מודל משוואות מבניות (SEM)

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

הגדרת המודל

מדריך

מתי משתמשים?

כשההשערה היא על קשרים בין מושגים שכל אחד מהם נמדד בכמה פריטים. Byrne (2016, עמ' 54) מגדירה: מודל משוואות מבניות מלא "כולל גם מודל מדידה וגם מודל מבני", כך ש"משתנים סמויים מסוימים מחוברים בחצים חד-כיווניים, שכיוונם משקף השערות על המבנה הסיבתי של המשתנים במודל". בקובץ הדוגמה: אמון במוסדות ← שייכות לקהילה ← השתתפות, ועוד חץ ישיר מאמון להשתתפות – מודל תיווך, ארבעה פריטים לכל מושג.

שלושה עמודים במודול הזה עונים על שאלות קרובות. ניתוח נתיבים מצייר חצים בין משתנים נצפים (למשל ציוני סולם), ולכן המקדמים שלו אינם מתוקנים לטעות מדידה; ניתוח גורמים מאשש בודק רק את מודל המדידה – הגורמים מתואמים, בלי כיוון; SEM מלא מחבר את שניהם. Kline (2023, עמ' 264) מסביר את ההבדל: בניתוח נתיבים, ההפרעה של משתנה תלוי כוללת גם סיבות שהושמטו וגם טעות מדידה, ואילו ב-SEM ההפרעות של גורמים אנדוגניים "משקפות רק סיבות שהושמטו" – טעות המדידה נמצאת בחלק המדידה, ולכן מקדמי הנתיבים בין הגורמים "מתוקנים לטעות מדידה". עמודים קרובים: אלפא של קרונבך וציון סולם, בניית שאלון.

ההיגיון: מהנתיבים למטריצת השונויות המשותפות

המודל. שתי מערכות משוואות: במודל המדידה כל פריט הוא טעינה כפול הגורם שלו ועוד שארית (x = Λη + ε, כמו ב-CFA); במודל המבני כל גורם אנדוגני הוא צירוף של הגורמים שמנבאים אותו ועוד הפרעה (η = Bη + ζ). מכאן מטריצת השונויות המשותפות שהמודל משתמע ממנה: Σ = Λ(I − B)⁻¹Ψ(I − B)⁻ᵀΛ′ + Θ, כש-Ψ מכילה את השונויות והמתאמים של הגורמים האקסוגניים ואת שונויות ההפרעות. Rosseel (2012, לוח 1) מתאר את שלושת האופרטורים שמגדירים מודל כזה ב-lavaan: =~ ("נמדד באמצעות"), ~ ("מנובא על ידי") ו-~~ (שונות משותפת).

הזיהוי. Kline (2023, עמ' 265, כלל 15.1 – "כלל הזיהוי הדו-שלבי", על פי Anderson ו-Gerbing, 1988, ו-Bollen, 1989, כמצוטטים אצלו): מודל מלא מזוהה אם (1) החלק המדידתי, כשהוא מנוסח כ-CFA, מזוהה, ו-(2) החלק המבני מזוהה – וכל מודל מבני רקורסיבי (בלי מעגלים) מזוהה (שם, עמ' 110, כלל 7.4). לכן העמוד מקבל רק מודלים רקורסיביים, ודורש לכל גורם לפחות שני פריטים. קביעת הסולם – כמו ב-CFA: מרקר (ברירת המחדל של lavaan ושל AMOS) או std.lv; ב-std.lv, כמו ב-lavaan, גם שונויות ההפרעות של הגורמים האנדוגניים קבועות ל-1, ולכן המקדמים הלא-מתוקננים שונים – אבל ההתאמה והמקדמים המתוקננים זהים.

האמידה. נראות מרבית (ML) כמו ב-lavaan, באותו מנוע של עמוד ה-CFA (Fisher scoring עם המידע הצפוי, עד שהנגזרת קטנה מ-10⁻¹⁰; χ² = N·F). האימות: העמוד משחזר את הדוגמה המלאה של Rosseel (2012, סעיף 5.1, עמ' 18-20) – נתוני התיעוש והדמוקרטיה הפוליטית של Bollen (1989, as cited in Rosseel), 75 מדינות, שלושה גורמים, שלושה נתיבים ושישה מתאמי שאריות: χ²(35) = 38.125, p = .329, הנתיבים 1.483, 0.572 ו-0.837, וכל 34 השורות של הפלט המודפס (אומדן, טעות תקן, z ו-Std.all) עד הספרה השלישית; ואת lavaan 0.6-17 בשבעה מודלים – כולל ההשפעות העקיפות (:=), שאריות המתאם, מבחן ההפרש בין השלבים ומדדי השינוי.

הבנייה הדו-שלבית

אם מודל מלא אינו מתאים – איפה הבעיה: במדידה, במבנה, או בשניהם? Kline (2023, עמ' 265) מציג את הבנייה הדו-שלבית של Anderson ו-Gerbing (1988, כמצוטטים אצלו): בשלב 1 מנסחים את המודל כ-CFA – אותם גורמים ופריטים, כל הגורמים מתואמים – ובודקים את התאמתו; "אם ההתאמה של מודל ה-CFA חלשה, ההתאמה של המודל המבני עלולה להיות גרועה עוד יותר". בשלב 2, עם מודל מדידה מתאים, משווים את המודל המבני אליו במבחן הפרש χ²: המודל המבני מקונן במודל המדידה (נתיב שלא הוגדר = מתאם שקובע לאפס). כשהחלק המבני מזוהה בדיוק – יש נתיב או מתאם בין כל שני גורמים, כמו במודל הדוגמה – "ההתאמה של המודל המבני ושל ה-CFA זהות, כי המודלים שקולים". העמוד מריץ את שני השלבים ומציג אותם יחד בלוח 1.

שתי אזהרות של Kline (עמ' 266-268). ראשית, מודלים שקולים: כשהמבני והמדידתי שקולים, "הבסיס היחיד" להעדיף את המודל עם החצים "הוא רציונלי (כלומר טיעון, לא ניתוח) או נתמך במערך המחקר (למשל קדימות בזמן במדידה)"; ובדיווח צריך "להכיר בקיומם של מודלים שקולים בכל שלב" ולהסביר למה נבחר המודל. שנית, יציבות הטעינות: כשמשנים את החלק המבני, הטעינות אמורות להשתנות רק מעט; שינוי ניכר הוא "ערבוב פרשני" – המשמעות של הגורם משתנה לפי מה שמנבא אותו. ועוד: מדדי ההתאמה הכלליים מושפעים יותר מחלק המדידה, שיש לו בדרך כלל הרבה יותר דרגות חופש, ולכן התאמה טובה של המודל כולו יכולה להסתיר בעיה בחלק המבני (McDonald ו-Ho, 2002, כמצוטטים אצל Kline, עמ' 268).

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – ההתאמה בשני השלבים. שורה למודל המדידה ושורה למודל המבני, עם אותם מדדים ואותם ספים כמו בעמוד ה-CFA: χ² (רוצים p גדול מ-.05), CFI ו-TLI (מעל .95 טוב, מעל .90 סביר), RMSEA עם רווח סמך 90% (עד .06 טוב, עד .08 סביר) ו-SRMR (עד .08) – ספי Hu ו-Bentler (1999, עמ' 27), "קרוב ל-" ולא חוקים, והטווחים ש-Brown (2015, עמ' 74-75) מביא; Kline (2023, עמ' 268, 421) אינו ממליץ להסתמך על ספים קבועים כלל, בלי בחינה של ההתאמה המקומית. בהערה – מבחן ההפרש Δχ² בין השלבים, או הודעה שהמודלים שקולים.

לוח 2 – הנתיבים. לכל נתיב: b (לא-מתוקנן), טעות תקן, z, p, רווח סמך 95% ו-β (Std.all) – בכמה סטיות תקן משתנה הגורם המנובא כשהמנבא עולה בסטיית תקן אחת והמנבאים האחרים שלו קבועים. בהערה – R² של כל גורם אנדוגני: חלק השונות שלו שהמנבאים מסבירים (Byrne, 2016, עמ' 212, על ה-SMC של כל גורם תלוי: סטטיסטי "שאינו תלוי ביחידות המדידה").

לוח 3 – השפעות ישירות, עקיפות וכוללות (סעיף להלן). לוח 4 – הטעינות של מודל המדידה, כמו לוח 2 בעמוד ה-CFA. לוח 5 – שונויות: לגורם אקסוגני – שונות ומתאם עם האקסוגניים האחרים; לגורם אנדוגני – שונות ההפרעה, וערכה המתוקנן הוא 1 − R².

לוח 6 – שאריות המתאם. לכל זוג פריטים: המתאם שנצפה פחות המתאם שהמודל משתמע ממנו (כל מטריצה מתוקננת באלכסון שלה – cor.bollen ב-lavaan, ברירת המחדל בספר של Kline, 2023, עמ' 147). שאריות המתאם, בניגוד לשאריות השונות המשותפת, "ניתנות להשוואה ישירה בין זוגות שונים" (שם, עמ' 145). Kline מסמן בדוגמאות שלו ערך מוחלט מעל .10 כסימן שהמודל אינו מסביר היטב את הקשר בין שני המשתנים (עמ' 146, לוח 9.4) – העמוד מצליל אותם. Kline (עמ' 422) עומד על כך שדיווח של מדדי התאמה כלליים בלבד "אינו מספיק": "הפרטים האמיתיים של ההתאמה" נמצאים בשאריות (עמ' 268). לוח 7 – מדדי שינוי: כמו ב-CFA, ובנוסף נתיבים שלא הוגדרו ומתאמים בין גורמים או הפרעות (גם נתיב שהיה סוגר מעגל מופיע, כמו ב-lavaan, ומסומן). תרשים – החלק המבני: β על החצים, R² מתחת לכל גורם אנדוגני.

השפעות עקיפות (תיווך)

ההשפעה העקיפה של אמון על השתתפות דרך שייכות היא מכפלת שני המקדמים לאורך המסלול – a·b – והכוללת היא הישירה ועוד העקיפה (Kline, 2023, עמ' 125; כשיש כמה מסלולים, העמוד מחבר את המכפלות של כולם, כמו מטריצת ההשפעות הכוללות (I − B)⁻¹ − I). ב-lavaan מגדירים אותן באופרטור :=, וטעויות התקן שלהן מחושבות "בשיטת הדלתא (Sobel, 1982)" (Rosseel, 2012, Section 7.4) – אותו חישוב בעמוד. במסלול של שני נתיבים זו טעות התקן של Sobel (Kline, p. 125, Equation 8.2), כשבמודל אחד גם הקווריאנס בין שני המקדמים נכנס לחישוב.

מגבלה. Kline (2023, עמ' 128): מבחן Sobel "מניח נורמליות, אך התפלגויות של אומדי מכפלה אינן נורמליות בדרך כלל; הן לעיתים קרובות אסימטריות", ולכן אין לפרש את ערכי ה-p שלו יתר על המידה; החלופה היא רווח סמך bootstrap (שם, עמ' 128-129, עם האזהרה שבלי זרע קבוע הגבולות עלולים להשתנות בין הרצות). העמוד מדפיס את רווח הסמך הנורמלי (b ± 1.96·SE, כמו parameterEstimates()), וסקריפט ה-R שבפלט כולל את הפקודה ל-bootstrap; את ה-bootstrap עצמו, בדפדפן – לפי מסלול, עם רווחי אחוזונים ומתוקני-הטיה ואותם מדגמים כמו ב-lavaan עם אותו זרע – מחשב העמוד תיווך בין גורמים סמויים. בקובץ הדוגמה ההבדל קטן: רווח הדלתא להשפעה העקיפה [0.164, 0.398], ורווח אחוזוני מ-5,000 דגימות bootstrap (זרע 2026) [0.171, 0.414] – אסימטרי, כצפוי. ופרשנות: "תיווך" הוא טענה סיבתית, ובמודל החתך של הדוגמה מודל עם החצים בכיוון ההפוך מתאים לנתונים באותה מידה (סעיף "הבנייה הדו-שלבית").

הנחות ואזהרות

גודל המדגם. Kline (2023, עמ' 16): "אין כלל אצבע פשוט לגודל המדגם שעובד בכל המחקרים". כנקודת מוצא הוא מביא את כלל ה-N:q של Jackson (2003, כמצוטט אצלו) – יחס של 20 נבדקים לכל פרמטר נאמד מומלץ, 10 "פחות אידיאלי", ומתחת לזה "גם האמינות של התוצאות" יורדת – ואת גודל המדגם החציוני בסקירות של מחקרי SEM, כ-200; "עם N < 100, כמעט כל סוג של SEM עשוי להיות בלתי-אפשרי" אלא אם המודל פשוט מאוד. העמוד מזהיר מתחת ל-200 נבדקים (ובניסוח חריף יותר מתחת ל-100) ומתחת ליחס 10:1. בקובץ הדוגמה: 314 נבדקים ו-27 פרמטרים – 11.6:1.

נורמליות ופריטי ליקרט – כמו ב-CFA: אמידת ML מניחה נורמליות רב-משתנית; לפי Rhemtulla ואחרים (2012, עמ' 354) ML מתאים לפריטים עם 5 קטגוריות ומעלה, ואמידה לנתונים סדורים – לפחות מזה. פתרון לא-קביל: שונות שארית או הפרעה שלילית (בגורם אנדוגני – R² מעל 1), או מתאם גורמים מעל 1; "אל תפרשו תוצאות מפתרון שאינו קביל" (Kline, 2023, p. 421; Brown, 2015, pp. 162-163). ערכים חסרים – מחיקה רשימתית על כל פריטי המודל (ברירת המחדל של lavaan). שינוי המודל אחרי ההרצה: Kline (עמ' 266) מזהיר ש"השיטה מנצלת שונות מקרית" כשמשנים ובודקים על אותם נתונים, ושבלי התאמה לנתונים חדשים "לא ידוע אם המודל ישוחזר"; Byrne (2016, עמ' 206-208) מדגימה את התהליך – הוספת נתיבים "בעלי משמעות תוכנית" לפי מדדי השינוי, ואחר כך הסרת נתיבים לא-מובהקים "למען החסכנות" – ומסכמת (עמ' 217) שאין "כללים נוקשים" מתי לעצור, מלבד ידע תיאורטי, שקלול המדדים ו"עין פקוחה על החסכנות". שתי הגישות נוגעות באותה נקודה: כל שינוי מדווחים, ומודל ששונה כך דורש שחזור.

מה העמוד אינו מחשב. מודלים לא-רקורסיביים (מעגלים, השפעות הדדיות), מתאמים בין הפרעות, גורם עם פריט יחיד, משתנים נצפים בחלק המבני (למשל גיל כמנבא), רווחי סמך bootstrap (בעמוד תיווך בין גורמים סמויים), RMSEA של החלק המבני בלבד (RMSEA-P, Kline, p. 268), השוואת קבוצות ואינווריאנטיות מדידה, אמידה חסינה (MLR) ולנתונים סדורים (WLSMV), FIML, אילוצי שוויון.

ואיך עושים זאת ב-SPSS ו-AMOS?

ב-SPSS Statistics אין מודלי משוואות מבניות; Pallant (2020, פרק 10) מציינת שהוא "תומך בתוספת בשם AMOS". ב-AMOS מציירים את מודל המדידה כמו ב-CFA (אליפסה לכל גורם, מלבן לכל פריט, עיגול שארית לכל פריט), ובמקום קשת דו-כיוונית בין גורמים שיש ביניהם השערה סיבתית – חץ חד-כיווני; לכל גורם אנדוגני מוסיפים עיגול הפרעה (AMOS מקבע את החץ שלו ל-1). Byrne (2016, פרק 6) מדגימה מודל מלא כזה צעד אחר צעד. ב-Analysis Properties › Output מסמנים Standardized estimates, Squared multiple correlations ו-Modification indices (Byrne, 2016, עמ' 210: לבקש גם את ה-SMC). ההבדל הצפוי כמו ב-CFA: AMOS מחשב χ² = (N − 1)F_min (Byrne, 2016, p. 93), ואילו lavaan והעמוד – N·F (Brown, 2015, p. 67); האומדנים זהים, ו-χ² וטעויות התקן שונים מעט.

ואיך עושים זאת ב-R?

lavaan: מודל המדידה בשורות =~, הנתיבים בשורות ~, תוויות לפני המנבאים (a*trust), והשפעות מוגדרות ב-:= (Rosseel, 2012, Section 7.4); sem() מוסיפה לבד את שונויות השאריות וההפרעות ואת המתאמים בין הגורמים האקסוגניים. כפתור "הורדת סקריפט R" בפלט כותב את הסקריפט של המודל שהגדרתם – שני השלבים, המבחן ביניהם, שאריות המתאם ומדדי השינוי. הסקריפט שלהלן הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה (lavaan 0.6-17).

# מודל משוואות מבניות – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל
library(lavaan)   # cfa, sem, lavTestLRT, modindices

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = פריט; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_cfa_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
items <- c(paste0("שייכות_", 1:4), paste0("אמון_", 1:4), paste0("השתתפות_", 1:4))
d <- as.data.frame(d[, items])
names(d) <- c(paste0("b", 1:4), paste0("t", 1:4), paste0("p", 1:4))   # שמות קצרים באנגלית למודל

# שלב 1: מודל המדידה – שלושה גורמים מתואמים
meas <- "
  belong =~ b1 + b2 + b3 + b4
  trust  =~ t1 + t2 + t3 + t4
  partic =~ p1 + p2 + p3 + p4
"
fit1 <- cfa(meas, data = d)                 # χ²(51) = 51.083, p = .470, CFI 1.000, RMSEA .002, SRMR .031

# שלב 2: אמון ← שייכות ← השתתפות, ועוד אמון ← השתתפות
model <- paste0(meas, "
  belong ~ a*trust
  partic ~ b*belong + c*trust
  ind := a*b
  tot := c + a*b
")
fit <- sem(model, data = d)                 # ML, מחיקה רשימתית: 314 מתוך 320
summary(fit, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE, rsquare = TRUE)
# אותו χ²(51) = 51.083 – החלק המבני מזוהה בדיוק, ולכן שקול לשלב 1
# הנתיבים: a 0.531 (SE 0.078, β .509), b 0.529 (SE 0.089, β .521), c -0.014 (p = .874, β -.013)
# ind 0.281 (SE 0.060), β .266; tot 0.267 (SE 0.076); R²: belong .259, partic .265

# שאריות המתאם – הגדולה בערכה המוחלט .078 (b1, p1); מדדי שינוי מעל 3.84 – b2 ~~ b3: 8.024
round(residuals(fit, type = "cor.bollen")$cov, 3)
mi <- modindices(fit, sort. = TRUE)
mi[mi$mi > 3.84, c("lhs", "op", "rhs", "mi", "epc", "sepc.all")]

# רווח סמך bootstrap להשפעה העקיפה (לא בעמוד) – אחוזונים, 5000 דגימות, זרע קבוע
set.seed(2026)
fitb <- sem(model, data = d, se = "bootstrap", bootstrap = 5000)
pe <- parameterEstimates(fitb, boot.ci.type = "perc")
pe[pe$op == ":=", ]                          # ind: [0.171, 0.414]; tot: [0.124, 0.427]

# בלי הנתיב הישיר (תיווך מלא) – המודל מקונן, ואפשר לבדוק אותו
model2 <- paste0(meas, "
  belong ~ trust
  partic ~ belong
")
fit2 <- sem(model2, data = d)
lavTestLRT(fit2, fit1)                       # Δχ²(1) = 0.025, p = .875

דיווח התוצאות

Kline (2023, עמ' 420-422) מונה מה לדווח: את התוכנה וגרסתה ואת הסינטקס של המודל הסופי (בנספח או בחומר משלים); את שיטת האמידה, ואם האמידה התכנסה והפתרון קביל; את החלטות הבחירה בין מודלים, עם מבחני ההפרש בין מודלים מקוננים; את מספר השינויים במודל ואת הנימוק התוכני לכל אחד, ובהבחנה ברורה בין מה שהוגדר מראש למה שנמצא אחרי צפייה בנתונים; את האומדנים הלא-מתוקננים עם טעויות התקן ולצדם המתוקננים – "זו טעות לדווח רק את הפתרון המתוקנן"; ואת השאריות – "רק דיווח של מדדי התאמה כלליים אינו מספיק". מהעמוד: לוח 1 (שני השלבים), לוח 2 ולוח 3, שאריות המתאם בקצרה ("אף שארית לא עלתה על .10 בערכה המוחלט"), ותרשים עם המקדמים (APA, 2020, Figure 7.8). APA (2020, סעיף 6.44) – להגדיר SEM, CFI, RMSEA בהופעה הראשונה; סעיף 6.36 – בלי אפס לפני הנקודה ל-β, R², p, CFI ו-RMSEA, ועם אפס ל-b.

טעויות נפוצות

לדלג על שלב 1. מודל מבני עם מודל מדידה שאינו מתאים – אי אפשר לדעת איפה הבעיה. בודקים קודם את ה-CFA.

"המודל מתאים, ולכן הכיוון נכון". כשהחלק המבני מזוהה בדיוק, ההתאמה זהה לזו של ה-CFA – היא אינה אומרת דבר על כיוון החצים; וגם במודל מקונן, מודלים שקולים עם חצים הפוכים מתאימים באותה מידה.

לקרוא את ה-p של ההשפעה העקיפה כמכריע. התפלגות המכפלה אינה נורמלית; מדווחים רווח סמך, ועדיף bootstrap.

לדווח רק β. מדווחים גם b עם טעות התקן (Kline, 2023, p. 422).

להסתפק במדדים הכלליים. CFI ו-RMSEA טובים יכולים להסתיר זוג פריטים שהמודל אינו מסביר – לוח 6.

להוסיף ולהסיר נתיבים עד שמתאים. כל שינוי – עם נימוק תוכני, מדווח, ובמדגם חדש לפני שמסיקים.

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Brown, T. A. (2015). Confirmatory factor analysis for applied research (2nd ed.). Guilford Press.

Byrne, B. M. (2016). Structural equation modeling with AMOS: Basic concepts, applications, and programming (3rd ed.). Routledge.

Hu, L., & Bentler, P. M. (1999). Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 6(1), 1-55. https://doi.org/10.1080/10705519909540118

Kline, R. B. (2023). Principles and practice of structural equation modeling (5th ed.). Guilford Press.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Rhemtulla, M., Brosseau-Liard, P. É., & Savalei, V. (2012). When can categorical variables be treated as continuous? A comparison of robust continuous and categorical SEM estimation methods under suboptimal conditions. Psychological Methods, 17(3), 354-373. https://doi.org/10.1037/a0029315

Rosseel, Y. (2012). lavaan: An R package for structural equation modeling. Journal of Statistical Software, 48(2), 1-36. https://doi.org/10.18637/jss.v048.i02

Anderson ו-Gerbing (1988), Bollen (1989), Jackson (2003) ו-McDonald ו-Ho (2002) – כמצוטטים אצל Kline (2023); Bollen (1989) ו-Sobel (1982) – כמצוטטים אצל Rosseel (2012). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. מוסכמות האתר: ההצללה של שאריות מתאם מעל .10 (לפי הדוגמאות של Kline), האזהרה מתחת ל-200 נבדקים וליחס 10:1, ונתיבי ברירת המחדל בקובץ הדוגמה. החישוב בעמוד מאומת מול חבילת lavaan 0.6-17 ב-R ומול הפלט המודפס של Rosseel (2012).