عامل‌های تصادفی، آشیانه‌ای و کرت‌های خردشده

ثابت یا تصادفی؟

تفاوت در خود عامل نیست، بلکه در سؤال است. عامل ثابت – سطوح آزمایش دقیقاً همان‌هایی هستند که برای ما اهمیت دارند، و "فضای استنباط مجموعه سطوح مشخصی است که آزموده شده‌اند" (Montgomery, 2020, p. 493). عامل تصادفی – سطوح "به طور تصادفی از جامعه بزرگ‌تری از سطوح انتخاب شده‌اند، و پژوهشگر می‌خواهد درباره کل جامعه استنباط کند" (همان). Maxwell، Delaney و Kelley (2018) این را از راه تکرار پژوهش بیان می‌کنند: عامل ثابت عاملی است که در تکرار پژوهش نیز همان سطوح در آن گنجانده می‌شدند؛ در عامل تصادفی هدف این است که "نه به اثرهای چند سطح خاص، بلکه به جامعه‌ای از سطوح که سطوح انتخاب‌شده فقط نماینده آن‌اند تعمیم داده شود" (ص. 548). چنین عامل‌هایی بیشتر "نمونه‌گیری" می‌شوند تا "اعمال" (ص. 549): مدرسه‌ها، کلاس‌ها، درمانگران، اپراتورها، بچ‌های تولید، روزها – و رایج‌ترین عامل تصادفی از همه، آزمودنی‌ها (ص. 547).

حتی وقتی مدرسه‌ها واقعاً نمونه تصادفی نیستند – مثلاً آن‌هایی که با مشارکت موافقت کرده‌اند – سؤال این است که آیا نتیجه قرار است فقط درباره آن‌ها صادق باشد. اگر چنین است، عامل ثابت است؛ اگر می‌خواهیم درباره "مدرسه‌ها به طور کلی" سخن بگوییم – تصادفی (Maxwell et al., 2018, p. 549). و درباره گروه‌هایی که به دلایل در دسترس بودن انتخاب شده‌اند، Murray و Blitstein (2003، به نقل از Maxwell et al., 2018، ص. 607) می‌نویسند که تعریف گروه به عنوان اثر تصادفی نه‌تنها مجاز بلکه "ضروری" است. نادیده گرفتن یک عامل تصادفی، یا تعریف آن به عنوان ثابت، "ممکن است باعث شود برخی آزمون‌ها رو به بالا سوگیری داشته باشند" (ص. 551).

یک عامل تصادفی: مؤلفه‌های واریانس و همبستگی درون‌رده‌ای

در مدل یک‌راهه تصادفی، y_ij = μ + τ_i + ε_ij، اثرهای τ_i متغیری تصادفی با واریانس σ²_τ هستند، و واریانس یک مشاهده σ²_τ + σ² است – "مؤلفه‌های واریانس" (Montgomery, 2020, p. 101). محاسبه همانند تحلیل واریانس معمولی است، "اما نتیجه‌گیری‌ها کاملاً متفاوت است" (ص. 103): فرضیه H₀: σ²_τ = 0 است، درباره کل جامعه سطوح. از امیدهای ریاضی E(MS_Tr) = σ² + nσ²_τ و E(MS_E) = σ² برآوردهای σ̂² = MS_E و σ̂²_τ = (MS_Tr − MS_E)/n به دست می‌آیند (معادلات 3.48-3.51، ص. 103).

برای خود σ²_τ فاصله اطمینان دقیقی وجود ندارد (ص. 106)، اما برای نسبت σ²_τ/(σ²_τ + σ²) – همبستگی درون‌رده‌ای (ICC) – وجود دارد (معادلات 3.56-3.57، ص. 106)، و صفحه آن را محاسبه می‌کند. ICC "نسبتی از واریانس را نشان می‌دهد که به عامل تصادفی نسبت داده می‌شود" (Maxwell et al., 2018, p. 547)، و همتای ω² در اثرهای ثابت است (ص. 565). در مثال دستگاه‌های بافندگی Montgomery (مثال 3.10) – ICC بین .38 و .98 (ص. 106). در داده‌های پیشرفت تحصیلی در مدرسه‌ها، ICC معمول .15-.25 است (Hedges & Hedberg, 2007، به نقل از Maxwell et al., 2018، ص. 608).

امید ریاضی میانگین مجذورات: مخرج چگونه انتخاب می‌شود

در تحلیل واریانس معمولی هر آزمون در برابر باقیمانده انجام می‌شود. وقتی عامل تصادفی وجود دارد این دیگر درست نیست: "وقتی در طرح یک عامل تصادفی وجود دارد، هر تعامل آن با عامل دیگر بر میانگین مجذورات اثر اصلی آن عامل دیگر اثر می‌گذارد" (Maxwell et al., 2018, p. 555). برای مثال، در برنامه درسی (ثابت) × مدرسه‌ها (تصادفی): اگر برنامه در برخی مدرسه‌ها بهتر عمل کند، تفاوت بین برنامه‌ها در نمونه به این بستگی دارد که کدام مدرسه‌ها نمونه‌گیری شده‌اند – و آزمون در برابر باقیمانده "مقادیر F بیش از حد بزرگی می‌دهد، مگر آنکه تعامل در جامعه دقیقاً صفر باشد" (ص. 558).

ابزار کار امید ریاضی میانگین مجذورات E(MS) هر جمله است. Montgomery (2020، بخش 13.4، ص. 505-507) برای هر طرح متوازن – متقاطع، آشیانه‌ای یا ترکیبی – قواعدی ارائه می‌کند: امید ریاضی یک جمله برابر است با σ²، به اضافه مؤلفه خود آن، به اضافه مؤلفه‌های همه جمله‌های تصادفی که آن را در بر دارند؛ "ضریب هر مؤلفه تعداد مشاهدات در هر مقدار متمایز آن است" (ص. 506). F چنان ساخته می‌شود که صورت و مخرج "فقط در مؤلفه یا عامل ثابتی که مورد نظر ماست تفاوت داشته باشند" (ص. 505). صفحه قواعد را دقیقاً به همین شکل به کار می‌برد، و امیدهای ریاضی را در جدول 2 نمایش می‌دهد – و می‌توان آن‌ها را با جدول‌های 13.10، 14.1، 14.11 و 14.17 کتاب مقایسه کرد. Maxwell et al. (2018) آن را در یک قاعده سرانگشتی خلاصه می‌کنند: "غیر از خود اثر، تنها مؤلفه‌هایی که در امید ریاضی سهم دارند تعامل‌ها با عامل‌های تصادفی یا اثرهای تصادفی آشیانه‌ای هستند" (ص. 593).

مدل آمیخته: مقید یا نامقید؟

وقتی عامل ثابت A با عامل تصادفی B متقاطع است، دو نسخه از تعامل وجود دارد. در مدل مقید مجموع اثرهای تعامل روی سطوح A در هر سطح B صفر است (Montgomery, 2020, Equation 13.8, p. 500)؛ در این صورت E(MS_B) = σ² + anσ²_β، و B در برابر باقیمانده آزموده می‌شود. در مدل نامقید چنین قیدی وجود ندارد (ص. 502)؛ در این صورت E(MS_B) تعامل را نیز در بر دارد، و B در برابر MS_AB آزموده می‌شود (ص. 503). آزمون عامل ثابت در هر دو یکسان است.

Montgomery "مدل مقید را ترجیح می‌دهد" و خاطرنشان می‌کند که آن "در واقع اندکی عام‌تر است" (ص. 503)؛ Maxwell et al. (2018) "رویکرد نامقید را رد می‌کنند"، زیرا در آن فرض صفر درباره عامل تصادفی دیگر به معنای برابری میانگین‌های حاشیه‌ای نیست (ص. 606). در مقابل، JMP و Minitab (به طور پیش‌فرض) با مدل نامقید کار می‌کنند (Montgomery, 2020, p. 504)، و lmer در R نیز چنین است؛ و به گفته Maxwell et al. (2018) – SPSS و SAS نیز (ص. 605-606). بنابراین پیش‌فرض صفحه مدل مقید است، با کلیدی برای مدل نامقید؛ "تفسیر نتیجه" نشان می‌دهد کدام آزمون‌ها با این تغییر عوض می‌شوند. رابطه بین مؤلفه‌ها در دو مدل: σ²_β = σ²_γ + σ²_αγ/a – در کتاب (ص. 503) این فرمول وارونه چاپ شده است (یافته E3، ادامه را ببینید)؛ در مثال 13.2: 10.2798 + (−0.1399)/3 = 10.2332.

وقتی آزمون دقیقی وجود ندارد: F تقریبی

با دو عامل تصادفی یا بیشتر گاهی هیچ میانگین مجذوراتی وجود ندارد که امید ریاضی آن مناسب باشد. در این صورت ترکیبی ساخته می‌شود: MS' = MS_r + … + MS_s در صورت و MS'' = MS_u + … + MS_v در مخرج، به گونه‌ای که تفاوت امیدهای ریاضی دقیقاً همان مؤلفه مورد آزمون باشد، و F = MS'/MS'' به طور تقریبی از توزیع F با درجه آزادی Satterthwaite پیروی می‌کند (1946, as cited in Montgomery, 2020): p = (ΣMS)²/Σ(MS²/f) برای هر طرف (معادلات 13.14-13.18، ص. 509). کم کردن میانگین مجذورات نیز ممکن است، اما Montgomery ترکیبی را ترجیح می‌دهد که "هیچ میانگین مجذوراتی با ضریب منفی در آن نباشد" (ص. 512) – و صفحه همیشه چنین ترکیبی می‌سازد، و کوتاه‌ترین را انتخاب می‌کند. در مثال 13.5 (افت فشار) آزمون دما (MS_A + MS_ABC)/(MS_AB + MS_AC) = 2.22 است با 2.11 و 7.88 درجه آزادی (ص. 511-512)، و Minitab که کم می‌کند به 2.30 می‌رسد. این آزمون "فقط به طور تقریبی از توزیع F پیروی می‌کند" (Maxwell et al., 2018, p. 560).

ادغام (pooling). یک جایگزین این است که تعامل ناچیز از مدل خارج و به باقیمانده افزوده شود. اما تصمیم‌گیری درباره تعامل بر پایه خود داده‌ها "می‌تواند خطرناک باشد"، زیرا در معرض خطاهای هر دو نوع است (Montgomery, 2020, p. 508). قاعده عملی: "اگر میانگین مجذورات خطای اصلی شش درجه آزادی یا بیشتر دارد – ادغام نکنید"؛ و در غیر این صورت فقط اگر F آن جمله در α بالا، مانند 0.25، معنادار نباشد (ص. 509). Maxwell et al. (2018) می‌افزایند که رویکرد محافظه‌کارانه این است که بدون توجه به نتیجه آزمون مقدماتی همچنان از تعامل به عنوان مخرج استفاده شود (ص. 562)، و عملی‌ترین راه افزایش توان آماری صرفاً افزودن سطوح به عامل تصادفی است (ص. 563). در صفحه، جمله‌های مورد ادغام در تنظیمات علامت زده می‌شوند.

عامل‌های آشیانه‌ای

"یک عامل در عامل دیگر آشیانه‌ای است اگر هر سطح آن فقط همراه با یک سطح از عامل دیگر ظاهر شود" (Maxwell et al., 2018, p. 573): کلاس‌ها در مدرسه‌ها، بچ‌ها نزد تأمین‌کنندگان، درمانگران در روش‌های درمان. آزمون عملی Montgomery: "اگر بتوان سطوح عامل را به طور دلبخواه از نو شماره‌گذاری کرد" – بچ 1 تأمین‌کننده الف و بچ 1 تأمین‌کننده ب یک بچ نیستند – "عامل آشیانه‌ای است" (2020، ص. 519). بنابراین بین عامل آشیانه‌ای و عاملی که درون آن قرار دارد تعاملی وجود ندارد (ص. 519)، و مجموع مجذورات آن مجموع تفاوت‌های بین سطوح آن درون هر والد است (ص. 521). در صفحه می‌توان سطوح آشیانه‌ای را در هر والد از نو شماره‌گذاری کرد (1-4 در هر تأمین‌کننده) یا به صورت پیوسته (1-12)؛ وقتی شماره‌گذاری پیوسته است، صفحه آشیانه‌ای بودن را خودش تشخیص می‌دهد.

عامل آشیانه‌ای معمولاً تصادفی است (Maxwell et al., 2018, p. 574)، و در این صورت مخرج عامل بالاتر از خود است: مقایسه روش‌های درمان در برابر واریانس بین درمانگران آزموده می‌شود، نه بین آزمودنی‌ها – "این سؤال که آیا کارورزان مرد متفاوت از کارورزان زن نمره می‌دهند به درستی نسبت به واریانس بین کارورزان پاسخ داده می‌شود" (ص. 583). همین امر در پژوهش‌هایی که کلاس‌های کامل به شرایط تخصیص داده می‌شوند نیز صادق است (ص. 575). Wampold و Serlin (2000، به نقل از Maxwell et al., 2018، ص. 590) نشان می‌دهند که نادیده گرفتن یک عامل آشیانه‌ای تصادفی با ICC برابر .3 می‌تواند نرخ خطای نوع I را سه برابر یا بیشتر کند. تحلیل یک طرح آشیانه‌ای چنان‌که گویی متقاطع است "تعاملی" بی‌معنا تولید می‌کند؛ SS_B + SS_A×B در تحلیل متقاطع دقیقاً SS_B(A) است (Montgomery, 2020, pp. 522-524). طرح‌های ترکیبی – برخی عامل‌ها متقاطع و برخی آشیانه‌ای، مانند مثال 14.2 (تجهیزات × چیدمان‌ها، اپراتورهای آشیانه‌ای در چیدمان) – با همان قواعد تحلیل می‌شوند (ص. 530-534).

کرت‌های خردشده

گاهی "نمی‌توان اجراها را با ترتیب کاملاً تصادفی انجام داد" (Montgomery, 2020, p. 534). در مثال استحکام کششی کاغذ (بخش 14.4) سه روش آماده‌سازی خمیر کاغذ در چهار دما آزموده می‌شوند: یک بچ با یک روش تهیه می‌شود، به چهار بخش تقسیم می‌شود و هر بخش در دمای متفاوتی پخته می‌شود – "در مجموع نه بچ" به جای 36 (ص. 535). بچ کرت اصلی (whole plot) است، روش – عامل کرت اصلی، و هر بخش – کرت فرعی (ص. 535). اصل کار: "عامل‌هایی که تغییرشان دشوار است کرت‌های اصلی را تشکیل می‌دهند، و عامل‌های آسان – کرت‌های فرعی را" (ص. 539). این طرح دو خطا دارد: عامل کرت اصلی در برابر تکرار × عامل کرت اصلی (خطای کرت اصلی) آزموده می‌شود، و عامل کرت فرعی و تعامل – در برابر خطاهای کرت فرعی، که معمولاً کوچک‌ترند، "زیرا کرت‌های فرعی همگن‌ترند" (ص. 537). بنابراین "بهتر است عاملی که بیشتر برای ما اهمیت دارد در کرت‌های فرعی قرار گیرد" (ص. 535).

در مدل کامل (معادله 14.15) تکرارها تصادفی‌اند، و برای تکرارها و تکرار × کرت فرعی آزمونی وجود ندارد (ص. 536)؛ اگر فرض شود تعامل‌ها با تکرارها در کرت فرعی ناچیزند، ادغام می‌شوند و مدل ساده‌تری به دست می‌آید (معادله 14.16، ص. 537) – این مدلی است که JMP به کار می‌برد (همان)، و همچنین aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) در R. در صفحه: در زبانه "طراحی کرت‌های خردشده" – ترتیب اجرا و جدول مورد انتظار؛ در تحلیل – تکرار تصادفی، هر دو عامل ثابت، و برای ادغام، تکرار × کرت فرعی و تکرار × تعامل علامت زده می‌شوند. در علوم رفتاری همین ساختار "طرح آمیخته" نیز نامیده می‌شود: یک عامل بین‌آزمودنی و یک عامل درون‌آزمودنی، که آزمودنی‌ها در عامل بین‌آزمودنی آشیانه‌ای‌اند (Maxwell et al., 2018, pp. 689-690) – در صفحه: آزمودنی تصادفی و آشیانه‌ای در گروه، و متقاطع با عامل درون‌آزمودنی.

کرت‌های خردشده "ناخواسته". وقتی آزمایش فاکتوریلی با ترتیبی اجرا می‌شود که تعداد تغییرات یک عامل دشوارتغییر را کاهش می‌دهد، و سپس چنان تحلیل می‌شود که گویی ترتیب تصادفی بوده است، "خطاهای نوع I بیش از حد در عامل‌های کرت اصلی، و خطاهای نوع II بیش از حد در عامل‌های کرت فرعی رخ می‌دهد" (Montgomery, 2020, p. 538). و یک قاعده سرانگشتی: "اگر همه اثرها و تعامل‌ها معنادار باشند، بهتر است به دقت بررسی شود که آزمایش در عمل چگونه انجام شده است" (ص. 540).

مؤلفه‌های واریانس: برآوردها، فاصله‌های اطمینان و مقادیر منفی

صفحه مؤلفه‌های واریانس را به روش ANOVA برآورد می‌کند: معادلات امید ریاضی جمله‌های تصادفی "پس از حذف میانگین مجذوراتی که عامل‌های ثابت را در بر دارند" حل می‌شوند (Montgomery, 2020, p. 501). این روش گشتاورهاست، که "به مفروضه نرمال بودن نیاز ندارد" (ص. 103). خطای استاندارد – √(Σ2c_i²MS_i²/f_i)، مانند خروجی JMP در کتاب (جدول‌های 3.20 و 14.7، ص. 109، 527). برای واریانس خطا فاصله اطمینان دقیقی از خی‌دو وجود دارد (معادله 13.19، ص. 512)؛ برای بقیه – تقریب Satterthwaite (معادلات 13.20-13.23، ص. 514-515)، که "فقط وقتی برآورد مثبت است می‌توان از آن استفاده کرد" (ص. 515)، و وقتی درجه‌های آزادی بزرگ و ضرایب مثبت‌اند به خوبی کار می‌کند (ص. 516). در مثال 13.6: σ̂²_τβ = 31.36، r = 5.19، و فاصله 12.39 تا 179.83 (در کتاب 180.84، به دلیل گرد کردن چندک – یافته E25).

برآورد منفی. تفاوت بین دو میانگین مجذورات ممکن است منفی شود. Montgomery سه راه برمی‌شمارد: پذیرفتن آن به عنوان نشانه‌ای از صفر بودن مؤلفه – اما "صفر به جای برآورد منفی ممکن است ویژگی‌های برآوردهای دیگر را مختل کند"؛ برآورد مجدد با روشی که همیشه مقادیر نامنفی می‌دهد؛ یا دیدن آن به عنوان نشانه نادرستی مدل (ص. 104). یک راه عملی دیگر: وقتی p تعامل بزرگ است، آن را حذف و دوباره تحلیل کنید – "رویکردی نسبتاً آسان که اغلب تقریباً به خوبی روش‌های پیچیده‌تر عمل می‌کند" (ص. 497). Maxwell et al. (2018) خاطرنشان می‌کنند که قرارداد رایج صفر قرار دادن برآورد است (ص. 566)، و این معمولاً نشانه نمونه کوچک یا مؤلفه‌ای نزدیک به صفر است (ص. 964). صفحه برآورد منفی را همان‌گونه که هست نمایش می‌دهد (به رنگ نارنجی)، و سهم آن از واریانس کل را چنان محاسبه می‌کند که گویی صفر است.

ANOVA یا REML؟ REML "نسخه رایج درست‌نمایی بیشینه برای برآورد مؤلفه‌های واریانس است" (Montgomery, 2020, p. 108)، و مزیت آن این است که "خطاهای استاندارد تولید می‌کند، و بنابراین یافتن فاصله‌های اطمینان آسان است" (ص. 513). در طرح متوازن "دو روش با هم توافق دارند" (ص. 109، 499) – اما فقط وقتی REML به مقادیر نامنفی محدود نشده باشد (مانند JMP). lmer در R محدود می‌کند، و بنابراین وقتی یکی از برآوردهای ANOVA منفی باشد، آن را صفر می‌کند و برآوردهای دیگر را نیز تغییر می‌دهد: در مثال 13.1 – قطعات 10.2513 به جای 10.2798 (یافته E9). در مثال صفحه – روش × مدرسه: −0.089 در ANOVA، 0 در REML. در طرح نامتوازن از مدل آمیخته استفاده می‌شود – "روش منتخب وقتی حجم نمونه‌ها برابر نیست" (Maxwell et al., 2018, p. 954)؛ صفحه فقط طرح‌های متوازن را تحلیل می‌کند، و برای طرح نامتوازن اسکریپت R با lmer پیشنهاد می‌کند.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – ساختار طرح همان‌گونه که صفحه آن را فهمیده است: نوع هر عامل، تعداد سطوح، و اینکه درون چه چیزی آشیانه‌ای است. بهتر است ابتدا آن را بررسی کنید – بیشتر اشتباهات در چنین تحلیلی اشتباه در ساختار است.

جدول 2 – تحلیل واریانس: SS، df و MS طبق معمول؛ ستون E(MS) – آنچه هر میانگین مجذورات برآورد می‌کند (σ²_X – مؤلفه واریانس یک جمله تصادفی، θ²_X – اندازه اثر یک جمله ثابت، مانند Maxwell et al., 2018، ص. 557)؛ "مخرج آزمون" – هر جمله در برابر چه چیزی آزموده می‌شود. F با ^a – F تقریبی، با درجه آزادی غیرصحیح. "بدون آزمون" – ترکیب مناسبی وجود ندارد؛ "به عنوان باقیمانده به کار می‌رود" – جمله بالایی وقتی در خانه‌ها تکرار وجود ندارد.

جدول 3 و نمودار 1 – مؤلفه‌های واریانس: برآورد، خطای استاندارد، سهم از واریانس کل (ICC هر مؤلفه)، و فاصله اطمینان. ستون "برآورد" فرمول را نشان می‌دهد – می‌توان آن را با دست از جدول 2 بازسازی کرد. ICC (در طرح یک‌راهه) – با فاصله اطمینان دقیق. میانگین‌ها – برای هر عامل ثابت، با خطای استاندارد از مخرج آزمون آن (Montgomery, 2020, p. 501).

در مثال (سه روش تدریس × چهار مدرسه، دو کلاس در هر روش در هر مدرسه، سه دانش‌آموز در هر کلاس): روش در برابر روش × مدرسه آزموده می‌شود، F(2, 6) = 5.18, p = .049 – به‌سختی معنادار، با فقط شش درجه آزادی؛ مدرسه، در مدل مقید، در برابر کلاس‌ها آزموده می‌شود، F(3, 12) = 2.14, p = .148؛ تفاوت‌های بین کلاس‌ها معنادارند، F(12, 48) = 2.48, p = .013، و کلاس حدود 30% از واریانس را به خود اختصاص می‌دهد. تعامل روش × مدرسه – برآورد منفی کوچک.

مفروضه‌ها و هشدارها

توازن. قواعد امید ریاضی فقط درباره طرح‌های متوازن صادق است – تعداد سطوح یکسان در هر والد و تعداد مشاهدات یکسان در هر خانه (Montgomery, 2020, p. 505). در عامل آشیانه‌ای تصادفی با اندازه‌های نابرابر "آزمون دقیقی وجود ندارد" (Maxwell et al., 2018, p. 586).

توزیع. اثرهای تصادفی و خطاها به طور نرمال توزیع شده‌اند، مستقل‌اند، با واریانس یکنواخت – حتی درون هر سطح از عامل ثابت (Maxwell et al., 2018, p. 585). F تقریبی و فاصله‌های Satterthwaite – فقط تقریب‌اند.

توان آماری. "توان هم به تعداد آزمودنی‌ها و هم به تعداد سطوح عامل تصادفی بستگی دارد – و تعداد سطوح معمولاً ملاحظه مهم‌تر است" (Maxwell et al., 2018, p. 572). با چهار مدرسه، آزمون روش فقط شش درجه آزادی دارد، حتی اگر در هر مدرسه صدها دانش‌آموز باشند.

عامل‌های تصادفی متقاطع متعدد. وقتی بیش از یک عامل تصادفی غیر از آن‌هایی که در جمله هستند وجود دارد، اغلب آزمون دقیقی وجود ندارد (Maxwell et al., 2018, p. 559)، و آزمون تقریبی به سطوح زیادی نیاز دارد.

آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. طرح‌های نامتوازن (برای آن‌ها – اسکریپت lmer)، طرح‌های آشیانه‌ای پلکانی (staggered; Montgomery, 2020, Section 14.1.4)، کرت‌های خردشده کسری بدون تکرار که با نمودارهای نیم‌نرمال تحلیل می‌شوند (بخش 14.5.1)، فاصله‌های MLS (معادلات 13.24-13.27)، شیب‌های تصادفی و پیش‌بین‌ها در سطح گروه (Maxwell et al., 2018, Chapter 16)، و ICC برای پایایی داوران (فصل 11). کرت‌های خرد-خردشده و طرح نواری (بخش‌های 14.5.2-14.5.3) در صفحه به عنوان طرحی با تکرار تصادفی و سه یا دو عامل ثابت، با ادغام جمله‌های مربوط، تحلیل می‌شوند. در صفحه "طراحی آزمایش‌ها" – آزمایش‌های فاکتوریل با عامل‌های ثابت، 2^k و طرح‌های کسری؛ و در صفحه "روش سطح پاسخ" – عامل‌های کمّی و نقطه بهینه.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

در Analyze › General Linear Model › Univariate عامل‌های تصادفی در Random Factor(s) وارد می‌شوند؛ جمله آشیانه‌ای در سینتکس نوشته می‌شود، /DESIGN = A B(A). SPSS امید ریاضی میانگین مجذورات را محاسبه می‌کند و آزمون‌ها، از جمله آزمون‌های تقریبی، را می‌سازد – در مدل نامقید (Maxwell et al., 2018, pp. 605-606)، و بنابراین برای مقایسه در صفحه "نامقید" انتخاب می‌شود. آزمون‌های مدل مقید با /TEST = method VS method*school افزوده می‌شوند (ص. 568)؛ سینتکس صفحه آن‌ها را خودکار می‌نویسد. مؤلفه‌های واریانس – در VARCOMP با /METHOD=SSTYPE(3) (برآوردهای ANOVA، نامقید). مسیرهای منو اطلاعات کلی درباره نرم‌افزارند، و سینتکس در SPSS اجرا نشده است. در PSPP، نرم‌افزار آزادی که سینتکس SPSS را می‌خواند، UNIANOVA و VARCOMP وجود ندارد، و فرمان GLM آن جمله‌های آشیانه‌ای را نمی‌پذیرد؛ مجموع مجذورات یک طرح متقاطع را در آن بررسی کردیم، و با صفحه یکسان است.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

دو راه. راه کلاسیک – lm برای مجموع مجذورات، و سپس آزمون‌ها و مؤلفه‌ها بر اساس امیدهای ریاضی، با دست؛ این همان کاری است که اسکریپت صفحه انجام می‌دهد، با مخرج‌هایی که صفحه انتخاب کرده است. aov با Error() آزمون‌های مدل نامقید را می‌دهد (مثلاً aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) برای کرت‌های خردشده). راه نوین – lmer از بسته lme4: (1 | school) برای عامل تصادفی، (1 | method:school) برای تعامل آن، و (1 | school:class) برای عامل آشیانه‌ای؛ lmerTest آزمون‌های F را می‌افزاید. lmer مدلی نامقید با مؤلفه‌های نامنفی است – "ANOVA یا REML" را ببینید. اسکریپت زیر عیناً روی فایل نمونه انگلیسی اجرا شد، و مقادیر در توضیحات با صفحه یکسان‌اند. قاعده سایت برای R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و نام متغیرها به انگلیسی.

# عامل‌های تصادفی و آشیانه‌ای – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل
library(lme4)     # مدل‌های آمیخته (install.packages("lme4"))

# بارگذاری: ساختار بلند – سطر = دانش‌آموز؛ کاربرگ "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_mix_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))
for (v in c("method", "school", "class")) d[[v]] <- factor(d[[v]])

# مجموع مجذورات: روش، مدرسه، تعامل، و کلاس آشیانه‌ای در روش × مدرسه
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))
a <- anova(lm(score ~ method + school + method:school + method:school:class, data = d))
MS <- setNames(a[["Mean Sq"]], c("method", "school", "method:school", "class", "Residuals")); round(MS, 3)
# نتیجه: 511.097 212.759 98.690 99.222 40.056

# آزمون‌ها در مدل مقید (پیش‌فرض صفحه): مدرسه در برابر کلاس آزموده می‌شود، نه در برابر روش × مدرسه
c(method = MS[["method"]] / MS[["method:school"]], school = MS[["school"]] / MS[["class"]],
  method.school = MS[["method:school"]] / MS[["class"]], class = MS[["class"]] / MS[["Residuals"]])
# نتیجه: 5.179 (2, 6), 2.144 (3, 12), 0.995 (6, 12), 2.477 (12, 48)

# مؤلفه‌های واریانس به روش ANOVA، در مدل مقید
c(school = (MS[["school"]] - MS[["class"]]) / 18, method.school = (MS[["method:school"]] - MS[["class"]]) / 6,
  class = (MS[["class"]] - MS[["Residuals"]]) / 3, residual = MS[["Residuals"]])
# نتیجه: 6.308, -0.089, 19.722, 40.056

# برای مقایسه: REML – مدل نامقید، و مؤلفه‌های نامنفی (روش × مدرسه صفر می‌شود)
m <- lmer(score ~ method + (1 | school) + (1 | method:school) + (1 | method:school:class), data = d)
print(VarCorr(m), comp = "Variance")
# نتیجه: مدرسه 6.318، روش × مدرسه 0.000، کلاس 19.663، باقیمانده 40.056

گزارش نتایج

گزارش باید امکان بازسازی طرح و تحلیل را بدهد: کدام عامل‌ها ثابت و کدام تصادفی‌اند و چرا، چه چیزی در چه چیزی آشیانه‌ای است، چند سطح و چند مشاهده در هر خانه؛ کدام مدل (مقید یا نامقید) و کدام جمله‌ها ادغام شده‌اند؛ برای هر آزمون – F با درجه آزادی مخرج واقعی (نه درجه آزادی باقیمانده، وقتی مخرج چیز دیگری است) و p؛ و مؤلفه‌های واریانس یا ICC، با فاصله‌های اطمینان. APA (2020، بخش 6.43) "اطلاعات کافی تا خواننده بتواند تحلیل‌ها را تأیید کند" می‌خواهد. قواعد شکل (بخش 6.36): p و ICC بدون صفر پیش از ممیز؛ F و مؤلفه‌های واریانس – با آن. بند یافته‌ها در خروجی به همین شکل ساخته شده است، به فارسی و انگلیسی.

اشتباهات رایج

آزمودن همه چیز در برابر باقیمانده. وقتی عامل تصادفی وجود دارد، این کار F عامل‌های ثابتی را که با آن متقاطع‌اند یا بالاتر از آن قرار دارند متورم می‌کند (Maxwell et al., 2018, pp. 558, 590).

تحلیل طرح آشیانه‌ای چنان‌که گویی متقاطع است. "تعاملی" به دست می‌آید که تفسیری ندارد (Montgomery, 2020, pp. 522-524). بپرسید: آیا بچ 1 نزد تأمین‌کننده الف همان بچ 1 نزد تأمین‌کننده ب است؟

نادیده گرفتن کرت‌های اصلی. کرت‌های خردشده‌ای که به عنوان طرح کاملاً تصادفی تحلیل شوند – خطاهای نوع I بیش از حد در عامل کرت اصلی و خطاهای نوع II بیش از حد در کرت‌های فرعی (ص. 538).

سطوح اندک برای عامل تصادفی. سه یا چهار مدرسه – و آزمون روش تقریباً فاقد توان است، صرف‌نظر از تعداد دانش‌آموزان (Maxwell et al., 2018, p. 572).

مقایسه مؤلفه‌های واریانس بین نرم‌افزارها بدون بررسی مدل. مقید یا نامقید، ANOVA یا REML، با صفر کردن یا بدون آن – هر کدام برای یک مؤلفه عدد متفاوتی می‌دهد. در مثال استحکام کاغذ، JMP برای تکرارها 2.4757 گزارش می‌کند (جدول 14.19، ص. 538 – نامقید، ادغام‌شده)، و مدل مقید 2.90 می‌دهد.

ادغام تعامل فقط به این دلیل که معنادار نیست. با شش درجه آزادی یا بیشتر برای خطا – ادغام نکنید؛ و در غیر این صورت – فقط اگر p بالاتر از 0.25 باشد (Montgomery, 2020, p. 509).

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Satterthwaite (1946)، Murray و Blitstein (2003)، Hedges و Hedberg (2007) و Wampold و Serlin (2000) – به نقل از Montgomery (2020) و Maxwell et al. (2018). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که در اصل خوانده شده‌اند؛ ارجاع‌ها بر اساس صفحه چاپی است. بخش 3.9 و فصل‌های 13-14 کتاب Montgomery، و فصل 10، بخش‌هایی از فصل‌های 11-12 و فصل 16 کتاب Maxwell et al. خوانده شدند. محاسبه این صفحه در برابر R 4.3.3 (lm، aov با Error، lme4، lmerTest)، و در برابر همه اعداد چاپ‌شده در مثال‌های 3.10، 13.1-13.6، 14.1-14.2 و مثال استحکام کاغذ (بخش 14.4) از Montgomery و جدول‌های 10.5، 10.9 و 12.19 از Maxwell et al. راستی‌آزمایی شده است.