آزمون t تک‌نمونه‌ای

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها و مقدار آزمون

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی یک نمونه، یک میانگین و یک سؤال داریم: آیا این میانگین با مقداری معین تفاوت دارد. Gravetter و Wallnau (2017، فصل 9) دو وضعیت را معرفی می‌کنند. نخست – جامعه آماری معلوم پیش از مداخله: میانگین جامعه پیش از مداخله معلوم است (برای نمونه 30)، نمونه‌ای مداخله را دریافت کرده است، و سؤال این است که آیا میانگین پس از مداخله هنوز 30 است (ص. 274-275، شکل 9.3). دوم، و رایج‌تر در علوم اجتماعی – مقداری که از منطق به دست می‌آید، بدون هیچ دانش قبلی درباره جامعه: سؤال‌های رتبه‌بندی روی مقیاس 1-7، که در آن 4 "خنثی" است، و سؤال پژوهش این است که آیا پاسخ‌دهندگان اصلاً نگرشی دارند – H₀: μ = 4 (ص. 275-276؛ پژوهش طنز McGee و Shevlin، 2009، در آغاز فصل: توصیفی با حس شوخ‌طبعی M = 4.53 گرفت، به‌طور معنادار بالاتر از 4)؛ یا نوزادانی که به مدت 20 ثانیه به دو چهره نگاه کردند – اگر ترجیحی وجود نداشته باشد، میانگین برای چهره زیبا 10 ثانیه است، H₀: μ = 10 (مثال 9.2). "تنها چیزی که برای محاسبه t لازم است یک فرض صفر و نمونه‌ای از جامعه نامعلوم است" (ص. 275).

این آزمون پایه خانواده t است: دو آزمون دیگر سایت – برای نمونه‌های مستقل (دو گروه جدا) و برای نمونه‌های زوجی (همان آزمودنی‌ها دو بار) – دو میانگین را با هم مقایسه می‌کنند؛ اینجا یک میانگین با یک مقدار ثابت مقایسه می‌شود. نمره مقیاس چندگویه‌ای (صفحه آلفای کرونباخ و نمره مقیاس) طبق قرارداد سایت (متغیرها و مقیاس‌های اندازه‌گیری) متغیر فاصله‌ای در نظر گرفته می‌شود، و از این رو می‌توان آن را در برابر میانه مقیاس آزمود؛ گویه لیکرت منفرد – نه (فراوانی‌ها و میانه، در صفحه فراوانی‌ها).

منطق: تفاوت تقسیم بر خطای استاندارد

ایده Gravetter و Wallnau (2017، بخش 9.1): میانگین نمونه میانگین جامعه را تقریب می‌زند، و خطای استاندارد می‌گوید چه اندازه تفاوتی میان آن‌ها منطقاً انتظار می‌رود. در z-score تفاوت M − μ بر خطای استاندارد واقعی تقسیم می‌شود، که به انحراف معیار جامعه نیاز دارد – که تقریباً هرگز معلوم نیست؛ "تمام دلیل آزمون این است که درباره جامعه‌ای نامعلوم چیزی بیاموزیم" (ص. 269). راه‌حل: خطای استاندارد از روی نمونه برآورد می‌شود، s_M = s/√n (فرمول 9.1)، و t به دست می‌آید – همان ساختار z، با یک برآورد در مخرج: t = (M − μ)/s_M (فرمول 9.2). صورت کسر تفاوت واقعی بین داده‌ها و فرضیه را اندازه می‌گیرد؛ مخرج – اینکه چه اندازه تفاوتی منطقاً به‌طور تصادفی انتظار می‌رود؛ وقتی صورت بسیار بزرگ‌تر از مخرج باشد، t بزرگ است (مثبت یا منفی) و داده‌ها با فرضیه سازگار نیستند (ص. 275).

از آنجا که مخرج نیز برآورد می‌شود و از نمونه‌ای به نمونه دیگر تغییر می‌کند، t بیش از z تغییر می‌کند: توزیع t از توزیع نرمال پهن‌تر و گسترده‌تر است، به‌ویژه وقتی درجه آزادی – df = n − 1 (فرمول 9.3) – کوچک است، و هرچه n بزرگ‌تر شود به آن نزدیک‌تر می‌شود (بخش 9.1، شکل 9.1): در df = 1 مقدار بحرانی دودامنه برای .05 برابر 12.706 است، در df = 8 – 2.306، و در بی‌نهایت – 1.96 (جدول 9.1). این صفحه از جدول استفاده نمی‌کند: p دقیق را از توزیع t محاسبه می‌کند، همان‌طور که "خروجی رایانه" انجام می‌دهد (ص. 287)، و آن را به‌صورت عدد گزارش می‌کند و نه به‌صورت p < .05.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – آمار نمونه. N مقادیر معتبر، میانگین، انحراف معیار (نمونه‌ای، n − 1) و خطای استاندارد میانگین. این جدول One-Sample Statistics در SPSS است. نخست بررسی می‌شود که N منطقی باشد – گمشده‌های زیاد یا یک مقدار متنی در ستون آن را کاهش می‌دهند، و صفحه هنگام بارگذاری این را اعلام می‌کند.

جدول 2 – آزمون. جدول One-Sample Test در SPSS: مقدار آزمون، t، df، p دودامنه، تفاوت M − μ₀ (Mean Difference) و فاصله اطمینان 95% برای تفاوت. علامت t و تفاوت نشان می‌دهد نمونه در کدام جهت از مقدار آزمون فاصله می‌گیرد: مثبت – میانگین از آن بالاتر است. p کوچک‌تر از .05 – میانگین به‌طور معنادار با مقدار آزمون تفاوت دارد؛ در غیر این صورت – تفاوت معناداری یافت نشد (Gravetter & Wallnau، 2017، ص. 277: "تصمیم آماری"). فاصله اطمینان. جدول فاصله را برای تفاوت چاپ می‌کند، مانند SPSS؛ در یادداشت جدول و در نمودار همان فاصله برای میانگین می‌آید – μ = M ± t·s_M (فرمول 9.6؛ مثال 9.5) – که صرفاً فاصله تفاوت به‌علاوه مقدار آزمون است. وقتی فاصله تفاوت صفر را در بر می‌گیرد (یعنی فاصله میانگین مقدار آزمون را در بر می‌گیرد)، آزمون معنادار نیست، و برعکس. هرچه نمونه بزرگ‌تر و سطح اطمینان پایین‌تر باشد، فاصله باریک‌تر است (ص. 286)؛ و از این رو، به هشدار Gravetter و Wallnau، فاصله توصیفی از اثر است اما جایگزین d یا r² نیست (ص. 286).

اندازه اثر

"ممکن است اثر مداخله‌ای بسیار کوچک 'از نظر آماری معنادار' باشد، به‌ویژه وقتی نمونه بسیار بزرگ است"، و از این رو در کنار آزمون، شاخصی برای اندازه اثر نیز گزارش می‌شود (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 279). دو شاخص در خروجی هست، و هر دو تقریباً به حجم نمونه وابسته نیستند (ص. 284):

d کوهن (برآورد). تفاوت بین میانگین نمونه و مقدار آزمون بر حسب واحد انحراف معیار نمونه: d = (M − μ)/s (فرمول 9.4). در مثال نوزادان: (13 − 10)/3 = 1.00 – اثر برابر با یک انحراف معیار است (مثال 9.3، شکل 9.5). Gravetter و Wallnau یادآوری می‌کنند که وقتی مقادیر نمونه به جای پارامترها قرار می‌گیرند، بسیاری از پژوهشگران ترجیح می‌دهند آن را "d برآوردی" بنامند (ص. 280)؛ این همان Cohen's d در خروجی SPSS 27 و بالاتر برای تک‌نمونه است. قراردادهای Cohen (1988، ص. 25-27): 0.2 کوچک، 0.5 متوسط، 0.8 بزرگ – با این هشدار او که آستانه‌ها برای جهت‌یابی‌اند، و اثر در بافت هر حوزه داوری می‌شود.

r² – درصد واریانس تبیین‌شده. چه مقدار از واریانس نمره‌ها با جابه‌جایی از مقدار آزمون "تبیین می‌شود": در مثال، واریانس حول 10 برابر SS = 153 است، و پس از حذف اثر (3 نمره از هر نمره) – 72؛ تفاوت، 81 از 153، برابر 52.94% است (جدول 9.2). فرمول از خود آزمون: r² = t²/(t² + df) (فرمول 9.5) – در بافت t گاهی آن را ω² نیز می‌نامند. آستانه‌های Cohen برای r² (جدول 9.3): .01 کوچک، .09 متوسط، .25 بزرگ – توجه کنید که این‌ها آستانه‌های r به توان دو هستند (.1/.3/.5)، و متفاوت‌اند از آستانه‌هایی که صفحه آزمون t مستقل برای η² از Pallant می‌آورد (.01/.06/.14)؛ این صفحه از منبع خود، Gravetter و Wallnau، پیروی می‌کند. انحراف معیار بزرگ هم t و هم هر دو شاخص اثر را کاهش می‌دهد؛ حجم نمونه فقط p را کاهش می‌دهد (ص. 278، 284).

مفروضه‌ها و هشدارها

دو مفروضه (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 277-278): مشاهدات از یکدیگر مستقل‌اند – یک رویداد بر احتمال رویداد دیگر اثر نمی‌گذارد (آزمودنی‌ای که دو بار اندازه‌گیری شده، زوج‌ها، کلاس‌ها – این را نقض می‌کنند)؛ و جامعه آماری توزیع نرمال دارد – مفروضه‌ای که برای ریاضیات لازم است، اما "نقض آن اثر عملی کمی دارد، به‌ویژه وقتی نمونه نسبتاً بزرگ است"؛ در نمونه بسیار کوچک اهمیت دارد، و "اگر دلیلی برای تردید در نرمال بودن توزیع هست – برای اطمینان از نمونه بزرگ استفاده کنید". Field (2024) توضیح می‌دهد چرا: آنچه لازم است توزیع نمونه‌گیری نرمالِ میانگین است، و قضیه حد مرکزی آن را وقتی نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد تضمین می‌کند (بخش‌های 6.2.7 و 6.8.3) – مقدار متداول 30 است، اما در توزیعی با دنباله‌های سنگین ممکن است 100 و حتی بیشتر لازم باشد (کادر 6.4)؛ در نمونه کوچک به هیستوگرام (فراوانی‌ها و آمار توصیفی) و به داده‌های پرت (داده‌های پرت و مفروضه‌ها) نگاه می‌شود، و در نمونه بزرگ بر اساس آزمون نرمال بودن تصمیم گرفته نمی‌شود (کادر 6.7). کادر "تفسیر نتیجه" این را وقتی n کمتر از 30 است یادآوری می‌کند.

مقدار آزمون یک تصمیم است، نه یک یافته. این مقدار پیش از تحلیل بر پایه منطق یا دانش بیرونی تعیین می‌شود – میانه مقیاس، میانگین منتشرشده، هنجار – و همراه با دلیلش گزارش می‌شود. انتخاب آن پس از دیدن میانگین، یا امتحان کردن چند مقدار تا وقتی که نتیجه معنادار شود، معنای p را از بین می‌برد (ببینید اخلاق در پژوهش، بخش 7).

آزمون یک‌دامنه. Gravetter و Wallnau (بخش 9.4) نشان می‌دهند که آزمون جهت‌دار چگونه اجرا می‌شود – مقدار بحرانی از یک دامنه گرفته می‌شود، و "یک‌دامنه" صریحاً گزارش می‌شود – و یادآوری می‌کنند که آزمون دودامنه رایج‌تر است، و آزمون جهت‌دار وقتی مناسب است که از پیش توجیهی وجود داشته باشد. این صفحه فقط p دودامنه را محاسبه می‌کند؛ کسی که از پیش آزمون یک‌دامنه برنامه‌ریزی کرده است، و تفاوت در جهت پیش‌بینی‌شده است، p را بر دو تقسیم می‌کند – و این را گزارش می‌کند.

مقادیر گمشده. برای هر متغیر آزمون، آزمودنی‌هایی وارد می‌شوند که در آن متغیر مقدار معتبر دارند – حذف بر اساس تحلیل (/MISSING=ANALYSIS)، مانند پیش‌فرض SPSS؛ N ممکن است از متغیری به متغیر دیگر تغییر کند. آزمون‌های چندگانه. چند متغیر با یک کلیک یعنی چند آزمون، هر یک با 5% خطر خطای نوع I؛ همه گزارش می‌شوند، و تصحیح در نظر گرفته می‌شود (صفحه همبستگی‌ها: Holm / FDR).

آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. فاصله اطمینان برای d (SPSS 27 و بالاتر آن را چاپ می‌کند)، bootstrap، آزمون یک‌دامنه به‌عنوان خروجی، آزمون علامت و ویلکاکسون تک‌نمونه‌ای (جایگزین‌های ناپارامتری)، و Bayes factor.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

منابعی که سایت بر آن‌ها تکیه دارد (Field, 2024; Pallant, 2020) این روال را توصیف نمی‌کنند – مستقیماً به آزمون‌های دو گروه می‌روند – و از این رو توصیف اینجا از خود سایت است، اعتبارسنجی‌شده در برابر PSPP (پیاده‌سازی آزاد SPSS): Analyze › Compare Means › One-Sample T Test… – متغیر (یا چند متغیر) به کادر Test Variable(s)، مقدار آزمون در فیلد Test Value (پیش‌فرض 0 – تقریباً هرگز آنچه می‌خواهید نیست)؛ Options… – سطح فاصله اطمینان و نحوه برخورد با گمشده‌ها؛ در نسخه 27 و بالاتر – کادر Estimate effect sizes. سینتکسی که صفحه تولید می‌کند:

T-TEST
  /TESTVAL=3
  /MISSING=ANALYSIS
  /VARIABLES=עמדות_ציון
  /ES DISPLAY(TRUE)
  /CRITERIA=CI(.95).

خواندن خروجی. One-Sample Statistics = جدول 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean)؛ One-Sample Test = جدول 2 – در عنوان Test Value = 3، و سپس t, df, Sig. (2-tailed) (در 27 و بالاتر نیز One-Sided p – نادیده بگیرید)، Mean Difference و 95% Confidence Interval of the Difference – فاصله برای تفاوت، نه برای میانگین؛ One-Sample Effect Sizes – سطر Cohen's d، Point Estimate (SPSS Hedges' correction را نیز چاپ می‌کند که در این صفحه نیست). یک مقدار آزمون برای همه متغیرهای یک دستور؛ وقتی در صفحه برای متغیرهای مختلف مقادیر مختلف انتخاب شده‌اند، سینتکس برای هر مقدار یک دستور T-TEST دارد.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

در R پایه، t.test(x, mu = …) مقادیر t، df، p و فاصله اطمینان برای میانگین را می‌دهد (و نه برای تفاوت مانند SPSS – برای مقایسه μ₀ را کم کنید)؛ d و r² دستی محاسبه می‌شوند. این اسکریپت عیناً روی فایل نمونه اجرا شد و مقادیر جدول‌ها را داد (در توضیحات). قاعده سایت برای فارسی در R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و محیط UTF-8 برای نام‌های غیرلاتین.

# آزمون t تک‌نمونه‌ای – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים" (داده‌ها)
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_ttest1_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; y <- y[!is.na(y)]

# آمار نمونه – جدول 1
c(n = length(y), M = mean(y), SD = sd(y), SE = sd(y) / sqrt(length(y)))   # مقادیر n 120, M 3.270, SD 0.745, SE 0.068

# آزمون در برابر مقدار آزمون 3 (میانه مقیاس 1-5) – جدول 2؛ فاصله اطمینان R برای میانگین است
tt <- t.test(y, mu = 3)
tt                                   # نتیجه t = 3.96, df = 119, p = .00013، فاصله اطمینان برای میانگین [3.135, 3.404]
tt$conf.int - 3                      # فاصله اطمینان برای تفاوت، مانند SPSS: [0.135, 0.404]

# اندازه اثر: d کوهن = (M − μ)/s، و r² = t²/(t² + df)
(mean(y) - 3) / sd(y)                                                     # مقدار d = 0.362
unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))                # مقدار r² = .117

گزارش نتایج

ابتدا توصیف و سپس آزمون گزارش می‌شود: میانگین و انحراف معیار، مقدار آزمون و آنچه نمایندگی می‌کند، t با درجه آزادی در پرانتز، p دقیق، اندازه اثر – و فاصله اطمینان بلافاصله پس از آزمون (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 287; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). مثال Gravetter و Wallnau: "نوزادان به‌طور میانگین M = 13 ثانیه از 20 ثانیه به چهره زیبا نگاه کردند، SD = 3.00. این زمان به‌طور معنادار بالاتر از مقدار مورد انتظار در نبود ترجیح بود، t(8) = 3.00, p = .017, r² = 0.5294"، و با فاصله اطمینان: t(8) = 3.00, p < .05, 80% CI [11.603, 14.397]. وقتی p دقیق در دسترس است – همان گزارش می‌شود (p = .017، نه p < .05)؛ و "p = 0.000" در خروجی صفر نیست بلکه گرد شده است – p < .001 نوشته می‌شود (ص. 287). در آزمون یک‌دامنه "یک‌دامنه" صریحاً نوشته می‌شود (ص. 289).

قواعد قالب (APA, 2020, Section 6.36): t و تفاوت با صفر پیش از ممیز؛ p و r² بدون آن (نمی‌توانند از 1 بیشتر شوند)؛ d با صفر. جمله‌های گزارش در خروجی به همین شکل ساخته شده‌اند، به فارسی و انگلیسی، با فاصله اطمینان 95% برای میانگین.

اشتباهات رایج

باقی گذاشتن مقدار آزمون روی 0. پیش‌فرض SPSS بررسی می‌کند که آیا میانگین با صفر تفاوت دارد – تقریباً همیشه "معنادار" و تقریباً همیشه بی‌معنا. مقدار آزمون همان فرضیه است (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 275-276).

انتخاب مقدار آزمون پس از دیدن میانگین. فرضیه مقدم بر داده‌هاست؛ در غیر این صورت p چیزی نمی‌گوید.

خواندن فاصله اطمینان SPSS به‌عنوان فاصله برای میانگین. این فاصله برای تفاوت از مقدار آزمون است؛ برای میانگین – مقدار آزمون را اضافه کنید (یا یادداشت جدول را در صفحه بخوانید).

تفسیر "غیرمعنادار" به‌عنوان "میانگین برابر مقدار آزمون است". فاصله اطمینانی که مقدار آزمون را در بر می‌گیرد می‌گوید که تفاوت واقعی می‌تواند منفی، صفر یا مثبت باشد – نه اینکه صفر است. d و فاصله گزارش می‌شوند.

آزمون تک‌نمونه‌ای روی یک گویه لیکرت منفرد. طبق قرارداد سایت، گویه منفرد متغیر ترتیبی است – فراوانی‌ها و میانه؛ میانگین نمره مقیاس چندگویه‌ای – بله.

اشتباه گرفتن معیارهای r² و η². .09 نزد Gravetter و Wallnau یک r² متوسط است (جدول 9.3)؛ .06 نزد Pallant یک η² متوسط است – دو معیار، یک ایده، اعداد متفاوت.

تقسیم p بر دو پس از دیدن جهت. آزمون یک‌دامنه از پیش برنامه‌ریزی می‌شود، مستدل است، و به همین عنوان گزارش می‌شود (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 9.4).

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

McGee و Shevlin (2009) و Slater و همکاران (1998) – به نقل از Gravetter و Wallnau (2017). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که از اصل خوانده شده‌اند؛ Gravetter و Wallnau (2017)، Cohen (1988) و APA (2020) – بر اساس صفحه و بخش ویراست چاپی؛ Field (2024) در نسخه دیجیتال با متن روان – بر اساس بخش. روال SPSS – توصیف خود سایت، اعتبارسنجی‌شده در برابر PSPP (از منبعی نقل نشده است).