آزمون نرمال بودن

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها

چه زمانی استفاده می‌شود؟

پیش از آزمونی که نرمال بودن را فرض می‌کند – آزمون t، ANOVA، رگرسیون، همبستگی پیرسون – و به‌ویژه وقتی نمونه کوچک است. Field (2024، بخش 6.9) توضیح می‌دهد که چرا خود متغیر بررسی می‌شود، هرچند مفروضه درباره خطاهای مدل است: اگر متغیر پیامد توزیع نرمال داشته باشد، خطاها نیز باید چنین باشند، و از این رو بررسی توزیع متغیر "گام نخست سودمندی" است – و اگر پیامد آشکارا نرمال نباشد (برای مثال چولگی مثبت شدید)، شاید مدل خطی از ابتدا مدل درستی نباشد. Pallant (2020، فصل 6) این بررسی را از طریق Explore روی هر متغیر وابسته پیش از آزمون‌های بخش‌های چهارم و پنجم کتابش اجرا می‌کند، و در آزمون‌هایی که گروه‌ها را مقایسه می‌کنند – برای هر گروه جداگانه (Factor List). از این رو صفحه گروه‌بندی را پیشنهاد می‌کند.

آنچه صفحه بررسی نمی‌کند: مفروضه‌های دیگر – خطی بودن، برابری واریانس، استقلال – که از نرمال بودن مهم‌ترند (صفحه داده‌های پرت و مفروضه‌ها، بخش 3)؛ و باقیمانده‌های یک مدل رگرسیون (آن‌ها در صفحه رگرسیون هستند). یک گویه لیکرت منفرد طبق قرارداد سایت متغیری ترتیبی است (متغیرها و مقیاس‌های اندازه‌گیری) – سؤال نرمال بودن سؤال درستی برای آن نیست، و صفحه وقتی انتخاب شود هشدار می‌دهد؛ نمره مقیاس چندگویه‌ای (آلفای کرونباخ و نمره مقیاس) – بله.

منطق: نمودارها پیش از اعداد، اعداد پیش از آزمون‌ها

ترتیب Field (2024، بخش‌های 6.9.4-6.9.5 و کادر 6.7) ترتیب خروجی در اینجا نیز هست. ابتدا شکل – هیستوگرام و نمودار Q-Q: هر دو با چشم نشان می‌دهند که آیا توزیع متقارن است، آیا دنباله‌ای بلند به یک سمت دارد، و آیا مقادیر منفردی دور از بقیه وجود دارند. سپس اعداد – چولگی و کشیدگی: در توزیع نرمال هر دو صفرند؛ چولگی مثبت – تمرکز در مقادیر پایین و دنباله به سمت راست، منفی – تمرکز در مقادیر بالا؛ کشیدگی مثبت – دنباله‌های سنگین، منفی – دنباله‌های سبک؛ "هرچه مقدار از صفر دورتر باشد، انحراف شدیدتر است" (بخش 6.9.5). Pallant (2020، فصل 6) همین ترتیب را دارد، با یک افزوده: در نمونه‌های نسبتاً بزرگ چولگی "تفاوت اساسی در تحلیل ایجاد نمی‌کند"، و کشیدگی ممکن است برآورد واریانس را کوچک کند اما این خطر نیز از 200 آزمودنی به بالا کاهش می‌یابد (Tabachnick و Fidell، 2013، به نقل از Pallant). و فقط در پایان آزمون‌ها – و با احتیاط (بخش آزمون‌های نرمال بودن).

پشت همه این‌ها قضیه حد مرکزی قرار دارد (Field, 2024, Sections 6.2.7 and 6.8.3): آنچه آزمون‌ها لازم دارند توزیع نمونه‌گیری نرمال میانگین (یا ضریب) است، و این توزیع با بزرگ‌تر شدن نمونه به نرمال نزدیک می‌شود – صرف‌نظر از شکل داده‌ها. مقدار رایج 30 است، اما در توزیعی با دنباله‌های سنگین ممکن است 100 و حتی بیشتر لازم باشد (کادر 6.4). به همین دلیل کادر "تفسیر نتیجه" با حجم نمونه آغاز می‌شود: در نمونه کوچک نرمال بودن واقعاً مهم است، و در نمونه بزرگ تقریباً تأثیری ندارد – و آزمون‌های نرمال بودن دقیقاً عکس این را می‌گویند.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – توصیف توزیع. این جدول Descriptives از Explore است، با سه مقایسه که ارزش انجام دادن دارند. میانگین در برابر میانه: در توزیع متقارن به هم نزدیک‌اند؛ چولگی مثبت میانگین را بالا می‌کشد و نه میانه را، و از این رو "اگر میانگین بزرگ‌تر از میانه باشد، احتمالاً چولگی مثبت وجود دارد" (Field, 2024, Section 6.9.5) – و برعکس. میانگین در برابر میانگین پیراسته 5%: SPSS 5% مقادیر بالا و 5% مقادیر پایین را حذف می‌کند و میانگین جدیدی محاسبه می‌کند؛ "اگر دو میانگین بسیار متفاوت باشند، ممکن است لازم باشد این نقاط داده را بررسی کنید" – مقادیر انتهایی اثرگذارند (Pallant, 2020، فصل 6؛ در مثال او 26.73 در برابر 26.64 – بسیار مشابه، و موردها باقی می‌مانند). چولگی و کشیدگی در برابر خطاهای استانداردشان: تقسیم، z را می‌دهد (Field, 2024, Equation 6.34) – بالای 1.96 در .05 معنادار است، بالای 2.58 در .01، بالای 3.29 در .001 (کادر 6.7). جدول این را با ستاره علامت می‌زند، اما به مثال خود Field توجه کنید: در داده‌های بهداشت روز 1 (N = 810) چولگی 0.004- بود – توزیعی کاملاً متقارن – و با این حال کشیدگی "معنادار" شد (z = −2.38)، و "به دلیل نمونه بزرگ باید این یافته‌ها را با احتیاط پذیرفت و به قضیه حد مرکزی دل خوش کرد". در نمونه بزرگ ستاره‌ها تقریباً همیشه ظاهر می‌شوند؛ خود مقدار – نه z – چیزی است که باید خواند.

جدول 2 – آزمون‌های نرمال بودن. جدول Tests of Normality: فرض صفر این است که توزیع نرمال است، و از این رو p < .05 یعنی "تفاوت معنادار با نرمال" و p > .05 – "تفاوتی یافت نشد" (Field, 2024, Section 6.9.5; Pallant, 2020, Chapter 6). درجه آزادی برابر با N است: نمونه با یک توزیع نرمال آرمانی مقایسه می‌شود، نه با N − 1 (Field، یادداشت 14 فصل 6). کولموگروف-اسمیرنوف (D) بیشترین فاصله بین توزیع تجمعی نمونه و توزیع تجمعی نرمالی با میانگین و انحراف معیار نمونه را می‌سنجد؛ از آنجا که میانگین و انحراف معیار از داده‌ها برآورد می‌شوند، p معمول کولموگروف-اسمیرنوف درست نیست، و از "تصحیح Lilliefors" استفاده می‌شود – این همان یادداشت زیر جدول در SPSS است (Gross & Ligges, 2015، مستندات lillie.test). شاپیرو-ویلک (W) مجذور همبستگی بین داده‌های مرتب‌شده و مقادیر مورد انتظار از توزیع نرمال است – 1 در تطابق کامل، و هرچه انحراف بزرگ‌تر باشد کوچک‌تر از آن؛ این آماره تا 5,000 مشاهده محاسبه می‌شود (R Core Team, 2024، مستندات shapiro.test). در SPSS شاپیرو-ویلک در کنار کولموگروف-اسمیرنوف چاپ می‌شود، و در اینجا هم در همان جدول. وقتی این دو با هم اختلاف دارند – که کم پیش نمی‌آید – "برنده‌ای" وجود ندارد: هر دو نشانه‌ای است برای بازگشت به نمودارها.

نمودار هیستوگرام با منحنی نرمال (میانگین و انحراف معیار نمونه) – به تقارن، به تیزی یا پهنی، و به مقادیر منفرد دور نگاه می‌شود: در مثال Field مقدار 20.02 در مقیاس 0-4 پیش از هر آزمونی در هیستوگرام آشکار شد، و پس از اصلاح آن به 2.02 توزیع نرمال به نظر رسید (بخش 6.9.3). نمودار Q-Q (quantile-quantile; Field, 2024, Section 6.9.4): برای هر مقدار مشاهده‌شده نمره نرمالی که برای رتبه آن انتظار می‌رفت محاسبه می‌شود؛ اگر داده‌ها نرمال باشند، نقاط روی خط قطری قرار می‌گیرند. کمان (نقاط در وسط بالای خط "برآمده‌اند") – چولگی؛ شکل S – دنباله‌های سنگین یا سبک (شکل 6.23). صفحه مانند SPSS رسم می‌کند: مقدار مشاهده‌شده روی محور افقی و مقدار مورد انتظار روی محور عمودی؛ در R محورها برعکس‌اند، و الگوها نیز (Field، یادداشت 12 فصل 6). مقادیر یکسان – مانند مقیاس درجه‌بندی – در یک نقطه بزرگ‌تر مشترک‌اند. Pallant (2020) نیز Q-Q را این‌گونه می‌خواند: "یک خط نسبتاً راست نشان‌دهنده توزیع نرمال است".

آزمون‌های نرمال بودن – چرا با احتیاط

Field (2024، کادر 6.7) می‌نویسد که این آزمون‌ها را "عمدتاً به این دلیل که مردم انتظار دارند چنین چیزهایی را در کتاب‌های مقدماتی ببینند، و نه به این دلیل که ایده خوبی هستند" آورده است. مشکل دوگانه است، و دو سوی آن خلاف نیاز است: (1) در نمونه بزرگ آزمون‌ها حتی برای انحراف‌های کوچک و بی‌اهمیت معنادارند – و درست همان‌جا، به لطف قضیه حد مرکزی، نرمال بودن تقریباً تأثیری ندارد؛ پس آزمون باعث می‌شود نگران چیزی شویم و چیزی را اصلاح کنیم که نیازی به اصلاح ندارد. (2) در نمونه کوچک، که باید نگران بود، آزمون توان آماری لازم برای کشف تخطی را ندارد – و "ما را تشویق می‌کند نگران چیزی نباشیم که احتمالاً باید نگرانش باشیم". توصیه او: در نمونه بزرگ اصلاً از آزمون‌ها استفاده نکنید ("در واقع زیاد نگران نرمال بودن نباشید")؛ در نمونه کوچک – وقتی آزمون معنادار است توجه کنید، "اما در برابر احساس امنیت کاذب وقتی معنادار نیست مقاومت کنید". همین در Pallant (2020، فصل 6): در مثال او (N = 433) کولموگروف-اسمیرنوف p = .000 شد هرچند هیستوگرام "نسبتاً نرمال به نظر می‌رسد" – "این در نمونه‌های بزرگ نسبتاً رایج است"، و Tabachnick و Fidell توصیه می‌کنند به جای آن از هیستوگرام استفاده شود. مثال Field مشابه است: روز 1 (N = 810) کاملاً نرمال به نظر می‌رسد و کولموگروف-اسمیرنوف p = .097 داد – "به‌طرز شگفت‌آوری نزدیک به معنادار"، فقط به دلیل حجم نمونه (بخش 6.9.5).

قرارداد سایت – "هم این و هم آن". آزمون‌ها چاپ می‌شوند، زیرا در خروجی SPSS و در مقاله‌ها ظاهر می‌شوند و باید خواندنشان را بلد بود؛ اما کادر "تفسیر نتیجه" بر اساس حجم نمونه به آن‌ها وزن می‌دهد – در نمونه 200 و بیشتر صریحاً می‌گوید آن‌ها را نادیده بگیرید، بین 30 تا 200 بر اساس شکل تصمیم بگیرید، و زیر 30 آزمون معنادار را جدی بگیرید و به آزمون غیرمعنادار تکیه نکنید. گزارش فقط یک آزمون نرمال بودن، بدون چولگی، کشیدگی و نمودار، گزارش بررسی نرمال بودن نیست.

وقتی توزیع نرمال نیست چه باید کرد

پیش از هر چیز – هراسان نشوید: نرمال بودن کم‌اهمیت‌ترین مفروضه در میان مفروضه‌های مدل خطی است، و درباره خطاهاست (صفحه داده‌های پرت و مفروضه‌ها، بخش‌های 3-4؛ Field, 2024، بخش 6.8). ترتیب در آنجا: داده‌های پرت و خطاهای تایپی پیش از همه – مقداری که خارج از دامنه مقیاس است خطاست و نه "نانرمال بودن"؛ داده پرت واقعی باقی می‌ماند، مگر اینکه ثابت شود از جامعه آماری نیست. سپس، وقتی تخطی واقعی است و نمونه کوچک، روش‌های استوار و bootstrap به جای تبدیل پیامد (بخش 6 در آنجا). و وقتی آزمونی می‌خواهید که نرمال بودن را فرض نکند – جایگزین‌های ناپارامتری: مان-ویتنی به جای t برای نمونه‌های مستقل، ویلکاکسون به جای t برای نمونه‌های زوجی، کروسکال-والیس به جای ANOVA یک‌راهه. Pallant (2020، فصل 6) نکته‌ای اطمینان‌بخش می‌افزاید: بسیاری از مقیاس‌ها در علوم اجتماعی چوله‌اند "نه به دلیل مشکلی در مقیاس، بلکه به دلیل ماهیت سازه اندازه‌گیری‌شده" – رضایت از زندگی چولگی منفی دارد (بیشتر مردم نسبتاً راضی‌اند)، شاخص‌های اضطراب و افسردگی در جمعیت عمومی چولگی مثبت دارند؛ این توصیفی از جهان است، و در نمونه بزرگ برای آزمون مشکلی نیست.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

روش Pallant (2020، فصل 6، "ارزیابی نرمال بودن"): Analyze › Descriptive Statistics › Explore… – متغیرها به کادر Dependent List؛ متغیر گروه‌بندی (اگر هست) به Factor List؛ متغیر شناسه به Label Cases by؛ در Display – Both؛ Statistics… – Descriptives و Outliers؛ Plots… – Histogram (و لغو Stem-and-leaf) و Normality plots with tests؛ Options… – Exclude cases pairwise. Field (2024، بخش 6.9.2) بر گزینه آخر تأکید می‌کند: پیش‌فرض، listwise، آزمودنی را اگر در یکی از متغیرها مقدار گمشده داشته باشد از همه متغیرها حذف می‌کند – در مثال او 810 آزمودنی در روز 1 به 123 تبدیل می‌شدند. سینتکسی که صفحه تولید می‌کند:

EXAMINE VARIABLES=עמדות_ציון גיל BY קבוצה
  /PLOT HISTOGRAM NPPLOT
  /STATISTICS DESCRIPTIVES
  /CINTERVAL 95
  /MISSING PAIRWISE
  /NOTOTAL.

خواندن خروجی. Descriptives = جدول 1 (شامل 5% Trimmed Mean، Interquartile Range، Skewness و Kurtosis با Std. Error؛ SPSS مقدار z را چاپ نمی‌کند – با دست تقسیم کنید، یا آن را اینجا بخوانید)؛ Tests of Normality = جدول 2 (با یادداشت Lilliefors Significance Correction، و .200* وقتی p کولموگروف-اسمیرنوف .200 و بیشتر است – "حد پایین معناداری واقعی"؛ صفحه مقدار محاسبه‌شده را چاپ می‌کند)؛ Histogram، Normal Q-Q Plot و Detrended Normal Q-Q Plot (انحراف نقاط از خط – باید بدون خوشه‌بندی حول صفر پراکنده شوند؛ Pallant) و Boxplot؛ Extreme Values – پنج مقدار بالا و پایین با شماره سطر (Field مقدار 20.02 را این‌گونه یافت). بدون /NOTOTAL، وقتی متغیر گروه‌بندی وجود دارد SPSS یک سطر برای کل نمونه نیز می‌افزاید.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

در R پایه: shapiro.test()، qqnorm() و qqline()، hist()؛ برای کولموگروف-اسمیرنوف با تصحیح Lilliefors – lillie.test() از بسته nortest (Gross & Ligges, 2015؛ مقدار p در ks.test() پایه وقتی میانگین و انحراف معیار از داده‌ها برآورد می‌شوند درست نیست – چنان‌که در مستندات بسته آمده است)، و برای چولگی و کشیدگی با فرمول‌های SPSS – skewness() و kurtosis() از بسته e1071 با type = 2. توجه کنید: mean(x, trim = 0.05) در R تعداد صحیحی از مشاهدات را از هر سمت حذف می‌کند، و از این رو با 5% Trimmed Mean در SPSS یکسان نیست؛ و دامنه میان‌چارکی SPSS با quantile(type = 6) به دست می‌آید. اسکریپت عیناً روی فایل نمونه اجرا شد و مقادیر جدول‌ها را داد (در توضیحات). قاعده سایت برای فارسی در R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و محیط UTF-8 برای نام‌های عبری.

# آزمون نرمال بودن – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل
library(e1071)    # چولگی و کشیدگی با فرمول‌های SPSS (type = 2)
library(nortest)  # آزمون Lilliefors (کولموگروف-اسمیرنوف با تصحیح Lilliefors)

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_normality_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; y <- y[!is.na(y)]

# توصیف – جدول 1: میانگین، خطای استاندارد، میانه، انحراف معیار، فاصله اطمینان، دامنه میان‌چارکی (type = 6 = SPSS)
n <- length(y)
c(n = n, M = mean(y), SE = sd(y) / sqrt(n), Mdn = median(y), SD = sd(y))   # 120, 3.269, 0.068, 3.25, 0.745
mean(y) + c(-1, 1) * qt(0.975, n - 1) * sd(y) / sqrt(n)                   # فاصله اطمینان 95% [3.135, 3.404]
quantile(y, c(0.25, 0.75), type = 6)                                       # 2.75, 3.84 – دامنه میان‌چارکی 1.09

# چولگی و کشیدگی مانند SPSS (type = 2)، خطاهای استاندارد و z
sk <- skewness(y, type = 2); ku <- kurtosis(y, type = 2)                 # −0.060, −0.142
se_sk <- sqrt(6 * n * (n - 1) / ((n - 2) * (n + 1) * (n + 3)))           # 0.221
se_ku <- sqrt(4 * (n^2 - 1) * se_sk^2 / ((n - 3) * (n + 5)))              # 0.438
c(z_skew = sk / se_sk, z_kurt = ku / se_ku)                                # −0.27, −0.32

# آزمون‌های نرمال بودن – جدول 2
shapiro.test(y)                      # W = 0.993, p = .818
lillie.test(y)                       # D = 0.045, p = .795

# نمودارها: هیستوگرام با منحنی نرمال، و نمودار Q-Q (در R مقدار مورد انتظار روی محور افقی – برعکس SPSS)
hist(y, freq = FALSE); curve(dnorm(x, mean(y), sd(y)), add = TRUE)
qqnorm(y); qqline(y)

# به تفکیک گروه: همین کار برای هر سطح "קבוצה"
by(d[["עמדות_ציון"]], d[["קבוצה"]], shapiro.test)   # گروه 1: W = 0.972, p = .179؛ گروه 2: W = 0.985, p = .692

گزارش نتایج

آنچه را دیده‌اید گزارش کنید، نه فقط آنچه را آزموده شده است: شکل به زبان کلمات (تقریباً متقارن؛ چولگی مثبت متوسط)، چولگی و کشیدگی با خطاهای استاندارد، و اگر آزمونی گزارش می‌شود – آماره، درجه آزادی (= N) و p دقیق. مثال Field (2024، بخش 6.9.5) یک توصیف است: "در روز 1 چولگی اساساً صفر است، توزیعی متقارن؛ در روزهای 2 و 3 مقادیر چولگی حدود 1، چولگی مثبت". جمله‌های گزارش در خروجی به همین شکل ساخته شده‌اند، به فارسی و انگلیسی: شکل توزیع (بر اساس آستانه‌هایی که قرارداد سایت هستند: چولگی با قدر مطلق تا 0.5 – "تقریباً متقارن"، 0.5-1 "متوسط"، بالای 1 "قابل‌توجه"؛ همین آستانه‌ها برای کشیدگی)، مقادیر با خطاهای استاندارد، میانگین، میانه و انحراف معیار، و سپس دو آزمون. وقتی نمونه بزرگ است، صریحاً نوشته می‌شود که تصمیم بر اساس شکل است و نه بر اساس آزمون، و به قضیه حد مرکزی ارجاع داده می‌شود. قواعد صوری (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): D و W و p بدون صفر پیش از نقطه (نمی‌توانند از 1 بیشتر شوند)؛ چولگی و کشیدگی – با صفر.

اشتباهات رایج

تصمیم‌گیری بر اساس p آزمون نرمال بودن در نمونه بزرگ. در N چندصدتایی تقریباً همه چیز "معنادار" است، و تقریباً هیچ چیز تأثیری ندارد (Field, 2024, Box 6.7; Pallant, 2020, Chapter 6).

آسوده شدن از p غیرمعنادار در نمونه کوچک. آزمون توان آماری ندارد؛ "انحرافی یافت نشد" به معنای "انحرافی وجود ندارد" نیست. به نمودارها نگاه کنید.

خواندن ستاره‌های z به جای خود مقدار. z با نمونه بزرگ می‌شود؛ چولگی 0.3 چولگی کوچکی است هم در N = 50 و هم در N = 5,000، هرچند فقط در دومی ستاره دارد.

بررسی کل نمونه وقتی آزمون گروه‌ها را مقایسه می‌کند. مفروضه درباره توزیع درون هر گروه است؛ دو گروه نرمال با میانگین‌های متفاوت روی هم دوقله‌ای به نظر می‌رسند.

تبدیل داده‌ها به دلیل چولگی. پیش از آن – داده‌های پرت و خطاهای تایپی؛ پس از آن – روش‌های استوار و bootstrap، نه تبدیل پیامد (صفحه داده‌های پرت و مفروضه‌ها، بخش 6).

بررسی نرمال بودن یک گویه لیکرت منفرد. پنج مقدار ممکن توزیع نرمال ندارند و قرار هم نیست داشته باشند؛ گویه منفرد متغیری ترتیبی است – فراوانی‌ها و میانه (فراوانی‌ها و آمار توصیفی).

باقی گذاشتن پیش‌فرض listwise در Explore. آزمودنی دارای مقدار گمشده در یکی از متغیرها از همه آن‌ها حذف می‌شود (Field, 2024, Section 6.9.2; Pallant, 2020, Chapter 6) – pairwise را انتخاب کنید، مانند صفحه.

استفاده از p در ks.test در R. این آزمون میانگین و انحراف معیار معلوم را فرض می‌کند؛ برای نرمال بودن با پارامترهای برآوردشده – lillie.test (Gross & Ligges, 2015).

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gross, J., & Ligges, U. (2015). nortest: Tests for normality (R package version 1.0-4) [Computer software]. https://CRAN.R-project.org/package=nortest

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

R Core Team. (2024). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.3.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Tabachnick و Fidell (2013) – به نقل از Pallant (2020)؛ Royston (1995) – به نقل از مستندات shapiro.test در R؛ Dallal و Wilkinson (1986) و Stephens (1974) – به نقل از مستندات بسته nortest؛ Joel و Charlot (2022) – به نقل از Field (2024). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که اصل آن‌ها خوانده شده است؛ Pallant (2020) و APA (2020) – بر اساس فصل و بخش در نسخه چاپی؛ Field (2024) در نسخه دیجیتال با متن روان – بر اساس بخش، کادر و یادداشت؛ مستندات R و nortest – به همان صورتی که در R 4.3.3 چاپ می‌شود. الگوریتم شاپیرو-ویلک و تقریب p در Lilliefors در صفحه بر اساس پیاده‌سازی R پیاده‌سازی شده و در برابر آن و در برابر PSPP راستی‌آزمایی شده‌اند.