روش سطح پاسخ

سطح پاسخ چیست، و چه زمانی از آن استفاده می‌شود

روش سطح پاسخ (Response Surface Methodology, RSM) "مجموعه‌ای از فنون ریاضی و آماری" برای ساختن مدل پاسخی است که به چند متغیر وابسته است، وقتی که "هدف بهینه‌سازی پاسخ است" (Montgomery, 2020, p. 408). میانگین پاسخ تابعی از عامل‌ها است، η = f(x₁, x₂)، و نمودار آن "سطح پاسخ" است؛ این سطح در نقشه پربندی پاسخ نمایش داده می‌شود – "خطوط پاسخ ثابت" در صفحه دو عامل (ص. 408-409).

تفاوت با تحلیل واریانس معمولی: در آنجا عامل‌ها طبقه‌ای‌اند، و پرسیده می‌شود آیا میانگین‌ها متفاوت‌اند. اینجا عامل‌ها کمّی و پیوسته‌اند – طول جلسه، تعداد تمرین‌ها، دوز، دما – و پرسیده می‌شود کجای دامنه آن‌ها پاسخ بهترین است، و در کدام جهت باید پیش رفت. f واقعی را نمی‌دانیم، و از این رو آن را با یک چندجمله‌ای تقریب می‌زنیم: درجه اول (معادله 11.1) یا درجه دوم (11.2؛ ص. 409). این فقط تقریبی موضعی است – "بعید است که یک چندجمله‌ای در کل فضا تقریب معقولی باشد"، اما "در ناحیه‌ای نسبتاً کوچک معمولاً به خوبی کار می‌کند" (ص. 409).

مثال‌های Montgomery از مهندسی شیمی می‌آیند – زمان واکنش و دما در برابر بازده. همین منطق برای هر پژوهشی که در آن پژوهشگر سطوح متغیرهای پیوسته را تعیین می‌کند مناسب است: طول و بسامد مداخله، دوز، تعداد گویه‌ها، زمان مواجهه. فایل نمونه این صفحه – داده‌های ساختگی درباره جلسه تمرین – به همین شکل ساخته شده است.

کار مرحله‌به‌مرحله

"RSM رویه‌ای متوالی است" (Montgomery, 2020, p. 410). وقتی از نقطه بهینه دوریم، سطح تقریباً انحنایی ندارد و مدل درجه اول کافی است؛ با آن به سوی نقطه بهینه بالا می‌رویم. نزدیک نقطه بهینه انحنا ظاهر می‌شود، و برای یافتن آن مدل درجه دوم برازش داده می‌شود – مانند "بالا رفتن از تپه" (ص. 410). این ماشین‌حساب برای هر دو مرحله ساخته شده است: مدل خطی با مسیر تندترین صعود، و مدل درجه دوم با نقطه ایستا.

در مرحله اول یک آزمایش 2^k (یا کسری از آن) با چند نقطه مرکزی کافی است. نقاط مرکزی سه کار را ممکن می‌کنند: برآورد خطا، بررسی تعامل‌ها، و بررسی انحنا (ص. 412). بررسی انحنا با یک درجه آزادی است: اگر سطح مسطح باشد، میانگین نقاط فاکتوریل ȳ_F برابر میانگین نقاط مرکزی ȳ_C است؛ تفاوت آن‌ها Σβ_jj را برآورد می‌کند، و SS = n_Fn_C(ȳ_F − ȳ_C)²/(n_F + n_C) در برابر خطای خالص آزمون می‌شود (ص. 413). این صفحه آن را وقتی محاسبه می‌کند که داده‌ها دقیقاً 2^k با نقاط مرکزی باشند، و باقیمانده‌های مدل خطی را به تعامل‌ها، درجه دوم خالص و خطای خالص تفکیک می‌کند – مانند جدول‌های 11.2 و 11.5 (ص. 413، 415).

مسیر تندترین صعود

"روش تندترین صعود رویه‌ای برای حرکت متوالی در جهت بیشترین افزایش پاسخ است"؛ برای کمینه‌سازی – تندترین نزول (Montgomery, 2020, p. 411). جهت عمود بر خطوط پربندی مدل خطی است، و "گام‌ها در طول مسیر متناسب با ضرایب رگرسیون‌اند" (ص. 411). الگوریتم (ص. 415): اندازه گام Δx_j در یک عامل انتخاب می‌شود – "معمولاً عاملی که بیشترین اطلاع را درباره‌اش داریم، یا عاملی که بزرگ‌ترین ضریب را از نظر قدر مطلق دارد"؛ در هر عامل دیگر Δx_i = b_i/(b_j/Δx_j)؛ و به واحدهای طبیعی تبدیل می‌شود. در مثال 11.1 گام 5 دقیقه در زمان و 2 درجه در دما است (ص. 416).

"اندازه واقعی گام را آزمایشگر، بر اساس دانش درباره فرایند، تعیین می‌کند" (ص. 411). آزمایش‌ها در طول مسیر اجرا می‌شوند "تا زمانی که دیگر افزایشی در پاسخ دیده نشود"، و در آنجا مدل خطی جدیدی برازش داده می‌شود؛ رسیدن به نزدیکی نقطه بهینه "معمولاً با عدم برازش مدل درجه اول مشخص می‌شود" (ص. 411). در مثال 11.1 پاسخ تا گام دهم بالا رفت و پس از آن پایین آمد (ص. 413-414)، و مدل جدید حول گام دهم انحنای معناداری نشان داد – "مدل درجه اول تقریب مناسبی نیست" (ص. 414). در این صفحه – عامل پایه، اندازه گام و تعداد گام‌ها انتخاب می‌شود، و جدول مسیر را به واحدهای کدگذاری‌شده و طبیعی می‌دهد، با پیش‌بینی فقط درون دامنه داده‌ها.

مدل درجه دوم: نقطه ایستا و تحلیل کانونی

به نماد ماتریسی، ŷ = b₀ + x'b + x'Bx (معادله 11.5): b – بردار ضرایب خطی، و B – ماتریسی متقارن با ضرایب درجه دوم روی قطر و نصف ضرایب تعامل بیرون از آن (Montgomery, 2020, pp. 417-418). نقطه ایستا – جایی که همه مشتق‌ها صفر می‌شوند – x_s = −½B⁻¹b است، و پاسخ در آن ŷ_s = b₀ + ½x_s'b (معادله‌های 11.7-11.8، ص. 418). این نقطه "می‌تواند نقطه بیشینه، کمینه یا زین‌اسبی باشد" (ص. 416).

برای دانستن اینکه کدام است، به صورت کانونی می‌رویم: مبدأ به نقطه ایستا منتقل می‌شود و محورها به محورهای اصلی سطح چرخانده می‌شوند، و بدین ترتیب ŷ = ŷ_s + λ₁w₁² + … + λ_kw_k² (معادله 11.9)، که در آن λها مقادیر ویژه B هستند (ص. 418). همه منفی – بیشینه؛ همه مثبت – کمینه؛ با علامت‌های مختلط – زین‌اسبی؛ و "سطح در جهت w_iای که |λ_i| آن بزرگ‌ترین است تندترین است" (ص. 418). محورهای جدید w = M'(x − x_s) هستند، که در آن M – بردارهای ویژه نرمال‌شده است (معادله 11.10، ص. 423). در مثال 11.2 از Montgomery: x_s = (0.389, 0.306)، یعنی 87 دقیقه و 176.5 درجه، ŷ_s = 80.21، و هر دو مقدار ویژه منفی (−0.963، −1.414) – بیشینه (ص. 420)؛ این صفحه همه این اعداد را بازتولید می‌کند.

ستیغ‌ها. وقتی یکی از مقادیر ویژه نزدیک صفر است، پاسخ نسبت به حرکت در طول محور آن "تقریباً حساس نیست" (ص. 424). اگر نقطه ایستا درون ناحیه آزمایش باشد – این "ستیغ ایستا" است: خطی از نقاط تقریباً برابر، و انعطاف برای انتخاب میان آن‌ها بر اساس هزینه یا سهولت. اگر بسیار بیرون از ناحیه باشد – ستیغ صعودی (یا نزولی): "نمی‌توان درباره سطح واقعی یا نقطه ایستا نتیجه‌ای گرفت"، اما ارزش دارد در جهت محور مسطح بیشتر کاوش شود (ص. 424-425). این صفحه مقدار ویژه‌ای را که کوچک‌تر از یک‌دهم بزرگ‌ترین مقدار ویژه از نظر قدر مطلق باشد علامت‌گذاری می‌کند – آستانه canonical در بسته rsm (قرارداد سایت) – و وقتی نقطه بیرون از دامنه داده‌ها است اطلاع می‌دهد.

چند پاسخ. وقتی چند پاسخ وجود دارد، برای هر یک مدلی برازش داده می‌شود و ترکیبی جست‌وجو می‌شود که همه را برآورده کند – با هم‌پوشانی نقشه‌های پربندی، با بهینه‌سازی مقید، یا با تابع مطلوبیت (desirability) که همه پاسخ‌ها را در یک شاخص ترکیب می‌کند (ص. 425-429). این صفحه در هر اجرا یک پاسخ را تحلیل می‌کند؛ برای چند پاسخ – برای هر کدام جداگانه اجرا کنید و نقشه‌ها را مقایسه کنید.

کدام طرح؟

برای مدل درجه اول – 2^k یا کسری که در آن اثرهای اصلی با یکدیگر هم‌نام (alias) نیستند؛ نقاط مرکزی ضرایب خطی و تعامد را تغییر نمی‌دهند، و برآوردی از خطا اضافه می‌کنند (Montgomery, 2020, p. 430). در صفحه "طراحی آزمایش‌ها" – 2^k و طرح‌های کسری.

طرح مرکب مرکزی (CCD) – "محبوب‌ترین دسته" برای مدل درجه دوم (ص. 430): 2^k (یا کسری با تفکیک‌پذیری V) با n_F اجرا، 2k نقطه محوری در ±α روی هر محور، و n_C نقطه مرکزی (ص. 431). برای ساخت متوالی مناسب است: ابتدا 2^k با نقاط مرکزی اجرا می‌شود، و اگر عدم برازش وجود داشت – نقاط محوری افزوده می‌شوند (ص. 431). دو تصمیم: α و تعداد نقاط مرکزی.

• چرخش‌پذیر – α = n_F^1/4 (1.414 برای k = 2، 1.682 برای k = 3): واریانس پیش‌بینی در همه نقاطی که به یک فاصله از مرکزند برابر است – "واریانس پاسخ پیش‌بینی‌شده روی کره‌ها ثابت است" (ص. 431-432).
• کروی – α = √k: همه نقاط روی یک کره؛ برای ناحیه کروی این انتخاب خوبی از نظر واریانس پیش‌بینی است، و "چرخش‌پذیری دقیق برای خوب بودن طرح اهمیتی ندارد" (ص. 432). سه تا پنج نقطه مرکزی توصیه می‌شود (ص. 432).
• مرکز وجوه – α = 1: فقط سه سطح، برای ناحیه مکعبی، وقتی نمی‌توان از دامنه بیرون رفت؛ چرخش‌پذیر نیست، و "دو یا سه" نقطه مرکزی کافی است (ص. 433).
• بلوک‌بندی متعامد – وقتی بخش فاکتوریل و بخش محوری در زمان‌های مختلف اجرا می‌شوند، دو بلوک هستند. طرح وقتی "به طور متعامد بلوک‌بندی شده" است که اثر بلوک‌ها بر ضرایب تأثیر نگذارد (ص. 437)؛ در CCD این وقتی رخ می‌دهد که α = [n_F(n_A + n_CA)/(2(n_F + n_CF))]^1/2 (معادله 11.18، ص. 439). می‌توان "از چرخش‌پذیری یا بلوک‌بندی متعامد اندکی صرف‌نظر کرد بدون اینکه اطلاعات زیادی از دست برود" (ص. 439). فقط نقاط مرکزی که در همان بلوک اجرا شده‌اند تکرار به شمار می‌آیند (ص. 440).

Box-Behnken – طرحی سه‌سطحی، "ترکیبی از 2^k با طرح‌های بلوکی ناکامل": هر زوج عامل در ±1 و بقیه در مرکز، به‌علاوه نقاط مرکزی. این طرح "از نظر تعداد اجراها بسیار کارآمد"، "چرخش‌پذیر یا تقریباً چرخش‌پذیر" است، همه نقاطش روی کره‌ای به شعاع √2 قرار دارند، و گوشه ندارد – مزیتی وقتی ترکیب حدی همه عامل‌ها پرهزینه یا ناممکن است (ص. 432؛ جدول 11.8 برای k = 3، ص. 433). در این صفحه – k = 3 تا 5، با همان ساختار.

در طراحی، این صفحه واریانس پیش‌بینی استانداردشده N·x'(X'X)⁻¹x (معادله 11.16، ص. 436) را در مرکز، در یک نقطه فاکتوریل و در یک نقطه محوری نشان می‌دهد – در طرح چرخش‌پذیر دو مورد آخر وقتی به یک فاصله باشند برابرند. طرح‌های بهینه (D، I)، طرح‌های آمیزه و طرح‌های آزمایش‌های رایانه‌ای (ص. 440-472) – در این صفحه نیستند.

آیا مدل مناسب است؟

عدم برازش در برابر خطای خالص. باقیمانده‌های مدل به دو بخش تفکیک می‌شوند: خطای خالص – واریانس بین اجراهای تکراری در یک نقطه، که به مدل وابسته نیست؛ و عدم برازش – آنچه باقی می‌ماند. اگر عدم برازش از خطای خالص بزرگ‌تر باشد، مدل چیزی را از دست می‌دهد (Montgomery, 2020, Tables 11.2, 11.5 and 11.7). از این رو نقاط مرکزی مهم‌اند: بدون تکرار نه خطای خالص هست و نه این آزمون.

مقایسه مدل‌ها. جدول 1 در خروجی سه مدل را مقایسه می‌کند – خطی، با تعامل‌ها، و درجه دوم – مانند "Model Summary Statistics" و "Lack of Fit Tests" نزد Montgomery (جدول 11.7، ص. 421): انحراف معیار باقیمانده‌ها، R²، R² تعدیل‌شده، R² پیش‌بینی و PRESS، و عدم برازش. در مثال 11.2 مدل خطی و مدل با تعامل‌ها شکست می‌خورند (R² پیش‌بینی منفی، عدم برازش معنادار)، و مدل درجه دوم مناسب است (R² پیش‌بینی .918، عدم برازش غیرمعنادار، p = .290). R² پیش‌بینی بر PRESS تکیه دارد – مجموع مجذور باقیمانده‌ها وقتی هر اجرا بدون خودش پیش‌بینی می‌شود.

تشخیص. مانند هر رگرسیونی – باقیمانده‌ها، اهرم و تأثیر (جدول 11.7، ص. 422). در این صفحه – جدول تشخیصی تاشده در انتهای خروجی.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

در طراحی: جدول 1 – طرح و ویژگی‌های آن: بخش‌ها، α، تعداد اجراها و ضرایب، درجه‌های آزادی عدم برازش و خطای خالص، بلوک‌بندی، و واریانس پیش‌بینی. جدول 2 – برگه اجرا با ترتیب تصادفی، با مقادیر کدگذاری‌شده و طبیعی. نمودار 1 – نقاط طرح. فایل دانلودی اکسل شامل راهنمای کدها با کدگذاری است، و این صفحه در تحلیل آن را دوباره می‌خواند.

در تحلیل: پیش از اجرا – جدول کدگذاری: برای هر عامل مرکز و نیم‌دامنه (x = (ξ − مرکز)/نیم‌دامنه)، از راهنمای کدها یا بر اساس مقادیر. جدول 1 – مقایسه مدل‌ها. جدول 2 – تحلیل واریانس مدل انتخاب‌شده: هر جمله با مجموع مجذورات جزئی، و باقیمانده‌هایی که به عدم برازش و خطای خالص تفکیک می‌شوند. جدول 3 – ضرایب به واحدهای کدگذاری‌شده، با فاصله‌های اطمینان و VIF، و زیر آن معادله به واحدهای اصلی. در مدل درجه دوم – جدول 4، نقطه ایستا، و جدول 5، تحلیل کانونی؛ در مدل خطی – مسیر تندترین صعود. نمودار – نقشه پربندی پاسخ برای هر زوج عامل، در حالی که بقیه در مرکز یا در نقطه ایستا هستند. پس از آن – پیش‌بینی در یک نقطه با فاصله اطمینان و فاصله پیش‌بینی، جدول تشخیصی، بند یافته‌ها و کادر "تفسیر نتیجه".

مفروضه‌ها و هشدارها

تقریب موضعی است. چندجمله‌ای برای ناحیه‌ای که بررسی شده مناسب است، نه فراتر از آن (Montgomery, 2020, p. 409). هر پیش‌بینی بیرون از نقاط طرح برون‌یابی است؛ این صفحه پیش‌بینی‌های مسیر را بیرون از دامنه محاسبه نمی‌کند، و وقتی نقطه ایستا بیرون از آن است هشدار می‌دهد. تحلیل نقطه ایستا فرض می‌کند که این نقطه "درون ناحیه کاوش" است (ص. 418).

تصادفی‌سازی. مانند هر آزمایشی، ترتیب اجرا تصادفی است – برگه اجرایی که این صفحه می‌سازد. مفروضه‌های مربوط به خطا همان مفروضه‌های رگرسیون معمولی است: مستقل، با واریانس برابر، با توزیع نزدیک به نرمال – در باقیمانده‌ها بررسی می‌شوند.

کدگذاری. ضرایب، نقطه ایستا و تحلیل کانونی – به واحدهای کدگذاری‌شده، مانند Montgomery. معادله به واحدهای اصلی هم‌ارز است، اما ضرایب آن به واحدها وابسته‌اند و نباید آن‌ها را با هم مقایسه کرد (ص. 422). مقادیر ویژه به کدگذاری وابسته‌اند؛ کدگذاری‌ای که در آن ±1 سطوح فاکتوریل باشد معنای آن‌ها را حفظ می‌کند.

آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. طرح‌های بهینه (D، I، G)، طرح‌های آمیزه، آزمایش‌های رایانه‌ای، EVOP (Montgomery, 2020, Sections 11.4.4-11.7)، تابع مطلوبیت برای چند پاسخ، آزمایش‌های 3^k (فصل 9) و طرح‌های استوار (فصل 12). در صفحه "طراحی آزمایش‌ها" – عامل‌های طبقه‌ای، 2^k و طرح‌های کسری؛ و در صفحه "عامل‌های تصادفی، آشیانه‌ای و کرت‌های خردشده" – طرح‌هایی با محدودیت در تصادفی‌سازی.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

در SPSS Statistics رویه‌ای برای سطح پاسخ وجود ندارد. متغیرهای کدگذاری‌شده، حاصل‌ضرب‌ها و مجذورهای آن‌ها در Transform › Compute Variable محاسبه می‌شوند، و Analyze › General Linear Model › Univariate با همه آن‌ها به عنوان Covariates، با مجموع مجذورات نوع III – همان SSهای جزئی جدول 2 – و با Lack of fit در Options اجرا می‌شود. سینتکسی که این صفحه تولید می‌کند دقیقاً همین کار را انجام می‌دهد (COMPUTE و سپس UNIANOVA … WITH … /PRINT=PARAMETER LOF). نقطه ایستا، تحلیل کانونی و نقشه‌ها را SPSS محاسبه نمی‌کند – برای آن‌ها R یا این صفحه لازم است. بدون بلوک‌ها، سینتکس REGRESSION را هم با همان جمله‌ها اضافه می‌کند – با همان ضرایب. مسیرها اطلاعات کلی درباره نرم‌افزارند، و سینتکس در SPSS اجرا نشده است. در PSPP، نرم‌افزار آزادی که سینتکس SPSS را می‌خواند، UNIANOVA وجود ندارد؛ بخش REGRESSION را در آن روی فایل نمونه اجرا کردیم، و ضرایب با این صفحه یکسان‌اند.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

بسته rsm: coded.data برای کدگذاری، rsm با FO، TWI، PQ یا SO برای مدل، و summary ضرایب و تحلیل واریانس بر حسب گروه‌ها با عدم برازش و خطای خالص را می‌دهد؛ canonical – نقطه ایستا و مقادیر ویژه؛ contour – نقشه‌ها؛ ccd و bbd – طرح‌ها. canonical پیش از محاسبه نقطه، مقادیر ویژه کوچک‌تر از یک‌دهم بزرگ‌ترین مقدار را صفر می‌کند، و از این رو در سطحی با ستیغ نقطه آن با −½B⁻¹b پیشنهادی Montgomery که در این صفحه است تفاوت دارد. مسیر صعود steepest با فاصله یکنواخت اندازه‌گیری می‌شود و نه بر اساس گام در یک عامل. اسکریپت بدون تغییر روی فایل نمونه انگلیسی اجرا شد، و مقادیر توضیحات با این صفحه یکسان‌اند. قاعده سایت برای R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و نام متغیرها به انگلیسی.

# روش سطح پاسخ – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل
library(rsm)      # روش سطح پاسخ (install.packages("rsm"))

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = اجرا؛ کاربرگ "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_rsm_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))

# کدگذاری: x = (ξ − مرکز)/نیم‌دامنه – سطوح فاکتوریل به 1− و 1+ تبدیل می‌شوند
cd <- coded.data(d, x1 ~ (lesson_length - 45) / 10, x2 ~ (practice_items - 10) / 3, x3 ~ (review_weeks - 3) / 1)

# مدل درجه دوم: جدول rsm – FO، TWI، PQ، باقیمانده‌ها، عدم برازش و خطای خالص
fit <- rsm(retention ~ SO(x1, x2, x3), data = cd)
summary(fit)       # ضرایب: b0 71.74; x1 4.26, x2 −2.68, x3 1.69; x1:x2 1.10, x1:x3 0.23, x2:x3 −1.68; x1² −3.26, x2² −2.57, x3² −1.68; عدم برازش: F(5, 5) = 0.89, p = .551

# مقدار SS جزئی برای هر جمله (جدول 2 در صفحه): ستون‌های صریح، و سپس drop1 – هر جمله پس از همه جمله‌های دیگر
e <- transform(as.data.frame(cd), x12 = x1 * x2, x13 = x1 * x3, x23 = x2 * x3, x1q = x1^2, x2q = x2^2, x3q = x3^2)
drop1(lm(retention ~ x1 + x2 + x3 + x12 + x13 + x23 + x1q + x2q + x3q, data = e), test = "F")   # مقدار x1 F = 123.97 … x3q F = 21.07

# نقطه ایستا و مقادیر ویژه (جدول 4 در صفحه)
canonical(fit)     # مقدار xs = 0.568, −0.687, 0.883؛ به واحدهای اصلی 50.7 دقیقه، 7.9 تمرین، 3.9 هفته؛ مقادیر ویژه −1.16, −2.64, −3.71 – بیشینه

# نقشه پربندی پاسخ برای دو عامل نخست، در حالی که سومی در نقطه ایستا است
contour(fit, ~ x1 + x2, image = TRUE, at = canonical(fit)$xs)

# مقایسه مدل‌ها (جدول 1 در صفحه): R² تعدیل‌شده و PRESS
for (f in list(retention ~ FO(x1, x2, x3), retention ~ FO(x1, x2, x3) + TWI(x1, x2, x3), retention ~ SO(x1, x2, x3))) {
  m <- rsm(f, data = cd)
  cat(sprintf("%-45s adjR2 = %.3f  PRESS = %.2f\n", deparse(f), summary(m)$adj.r.squared, sum((resid(m) / (1 - hatvalues(m)))^2)))
}   # مقدار R² تعدیل‌شده .482 / .432 / .944؛ PRESS 423.72 / 625.07 / 88.27

گزارش نتایج

گزارش باید امکان بازسازی طرح و تحلیل را بدهد: نوع طرح (CCD، و α آن؛ Box-Behnken)، عامل‌ها و دامنه‌های آن‌ها، کدگذاری، تعداد نقاط مرکزی و بلوک‌ها، و تعداد اجراها؛ مدل انتخاب‌شده و دلیل آن (عدم برازش، R² تعدیل‌شده و R² پیش‌بینی)؛ جدول ضرایب؛ و در صورت وجود – نقطه ایستا به واحدهای اصلی، پاسخ پیش‌بینی‌شده در آن و ماهیت آن (مقادیر ویژه). APA (2020، بخش 6.43) "اطلاعات کافی برای اینکه خواننده بتواند تحلیل‌ها را تأیید کند" می‌خواهد. قواعد شکلی (بخش 6.36): R² و p بدون صفر پیش از نقطه؛ ضرایب، میانگین‌ها و مقادیر ویژه – با صفر. بند یافته‌ها در خروجی به همین شکل ساخته شده است، به فارسی و انگلیسی؛ و پیش از پذیرفتن نقطه – اجراهای تأییدی در آن انجام می‌شود.

اشتباهات رایج

"هر بار یک عامل". هر عامل جداگانه جابه‌جا می‌شود و تعامل‌ها و جهت واقعی بهبود از دست می‌روند – تندترین مسیر همه عامل‌ها را با هم، به تناسب ضرایب، تغییر می‌دهد (Montgomery, 2020, p. 415).

مدل درجه دوم از طرحی که از آن پشتیبانی نمی‌کند. در 2^k با نقاط مرکزی همه جمله‌های درجه دوم یکسان‌اند، و نمی‌توان آن‌ها را جداگانه برآورد کرد – فقط انحنای کلی را (ص. 413). نقاط محوری افزوده شوند.

تفسیر نقطه ایستای بیرون از ناحیه آزمایش چنانکه گویی نقطه بهینه است. بیرون از ناحیه، مدل معتبر نیست (ص. 425).

انتخاب مدل فقط بر اساس R². R² با افزودن جمله‌ها همیشه بالا می‌رود؛ R² تعدیل‌شده، R² پیش‌بینی و عدم برازش می‌گویند که آیا افزودن ارزشش را دارد (جدول 11.7، ص. 421).

مقایسه ضرایب در معادله طبیعی. این ضرایب به واحدها وابسته‌اند؛ مقایسه در معادله کدگذاری‌شده انجام می‌شود (ص. 422).

چشم‌پوشی از نقاط مرکزی. بدون آن‌ها نه خطای خالص هست، نه آزمون عدم برازش، و نه بررسی انحنا (ص. 412-413).

گرد کردن α. در مثال 11.2 جدول α = 1.414 را نشان می‌دهد، و خروجی با √2 محاسبه شده است – و نتایج در رقم سوم متفاوت‌اند (یافته‌ای از اعتبارسنجی این صفحه). در طراحی α دقیق وارد می‌شود؛ اگر سطحی در عمل گرد شده باشد، مقداری که اجرا شده تایپ می‌شود.

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Box و Hunter (1957) و Box و Behnken (1960) – به نقل از Montgomery (2020). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی آمده‌اند که اصل آن‌ها خوانده شده است؛ ارجاع‌ها بر اساس صفحه چاپی است. فصل 11 کتاب Montgomery به طور کامل از تصاویر صفحه‌ها خوانده شد (لایه متنی اسکن بیشتر معادله‌ها را از قلم می‌اندازد). محاسبه در این صفحه در برابر R 4.3.3 (lm، drop1، predict، hatvalues، rstudent، cooks.distance) و بسته rsm (rsm، canonical، ccd، bbd)، و در برابر همه اعداد چاپی در مثال‌های 11.1 و 11.2 و جدول‌های 11.8 و 11.11 تأیید شده است.