ניתוח שונות חד-כיווני (ANOVA)

מחשבון

טעינת הנתונים

מדביקים עמודות ישירות מהגיליון (כולל שורת הכותרות) – מסמנים באקסל, מעתיקים, ומדביקים כאן:

בחירת המשתנים

מדריך

מתי משתמשים?

כשרוצים לדעת אם ממוצע של משתנה כמותי שונה בין שלוש קבוצות נפרדות או יותר – שלוש רמות השכלה, ארבעה תנאי ניסוי, חמישה אזורים. Pallant (2020, פרק 18) מגדירה את המתכון: משתנה בלתי-תלוי קטגוריאלי אחד עם שלוש קבוצות ומעלה ("חד-כיווני" – משתנה בלתי-תלוי אחד; "בין-נבדקים" – אנשים שונים בכל קבוצה), ומשתנה תלוי רציף אחד. Gravetter ו-Wallnau (2017, עמ' 366-370) מסבירים למה לא סדרת מבחני t: כל מבחן נושא 5% סיכון לטעות מסוג I, ושלוש קבוצות הן שלושה מבחנים – "רמת האלפא הניסויית" (experimentwise) מצטברת; ANOVA בודקת את כל ההפרשים במבחן אחד. Field (2024, סעיף 12.3) מראה שזה המודל הליניארי עם משתני דמה: אותו F שמקבלים מרגרסיה עם הקבוצות כמנבאים.

שתי קבוצות בלבד – העמוד מחשב, אבל מבחן t למדגמים בלתי-תלויים נותן את אותה הכרעה (F = t²) ובנוסף d של כהן ורווח סמך להפרש; אותם נבדקים בכמה מדידות – ניתוח שונות למדידות חוזרות (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, Chapter 13), בעמוד ANOVA למדידות חוזרות; השוואה בין הקבוצות עם משתנה רציף נוסף שנמדד לפני (למשל ציון "לפני") – ANCOVA, ניתוח שונות עם משתנה נלווה; שני משתנים בלתי-תלויים או יותר, או בלוקים – ANOVA רב-גורמית, בעמוד תכנון ניסויים (שם גם גודל המדגם ודף הרצה אקראי); משתנה תלוי סדר או הפרה קשה של ההנחות במדגם קטן – מבחן קרוסקל-וליס (Pallant, Chapter 16; Gravetter & Wallnau, Appendix E). ציון סולם רב-פריטי (עמוד אלפא של קרונבך וציון סולם) מטופל כמשתנה רווח לפי מוסכמת האתר (עמוד משתנים וסולמות מדידה); פריט ליקרט יחיד – לא.

ההיגיון: שונות בין הקבוצות חלקי שונות בתוכן

Gravetter ו-Wallnau (2017, עמ' 371-375) מפרקים את כל הפיזור בנתונים לשני חלקים. שונות בין הקבוצות – כמה הממוצעים של הקבוצות רחוקים זה מזה; היא נובעת מהטיפול (אם יש לו השפעה) וגם מהבדלים בין אנשים ומטעות מקרית. שונות בתוך הקבוצות – כמה הנבדקים בתוך אותה קבוצה שונים זה מזה; היא נובעת רק מהבדלים בין אנשים ומטעות מקרית, כי בתוך קבוצה כולם קיבלו אותו טיפול. F הוא היחס בין השתיים: אם אין השפעה לטיפול, שני המקורות מודדים אותו דבר ו-F קרוב ל-1; אם יש, המונה גדל ו-F עולה. Field (2024, סעיפים 12.3.4-12.3.8) מנסח את אותו רעיון בשפת המודל: SS_T (כל הפיזור סביב הממוצע הכולל) = SS_M (מה שהממוצעים הקבוצתיים מסבירים) + SS_R (מה שנשאר), ומחלקים כל אחד בדרגות החופש שלו כדי לקבל ממוצעי ריבועים – "ממוצע" של שונות, כי סכום ריבועים גדל עם מספר התצפיות.

דרגות החופש: df_בין = k − 1 (מספר הקבוצות פחות אחת), df_בתוך = N − k (Gravetter & Wallnau, pp. 378-379). הדוגמה של Gravetter ו-Wallnau (דוגמה 12.2, עמ' 385-388): שלוש אסטרטגיות למידה, שישה סטודנטים בכל אחת – SS_בין = 84, SS_בתוך = 88, MS של 42 ו-5.87, F(2, 15) = 7.16, מובהק; הדוגמה של Field (סעיף 12.2, לוח 12.1): טיפול בגורים בשלוש מינונים, חמישה בכל קבוצה – F(2, 12) = 5.12, p = .025. שתיהן מחושבות בעמוד ונותנות בדיוק את המספרים שבספרים.

איך קוראים את הפלט?

לוח 1 – סטטיסטיקה קבוצתית (Descriptives). Pallant (2020, פרק 18): "תמיד בודקים את הלוח הזה קודם – האם ה-N של כל קבוצה נכון?" קבוצה ריקה או זעירה מעידה לרוב על קוד שגוי או על חסרים רבים. שורת "סה"כ" – הממוצע הכולל, שסביבו נמדדת השונות בין הקבוצות.

לוח 2 – לוח ANOVA, ובו גם שורת Welch (ב-SPSS היא בלוח נפרד, Robust Tests of Equality of Means). איזו שורה קוראים? כמו במבחן t, המקורות נחלקים, והעמוד מציג את שתי העמדות:

תיבת "קריאת התוצאה" שבפלט אומרת אם שתי השורות מסכימות. בדוגמת הגורים של Field הן חולקות: F רגיל p = .025, Welch p = .054 – ו-Field (סעיף 12.9.1) אומר שזה מבלבל "רק אם מייחסים לסף .05 כוחות קסם". F, df ו-p. p קטן מ-.05 – יש הבדל מובהק "איפשהו" בין הקבוצות; הלוח אינו אומר בין אילו (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, p. 393). ל-F אין גרסה חד-זנבית – אי אפשר לחלק את p בשניים (Field, טיפ 12.1).

מבחני המשך: בין אילו קבוצות?

F מובהק אומר שלפחות הפרש אחד מובהק; מבחני ההמשך (post hoc) עוברים על כל הזוגות ומתקנים את רמת המובהקות כך שהסיכון הכולל לטעות מסוג I על כל הזוגות יחד יישאר 5% (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 393-394; Field, 2024, Section 12.6). SPSS מציע כ-18 שיטות; Field (סעיף 12.6.3, בעקבות Toothaker, 1993) מסכם: קבוצות שוות בגודלן ושונויות דומות – Tukey (או REGWQ); "שליטה מובטחת" בטעות מסוג I – בונפרוני; ספק בשוויון השונויות – Games-Howell, "שאותו אני ממליץ להריץ בנוסף לכל שיטה אחרת". העמוד מציג את שלושתן, ולוח 3 עובר ביניהן במתג:

מתי מפרשים? Pallant (פרק 18) ו-Gravetter ו-Wallnau (עמ' 393): רק אחרי F כולל מובהק ועם שלוש קבוצות ומעלה (בשתי קבוצות אין מה לשאול). הלוח מוצג תמיד, וכשה-F אינו מובהק ההערה אומרת שאין מדווחים ממנו הבדלים. קובעים את השיטה מראש – לא בוחרים אחרי המבחן את זו שנותנת יותר כוכביות; ברירת המחדל של העמוד (Tukey כשלוין לא מובהק, Games-Howell כשכן) היא כלל כזה. תכנון מראש של השוואות ספציפיות (planned contrasts, Field, Section 12.5; Scheffé, Gravetter & Wallnau, pp. 395-396) – לא בעמוד.

גודל האפקט

מובהקות אינה גודל: Pallant (2020, פרק 18) מדגימה על N = 435 – F(2, 432) = 4.64, p = .01, אבל הממוצעים 21.36, 22.10 ו-22.96 ו-η² = .02: "עם מדגם גדול מספיק הבדלים קטנים למדי יוצאים מובהקים, גם אם אין להם חשיבות מעשית". הלוח מדפיס שני מדדים:

אטא בריבוע (η²) – חלק השונות של המשתנה התלוי שמוסבר בהשתייכות לקבוצה: SS_בין/SS_סה"כ (Gravetter & Wallnau, 2017, עמ' 388-389, נוסחה 12.14 – "אחוז השונות המוסבר", η² = 0.488 בדוגמה 12.2; Pallant, 2020, פרק 18 – מחושב ביד מלוח ה-ANOVA; Field, 2024, משוואה 12.33 – זהו R² של המודל הליניארי). ספי Cohen (1988, עמ' 284-287) שמביאה Pallant: .01 קטן, .06 בינוני, .14 גדול.

אומגה בריבוע (ω²) – Field (סעיף 12.7, משוואה 12.34): η² "מוטה מעט" כי הוא מבוסס רק על סכומי הריבועים של המדגם; ω² מתקן לאומדן באוכלוסייה: (SS_בין − df_בין·MS_בתוך) / (SS_סה"כ + MS_בתוך) – בדוגמת הגורים η² = .46 אבל ω² = .35, ו-Field מדווח את ω² (סעיף 12.12) עם אותם ספים (Kirk, 1996). במדגם קטן או בקבוצות רבות הפער ביניהם גדול, ובמדגם גדול הם כמעט זהים; תיבת "קריאת התוצאה" מציגה את שניהם. Field מוסיף שגודל האפקט הכולל פחות מעניין מגודל ההפרש בין זוג קבוצות – לכל זוג אפשר לחשב d של כהן בעמוד מבחן t. SPSS 27 ומעלה מדפיס את שניהם (ANOVA Effect Sizes) עם רווחי סמך, שאינם בעמוד.

הנחות ואזהרות

שלוש ההנחות (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 391-392): התצפיות בכל קבוצה בלתי-תלויות; האוכלוסיות נורמליות; ולכולן אותה שונות. אי-התלות היא ההנחה הקריטית: Field (סעיף 12.4.2) מביא את Scariano ו-Davenport – מתאם של 0.5 בין תצפיות מעלה את טעות מסוג I מ-5% ל-74%. נבדק שנמדד פעמיים, תלמידים מאותן כיתות, בני זוג – מפרים אותה, והמבחן הנכון אחר. הנורמליות: Gravetter ו-Wallnau – "בדרך כלל לא מודאגים ממנה, במיוחד במדגמים גדולים"; Field (סעיף 12.4.2) חולק על המיתוס ש"ANOVA חסינה": הטיה, זנבות כבדים ושונויות שונות משפיעים על F גם בקבוצות שוות, ובזנבות כבדים משפט הגבול המרכזי דורש מדגמים גדולים בהרבה מ-30 – ולכן מסתכלים על ההיסטוגרמה של כל קבוצה (עמוד שכיחויות וסטטיסטיקה תיאורית) ועל חריגים (עמוד חריגים והנחות), וב-ספק מריצים גם מבחן חסין (Field, Section 12.10) או קרוסקל-וליס.

הומוגניות השונויות. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 392, ועמ' 314): "הנחה חשובה", עם כלל האצבע – שונות אחת גדולה פי שלושה-ארבעה מהשנייה היא סיבה לדאגה; Field (קופסה 12.2): כשהקבוצות לא שוות בגודלן והגדולות מפוזרות יותר, F הרגיל שמרני, ובמצב ההפוך ליברלי – Welch ו-Brown-Forsythe מתקנים. העמוד מדפיס את לוין (סביב הממוצע, כמו SPSS) ואת שורת Welch; הבחירה – סעיף "איך קוראים".

קבוצות לא שוות בגודלן. Gravetter ו-Wallnau (עמ' 390): ANOVA תקפה גם כך, "במיוחד כשהמדגמים גדולים יחסית והפער בגדלים אינו קיצוני", אבל מדויקת ביותר בקבוצות שוות. Field (סעיף 12.6.2): מבחני ההמשך הם שמתקלקלים כשהגדלים והשונויות שונים – Games-Howell נועד למצב הזה. רמה עם פחות משתי תצפיות מושמטת מהניתוח (והעמוד מודיע).

ערכים חסרים. נבדק שחסר לו הערך במשתנה התלוי או במשתנה הקבוצות אינו נכלל בניתוח של אותו משתנה תלוי בלבד – מחיקה לפי ניתוח (/MISSING=ANALYSIS), כברירת המחדל של SPSS ושל Pallant; לכן N יכול להשתנות ממשתנה תלוי למשנהו. מה לעשות בחסרים – עמוד ערכים חסרים.

כמה משתנים תלויים. Field (סעיף 12.8.1) מסתייג מהאפשרות של SPSS להריץ כמה משתנים תלויים בבת אחת – "מאבדים שליטה על טעות מסוג I" – ומציע MANOVA או מדד משולב; Pallant (פרק 18) מציעה לדווח סדרת ניתוחים בלוח אחד. העמוד מאפשר כמה, ומזכיר בתיבת הקריאה שכל ניתוח נושא 5% סיכון.

מה העמוד אינו מחשב. Brown-Forsythe, ניגודים מתוכננים וניתוח מגמה (Field, Section 12.5), Scheffé ו-REGWQ, Dunnett, רווחי סמך ל-η² ו-ω² (SPSS 27 ומעלה), bootstrap ומבחן חסין על ממוצעים קטומים (Field, Section 12.10), ANOVA דו-כיוונית ורב-גורמית (בעמוד תכנון ניסויים) ולמדידות חוזרות (בעמוד ANOVA למדידות חוזרות), Bayes factor.

ואיך עושים זאת ב-SPSS?

הערת גרסאות. ההליך יציב; מגרסה 27 הדיאלוג כולל Estimate effect size for overall tests ומדפיס לוח ANOVA Effect Sizes עם η², ε² ו-ω² ורווחי סמך (Field, 2024, סעיפים 12.8.1 ו-12.9.1 – לפי גרסה 29), ואילו Pallant (2020, לפי גרסה 26) כותבת ש-SPSS "אינו מפיק גודל אפקט לניתוח הזה" ומחשבת אטא בריבוע ביד. בגרסאות ישנות – מחקו את שורת /ES=OVERALL מהסינטקס.

ההליך (Pallant, 2020, Chapter 18; Field, 2024, Sections 12.8.1-12.8.4): Analyze › Compare Means › One-Way ANOVA… – המשתנה התלוי (או כמה) לתיבת Dependent List, המשתנה הבלתי-תלוי ל-Factor; Options… – Descriptive, Homogeneity of variance test, Welch (ו-Brown-Forsythe), Means plot, ו-Exclude cases analysis by analysis; Post Hoc… – Tukey ו-Bonferroni תחת "שונויות שוות", Games-Howell תחת "לא שוות". הסינטקס:

ONEWAY עמדות_ציון גיל BY השכלה
  /ES=OVERALL
  /STATISTICS=DESCRIPTIVES HOMOGENEITY WELCH
  /MISSING=ANALYSIS
  /POSTHOC=TUKEY GH BONFERRONI ALPHA(0.05).

קריאת הפלט. Descriptives = לוח 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error, רווח סמך לממוצע, מינימום ומקסימום); Test of Homogeneity of Variances = מבחן לוין שבהערת לוח 2 – SPSS 26 ומעלה מדפיס ארבע גרסאות, והעמוד (ו-Pallant) קוראים את Based on Mean; ANOVA = לוח 2 (Between Groups, Within Groups, Total); Robust Tests of Equality of Means = שורת Welch (Statistic, df1, df2, Sig.); ANOVA Effect Sizes – Eta-squared ו-Omega-squared Fixed-effect שבהערת הלוח; Multiple Comparisons = לוח 3 – SPSS מדפיס כל זוג פעמיים (I−J and J−I) בשלושת הבלוקים (Tukey HSD, Games-Howell, Bonferroni), עם כוכבית ליד הפרש מובהק. כפתור "הורדת סינטקס SPSS" בפלט מייצר את הטעינה, המילון (אם היה מקרא) ופקודת ONEWAY על המשתנים שנבחרו.

ואיך עושים זאת ב-R?

ב-R הבסיסי: aov() ללוח ה-ANOVA, oneway.test() ל-Welch (ברירת המחדל שלה), TukeyHSD() למבחני Tukey (Tukey-Kramer, כמו בעמוד), pairwise.t.test(p.adjust = "bonferroni") לבונפרוני; מבחן לוין סביב הממוצע – leveneTest(center = mean) מחבילת car; Games-Howell – חבילת rstatix או PMCMRplus (לא בסקריפט). η² ו-ω² מחושבים ביד מלוח ה-ANOVA. הסקריפט הורץ כלשונו על קובץ הדוגמה ונתן את ערכי הלוחות (בהערות). כלל האתר לעברית ב-R: קובץ UTF-8, כל שורת הערה מתחילה במילה עברית, וסביבת UTF-8 לשמות עבריים (ב-Windows: R 4.2 ומעלה, או Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# ניתוח שונות חד-כיווני – פרופסור סטאט. קובץ זה נשמר ב-UTF-8; כל שורת הערה מתחילה במילה עברית
library(readxl)   # קריאת אקסל
library(car)      # מבחן לוין: leveneTest

# טעינה: התבנית התקנית – שורה = נבדק, עמודה = משתנה; הגיליון "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_anova_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[complete.cases(d[["השכלה"]], d[["עמדות_ציון"]]), ]          # מחיקה לפי ניתוח (117 מתוך 120)
g <- factor(d[["השכלה"]], levels = 1:4, labels = c("תיכונית", "על-תיכונית", "תואר ראשון", "תואר מתקדם"))
y <- d[["עמדות_ציון"]]

# לוח 1 – סטטיסטיקה קבוצתית
tapply(y, g, function(v) c(n = length(v), M = mean(v), SD = sd(v)))
# תוצאה: 17 / 18 / 50 / 32 נבדקים; M 3.51, 3.21, 3.06, 3.51; SD 0.67, 0.81, 0.66, 0.81

# מבחן לוין סביב הממוצע – כמו Based on Mean ב-SPSS
leveneTest(y ~ g, center = mean)                         # F(3, 113) = 0.218, p = .884

# לוח 2 – לוח ANOVA, ושורת Welch
m <- aov(y ~ g); summary(m)                              # F(3, 113) = 3.21, p = .026; SSB 5.08, SSW 59.51
oneway.test(y ~ g)                                       # Welch F(3, 43.82) = 3.26, p = .030

# גודל האפקט: אטא בריבוע = SSB/SST, אומגה בריבוע = (SSB − dfB·MSW)/(SST + MSW)
s <- summary(m)[[1]]; ssb <- s[["Sum Sq"]][1]; ssw <- s[["Sum Sq"]][2]; msw <- s[["Mean Sq"]][2]; dfb <- s[["Df"]][1]
ssb / (ssb + ssw)                                        # אטא בריבוע = .079
(ssb - dfb * msw) / (ssb + ssw + msw)                    # אומגה בריבוע = .054

# לוח 3 – מבחני המשך: Tukey HSD (Tukey-Kramer) ובונפרוני
TukeyHSD(m)                                              # תואר מתקדם–תואר ראשון: הפרש 0.448, p = .037; שאר הזוגות לא מובהקים
pairwise.t.test(y, g, p.adjust.method = "bonferroni")    # תואר מתקדם–תואר ראשון: p = .044

דיווח התוצאות

מדווחים את הממצא ואז את הסטטיסטיקה: ממוצע וסטיית תקן של כל קבוצה (בטקסט, בלוח או בתרשים), F עם שתי דרגות החופש בסוגריים, p מדויק, גודל האפקט, ואז מבחני ההמשך – אילו זוגות נבדלו (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 389-390; Field, 2024, Section 12.12; Pallant, 2020, Chapter 18; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). הדוגמה של Gravetter ו-Wallnau: "ניתוח השונות העלה הבדלים מובהקים בין שלוש אסטרטגיות הלמידה, F(2, 15) = 7.16, p = .007, η² = 0.488" – וכש-p מדויק זמין מהמחשב מדווחים אותו, לא p < .05. הדוגמה של Field, עם Welch ו-ω²: "לא נמצאה השפעה מובהקת של טיפול בגורים על רמת האושר, F(2, 7.94) = 4.32, p = .054, ω² = .35 [−.15, .59]" – ושימו לב שהוא מדווח גם את ה-F הלא-מובהק וגם את גודל האפקט הניכר. הדוגמה של Pallant: "נמצא הבדל מובהק סטטיסטית ברמת p < .05 בציוני LOT בין שלוש קבוצות הגיל: F(2, 432) = 4.64, p = .01. למרות המובהקות, ההבדל בפועל בין הממוצעים היה קטן למדי; גודל האפקט, אטא בריבוע, היה .02. השוואות המשך במבחן Tukey HSD העלו שהממוצע של קבוצה 1 (M = 21.36, SD = 4.55) נבדל מובהק מזה של קבוצה 3 (M = 22.96, SD = 4.49); קבוצה 2 (M = 22.10, SD = 4.15) לא נבדלה מובהק מאף אחת מהן." לסדרת ניתוחים – לוח APA עם n, M, SD לכל קבוצה, F, p ו-η² (Pallant).

כללי הצורה (APA, 2020, Section 6.36): F עם אפס לפני הנקודה (יכול לעלות על 1), p, η² ו-ω² בלי (אינם יכולים); דרגות חופש לא-שלמות של Welch – בשתי ספרות. משפטי הדיווח שבפלט בנויים כך, בעברית ובאנגלית, עם מבחני ההמשך של השיטה שנבחרה במתג.

טעויות נפוצות

סדרת מבחני t במקום ANOVA. ארבע קבוצות הן שישה מבחני t – והסיכון הכולל לטעות מסוג I מטפס הרבה מעל 5% (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 369-370; Field, 2024, Section 2.10.8).

לדווח "יש הבדל" בלי לומר בין מי. F מובהק אומר רק שלפחות זוג אחד נבדל; בלי מבחני המשך (או ניגודים מתוכננים) הממצא לא גמור (Gravetter & Wallnau, p. 393).

לפרש מבחני המשך כש-F אינו מובהק – או לבחור שיטה אחרי שרואים את התוצאות. קובעים מראש (Pallant, 2020, פרק 18; Field, סעיף 12.6 – "זה קצת כמו p-hacking, רק שמתקנים את p").

להתעלם משורת Welch. כשלוין מובהק, או כשהקבוצות שונות מאוד בגודלן ובפיזורן, שורת F הרגילה יכולה להטעות לשני הכיוונים (Field, Box 12.2); Field מדווח Welch תמיד.

לדווח p בלי גודל אפקט. במדגם גדול הבדל זעום יוצא מובהק – הדוגמה של Pallant עם η² = .02; Field מדווח ω² גם כש-F אינו מובהק.

ANOVA חד-כיוונית על מדידות חוזרות. אותם נבדקים בשלושה מועדים מפרים את אי-התלות (Field, Section 12.4.2) – ANOVA למדידות חוזרות.

להסתמך על תרשים הממוצעים. ציר שאינו מתחיל באפס מנפח הבדלים זעירים (Pallant, Chapter 18), ורווחי סמך חופפים אינם אומרים "לא מובהק" (Field, Section 12.9.1).

מקורות

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Welch (1951), Brown ו-Forsythe (1974), Toothaker (1993), Kirk (1996), Scariano ו-Davenport (1987), Wilcox (2017) ו-Weinstein, McDermott ו-Roediger (2010) – כמצוטטים אצל Field (2024) ואצל Gravetter ו-Wallnau (2017). לפי כלל האתר, ברשימת המקורות מופיעים רק מקורות שנקראו במקור. Field (2024) ו-Pallant (2020) בעותק דיגיטלי מזורם – ציטוט לפי סעיף ופרק; Gravetter ו-Wallnau (2017), Cohen (1988) ו-APA (2020) – לפי עמוד וסעיף של המהדורה המודפסת.