תיווך בין גורמים סמויים (bootstrap)

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

הגדרת המודל

מדריך

מתי משתמשים?

כשההשערה היא על מנגנון: גורם אחד משפיע על התוצאה דרך גורם שלישי. Kline (2023, עמ' 349) מתאר את ניתוח התיווך כשאלה "איך שינויים עוברים מגורם סיבתי דרך משתנה מתווך אחד או יותר, שבתורם מובילים לשינויים בתוצאה". בקובץ הדוגמה: אמון במוסדות ← תחושת שייכות לקהילה ← השתתפות, ולצדו נתיב ישיר מאמון להשתתפות.

למה עם גורמים סמויים ולא עם ציוני סולם? Kline (2023, עמ' 350) מביא סימולציות של Iacobucci ואחרים (2007, כמצוטטים אצלו) שלפיהן ניתוחי תיווך עם כמה מדדים לכל משתנה, ששולטים בטעות המדידה, "בדרך כלל עדיפים" על ניתוחים עם מדד יחיד (רגרסיה רגילה). עם ציוני סולם – העמוד ניתוח נתיבים ותיווך (שם יש גם bootstrap), או מיתון ותיווך (בסגנון PROCESS, גם תיווך ממותן); למודל המלא בלי פירוק התיווך – מודל משוואות מבניות; לבדיקת מודל המדידה לבד – ניתוח גורמים מאשש.

ההיגיון: מכפלה של נתיבים

ההשפעה העקיפה של X על Y דרך M היא מכפלת שני המקדמים – a (X ← M) כפול b (M ← Y), כש-b כבר שולט ב-X; הכוללת היא ab + c′, עם c′ הישירה. Kline (2023, עמ' 125) מפרש: ab הוא השינוי הצפוי ב-Y כש-X נשאר קבוע ו-M משתנה לערך שהיה מגיע אליו בשינוי של נקודה אחת ב-X (Pearl, 2009, כמצוטט אצלו). עם כמה מתווכים – לכל מסלול מכפלה משלו (מקביל: X ← M1 ← Y ו-X ← M2 ← Y; ברצף: X ← M1 ← M2 ← Y), והעקיפה הכוללת היא הסכום (Kline, pp. 351-352, Figure 20.2).

טעות התקן. לנתיב עצמו – טעות תקן רגילה. למכפלה יש שתי דרכים. שיטת הדלתא (Sobel, 1982, כמצוטט אצל Kline, 2023, עמ' 125, משוואה 8.2; זו גם ברירת המחדל של := ב-lavaan – Rosseel, 2012, סעיף 7.4) – אבל "מבחן Sobel מניח נורמליות, ואילו התפלגויות של אומדי מכפלה אינן נורמליות בדרך כלל; הן לרוב אסימטריות עם גבנוניות גבוהה", הוא דורש מדגם גדול, וערכי ה-p שלו במדגם קטן "יכולים להיות לא-מדויקים מאוד" (Kline, p. 128). bootstrap – "שאינו מניח נורמליות" ומתאים גם למסלולים של שלושה נתיבים ויותר (שם). העמוד מדפיס את שתיהן זו לצד זו.

bootstrap ורווחי הסמך

Byrne (2016, עמ' 367-368) מתארת את הרעיון: המדגם המקורי משמש כ"אוכלוסייה", ומתוכו נדגמים "עם החזרה" מדגמים רבים באותו גודל; בכל מדגם אומדים את המודל מחדש, וההתפלגות של האומדנים היא התפלגות דגימה "קונקרטית", שאינה תלויה בהנחת הנורמליות. העמוד דוגם שורות שלמות (נבדקים) מתוך הנבדקים עם ערך בכל הפריטים, אומד את המודל בכל מדגם מאומדי המדגם המלא, ושומר את כל ההשפעות. מדגם שבו האמידה לא התכנסה – יוצא מהחישוב; מדגם עם פתרון לא-קביל – נשאר ומדווח, כמו ב-lavaan. בתרשים בפלט רואים את ההתפלגות שהתקבלה, ובדרך כלל גם את האסימטריה שלה.

שני רווחי סמך. אחוזונים: הגבולות הם האחוזונים 2.5 ו-97.5 של התפלגות ה-bootstrap (העמוד משתמש באינטרפולציה של lavaan, boot.ci.type = "perc"). מתוקן-הטיה (bias-corrected): Kline (2023, עמ' 129) מתאר אותו כשיטה ש"מתאימה את עצמה לאסימטריה אפשרית בהתפלגות הדגימה האמפירית, על ידי קביעת החלק של אומדני ה-bootstrap שנופלים מתחת לתוצאה שנצפתה" (Efron, 1987, כמצוטט אצלו) – זה "bca.simple" של lavaan, וזה הרווח ש-AMOS מדפיס (Byrne, 2016, עמ' 374, ברירת המחדל שם – 90%). העמוד מדפיס את שניהם ("גם וגם"): כשהם מסכימים – אין שאלה; כשאחד כולל אפס והשני לא – התוצאה על הגבול. הזרע: Kline (עמ' 129) מזכיר שגבולות רווח bootstrap "אינם בהכרח ייחודיים אלא אם החוקר קובע זרע" – באותו זרע ובמדגם אחר השאלה אם האפס בפנים יכולה להתהפך. העמוד מממש את מחולל המספרים של R (Mersenne-Twister ו-sample.int), ולכן זרע 2026 כאן ו-iseed = 2026 ב-lavaan נותנים אותם מדגמים בדיוק – ואותם רווחים.

כמה מדגמים? 1,000 – ברירת המחדל בחבילות ש-Kline (עמ' 129) הריץ, וגם בעמוד; Byrne (עמ' 374) הדגימה עם 500. ככל שיש יותר מדגמים, הגבולות פחות תלויים בזרע; 5,000 לוקחים בדפדפן כחצי דקה.

גודל ההשפעה

Kline (2023, עמ' 353-355) מציין שאין "גודל אפקט תיווך אוניברסלי ומקיף" ושלכל המדדים מגבלות. לוח 5 בפלט מביא שלושה: העקיפה המתוקננת – בסטיות תקן של התוצאה, לשינוי של סטיית תקן במנבא (עמ' 353), עם המגבלה שערכים מתוקננים אינם ניתנים להשוואה בין מדגמים בשונויות שונות. יחס התיווך P_M = ab/(ab + c′) (משוואה 20.1) – "כנראה המדווח ביותר", אבל "אינו פרופורציה פשוטה": הוא יכול לעלות על 1 או להיות שלילי, הוא אינו חסום כשהכוללת קרובה לאפס, ויחס של עקיפה קטנה מאוד לכוללת גדולה ממנה במעט יכול להיראות "גבוה" (Preacher ו-Kelley, 2011, כמצוטטים אצל Kline, עמ' 354); וערכיו "עלולים להיות לא-יציבים כש-N < 500". בקובץ הדוגמה P_M = 1.05 – הישירה כמעט אפס ושלילית – ורווח ה-bootstrap שלו רחב מאוד: זו בדיוק הסיבה. û = (a_sb_s)² (Lachowicz ואחרים, 2018, כמצוטטים אצל Kline, משוואה 20.3) – ריבוע העקיפה המתוקננת, ששווה באוכלוסייה לחלק השונות של התוצאה שהמנבא והמתווך מסבירים יחד אחרי תיקון לקשרים מדומים; מוטה כלפי מעלה, בעיקר במדגם קטן. העמוד מדפיס אותו רק למסלול יחיד של שני נתיבים, כמו בהגדרה.

פרשנות: מה תיווך אומר – ומה לא

מלא, חלקי, לא-עקבי. נתיב ישיר שאינו שונה מאפס לצד עקיפה שכן – "תיווך מלא"; ישירה ועקיפה באותו סימן – "חלקי" (Kline, 2023, p. 127). כשלעקיפה ולישירה סימנים הפוכים – "תיווך לא-עקבי": הכוללת יכולה להיות קרובה לאפס גם כשהעקיפה ניכרת, ולכן הדרישה הישנה ל"קשר מובהק בין המנבא לתוצאה" כתנאי ראשון לתיווך פוסלת אותו בטעות; כשהשליטה במתווך מחזקת את הקשר – "הסתרה" (suppression) (שם, עמ' 127-128). קריאת התוצאה בפלט מזהה את שלושת המקרים.

מיתוס התיווך. Kline (2023, עמ' 349) פותח את פרק התיווך ב"מיתוס" – האמונה שמחקר תיווך טיפוסי אכן אומד תיווך, כשהמערך הוא חתך, ההנחות אינן נדונות, השפעה עקיפה מובהקת נחשבת "הוכחה" והמודלים השקולים אינם מוזכרים. שלושה מכשולים במחקר חתך (עמ' 350): (1) "היעדר קדימות בזמן" – תיווך מוגדר כשינוי שעובר מגורם לגורם, ובמדידה אחת אי אפשר לאמוד שינוי; (2) בלי סדר מושגי חזק בזמן אי אפשר להעדיף מודל אחד על פני מודלים שקולים – ובמודל של שלושה משתנים יש 18 כאלה, חלקם בלי תיווך כלל (איור 20.1); (3) הטיה מגורם משותף שלא נמדד. Thoemmes (2015, as cited in Kline, pp. 352-353) הראה שהיפוך חצים כדי לבחור את המודל עם ההשפעה העקיפה המובהקת אינו לגיטימי – מודל שגוי נותן לעיתים קרובות השפעה עקיפה בגודל דומה, והמודל הנכון אינו בהכרח זה עם ההשפעה הגדולה ביותר. מה שעוזר: מערך אורך (חצי-אורכי או מלא – עמ' 356-357), משתנה מכשיר, מדדים טובים ושיטות מדידה שונות למתווך ולתוצאה (עמ' 353).

הנחות ואזהרות

bootstrap אינו קסם. Kline (2023, עמ' 129): אומדני bootstrap "יכולים להיות מוטים מאוד במדגמים קטנים, בעיקר אם התפלגויות המדגם אינן משקפות את התפלגויות האוכלוסייה". Byrne (2016, עמ' 369-370) מונה את המגבלות: המדגם המקורי חייב לייצג את האוכלוסייה; התצפיות חייבות להיות בלתי-תלויות ושוות-התפלגות (Yung ו-Bentler, 1996, כמצוטטים אצלה); בנתונים נורמליים טעויות התקן של bootstrap מוטות יותר משל ML (Ichikawa ו-Konishi, 1995, כמצוטטים אצלה); ו-bootstrap "בהחלט אינו תרופת פלא למדגמים קטנים". קביעת הסולם: Byrne (עמ' 370) מביאה את Arbuckle (2007, כמצוטט אצלה): ב-bootstrap מקבעים טעינה אחת לכל גורם, לא את שונות הגורם – קיבוע השונויות ל-1 "מוביל לטעויות תקן bootstrap מנופחות מאוד" (Hancock ו-Nevitt, 1999, כמצוטטים אצלה). לכן בעמוד – מרקר בלבד; ההשפעות המתוקננות אינן תלויות בבחירה הזו.

גודל המדגם והנחות ה-SEM – כמו בעמוד מודל משוואות מבניות: מתחת ל-200 נבדקים, או פחות מ-10 לפרמטר, העמוד מזהיר (Kline, 2023, p. 16); פריטים עם פחות מחמש קטגוריות (Rhemtulla et al., 2012, p. 354); פתרון לא-קביל (Kline, p. 421). Kline (עמ' 354) מוסיף שיחס התיווך P_M עלול להיות לא-יציב מתחת ל-500 נבדקים. ערכים חסרים – מחיקה רשימתית לפני ה-bootstrap (כמו lavaan).

מה העמוד אינו מחשב. תיווך מותנה (מודרציה של נתיב – "conditional process analysis", Kline, עמ' 358-361), מודלי אורך עם השפעות מושהות, תיווך סיבתי במובן של Pearl (השפעות טבעיות, עמ' 360), רווח BCa מלא (עם מקדם האצה – רק bca.simple), bootstrap של Bollen-Stine למבחן ההתאמה, מודלים לא-רקורסיביים ומתאמי הפרעות, השוואת קבוצות ואינווריאנטיות מדידה.

ואיך עושים זאת ב-SPSS ו-AMOS?

ב-SPSS Statistics אין מודלי משוואות מבניות (Pallant, 2020, Chapter 10); לתיווך בין ציוני סולם יש את מאקרו PROCESS של Hayes (2022, as cited in Kline, 2023, pp. 129, 358), שמחשב רווחי bootstrap למשתנים נצפים ומניח "אפס טעות מדידה" (Kline, p. 358). ב-AMOS מציירים את המודל כמו בעמוד ה-SEM, ובחלון Analysis Properties, בלשונית Bootstrap, מסמנים Perform bootstrap, מספר מדגמים ו-Bias-corrected confidence intervals – ברירת המחדל 90% (Byrne, 2016, pp. 373-374). AMOS מדווח בסיכום כמה מדגמים "לא נוצלו" כי לא נמצא פתרון (שם, עמ' 382) – כמו שורת ה-bootstrap בראש הפלט כאן. ההבדלים הצפויים: AMOS מחשב χ² במחלק N − 1 (Byrne, p. 93), ומחולל המספרים שלו אחר – הגבולות יהיו קרובים אבל לא זהים.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-lavaan מגדירים תוויות לנתיבים (a*trust), את ההשפעות ב-:=, ומבקשים se = "bootstrap" (Rosseel, 2012, Section 7.4); iseed קובע את הזרע. רווחי הסמך – ב-parameterEstimates עם boot.ci.type = "perc" או "bca.simple". כפתור "הורדת סקריפט R" בפלט כותב את המודל שהגדרתם עם אותו מספר מדגמים ואותו זרע. הסקריפט שלהלן הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה (lavaan 0.6-17), והעמוד, עם 1,000 מדגמים וזרע 2026, נותן את אותם מספרים.

# תיווך בין גורמים סמויים עם bootstrap – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל
library(lavaan)   # sem, parameterEstimates

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = פריט; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_cfa_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
items <- c(paste0("שייכות_", 1:4), paste0("אמון_", 1:4), paste0("השתתפות_", 1:4))
d <- as.data.frame(d[, items])
names(d) <- c(paste0("b", 1:4), paste0("t", 1:4), paste0("p", 1:4))   # שמות קצרים באנגלית למודל

# המודל: אמון ← שייכות ← השתתפות, ועוד אמון ← השתתפות; השפעה עקיפה, כוללת ויחס התיווך
model <- "
  belong =~ b1 + b2 + b3 + b4
  trust  =~ t1 + t2 + t3 + t4
  partic =~ p1 + p2 + p3 + p4
  belong ~ a*trust
  partic ~ b*belong + c*trust
  ind := a*b
  tot := c + a*b
  pm  := (a*b) / (c + a*b)
"
# 1000 מדגמי bootstrap; iseed – הזרע (כמו בעמוד: אותו זרע, אותם מדגמים)
fit <- sem(model, data = d, se = "bootstrap", bootstrap = 1000, iseed = 2026)
pe <- parameterEstimates(fit, boot.ci.type = "perc")
pe[pe$op %in% c("~", ":="), c("lhs", "op", "rhs", "label", "est", "se", "ci.lower", "ci.upper")]
# a 0.531 [0.402, 0.681]; b 0.529 [0.363, 0.712]; c -0.014 [-0.187, 0.158]
# ind 0.281 (SE 0.061) [0.174, 0.412]; tot 0.267 [0.121, 0.438]; pm 1.051 (SE 1.104) [0.574, 2.252]
pb <- parameterEstimates(fit, boot.ci.type = "bca.simple")       # מתוקן-הטיה
pb[pb$op == ":=", c("lhs", "est", "ci.lower", "ci.upper")]          # ind [0.175, 0.413]

# להשוואה – שיטת הדלתא (בלי bootstrap)
fit_ml <- sem(model, data = d)
parameterEstimates(fit_ml)[parameterEstimates(fit_ml)$op == ":=", c("lhs", "est", "se", "pvalue")]
# ind SE 0.060; pm SE 0.332 – לעומת 1.104 ב-bootstrap: הדלתא אינה רואה את חוסר היציבות של היחס

דיווח התוצאות

מדווחים את המודל (מנבא, מתווכים, תוצאה, נתיב ישיר או לא), את התאמת המודל, את הנתיבים (b עם טעות התקן, ו-β), ולכל השפעה עקיפה – אומדן, רווח סמך bootstrap וסוגו (אחוזונים או מתוקן-הטיה), מספר המדגמים והזרע; עם כמה מתווכים – גם כל מסלול לחוד. Kline (2023, עמ' 128) מזכיר שאין חובה לקרוא את הרווח כמבחן: "כל הערכים שבתוך רווח סמך שקולים בעיקרון", ואפס שבתוכו "אינו מיוחד יותר מכל ערך אחר" שבו. Kline (עמ' 422): "זו טעות לדווח רק את הפתרון המתוקנן". APA (2020, סעיף 6.36) – בלי אפס לפני הנקודה ל-β ול-p, ועם אפס ל-b; לוח עם שורה לכל השפעה – כמו לוח 3 בפלט. ובפרק הדיון – המערך (חתך או אורך) והמודלים השקולים, שבלעדיהם "תיווך" הוא טענה חזקה מהנתונים.

טעויות נפוצות

"ההשפעה העקיפה מובהקת – הוכח תיווך". במערך חתך זו השערה שהנתונים מתיישבים איתה, לא הוכחה (Kline, 2023, pp. 349-350).

לדרוש קודם קשר מובהק בין המנבא לתוצאה. בתיווך לא-עקבי הכוללת יכולה להיות אפס גם כשהעקיפה ניכרת (Kline, p. 127).

לסמוך על Sobel. התפלגות המכפלה אסימטרית; מדווחים רווח bootstrap.

להחליף זרע עד שהרווח לא כולל אפס. זרע קובעים מראש ומדווחים; אם התוצאה תלויה בזרע – היא על הגבול.

לקרוא את P_M כ"אחוז מתווך". הוא יכול לעלות על 1, כמו בדוגמה; מדווחים לצדו את העקיפה המתוקננת.

להפוך חצים ולבחור את המודל עם ההשפעה העקיפה הגדולה. מודלים שקולים אינם מוכרעים סטטיסטית (Thoemmes, 2015, as cited in Kline, pp. 352-353).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Brown, T. A. (2015). Confirmatory factor analysis for applied research (2nd ed.). Guilford Press.

Byrne, B. M. (2016). Structural equation modeling with AMOS: Basic concepts, applications, and programming (3rd ed.). Routledge.

Hu, L., & Bentler, P. M. (1999). Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 6(1), 1-55. https://doi.org/10.1080/10705519909540118

Kline, R. B. (2023). Principles and practice of structural equation modeling (5th ed.). Guilford Press.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Rhemtulla, M., Brosseau-Liard, P. É., & Savalei, V. (2012). When can categorical variables be treated as continuous? A comparison of robust continuous and categorical SEM estimation methods under suboptimal conditions. Psychological Methods, 17(3), 354-373. https://doi.org/10.1037/a0029315

Rosseel, Y. (2012). lavaan: An R package for structural equation modeling. Journal of Statistical Software, 48(2), 1-36. https://doi.org/10.18637/jss.v048.i02

Efron (1987), Hayes (2022), Iacobucci ואחרים (2007), Jackson (2003), Lachowicz ואחרים (2018), Pearl (2009), Preacher ו-Kelley (2011), Sobel (1982) ו-Thoemmes (2015) – כמצוטטים אצל Kline (2023); Arbuckle (2007), Hancock ו-Nevitt (1999), Ichikawa ו-Konishi (1995) ו-Yung ו-Bentler (1996) – כמצוטטים אצל Byrne (2016); Sobel (1982) – גם אצל Rosseel (2012). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. מוסכמות האתר: ברירת המחדל של 1,000 מדגמים וזרע 2026, הצגת שני סוגי הרווח זה לצד זה, ומרקר בלבד. החישוב בעמוד מאומת מול lavaan 0.6-17 ב-R – אותם מדגמים, אותם רווחים.