آزمون t نمونه‌های زوجی

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب دو اندازه‌گیری

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی هر آزمودنی دو اندازه‌گیری از یک نوع دارد و سؤال این است که آیا میانگین تغییر کرده است: همان پرسشنامه پیش و پس از مداخله، دو شرطی که هر آزمودنی از سر گذرانده است، دو گویه از یک مقیاس که همان افراد رتبه داده‌اند – یا زوج‌های همتاشده، که در آن‌ها هر آزمودنی در یک گروه یک‌به‌یک با آزمودنی‌ای در گروه دیگر همتا شده است (دوقلوها، همسران، یا همتاسازی بر اساس سن و جنسیت). Pallant (2020، فصل 17) تعریف می‌کند: یک گروه از آزمودنی‌ها، دو مجموعه نمره روی یک متغیر پیوسته – و یک متغیر مستقل طبقه‌ای با دو سطح (زمان 1 / زمان 2). Field (2024، بخش 10.5) از "ماشین سردرگمی" یاد می‌کند: آزمون t زوجی، آزمون t وابسته، آزمون اندازه‌گیری‌های مکرر، آزمون زوج‌های همتاشده – همه یک آزمون‌اند. Gravetter و Wallnau (2017، ص. 336-338) هر دو طرح – اندازه‌گیری‌های مکرر و زوج‌های همتاشده – را با نام مشترک related-samples designs می‌خوانند، و تأکید می‌کنند که از نظر آماری هم‌ارزند: داده‌ها زوج‌هایی از نمره‌اند، و آنچه آزموده می‌شود تفاوت درون هر زوج است.

واحد مورد آزمون تفاوت درون آزمودنی (یا درون زوج) است – و از این رو این آزمونی متفاوت از آزمون t نمونه‌های مستقل است، که در آن هر گروه از افراد دیگری تشکیل شده است. بیش از دو اندازه‌گیری از همان آزمودنی‌ها – تحلیل واریانس اندازه‌گیری‌های مکرر (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, Chapter 13)، در صفحه ANOVA اندازه‌گیری‌های مکرر، نه یک سری آزمون t زوجی؛ وقتی تفاوت‌ها در نمونه کوچک مفروضه نرمال بودن را به‌شدت نقض می‌کنند – آزمون ویلکاکسون (Pallant, 2020, Chapter 16; Gravetter & Wallnau, Appendix E)، در صفحه خودش. نمره مقیاس چندگویه‌ای (میانگین گویه‌ها، صفحه آلفای کرونباخ و نمره مقیاس) طبق قرارداد سایت (صفحه متغیرها و مقیاس‌های اندازه‌گیری) متغیر فاصله‌ای در نظر گرفته می‌شود، و از این رو به‌عنوان اندازه‌گیری مناسب است؛ گویه لیکرت منفرد – نه.

منطق: تفاوت‌ها، نه نمره‌ها

گام نخست محاسبه تفاوت بین دو اندازه‌گیری برای هر آزمودنی است – D (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 339-340, Equation 11.1). از اینجا به بعد آزمون نمره‌های اصلی را نمی‌بیند بلکه فقط تفاوت‌ها را: میانگین آن‌ها، M_D، برآورد اثر است؛ انحراف معیار آن‌ها، s_D، می‌گوید اثر تا چه اندازه در میان آزمودنی‌ها همسان است. سؤال این است که آیا میانگین تفاوت‌ها در جامعه آماری، μ_D، صفر است. Field (2024، بخش 10.5.2، معادله‌های 10.6-10.7): t میانگین تفاوت‌ها تقسیم بر خطای استاندارد تفاوت‌هاست (s_D/√N) – "سیگنال تقسیم بر نویز": تفاوت مشاهده‌شده نسبت به آنچه منطقاً از دو نمونه تصادفی از یک جامعه به دست می‌آید. درجه آزادی: df = n − 1، وقتی واحد، زوج است (Gravetter & Wallnau, pp. 341-342).

چرا طرح زوجی قوی‌تر است. Gravetter و Wallnau (ص. 353-354، جدول 11.4) این را روی دقیقاً همان اعداد نشان می‌دهند: سه آزمودنی، تفاوت میانگین 5 نمره. به‌عنوان آزمون مستقل – واریانس درون هر شرط تفاوت‌های بزرگ بین افراد را در بر می‌گیرد (بیل 33، جان 18)، خطای استاندارد 5.77، t = 0.87، غیرمعنادار. به‌عنوان اندازه‌گیری‌های مکرر – تفاوت‌های بین افراد در تفاوت‌ها ناپدید می‌شوند (هر کس چند نمره کاهش یافت)، خطای استاندارد 1.15، t = −4.35، معنادار. هر آزمودنی گروه کنترل خودش است. Field (بخش 10.9.4) همین ایده را از راه همبستگی جدول 2 بیان می‌کند: هرچه اندازه‌گیری‌ها همبسته‌تر باشند، انحراف معیار تفاوت‌ها کوچک‌تر و آزمون حساس‌تر است.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

سه جدول همان سه جدول SPSS هستند (Pallant, 2020, Chapter 17; Field, 2024, Section 10.9.4):

جدول 1 – آمار توصیفی دو اندازه‌گیری (Paired Samples Statistics): میانگین، N، انحراف معیار و خطای استاندارد هر اندازه‌گیری، روی آزمودنی‌هایی که هر دو را دارند. Pallant "مرحله 2" را از اینجا آغاز می‌کند: پس از یافتن تفاوت معنادار، در این جدول دیده می‌شود در کدام جهت – کدام اندازه‌گیری بالاتر است. Field یادآوری می‌کند که اعداد اینجا با اعداد همان داده‌ها در طرح مستقل یکسان‌اند؛ آنچه تغییر می‌کند جدول 3 است.

جدول 2 – همبستگی (Paired Samples Correlations): همبستگی پیرسون بین دو اندازه‌گیری همراه با p. نزد Field (بخش 10.9.4) در مثال شنل نامرئی این همبستگی بالا و معنادار است (r = .806, p = .002) – همان‌طور که انتظار می‌رود، چون هر دو اندازه‌گیری از همان افراد آمده‌اند و افراد با خودشان همسان‌اند. نزد Pallant (فصل 17) r = .862 بین ترس از آمار در زمان 1 و زمان 2. همبستگی پایین خطا نیست، اما نشان می‌دهد که طرح زوجی تقریباً سودی نمی‌برد (Gravetter & Wallnau, p. 354) – و گاهی اینکه زوج‌سازی در فایل نادرست است.

جدول 3 – تفاوت‌ها (Paired Samples Test): میانگین تفاوت‌ها (M_D؛ نخست منهای دوم، مانند SPSS)، انحراف معیار تفاوت‌ها، خطای استاندارد آن‌ها، فاصله اطمینان 95% برای تفاوت، و سپس t، df و p دودامنه. Pallant (فصل 17، "مرحله 1"): نخست به ستون Sig. (2-tailed) نگاه می‌شود – کمتر از .05، تفاوت معنادار وجود دارد؛ t، df و تفاوت همراه با فاصله اطمینان یادداشت می‌شوند. Field (بخش 10.9.4) اعداد را تجزیه می‌کند: t = −1.25/0.329 = −3.804، df = N − 1 = 11، p = .003 – "فقط 0.3% احتمال برای چنین tای اگر میانگین تفاوت‌ها در جامعه آماری صفر باشد". علامت t و تفاوت فقط به ترتیبی بستگی دارد که انتخاب کرده‌اید: اگر اندازه‌گیری دوم بالاتر باشد، تفاوت منفی است. فاصله اطمینان. دامنه‌ای که در آن، با سطح اطمینان 95%، میانگین تفاوت‌ها در جامعه آماری قرار دارد (Gravetter & Wallnau, pp. 348-349, Equation 11.5): وقتی صفر را در بر می‌گیرد آزمون معنادار نیست، و برعکس – همان تصمیم به دو زبان. هرچه نمونه کوچک‌تر باشد، فاصله پهن‌تر است، و از این رو فاصله توصیفی از عدم قطعیت است و نه شاخصی خالص برای اندازه اثر (ص. 349).

اندازه اثر

معناداری همان اندازه نیست: در نمونه بزرگ حتی تغییری ناچیز هم معنادار می‌شود (Field, 2024, Section 3.7.3). جدول سه شاخص را چاپ می‌کند، چون سه منبع شاخص‌های متفاوتی گزارش می‌کنند – و صفحه همه آن‌ها را نمایش می‌دهد:

تفاوت در عمل: d_z همسانی تغییر را درون افراد اندازه می‌گیرد، و از این رو به همبستگی وابسته است – همبستگی بالا انحراف معیار تفاوت‌ها را کوچک و آن را بزرگ می‌کند؛ d تصحیح‌شده و مجذور اتا به آنچه در طرح مستقل به دست می‌آمد نزدیک‌ترند. کادر "تفسیر نتیجه" در خروجی هر سه را نمایش می‌دهد و می‌گوید آیا داستان یکسانی را روایت می‌کنند. Gravetter و Wallnau (ص. 350-351، شکل‌های 11.3-11.4) نشان می‌دهند: همان تفاوت میانگین 2 نمره با s = 2 اثری بزرگ و معنادار است، و با s = 6 – وقتی برخی بالا می‌روند و برخی پایین – معنادار نیست: "واریانس بزرگ الگوها را پنهان می‌کند".

مفروضه‌ها و هشدارها

دو مفروضه (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 346): مشاهدات درون هر شرط از یکدیگر مستقل‌اند (افراد متفاوت)، و توزیع تفاوت‌ها در جامعه آماری نرمال است. Field (2024، بخش 10.9.2) دقیق‌تر می‌گوید: آنچه اهمیت دارد توزیع تفاوت‌هاست، نه خود نمره‌ها – "ممکن است دو اندازه‌گیری آشکارا غیرنرمال تفاوت‌هایی بدهند که به‌خوبی توزیع شده‌اند"؛ از این رو اگر نرمال بودن بررسی می‌شود، ستون تفاوت محاسبه و همان بررسی می‌شود (صفحه فراوانی‌ها و آمار توصیفی؛ داده‌های پرت – صفحه داده‌های پرت و مفروضه‌ها). Pallant (فصل 17) و Gravetter و Wallnau (ص. 346) هم‌نظرند که در نمونه 30 زوج و بیشتر نقض مفروضه نگران‌کننده نیست؛ در نمونه کوچک با تفاوت‌های غیرنرمال – ویلکاکسون، یا فاصله‌های اطمینان bootstrap (Field, Section 10.9.5) و آزمون t استوار (Yuen) – که در این صفحه نیستند.

زوج‌سازی باید درست باشد. سطر همان آزمودنی است: دو اندازه‌گیری در یک سطر متعلق به یک فرد (یا یک زوج همتاشده) هستند. فایلی که فقط در یک ستون دوباره مرتب شده، زوج‌سازی را بدون هیچ پیام خطایی از بین می‌برد – همبستگی در جدول 2 آزمون سلامت است: همبستگی نزدیک صفر بین "پیش" و "پس" یک پرسشنامه تقریباً همیشه مشکل داده‌هاست.

مقادیر گمشده. آزمودنی‌ای که یکی از دو اندازه‌گیری را ندارد اصلاً وارد نمی‌شود – تفاوتی برای او وجود ندارد (/MISSING=ANALYSIS، پیش‌فرض SPSS)؛ صفحه گزارش می‌دهد چند نفر ریزش کرده‌اند. در طرح پیش-پس این ریزش است (attrition): اگر کسانی که ریزش کرده‌اند با کسانی که مانده‌اند تفاوت داشته باشند، مقایسه سوگیرانه است. با گمشده‌ها چه باید کرد – صفحه مقادیر گمشده.

ترتیب، زمان و تمرین. Gravetter و Wallnau (ص. 354-355): عیب اندازه‌گیری‌های مکرر این است که عواملی که با زمان تغییر می‌کنند – خلق، سلامت، آب‌وهوا – و تجربه اندازه‌گیری نخست (اثر تمرین، اثر ترتیب) می‌توانند نمره دوم را مستقل از مداخله تغییر دهند. راه‌حل طرحی: موازنه ترتیب (counterbalancing) – نیمی از آزمودنی‌ها به ترتیب الف-ب و نیمی ب-الف؛ وقتی اثرهای قوی زمان یا ترتیب انتظار می‌رود، طرح مستقل بهتر است. Pallant (فصل 17، "احتیاط"): تفاوت معنادار پیش-پس اثبات نمی‌کند که مداخله سبب آن بوده است – گذشت زمان و رویدادهای دیگر می‌توانند آن را توضیح دهند؛ یک گروه کنترل که مداخله را دریافت نکرده بود طرح را بهتر می‌کرد.

فاصله‌های اطمینان در نمودار. Field (بخش 10.9.2) هشدار می‌دهد: فاصله‌های اطمینان هر اندازه‌گیری به‌تنهایی زوج‌سازی را نادیده می‌گیرند، و در اندازه‌گیری‌های مکرر ممکن است حتی وقتی تفاوت بسیار معنادار است هم‌پوشانی داشته باشند (او تصحیحی بر اساس میانگین آزمودنی پیشنهاد می‌کند). نمودار این صفحه آن‌ها را به‌عنوان توصیف هر اندازه‌گیری نشان می‌دهد؛ فاصله تعیین‌کننده، فاصله اطمینان تفاوت در جدول 3 است.

آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. فاصله اطمینان برای d (SPSS 27 و بالاتر آن را چاپ می‌کند – Field، بخش 10.9.6)، bootstrap و آزمون t استوار (Yuen – Field, Section 10.9.5)، آزمون یک‌دامنه (Gravetter & Wallnau، ص. 345-346، مثال 11.3 – روال دومرحله‌ای)، تحلیل واریانس اندازه‌گیری‌های مکرر، Bayes factor (Field, Section 10.9.7)، و چند زوج با یک کلیک (SPSS امکان می‌دهد؛ اینجا هر بار یک زوج – و وقتی چند آزمون اجرا می‌شود، هر آزمون 5% خطر خطای نوع I دارد). جایگزین ناپارامتری، ویلکاکسون برای نمونه‌های زوجی – در صفحه خودش.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

یادداشت نسخه‌ها. این روال پایدار است؛ از نسخه 27 کادر گفت‌وگو شامل Estimate effect sizes است و جدول Paired Samples Effect Sizes را با Cohen's d و فاصله اطمینان چاپ می‌کند، و در آن انتخاب استانداردساز (Standardizer) نیز هست: انحراف معیار تفاوت‌ها (d_z، پیش‌فرض)، تصحیح‌شده برای همبستگی (d مورد نظر Field، بخش 10.9.3)، یا میانگین واریانس‌ها. Pallant (2020، بر اساس نسخه 26) می‌نویسد که SPSS "برای آزمون‌های t اندازه اثر ارائه نمی‌کند" و مجذور اتا را دستی محاسبه می‌کند. در نسخه‌های قدیمی – سطر /ES را از سینتکس حذف کنید.

روال (Pallant, 2020, Chapter 17; Field, 2024, Section 10.9.3): Analyze › Compare Means › Paired-Samples T Test… – دو متغیر را علامت بزنید (اولی، و سپس با Ctrl دومی) و آن‌ها را با هم به کادر Paired Variables منتقل کنید؛ ترتیب، جهت تفاوت را تعیین می‌کند (Variable1 − Variable2). در همان کادر گفت‌وگو می‌توان زوج‌های دیگری افزود. Options… – سطح فاصله اطمینان (95%) و نحوه برخورد با گمشده‌ها؛ Bootstrap… – فاصله‌های اطمینان BCa که نرمال بودن را فرض نمی‌کنند (Field, Section 10.9.5). سینتکس:

T-TEST PAIRS=עמדות_ציון WITH עמדות_ציון_2 (PAIRED)
  /ES DISPLAY(TRUE) STANDARDIZER(SD)
  /CRITERIA=CI(.9500)
  /MISSING=ANALYSIS.

خواندن خروجی. Paired Samples Statistics = جدول 1 (Mean, N, Std. Deviation, Std. Error Mean)؛ Paired Samples Correlations = جدول 2 (N, Correlation, Sig.؛ در SPSS 27 و بالاتر Two-Sided p)؛ Paired Samples Test = جدول 3 – زیر Paired Differences: Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean, 95% Confidence Interval of the Difference (Lower, Upper)، و سپس t, df, Sig. (2-tailed) (در 27 و بالاتر One-Sided p و Two-Sided p – مقدار دوطرفه گزارش می‌شود)؛ Paired Samples Effect Sizes – سطر Cohen's d، ستون Point Estimate، همان d_z در یادداشت جدول است (Hedges' correction – در این صفحه نیست). دکمه "دانلود سینتکس SPSS" در خروجی، بارگذاری، دفترچه متغیرها (اگر راهنمای کدها وجود داشت) و دستور T-TEST PAIRS را برای زوج انتخاب‌شده تولید می‌کند.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

در R پایه، t.test(x, y, paired = TRUE) جدول 3 را می‌دهد (تفاوت x − y)، و cor.test(x, y) جدول 2 را. R خودش سطرهایی را که یکی از اندازه‌گیری‌ها در آن‌ها گمشده است نادیده می‌گیرد (با paired = TRUE زوج را حذف می‌کند). d_z، d تصحیح‌شده و η² دستی از فرمول‌های راهنما محاسبه می‌شوند. این اسکریپت عیناً روی فایل نمونه اجرا شد و مقادیر جدول‌ها را داد (در توضیحات). قاعده سایت برای فارسی در R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و محیط UTF-8 برای نام‌های غیرلاتین (در Windows: R 4.2 و بالاتر، یا Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# آزمون t نمونه‌های زوجی – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים" (داده‌ها)
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_tpaired_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
ok <- complete.cases(d[["עמדות_ציון"]], d[["עמדות_ציון_2"]])   # فقط آزمودنی‌های دارای هر دو اندازه‌گیری (113 از 120)
x <- d[["עמדות_ציון"]][ok]; y <- d[["עמדות_ציון_2"]][ok]

# جدول 1 – آمار دو اندازه‌گیری
rbind(ראשונה = c(n = length(x), M = mean(x), SD = sd(x)), שנייה = c(n = length(y), M = mean(y), SD = sd(y)))
# نتیجه: نخست (ראשונה) n 113, M 3.262, SD 0.754؛ دوم (שנייה) n 113, M 3.412, SD 0.731

# جدول 2 – همبستگی بین اندازه‌گیری‌ها
cor.test(x, y)                       # نتیجه r = .852, p < .001

# جدول 3 – آزمون t زوجی (تفاوت = x − y)
t.test(x, y, paired = TRUE)          # نتیجه t = -3.94, df = 112, p < .001، تفاوت -0.150، فاصله اطمینان [-0.226, -0.075]

# اندازه اثر: dz، d تصحیح‌شده برای همبستگی، و مجذور اتا = t²/(t² + df)
D <- x - y; r <- cor(x, y)
mean(D) / sd(D)                                         # مقدار dz = -0.370
mean(D) / (sd(D) / sqrt(2 * (1 - r)))                   # مقدار d تصحیح‌شده = -0.202
tt <- t.test(x, y, paired = TRUE); unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))   # مجذور اتا = .122

گزارش نتایج

ابتدا یافته و سپس آماره‌ها گزارش می‌شوند: میانگین و انحراف معیار (یا خطای استاندارد) هر اندازه‌گیری، t با درجه آزادی در پرانتز، p دقیق، تفاوت با فاصله اطمینان، و اندازه اثر (Field, 2024, Section 10.10; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 349; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). مثال Pallant (2020، فصل 17): "کاهش آماری معناداری در نمره‌های FOST از زمان 1 (M = 40.17, SD = 5.16) به زمان 2 (M = 37.5, SD = 5.15) مشاهده شد، t(29) = 5.39, p < .001 (دودامنه). میانگین کاهش 2.67 بود، با فاصله اطمینان 95% از 1.66 تا 3.68. مجذور اتا (.50) نشان‌دهنده اندازه اثر بزرگ بود." مثال Field (بخش 10.10.1)، روی همان داده‌ها به‌عنوان طرح زوجی: "تفاوت، −1.25، BCa 95% CI [−1.75, −0.75]، معنادار بود، t(11) = −3.80, p = .003، و نشان‌دهنده اثری برابر با d = 0.68 [−1.19, −0.18] بود". Gravetter و Wallnau (ص. 349): "تغییر از یک واژه خنثی به دشنام، درد ادراک‌شده را به‌طور میانگین M = 2.00 نمره کاهش داد، SD = 2.00. اثر معنادار بود، t(8) = −3.00, p = .017, r² = 0.529" – و وقتی p دقیق از رایانه در دسترس است، همان گزارش می‌شود و نه p < .05.

قواعد قالب (APA, 2020, Section 6.36): t، تفاوت و d با صفر پیش از ممیز (می‌توانند از 1 بیشتر شوند)، p، r و η² بدون آن (نمی‌توانند). جمله‌های گزارش در خروجی به همین شکل ساخته شده‌اند، به فارسی و انگلیسی، با d_z؛ کسی که d تصحیح‌شده Field یا مجذور اتا را گزارش می‌کند – شاخص را از یادداشت جدول جایگزین می‌کند و می‌گوید کدام شاخص است.

اشتباهات رایج

آزمون مستقل روی اندازه‌گیری‌های مکرر. پیش-پس همان افراد استقلال را نقض می‌کند؛ آزمون مستقل روی همان داده‌ها مزیت زوج‌سازی را هم از دست می‌دهد – t = 0.87 به جای −4.35 در مثال Gravetter و Wallnau (ص. 353-354).

آزمون زوجی روی افراد متفاوت. برعکس: دو گروه جدا که در ستون‌های "پیش" و "پس" کنار هم چسبانده شده‌اند زوج نیستند؛ تفاوت‌ها بی‌معنا هستند. پرسش "چه کسی در سطر است" یک پاسخ دارد – همان آزمودنی (یا همان زوج همتاشده).

تفسیر تغییر به‌عنوان علیت. بدون گروه کنترل، گذشت زمان، رویدادهای دیگر و تمرین تبیین‌های جایگزین‌اند (Pallant, 2020, Chapter 17; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 354).

گزارش d بدون گفتن اینکه کدام. d_z و d تصحیح‌شده ممکن است روی همان داده‌ها دو برابر با هم تفاوت داشته باشند (−0.37 در برابر −0.20 در فایل نمونه)؛ استانداردساز ذکر می‌شود، و d_z با d طرح مستقل مقایسه نمی‌شود.

بررسی نرمال بودن اندازه‌گیری‌ها به جای تفاوت‌ها. مفروضه درباره تفاوت‌هاست (Field, 2024, Section 10.9.2).

تفسیر "غیرمعنادار" به‌عنوان "بدون تغییر". فاصله اطمینانی که صفر را در بر می‌گیرد می‌گوید که تغییر واقعی می‌تواند منفی، مثبت یا صفر باشد – نه اینکه صفر است. d_z و فاصله گزارش می‌شوند.

یک سری آزمون t روی سه اندازه‌گیری یا بیشتر. سه نوبت یعنی تحلیل واریانس اندازه‌گیری‌های مکرر (ANOVA اندازه‌گیری‌های مکرر)، نه سه آزمون t.

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Student (1908)، Yuen (1974) و Stephens، Atkins و Kingston (2009) – به نقل از Field (2024) و از Gravetter و Wallnau (2017). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که از اصل خوانده شده‌اند. Field (2024) و Pallant (2020) در نسخه دیجیتال با متن روان – ارجاع بر اساس بخش و فصل؛ Gravetter و Wallnau (2017)، Cohen (1988) و APA (2020) – بر اساس صفحه و بخش ویراست چاپی.