לקו ישר – במטפורה של Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, עמ' 112), כמו "ציור חופשי של ילד קטן לקו ישר". אם הוא מתעקל בבירור, קו ישר אינו המודל הנכון. שני דברים שכדאי לדעת: רוחב החלון (ב-SPSS: % of points to fit) קובע את מידת ההחלקה – ערך קטן מדי מצייר כל זיגזג ברעש, ערך גדול מדי מיישר גם עיקול אמיתי, ולכן שווה לנסות שניים-שלושה ערכים; ובקצות טווח ה-X, שבהם הנתונים דלילים, הקו אמין הרבה פחות מאשר במרכז (שם, עמ' 113-114).

ורצועות הביטחון סביב הקו. באותה לשונית Fit Line, מתחת ל-Fit Method, יושבת קבוצת האפשרויות Confidence Intervals. ברירת המחדל היא None – קו עירום, בלי רצועה – ולצדה שתי אפשרויות שנראות דומות ואינן דומות כלל: Mean ו-Individual (עם שדה רמת הביטחון, 95 כברירת מחדל). Mean מציירת את אי-הוודאות בקו עצמו – היכן עובר, באוכלוסייה, ממוצע Y בכל ערך של X. Individual עונה על שאלה אחרת לגמרי – היכן צפוי ליפול נבדק בודד חדש – והרצועה שלה רחבה בהרבה, משום שהיא נושאת שני מקורות של אי-ודאות במקום אחד: גם את אי-הוודאות בקו, וגם את פיזור הנבדקים סביבו. Gelman & Hill (2007, עמ' 47-48) מנסחים זאת כך: שגיאת התקן של ניבוי לתצפית חדשה גדולה במקצת מ-σ – סטיית התקן של השאריות, שהיא ה-Std. Error of the Estimate שבלוח Model Summary – וזאת בגלל אי-הוודאות באמידת מקדמי הרגרסיה; ובקירוב נורמלי, כ-50% מהערכים בפועל נופלים בטווח ±0.67σ סביב הניבוי, כ-68% בטווח ±σ וכ-95% בטווח ±2σ.

ולמה שתי הרצועות צרות באמצע ומתרחבות בקצוות. זו אינה תופעה של SPSS אלא תכונה של הניבוי עצמו: אי-הוודאות גדלה ככל שמתרחקים מממוצע המנבא (Gelman & Hill, 2007, p. 44). בנוסחת שגיאת התקן של הניבוי (שם, עמ' 47, הערת שוליים 3) רואים זאת ישירות – σ_forecast = σ √(1 + 1/n + (x − x̄)² / Σ(x_i − x̄)²): האיבר האמצעי מתכווץ ככל שהמדגם גדל; האיבר השלישי גדל ככל שערך ה-X שעליו מנבאים רחוק מממוצע ה-X במדגם – ומכאן צורת שעון-החול של הרצועה; וה-1 שבראש הוא בדיוק ההפרש בין Individual ל-Mean: פיזור הנבדק הבודד סביב הקו, שאינו נעלם גם כשהמדגם גדל בלי גבול. זו אותה הסתייגות שנאמרה כאן על קצות קו ה-Loess, ובגרסה הליניארית היא מקבלת ביטוי גרפי – הרצועה עצמה מודיעה היכן הקו יודע פחות.

ומה לדווח. שתי הרצועות עונות על שתי שאלות שונות, ולכן הבחירה ביניהן אינה עניין של טעם: Mean אומרת עד כמה אנחנו יודעים היכן עובר הקו, ו-Individual אומרת עד כמה אפשר לנבא אדם אחד. הטעות הנפוצה היא לקרוא את הרצועה הצרה כאילו היא אומרת היכן נופלים הנבדקים, בעוד שהיא אומרת רק היכן עובר הממוצע שלהם – ובמדגם גדול היא צרה מאוד גם כשהפיזור סביב הקו עצום. בפרק ממצאים, כשגרף הפיזור בא לתאר קשר ולא לשמש לניבוי, הבחירה המקובלת היא Mean; ובהערת האיור יש לציין איזו רצועה מוצגת ובאיזו רמת ביטחון. זו אינה החמרה מיותרת אלא דרישה מפורשת: APA (2020, סעיף 7.28) מחייבת להסביר בהערה כל הצללה או אלמנט עיצובי אחר שנושא משמעות, ואומרת במפורש שכאשר גרף כולל סימני שגיאה יש לומר אם הם מייצגים סטיות תקן, שגיאות תקן, גבולות סמך או טווחים – ומוסיפה שכדאי לציין לצדם גם את גודל המדגם. המחשבון שבעמוד זה מצייר את הקו בלי רצועה, ולכן זו תוספת שמגיעה מ-SPSS בלבד.

לחיצה על Paste בכל אחת מתיבות הדו-שיח שומרת את הפעולה כסינטקס:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(BIVAR)=efficacy WITH trust
  /MISSING=LISTWISE.

שימו לב: פקודת GRAPH משתמשת כברירת מחדל במחיקה רשימתית (/MISSING=LISTWISE), ולא במחיקה הזוגית שמשמשת את הליך המתאמים ואת מחשבון עמוד זה. בגרף פיזור בודד, של זוג משתנים אחד בלבד, אין לכך משמעות מעשית: שתי השיטות מובילות לאותה קבוצת תצפיות בדיוק, כי אין כאן משתנים נוספים ש"בגללם" נגרעות תצפיות נוספות.

המסלול השני: Chart Builder

המסלול שתואר עד כה הוא זה של תיבות הדו-שיח הוותיקות. בגרסאות החדשות של SPSS הכלי המרכזי לבניית גרפים הוא Chart Builder, ואליו מגיעים מ-Graphs › Chart Builder… (Field, 2024, Sections 5.3 and 5.8). התוצאה זהה – ההבדל הוא באופן הבנייה.

הודעה שמופיעה בפתיחה, וכדאי להבין אותה. עם פתיחת Chart Builder קופצת תיבה שמזכירה שרמת המדידה של כל משתנה חייבת להיות מוגדרת נכון – Scale, Ordinal או Nominal – משום שהכלי נשען עליה כדי לדעת אילו משתנים רציפים ואילו קטגוריאליים (Field, 2024, SPSS Tip 5.1). זו אינה שגיאה אלא תזכורת: מי שהגדיר את המשתנים כראוי בעמודת Measure שב-Variable View פשוט מאשר וממשיך. בצילום הראשון שבסעיף זה אפשר לראות בדיוק את זה – חמשת משתני החוסן מוגדרים Scale, והמשתנים הדמוגרפיים Ordinal או Nominal.

התיבה מזכירה גם דבר שני: אם הגרף כולל משתנה קטגוריאלי, כדאי שיוגדרו לו תוויות ערך (value labels) – כדי שבגרף יופיע "חילוני" ולא "1". הכפתור Define Variable Properties מוביל ישירות למקום שבו מתקנים את שני הדברים, ו-OK ממשיך אל החלון עצמו.

מבנה החלון. ארבעה אזורים: Gallery – גלריית סוגי הגרפים; רשימת המשתנים; ה-canvas, שבו נבנית תצוגה מקדימה של הגרף תוך כדי עבודה; ומימין הכפתורים Element Properties ו-Options, שקובעים מה בדיוק הגרף מציג וכיצד הוא מטפל בערכים חסרים. בתוך ה-canvas מסומנים אזורי שחרור (drop zones) בקווקוו כחול, ולתוכם גוררים את המשתנים – במקום להעבירם בחיצים כמו בתיבות הוותיקות.

שני פרטים בצילום ראויים למבט. ראשית, לצד כל משתנה ברשימה מופיע סמל רמת המדידה שלו – סרגל ל-Scale, עמודות ל-Ordinal ועיגולים צבעוניים ל-Nominal; זו אותה הגדרה שהתיבה הקודמת הזכירה, וכאן היא נראית לעין. ושנית, מתחת לרשימה מופיעה ההודעה "No categories (scale variable)" – היא מתייחסת למשתנה המסומן ברשימה ומודיעה שהוא רציף ולכן אין לו קטגוריות. בתחתית החלון ארבע לשוניות: Gallery – הדרך המקובלת, בחירה מגלריה מוכנה; Basic Elements – בנייה מאפס, רכיב אחר רכיב; ולצדן Groups/Point ID ו-Titles/Footnotes.

ובניית גרף הפיזור. ברשימת Choose from בוחרים Scatter/Dot, ונפתחת גלריית תרשימי הפיזור: Simple scatter, Grouped scatter, Scatterplot matrix, Simple dot plot, Summary point plot, Drop-line וגרסאות התלת-ממד. לחיצה כפולה על Simple scatter (או גרירתו אל ה-canvas) מציבה גרף ובו שני אזורי שחרור – אחד לציר Y ואחד לציר X. גוררים לתוכם את המשתנים ולוחצים OK:

ואזהרה קטנה שחוסכת בלבול: מעל התצוגה המקדימה כתוב "Chart preview uses example data" – הנקודות שרואים בחלון אינן הנתונים שלכם אלא נתוני הדגמה. התצוגה ממחישה את מבנה הגרף, לא את תוצאתו, והגרף האמיתי מתקבל רק לאחר OK – וכשהוא מתקבל, הוא זהה לחלוטין לגרף שבשלב 4 שלמעלה, זה שהופק במסלול הוותיק. שני מסלולים, אותו גרף בדיוק.

כלל האצבע להצבה הוא זה שכבר נקטנו: משתנה התוצאה בציר Y, המנבא בציר X. Field מוסיף לכך הסתייגות שכדאי לזכור – במחקר מתאמי, שבו שני המשתנים נמדדים בו-זמנית, המילים "מנבא" ו"תוצאה" מתארות את מיקומם בגרף בלבד ואינן מעידות על סיבתיות (2024, סעיף 5.8.1).

שתי ההרחבות שבסעיף הקודם קיימות גם כאן, בשמות אחרים: Grouped scatter מוסיף אזור שחרור שלישי, שאליו גוררים משתנה קטגוריאלי והנקודות נצבעות לפיו – המקביל ל-Set Markers by (סעיף 5.8.2); ו-Scatterplot matrix מציג אזור שחרור אחד בלבד, שאליו גוררים בבת אחת את כל המשתנים הרצויים – בוחרים אותם ברשימה בעזרת Ctrl (או Cmd ב-Mac) וגוררים יחד (סעיף 5.8.4).

ומי הנקודה החריגה? טיפ של Pallant (2020, עמ' 76, 157) שחוסך חיפוש בקובץ: בלשונית Groups/Point ID של Chart Builder מסמנים Point ID label וגוררים את משתנה המזהה לאזור השחרור Point ID. בגרף שמתקבל פותחים את Chart Editor, בוחרים Elements › Data Label Mode (הפריט הראשון בתפריט, בצילום המסך של שלב 6 למעלה) ולוחצים על נקודה – ומספר המזהה שלה מופיע לצדה. בלי משתנה מזהה מוצג מספר השורה שנתן SPSS. כך אפשר לחזור לשאלון של אותו נבדק ולבדוק אם מדובר בשגיאת הקלדה. (במחשבון שבעמוד זה ריחוף על נקודה מציג את ערכיה, אך לא את המזהה – עמודת המזהה מנוטרלת מהניתוח.)

והסינטקס כאן נראה אחרת לגמרי. גם ב-Chart Builder יש כפתור Paste, אך הוא אינו מפיק את פקודת GRAPH הקצרה שראינו למעלה אלא פקודת GGRAPH, ובתוכה בלוק בשפה ייעודית לתיאור גרפים – GPL (Graphics Production Language), הכלואה בין BEGIN GPL ל-END GPL:

* Chart Builder.
GGRAPH
  /GRAPHDATASET NAME="graphdataset" VARIABLES=efficacy trust MISSING=LISTWISE REPORTMISSING=NO
  /GRAPHSPEC SOURCE=INLINE.
BEGIN GPL
  SOURCE: s=userSource(id("graphdataset"))
  DATA: efficacy=col(source(s), name("efficacy"))
  DATA: trust=col(source(s), name("trust"))
  GUIDE: axis(dim(1), label("efficacy"))
  GUIDE: axis(dim(2), label("trust"))
  ELEMENT: point(position(efficacy*trust))
END GPL.

ארוך יותר – אבל מפורש יותר, ולכן שווה ללמוד לקרוא אותו. כל שורה עונה על שאלה אחרת: DATA – אילו משתנים נכנסים לגרף; GUIDE: axis – מה כתוב על כל ציר; SCALE – איזה סוג סולם משמש כל ציר; ו-ELEMENT – מה מצויר בפועל (point, כלומר נקודות). השורה הראשונה, * Chart Builder., היא הערה בלבד – SPSS מוסיף אותה כדי לתעד מאיזה חלון הגיעה הפקודה, והנקודה שבסופה היא שמסיימת אותה. הפרטים משתנים מעט לפי האפשרויות שנבחרו בחלון, ולכן הסינטקס שתקבלו אצלכם עשוי להיראות מעט שונה.

ובונוס: הסינטקס מסגיר כיצד SPSS הבין כל משתנה. נניח שבמקום מסוגלות נגרור לציר X את משתנה הדת – משתנה קטגוריאלי בן שלוש קטגוריות. SPSS לא ימנע זאת, יפיק גרף, וזה מה שיופיע ב-Paste:

DATA: dat=col(source(s), name("dat"), unit.category())
GUIDE: axis(dim(1), label("dat"))
SCALE: cat(dim(1), include("1", "2", "3"))
SCALE: linear(dim(2), include(0))
ELEMENT: point(position(dat*trust))

שתי המילים המסגירות הן unit.category() בשורת ה-DATA ו-cat בשורת ה-SCALE של ציר X – לעומת linear בציר Y. כלומר ציר אחד קטגוריאלי והשני רציף, ורשימת include("1", "2", "3") מונה במפורש את שלוש הקטגוריות. הגרף המתקבל אינו ענן נקודות אלא שלושה טורים אנכיים, אחד לכל קבוצה, ואי אפשר לקרוא ממנו מגמה או להתאים לו קו רגרסיה בעל משמעות. זה בדיוק המקרה שתואר בסעיף ההנחות: כשהמשתנה המסביר קטגוריאלי, השאלה אינה "האם יש מגמה עולה" אלא "האם הממוצעים נבדלים בין הקבוצות" – ולשאלה הזו מתאימים תרשים קופסאות והשוואת ממוצעים, לא גרף פיזור. (הכלל אינו נוגע רק למשתנה נומינלי: גם משתנה סדר בעל מעט ערכים, כמו כאן, ייתן טורים ולא ענן.)

קו הרגרסיה נוסף בדיוק כמתואר למעלה, באותו Chart Editor – שני המסלולים נפגשים שם. שווה להכיר טיפ אחד של Field בהקשר זה: לצד הקו SPSS מצמיד תווית, ולעיתים היא נוחתת על גבי הנקודות ומסתירה נתונים; במקרה כזה פשוט מכבים אותה בחלון ה-Properties. ובגרף מקובץ, לאחר הוספת הקו, SPSS יצייר קו נפרד לכל קבוצה – וההשוואה בין שיפועיהם היא בדיוק השאלה אם הקשר חזק יותר בקבוצה אחת מאשר באחרת (סעיף 5.8.2).

קריאת הפלט

שלא כמו טבלת Correlations, שמציגה את מקדם המתאם r עצמו, SPSS מציג על גרף הפיזור – בפינתו, לצד קו הרגרסיה – את מקדם הקביעה, ככיתוב "R Sq Linear = …". כך למשל, בגרף הפיזור שהגדרנו זה עתה – מסוגלות (X) מול אמון (Y) בקובץ הנתונים שבעמוד זה (512 המשיבים, לאחר מחיקה זוגית של ערכים חסרים): R Sq Linear = .55, ו-N = 479.

כדי לחזור מ-R² אל מקדם פירסון r, לוקחים שורש ומוסיפים את הסימן לפי כיוון קו הרגרסיה: כאן √.55 ≈ .74, וכיוון שהקו עולה (שיפוע חיובי) מקבלים r = .74 – בדיוק הערך שמופיע בתא המתאם שבין מסוגלות לאמון בטבלת המתאמים (עמוד המתאמים, לוח המתאמים בין חמשת משתני החוסן), והמתאם החזק ביותר מבין עשרת הזוגות שם. זו גם דרך נוחה לבדוק את עצמכם: אם חישבתם קודם מתאם פירסון, ריבועו אמור להשתוות ל-R² Linear שמציג הגרף.

מעבר לגודל הקשר, השוואת שיפוע הקו למשוואתו ממחישה את המשמעות המספרית: במדגם זה משוואת הקו היא Ý = 1.159 + 0.687X – כלומר, לכל עלייה של נקודה אחת ברמת המסוגלות, רמת האמון הצפויה עולה בכ-0.69 נקודות בממוצע. נקודת החיתוך (1.159), הערך הצפוי כאשר X = 0, לרוב חסרת משמעות מהותית כש-0 נמצא מחוץ לטווח הערכים שנצפו בפועל בסולם המדידה.

מהגרף לרגרסיה: אותם מספרים בהליך Regression

גרף הפיזור מציג את R² ואת הקו, אך לא את הפרמטרים ומבחניהם. אותם מספרים שהמחשבון כאן מציג בלוח מתקבלים ב-SPSS מהליך הרגרסיה: Analyze › Regression › Linear…, המשתנה התלוי לתיבת Dependent והמנבא לתיבת Independent(s) (Field, 2024, Section 9.7). הפלט מגיע בשלושה לוחות (סעיף 9.8), וכדאי לדעת איפה כל ערך שלנו יושב – ולוח 1 שבעמוד מציג מעתה את כולם (R² מתוקנן, שגיאת התקן של האומדן, F, ו-b ו-a עם שגיאות התקן, t ורווחי הסמך). לרגרסיה עם כמה מנבאים – עמוד הרגרסיה הליניארית:

Field ממליץ לסמן בחלון הראשי Bootstrap… ולבקש רווחי סמך מסוג BCa ל-b: רווח סמך ש"לא נוגע באפס" הוא הראיה הישירה ביותר לקשר באוכלוסייה, והבוטסטרפ אינו נשען על הנחות הנורמליות ואחידות השונות (2024, סעיף 9.8.2). הרעיון פשוט (Field & Wilcox, 2017, Section Adjusting standard errors): במקום להניח איך b היה מתפלג במדגמים חוזרים, מדמים זאת – דוגמים מהנתונים עצמם, בהחזרה, מדגם חדש בגודל המקורי, מחשבים עליו את b, וחוזרים על כך אלפי פעמים (המלצה מקובלת: 2,000). הערכים שתוחמים את 95% האמצעיים של אלפי ה-b האלה הם רווח הסמך (percentile), ו-BCa הוא גרסה שמתקנת גם לאסימטריה. משום שהשיטה אינה מניחה דבר על צורת ההתפלגות, שגיאות התקן ורווחי הסמך שהיא נותנת אמורים לעמוד גם בהפרות של ההנחות שתוארו למעלה. ולסיום, המשפט של Field & Wilcox (ibid., Section Discussion and recommendations) שכדאי לזכור מול כל מי שאומר ש"רגרסיה היא שיטה רובסטית": על סמך מאות מחקרים מחמישים השנים האחרונות, המשפט הזה פשוט אינו נכון – והם מציעים לאסור אותו. את המשך ההליך – כמה מנבאים, מדדי האבחון, ההנחות בפלט – מפרט עמוד הרגרסיה הליניארית שבאתר.

הרחבות: השוואת קבוצות וכל הזוגות בבת אחת

השוואת קבוצות באותו גרף – Overlay Scatter. כשרוצים להציג כמה זוגות משתנים יחד, או להשוות את אותו זוג בין תת-קבוצות – למשל, האם הקשר בין מסוגלות לאמון דומה בעוצמתו בקבוצות דתיות שונות – בוחרים בתיבת Scatter/Dot את Overlay Scatter ולוחצים Define:

בחלון Overlay Scatterplot מסמנים ברשימת המשתנים שני משתנים בבת אחת ומעבירים אותם לרשימת Y-X Pairs; כל שורה בה היא זוג, והמשתנה שנבחר ראשון הופך למשתנה ה-Y של הזוג. לחצן החצים (Swap Pair) מחליף בין ה-Y ל-X של הזוג המסומן – שימו לב שבדוגמה שלפנינו המסוגלות היא ה-Y ואילו האמון והשייכות הם ה-X, הפוך מהדוגמה הראשית של העמוד. כדי לפצל את הגרף לתת-גרפים לפי קבוצה, מעבירים משתנה קטגוריאלי לתיבת Columns (תת-גרפים זה לצד זה) או Rows (זה מתחת לזה) שב-Panel by – כאן משתנה הדת (dat):

הפלט הוא שלושה תת-גרפים זה לצד זה – חילוניים, מסורתיים ודתיים-חרדים – ובכל אחד מהם שתי סדרות נקודות בצבעים שונים, לפי המקרא שמימין: מסוגלות מול אמון ומסוגלות מול שייכות. הצירים משותפים לכל התת-גרפים, ולכן אפשר להשוות ביניהם ישירות:

גם כאן קווי הרגרסיה אינם מופיעים מעצמם: פותחים את הגרף ב-Chart Editor ובוחרים Elements › Fit Line at Subgroups – ואז מתקבל קו נפרד לכל סדרה בכל תת-גרף, ובמקרא מימין ה-R² Linear של כל קו (Pallant, 2020, p. 305):

שתי עצות של Gelman & Hill (2007, עמ' 555) לגרף כזה. הראשונה – על הסמלים: לשתיים-שלוש קבוצות בוחרים סמלים שנבדלים בעין – עיגול פתוח מול עיגול מלא, לא האותיות M ו-F – כי סמל הוא הדרך שבה הגרף אומר "כל נקודה היא נבדק מקבוצה זו"; גודל הסמל, לעומת זאת, כמעט אינו מצליח לייצג משתנה רציף. השנייה – סיפור מהעבודה שלהם: הם ציירו גרף לפני-ואחרי עם קווי רגרסיה נפרדים לקבוצות טיפול ולביקורת, ורק אחרי שראו את הגרף עם קווים מקבילים הבינו שקווים לא-מקבילים – כלומר אינטראקציה בין הטיפול למדידת ה"לפני" – הם המודל הנכון, וזו התברר כעובדה המרכזית של הנתונים. "הקווים והנקודות יחד מראים זאת ברור הרבה יותר מכל סיכום מספרי" (שם). זה בדיוק מה שתרשים ה-Overlay עם Fit Line at Subgroups מאפשר לבדוק: האם השיפועים דומים.

כך אפשר לענות בגרף אחד על שתי השאלות שהוא נבנה בשבילן. איזה משני הקשרים חזק יותר? אצל החילוניים המסוגלות קשורה לאמון (R² = .554) יותר מאשר לשייכות (.460), ואצל הדתיים-חרדים הפער דומה (.506 לעומת .404) – ואילו אצל המסורתיים השניים כמעט שווים (.525 ו-.536). והאם הקשר דומה בין הקבוצות? הקשר מסוגלות-אמון יציב למדי בשלושתן (.51-.55), והקשר מסוגלות-שייכות נע יותר (.40-.54). שימו לב שהמספרים במקרא הם R² ולא r: הפרש בין .554 ל-.460 הוא הפרש בין r = .74 ל-r = .68. ואזהרה שנובעת ישירות מסעיף ההנחות – שש התצורות והמנוף: כשקבוצה קטנה – כמו הדתיים-חרדים במדגם זה, שהתת-גרף שלהם דליל בבירור – די בשתיים-שלוש נקודות במנוף גבוה כדי להטות את הקו שלה לכל כיוון, ולכן משווים שיפועים בין קבוצות רק אחרי שבודקים כמה נבדקים יש בכל אחת, ואם ההבדל חשוב – בודקים אותו במבחן ולא בעין.

לחיצה על Paste בחלון Overlay Scatterplot שומרת את ההגדרה כסינטקס – והוא קצר ומפורש יותר מהחלון עצמו:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(OVERLAY)=trust belonging WITH efficacy efficacy (PAIR)
  /PANEL COLVAR=dat COLOP=CROSS
  /MISSING=LISTWISE.

קוראים אותו כך: OVERLAY – כמה זוגות על אותם צירים; לפני WITH משתני ה-X ואחריו משתני ה-Y, לפי הסדר, ו-(PAIR) מורה לצוות אותם אחד-לאחד – הראשון עם הראשון, השני עם השני (ולא כל אחד עם כל אחד). כאן: trust עם efficacy ו-belonging עם efficacy – שוב רואים שהמסוגלות היא ה-Y. /PANEL COLVAR=dat הוא הפיצול לעמודות לפי דת (ROWVAR היה מפצל לשורות), ו-/MISSING=LISTWISE – כמו בגרף הבודד – משמיט נבדק שחסר לו ערך בכל אחד מהמשתנים שבפקודה; בגרף של כמה זוגות זה כבר משמעותי, כי נבדק שחסרה לו רק השייכות ייעלם גם מהזוג מסוגלות-אמון. אם רוצים מחיקה זוגית, מחליפים ל-/MISSING=VARIABLEWISE.

מבט על כל הזוגות בבת אחת – Matrix Scatter. כדי לבדוק בבת אחת את כל צמדי המשתנים – למשל בין חמשת משתני החוסן – משתמשים ב-Matrix Scatter: מעבירים את כל המשתנים לרשימת Matrix Variables ומאשרים. כל משבצת במטריצה היא גרף פיזור של זוג אחד, כך שהמטריצה כולה עומדת מול מטריצת המתאמים שבעמוד המתאמים משבצת מול מספר – ומראה מה שהמספר אינו יכול: אם אחד הזוגות עקום, ואם באחד מהם יושבת תצפית שמושכת את הקו. לכן שווה להסתכל בה לפני חישוב המתאמים ולא אחריו. ויתרון שמיוחד לה: נבדק שבולט במשבצת אחת אפשר לחפש במשבצות האחרות, ולראות אם הוא חריג בכל המשתנים או רק בזוג אחד – Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, עמ' 115-116) מדגימים זאת בהדגשת אותו נבדק בכל המשבצות.

בחלון Scatterplot Matrix מעבירים לרשימת Matrix Variables את כל המשתנים שרוצים לראות – כאן חמשת משתני החוסן. שאר התיבות מוכרות מהגרף הבודד: Set Markers by לצביעה לפי קבוצה, Label Cases by לתוויות, ו-Panel by לפיצול:

הפלט הוא רשת של 5×5 משבצות. האלכסון ריק – משתנה מול עצמו אינו מעניין – וכל משבצת אחרת היא גרף פיזור של זוג: המשתנה שבשורה על ציר ה-Y, המשתנה שבעמודה על ציר ה-X. שני החצאים של הרשת הם תמונות-ראי – המשבצת "מנהיגות מול מסוגלות" מעל האלכסון היא אותו גרף כמו "מסוגלות מול מנהיגות" מתחתיו, בצירים מוחלפים – ולכן די להסתכל בחצי אחד – עד שמוסיפים קווי רגרסיה: בכל משבצת הקו הוא של המשתנה שבשורה על המשתנה שבעמודה, ולכן הקווים בשתי המשבצות התאומות אינם תמונות-ראי אלא שני קווים שונים, Y על X ו-X על Y (ראו ומה קורה כשמחליפים בין הצירים). לפי Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, עמ' 115) זהו השדרוג העיקרי של המטריצה על פני לוח המתאמים: הלוח מציג רק כיוון ועוצמה של קשר ליניארי, ואילו המטריצה מגלה גם קשרים לא-ליניאריים, שבלוח נראים פשוט כמתאם נמוך. ושוב הרשת המוכרת: כל המשתנים הם ממוצעי פריטים בקפיצות של חצי נקודה, ולכן הנקודות מסודרות בשורות ובטורים, ונקודה אחת מייצגת נבדקים רבים:

וכמו בכל גרף פיזור, קו הרגרסיה נוסף בעריכה: Chart Editor ואז Elements › Fit Line at Total – פעולה אחת שמוסיפה קו לכל המשבצות בבת אחת:

מה רואים כאן במבט אחד? כל עשרת הקשרים חיוביים וברורים – כל הקווים עולים ואף ענן אינו מתעקל – ולכן פירסון מתאים לכולם; זהו בדיוק הלוח הגרפי של מטריצת המתאמים שבעמוד המתאמים (שם: r בין .62 ל-.74). מה שקשה לראות ברשת כזאת הוא הבדלים בעוצמה בין הזוגות: הצפיפות מסתירה אותם, ואת ההשוואה עושים עם המספרים. לעומת זאת, את השאלה החשובה יותר – האם יש זוג שמתנהג אחרת מהאחרים, בצורה עקומה או עם נקודות חריגות – המטריצה עונה טוב יותר מכל טבלה. גם כאן Paste שומר את הסינטקס, וגם כאן /MISSING=LISTWISE: נבדק שחסר לו ערך באחד מחמשת המשתנים נעלם מכל עשרים המשבצות, ולכן ה-N בכל משבצת קטן מזה של הגרף הבודד של אותו זוג:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

דיווח התוצאות

דיווח על גרף פיזור כולל בדרך כלל את הגרף עצמו (עם קו הרגרסיה), ולצדו – במלל – את כיוון הקשר ועוצמתו, מקדם הקביעה, ולעיתים גם משוואת הקו. כשגרף הפיזור מלווה חישוב מתאם, כמו כאן, נהוג לדווח את שניהם יחד: הגרף כתמיכה חזותית, והמתאם כתמצות מספרי. את הגרף עצמו מעצבים כ"איור" (Figure) לפי כללי APA: מספר האיור מעל, כותרת תיאורית באות נטויה, צירים עם שמות המשתנים, ומתחת לאיור הערה שמסבירה מה מייצגת כל נקודה ומהו הקו – בדיוק כמו גרף הפיזור לדוגמה שבמדריך, שבו כל נקודה היא נבדק וקווי הרגרסיה מוסברים בהערה (American Psychological Association [APA], 2020, Sections 7.22-7.28; Section 7.36, Figure 7.15).

את הגרף, את הלוח ואת משפטי הדיווח בפורמט הזה – r ו-R² בשתי ספרות בלי אפס מוביל, b ו-a עם אפס מוביל, רווחי הסמך ל-r ול-b (Field, 2024, Section 9.14) – מפיק המחשבון שבעמוד הזה אוטומטית מקובץ הנתונים, ואפשר להוריד אותם כקובץ Word; הגרף עצמו מועתק מהמסך, והערת האיור – מלוח הפלט.

כשהרגרסיה היא העיקר. אם הדגש בעבודה הוא על המודל ולא על המתאם, Field (2024, סעיף 9.14) מגדיר מינימום לדיווח: b עם שגיאת התקן ורווח הסמך שלו (עדיף בוטסטרפ), ערך ה-p המדויק, המקדם המתוקנן β, ו-R² – ורצוי גם החותך, כדי שקורא יוכל לשחזר את המשוואה. לפי כללי APA (APA, 2020, Section 6.36), ערכים שאינם יכולים לעלות על 1 – β, R² ו-p – נכתבים בלי אפס לפני הנקודה (.55 ולא 0.55); b והחותך, שכן יכולים, נכתבים עם האפס. שגיאת התקן ורווח הסמך של b אינם בלוח של עמוד זה – מפיקים אותם בהליך הרגרסיה (ראו מהגרף לרגרסיה). ובניסוח מינימלי: האפקט המשוער (b), שגיאת התקן שלו וערך ה-p – ולצדם משפט שמסביר מה המקדם אומר, כדי שכל קורא יבין; וכשמדובר ברגרסיה פשוטה, גרף הפיזור עם הקו הוא הדרך הטובה ביותר להציג את התוצאה.

ואיך עושים זאת ב-R?

אותו גרף בדיוק – נקודות, קו רגרסיה, כותרת נטויה והערת איור – יוצא ב-R בסקריפט אחד, עם חבילת הגרפיקה ggplot2. המוסכמות זהות לסעיף ה-R שבשאר עמודי האתר: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, שמות קצרים באנגלית לנוסחה (efficacy = מסוגלות, trust = אמון), וסביבת UTF-8 לשמות עבריים (ב-Windows: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") או R 4.2 ומעלה). הסקריפט בנוי בארבעה חלקים: המספרים, הגרף, השמירה, ורצועות הביטחון. הוא הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה של העמוד (DATA_scatter_example_heb.xlsx, הגיליון "נתונים") ב-R 4.3.3, והתוצאות – זהות ללוח 1 ולמשפטי הדיווח – רשומות בהערות. החליפו את הנתיב ואת שמות המשתנים בשלכם; ב-R כותבים בנתיב לוכסן רגיל (/).

# גרף פיזור וקו רגרסיה – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
# פעם אחת בלבד, אם החבילות אינן מותקנות: install.packages(c("readxl", "ggplot2", "ragg"))
library(readxl)    # קריאת אקסל
library(ggplot2)   # הגרפיקה

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_scatter_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("מסוגלות", "אמון")]
names(d) <- c("efficacy", "trust")          # שמות קצרים באנגלית לנוסחה

# --- 1. המספרים (זהים ללוח 1 שבעמוד) ---
cor.test(d$efficacy, d$trust)               # r = .738, t(477) = 23.90, p < .001, רווח סמך [.695, .776]
cor.test(d$efficacy, d$trust, method = "spearman", exact = FALSE)   # rho = .728
fit <- lm(trust ~ efficacy, data = d)       # קו הרגרסיה: trust על efficacy (מחיקה זוגית אוטומטית)
summary(fit)                                # a = 1.159 (SE .096), b = 0.687 (SE .029, t = 23.90), s = 0.715, R² = .545, מתוקנן .544, F(1, 477) = 571.4
confint(fit)                                # רווחי סמך 95%: a [0.970, 1.349], b [0.631, 0.744]
nobs(fit)                                   # N = 479 – תצפיות עם ערך תקף בשני המשתנים

# --- 2. הגרף ---
p <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, colour = "#37716D", linewidth = 0.9) +
  labs(x = "מסוגלות", y = "אמון",
       title = "תרשים 1",
       subtitle = "אמון כפונקציה של מסוגלות",
       caption = paste0("הערה. כל נקודה מייצגת נבדק אחד, לפי ערכיו במסוגלות (ציר אופקי) ובאמון (ציר אנכי).\n",
                        "הקו הוא קו הרגרסיה הליניארית של אמון על מסוגלות. N = ", nobs(fit),
                        " תצפיות עם ערך תקף בשני המשתנים.")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p

# --- 3. שמירה לעבודה: 300 dpi, מנוע AGG (עברית ופיסוק תקינים) ---
ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy.png", p, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

# --- 4. רצועות הביטחון: Mean מול Individual (כמו בתרשים שבעמוד כשמסמנים את שתי הרצועות) ---
# הסבר: Mean – רווח סמך 95% לקו עצמו: se = TRUE ב-geom_smooth (ברירת המחדל שלו); Individual – רווח ניבוי 95% לנבדק בודד: predict(interval = "prediction")
grid <- data.frame(efficacy = seq(min(d$efficacy, na.rm = TRUE), max(d$efficacy, na.rm = TRUE), length.out = 100))
pred <- cbind(grid, predict(fit, newdata = grid, interval = "prediction", level = 0.95))
pred[c(1, 50, 100), ]                        # למשל x = 3: ŷ = 3.22, רווח ניבוי [1.81, 4.62]; רוחב הרצועה גדל מעט בקצוות

p_ci <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_ribbon(data = pred, aes(x = efficacy, ymin = lwr, ymax = upr), inherit.aes = FALSE, fill = "#A7D6D5", alpha = 0.35) +   # Individual
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, level = 0.95, colour = "#37716D", fill = "#37716D", alpha = 0.35, linewidth = 0.9) +  # Mean
  labs(x = "מסוגלות", y = "אמון",
       title = "תרשים 2",
       subtitle = "אמון כפונקציה של מסוגלות, עם רצועות ביטחון",
       caption = paste0("הערה. כל נקודה מייצגת נבדק אחד; N = ", nobs(fit), " תצפיות עם ערך תקף בשני המשתנים.\n",
                        "הקו הוא קו הרגרסיה הליניארית של אמון על מסוגלות.\n",
                        "הרצועה הכהה – רווח סמך 95% לקו (Mean); הבהירה – רווח ניבוי 95% לנבדק בודד (Individual).")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p_ci

ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy_ci.png", p_ci, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

מה קורה בכל חלק. בחלק 1 cor.test נותן את r, דרגות החופש, ה-p ורווח הסמך (בטרנספורמציית פישר – אותו רווח שבלוח 1), ובאותה פונקציה עם method = "spearman" – את r_s; lm אומד את הקו, summary מדפיס את החותך והשיפוע עם שגיאות התקן, t ו-p שלהם, את שגיאת התקן של האומדן (Residual standard error), R² ו-F – בנתוני הדוגמה 1.159 ו-0.687, s = 0.715, R² = .545, בדיוק שורות לוח 1 שמפיק המחשבון; confint נותן את רווחי הסמך של המקדמים, ו-nobs מחזיר את N = 479. בחלק 2 geom_point מצייר את הנקודות (בשקיפות, כי בסולם ליקרט נבדקים רבים יושבים על אותה נקודה בדיוק, וכך רואים היכן הענן צפוף), geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) מוסיף את קו הרגרסיה בלי רצועה, ו-labs נותן לאיור את רכיבי APA: מספר, כותרת נטויה (subtitle עם face = "italic"), שמות המשתנים על הצירים, והערת האיור ב-caption – מה מייצגת כל נקודה, מהו הקו וגודל המדגם, מיושרת לימין ב-hjust = 1. חלק 3 שומר קובץ PNG ב-300 dpi בגודל קבוע, וזו הגרסה שנכנסת לעבודה – לא הייצוא מחלונית Plots, שנשמר ברזולוציית מסך ובגודל החלון.

שתי ה"אזהרות" אינן שגיאה. אחרי כל הרצה מודפס Removed 33 rows containing missing values: 512 נבדקים בקובץ פחות 479 עם ערך תקף בשני המשתנים – R פשוט מדווח על המחיקה הזוגית, אותה שיטה שבה נוהגים SPSS והמחשבון שבעמוד. אין צורך לעשות דבר. הערכים חסרים מוסרים אוטומטית בכל שלושת השלבים – cor.test, lm והגרף – ולכן המספרים זהים לאלה שבלוח: r(477) = .738, p < .001.

המלכודת של העברית – ואיך עוקפים אותה. בהרצה הראשונה סביר שהעברית בגרף תיראה בסדר, אבל הפיסוק בהערת האיור יתבלבל: הנקודה הסופית תקפוץ לשמאל השורה, ו-N = 479 ינדוד למקום לא נכון במשפט (כך קרה גם בהרצת הבדיקה של העמוד, בסביבת לינוקס בלי המנוע הזה). זו לא בעיה בקוד אלא במנוע הגרפי שבו RStudio מציירת כברירת מחדל: הוא מסדר אותיות עבריות מימין לשמאל, אבל מניח שכיוון הבסיס של השורה הוא משמאל לימין, ולכן כל מה שאינו אות עברית – נקודה, סוגריים, מספר לועזי – נופל למקום הלא נכון. כותרות ותוויות צירים של מילה-שתיים אינן נפגעות; משפט שלם עם פיסוק – כן. הפתרון הוא מנוע גרפי שמיישם את אלגוריתם הדו-כיווניות של יוניקוד כהלכה, AGG, שמגיע בחבילת ragg, בשני מקומות: בקובץ – זה הארגומנט device = ragg::agg_png בשורת ה-ggsave שבסקריפט; ובחלונית Plots – פעם אחת, בהגדרות: Tools › Global Options › General › Graphics › Backend: AGG, ואז Apply ו-OK:

ועוד שני כללים קטנים לעברית ב-R: שומרים את קובץ הסקריפט בקידוד UTF-8 (ב-RStudio: File › Save with Encoding) – אחרת העברית עלולה להפוך לנקודות או לריבועים; וכשמחלקים הערה ארוכה לכמה שורות ב-\n, מתחילים כל שורה במילה עברית ולא באות לועזית או במספר – שורה שפותחת ב-N = 479 תסודר כשורה לועזית, והנקודה שלה תברח שוב.

רצועות הביטחון – הדגמה חיה של Mean מול Individual

חלק 4 של הסקריפט מצייר את שתי הרצועות שתוארו בסעיף לשונית Fit Line – ואפשר לראות במו עיניים למה ההבחנה ביניהן חשובה. רצועת Mean דורשת מילה אחת: se = TRUE ב-geom_smooth (למעשה זו ברירת המחדל שלו – מחיקת se = FALSE מספיקה), וזה רווח סמך 95% לקו עצמו. רצועת Individual אינה מובנית ב-ggplot2, ולכן מחשבים אותה ישירות מהמודל: predict(fit, newdata, interval = "prediction") מחזיר לכל ערך של X את הניבוי ואת גבולות רווח הניבוי לנבדק בודד, ו-geom_ribbon מצייר אותם כרצועה. שתי הרצועות מצוירות באותה רמת ביטחון, 95%, ובכל זאת:

רצועת Mean כמעט נבלעת בקו: עם 479 נבדקים אנחנו יודעים היטב היכן עובר הקו הממוצע, ובמדגם גדול עוד יותר היא הייתה מתכווצת לאפס. רצועת Individual משתרעת על פני שתיים-שלוש נקודות בסולם – כי היא כוללת גם את פיזור הנבדקים סביב הקו, ה-σ של הסעיף ההוא, שאינו נעלם בשום גודל מדגם. ושתיהן, אם מתבוננים היטב, צרות ביותר סביב ממוצע X ומתרחבות מעט לקצוות – צורת שעון-החול. הערת האיור שבקוד אומרת במפורש מה כל רצועה מייצגת ובאיזו רמת ביטחון, כפי שדורשת APA (2020, סעיף 7.28) – וזו הסיבה שבפרק ממצאים מדווחים בדרך כלל את Mean בלבד: השאלה שם היא "היכן עובר הקשר", לא "היכן ייפול נבדק חדש".

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Belsley, D. A., Kuh, E., & Welsch, R. E. (1980). Regression diagnostics: Identifying influential data and sources of collinearity. Wiley.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cook, R. D., & Weisberg, S. (1982). Residuals and influence in regression. Chapman & Hall.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Field, A. P., & Wilcox, R. R. (2017). Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers. Behaviour Research and Therapy, 98, 19-38. https://doi.org/10.1016/j.brat.2017.05.013

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2020). Regression and other stories. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Hoaglin, D. C., & Welsch, R. E. (1978). The hat matrix in regression and ANOVA. The American Statistician, 32(1), 17-22. https://doi.org/10.1080/00031305.1978.10479237

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.