همبستگی‌های پیرسون و اسپیرمن

ماشین‌حساب

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها و نوع همبستگی

راهنما

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی می‌خواهیم رابطه بین دو متغیر را بررسی کنیم: آیا افزایش مقدار یکی با افزایش، یا برعکس با کاهش، مقدار دیگری همراه است. پیرسون دو متغیر کمّی (مقیاس فاصله‌ای یا نسبی) لازم دارد؛ اسپیرمن وقتی هم مناسب است که یکی از متغیرها در مقیاس ترتیبی اندازه‌گیری شده باشد – تمایز کامل بلافاصله در ادامه می‌آید. هر دو مشاهدات مستقل را فرض می‌کنند: هر سطر داده‌ها آزمودنی دیگری است و بین سطرها پیوندی نیست – همان آزمودنی که دو بار اندازه‌گیری شده، یا دانش‌آموزانی از یک کلاس، این مفروضه را نقض می‌کنند. ضریب همبستگی دو چیز را به یک‌باره گزارش می‌کند – جهت رابطه (مثبت یا منفی) و شدت آن. مهم است به یاد داشته باشید: همبستگی علیت نیست. حتی رابطه‌ای بسیار قوی هنوز نمی‌گوید که یک متغیر علت دیگری است: ممکن است متغیر سومی که اصلاً اندازه‌گیری نشده رابطه بین آن دو را ایجاد کند؛ ممکن است جهت اثر برعکس آنچه فکر می‌کردیم باشد؛ و تبیین‌های دیگری نیز ممکن است. درباره بررسی گمان وجود متغیر سوم، همبستگی جزئی را در ادامه صفحه ببینید.

پیرسون یا اسپیرمن؟

و اگر یکی از متغیرها دووجهی باشد چه؟ وقتی یک متغیر دووجهی است (فقط دو مقدار، مثلاً تحصیل کرده/نکرده) و دیگری کمّی (مثلاً دستمزد)، از همبستگی دورشته‌ای نقطه‌ای (Point-biserial) استفاده می‌شود: متغیر دووجهی به صورت 0 و 1 کدگذاری می‌شود و خود محاسبه با محاسبه همبستگی پیرسون یکسان است (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 516-517; Field, 2024, Section 8.4.5; Cohen et al., 2003, Section 2.3.3, pp. 29-30) – از این رو در عمل می‌توان آن را با چنین کدگذاری‌ای در ماشین‌حساب همین صفحه نیز محاسبه کرد.

اما دووجهی مصنوعی نسازید. جهت عکس توصیه نمی‌شود: یک متغیر پیوسته را برای "ساده کردن" تحلیل به دو "گروه" تقسیم نکنید (مثلاً تقسیم بر اساس میانه – median split). این تقسیم اطلاعات را دور می‌ریزد: در متغیرهایی با توزیع نرمال، همبستگی‌ای که پس از تقسیم در میانگین به دست می‌آید فقط حدود 80% همبستگی اصلی خواهد بود – از دست رفتن حدود یک‌پنجم، که معادل کنار گذاشتن حدود 38% نمونه است؛ و هرچه نقطه برش از میانگین دورتر شود (مثلاً "بالا/پایین" بر اساس آستانه‌ای دلخواه) زیان بیشتر می‌شود – در برش با یک انحراف معیار فقط حدود دوسوم همبستگی باقی می‌ماند (Cohen, 1983). توان آماری نیز آسیب می‌بیند: احتمال کشف رابطه‌ای که واقعاً وجود دارد کاهش می‌یابد – در مثال MacCallum و همکاران، برای ρ = .40 و N = 50، توان پس از تقسیم یک متغیر در میانگین از .84 به .63 کاهش می‌یابد (MacCallum et al., 2002, pp. 26-27). همبستگی دورشته‌ای نقطه‌ای برای متغیری است که ذاتاً دووجهی است – نه برای متغیر پیوسته‌ای که تقسیم شده است.

نتیجه را چگونه بخوانیم؟

ضریب همبستگی r – و در همبستگی اسپیرمن: r_s – بین -1 تا +1 تغییر می‌کند و دو جزء دارد که هر یک داستان دیگری می‌گوید. علامت – مثبت یا منفی – جهت رابطه را می‌گوید. بزرگی، صرف‌نظر از علامت (|r|)، می‌گوید رابطه تا چه حد قوی است: هرچه به 1 نزدیک‌تر باشد رابطه – خطی در پیرسون، یکنوا در اسپیرمن – قوی‌تر است، و هرچه به 0 نزدیک‌تر باشد – ضعیف‌تر.

همبستگی کامل پیرسون (r = ±1) یعنی همه نقاط دقیقاً روی یک خط راست قرار دارند – صعودی یا نزولی. همبستگی کامل اسپیرمن (r_s = ±1) کمتر از این لازم دارد: کافی است هر افزایش در یک متغیر همیشه با افزایش (یا همیشه با کاهش) در متغیر دیگر همراه باشد – حتی اگر نقاط روی خط راست نباشند.

و r = 0 چه می‌گوید؟ فقط اینکه رابطه خطی وجود ندارد. همبستگی پایین یا صفر ثابت نمی‌کند که هیچ رابطه‌ای بین متغیرها نیست: هنوز ممکن است رابطه‌ای قوی اما غیرخطی بین آن‌ها باشد – مثلاً به شکل U – که ضریب پیرسون به سادگی آن را نمی‌بیند. از این رو همیشه بهتر است نگاهی هم به نمودار پراکنش در خروجی بیندازید.

همان r – تصویرهای کاملاً متفاوت. مشهورترین نمایش اهمیت نمودار پراکنش "چهارگانه انسکامب" است: چهار مجموعه داده که همه میانگین‌های یکسان، انحراف معیارهای یکسان و همبستگی یکسان – r = .816 – دارند، اما در نمودار پراکنش کاملاً متفاوت از یکدیگر به نظر می‌رسند: در اولی – رابطه خطی معمولی؛ در دومی – منحنی‌ای غیرخطی؛ در سومی – خطی کامل که یک نقطه پرت ضریب را از آن "دور می‌کشد"؛ و در چهارمی – همبستگی‌ای که تماماً بر یک مشاهده فرین تکیه دارد (Anscombe, 1973). نتیجه: هرگز به ضریب به تنهایی بسنده نمی‌کنیم – همیشه به خود داده‌ها نیز نگاه می‌کنیم. و این نگاه را لازم نیست تا SPSS به تعویق انداخت: در صفحه نمودار پراکنش و خط رگرسیون در سایت می‌توان همان فایل داده را بارگذاری کرد، یک زوج متغیر را انتخاب کرد و بی‌درنگ نمودار پراکنش آن‌ها را – با خط رگرسیون، ضرایب همبستگی و R² – دریافت کرد.

شدت رابطه. آستانه جهانی برای تقسیم همبستگی‌ها به ضعیف، متوسط یا قوی وجود ندارد. برای جهت‌یابی معمولاً از قراردادهای کوهن استفاده می‌شود (Cohen, 1988, pp. 79-81): |r| < .10 – ناچیز؛ .10-.30 – ضعیف؛ .30-.50 – متوسط؛ .50 و بالاتر – قوی. این همان مقیاسی است که جمله‌های گزارش خودکار این صفحه به کار می‌برند. برخی راهنماها تقسیم‌بندی کمی متفاوتی پیشنهاد می‌کنند، و خود کوهن تأکید می‌کند که این‌ها قراردادهایی‌اند فقط برای وقتی که معیارهای مناسب‌تری برای آن حوزه در دست نیست. از این رو شدت همبستگی را باید متناسب با بافت پژوهشی، ماهیت متغیرها و یافته‌های پیشین در آن حوزه تفسیر کرد – و نه بر اساس آستانه‌های از پیش آماده (Cohen, 1988, p. 79; Field, 2024, Section 8.2.2; Pallant, 2020, Chapter 11).

معناداری به معنای شدت نیست. نمونه بزرگ خود رابطه را قوی‌تر نمی‌کند – فقط اندازه‌گیری آن را دقیق‌تر می‌کند. نتیجه: در نمونه بزرگ حتی همبستگی‌ای ناچیز ممکن است معنادار شود، و در نمونه کوچک رابطه‌ای واقعی ممکن است به سادگی از دست برود. از این رو همیشه هم r، هم p و هم N گزارش می‌شوند و به یکی از آن‌ها بسنده نمی‌شود.

فاصله اطمینان. r نمونه یک برآورد است؛ فاصله اطمینان 95% می‌گوید همبستگی در جامعه آماری به احتمال زیاد در چه دامنه‌ای قرار دارد – و بدین ترتیب آنچه را p به تنهایی نمی‌گوید تکمیل می‌کند. جدول جزئیات و جمله‌های گزارش این صفحه آن را برای هر همبستگی پیرسون، با محاسبه از طریق تبدیل فیشر، نشان می‌دهند (فرمول و مثال – در بخش فرمول‌ها؛ Field، 2024، بخش 8.2.4). دو چیز را در آن بخوانید: آیا شامل صفر است (اگر بله – داده‌ها نبود رابطه را رد نمی‌کنند، و این معادل p غیرمعنادار است)، و چقدر پهن است – فاصله‌ای مانند [.02, .53] (مثلاً r = .30 با n = 50) نشان می‌دهد که همبستگی با عدم دقت قابل توجهی برآورد شده است، حتی اگر معنادار باشد. فاصله حول r متقارن نیست – و این درست است. Field (2024، بخش 8.8) توصیه می‌کند فاصله اطمینان در کنار همبستگی گزارش شود – و جمله‌های گزارش این صفحه همین کار را می‌کنند.

چرا همبستگی کمتر از انتظار است؟ دو عامل "فنی" همبستگی‌ها را به طور نظام‌مند کوچک می‌کنند. دامنه محدود (restriction of range): وقتی نمونه فقط بخشی از دامنه مقادیر را پوشش می‌دهد – مثلاً بررسی رابطه بین نمره گزینش و موفقیت شغلی فقط در میان کسانی که پذیرفته شده‌اند – همبستگی مشاهده‌شده کمتر از همبستگی در کل جامعه آماری درمی‌آید؛ کوهن حتی هشدار می‌دهد که جدول‌های حجم نمونه او در شرایط دامنه محدود معتبر نیستند (Cohen, 1988, p. 100). تضعیف ناشی از پایایی (attenuation): وقتی ابزارهای اندازه‌گیری دقیق نیستند، نویز تصادفی به نمره‌ها افزوده می‌شود – و این نویز همبستگی مشاهده‌شده را تضعیف می‌کند (کوچک می‌کند) (Cohen, 1988, p. 79). قاعده تقریبی: همبستگی‌ای که در نمونه دیده می‌شود برابر است با همبستگی واقعی ضرب در √(r_xx·r_yy) – جذر حاصل‌ضرب پایایی دو ابزار. مثال: رابطه واقعی .50 بین دو شاخص که پایایی هر یک .70 است، در نمونه فقط حدود .35 دیده می‌شود. از این رو، هنگام مقایسه یک همبستگی با یافته‌های پیشین، بهتر است هم به دامنه نمونه و هم به پایایی ابزارها توجه کنید. برای بحثی نظام‌مند درباره عوامل مؤثر بر اندازه r – از جمله فرمول‌های تصحیح برای هر دو پدیده – Cohen et al.‏ (2003، بخش 2.10) را ببینید.

مقایسه‌های چندگانه. وقتی همبستگی‌های بسیاری به یک‌باره آزموده می‌شوند، احتمال اینکه دست‌کم یکی از آن‌ها به تصادف معنادار شود افزایش می‌یابد: با پنج متغیر، ده آزمون انجام می‌شود. در پژوهش تأییدی بهتر است فرضیه‌ها از پیش تعریف شوند، یا تصحیح مقادیر معناداری به دلیل مقایسه‌های چندگانه در نظر گرفته شود (مثلاً تصحیح Holm یا FDR).

همبستگی درصد نیست. همبستگی r = .50 به معنای "رابطه 50%" نیست. برای بیان نسبت واریانس مشترک دو متغیر، ضریب پیرسون به توان دو می‌رسد: در این مورد r² = .25، یعنی 25% واریانس مشترک. تفسیر واریانس مشترک برای همبستگی پیرسون درست است – آن را به طور خودکار بر مجذور ضریب اسپیرمن اعمال نکنید.

اشتباهات رایج

گزارش مقدار p بدون گزارش شدت همبستگی (r) – معناداری به تنهایی نمی‌گوید رابطه چقدر قوی است. تفسیر نتیجه "غیرمعنادار" به عنوان اثبات اینکه "رابطه‌ای نیست" – شاید نمونه به سادگی کوچک‌تر از آن بوده که رابطه موجود را آشکار کند. نتیجه‌گیری علّی از همبستگی. ارائه r به صورت درصد. اجرای همبستگی پیرسون روی یک گویه لیکرت منفرد بدون در نظر گرفتن اسپیرمن – برای گویه منفرد اسپیرمن در بیشتر موارد مناسب‌تر است، هرچند این قراردادی پذیرفته‌شده است و نه قاعده‌ای مطلق: Jamieson (2004) در سوی سخت‌گیر، Norman (2010) در سوی آسان‌گیر – و او همچنین روی داده‌های واقعی لیکرت (64 زوج همبستگی) نشان داد که پیرسون و اسپیرمن تقریباً نتایج یکسانی می‌دهند، حتی در توزیع‌های بسیار چوله (همبستگی .99 بین دو نوع ضریب). و فراموش کردن گزارش حجم نمونه (N) که هر همبستگی بر آن استوار است.

و اتکا به حذف زوجی بدون تأمل. ماشین‌حساب، SPSS و R (با pairwise.complete.obs) هر همبستگی را روی آزمودنی‌هایی محاسبه می‌کنند که در هر دو متغیر آن زوج مقدار معتبر دارند – و به همین دلیل در جدول نمونه N بین 447 و 483 تغییر می‌کند. این راحتی رایگان نیست. Gelman & Hill (2007، ص. 531-532) این روش را "تحلیل موارد در دسترس" (available-case analysis) می‌نامند و به دو مشکل اشاره می‌کنند. اول: هر همبستگی در ماتریس روی زیرمجموعه دیگری از آزمودنی‌ها محاسبه می‌شود، و از این رو همبستگی‌ها "لزوماً با یکدیگر سازگار نیستند" – در عمل نمونه‌هایی کمی متفاوت را توصیف می‌کنند. دوم، که بر حذف لیستی نیز صدق می‌کند: اگر کسانی که پاسخ نداده‌اند به طور نظام‌مند با کسانی که پاسخ داده‌اند تفاوت داشته باشند، برآورد سوگیرانه است. مثال آن‌ها از پیمایشی در نیویورک: 90% پاسخ‌گویان سیاه‌پوست درآمد خود را گزارش کردند در برابر 81% سفیدپوستان، و از این رو خلاصه درآمد نمایانگر جامعه‌ای متفاوت از جامعه‌ای است که خلاصه تحصیلات نمایندگی می‌کند. نتیجه عملی کنار گذاشتن حذف زوجی نیست – وقتی مقادیر گمشده اندک و تصادفی‌اند این روش معقول است، و معمولاً بر دور ریختن کل آزمودنی‌ها برتری دارد – بلکه سه عادت است: دامنه N را گزارش کنید (همان‌طور که جدول انجام می‌دهد)؛ وقتی فاصله بین زوج‌ها زیاد است، بررسی کنید چه کسی و در کدام متغیر گمشده است؛ و به یاد داشته باشید که وقتی گمشدگی تصادفی نیست، راه‌حل جانهی مبتنی بر مدل است (imputation؛ همان، بخش‌های 25.3-25.6؛ صفحه رسیدگی به مقادیر گمشده را ببینید)، نه انتخاب بین دو روش حذف.

همبستگی جزئی – کنترل متغیر سوم

گاهی همبستگی بین دو متغیر بازتاب رابطه‌ای مستقیم بین آن‌ها نیست، بلکه "ساخته" متغیر سومی است که با هر دو همبسته است – پدیده‌ای که همبستگی کاذب (spurious correlation) نامیده می‌شود. همبستگی جزئی (Partial correlation) چنین گمانی را بررسی می‌کند: همبستگی بین x و y را با کنترل آماری متغیر سوم z محاسبه می‌کند (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 502; Field, 2024, Section 8.5.2; Cohen et al., 2003, Section 3.3.3, p. 74).

مثالی شناخته‌شده: در نمونه‌ای از شهرها، تعداد عبادتگاه‌های شهر با تعداد جرائم سنگین آن همبستگی قوی دارد – r = .92. تبیین این نیست که عبادتگاه‌ها جرم می‌زایند: هر دو متغیر با متغیر سومی همبسته‌اند – اندازه جمعیت (r = .96 با تعداد عبادتگاه‌ها و r = .96 با تعداد جرائم). در شهر بزرگ از هر دو زیاد هست، در شهرک کوچک – از هر دو کم. پس از کنترل اندازه جمعیت، همبستگی جزئی به صفر سقوط می‌کند – همبستگی کاذب کلاسیک (Gravetter & Wallnau، 2017، ص. 497، 503؛ داده‌های این مثال، چنان‌که در کتاب ذکر شده، برای نمایش ساخته شده‌اند). توجه کنید که اینجا r_xy ≈ r_xz·r_yz – و این دقیقاً شرط صوری رابطه کاذب است: x فقط و فقط از طریق z با y مرتبط است (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4, p. 78). اما کنترل همیشه رابطه را "از هم نمی‌پاشد": در مثال Pallant (2020، فصل 12) همبستگی بین احساس کنترل و استرس ادراک‌شده r = −.58 است، و پس از کنترل مطلوبیت اجتماعی تقریباً یکسان می‌ماند (همبستگی جزئی r = −.55). وقتی همبستگی جزئی به همبستگی اصلی نزدیک است، این اتفاقاً شاهدی است که رابطه مستقل پابرجاست و ساخته متغیر سومی که بررسی شد نیست. همبستگی جزئی از سه همبستگی زوجی محاسبه می‌شود:

و در مثال عبادتگاه‌ها و جرم (با اعداد دقیق کتاب):

یک خویشاوند نزدیک: همبستگی نیمه‌جزئی. در همبستگی جزئی متغیر سوم از هر دو متغیر کنترل می‌شود. در همبستگی نیمه‌جزئی (semi-partial؛ در SPSS با نام Part) z فقط از یکی از متغیرها کنترل می‌شود. تفاوت در تفسیر: مجذور همبستگی نیمه‌جزئی سهم منحصربه‌فرد x در تبیین y را به صورت نسبتی از کل واریانس y می‌دهد. در مجذور همبستگی جزئی، در مقابل، این نسبت فقط از واریانسی محاسبه می‌شود که پس از کنترل z باقی مانده است (Field, 2024, Section 8.5). این شاخص عمدتاً در رگرسیون چندگانه اهمیت دارد، که در آن سهم منحصربه‌فرد هر پیش‌بین را بیان می‌کند. فرمول همان فرمول همبستگی جزئی است – فقط در مخرج یک جذر باقی می‌ماند:

می‌توان دو متغیر را نیز هم‌زمان کنترل کرد – همبستگی جزئی مرتبه دوم (Field, 2024, Section 8.5.3). توجه کنید: همبستگی جزئی پایین رابطه مشاهده‌شده را "باطل" نمی‌کند – نشان می‌دهد که بخش قابل توجهی از آن با متغیر سوم تبیین می‌شود؛ و انتخاب متغیر برای کنترل ملاحظه‌ای نظری است، نه آماری. برای بسط کامل همبستگی جزئی و نیمه‌جزئی در بافت چندمتغیری Cohen et al.‏ (2003، بخش‌های 3.3.2-3.3.3، ص. 72-75) را ببینید.

سه نقش متفاوت برای متغیر سوم. همبستگی جزئی به متغیر سوم در یک نقش می‌پردازد – مخدوش‌کننده (confounder)، که رابطه‌ای کاذب می‌سازد، مانند اندازه جمعیت در مثال عبادتگاه‌ها و جرم (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4). اما متغیر سوم می‌تواند نقش تعدیل‌گر (moderator) را نیز بازی کند: شدت یا جهت رابطه بین x و y بسته به مقادیر z تغییر می‌کند – نخستین نگاه به این را مقایسه همبستگی بین گروه‌ها فراهم می‌کند ("مقایسه دو همبستگی" را در بخش فرمول‌ها ببینید)، و بررسی کامل با تعامل در رگرسیون انجام می‌شود (بسط کلاسیک: Cohen et al.‏، 2003، فصل 7)؛ یا میانجی (mediator): z سازوکاری است که x از طریق آن با y مرتبط است (x → z → y)، و آنگاه در تحلیل میانجی‌گری رابطه کل به اثر مستقیم و غیرمستقیم تجزیه می‌شود (بسط: Cohen et al.‏، 2003، فصل 12؛ Field، 2024، بخش‌های 11.3-11.4). مهم است بدانید: همبستگی جزئی نمی‌تواند بین مخدوش‌کننده و میانجی تمایز بگذارد – محاسبه در هر دو حالت یکسان است، و تمایز بین آن‌ها موضوعی نظری و مربوط به طراحی پژوهش است. تعدیل‌گری و میانجی‌گری به دنیای رگرسیون تعلق دارند – صفحه تعدیل‌گری و میانجی‌گری (تعامل، شیب‌های ساده، اثر غیرمستقیم با bootstrap)، صفحه رگرسیون خطی چندگانه، و برای میانجی‌گری در مدل مسیر – صفحه تحلیل مسیر و میانجی‌گری را ببینید، که رابطه را به اثر مستقیم و غیرمستقیم با فاصله‌های اطمینان تجزیه می‌کند.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

ماشین‌حساب این صفحه با تنظیمات رایج روش Bivariate Correlations در SPSS متناظر است. برای راهنماهای مفصل Pallant (2020، فصل‌های 11-12) و Field (2024، فصل 8) را ببینید.

یادداشت نسخه‌ها. تصاویر صفحه این بخش در SPSS نسخه 21 تهیه شده‌اند. خود روش‌ها در طول نسخه‌ها پایدارند، اما جای گزینه‌ها در منو و نام برخی گزینه‌ها ممکن است کمی تغییر کند – و اگر صفحه نمایش شما کمی متفاوت به نظر می‌رسد، احتمالاً دلیلش همین است. یک نمونه ملموس در ادامه صفحه آمده است: دکمه Confidence Interval فقط در نسخه 27 به پنجره Bivariate Correlations افزوده شد، و در نسخه‌های پیشین آن را آنجا نخواهید یافت. Field (2024) بر اساس نسخه 29 نوشته شده است و خودش در این باره اطمینان می‌دهد: بین ویراست‌ها نسخه‌های تازه‌ای منتشر می‌شوند، و روش‌هایی که کتاب شرح می‌دهد تقریباً از آن تأثیر نمی‌پذیرند.

در منو Analyze › Correlate › Bivariate… انتخاب می‌شود:

در کادر گفت‌وگویی که باز می‌شود (Bivariate Correlations) در یک سو فهرست متغیرهای فایل نمایش داده می‌شود، و متغیرهایی که می‌خواهیم رابطه بین آن‌ها را بررسی کنیم (دو یا بیشتر) به کادر Variables منتقل می‌شوند. زیر Correlation Coefficients، ضریب پیرسون (Pearson) به طور پیش‌فرض تیک خورده است – کلیک دوباره آن را لغو می‌کند – در حالی که ضریب اسپیرمن (Spearman)، که به طور پیش‌فرض تیک نخورده، در همان کادر علامت زده می‌شود؛ می‌توان هر دو را نیز با هم علامت زد، مانند گزینه "هر دو" در این صفحه. (Kendall's tau-b ضریب رتبه‌ای دیگری است که آنجا آمده و صفحه آن را محاسبه نمی‌کند.)

پیش‌فرض‌های SPSS با پیش‌فرض‌های این صفحه یکسان‌اند – معناداری دودامنه (Two-tailed)، علامت‌گذاری همبستگی‌های معنادار با ستاره (Flag significant correlations) و حذف زوجی مقادیر گمشده (Options › Exclude cases pairwise) – و از این رو در بیشتر موارد نتایج باید تا حد تفاوت‌های گرد کردن یکسان باشند. (صفحه همیشه معناداری دودامنه را محاسبه می‌کند و گزینه‌های دیگر این روش، مانند آزمون یک‌دامنه، را ندارد.) یک تفاوت کوچک در علامت‌گذاری: SPSS فقط p < .05 و p < .01 را علامت می‌زند، در حالی که اینجا *** برای p < .001 نیز علامت زده می‌شود، چنان‌که در جدول‌های APA مرسوم است (American Psychological Association [APA], 2020, Section 7.14).

کلیک روی Paste در کادر گفت‌وگو عملیات را به صورت سینتکس ذخیره می‌کند – که برای مستندسازی تحلیل و بازتولید آن سودمند است:

CORRELATIONS
  /VARIABLES=رهبری کارآمدی آمادگی تعلق اعتماد
  /PRINT=TWOTAIL NOSIG
  /MISSING=PAIRWISE.

و فاصله اطمینان؟ سینتکس بالا آن را چاپ نمی‌کند. در SPSS 27 به بعد، در پنجره Bivariate Correlations روی Confidence interval… کلیک کرده و Estimate confidence interval of bivariate correlation parameter را علامت می‌زنیم – و جدول دومی با حدود پایین و بالای هر همبستگی به خروجی افزوده می‌شود (Field, 2024, Sections 8.4.1-8.4.2). برای پیرسون، محاسبه با تبدیل فیشر است – همان فاصله‌ای که جدول جزئیات این صفحه نشان می‌دهد. در نسخه‌های پیشین این دکمه وجود ندارد، و فاصله با فرمول بخش فرمول‌ها – یا همین‌جا در صفحه – محاسبه می‌شود.

و حتی پیش از ضرایب – نگاهی به همه زوج‌ها به یک‌باره. توصیه نمودار پراکنش را می‌توان با یک حرکت روی همه زوج متغیرها اجرا کرد، با ماتریس نمودارهای پراکنش: در منو Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot… › Matrix Scatter › Define، متغیرها را به فهرست Matrix Variables منتقل کرده و تأیید می‌کنیم. همین ماتریس را می‌توان در Chart Builder مدرن نیز ساخت، که در آن نمودار پراکنش منفرد با خط برازش یا نمودار پراکنش گروه‌بندی‌شده بر حسب گروه‌ها نیز ساخته می‌شود (Field, 2024, Section 5.8). اینجا هم Paste سینتکس را ذخیره می‌کند:

برای نمودار پراکنش منفرد و مفصل‌تر – با خط رگرسیون، R² و جمله‌های گزارش آماده – صفحه نمودار پراکنش را ببینید، که در آن یک راهنمای کامل و مصور SPSS برای این روش نیز هست.

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

سه نکته در خواندن ماتریس. نخست، همه خانه‌ها ابری صعودی نشان می‌دهند – همخوان با ده همبستگی مثبت و قوی در جدول خروجی، و بدون نشانه‌ای از رابطه منحنی یا داده‌های پرت تأثیرگذار؛ این دقیقاً همان بررسی‌ای است که چهارگانه انسکامب می‌آموزد (بالاتر را ببینید). دوم، نقاط روی یک "شبکه" منظم انباشته می‌شوند – این وقتی متغیرها میانگین گویه‌های گسسته یک مقیاس هستند قابل انتظار است و مشکلی نیست. و سوم، توجه کنید که دستور GRAPH به طور پیش‌فرض از حذف لیستی استفاده می‌کند (/MISSING=LISTWISE) – برخلاف حذف زوجی جدول همبستگی‌ها – و از این رو تعداد نقاط هر خانه ممکن است کمی کمتر از N همان زوج در جدول باشد.

و بررسی نرمال بودن در عمل؟ همان‌طور که گفته شد، نرمال بودن عمدتاً به روایی آزمون معناداری مربوط است، به‌ویژه در نمونه‌های کوچک. بررسی به صورت نموداری انجام می‌شود: در منو Analyze › Descriptive Statistics › Explore گزینه Normality plots with tests را علامت می‌زنیم و نمودار Q-Q را دریافت می‌کنیم – اگر نقاط به خط قطری چسبیده باشند، توزیع نزدیک به نرمال است – در کنار شاخص‌های عدم تقارن (skewness) و کشیدگی (kurtosis) در همان خروجی (Field, 2024, Sections 6.9.4-6.9.5). و وقتی تردید باقی است – فاصله اطمینان bootstrap (در بخش فرمول‌ها ببینید) وابستگی به مفروضه نرمال بودن را بسیار کاهش می‌دهد؛ البته آن هم بر مشاهدات مستقل و نمونه‌ای که نماینده جامعه آماری باشد تکیه دارد.

خواندن خروجی

جدول خروجی SPSS (Correlations) برای پنج متغیر تاب‌آوری – رهبری، کارآمدی، آمادگی، تعلق و اعتماد – این‌گونه است. جدول خروجی ماتریسی متقارن است: متغیرها هم عنوان سطرها و هم عنوان ستون‌ها هستند، و هر زوج دو خانه یکسان دارد – یکی بالای قطر و یکی زیر آن. هر خانه سه سطر دارد:

سطر اول هر خانه – ضریب همبستگی (Pearson Correlation). برای نمونه در سطری که با پیکان مشخص شده، همبستگی بین آمادگی و رهبری .722 است – همبستگی مثبت: سطوح بالای آمادگی معمولاً با سطوح بالای رهبری همراه‌اند، و طبق قراردادهای کوهن این همبستگی قوی است. اگر علامت منفی بود، معنا برعکس می‌شد – هرچه مقدار یکی بالا رود، مقدار دیگری پایین می‌آید. روی قطر همیشه 1 ظاهر می‌شود: هر متغیر با خودش همبستگی کامل دارد. این یافته نیست – به سادگی از قطر می‌گذریم.

سطر دوم – معناداری (Sig. (2-tailed)). SPSS مقدار p را با سه رقم پس از ممیز نشان می‌دهد، و از این رو .000 به معنای صفر نیست بلکه p < .001 است – و همین‌طور گزارش می‌شود (هرگز p = 0؛ APA، 2020، بخش 6.36). ستاره‌های کنار ضرایب، که در پانویس زیر جدول توضیح داده شده‌اند، همبستگی معنادار را نشان می‌دهند؛ در این جدول همه همبستگی‌ها معنادارند.

سطر سوم – حجم نمونه (N). تعداد آزمودنی‌هایی که آن همبستگی بر اساس داده‌هایشان محاسبه شده است. توجه کنید که N از زوجی به زوج دیگر تغییر می‌کند (مثلاً 455 در زوج رهبری-کارآمدی در برابر 447 در زوج رهبری-آمادگی): این حذف زوجی است – هر همبستگی روی آزمودنی‌هایی محاسبه می‌شود که در هر دو متغیر آن زوج مقدار معتبر دارند، مطابق /MISSING=PAIRWISE در سینتکس.

آنچه درباره حذف زوجی باید بدانید. مزیت – هر همبستگی از بیشترین داده‌های موجود بهره می‌برد. هزینه – هر همبستگی روی زیرنمونه‌ای کمی متفاوت محاسبه می‌شود، و از این رو مقایسه ضرایب در ماتریس دقیقاً بر همان آزمودنی‌ها استوار نیست؛ وقتی مقادیر گمشده فراوان‌اند، چنین ماتریسی حتی ممکن است برای تحلیل‌های بعدی که بر آن تکیه دارند (مانند رگرسیون چندگانه یا SEM) ناسازگار از آب درآید. از این رو N برای هر همبستگی گزارش می‌شود (مانند یادداشت جدولی که این صفحه نشان می‌دهد)، و وقتی داده‌های گمشده زیاد است حذف لیستی (Options › Exclude cases listwise در پنجره Bivariate) یا رسیدگی ویژه به داده‌های گمشده در نظر گرفته می‌شود.

دو چیز خواندن را تعیین می‌کند: بزرگی ضریب، که شدت از آن خوانده می‌شود، و علامت آن، که جهت از آن خوانده می‌شود. در این جدول هر ده همبستگی مثبت، قوی (.622-.738) و معنادارند. جدول خروجی همبستگی اسپیرمن دقیقاً همین ساختار را دارد. این صفحه همان اطلاعات را در قالب APA فشرده‌تری نشان می‌دهد: ماتریس مثلث پایینی که در آن ستاره‌ها معناداری را نشان می‌دهند، و N در یادداشت جدول گزارش می‌شود.

گزارش نتایج

انتخاب بین متن و جدول به کمیت بستگی دارد: یک زوج در یک جمله خلاصه می‌شود؛ ده زوج، مانند اینجا، دیگر پشت سر هم خوانده نمی‌شوند – از این رو دو سطح ترکیب می‌شوند: جدولی فشرده که همه همبستگی‌ها را گرد می‌آورد، و متنی که تصویر برآمده از جدول را برجسته می‌کند – بدون تکرار هر عددی که پیش‌تر در آن آمده است. گزارش برای خروجی‌ای که هم‌اکنون خواندیم این‌گونه خواهد بود.

جدول. ماتریس SPSS را همان‌طور که هست در کار کپی نمی‌کنیم: هر همبستگی را دو بار نشان می‌دهد، و در گزارش پژوهشی لازم نیست هیچ همبستگی‌ای بیش از یک بار گزارش شود. جدول همبستگی بهتر است فشرده باشد و فقط اطلاعات ضروری را در بر بگیرد: مثلث پایینی، مقادیر بدون صفر پیشرو و با دو رقم پس از ممیز – قالب APA چنین می‌خواهد (APA, 2020, Section 6.36) – و بدون مقادیر دقیق p – معناداری با ستاره‌ها مشخص می‌شود، که راهنمای آن زیر جدول نوشته می‌شود (بخش 7.14). این دقیقاً ساختار جدول همبستگی نمونه در دستنامه است: متغیرها در ستون عنوان شماره‌گذاری می‌شوند، در عنوان ستون‌ها فقط شماره‌ها می‌آیند، و قطر – که در آن همبستگی متغیر با خودش 1 است – با یک خط تیره بلند (em dash) مشخص می‌شود و نه با عدد (بخش 7.21، جدول 7.10). حجم نمونه را هم لازم نیست در هر خانه نوشت: وقتی همان N تکرار می‌شود، یک بار زیر جدول یا زیر عنوان آن گزارش می‌شود، و وقتی از زوجی به زوج دیگر تغییر می‌کند – مانند اینجا، به دلیل حذف زوجی – دامنه آن گزارش می‌شود. (ماتریس همبستگی‌ای که صفحه در خروجی نشان می‌دهد عمداً با سه رقم باقی می‌ماند، مانند SPSS و R، تا بررسی و مقایسه متقابل با آن‌ها آسان شود؛ در جدولی که در کار ارائه می‌شود به دو رقم گرد می‌شود – دکمه "کپی جدول برای ارائه" زیر ماتریس این کار را خودکار انجام می‌دهد.) توجه کنید: همبستگی‌هایی که در خروجی با ** علامت خورده‌اند (معنادار در سطح .01) در واقع p < .001 هستند – و از این رو در جدول با *** علامت می‌خورند.

متن. گزارش کلامی یک همبستگی سه جزء دارد: خود همبستگی، معناداری آن و حجم نمونه. قاعده پشت آن‌ها: متن باید اطلاعات کافی داشته باشد تا خواننده تحلیل انجام‌شده را بفهمد و بتواند آن را راستی‌آزمایی کند، از جمله اندازه‌های اثر و فاصله‌های اطمینان وقتی وجود دارند (APA, 2020, Section 6.43). آن را چنان می‌نویسیم که یافته با کلمات خوانده شود و آماره‌ها در پرانتز بیایند، برای مثال: معلوم شد هرچه کارآمدی بالاتر باشد، اعتماد نیز بالاتر است (r = .74, 95% CI [.69, .78], p < .001, n = 479). فاصله اطمینان پس از r در پرانتز می‌آید – Field (2024، بخش 8.8) نیز همین‌طور گزارش می‌کند، و جمله‌های گزارش این صفحه نیز همین‌طور نوشته شده‌اند. حجم نمونه را می‌توان به صورت n، یا به صورت درجه آزادی در پرانتز پس از r گزارش کرد – r(477) = .74، که در آن df = N − 2 – و وقتی N برای همه همبستگی‌ها یکسان است، یک بار در ابتدای فصل یافته‌ها گزارش می‌شود و از تکرار پرهیز می‌شود. در متن به جدول ارجاع داده می‌شود، الگوی کلی توصیف می‌شود و یافته‌های چشمگیر برجسته می‌شوند، برای مثال قوی‌ترین و ضعیف‌ترین همبستگی:

جدول و جمله‌های گزارش را در این قالب، ماشین‌حساب همین صفحه به طور خودکار از فایل داده تولید می‌کند، و می‌توان خروجی کامل را به صورت فایل Word دانلود کرد.

و نمودار. وقتی خود نمودار پراکنش وارد فصل یافته‌ها می‌شود – و نه فقط برای بررسی مفروضه‌ها پیش از محاسبه به کار می‌رود – یک شکل است، و شکل ساختار خاص خود را دارد: شماره، عنوان با حروف ایرانیک، نام متغیرها روی دو محور، و یادداشتی زیر آن. یادداشت را آسان می‌توان فراموش کرد، اما همان جزئی است که شکل را خودبسنده می‌کند، و APA (2020، بخش 7.28) مشخص می‌کند که چه باید بگوید: واحدهای اندازه‌گیری، نمادها و اختصاراتی را که در راهنمای شکل توضیح داده نشده‌اند توضیح دهد، و هر سایه، رنگ یا عنصر طراحی دیگری را که معنایی دارد توضیح دهد. در نمودار پراکنش این به دو جمله کوتاه ترجمه می‌شود – هر نقطه چه چیزی را نشان می‌دهد (یک آزمودنی، بر اساس مقادیرش در دو متغیر) و خط چیست (خط رگرسیون خطی). و اگر در نمودار میله‌های خطا یا نوار اطمینان نشان داده شود، باید صریحاً گفت که آیا نمایانگر انحراف معیار، خطای استاندارد، حدود اطمینان یا دامنه‌اند – و دستنامه می‌افزاید که بهتر است حجم نمونه نیز در کنار آن‌ها ذکر شود (همان). یادداشت شکل در قالب یادداشت جدول و به همان ترتیب نوشته می‌شود – عمومی، خاص، احتمال – و ستاره‌های معناداری، اگر باشند، در یادداشت احتمال دقیقاً مانند زیر جدول توضیح داده می‌شوند (بخش 7.14).

در خروجی این صفحه هر نمودار پراکنش با چنین یادداشت شکلی می‌آید که به طور خودکار ساخته می‌شود: هر نقطه چه چیزی را نشان می‌دهد و هر متغیر روی کدام محور است، خط چیست (و وقتی فقط اسپیرمن انتخاب شده باشد خطی نیست – و آن جمله حذف می‌شود)، و حجم نمونه همراه با روش رسیدگی به مقادیر گمشده. خود نمودار از صفحه نمایش کپی می‌شود (در فایل Word گنجانده نمی‌شود)، و یادداشت – از جدول خروجی.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

R محیط کاری رایگان و متن‌باز برای آمار است، و دقیقاً همین تحلیل در چند سطر در آن انجام می‌شود: cor() ماتریس همبستگی را می‌دهد، crossprod(!is.na()) مقدار N هر زوج را، و cor.test() – برای یک زوج منفرد – t، p و فاصله اطمینان را (با تبدیل فیشر، مانند صفحه). اسکریپت زیر عیناً روی فایل نمونه صفحه (DATA_correlations_example_heb.xlsx، سه متغیری که به طور پیش‌فرض در آن انتخاب می‌شوند) اجرا شد، و نتایج – یکسان با جدول‌های 1-2 و جمله‌های گزارش – در توضیحات آمده است. قاعده سایت برای R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، نام‌های کوتاه انگلیسی برای محاسبه، و محیط UTF-8 برای نام‌های عبری فایل نمونه (در Windows: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") یا R 4.2 به بالا). مسیر و نام متغیرها را با موارد خودتان جایگزین کنید؛ در R در مسیر از ممیز معمولی (/) استفاده می‌شود.

# همبستگی‌های پیرسون و اسپیرمن – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_correlations_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("גיל", "עמדות1", "עמדות_ציון")]              # متغیرهای انتخاب‌شده در صفحه (پیش‌فرض فایل نمونه)
names(d) <- c("age", "att1", "att")                    # نام‌های کوتاه انگلیسی

# جدول 1 – ماتریس پیرسون با حذف زوجی، سه رقم مانند SPSS و مانند جدول صفحه
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs"), 3)   # سن-نگرش1 .116، سن-نمره نگرش .209، نگرش1-نمره نگرش .684

# تعداد آزمودنی‌ها در هر زوج (N حذف زوجی – یادداشت جدول)
crossprod(!is.na(d))                                  # 114، 116، 118 (و روی قطر: 116، 118، 120 مشاهده معتبر برای هر متغیر)

# جدول 2 – یک زوج منفرد: r، df، t، p و فاصله اطمینان 95% با تبدیل فیشر (مانند صفحه)
cor.test(d$age, d$att)                                # r = .209, t(114) = 2.278, p = .0246، فاصله اطمینان [.027, .377] – مانند جدول 2 و جمله گزارش

# همبستگی اسپیرمن – همان ماتریس روی رتبه‌ها؛ برای p یک زوج منفرد: cor.test(..., method = "spearman", exact = FALSE)
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs", method = "spearman"), 3)   # .095، .226، .669
cor.test(d$age, d$att, method = "spearman", exact = FALSE)   # rho = .226, p = .0145 (تقریب t، مانند SPSS و مانند صفحه)

دو نکته مهم در کد: آرگومان use = "pairwise.complete.obs" همان حذف زوجی است – بدون آن، در حضور مقادیر گمشده R مقدار NA برمی‌گرداند، و با حذف لیستی نتایج با SPSS مطابقت نخواهند داشت؛ و cor.test برای یک زوج منفرد فقط روی مشاهدات کامل همان زوج محاسبه می‌کند (و از این رو df = 114 در مثال – 116 آزمودنی با مقدار در هر دو متغیر). p-value < 2.2e-16 نشانه‌گذاری R برای مقداری کوچک‌تر از هر چیزی است که نشان می‌دهد – و در گزارش p < .001 نوشته می‌شود. در اسپیرمن، وقتی رتبه‌های برابر وجود دارد، cor.test بدون exact = FALSE هشدار "Cannot compute exact p-value with ties" می‌دهد – این درست است: به تقریب روی می‌آورد، همان تقریبی که SPSS و این صفحه هم از آن استفاده می‌کنند. (اختیاری: بسته Hmisc با rcorr()، r، n و p را برای همه زوج‌ها در یک خروجی به سبک SPSS چاپ می‌کند.)

هر سه ابزار – SPSS، R و ماشین‌حساب این صفحه – وقتی به یک شکل تنظیم شوند همان ضرایب را محاسبه می‌کنند – حذف زوجی و معناداری دودامنه: در SPSS و در ماشین‌حساب این‌ها پیش‌فرض‌اند، و در R این موضوع به صراحت در کد بالا آمده است. از این رو روی یک فایل داده نتایج یکسانی برمی‌گردانند. چنین مقایسه متقابلی بین دو ابزار راهی عالی برای اطمینان از درستی تحلیل است.

فرمول‌های پشت ضرایب

برای بسط مفصل فرمول‌های این بخش Gravetter & Wallnau (2017، فصل 15) را ببینید.

ضریب پیرسون – از نمره‌های استاندارد. شفاف‌ترین راه برای فهم پیرسون از طریق نمره‌های استاندارد است: هر مقدار به نمره استاندارد تبدیل می‌شود – چند انحراف معیار بالاتر یا پایین‌تر از میانگین متغیر خودش است، z_x = (x − x) / s_x – سپس حاصل‌ضرب‌های زوج نمره‌های استاندارد جمع شده و بر n − 1 تقسیم می‌شود:

(چرا n − 1؟ چون این همان مخرجی است که در انحراف معیار نمونه‌ای s، که نمره‌های استاندارد از آن ساخته شدند، به کار رفته است. در کتاب‌هایی که نمره‌های استاندارد را با انحراف معیار جامعه آماری تعریف می‌کنند، اینجا نیز بر n تقسیم می‌شود – به شرط آنکه قرارداد در صورت و مخرج یکسان باشد، r یکسان درمی‌آید.)

منطق: وقتی مشاهده‌ای در هر دو متغیر بالاتر از میانگین است، هر دو نمره استاندارد مثبت‌اند و حاصل‌ضرب مثبت است؛ وقتی در یکی بالا و در دیگری پایین است، حاصل‌ضرب منفی است. اگر بیشتر حاصل‌ضرب‌ها مثبت باشند – r مثبت می‌شود؛ اگر بیشترشان منفی باشند – منفی؛ و وقتی الگوی پایداری نیست، حاصل‌ضرب‌های مثبت و منفی یکدیگر را خنثی می‌کنند و r به 0 نزدیک می‌شود.

کوواریانس (Covariance). به همین ایده می‌توان از مقادیر خام نیز رسید: برای هر مشاهده انحراف از میانگین x در انحراف از میانگین y ضرب می‌شود، حاصل‌ضرب‌ها جمع شده و بر n − 1 تقسیم می‌شوند – همان قرارداد انحراف معیار نمونه‌ای:

covariance می‌سنجد که دو متغیر تا چه حد "با هم حرکت می‌کنند"، اما در مقادیر خام – و از این رو اندازه آن به واحدهای اندازه‌گیری بستگی دارد (اندازه‌گیری قد بر حسب سانتی‌متر به جای متر آن را 100 برابر بزرگ می‌کند). برای به دست آوردن شاخصی بدون واحد، بر انحراف معیار دو متغیر تقسیم می‌شود – و حاصل دقیقاً ضریب پیرسون است:

این تقسیم کوواریانس را به دامنه ثابتی، ‎-1 تا ‎+1، استاندارد می‌کند. به تمایز بین دو اصطلاح نزدیک که در این صفحه دیدیم توجه کنید: covariance تغییرپذیری مشترک در واحدهای خام است، در حالی که r² نسبت واریانس مشترک را بیان می‌کند – شاخصی استانداردشده و بدون واحد. (یادداشت فنی: برخی کتاب‌ها بر n و برخی بر n − 1 تقسیم می‌کنند؛ r یکسان درمی‌آید، زیرا همان عامل در صورت و مخرج ظاهر می‌شود و حذف می‌شود.)

سه ویژگی که بهتر است بشناسید. نخست، r از تبدیل خطی متغیرها تأثیر نمی‌پذیرد – افزودن مقدار ثابت یا ضرب در مقدار ثابت مثبت (رفتن از سانتی‌متر به متر، از امتیاز به درصد) آن را اصلاً تغییر نمی‌دهد؛ ضرب در مقدار ثابت منفی فقط علامت را برمی‌گرداند و شدت |r| حفظ می‌شود. دوم، خود r را به عنوان مقیاس نسبی تفسیر نمی‌کنیم: r = .40 رابطه‌ای "دو برابر قوی‌تر" از r = .20 نیست؛ برای مقایسه مقدار واریانس مشترک، مجذورها مقایسه می‌شوند (.16 در برابر .04). و سوم، پیرسون مقادیر واقعی مشاهدات را در نظر می‌گیرد – برخلاف اسپیرمن، که فقط جایگاه آن‌ها در رتبه‌بندی را می‌بیند.

ضریب اسپیرمن – از رتبه‌ها. اسپیرمن فقط بر اساس رتبه‌بندی‌ها محاسبه می‌شود. وقتی رتبه‌های برابر وجود ندارد، می‌توان از فرمول کوتاه آشنا استفاده کرد:

که در آن d_i تفاوت رتبه مشاهده i بین دو متغیر، و n تعداد مشاهدات است. اگر دو رتبه‌بندی کاملاً یکسان باشند، همه تفاوت‌ها 0 هستند و r_s = +1 به دست می‌آید؛ اگر رتبه‌بندی در یک متغیر دقیقاً عکس رتبه‌بندی در دیگری باشد، r_s = -1 به دست می‌آید. مقادیر خام هیچ وزنی ندارند – فقط جایگاه در رتبه‌بندی.

مثالی کوچک: پنج داوطلب در مصاحبه توسط دو مصاحبه‌گر رتبه‌بندی شدند، و می‌خواهیم بدانیم رتبه‌بندی‌ها تا چه حد با یکدیگر توافق دارند:

یعنی توافق بالا بین دو مصاحبه‌گر. نکته مهم برای استفاده در عمل: وقتی رتبه‌های برابر (ties) وجود دارد، به مشاهدات برابر میانگین رتبه‌هایشان داده می‌شود، و آنگاه فرمول کوتاه دیگر دقیق نیست. راه کلی – که همیشه درست است – محاسبه ضریب پیرسون روی رتبه‌هاست. اسپیرمن دقیقاً به همین شکل هم در این صفحه و هم در SPSS محاسبه می‌شود، و از این رو وقتی رتبه برابر وجود ندارد هر دو راه دقیقاً همان مقدار را برمی‌گردانند.

آزمون معناداری همبستگی. همبستگی‌ای که در نمونه یافت شده هنوز نیاز به بررسی دارد: آیا شواهد کافی وجود دارد که در جامعه آماری نیز وجود دارد؟ فرض صفر این است که در جامعه آماری همبستگی وجود ندارد (ρ = 0). از r و حجم نمونه n یک مقدار t محاسبه می‌شود:

این مقدار توزیع t با df = n − 2 درجه آزادی دارد – همان درجه آزادی که در قالب گزارش r(df) دیدیم. اگر مقدار p به‌دست‌آمده کوچک‌تر از سطح معناداری (معمولاً 5%) باشد، فرض صفر رد می‌شود و نتیجه گرفته می‌شود که در جامعه آماری همبستگی وجود دارد. این فرمول برای پیرسون نوشته شده است؛ مقدار p اسپیرمن – در این صفحه و نیز در SPSS – با همین تقریب t محاسبه می‌شود، و قید پیش‌گفته درباره نمونه‌های کوچک از همین‌جاست. فرضیه را می‌توان غیرجهت‌دار (دودامنه) یا جهت‌دار (یک‌دامنه) صورت‌بندی کرد، بسته به فرضیه پژوهش. این تمایز می‌تواند تعیین‌کننده باشد: در مثال Gravetter & Wallnau (2017، ص. 507-509)، همبستگی r = .35 در نمونه‌ای از 30 آزمودنی t(28) = 1.97 می‌دهد – مقداری که از آستانه دودامنه (2.048) نمی‌گذرد اما از آستانه یک‌دامنه (1.701) می‌گذرد. همان همبستگی در آزمون جهت‌دار معنادار است و در آزمون غیرجهت‌دار معنادار نیست؛ از این رو جهت فرضیه از پیش و بر اساس نظریه تعیین می‌شود، و نه پس از دیدن نتیجه. فرمول، توضیح درجه آزادی و آزمون t نزد Field (2024، بخش 8.2.3) نیز بسط داده شده‌اند.

فاصله اطمینان برای همبستگی پیرسون. r یافته‌شده در نمونه برآوردی نقطه‌ای است، و توصیه می‌شود در کنار آن فاصله اطمینان نیز گزارش شود. از آنجا که توزیع نمونه‌گیری r متقارن نیست، فاصله از طریق تبدیل فیشر (Fisher z) محاسبه می‌شود: r به مقدار z′ تبدیل می‌شود،

که خطای استاندارد آن 1/√(n − 3) است. فاصله اطمینان 95% حول z′ ساخته می‌شود (±1.96 خطای استاندارد) و حدود آن به مقیاس r بازگردانده می‌شوند. فاصله به‌دست‌آمده حول r متقارن نیست – و این درست است. مثال: r = .30 با n = 50 فاصله اطمینانی از .02 تا .53 می‌دهد – یادآوری ملموسی که در نمونه‌های کوچک حتی "همبستگی متوسط" با عدم دقت زیادی برآورد می‌شود. فاصله اطمینان در جدول جزئیات و جمله‌های گزارش این صفحه دقیقاً به همین شکل محاسبه می‌شود (Field، 2024، بخش 8.2.4، معادله‌های 8.12-8.14؛ در مثال او – r = .87 با n = 5 – فاصله [−.05, .99] است: در نمونه‌ای بسیار کوچک فاصله تقریباً بی‌فایده است). در SPSS 27 به بعد می‌توان همین فاصله‌ها را مستقیماً در پنجره Bivariate Correlations درخواست کرد (دکمه Confidence interval؛ بالاتر را ببینید).

فاصله اطمینان با bootstrap. وقتی نگرانی از نقض مفروضه نرمال بودن وجود دارد، می‌توان فاصله اطمینان را با bootstrap نیز ساخت – بازنمونه‌گیری از خود نمونه، بدون فرض درباره شکل توزیع (اما با فرض مشاهدات مستقل و نمونه‌ای که نماینده جامعه آماری باشد)؛ این همچنین روش متداول برای فاصله اطمینان همبستگی اسپیرمن است. در SPSS: دکمه Bootstrap در پنجره Bivariate، و مرسوم است نسخه تصحیح‌شده برای سوگیری (BCa) فاصله اطمینان گزارش شود. نتایج bootstrap از اجرایی به اجرای دیگر کمی تغییر می‌کنند، زیرا این روش بر نمونه‌گیری تصادفی استوار است – این یک ویژگی است، نه نقص (Field, 2024, Sections 8.4, 6.10.8).

مقایسه دو همبستگی. تبدیل فیشر اینجا هم به کار می‌آید. وقتی همبستگی‌ها از دو گروه مستقل می‌آیند (مثلاً: آیا رابطه بین اضطراب امتحان و نمره بین مردان و زنان متفاوت است؟)، هر همبستگی به z′ تبدیل می‌شود و تفاوت بررسی می‌شود:

z به‌دست‌آمده با توزیع نرمال مقایسه می‌شود: قدر مطلق بالاتر از 1.96 یعنی تفاوت معنادار در سطح 5% (دودامنه). وقتی همبستگی‌ها از یک نمونه می‌آیند (مثلاً: آیا x قوی‌تر از z با y مرتبط است؟) مقایسه با آزمون t با df = N − 3 انجام می‌شود که از سه همبستگی زوجی استفاده می‌کند؛ در SPSS منوی داخلی برای این کار نیست (Field, 2024, Section 8.6). و توجه کنید: اینکه یک همبستگی معنادار شد و دیگری نه – شاهدی بر تفاوت آن‌ها با یکدیگر نیست؛ خود تفاوت را باید مستقیماً آزمود.

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Cohen, J. (1983). The cost of dichotomization. Applied Psychological Measurement, 7(3), 249-253. https://doi.org/10.1177/014662168300700301

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Jamieson, S. (2004). Likert scales: How to (ab)use them. Medical Education, 38(12), 1217-1218. https://doi.org/10.1111/j.1365-2929.2004.02012.x

MacCallum, R. C., Zhang, S., Preacher, K. J., & Rucker, D. D. (2002). On the practice of dichotomization of quantitative variables. Psychological Methods, 7(1), 19-40. https://doi.org/10.1037/1082-989X.7.1.19

Norman, G. (2010). Likert scales, levels of measurement and the "laws" of statistics. Advances in Health Sciences Education, 15(5), 625-632. https://doi.org/10.1007/s10459-010-9222-y

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که اصل آن‌ها خوانده شده است. Field (2024) و Pallant (2020) در نسخه دیجیتال با متن روان – ارجاع بر اساس بخش و فصل؛ Gravetter و Wallnau (2017)، Cohen (1988)، Cohen و همکاران (2003)، Gelman و Hill (2007) و APA (2020) – بر اساس صفحه و بخش ویراست چاپی؛ مقاله‌ها (Anscombe, 1973; Cohen, 1983; MacCallum et al., 2002; Jamieson, 2004; Norman, 2010) – بر اساس متن اصلی. محاسبه در این صفحه با scipy و R راستی‌آزمایی شده است.