מבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת שתי המדידות

מתי משתמשים?

כששתי הקבוצות של ציונים קשורות – אותם נבדקים פעמיים, או זוגות מותאמים – ומבחן t למזווגים אינו במקומו. Field (2024, סעיף 7.5) פותח בדוגמה: הפסיכולוגית מהסעיף הקודם רוצה עכשיו לבדוק את השינוי בדיכאון בתוך כל נבדק, מיום ראשון ליום רביעי, בכל אחד משני הסמים; מכיוון שההתפלגויות לא היו נורמליות באחד הימים והמדגם קטן, "התפלגות הדגימה תהיה לא-נורמלית גם היא", ולכן מבחן א-פרמטרי. Pallant (2020, פרק 16): "החלופה הא-פרמטרית למבחן t למדידות חוזרות – במקום להשוות ממוצעים, וילקוקסון ממיר ציונים לדרגות ומשווה אותם בזמן 1 ובזמן 2"; הדוגמה שלה – מבחן פחד מסטטיסטיקה לפני תוכנית התערבות ואחריה (n = 30). Gravetter ו-Wallnau (2017, Appendix E.3) – "חלופה למבחן t למדידות חוזרות", עם אותן סיבות שבנספח E.1 לעבור לדרגות: נתוני סדר, הפרת הנחות, שונות גבוהה, ציון בלתי-מוגדר.

באתר זה המקום הטבעי לשני מצבים: פריט דירוג יחיד שנמדד פעמיים (לפי מוסכמת האתר – משתנה סדר, משתנים וסולמות מדידה); וציון סולם או משתנה כמותי כשההפרשים אינם נראים נורמליים (בדיקת נורמליות על עמודת ההפרשים), כשיש חריגים, או כשהמדגם קטן. לא להתבלבל עם מאן-ויטני (מבחן סכום הדרגות של וילקוקסון) – שתי קבוצות נפרדות; Field מזהיר שיש "וילקוקסון שני שבודק משהו אחר" (סעיף 7.4). כשהזוגות רבים (30 ומעלה) והנתונים כמותיים, מבחן t למזווגים הוא ברירת המחדל, ו-Gravetter ו-Wallnau מעדיפים אותו כשהנתונים מתאימים לו (Appendix E.1).

ההיגיון: דרגות של הפרשים עם סימן

המבחן "מבוסס על דירוג ההפרשים בין הציונים בשני התנאים" (Field, 2024, Section 7.5.1). השלבים: מחשבים לכל נבדק את ההפרש (אצל Field – "ציון יום ראשון מוחסר מציון יום רביעי", כלומר השנייה פחות הראשונה; כך גם כאן); הפרש אפס – הנבדק יוצא מהדירוג; רושמים את הסימן ומדרגים את ההפרשים לפי ערכם המוחלט, מהקטן לגדול, עם ממוצע הדרגות לערכים זהים – כמו במאן-ויטני; ואז אוספים את הדרגות של ההפרשים החיוביים ל-T⁺ ושל השליליים ל-T⁻. בדוגמה של Field (לוח 7.2): אקסטזי – שני נבדקים ללא שינוי, T⁺ = 36, T⁻ = 0; אלכוהול – T⁺ = 8, T⁻ = 47. Gravetter ו-Wallnau (Appendix E.3) מדגימים על שמונה נבדקים: ההפרשים מדורגים "לפי גודלם, בלי קשר לכיוון", הדרגות החיוביות מסתכמות ל-3 והשליליות ל-33.

איזה T. Field (ו-SPSS בתפריט החדש) קוראים T לסכום הדרגות החיוביות – 36 ו-8; Gravetter ו-Wallnau (ולוח B10 שלהם) – לקטן מבין השניים – 3. העמוד מדפיס את שניהם. מובהקות. במדגם קטן – ההתפלגות המדויקת: לוח B10 של Gravetter ו-Wallnau (ל-n = 8, T ≤ 3 מובהק ב-.05 – ולכן 3 נדחה), ו-Exact Sig. ב-SPSS; Field (קופסה 7.2): מתחת ל-50 – המדויק. במדגם גדול – הקירוב הנורמלי: התוחלת n(n + 1)/4 וטעות התקן √(n(n + 1)(2n + 1)/24), ש"הן פונקציות של גודל המדגם, n" – מספר ההפרשים שאינם אפס: אצל Field 8 ו-10 (נוסחאות 7.14-7.19: 18 ו-7.14, 27.5 ו-9.81), ו-z הוא המרחק של T מתוחלתו ביחידות טעות תקן (7.20-7.22: 2.53 ו-−1.99; Gravetter & Wallnau: "כשהמדגם גדול מ-20 הקירוב מדויק מאוד", ובדוגמה שלהם z = −2.10). SPSS מתקן את טעות התקן לתיקו – והעמוד גם (7.12 ו-9.80 אצל Field, במקום 7.14 ו-9.81); Gravetter ו-Wallnau אינם מתקנים.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – חציונים. החציון, הרבעונים והטווח של כל מדידה ושל ההפרשים – מה שמדווחים במקום ממוצעים (Field, 2024, סעיף 7.5.7; Pallant, 2020, פרק 16, שם מפיקים אותם בצעד נפרד ב-Frequencies). לוח 2 – דרגות. לוח Ranks של SPSS: כמה הפרשים שליליים, כמה חיוביים, כמה אפסים, והדרגה הממוצעת וסכום הדרגות של כל סימן. כאן קוראים את הכיוון: "מספר ההפרשים הגדול יותר בכיוון מסוים אומר לכם את כיוון התוצאה" (Field, טיפים של סם) – אצל Field, לאקסטזי 8 חיוביים ו-0 שליליים (דיכאון עלה), לאלכוהול 1 מול 9 (ירד). לוח 3 – המבחן. n (ההפרשים שאינם אפס), T, טעות התקן, z – מסומן: חיובי כשהמדידה השנייה גבוהה (בפלט הישן של SPSS, z מחושב מהסכום הקטן ושלילי תמיד; בתפריט החדש הוא מסומן, כמו כאן) – p אסימפטוטי וp מדויק (2·P(T ≤ T_הקטן) מההתפלגות ללא תיקו; מוסכמת האתר: מחושב עד 50 הפרשים), ושני מדדי האפקט. בדוגמה של Field: אקסטזי T = 36, SE = 7.12, z = 2.53, p = .012; אלכוהול T = 8, SE = 9.80, z = −1.99, p = .047 – "אפקט הפוך של שני הסמים" (סעיף 7.5.5), והערכים האלה הם בין בדיקות העמוד. תרשים ההפרשים – כמו ההיסטוגרמה בפלט SPSS, חיוביים בכחול ושליליים באדום: "היחס בין העמודות הוא אינדיקציה מהירה" לכיוון (סעיף 7.5.4).

גודל האפקט – שני סרגלים, "גם וגם"

r_rb של Field (2024, סעיף 7.5.6): המתאם הדרגתי-דו-סדרתי למדידות חוזרות, בנוסחה הפשוטה של Kerby: r_rb = (T⁺ − T⁻)/(T⁺ + T⁻) (נוסחה 7.23) – "ההפרש בין הדרגות החיוביות לשליליות כפרופורציה מכלל הדרגות; זה ממש האפקט כפרופורציה". אקסטזי: (36 − 0)/36 = 1 – 100% מהדרגות בכיוון "רביעי גבוה מראשון"; אלכוהול: (8 − 47)/55 = −.71 – 71% בכיוון ההפוך. הסימן אומר כיוון. r של Pallant (2020, פרק 16): r = z/√N – "מתעלמים מהסימן", ו-N הוא "מספר התצפיות על פני שתי נקודות הזמן, לא מספר המקרים": בדוגמה שלה z = 4.18, N = 60 (30 נבדקים × 2), r = .54, "אפקט גדול" במוסכמות Cohen (1988, עמ' 79-83: .1/.3/.5). העמוד עושה כמוה (N = 2 × זוגות) ואומר זאת בהערת הלוח; מי שמחשב עם מספר הנבדקים יקבל ערך גדול פי √2. שני המדדים אינם זהים ואינם ניתנים להמרה; מדווחים לפחות אחד, ואומרים איזה.

הנחות ואזהרות

ההנחות (Pallant, 2020, Chapter 16): דגימה אקראית; ותצפיות בלתי-תלויות – עם החריג של מדידות חוזרות: "אותם נבדקים נבדקים שוב במועדים או בתנאים שונים" – זה בדיוק המבחן הזה. Field (הערה 2 לפרק 7): גם המבחנים הא-פרמטריים מניחים התפלגות רציפה – ולכן בנתוני דירוג עם הפרשים זהים רבים תיקון התיקו חשוב. הפרשי אפס. Field ו-SPSS מוציאים אותם, ו-n קטן; Gravetter ו-Wallnau (Appendix E.3) מעירים שהוצאה "מתעלמת מכך שהפרש אפס הוא ראיה לטובת השערת האפס", מציעים לחלק אותם שווה בשווה בין החיוביים לשליליים (ובמספר אי-זוגי – להשמיט אחד), ומבקשים לדווח איך טופלו. העמוד הולך אחרי SPSS ומדווח את מספרם; בפריט דירוג שבו רוב הנבדקים לא זזו – זה הממצא. עוצמה. הדרגות מאבדות את גודל ההפרשים (Field, Box 7.1); מבחן הסימן, שמתעלם גם מהדרגות, "חסר עוצמה אלא אם המדגם קטן מאוד" (טיפ 7.2). עם פחות משישה הפרשים המבחן אינו יכול לצאת מובהק ב-.05.

ערכים חסרים. נבדק נכלל כשיש לו שתי המדידות (/MISSING ANALYSIS). מה העמוד אינו מחשב. p מדויק מעל 50 הפרשים, Monte Carlo, מבחן הסימן, McNemar (לשתי מדידות דו-ערכיות) ו-Marginal Homogeneity (טיפ 7.2 של Field), רווח סמך Hodges-Lehmann (של R), בדיקה לפי קבוצה (ב-SPSS – Split File, סעיף 7.5.2; כאן מריצים כל קבוצה בקובץ נפרד), bootstrap.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

הדרך החדשה (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 7.5.3): Analyze › Nonparametric Tests › Related Samples… – ב-Objective: Customize analysis; ב-Fields: שתי המדידות ל-Test Fields; ב-Settings: Customize tests ו-Wilcoxon matched-pair signed-rank (2 samples). הפלט: Hypothesis Test Summary, ובלחיצה כפולה – Related-Samples Wilcoxon Signed Rank Test Summary עם ההיסטוגרמה הצבועה: Total N, Test Statistic (= T⁺), Standard Error, Standardized Test Statistic (ה-z, מסומן) ו-Asymptotic Sig.; Field (סעיף 7.5.2) מראה איך לבדוק לפי קבוצה עם Data › Split File. החציונים – Pallant מפיקה ב-Frequencies עם Quartiles.

הדרך הישנה, שהעמוד מייצר כסינטקס: Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › 2 Related Samples… – הזוג ל-Test Pairs, Wilcoxon מסומן:

NPAR TESTS
  /WILCOXON=עמדות_ציון WITH עמדות_ציון_2 (PAIRED)
  /MISSING ANALYSIS.

FREQUENCIES VARIABLES=עמדות_ציון עמדות_ציון_2
  /FORMAT=NOTABLE
  /NTILES=4
  /ORDER=ANALYSIS.

קריאת הפלט. Ranks = לוח 2 – Negative Ranks (השנייה קטנה מהראשונה), Positive Ranks, Ties, עם N, Mean Rank, Sum of Ranks; Test Statistics – Z (מהסכום הקטן, שלילי תמיד; הערת השוליים אומרת "based on negative/positive ranks") ו-Asymp. Sig. (2-tailed); Frequencies – החציונים. הסינטקס נבדק מול PSPP (המימוש החופשי): הספירות, הדרגות הממוצעות, הסכומים ו-z זהים – אבל PSPP מסמן את ההפרש הפוך (ראשונה פחות שנייה), כך ש"שלילי" ו"חיובי" מתחלפים.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי wilcox.test(x2, x1, paired = TRUE) – הסטטיסטי V של R הוא T⁺ (סכום הדרגות החיוביות של x2 − x1); ברירת המחדל מוסיפה תיקון רציפות – correct = FALSE נותן את p של SPSS ושל העמוד; exact = TRUE מחושב רק בלי תיקו ובלי אפסים. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים.

# מבחן וילקוקסון למדגמים מזווגים – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_wx_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
ok <- !is.na(d[["עמדות_ציון"]]) & !is.na(d[["עמדות_ציון_2"]])
x1 <- d[["עמדות_ציון"]][ok]; x2 <- d[["עמדות_ציון_2"]][ok]

# חציונים ורבעונים (type = 6 = SPSS) – לוח 1
median(x1); median(x2)                                  # 3.25, 3.50
quantile(x2 - x1, c(.25, .5, .75), type = 6)            # ההפרשים

# הפרשים (שנייה פחות ראשונה), הוצאת אפסים, דרגות של |הפרש|, T+ ו-T− – לוח 2
dd <- x2 - x1; nz <- dd[dd != 0]; r <- rank(abs(nz))
Tp <- sum(r[nz > 0]); Tm <- sum(r[nz < 0]); n <- length(nz)
c(zeros = sum(dd == 0), n = n, Tplus = Tp, Tminus = Tm)  # 14 אפסים, n = 99, T+ = 3507, T− = 1443

# המבחן: V = T+; p אסימפטוטי בלי תיקון רציפות = SPSS (עם תיקון תיקו) – לוח 3
wt <- wilcox.test(x2, x1, paired = TRUE, exact = FALSE, correct = FALSE)
wt                                                      # V = 3507, p = .0003

# z מסומן (חיובי = השנייה גבוהה), r_rb (Field) ו-r = |z|/√N עם N = 2 × זוגות (Pallant)
z <- sign(Tp - n * (n + 1) / 4) * abs(qnorm(wt$p.value / 2))
c(z = z, r_rb = (Tp - Tm) / (Tp + Tm), r = abs(z) / sqrt(2 * length(dd)))   # 3.62, .417, .240

# מדגם קטן בלי תיקו ובלי אפסים – p מדויק (לוח E.1 של Gravetter ו-Wallnau: ההפרשים עצמם)
wilcox.test(c(4, -14, 5, -20, -6, -16, -8, -24), exact = TRUE)   # V = 3, p = .039

דיווח התוצאות

Field (2024, סעיף 7.5.7): "מדווחים את הסטטיסטי (T), את המובהקות המדויקת ומדד אפקט" – עם החציונים של שני התנאים: "אצל משתמשי אקסטזי רמות הדיכאון היו גבוהות מובהק ביום רביעי (Mdn = 33.50) לעומת יום ראשון (Mdn = 17.50), T = 36, p = .012, r_rb = 1. אצל משתמשי אלכוהול ההפך: נמוכות מובהק ביום רביעי (Mdn = 7.50) לעומת יום ראשון (Mdn = 16.0), T = 8, p = .047, r_rb = −.71" – או עם z במקום T. Pallant (2020, פרק 16): "z = −4.18, n = 30, p < .001, עם אפקט גדול (r = .54). החציון ירד מ-40 ל-38". Gravetter ו-Wallnau (Appendix E.3) מוסיפים את סכומי הדרגות ואת הטיפול באפסים. משפטי הדיווח שבפלט בנויים כך – חציונים, n, T, z, p (המדויק כשחושב), r_rb ו-r. כללי הצורה (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p ו-r בלי אפס לפני הנקודה; T ו-z עם.

טעויות נפוצות

לבלבל עם מאן-ויטני. שני מבחני וילקוקסון: סכום הדרגות – לקבוצות נפרדות; דרגות עם סימן – לאותם נבדקים (Field, 2024, Section 7.5).

לקרוא כיוון מהסימן של z בפלט הישן. שם הוא שלילי תמיד; הכיוון – מהספירה ומהדרגות (סעיף 7.5.4).

לדווח ממוצעים. המבחן על דרגות; מדווחים חציונים (Field, Section 7.5.7; Pallant, 2020, Chapter 16).

לשכוח את האפסים. הם יוצאים מהחישוב, אבל לא מהסיפור: Gravetter ו-Wallnau מבקשים לדווח כמה היו ואיך טופלו (Appendix E.3).

לחשב את r של Pallant עם מספר הנבדקים. אצלה N הוא מספר התצפיות – כפול; הערך יוצא קטן פי √2, ואומרים איזה N.

לברוח לוילקוקסון בכל פעם שמבחן נורמליות מובהק. עם 30 זוגות ומעלה משפט הגבול המרכזי מכסה את t (Field, 2024, סעיף 6.2.7; בדיקת נורמליות) – ווילקוקסון מאבד את גודל ההפרשים (קופסה 7.1).

להשתמש במבחן הסימן כשיש דרגות. הוא מתעלם מגודל השינוי – חסר עוצמה (טיפ 7.2).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Wilcoxon (1945), King ועמיתיו (2011) ו-Kerby (2014) – כמצוטטים אצל Field (2024). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור; Gravetter ו-Wallnau (2017, Appendix E, pp. 692-695), Cohen (1988), Pallant (2020) ו-APA (2020) – לפי עמוד, פרק וסעיף של המהדורה המודפסת; Field (2024) בעותק דיגיטלי מזורם – לפי סעיף, נוסחה וקופסה (לוח 7.1 שלו, שממנו נגזר לוח 7.2, הוא קובץ הבדיקה של העמוד). הסינטקס – מאומת מול PSPP; R הורץ ב-4.3.3.