آزمون کروسکال-والیس

ماشین‌حساب

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها

راهنما

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی سه گروه یا بیشتر از آزمودنی‌های متفاوت و یک متغیر برای مقایسه میان آن‌ها وجود دارد – و تحلیل واریانس یک‌راهه مناسب نیست. Gravetter و Wallnau (2017, Appendix E.4) کروسکال-والیس را به‌عنوان جایگزین تحلیل واریانس یک‌راهه فصل 12 معرفی می‌کنند: "تحلیل واریانس به نمره‌های عددی نیاز دارد که از آن‌ها میانگین و واریانس محاسبه می‌شود؛ کروسکال-والیس فقط به این نیاز دارد که بتوان آزمودنی‌ها را رتبه‌بندی کرد" – و تعمیم مان-ویتنی از دو گروه به سه گروه و بیشتر است. گروه‌ها می‌توانند شرایط مداخله باشند (کودکانی که به‌تنهایی، در گروه، یا تحت نظارت نقاشی می‌کشند – و همه نقاشی‌ها با هم بر اساس خلاقیت رتبه‌بندی می‌شوند) یا جمعیت‌های موجود (کودکان 5، 6 و 7 ساله). Field (2024، بخش 7.6) آن را به‌عنوان آزمونی برای "چند گروه مستقل" در کنار آزمون فریدمن برای اندازه‌گیری‌های مکرر معرفی می‌کند، با مثال وعده‌های سویا و شمار اسپرم: چهار گروه 20 نفره از مردان، و بررسی داده‌ها (بخش 7.6.3) در هر گروه نمودار Q-Q منحرف از قطر، شاپیرو-ویلک معنادار (جز یک گروه)، و لوین معنادار را نشان می‌دهد – "داستانی غم‌انگیز: احتمالاً نرمال نیست و احتمالاً واریانس‌ها برابر نیستند". Pallant (2020، فصل 16): "جایگزین ناپارامتری تحلیل واریانس یک‌راهه بین‌آزمودنی… نمره‌ها به رتبه تبدیل می‌شوند، و میانگین رتبه هر گروه مقایسه می‌شود" – "آیا سطح خوش‌بینی در سه گروه سنی متفاوت است؟".

در این سایت جای طبیعی دو وضعیت اینجاست: یک گویه درجه‌بندی منفرد (لیکرت 1-5)، که طبق قرارداد سایت متغیری ترتیبی است و میانگین ندارد (متغیرها و مقیاس‌های اندازه‌گیری) – مقایسه میان چند گروه اینجا انجام می‌شود، یا در فراوانی‌ها و خی‌دو؛ و نمره مقیاس یا متغیر کمّی در گروه‌های کوچک یا همراه با داده‌های پرت، وقتی بررسی نرمال بودن (آزمون نرمال بودن، بر حسب گروه) یا نمودار جعبه‌ای توزیعی نشان می‌دهد که برای تحلیل واریانس معقول نیست. وقتی همه گروه‌ها بزرگ‌اند (30 و بیشتر) و داده‌ها کمّی‌اند، تحلیل واریانس یک‌راهه پیش‌فرض است – Gravetter و Wallnau: "اگر داده‌ها برای ANOVA یا یکی از آزمون‌های t مناسب باشند، آزمون استاندارد بر جایگزینِ داده‌های ترتیبی برتری دارد" (Appendix E.1) – و کروسکال-والیس به صلاحدید آن را تقویت یا جایگزین می‌کند؛ کادر "تفسیر نتیجه" می‌گوید در کدام وضعیت هستید. فقط دو گروه – آزمون یو مان-ویتنی (همان p، به‌علاوه U، p دقیق و دو شاخص اثر)؛ همان آزمودنی‌ها در چند اندازه‌گیری – آزمون فریدمن (Field, Section 7.7)، نه در این صفحه.

منطق: رتبه‌ها و H

مانند مان-ویتنی، همه نمره‌ها با هم از پایین‌ترین (رتبه 1) تا بالاترین رتبه‌بندی می‌شوند "بدون توجه به گروهی که نمره به آن تعلق دارد" (Field, 2024, Section 7.6.1)، و مقادیر یکسان میانگین رتبه‌هایشان را می‌گیرند (Section 7.4.1; Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.1). سپس "نمره‌ها دوباره در گروه‌ها جمع می‌شوند" و رتبه‌ها در هر گروه جمع زده می‌شوند – R_i نزد Field، T نزد Gravetter و Wallnau. اگر تفاوتی نباشد، رتبه‌های بالا و پایین میان گروه‌ها پخش می‌شوند و میانگین رتبه‌ها به میانگین رتبه کل (N + 1)/2 شبیه است؛ اگر یک گروه بالاتر باشد، رتبه‌های بالا در آن متمرکز می‌شوند. آماره پراکندگی مجموع رتبه‌ها را می‌سنجد: H = 12/(N(N + 1)) · Σ(R_i²/n_i) − 3(N + 1) (فرمول 7.26؛ پیوست E.4 – همان فرمول با T). در مثال سویا مجموع رتبه‌ها 927، 883، 883 و 547 است (گروهی که هفت بار در هفته سویا خورده – پایین‌ترین)، و H = 251.66 − 243 = 8.659 (فرمول 7.27)؛ در مثال E.2 از Gravetter و Wallnau (سه گروه پنج‌نفره، T = 39.5, 26.5, 54) – H = 3.785. داده‌های هر دو مثال جزو آزمون‌های صفحه‌اند.

معناداری. H تقریباً از توزیع خی‌دو با df = k − 1 پیروی می‌کند – تعداد گروه‌ها منهای یک (Field, Section 7.6.1; Gravetter & Wallnau, Appendix E.4). برای 4 گروه df = 3 و H = 8.659 مقدار p = .034 را می‌دهد؛ برای 3 گروه مقدار بحرانی در .05 برابر 5.99 است، و 3.785 از آن نمی‌گذرد – "داده‌ها شواهد کافی برای تفاوت میان سه مداخله فراهم نمی‌کنند". این تقریب دست‌کم پنج مشاهده در هر گروه لازم دارد (Gravetter & Wallnau). SPSS مقدار H را برای گره‌ها تصحیح می‌کند – پانوشت "The test statistic is adjusted for ties" در خروجی Pallant – با تقسیم بر C = 1 − Σ(t³ − t)/(N³ − N)؛ فرمول کتاب‌ها تصحیح نمی‌کند، و تفاوت در مثال E.2 (دو مقدار تکراری) 3.785 در برابر 3.819 است. صفحه مقدار تصحیح‌شده را چاپ می‌کند، و در یادداشت جدول مقدار تصحیح‌نشده را هم.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – رتبه‌ها و میانه‌ها. جدول Ranks در SPSS (N, Mean Rank) به‌علاوه مجموع رتبه‌ها، میانه، چارک‌ها و دامنه هر گروه. نخستین چیزی که خوانده می‌شود: میانگین رتبه – Pallant (2020، فصل 16): "میانگین رتبه گروه‌ها بررسی می‌شود… این می‌گوید کدام گروه بالاترین رتبه کلی را دارد، که با بالاترین نمره متناظر است"؛ در مثال او گروه سنی مسن‌تر (45+) با بالاترین میانگین رتبه – "بیشترین خوش‌بینی"، و جوان‌ترین – کمترین. در مثال سویا: 46.35، 44.15، 44.15 و 27.35 – سه گروه مشابه و یک گروه پایین. میانه همان چیزی است که به جای میانگین گزارش می‌شود (Field, 2024، بخش 7.6.8؛ Pallant آن را در گامی جداگانه با Means به دست می‌آورد: 22، 22 و 23).

جدول 2 – آزمون. در خروجی جدید SPSS: Total N، Test Statistic (این همان H است؛ Pallant: "خی‌دو، که به صورت Test Statistic نمایش داده می‌شود")، Degree of Freedom و Asymptotic Sig. (2-sided test)؛ در خروجی قدیمی – Chi-Square, df, Asymp. Sig.. قاعده (Field، نکته‌های Cramming Sam برای فصل 7): "به سطر Asymptotic Sig. نگاه کنید – مقدار .05 و کمتر معمولاً تفاوت معنادار میان گروه‌ها تلقی می‌شود". در مثال سویا H(3) = 8.66, p = .034 – "مردم معمولاً نتیجه می‌گیرند که میزان وعده‌های سویا به‌طور معنادار بر شمار اسپرم اثر می‌گذارد"؛ نزد Pallant χ²(2, n = 435) = 8.57, p = .014. اما آزمون کلی "می‌گوید شمار اسپرم در برخی از گروه‌ها متفاوت بوده، اما نه در کدام گروه‌ها" (Field, Section 7.6.5) – و جدول بعدی برای همین است.

نمودار جعبه‌ای همان چیزی است که خروجی جدید SPSS به آزمون پیوست می‌کند (خروجی 7.6): Field از آن می‌خواند که جعبه گروه هفت وعده کوچک‌تر است ("نمره‌ها فشرده‌ترند") و اینکه میانه آن "اندکی پایین‌تر از بقیه به نظر می‌رسد" – "شاید تفاوت میان گروه هفت وعده و بقیه باشد؟" – و داده‌های پرت (دایره‌های بالای سبیل‌ها) "چند مرد هستند که مقدار بسیار زیادی تولید کرده‌اند".

مقایسه‌های زوجی – جدول 3

"ساده‌ترین راه برای تجزیه اثر کلی مقایسه همه جفت‌های گروه‌هاست" (Field, 2024, Section 7.6.2) – در 4 گروه شش جفت. می‌شد شش آزمون مان-ویتنی اجرا کرد، اما "وقتی آزمون‌های زیادی روی همان داده‌ها انجام می‌شود، نرخ خطای خانوادگی افزایش می‌یابد" (بخش 2.10.8) – و از این رو p هر مقایسه چنان تصحیح می‌شود که در همه آزمون‌ها با هم خطر خطای نوع I در 5% باقی بماند. جدولی که صفحه چاپ می‌کند جدول Pairwise Comparisons در SPSS است (خروجی 7.7؛ نزد Pallant – Pairwise Comparisons of age 3 groups): برای هر جفت آماره تفاوت میانگین رتبه‌هاست – "برای 7 در برابر 1 وعده 44.15 − 27.35 = 16.80" – خطای استاندارد آن، z (Std. Test Statistic: "تفاوت‌ها با تقسیم بر خطای استاندارد به نمره z تبدیل می‌شوند، و p از آن‌ها به دست می‌آید"؛ برای 7 در برابر 1: z = 2.286, p = .022)، و دو مقدار p: Sig. و Adj. Sig. – p ضرب در تعداد مقایسه‌ها (تصحیح بونفرونی، پانوشت جدول)، تا سقف 1. Field: "ستون Adj. Sig. شامل p های تصحیح‌شده است، و همان‌ها را تفسیر می‌کنیم (هر قدر هم تفسیر ستون Sig. وسوسه‌انگیز باشد)". در مثال سویا هیچ مقدار تصحیح‌شده‌ای زیر .05 نیست – "هرچند مقایسه میان هفت وعده و صفر نزدیک می‌شود، p = .058، و این به ما یادآوری می‌کند که آزمون‌های معناداری تفکر سیاه‌وسفید را تشویق می‌کنند، و شاخص‌های اثر ممکن است کمک کنند": "با وجود اثر کلی معنادار، هیچ مقایسه مشخصی تفاوت معناداری را نشان نمی‌دهد". Pallant، در مقابل، ستون Sig. را مرور می‌کند ("به دنبال مقادیر زیر .05 می‌گردیم") و یک مقایسه معنادار می‌یابد، جوان‌ترها در برابر مسن‌ترها – هرچند در جدول او Sig. = .004 و Adj. Sig. = .011 است (هر دو معنادار؛ در متن او .002 چاپ شده است). قرارداد سایت: p تصحیح‌شده خوانده می‌شود، مانند Field و مانند SPSS؛ جدول مقدار تصحیح‌نشده را هم چاپ می‌کند. این مقایسه‌ها همان آزمونی‌اند که به آزمون Dunn معروف است – در R به این نام خوانده می‌شود (dunn_test)، و SPSS نامش را نمی‌برد.

SPSS روندی گام‌به‌گام هم پیشنهاد می‌کند (Stepwise step-down، خروجی 7.8): گروه‌ها بر اساس مجموع رتبه‌ها مرتب می‌شوند، و در هر گام بررسی می‌شود که آیا گروه بعدی با گروه‌های پیشین "هم‌ارز" است؛ نتیجه زیرمجموعه‌های همگن است، با تصحیحی کم‌سخت‌گیرتر – در مثال سویا گروه هفت وعده به‌تنهایی، و سه گروه دیگر با هم (p = .943). Field: "این روندها نسبتاً پیچیده‌اند، نگران نباشید اگر کاملاً آن‌ها را نمی‌فهمید". صفحه آن را محاسبه نمی‌کند ("آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند" را ببینید).

اندازه اثر – r_rb برای هر جفت

"راه آسانی برای تبدیل آماره کروسکال-والیس با بیش از یک درجه آزادی به شاخص اثر r وجود ندارد. اما چنین شاخص اثری به هر حال چندان سودمند نیست (زیرا اثری کلی را خلاصه می‌کند). در بیشتر موارد دانستن اندازه اثر یک مقایسه متمرکز جالب‌تر است" (Field, 2024, Section 7.6.7) – و از این رو Field برای هر جفت شاخص اثری محاسبه می‌کند: U آزمون مان-ویتنی روی دو گروه، و از آن r_rb = 1 − 2U/(n₁n₂) (فرمول 7.11؛ جدول 7.4). در مثال سویا اثرها "برای هفت وعده در برابر همه گروه‌های دیگر قابل‌توجه (و از نظر اندازه مشابه) و در حدود .5 هستند، اما برای مقایسه‌های میان گروه‌های دیگر ناچیز (r_rb < .1)" – .48، .39 و .44 در برابر .04، .06 و .02. برای به دست آوردن شش مقدار U در SPSS، Field شش NPAR TESTS /M-W را در سینتکس اجرا می‌کند ("تا اینکه از ملال بمیریم – خوشبختانه سینتکس دوست شماست")؛ صفحه آن‌ها را مستقیماً محاسبه می‌کند و در جدول 3 چاپ می‌کند. علامت جهت را می‌گوید: مثبت – گروه اول جفت بالاتر است (در جدول 7.4 از Field مقادیر بدون علامت چاپ شده‌اند)؛ و کادر "تفسیر نتیجه" آن را به درصد جفت‌های پشتیبان (Kerby, as cited in Field) و به یک واژه در خط‌کش Cohen (1988، ص. 79-83: .1 کوچک، .3 متوسط، .5 بزرگ – مانند صفحه مان-ویتنی) برمی‌گرداند. Pallant برای این آزمون شاخص اثری نمی‌آورد – در گزارش او میانه‌ها شاخص‌اند.

مفروضه‌ها و هشدارها

دو مفروضه کلی (Pallant, 2020, Chapter 16): نمونه‌گیری تصادفی، و مشاهدات مستقل – "تحلیل بین گروه‌ها، و از این رو در هر گروه افراد متفاوت"؛ همان آزمودنی‌ها در چند شرایط – آزمون فریدمن. پنج مشاهده در هر گروه. "یک مفروضه… برای توجیه استفاده از توزیع خی‌دو: هر شرایط باید دست‌کم پنج نمره داشته باشد" (Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.4)؛ صفحه هشدار می‌دهد، و SPSS در ماژول آزمون‌های دقیق p دقیق پیشنهاد می‌کند. توان. Field (کادر 7.1): رتبه‌ها اطلاعات مربوط به اندازه تفاوت‌ها را از دست می‌دهند، و از این رو وقتی مفروضه‌های آزمون پارامتری برقرارند آن آزمون قوی‌تر است؛ و وقتی برقرار نیستند، ادعای "آزمون‌های ناپارامتری توان کمتری دارند" تعریف‌نشده است. بررسی مقدماتی. Field (بخش 7.6.3) پیش از آزمون نرمال بودن را بر حسب گروه بررسی می‌کند (نمودارهای Q-Q، و در گروه‌های کوچک شاپیرو-ویلک هم – "اگر آزمون در نمونه‌ای چنین کوچک انحرافی را تشخیص داده، احتمالاً چشمگیر است") – صفحه آزمون نرمال بودن بر حسب گروه.

مقادیر گمشده. آزمودنی وقتی گنجانده می‌شود که در متغیر وابسته و در متغیر گروه‌بندی مقدار معتبر داشته باشد – حذف به تفکیک تحلیل (/MISSING ANALYSIS). آزمون‌های چندگانه. چند متغیر با یک کلیک چند آزمون کلی‌اند، هر کدام با 5% خطر خطای نوع I؛ تصحیح در جدول 3 فقط درون هر آزمون است. آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. روند گام‌به‌گام (Stepwise step-down)، آزمون میانه (نکته 7.3 از Field)، آزمون روند Jonckheere-Terpstra (بخش 7.6.6: "وقتی انتظار می‌رود میانه‌ها به ترتیب گروه‌ها بالا یا پایین بروند" – در مثال سویا J = 912, z = −2.48, p = .013)، p دقیق و Monte Carlo، شاخص اثر کلی (مجذور اتای H – در هیچ‌یک از منابع نیست)، و آزمون فریدمن برای اندازه‌گیری‌های مکرر.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

راه جدید (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 7.6.4): Analyze › Nonparametric Tests › Independent Samples… – در زبانه Objective گزینه Customize analysis انتخاب می‌شود؛ در Fields – متغیر وابسته به Test Fields و متغیر طبقه‌ای به Groups؛ در Settings – Customize tests، Kruskal-Wallis 1-way ANOVA، و در Multiple comparisons – All pairwise (یا Stepwise step-down)؛ پیش از آن، Pallant: در Edit › Options › Output گزینه Pivot tables and charts انتخاب شود. خروجی: Hypothesis Test Summary (فقط تصمیم)، و دوبار کلیک Independent-Samples Kruskal-Wallis Test Summary را همراه با نمودار جعبه‌ای و جدول Pairwise Comparisons باز می‌کند. میانه‌ها در خروجی نیستند – Pallant آن‌ها را با Analyze › Compare Means › Means و گزینه Median در Cell Statistics به دست می‌آورد.

سینتکسی که صفحه تولید می‌کند هر دو راه را در بر دارد: راه قدیمی (Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › K Independent Samples…، با Define Range برای کدها)، که Ranks و Test Statistics را مانند جدول‌های 1-2 چاپ می‌کند و در PSPP هم اجرا می‌شود؛ و راه جدید Pallant، که مقایسه‌های زوجی (جدول 3) را می‌افزاید:

NPAR TESTS
  /K-W=עמדות_ציון BY השכלה(1 4)
  /MISSING ANALYSIS.

NPTESTS
  /INDEPENDENT TEST (עמדות_ציון) GROUP (השכלה) KRUSKAL_WALLIS(COMPARE=PAIRWISE)
  /MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE
  /CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.

MEANS TABLES=עמדות_ציון BY השכלה
  /CELLS=COUNT MEDIAN.

خواندن خروجی. Ranks = جدول 1 (N, Mean Rank)؛ Test Statistics = جدول 2 (Chi-Square = H تصحیح‌شده برای گره‌ها، df, Asymp. Sig.)؛ Pairwise Comparisons = جدول 3 (Test Statistic, Std. Error, Std. Test Statistic, Sig., Adj. Sig. – توجه کنید که SPSS جفت‌ها را بر اساس میانگین رتبه مرتب می‌کند، و علامت آماره به نسخه بستگی دارد: در خروجی Field مثبت، در خروجی Pallant منفی؛ صفحه اولی منهای دومی را به ترتیب سطوح چاپ می‌کند)؛ MEANS – میانه‌ها. سینتکس در برابر PSPP (پیاده‌سازی آزاد) آزموده شده است: میانگین رتبه‌ها، H، df و p با جدول‌های 1-2 یکسان‌اند؛ NPTESTS در PSPP وجود ندارد.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

در R پایه kruskal.test(y, g) مقدار H ("Kruskal-Wallis chi-squared"، تصحیح‌شده برای گره‌ها مانند SPSS)، df و p را می‌دهد. مقایسه‌های زوجی SPSS را dunn_test از بسته rstatix با p.adjust.method = "bonferroni" می‌دهد – همان z و p (علامت z در آنجا دومی منهای اولی است)؛ و r_rb از wilcox.test برای هر جفت محاسبه می‌شود (W در R برابر n₁n₂ − U₁ است). اسکریپت عیناً روی فایل نمونه اجرا شد و مقادیر جدول‌ها را داد (در توضیحات). قاعده سایت برای R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و محیط UTF-8 برای نام‌های عبری فایل نمونه.

# آزمون کروسکال-والیس – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)    # خواندن اکسل
library(rstatix)   # مقایسه‌های زوجی Dunn با تصحیح بونفرونی (مانند NPTESTS در SPSS)

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_kw_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
ok <- !is.na(d[["עמדות_ציון"]]) & !is.na(d[["השכלה"]])
y <- d[["עמדות_ציון"]][ok]; g <- factor(d[["השכלה"]][ok])

# میانه و چارک‌ها (type = 6 = SPSS) و n برای هر گروه – جدول 1
do.call(rbind, tapply(y, g, function(v) c(n = length(v), Mdn = median(v), quantile(v, c(.25, .75), type = 6))))
                                                      # n 17/18/50/32; Mdn 3.38, 3.31, 3.06, 3.50

# رتبه‌ها: همه مقادیر با هم رتبه‌بندی می‌شوند (میانگین رتبه برای گره‌ها)؛ مجموع و میانگین رتبه برای هر گروه
r <- rank(y); cbind(sumRank = tapply(r, g, sum), meanRank = tapply(r, g, mean))   # 68.94, 57.94, 49.16, 69.69

# آزمون: H با تصحیح گره‌ها (مانند SPSS)، df = k − 1، p از خی‌دو – جدول 2
kruskal.test(y, g)                                   # chi-squared = 8.884, df = 3, p = .031

# مقایسه‌های زوجی: z، p و p تصحیح‌شده بونفرونی – جدول 3
dunn_test(data.frame(y = y, g = g), y ~ g, p.adjust.method = "bonferroni")   # 3 در برابر 4: z = 2.68, p = .007, تصحیح‌شده .045

# اندازه اثر برای هر جفت – r_rb = 1 − 2U1/(n1n2) (Field, 2024، جدول 7.4)؛ W در wilcox.test = n1n2 − U1
a <- y[g == "3"]; b <- y[g == "4"]
U1 <- length(a) * length(b) - wilcox.test(a, b, exact = FALSE)$statistic
1 - 2 * U1 / (length(a) * length(b))                 # −.345 (گروه 4 بالاتر)

# مثال Field (2024، جدول 7.3): چهار گروه 20 نفره – H(3) = 8.66, p = .034؛ 7 در برابر 1 وعده: z = 2.29, p = .022, تصحیح‌شده .133
# مثال E.2 از Gravetter و Wallnau: H = 3.785 بدون تصحیح گره‌ها (کتاب)؛ kruskal.test برای گره‌ها تصحیح می‌کند – 3.819
kruskal.test(list(c(14, 3, 21, 5, 16), c(2, 14, 9, 12, 5), c(26, 8, 14, 19, 20)))

گزارش نتایج

Field (2024، بخش 7.6.8): آماره H، درجه آزادی و معناداری گزارش می‌شوند – "شمار اسپرم به‌طور معنادار تحت تأثیر خوردن وعده‌های سویا قرار گرفت، H(3) = 8.66, p = .034" – و پس از آن آزمون‌های تعقیبی همراه با شاخص‌های اثر: "مقایسه‌های زوجی با p های تصحیح‌شده نشان داد که تفاوت معناداری وجود ندارد… بین هفت وعده و چهار (p = .133, r_rb = .44)، یک (p = .133, r_rb = .39) یا هیچ (p = .058, r_rb = .48)…". Pallant (2020، فصل 16) n هر گروه و میانه‌ها را می‌افزاید: "آزمون کروسکال-والیس تفاوت معناداری در سطوح خوش‌بینی میان سه گروه سنی نشان داد (گروه 1، n = 147: 18-29…)، χ²(2, n = 435) = 8.57, p = .014. گروه سنی مسن‌تر (45+) میانه‌ای به‌طور معنادار بالاتر (Md = 23) از جوان‌ترین گروه… (Md = 22) ثبت کرد". Gravetter و Wallnau (Appendix E.4): "قالب استانداردی وجود ندارد… گزارش باید شامل خلاصه‌ای از داده‌ها، مقدار خی‌دو، df، N و p باشد" – "H = 3.785 (2, N = 15), p > .05". جمله‌های گزارش خروجی هر سه را با هم ترکیب می‌کنند ("هم این و هم آن"): n و میانه برای هر گروه، H(df, N) = …, p، و پس از آزمون کلی معنادار – جفت‌های معنادار با z، p تصحیح‌شده و r_rb. قواعد قالب (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p و r_rb بدون صفر پیش از نقطه؛ H و z با صفر.

اشتباهات رایج

توقف در آزمون کلی. H معنادار می‌گوید تفاوتی هست، نه اینکه میان کدام گروه‌ها (Field, 2024, Section 7.6.2) – مقایسه‌های زوجی گزارش می‌شوند.

خواندن Sig. به جای Adj. Sig. شش آزمون روی همان داده‌ها – بدون تصحیح، "دست‌کم یک خطای نوع I در بیش از 5% موارد" (Field; Section 2.10.8). Pallant مقدار Sig. را می‌خواند؛ قرارداد سایت – مقدار تصحیح‌شده.

تفسیر "هیچ جفتی معنادار نیست" به‌عنوان "اثری وجود ندارد". در مثال سویا آزمون کلی معنادار است، هیچ جفتی معنادار نیست، و r_rb ≈ .5 برای هفت وعده در برابر همه بقیه (Field, Section 7.6.7) – اثر گزارش می‌شود.

گزارش میانگین‌ها. آزمون روی رتبه‌هاست؛ میانه‌ها گزارش می‌شوند (Field, Section 7.6.8; Pallant, 2020, Chapter 16).

مقایسه z صفحه با z در R یا SPSS بدون بررسی علامت. قدر مطلق یکسان است؛ علامت به ترتیب جفت و به نرم‌افزار بستگی دارد.

گروه‌های دو-سه نفره. تقریب خی‌دو پنج آزمودنی در هر گروه لازم دارد (Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.4).

گریختن به کروسکال-والیس هر بار که آزمون نرمال بودن معنادار است. در گروه‌های بزرگ قضیه حد مرکزی پشتیبان تحلیل واریانس است (Field, 2024، بخش 6.2.7؛ صفحه آزمون نرمال بودن) – و رتبه‌ها اندازه تفاوت‌ها را از دست می‌دهند (کادر 7.1).

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Kruskal و Wallis (1952)، Jonckheere (1954)، Terpstra (1952) و Kerby (2014) – به نقل از Field (2024). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که اصل آن‌ها خوانده شده است؛ Gravetter و Wallnau (2017, Appendix E, pp. 687-697)، Cohen (1988، ص. 79-83 – قراردادهای r)، Pallant (2020) و APA (2020) – بر اساس صفحه، فصل و بخش ویراست چاپی؛ Field (2024) در نسخه دیجیتال با متن روان – بر اساس بخش، فرمول، جدول و خروجی (جدول 7.3 او، 80 آزمودنی، فایل آزمون صفحه است). سینتکس – در برابر PSPP تأیید شده؛ R در 4.3.3 با rstatix 0.7.2 اجرا شد.