آزمون یو مان-ویتنی

ماشین‌حساب

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها

راهنما

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی دو گروه از آزمودنی‌های متفاوت و یک متغیر برای مقایسه میان آن‌ها وجود دارد – و آزمون t مناسب نیست. Gravetter و Wallnau (2017, Appendix E.1) دلایل گذر از نمره‌ها به رتبه‌ها را برمی‌شمارند: داده‌ها از ابتدا در مقیاس ترتیبی اندازه‌گیری شده‌اند؛ نمره‌ها مفروضه‌های t و ANOVA (نرمال بودن، برابری واریانس‌ها) را نقض می‌کنند؛ واریانس بسیار بالا، که رتبه‌ها آن را "پاک می‌کنند"؛ یا نمره تعریف‌نشده – آزمودنی‌ای که تکلیف را تمام نکرده است به‌سادگی بالاترین رتبه را می‌گیرد. Field (2024، بخش 7.2) وضعیت رایج را می‌افزاید: نمونه کوچک، که در آن نمی‌توان به قضیه حد مرکزی تکیه کرد و نمی‌توان داده‌ها را اصلاح کرد – و یادآوری می‌کند که روش‌های استوار (صفحه داده‌های پرت و مفروضه‌ها) دیگر جانشین آزمون‌های ناپارامتری شده‌اند، اما SPSS اندکی از آن‌ها را ارائه می‌دهد، و این آزمون‌ها "مقدمه‌ای ملایم" بر آزمون فرضیه‌اند. Pallant (2020، فصل 16) آن را به‌عنوان جایگزین ناپارامتری آزمون t برای نمونه‌های مستقل معرفی می‌کند: "آیا مردان و زنان در سطح عزت نفس تفاوت دارند؟".

در این سایت جای طبیعی این آزمون دو وضعیت است: یک گویه رتبه‌بندی منفرد (لیکرت 1-5)، که طبق قرارداد سایت متغیری ترتیبی است و میانگین ندارد (متغیرها و مقیاس‌های اندازه‌گیری) – مقایسه میان دو گروه در اینجا انجام می‌شود، یا در فراوانی‌ها و با خی‌دو؛ و نمره مقیاس یا متغیر کمّی در نمونه کوچک یا با داده‌های پرت، وقتی بررسی نرمال بودن (آزمون نرمال بودن، بر حسب گروه) یا نمودار جعبه‌ای توزیعی نشان می‌دهد که برای t معقول نیست. وقتی هر دو گروه بزرگ‌اند (30 یا بیشتر) و داده‌ها کمّی‌اند، آزمون t پیش‌فرض است – Gravetter و Wallnau: "اگر داده‌ها برای ANOVA یا یکی از آزمون‌های t مناسب باشند، آزمون استاندارد بر جایگزین داده‌های ترتیبی ترجیح دارد" (Appendix E.1) – و مان-ویتنی بنا به قضاوت آن را تقویت یا جایگزین می‌کند؛ کادر "تفسیر نتیجه" می‌گوید در کدام وضعیت هستید. سه گروه یا بیشتر – آزمون کروسکال-والیس، گسترش این آزمون (Gravetter & Wallnau, Appendix E.4).

منطق: رتبه‌ها به جای نمره‌ها

ایده، چنان‌که Field (2024، بخش 7.4.1) آن را توصیف می‌کند، "به‌طرز شگفت‌انگیزی ظریف" است: همه نمره‌های دو گروه با هم، از پایین‌ترین (رتبه 1) تا بالاترین، بدون توجه به گروه رتبه‌بندی می‌شوند. اگر میان گروه‌ها تفاوتی نباشد، رتبه‌های بالا و پایین تقریباً به‌طور برابر میان آن‌ها پخش می‌شوند، و مجموع رتبه‌ها مشابه خواهد بود؛ اگر یک گروه بالاتر باشد، رتبه‌های بالا در آن متمرکز می‌شوند و مجموع رتبه‌هایش بزرگ‌تر خواهد بود. مقادیر یکسان (گره‌ها) میانگین رتبه‌هایی را می‌گیرند که می‌گرفتند – دو نمره 6 که رتبه‌های 3 و 4 بودند 3.5 می‌گیرند، سه نمره 35 در جایگاه‌های 16-18 رتبه 17 می‌گیرند (Field; Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.1: "3 4 4 7 9 9 9 12 ← 1 2.5 2.5 4 6 6 6 8"). از اینجا دو آماره هم‌ارز: W_s ویلکاکسون – مجموع رتبه‌ها در گروه کوچک‌تر (و وقتی گروه‌ها برابرند – مجموع کوچک‌تر) – و U مان-ویتنی، که از آن محاسبه می‌شود: U = n₁n₂ + n₁(n₁ + 1)/2 − R₁ (فرمول 7.8). Gravetter و Wallnau (Appendix E.2) به U تفسیری مستقیم می‌دهند: "گویی دو گروه دو تیم در یک مسابقه‌اند" – هر آزمودنی در گروه الف به ازای هر آزمودنی در گروه ب که رتبه‌ای پایین‌تر از او دارد یک امتیاز می‌گیرد؛ U_A مجموع امتیازهای الف است، U_B مجموع امتیازهای ب، U_A + U_B = n_An_B، و آماره گزارش‌شده کوچک‌ترِ آن دو است. در مثال آنان (E.1)، دو گروه شش‌نفری: U_A = 30, U_B = 6، و از این رو U = 6.

معناداری. در هر دو منبع دو مسیر وجود دارد. در نمونه کوچک – توزیع دقیق: جدول B9 در Gravetter و Wallnau مقدار بحرانی می‌دهد (برای 6 در برابر 6، U ≤ 5 در سطح .05 معنادار است؛ U = 6 نه)، و SPSS Exact Sig. را چاپ می‌کند؛ Field (کادر 7.2): در نمونه کوچک – "در عمل هر چیزی زیر 50" – از p دقیق استفاده می‌شود. در نمونه بزرگ – تقریب نرمال: امید ریاضی و خطای استاندارد آماره فقط از اندازه گروه‌ها به دست می‌آیند – W̄_s = n₁(n₁ + n₂ + 1)/2، SE = √(n₁n₂(n₁ + n₂ + 1)/12) (Field، فرمول‌های 7.1-7.2؛ برای 10 در برابر 10: 105 و 13.23) – و z فاصله آماره از امید ریاضی آن بر حسب واحدهای خطای استاندارد است (فرمول 7.5؛ Gravetter & Wallnau، پیوست E.2، با U: z = (U − n_An_B/2)/√(n_An_B(n_A + n_B + 1)/12)؛ در مثال E.1 – −1.92، نه در ناحیه بحرانی ±1.96، "همان نتیجه‌گیری جدول"). SPSS خطای استاندارد را برای گره‌ها تصحیح می‌کند – و صفحه هم؛ Gravetter و Wallnau و PSPP تصحیح نمی‌کنند، و تفاوت در z معمولاً در رقم سوم است.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – رتبه‌ها و میانه‌ها. این جدول Ranks در SPSS است (N, Mean Rank, Sum of Ranks) به‌علاوه میانه، چارک‌ها و دامنه هر گروه. نخستین چیزی که خوانده می‌شود: میانگین رتبه – "گروهی که میانگین رتبه پایین‌تری دارد گروهی است که نمره‌های پایین بیشتری در آن هست" (Field, 2024, Section 7.4.4)؛ در مثال مواد مخدر Field، در روز یکشنبه میانگین رتبه‌ها 11.95 و 9.05 بود – مشابه – و در روز چهارشنبه 15.10 در برابر 5.90. میانه همان چیزی است که به جای میانگین گزارش می‌شود: "آماره‌ای مناسب‌تر برای آزمون‌های ناپارامتری" (Field، بخش 7.4.6؛ Pallant, 2020، فصل 16 – آنجا در گامی جداگانه با Means تولید می‌شود). توجه کنید که میانه‌های یکسان به این معنا نیستند که تفاوتی وجود ندارد: آزمون کل توزیع را از طریق رتبه‌ها مقایسه می‌کند، نه میانه‌ها را – و از این رو آزمون معنادار با میانه‌های برابر ممکن است، به‌ویژه در یک گویه رتبه‌بندی.

جدول 2 – آزمون. جدول Test Statistics منوی قدیمی در SPSS: Mann-Whitney U، Wilcoxon W، Z، Asymp. Sig. (2-tailed) و Exact Sig.. U و W توصیفی‌اند – مقدارشان به اندازه گروه‌ها وابسته است، و اثر را نمی‌سنجد؛ z همیشه منفی است، چون U کوچک‌ترِ آن دو است، و از این رو چیزی درباره جهت نمی‌گوید – جهت از جدول 1 خوانده می‌شود. صفحه دو مقدار p چاپ می‌کند: مجانبی (از تقریب نرمال، با تصحیح گره‌ها) و دقیق (2·P(U ≤ U_{مشاهده‌شده}) از توزیع دقیق U بدون گره – همان که SPSS به‌صورت Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] چاپ می‌کند؛ قرارداد سایت: وقتی هر دو گروه حداکثر 50 آزمودنی دارند محاسبه می‌شود). قاعده Field (کادر 7.2): نمونه کوچک – دقیق؛ بزرگ – مجانبی کافی است. در مثال او، در روز یکشنبه U = 35.5، p = .280 (غیرمعنادار: "اکستازی فردای آن روز بیش از الکل افسردگی‌زا نیست")، و در روز چهارشنبه U = 4، p < .001 – "p < .001 می‌نویسیم چون p مشاهده‌شده بسیار کوچک است"؛ این مقادیر از جمله آزمون‌های صحت صفحه‌اند. دو ستون آخر – شاخص‌های اثر.

نمودار جعبه‌ای آنچه را آزمون بررسی می‌کند نشان می‌دهد: توزیع‌ها نسبت به یکدیگر کجا قرار دارند – میانه (خط ضخیم)، چارک‌ها (جعبه)، سبیل‌ها و داده‌های پرت (Pallant, 2020, Chapter 6). Field (بخش 7.4.6): "میانه‌ها و دامنه‌هایشان را گزارش کنید، یا نمودار جعبه‌ای رسم کنید".

اندازه اثر – دو معیار، "هم این و هم آن"

SPSS برای این آزمون شاخص اثر چاپ نمی‌کند، و دو منبع دو شاخص متفاوت پیشنهاد می‌کنند. r در Pallant (2020، فصل 16): r = |z|/√N، که در آن N تعداد کل آزمودنی‌هاست – "مقدار تقریبی r" – با قراردادهای Cohen (1988، ص. 79-83): .1 کوچک، .3 متوسط، .5 بزرگ؛ در مثال او z = −1.23, N = 436، r = .06، "بسیار کوچک". r_rb در Field (2024، بخش 7.4.5): همبستگی دورشته‌ای رتبه‌ای (rank-biserial; Cureton, as cited in Field)، با فرمول Wendt: r_rb = 1 − 2U/(n₁n₂) (فرمول 7.11)، با تفسیر شهودی Kerby: در مثال، r_rb = .29 در روز یکشنبه – "حدود 29% داده‌های رتبه‌بندی‌شده از این ایده پشتیبانی می‌کنند که افسردگی پس از اکستازی بالاتر است" – و .92 در روز چهارشنبه، "پشتیبانی بسیار قوی". صفحه آن را از U₁ گروه اولی که انتخاب کرده‌اید محاسبه می‌کند، چنان‌که علامت جهت را می‌گوید: مثبت – گروه الف بالاتر است؛ و درصد زوج‌های پشتیبان را نمایش می‌دهد. دو شاخص یکسان نیستند و به یکدیگر قابل تبدیل نیستند (r از طریق z به N هم وابسته است)؛ دست‌کم یکی گزارش می‌شود، و گفته می‌شود کدام.

مفروضه‌ها و هشدارها

دو مفروضه کلی (Pallant, 2020, Chapter 16): نمونه‌گیری تصادفی، و مشاهدات مستقل – "هر آزمودنی یک بار شمرده می‌شود، نمی‌تواند در بیش از یک گروه ظاهر شود، و داده‌های یک آزمودنی بر داده‌های دیگری اثر نمی‌گذارد"؛ اندازه‌گیری‌های مکرر همان آزمودنی‌ها – برای ویلکاکسون زوجی، نه اینجا. Field (2024، یادداشت 2 فصل 7) یادآوری می‌کند که این آزمون‌ها هم "فارغ از توزیع" نیستند: توزیعی پیوسته را فرض می‌کنند – و از این رو در داده‌های رتبه‌بندی با گره‌های فراوان، تصحیح گره‌ها در z مهم است. توان آماری. Field (کادر 7.1): رتبه‌ها اطلاعات مربوط به اندازه تفاوت‌ها را از دست می‌دهند، و از این رو وقتی مفروضه‌های آزمون پارامتری برقرارند، آن آزمون قوی‌تر است؛ اما وقتی توزیع نمونه‌گیری نرمال نیست، نرخ خطای نوع I آزمون پارامتری معلوم نیست – و آن‌گاه این ادعا که "آزمون‌های ناپارامتری توان کمتری دارند" اصلاً تعریف‌شده نیست. گروه‌های بسیار کوچک. با کمتر از پنج آزمودنی در گروه، آزمون تقریباً نمی‌تواند معنادار شود (توزیع دقیق زمخت است)؛ صفحه هشدار می‌دهد.

مقادیر گمشده. آزمودنی وقتی گنجانده می‌شود که در متغیر وابسته و در متغیر گروه‌بندی مقدار معتبر داشته باشد – حذف به تفکیک تحلیل (/MISSING ANALYSIS). آزمون‌های چندگانه. چند متغیر با یک کلیک یعنی چند آزمون، هر کدام با 5% خطر خطای نوع I. آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. p دقیق برای گروه‌های بزرگ‌تر از 50، Monte Carlo (کادر 7.2)، کولموگروف-اسمیرنوف برای دو گروه، Moses و Wald-Wolfowitz (نکته 7.1 در Field)، آزمون یک‌دامنه به‌عنوان خروجی، فاصله اطمینان برای تفاوت میانه‌ها (Hodges-Lehmann در R) و bootstrap.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

دو منو، دو خروجی. راه جدید (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Sections 7.3 and 7.4.3): Analyze › Nonparametric Tests › Independent Samples… – در زبانه Objective گزینه Customize analysis انتخاب می‌شود (Field: "بهتر است نگذارید رایانه به جای شما فکر کند")؛ در Fields – متغیر طبقه‌ای به Groups و متغیر وابسته به Test Fields؛ در Settings – Customize tests و Mann-Whitney U (2 samples)؛ پیش از آن، Pallant: در Edit › Options › Output گزینه Pivot tables and charts انتخاب شود. خروجی: Hypothesis Test Summary (فقط تصمیم)، و دوبار کلیک Independent-Samples Mann-Whitney U Test Summary را همراه با نمودار رتبه‌ها باز می‌کند – Total N، Mann-Whitney U، Wilcoxon W، Standard Error، Standardized Test Statistic (همان z) و Asymptotic Sig.، و در نسخه‌هایی که ماژول آزمون‌های دقیق را دارند Exact Sig. هم. توجه کنید: در منوی جدید U و W از گروه دوم (کد بالاتر) محاسبه می‌شوند و لزوماً کوچک‌تر نیستند – در مثال Pallant U = 21594 وقتی n = 184 × 252، و آماره استانداردشده بسته به جهت منفی یا مثبت است؛ p یکسان است. میانه‌ها در خروجی نیستند – Pallant آن‌ها را با Analyze › Compare Means › Means و Median در Cell Statistics تولید می‌کند.

راه قدیمی، که صفحه آن را به‌صورت سینتکس تولید می‌کند (چون امکان انتخاب دو گروه از میان چند گروه را می‌دهد و U و W را مانند جدول 2 چاپ می‌کند): Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › 2 Independent Samples… – متغیر به Test Variable List، متغیر گروه‌بندی به Grouping Variable با Define Groups، و Mann-Whitney U علامت‌خورده:

NPAR TESTS
  /M-W=עמדות_ציון BY קבוצה(1 2)
  /MISSING ANALYSIS.

MEANS TABLES=עמדות_ציון BY קבוצה
  /CELLS=COUNT MEDIAN.

خواندن خروجی. Ranks = جدول 1 (N, Mean Rank, Sum of Ranks)؛ Test Statistics = جدول 2 – Mann-Whitney U, Wilcoxon W, Z, Asymp. Sig. (2-tailed)، و برای گروه‌های کوچک Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] هم؛ MEANS – میانه‌ها. سینتکس در برابر PSPP (پیاده‌سازی آزاد) بررسی شد: U، W و مجموع رتبه‌ها یکسان‌اند؛ z در PSPP بدون تصحیح گره‌هاست.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

در R پایه wilcox.test(x, y) – با نام "Wilcoxon rank sum test"، همان آزمون. سه تفاوت با SPSS که دانستنشان مفید است: آماره W در R تعداد زوج‌هایی است که در آن‌ها گروه اول بالاتر است (نه U کوچک‌تر و نه W ویلکاکسون)؛ پیش‌فرض یک تصحیح پیوستگی به p مجانبی می‌افزاید – correct = FALSE همان p در SPSS و صفحه را می‌دهد؛ و p دقیق (exact = TRUE) فقط بدون گره محاسبه می‌شود. اسکریپت عیناً روی فایل نمونه اجرا شد و مقادیر جدول‌ها را داد (در توضیحات). قاعده سایت برای فارسی در R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و محیط UTF-8 برای نام‌های عبری.

# آزمون یو مان-ویتنی – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_mw_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; g <- d[["קבוצה"]]
y1 <- y[g == 1 & !is.na(y)]; y2 <- y[g == 2 & !is.na(y)]

# میانه و چارک‌ها (type = 6 = SPSS) برای هر گروه – جدول 1
median(y1); quantile(y1, c(.25, .75), type = 6)      # آزمایش: Mdn 3.375, [2.91, 4.00]
median(y2); quantile(y2, c(.25, .75), type = 6)      # کنترل: Mdn 3.125, [2.50, 3.55]

# رتبه‌ها: مجموع و میانگین رتبه برای هر گروه (میانگین رتبه برای گره‌ها)
r <- rank(c(y1, y2)); R1 <- sum(r[seq_along(y1)]); R2 <- sum(r[-seq_along(y1)])
c(R1, R2, R1 / length(y1), R2 / length(y2))          # 4147, 3113؛ میانگین رتبه‌ها 69.12, 51.88

# آزمون: p مجانبی بدون تصحیح پیوستگی = SPSS؛ W در R = n1n2 − U1
wt <- wilcox.test(y1, y2, exact = FALSE, correct = FALSE)
wt                                                    # W = 2317, p = .0066
n1 <- length(y1); n2 <- length(y2)
U1 <- n1 * n2 + n1 * (n1 + 1) / 2 - R1; U2 <- n1 * n2 + n2 * (n2 + 1) / 2 - R2
c(U = min(U1, U2), W = min(R1, R2))                  # U = 1283, W = 3113 – مانند SPSS

# مقدار z (منفی مانند SPSS)، r = |z|/√N (Pallant) و r_rb = 1 − 2U1/(n1n2) (Field)
z <- -abs(qnorm(wt$p.value / 2))
c(z = z, r = abs(z) / sqrt(n1 + n2), r_rb = 1 - 2 * U1 / (n1 * n2))   # −2.72, .248, .287

# نمونه کوچک بدون گره – p دقیق (مثال E.1 در Gravetter و Wallnau)
wilcox.test(c(27, 2, 9, 48, 6, 15), c(71, 63, 18, 68, 94, 8), exact = TRUE)   # W = 6, p = .065

گزارش نتایج

Field (2024، بخش 7.4.6): آماره (U، یا W_s اگر ترجیح داده شود)، z، p دقیق (نه p ≤ .05)، یک شاخص اثر – و میانه‌های دو گروه گزارش می‌شوند: "سطح افسردگی مصرف‌کنندگان اکستازی (Mdn = 17.50) فردای آن روز تفاوت معناداری با مصرف‌کنندگان الکل (Mdn = 16.00) نداشت، U = 35.50, z = −1.11, p = .280, r_rb = .29. اما تا روز چهارشنبه مصرف‌کنندگان اکستازی (Mdn = 33.50) به‌طور معناداری افسرده‌تر بودند (Mdn = 7.50)، U = 4.00, z = −3.48, p < .001, r_rb = .92". Pallant (2020، فصل 16) در همان الگو با n و r: "U = 21594, z = −1.23, p = .22, r = .06". Gravetter و Wallnau (Appendix E.2) می‌افزایند که طبق APA بهتر است مجموع رتبه‌ها هم آورده شود. جمله‌های گزارش در خروجی چنین ساخته شده‌اند – میانه و n برای هر گروه، U, z, p (دقیق وقتی محاسبه شده باشد)، r_rb و r. قواعد شکلی (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p و r بدون صفر پیش از نقطه؛ U, W, z با صفر.

اشتباهات رایج

خواندن جهت از علامت z. در خروجی قدیمی z همیشه منفی است؛ جهت – از میانگین رتبه‌ها یا از میانه‌ها (Field, 2024, Section 7.4.4).

گزارش میانگین‌ها. آزمون روی رتبه‌هاست؛ میانه‌ها گزارش می‌شوند (Field, Section 7.4.6; Pallant, 2020, Chapter 16).

خواندن "غیرمعنادار" در نمونه کوچک به‌عنوان "تفاوتی نیست". با 6 در برابر 6 آزمودنی، U = 6 معنادار نیست هرچند گروه‌ها آشکارا متفاوت‌اند (Gravetter & Wallnau، مثال E.1) – توان آماری.

مقایسه U در R، در منوی جدید و در منوی قدیمی. سه تعریف (تعداد زوج‌ها؛ از گروه دوم؛ کوچک‌تر) – همان p.

اینکه گمان کنیم میانه‌های برابر = آزمون غیرمعنادار. آزمون توزیع‌ها را مقایسه می‌کند؛ در یک گویه رتبه‌بندی دو میانه "3" می‌توانند تفاوتی معنادار در رتبه‌ها را پنهان کنند.

پناه بردن به مان-ویتنی هر بار که آزمون نرمال بودن معنادار است. در گروه‌های بزرگ قضیه حد مرکزی t را پوشش می‌دهد (Field, 2024، بخش 6.2.7؛ صفحه آزمون نرمال بودن) – و مان-ویتنی اندازه تفاوت‌ها را از دست می‌دهد (کادر 7.1).

گزارش فقط r یا فقط r_rb بدون گفتن اینکه کدام. دو معیار متفاوت؛ .29 نزد Field همان r_rb است، .06 نزد Pallant همان r.

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Mann و Whitney (1947)، Wilcoxon (1945)، Cureton (1956)، Wendt (1972) و Kerby (2014) – به نقل از Field (2024). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که اصل آن‌ها خوانده شده است؛ Gravetter و Wallnau (2017, Appendix E, pp. 687-692)، Cohen (1988)، Pallant (2020) و APA (2020) – بر اساس صفحه، فصل و بخش در نسخه چاپی؛ Field (2024) در نسخه دیجیتال با متن روان – بر اساس بخش، فرمول و کادر (جدول 7.1 او فایل آزمون صحت صفحه است). سینتکس – در برابر PSPP راستی‌آزمایی شده؛ R در نسخه 4.3.3 اجرا شد.