تحلیل کوواریانس (ANCOVA)

ماشین‌حساب

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها

راهنما

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی میانگین‌های گروه‌ها مقایسه می‌شوند (مانند تحلیل واریانس یک‌راهه) و متغیر پیوسته دیگری وجود دارد که با متغیر وابسته مرتبط است – متغیر همپراش (covariate؛ در گذشته به انگلیسی concomitant variable نامیده می‌شد، "متغیری که همراه" با موضوع اصلی پژوهش می‌آید – Maxwell et al.، 2018، ص. 452؛ "متغیر کنترل" نیز نامیده می‌شود). حالت رایج: آزمایشی با اندازه‌گیری پیش و پس – مقایسه در نمره "پس" انجام می‌شود و نمره "پیش" متغیر همپراش است (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.5.1). ANCOVA یک مدل خطی است که هم یک عامل طبقه‌ای و هم یک پیش‌بین پیوسته را در بر دارد (Field, 2024, Section 13.3). وقتی چند اندازه‌گیری از همان آزمودنی‌ها وجود دارد و پرسش خودِ تغییر است – ANOVA برای اندازه‌گیری‌های مکرر.

منطق: خطوط موازی

مدل برای هر گروه یک خط رگرسیون متغیر وابسته روی متغیر همپراش برازش می‌دهد – با شیب یکسان برای همه گروه‌ها، یعنی شیب مشترک درون گروه‌ها (b_W) – و بررسی می‌کند که آیا این خطوط موازی در ارتفاع‌های متفاوتی قرار دارند (Maxwell et al., 2018, pp. 463-466). خطا، انحراف هر آزمودنی از خط گروه خودش است، و بنابراین وقتی متغیر همپراش پیش‌بینی خوبی دارد، خطا بسیار کوچک‌تر از تحلیل واریانس معمولی است. در مثال کوچک Maxwell و همکاران، مجموع مجذورات خطا از 28 به 12 کاهش می‌یابد (همان، ص. 467-468). در نمودار پراکنشی که صفحه رسم می‌کند، این را مستقیماً می‌بینید.

میانگین‌های تعدیل‌شده

میانگین تعدیل‌شده یک گروه، ارتفاع خط آن گروه در میانگین کل متغیر همپراش است: Ȳ′_j = Ȳ_j − b_W(X̄_j − X̄) (Maxwell et al., 2018, Equation 9.27, p. 469). گروهی که در متغیر همپراش بالا شروع کرده در امتداد خط "پایین می‌آید" و گروهی که پایین شروع کرده "بالا می‌رود" – تعدیل، "لغزاندن میانگین در امتداد خط رگرسیون" است (همان، ص. 471). آزمون F عامل، تفاوت‌های بین میانگین‌های تعدیل‌شده را بررسی می‌کند، و بنابراین همین‌ها تفسیر می‌شوند و نه میانگین‌های خام (Field, 2024, Section 13.7.2). در مثال Maxwell و همکاران: میانگین‌های افسردگی پس از درمان 7.3، 12.2 و 14.0، و میانگین‌های تعدیل‌شده 7.54، 11.98 و 13.98 (2018، ص. 483-484) – صفحه همین اعداد را به دست می‌دهد.

با گمارش تصادفی و بدون آن

وقتی گروه‌ها به‌طور تصادفی گمارده شده‌اند، به‌طور میانگین در متغیر همپراش برابرند، و سهم اصلی ANCOVA کاهش خطاست – آزمونی قوی‌تر و فاصله‌های اطمینان باریک‌تر، در حالی که میانگین‌های تعدیل‌شده و خام همان تفاوت را برآورد می‌کنند (Maxwell et al., 2018, pp. 454-455, 471). حتی اگر گروه‌ها به‌طور تصادفی کمی در متغیر همپراش متفاوت باشند، ANCOVA ارجح است (همان، ص. 476).

وقتی گروه‌ها از پیش وجود دارند – کلاس‌ها، مدرسه‌ها، کسانی که خودشان شرکت را انتخاب کرده‌اند – تعدیل ممکن است نتیجه را تغییر دهد و حتی آن را وارونه کند. ANCOVA "جایگزین گمارش تصادفی نیست" (Maxwell et al., 2018, p. 454): به این پرسش پاسخ می‌دهد که "آیا گروه‌ها متفاوت می‌بودند اگر در متغیر همپراش برابر بودند"، و هیچ راهی برای اطمینان از اینکه تفاوت‌های اندازه‌گیری‌نشده را درست تعدیل می‌کند وجود ندارد (ibid., p. 455; Field, 2024, Section 13.5.1). افزون بر این، وقتی متغیر همپراش با خطای اندازه‌گیری سنجیده شده باشد، تعدیل ناقص است (Maxwell et al., 2018, p. 482). صفحه بررسی می‌کند که آیا متغیر همپراش بین گروه‌ها متفاوت است ("توازن"). این یک الزام آماری نیست، اما تعیین می‌کند که نتیجه چگونه تفسیر شود (ibid., pp. 475-476; Field, 2024, Section 13.5.1).

انتخاب متغیر همپراش

متغیر همپراش باید پیش از مداخله اندازه‌گیری شود – متغیری که مداخله می‌توانسته بر آن اثر بگذارد، بخشی از خود اثر را "بیرون می‌کشد" (Pallant, 2020, Chapter 22; Maxwell et al., 2018, p. 478). آن را از پیش انتخاب می‌کنند، بر اساس پژوهش‌های قبلی که نشان می‌دهند متغیر وابسته را پیش‌بینی می‌کند، و نه بر اساس داده‌های پژوهش حاضر (همان، ص. 494). اندازه‌گیری "پیش" از متغیر وابسته نامزد خوبی است (همان، ص. 451). این متغیر باید پایا باشد – Pallant آلفای کرونباخ بالاتر از .7 و ترجیحاً بالاتر از .8 را پیشنهاد می‌کند (فصل 22؛ نگاه کنید به آلفای کرونباخ). چند متغیر همپراش؟ در پژوهش کوچک نه بیشتر از دو یا سه (Maxwell et al., 2018, p. 493)، و نه متغیرهایی که همبستگی زیادی با یکدیگر دارند – در حدود r = .80 بهتر است یکی حذف شود (Pallant, 2020, Chapter 22).

همگنی شیب‌ها

مفروضه اصلی: رابطه بین متغیر همپراش و متغیر وابسته در همه گروه‌ها یکسان است – خطوط واقعاً موازی‌اند. این مفروضه در مدلی بررسی می‌شود که تعامل عامل × متغیر همپراش را اضافه می‌کند: اگر معنادار باشد، شیب‌ها متفاوت‌اند (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.8; Maxwell et al., 2018, p. 520). صفحه این بررسی را همیشه اجرا می‌کند و شیب هر گروه را نیز نشان می‌دهد. وقتی این مفروضه نقض شود چه باید کرد؟ Pallant (2020، فصل 22) می‌نویسد که در این صورت بهتر است ANCOVA اجرا نشود؛ Field (2024، بخش 13.8) پیشنهاد می‌کند مدل با تعامل حفظ و تفسیر شود؛ Maxwell و همکاران (2018، ص. 536-537) مدلی با شیب‌های جداگانه را توصیه می‌کنند – حتی وقتی آزمون همگنی نزدیک به معناداری است، برای مثال p < .2 – و نیز روش Johnson-Neyman را، که نشان می‌دهد در کدام مقادیر متغیر همپراش تفاوت بین گروه‌ها معنادار است (همان، ص. 531-535). صفحه Johnson-Neyman را اجرا نمی‌کند؛ SPSS ماکرویی دارد که آن را اجرا می‌کند (همان، ص. 535-536).

ANCOVA یا نمره‌های تغییر؟

راه رایج دیگر: برای هر آزمودنی "پس منهای پیش" محاسبه و تفاوت‌ها در تحلیل واریانس مقایسه شوند. در آزمایشی با گمارش تصادفی، هر دو راه همان فرضیه را می‌آزمایند، اما خطای ANCOVA کوچک‌تر است و بنابراین "تقریباً همیشه ارجح است" (Maxwell et al., 2018, pp. 499-501). نمره تغییر معادل ANCOVA با شیبی است که از پیش برابر 1 تعیین شده است (همان، ص. 499). وقتی گروه‌ها تصادفی نیستند، دو راه پرسش‌های متفاوتی می‌پرسند و ممکن است پاسخ‌های متفاوتی بدهند – "پارادوکس Lord" (همان، ص. 501-502). راه سوم – محاسبه باقیمانده‌ها از رگرسیون روی متغیر همپراش و تحلیل آن‌ها – معادل ANCOVA نیست و بهتر است از آن پرهیز شود (همان، ص. 498).

مقایسه‌های زوجی

وقتی بیش از دو گروه وجود دارد، میانگین‌های تعدیل‌شده دوبه‌دو مقایسه می‌شوند. خطای استاندارد هر تفاوت، تفاوت در میانگین‌های متغیر همپراش را نیز در بر می‌گیرد (Maxwell et al., 2018, Equation 9.37, p. 490). صفحه بر اساس بونفرونی تصحیح می‌کند – توصیه Field (2024، بخش 13.6.6)، و همچنین روش SPSS، که در آن آزمون‌های Post Hoc معمول وقتی متغیر همپراش وجود دارد غیرفعال‌اند (همان، بخش 13.6.5). Maxwell و همکاران برای همه مقایسه‌های زوجی، Tukey را وقتی مقادیر متغیر همپراش از پیش تعیین شده‌اند و Bryant-Paulson را وقتی اندازه‌گیری شده‌اند پیشنهاد می‌کنند (2018، ص. 490-492)؛ از آنجا که متغیر همپراش معمولاً مانند متغیر وابسته اندازه‌گیری می‌شود، برخی توصیه می‌کنند آن را متغیری تصادفی در نظر گرفت (همان، ص. 475).

اندازه‌های اثر

SPSS مجذور اتای جزئی را چاپ می‌کند – واریانسی که عامل از آنچه متغیرهای دیگر تبیین نکرده‌اند تبیین می‌کند (Field, 2024, Section 13.4). Maxwell و همکاران (2018، ص. 486-489) پیشنهاد می‌کنند متغیر همپراش "بخشی ذاتی" از طرح در نظر گرفته شود – در جامعه آماری وجود دارد – و بنابراین از واریانس کل کنار گذاشته نشود: مجذور امگا طبق معادله 9.31 (در مثال آن‌ها .12؛ برای مقایسه، R² عامل از کل واریانس .18 و با کنار گذاشتن متغیر همپراش .22 است – ص. 487-488)، و d برای مقایسه زوجی – تفاوت بین میانگین‌های تعدیل‌شده تقسیم بر انحراف معیار حاصل از تحلیل واریانس بدون متغیر همپراش (معادله 9.32). صفحه هر سه را نمایش می‌دهد (مجذور امگا – وقتی یک عامل وجود دارد).

خروجی را چگونه بخوانیم؟

به ترتیب: میانگین‌های خام (از جمله میانگین‌های متغیر همپراش)؛ بررسی‌های مقدماتی – توازن، همگنی شیب‌ها و لوین؛ جدول ANCOVA – یک سطر برای هر متغیر همپراش و برای هر عامل؛ شیب؛ میانگین‌های تعدیل‌شده در برابر میانگین‌های خام؛ مقایسه‌های زوجی؛ جدولی که با تحلیل واریانس بدون متغیر همپراش مقایسه می‌کند – خطا چقدر کاهش یافت و آیا نتیجه‌گیری تغییر کرد؛ و نمودارها. "خواندن نتیجه" به آنچه در مورد شما مهم است اشاره می‌کند.

مفروضه‌ها

مفروضه‌های تحلیل واریانس – استقلال خطاها، نرمال بودن و برابری واریانس‌ها – و دو مفروضه دیگر: رابطه خطی بین متغیر همپراش و متغیر وابسته در هر گروه، و همگنی شیب‌ها (Maxwell et al., 2018, pp. 473-475; Pallant, 2020, Chapter 22). خطی بودن در نمودار پراکنش بررسی می‌شود؛ رابطه منحنی را می‌توان با یک جمله درجه دوم وارد کرد (Maxwell et al., 2018, p. 493). صفحه آزمون لوین را روی قدر مطلق باقیمانده‌های مدل اجرا می‌کند. وقتی مفروضه‌ها برقرار نیستند – Field (2024، بخش‌های 13.5.3، 13.9) بوت‌استرپ و ANCOVA استوار را شرح می‌دهد.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

Analyze → General Linear Model → Univariate: متغیر وابسته، عامل در Fixed Factor(s) و متغیر همپراش در Covariate(s) (Field, 2024, Section 13.6; Pallant, 2020, Chapter 22). همگنی شیب‌ها در اجرای جداگانه‌ای با Model → Build terms که تعامل را در بر دارد بررسی می‌شود (Field, 2024, Section 13.8). در EM Means – مقایسه‌ها با بونفرونی؛ در Options – اندازه اثر، آزمون‌های همگنی و Parameter estimates. صفحه سینتکسی با هر دو اجرا دانلود می‌کند (UNIANOVA ... WITH). PSPP مدل GLM را با متغیر همپراش اجرا نمی‌کند، و بنابراین سینتکس در آن آزموده نشده است.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

مدل خطی (lm) با مقابله‌های جمع-صفر، car::Anova(type = 3) برای جدول، anova(m, ms) برای همگنی شیب‌ها، و emmeans برای میانگین‌های تعدیل‌شده و مقایسه‌ها (متغیر همپراش در میانگین آن – پیش‌فرض). اسکریپت زیر عیناً روی مثال Maxwell و همکاران (2018، جدول 9.7، ص. 483) اجرا شد و مقادیر در توضیحات آمده است.

# تحلیل ANCOVA در R – مثال Maxwell و همکاران (2018، جدول 9.7): افسردگی پیش و پس، سه گروه 10 نفره
library(car)       # جدول Anova از نوع III
library(emmeans)   # میانگین‌های تعدیل‌شده
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # برای نوع III الزامی است

d <- data.frame(group = factor(rep(c("SSRI", "Placebo", "Wait"), each = 10), levels = c("SSRI", "Placebo", "Wait")),
                pre  = c(18, 16, 16, 15, 14, 20, 14, 21, 25, 11, 18, 16, 15, 14, 20, 25, 11, 25, 11, 22, 15, 19, 10, 29, 24, 15, 9, 18, 22, 13),
                post = c(12, 0, 10, 9, 0, 11, 2, 4, 15, 10, 11, 4, 19, 15, 3, 14, 10, 16, 10, 20, 17, 25, 10, 22, 23, 10, 2, 10, 14, 7))
m  <- lm(post ~ pre + group, data = d)
ms <- lm(post ~ pre + group + group:pre, data = d)
anova(m, ms)                          # همگنی شیب‌ها: F(2, 24) = 1.06, p = .36
Anova(m, type = 3)                    # گروه: F(2, 26) = 3.73, p = .038؛ پیش: F(1, 26) = 10.77
coef(m)["pre"]                        # شیب مشترک b = 0.645
emmeans(m, pairwise ~ group, adjust = "bonferroni")
# میانگین‌های تعدیل‌شده: 7.54, 11.98, 13.98؛ SSRI در برابر انتظار: -6.44, p = .039

گزارش نتایج

متغیر همپراش و بررسی‌های مقدماتی، به‌ویژه همگنی شیب‌ها، گزارش می‌شوند (Pallant, 2020, Chapter 22)، سپس F متغیر همپراش و F عامل، همراه با p و اندازه اثر (Field, 2024, Section 13.11; Pallant, ibid.). در جدول – میانگین‌های خام با انحراف معیار و میانگین‌های تعدیل‌شده با خطای استاندارد، و n در هر گروه (همان). صفحه چنین بندی را به فارسی و انگلیسی می‌نویسد.

اشتباهات رایج

"کنترل کردن" تفاوت‌های بین گروه‌های از پیش موجود و نتیجه‌گیری علّی – ANCOVA جایگزین گمارش تصادفی نیست (Maxwell et al., 2018, p. 454; Field, 2024, Section 13.5.1).

متغیر همپراشی که پس از مداخله اندازه‌گیری شده است – ممکن است بخشی از اثر را بیرون بکشد (Maxwell et al., 2018, p. 478).

تفسیر میانگین‌های خام به جای میانگین‌های تعدیل‌شده (Field, 2024, Section 13.7.2).

نادیده گرفتن بررسی شیب‌ها – وقتی شیب‌ها متفاوت‌اند، تفاوت بین گروه‌ها به مقدار متغیر همپراش بستگی دارد (Field, 2024, Section 13.8).

انتخاب متغیرهای همپراش بر اساس داده‌ها – برای مثال، متغیری که در نمونه حاضر قوی‌ترین همبستگی را با متغیر وابسته دارد (Maxwell et al., 2018, p. 494).

تحلیل باقیمانده‌ها به جای ANCOVA (Maxwell et al., 2018, p. 498).

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که اصل آن‌ها خوانده شده است. Field (2024) و Pallant (2020) در نسخه دیجیتال بازچینی‌پذیر – ارجاع بر اساس بخش و فصل؛ Maxwell و همکاران (2018) – بر اساس صفحه چاپی. قراردادهای سایت: حذف لیستی؛ نوع III؛ میانگین‌های تعدیل‌شده در میانگین کل متغیرهای همپراش، بدون وزن‌دهی روی عامل دوم؛ آزمون لوین روی قدر مطلق باقیمانده‌های مدل؛ دو رقم پس از ممیز در جدول‌ها. "متغیر همپراش" – معادل covariate در این سایت (به پیروی از concomitant variable)، تا با متغیر میانجی (mediator) اشتباه نشود. محاسبه در برابر R 4.3.3 (car، emmeans) و در برابر اعداد چاپ‌شده در Maxwell و همکاران (2018) تأیید شده است: جدول‌های 9.1، 9.7-9.10 و 9.12، تمرین 4.