نمودار پراکنش و خط رگرسیون

ماشین‌حساب

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها مستقیماً از کاربرگ چسبانده می‌شوند (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید، و اینجا بچسبانید (مقادیر جداشده با ویرگول هم پذیرفته می‌شوند، مانند چهارگانه انسکامب در راهنما):

انتخاب متغیرها

راهنما

چه زمانی از نمودار پراکنش استفاده می‌شود؟

نمودار پراکنش (که نمودار پراکندگی هم نامیده می‌شود، scatter plot) رابطه میان دو متغیر کمّی را نشان می‌دهد. هر نقطه یک آزمودنی است: جای آن بر اساس مقدار او در دو متغیر تعیین می‌شود – یک متغیر روی محور X، دیگری روی محور Y، و هر آزمودنی زوج (x, y) خود است. نمودار نخستین گام پیش از محاسبه همبستگی است، زیرا چیزهایی را آشکار می‌کند که عدد به تنهایی پنهان می‌کند – رابطه غیرخطی، مشاهده‌های پرت، یا گروه‌های جدا از هم درون نمونه. و حتی پیش از هر محاسبه‌ای، نگاهی به ابر نقاط سه ویژگی‌ای را نشان می‌دهد که ضریب همبستگی بعداً در یک عدد خلاصه خواهد کرد: جهت – صعودی یا نزولی؛ شکل – خط راست، منحنی، یا هیچ؛ و شدت – اینکه نقاط تا چه اندازه به همان شکل چسبیده‌اند (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 487-488; Pallant, 2020, pp. 153-154). از این سه، عدد فقط اولی و سومی را به خوبی خلاصه می‌کند – و دومی را اصلاً از پیش فرض می‌گیرد.

مقاله‌ای که نمودار پراکنش را به یک الزام تبدیل کرد با سه باور آغاز می‌شود که تقریباً همه ما با آن‌ها تربیت شده‌ایم، و همه نادرست‌اند: اینکه محاسبات دقیق‌اند و نمودارها "تقریبی"؛ اینکه برای هر نوع داده یک محاسبه درست وجود دارد؛ و اینکه محاسبات پیچیده فضیلت‌اند، در حالی که نگاه کردن به داده‌ها تقلب است (Anscombe, 1973, p. 17). Anscombe می‌نویسد که رایانه باید هم محاسبات و هم نمودارها را تولید کند – و هر دو را باید آموخت. و وقتی Y در برابر X پیش از هر محاسبه‌ای رسم شود، یکی از پنج چیز رخ خواهد داد: نقاط تقریباً روی یک خط راست قرار می‌گیرند؛ روی منحنی همواری قرار می‌گیرند که خط راست نیست؛ بی‌ارتباط با X پراکنده‌اند؛ چیزی در این میان؛ یا – جالب‌ترین حالت از همه – بیشترشان به یک خط یا منحنی چسبیده‌اند، و تعداد اندکی بسیار دورند. در حالت آخر اثری برای دیدن وجود دارد، اما محاسبات معمول رگرسیون ممکن است آن را از دست بدهند (همان‌جا). حالت دوم را گاهی می‌توان با تبدیل مقیاس X یا Y به حالت اول برگرداند؛ و در حالت پنجم همیشه با بررسی اینکه مقادیر پرت درست وارد شده‌اند آغاز می‌شود – و اگر واقعی باشند، برای بررسی ویژه کنار گذاشته می‌شوند، که "ممکن است بسیار ثمربخش از آب درآید".

و از اینجا قاعده ساده Gelman & Hill (2007, ص. 554): در کنار هر رگرسیونی که اجرا می‌شود – یک نمودار پراکنش رسم می‌شود؛ و نه فقط داده‌ها، بلکه مدلی که بر آن‌ها برازش شده نیز، زیرا "جدول ضرایب آن حسی را که یک نمودار می‌دهد نمی‌دهد" (همان‌جا، ص. 548). و دو نکته از آن‌ها درباره کدام نمودار: ماتریس پراکنش همه زوج‌ها (گسترش‌ها را ببینید) مانند اجرای رگرسیون هر متغیر روی هر متغیر است – سودمند، اما از نمودارهایی که با تأمل انتخاب شده‌اند بیشتر آموخته می‌شود؛ و وقتی دو متغیر ترتیب زمانی یا ترتیب علّی دارند، "قبل" روی محور X و "بعد" روی محور Y قرار می‌گیرد (همان‌جا، ص. 553).

نمودار را چگونه بخوانیم: خط رگرسیون و R²

خط رگرسیون خط راستی است که مجموع مجذور فاصله‌های عمودی نقاط از خط را کمینه می‌کند – "بهترین خط" فقط به این معنا، و نه به این معنا که از نزدیک‌ترین فاصله به تک‌تک نقاط عبور می‌کند. شیب آن توصیف می‌کند که به ازای افزایش یک واحد در X، انتظار می‌رود متغیر Y چند واحد تغییر کند: شیب مثبت رابطه‌ای صعودی را توصیف می‌کند، شیب منفی – رابطه‌ای نزولی، و شیب نزدیک به صفر – نبود رابطه خطی.

R² (ضریب تعیین) نسبتی از واریانس متغیر Y را بیان می‌کند که خط رگرسیون به کمک X "تبیین می‌کند". مقدار آن همیشه میان 0 و 1 (یا 0% تا 100%) است، و به جهت رابطه وابسته نیست: R² = .25 یعنی 25% از واریانس Y به وسیله X تبیین می‌شود، چه رابطه صعودی باشد و چه نزولی. رابطه آن با ضریب پیرسون ساده است – R² مجذور r است – و بنابراین برای بازگشت از R² به r جذر گرفته می‌شود و علامت بر اساس جهت خط رگرسیون افزوده می‌شود (صعودی = مثبت، نزولی = منفی). مقیاس اندازه اثر نیز از همین‌جا است: R² برابر .01 رابطه‌ای کوچک است، .09 – متوسط، و .25 و بالاتر – بزرگ (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 501) – دقیقاً همان آستانه‌های r = .1 / .3 / .5 که ماشین‌حساب بر اساس آن‌ها شدت رابطه را در قالب کلمات توصیف می‌کند. و چون مجذور علامت را حذف می‌کند، همبستگی +.80 و همبستگی −.80 رابطه‌هایی به یک اندازه منسجم‌اند – علامت و شدت از یکدیگر مستقل‌اند (همان‌جا، ص. 489).

شیب همان شدت نیست. اشتباه رایج این است که خط تند را "رابطه قوی" و خط ملایم را "رابطه ضعیف" بخوانیم. شدت رابطه این است که نقاط تا چه اندازه به خط چسبیده‌اند – و نه اینکه خط چقدر تند است. شیب توصیف می‌کند که Y به ازای هر واحد X چند واحد تغییر می‌کند، و بنابراین به واحدهای اندازه‌گیری وابسته است: دقیقاً همان داده‌ها اگر Y بر حسب نمره سنجیده شود خطی تند می‌دهند و اگر بر حسب صدها نمره سنجیده شود خطی ملایم – و در هر دو حالت همبستگی یکسان است. و به بیان Cohen (1988, ص. 75، 77): r خود یک شیب است – شیب خط وقتی هر دو متغیر به واریانس یکسان استاندارد شده باشند – در حالی که b همان شیب در واحدهای خام است، b = r·s_Y/s_X؛ و وقتی واحدها معنای مستقلی دارند (شِکِل، سال، نمره آزمون) معمولاً بهتر است b گزارش شود، که وقتی پراکندگی X میان نمونه‌ها تغییر می‌کند نیز پایدار می‌ماند. در جدولی که ماشین‌حساب تولید می‌کند این دو به صراحت از هم جدا شده‌اند: r و R² شدت را می‌سنجند، b شیب را. این را در داده‌های نمونه هم می‌توان دید: خودکارآمدی×اعتماد و رهبری×آمادگی دو زوج با شیب تقریباً یکسان‌اند (0.687 و 0.716) اما R² متفاوت (.545 در برابر .522) – و شیب بزرگ‌تر اتفاقاً در زوج ضعیف‌تر است.

و وقتی جای محورها عوض شود چه رخ می‌دهد. همبستگی نمی‌داند کدام X است و کدام Y – r متقارن است، و در هر دو چینش همان مقدار به دست می‌آید. خط رگرسیون به خوبی می‌داند: خط Y روی X فاصله‌های عمودی را کمینه می‌کند، و خط X روی Y فاصله‌های افقی را، و این‌ها دو خط متفاوت‌اند که فقط وقتی همبستگی کامل باشد بر هم منطبق می‌شوند. دو ضریب شیب نیز متفاوت‌اند – فقط وقتی با هم برابرند که انحراف معیار دو متغیر برابر باشد – و بنابراین خود نمودار پراکنش نیز متقارن نیست: همان داده‌ها وقتی جای محورها عوض شود متفاوت به نظر می‌رسند (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 110). در داده‌های نمونه: اعتماد روی خودکارآمدی b = 0.687 می‌دهد؛ خودکارآمدی روی اعتماد b = 0.793 می‌دهد – و در هر دو حالت همان r = .738. می‌توان این را در ماشین‌حساب با یک کلیک، با جابه‌جا کردن دو متغیر، بررسی کرد. به همین دلیل جای‌گذاری – پیش‌بین در X، پیامد در Y – تصمیمی است که باید پیش از محاسبه گرفته و گزارش شود، و نه موضوعی از سر راحتی.

کلمات قرارداد هستند، عدد یافته است. ماشین‌حساب شدت را بر اساس آستانه‌های .1 / .3 / .5 از Cohen (1988) در قالب کلمات توصیف می‌کند – که در علوم اجتماعی پذیرفته‌شده‌اند، اما تنها آستانه‌ها نیستند. برخی کتاب‌های درسی از مقیاسی پنج‌پله‌ای استفاده می‌کنند: تا .1 بدون رابطه، .1-.3 ضعیف، .3-.5 متوسط، .5-.7 بالا، و بالاتر از .7 بسیار بالا. همبستگی .738 در داده‌های نمونه بر اساس یک مقیاس "قوی" و بر اساس دیگری "بسیار بالا" است – و بنابراین همیشه عدد گزارش می‌شود، و توصیف کلامی به عنوان افزوده ذکر می‌شود. خوب است بدانید که خود Cohen آستانه‌ها را صراحتاً به عنوان قراردادی "برای استفاده وقتی تعاریف مناسب‌تری وجود ندارد" پیشنهاد کرد، و از هر حوزه دعوت کرد که تعاریف دیگری برای خود تعیین کند (1988, ص. 79). پشت هر آستانه دلیلی هست: .10 رابطه‌ای است که با مشاهده معمولی دیده نمی‌شود، اما بسیاری از رابطه‌هایی که علوم "نرم" در پی آن‌اند از همین مرتبه‌اند (ص. 79)؛ .30 – "میانه دامنه" همبستگی‌ها میان متغیرهای روان‌شناختی متفاوت، و رابطه‌ای که "ناظری معقولاً حساس" آن را با چشم تشخیص می‌دهد (ص. 80)؛ و .50 – "تا جایی که بالا می‌روند": حد عملی همبستگی‌ها میان متغیرهای متفاوت در روان‌شناسی شخصیت، آموزش و مشاوره، مانند همبستگی میان هوش و نمره‌های مدرسه (ص. 80-81). Cohen یادآور می‌شود که بالاتر از آن معمولاً فقط ضرایب پایایی یافت می‌شوند (ص. 78) – و بنابراین همبستگی‌ای مانند .74 میان دو مقیاس پرسشنامه، مانند داده‌های نمونه، بر اساس این معیارها به‌ویژه بالا است، و ارزش دارد پرسیده شود که آیا دو مقیاس تا حدی همان چیز را نمی‌سنجند. و اگر عددی خواسته شود که مستقیماً پراکندگی حول خط را بسنجد – "نقاط تا چه اندازه به آن چسبیده‌اند" – این خطای استاندارد برآورد است (standard error of the estimate): انحراف معیار باقیمانده‌ها، بر حسب واحدهای Y؛ هرچه کوچک‌تر باشد، پیش‌بینی دقیق‌تر است (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 40-41). این مقدار در جدول این صفحه نیست، اما در جدول Model Summary روال رگرسیون می‌آید (از نمودار به رگرسیون را ببینید).

و چه زمانی همبستگی اسپیرمن. جدولی که ماشین‌حساب تولید می‌کند در کنار پیرسون، همبستگی اسپیرمن را نیز نشان می‌دهد، که بر رتبه‌های مقادیر محاسبه می‌شود و نه بر خود مقادیر. Gravetter & Wallnau (2017, ص. 510-511) دو وضعیت را برمی‌شمارند که در آن‌ها از آن استفاده می‌شود: وقتی متغیرها در مقیاس ترتیبی سنجیده می‌شوند (رتبه‌بندی‌ها)، و وقتی رابطه‌ای منسجم در یک جهت انتظار می‌رود که لزوماً خط راست نیست – برای مثال تمرین و عملکرد، که با هر تمرین بهتر می‌شود اما با آهنگی رو به کاهش؛ اسپیرمن انسجام رابطه را مستقل از شکل آن می‌سنجد، زیرا وقتی رابطه منسجم باشد رتبه‌ها روی خط راست قرار می‌گیرند حتی اگر مقادیر چنین نباشند. به زبان نمودار پراکنش: اسپیرمن می‌پرسد که آیا ابر به طور منسجم بالا می‌رود (یا پایین می‌آید)، نه لزوماً در خط راست، و بنابراین به یک مشاهده پرت منفرد و به انحنایی که جهت را تغییر نمی‌دهد کمتر حساس است. مقایسه دو سطر جدول بررسی سریعی است: وقتی این دو نزدیک‌اند، رابطه تقریباً خطی و بدون داده‌های پرت چشمگیر است؛ وقتی اسپیرمن بسیار بزرگ‌تر از پیرسون است، چیزی در ابر هست – انحنا یا نقطه‌ای دور – که ارزش دارد دوباره به آن نگاه شود.

و وقتی رابطه خط راست نیست. همبستگی پایین ثابت نمی‌کند که رابطه‌ای وجود ندارد: ممکن است رابطه‌ای قوی و منسجم اما غیرخطی وجود داشته باشد، که خط راست و ضریب پیرسون ساده آن را نمی‌بینند. نمونه کلاسیک از روان‌شناسی، رابطه میان اضطراب و عملکرد است – تا سطح معینی از اضطراب عملکرد بهتر می‌شود، و فراتر از آن کاهش می‌یابد؛ در نمودار پراکنش این شکل U وارونه است، و همبستگی پیرسون ممکن است به صفر نزدیک شود با آنکه رابطه با چشم آشکار است – پیرسون فقط رابطه‌های خط راست را می‌سنجد، و برای شکل‌های دیگر شاخص‌های دیگری وجود دارد (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 488; Pallant, 2020, p. 153). این دلیل دیگری است برای اینکه همیشه از نمودار شروع کنیم – چهارگانه انسکامب را نیز در صفحه همبستگی‌ها ببینید.

چهارگانه – برای امتحان در ماشین‌حساب. چهار مجموعه داده ساختگی Anscombe (1973, ص. 19)، هر یک با یازده زوج، دقیقاً همان خروجی استاندارد را می‌دهند: n = 11، میانگین X برابر 9.0، میانگین Y برابر 7.5، خط رگرسیون Ŷ = 3 + 0.5·X، R² = .667 – و با این حال فقط اولی همان چیزی است که بیشتر مردم با دیدن این اعداد تصور می‌کنند: دومی منحنی‌ای هموار است، سومی خط راستی کامل با یک نقطه منحرف، و چهارمی ده نقطه در همان X و یک نقطه که به تنهایی شیب را تعیین می‌کند. این را می‌توان در ماشین‌حساب این صفحه دید: بلوک زیر را در زبانه چسباندن کپی کنید، و یکی پس از دیگری x را با y1، y2، y3، و سپس x4 را با y4 انتخاب کنید:

x,y1,y2,y3,x4,y4
10,8.04,9.14,7.46,8,6.58
8,6.95,8.14,6.77,8,5.76
13,7.58,8.74,12.74,8,7.71
9,8.81,8.77,7.11,8,8.84
11,8.33,9.26,7.81,8,8.47
14,9.96,8.10,8.84,8,7.04
6,7.24,6.13,6.08,8,5.25
4,4.26,3.10,5.39,19,12.50
12,10.84,9.13,8.15,8,5.56
7,4.82,7.26,6.42,8,7.91
5,5.68,4.74,5.73,8,6.89

به دو سطر جدول توجه کنید. r و R² در هر چهار مجموعه یکسان‌اند (.816، .667؛ تفاوت‌های گردکردن در رقم سوم) – این دقیقاً نکته Anscombe است. اما همبستگی اسپیرمن بسیار متفاوت است: .82، .69، .99 و .50 – در مجموعه سوم اسپیرمن بسیار بالاتر از پیرسون است (خط کامل با یک داده پرت)، و در چهارمی بسیار پایین‌تر (ده رتبه گره‌خورده و یک نقطه) – دقیقاً همان نشانه‌ای که در بالا در "و چه زمانی همبستگی اسپیرمن" توصیف شد. اعداد، اگر بدانید کجا را نگاه کنید، اتفاقاً اشاره‌ای می‌کنند؛ اما نمودار به سادگی نشان می‌دهد.

و وقتی ابر به توده‌هایی تقسیم می‌شود. ابری که مانند دو-سه توده جدا از هم به نظر می‌رسد، که به صورت مورب چیده شده‌اند، نشانه هشداری برای یک متغیر سوم است. نمونه Gravetter & Wallnau (2017, ص. 497، 502-503): میان تعداد کلیساها و تعداد جرائم در شهرها همبستگی مثبت قوی یافت شد – نه چون عبادت جرم می‌زاید، بلکه چون هر دو با اندازه شهر افزایش می‌یابند؛ درون هر گروه اندازه، رابطه ناپدید می‌شود. در نمودار پراکنش این به صورت توده‌هایی بر اساس اندازه شهر دیده می‌شود، که هر یک به تنهایی فاقد روند است. وقتی به این مشکوک هستید، نمودار بر اساس متغیر سوم رنگ‌آمیزی یا تفکیک می‌شود (Overlay Scatter و Panel by را در گسترش‌ها ببینید)، یا همبستگی جزئی محاسبه می‌شود – در صفحه همبستگی‌ها.

و آنچه خط درباره آزمودنی‌های افراطی می‌گوید. وقتی همبستگی کامل نیست، نقاط افراطی در X همان نقاط افراطی در Y نیستند: آزمودنی‌هایی که در یک متغیر بالاترین‌اند در متغیر دیگر معمولاً بالا هستند – اما کمتر – و پایین‌ترین‌ها نیز همین‌طور. این بازگشت به میانگین است (regression toward the mean; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 501-502)، و دلیل آن است که خط رگرسیون همیشه از قطر ابر ملایم‌تر است. هیچ نیرویی در کار نیست که بکشد – این یک واقعیت آماری است که از کامل نبودن رابطه ناشی می‌شود؛ اما توضیح می‌دهد که برای مثال چرا "بازیکن سال" در فصل نخستش در فصل دوم ناامید می‌کند، و چرا کسی که بالاترین نمره را در آزمون الف گرفته معمولاً در آزمون ب فقط بالاتر از میانگین خواهد بود. Gelman, Hill & Vehtari (2020, ص. 87-90) پارادوکسی را هم حل می‌کنند که بسیاری را می‌آزارد: اگر دختران مادران بلندقد به طور میانگین از آن‌ها کوتاه‌ترند، آیا همه ما چند نسل دیگر هم‌قد نخواهیم شد؟ نه – زیرا پیش‌بینی به میانگین بازمی‌گردد، اما مشاهده همان پیش‌بینی نیست: خطای پیش‌بینی دقیقاً همان پراکندگی‌ای را که بازگشت می‌کاهد دوباره می‌افزاید، و واریانس میان نسل‌ها ثابت می‌ماند. خطرناک‌تر مغالطه بازگشت است (regression fallacy) – نسبت دادن علتی به بازگشت. نمونه تورسکی و کانمن، که آن‌ها می‌آورند: مربیان پرواز که دیدند پس از تحسین یک مانور موفق، اجرای بعدی بدتر است، و پس از سرزنش – بهتر، و نتیجه گرفتند که تحسین زیان‌آور است؛ در واقع مانور عالی پیامد شانس نیز هست، و پس از آن افتی انتظار می‌رود بی‌ارتباط با واکنش مربی. همین موضوع درباره دانش‌آموزانی که پس از نمره بالا در آزمون میان‌ترم "تنبلی کردند": در شبیه‌سازی‌ای که در آن نمره‌ها توانایی واقعی به‌علاوه نوفه خالص‌اند، بدون هیچ انگیزه‌ای، دقیقاً همان الگو به دست می‌آید. نمودار پراکنش "قبل" در برابر "بعد" – با خط رگرسیونی ملایم‌تر از قطر – دقیقاً همان وضعیتی است که در آن خوب است این را به یاد داشته باشیم.

و برای چنین نموداری یک کمک بصری ساده وجود دارد، که در ماشین‌حساب این صفحه نیست و می‌توان آن را در SPSS یا R افزود: Gelman & Hill (2007, ص. 556) توصیه می‌کنند "خط پیش‌فرض" رسم شود – خطی افقی در ارتفاع صفر، یا، در نمودار قبل در برابر بعد با واحدهای یکسان، قطر y = x که برابری را نشان می‌دهد. همین که قطر روی نمودار باشد، بازگشت به میانگین با چشم دیده می‌شود: کسی که در "قبل" بالا بوده بیشتر زیر قطر قرار می‌گیرد، کسی که پایین بوده – بالای آن، و خط رگرسیون قطر را در میانگین قطع می‌کند. و در همین زمینه – وقتی هر دو محور همان چیز را با واحدهای یکسان می‌سنجند، نمودار مربعی و با مقیاس یکسان در هر دو محور رسم می‌شود، حتی اگر بخش‌های بزرگی از آن خالی بماند؛ و وقتی متغیرها متفاوت‌اند، اتفاقاً نه مربعی، تا به طور ضمنی برابری‌ای را که وجود ندارد القا نکند (همان‌جا).

سه نگاه، به همین ترتیب. Pallant (2020, ص. 156-157) پیشنهاد می‌کند هر نمودار پراکنش در سه مرحله ثابت خوانده شود، پیش از آنکه چیزی محاسبه شود:

قاعده سرانگشتی برای پوشش. Gravetter & Wallnau (2017, ص. 489) روشی برای برآورد r با چشم پیشنهاد می‌کنند: دور نقاط یک پوشش رسم می‌شود – باریک‌ترین خط بسته‌ای که همه آن‌ها را در بر می‌گیرد. پوششی به شکل توپ فوتبال آمریکایی همبستگی‌ای در حدود .7 است؛ پوشش چاق‌تر – همبستگی نزدیک‌تر به 0؛ پوشش باریک‌تر – نزدیک‌تر به 1. با داده‌های گسسته مانند مقیاس‌های لیکرت، که در آن‌ها یک نقطه ده‌ها آزمودنی را پنهان می‌کند (بالا را ببینید)، این برآورد گمراه‌کننده است – آنجا به عدد تکیه می‌شود.

خطی که چشم رسم می‌کند خط رگرسیون نیست. وقتی از دانشجویان خواسته می‌شود خط رگرسیون را با دست روی ابر نقاط رسم کنند، تقریباً همیشه محور طولی ابر را رسم می‌کنند – خطی که "از نزدیک‌ترین فاصله" به همه نقاط عبور می‌کند (به زبان آماری: خط مؤلفه اصلی). اما خط رگرسیون فقط فاصله‌های عمودی را کمینه می‌کند، و همیشه ملایم‌تر است: در متغیرهای استانداردشده با همبستگی .5 شیب آن دقیقاً نصف شیب محور ابر است (Gelman, Hill & Vehtari, 2020, pp. 187-188). و با وجود ظاهر، این خط درست برای پیش‌بینی است: در لبه چپ ابر همه نقاط بالای محور طولی قرار دارند – این محور برای مقادیر پایین X بیش از حد پایین و برای مقادیر بالا بیش از حد بالا پیش‌بینی می‌کند – در حالی که خط رگرسیون در هر مقدار X از میانگین Y عبور می‌کند. این همچنین توضیح هندسی بازگشت به میانگین است که در بالا توصیف شد.

خط یک مدل است، و مدل پیش‌بینی می‌کند. خط رگرسیون ساده‌ترین شکل چیزی است که Field (2024, بخش 9.2) "مدل خطی" می‌نامد: Ŷ = b₀ + b₁X. دو پارامتر دقیقاً دو سطر آخر جدولی‌اند که ماشین‌حساب تولید می‌کند – عرض از مبدأ b₀ (a در جدول): مقدار مورد انتظار Y وقتی X = 0؛ و شیب b₁ (b در جدول): تغییر مورد انتظار در Y به ازای هر افزایش یک واحدی در X. کلاه روی Y یادآوری می‌کند که این یک مقدار پیش‌بینی‌شده است (predicted value)، نه مقداری که مشاهده شده: یک مقدار X جای‌گذاری می‌شود و Yای که مدل پیش‌بینی می‌کند به دست می‌آید. برای مثال در داده‌های نمونه، برای پاسخ‌گویی که سطح خودکارآمدی‌اش 4.0 است، مدل اعتمادی برابر 1.159 + 0.687 × 4.0 ≈ 3.91 پیش‌بینی می‌کند. این پیش‌بینی برای هر آزمودنی دقیق نیست – تفاوت میان مقدار مشاهده‌شده و مقدار پیش‌بینی‌شده باقیمانده است (residual)، و خط طوری انتخاب می‌شود که مجموع مجذور باقیمانده‌ها کمترین مقدار ممکن باشد (روش کمترین مجذورات، Field، 2024, بخش 9.2.4). سه واقعیت ساده درباره این خط به خواندن هر نموداری کمک می‌کنند (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 16.1): همیشه از نقطه (میانگین X، میانگین Y) عبور می‌کند؛ علامت شیب آن علامت همبستگی است؛ و وقتی همبستگی صفر است، خطی افقی در ارتفاع میانگین Y است – دقیقاً مدل "بدون رابطه" در بند بعدی.

R² از کجا می‌آید، و آزمونی که پشت p است چیست. برای دانستن اینکه مدل خوب است یا نه، آن را با ساده‌ترین مدل ممکن مقایسه می‌کنیم – "بدون رابطه": برای هر آزمودنی میانگین Y پیش‌بینی شود، X هرچه باشد. مجموع مجذور فاصله‌های مشاهدات از میانگین (SS_T) مقدار واریانسی است که باید تبیین شود؛ مجموع مجذور فاصله‌ها از خط رگرسیون (SS_R) آن چیزی است که پس از برازش خط تبیین‌نشده می‌ماند؛ و تفاوت میان آن‌ها (SS_M) بهبودی است که خط آورده است. R² به سادگی نسبت SS_M / SS_T است – سهمی از واریانس که مدل از آنچه باید تبیین می‌شد تبیین می‌کند (Field, 2024, Section 9.2.4). آزمون F بر همین مجموع مجذورات بنا شده است، که می‌پرسد آیا مدل به طور معنادار از میانگین بهتر است؛ و آزمون t با n − 2 درجه آزادی بر شیب بنا شده است، که می‌پرسد آیا b₁ با صفر تفاوت دارد (بخش 9.2.5). وقتی فقط یک پیش‌بین وجود دارد، این دو آزمون و آزمون معناداری همبستگی پیرسون یک آزمون در سه لباس‌اند: F = t²، و مقدار p در هر سه یکسان است. بنابراین p در جدول ماشین‌حساب هم‌زمان معناداری همبستگی، شیب و کل مدل است.

مفروضه‌ها، داده‌های پرت و مشاهده‌های تأثیرگذار

مفروضه‌ها – به ترتیب اهمیت

هر دو متغیر کمّی‌اند (پیوسته یا ترتیبی)؛ متغیر طبقه‌ای (برای مثال منطقه یا دین) برای نمودار پراکنش مناسب نیست – آنجا نمودار جعبه‌ای یا تحلیل واریانس مناسب است. فراتر از این، Field (2024, بخش 9.4.1) مفروضه‌های مدل خطی را به ترتیب اهمیت مرتب می‌کند، به پیروی از Field & Wilcox (2017) و Gelman, Hill & Vehtari (2020, بخش 11.1). نزد گروه اخیر، فهرست با دو مفروضه آغاز می‌شود که اصلاً آماری نیستند، و مهم‌ترین همه‌اند: روایی – اینکه داده‌ها به سؤال پژوهش پاسخ می‌دهند: متغیر پیامد واقعاً پدیده را می‌سنجد (نمره‌های آزمون "هوش" نیستند)، مدل پیش‌بین‌های مربوط را در بر می‌گیرد، و به مواردی که می‌خواهیم درباره‌شان سخن بگوییم تعمیم‌پذیر است؛ و بازنمایی – اینکه نمونه معرف توزیع Y به شرط X است. تمایز عملی‌ای که از این ناشی می‌شود بسیار ارزشمند است: گزینش نمونه بر اساس X (برای مثال زنان بیش از حد یا افراد بلندقد بیش از حد در نمونه‌ای درباره قد و درآمد) به رگرسیون آسیب نمی‌زند؛ گزینش بر اساس Y (ثروتمندان بیش از حد) آسیب می‌زند (ص. 153-154). فقط پس از آن‌ها چهار مفروضه آماری می‌آیند، به این ترتیب:

نکته مهم پشت این ترتیب: نقض مفروضه‌ها عمدتاً به تعمیم آسیب می‌زند – به آزمون‌های معناداری و فاصله‌های اطمینان – و نه به برآوردهای خط. شیب و عرض از مبدأی که ماشین‌حساب نشان می‌دهد برای داده‌های پیش روی شما درست‌اند حتی وقتی مفروضه‌ها برقرار نیستند؛ آنچه مشکوک می‌شود نتیجه‌گیری از نمونه درباره جامعه آماری است (Field, 2024, Section 9.4). به بیان دقیق‌تر (Field & Wilcox, 2017, Section Critical assumptions): وقتی واریانس باقیمانده‌ها یکسان نیست یا مشاهده‌ها به یکدیگر وابسته‌اند، برآوردهای a و b نااریب می‌مانند – اما فرمول خطای استاندارد آن‌ها واریانس ثابت را فرض می‌کند، و بنابراین خطاهای استاندارد اریب‌اند، و همراه با آن‌ها مقادیر p و فاصله‌های اطمینان. خط درست است؛ میزانی که می‌توان به آن اعتماد کرد – نه. Cohen (1988, ص. 75) نیز همین را می‌گوید: به عنوان شاخصی توصیفی از رابطه خطی، r به هیچ فرضی نیاز ندارد – نه درباره توزیع متغیرها و نه درباره یکسانی واریانس؛ مفروضه‌ها فقط با آزمون معناداری وارد می‌شوند، و حتی در آن صورت نقض ملایم آن‌ها، به‌ویژه در نمونه بزرگ، به طور جدی به اعتبار آزمون آسیب نمی‌زند. دو الزام عملی دیگر: متغیرها باید واریانس داشته باشند – متغیری که همه مقادیرش یکسان است نمی‌تواند چیزی را پیش‌بینی کند (ماشین‌حساب در چنین حالتی پیام خطا نشان می‌دهد)؛ و متغیر پیامد باید پیوسته باشد و نه "محدودشده" – مقیاس 1-5 که همه پاسخ‌ها در آن در 4 و 5 متمرکزند آنچه را می‌توان کشف کرد محدود می‌کند.

و چگونه بررسی می‌شود. خطی بودن در خود نمودار پراکنش بررسی می‌شود – این تمام هدف این صفحه است. دو مفروضه مربوط به باقیمانده‌ها در نمودار باقیمانده‌ها بررسی می‌شوند، که از روال رگرسیون به دست می‌آید و نه از نمودار پراکنش: روی محور X مقادیر پیش‌بینی‌شده، روی محور Y باقیمانده‌ها، و می‌خواهیم نواری یکنواخت در سراسر دامنه ببینیم – بدون قیف (نقض یکسانی واریانس) و بدون کمان (اثری از رابطه غیرخطی). در SPSS: در پنجره رگرسیون، دکمه Plots، *ZPRED به X و *ZRESID به Y. و نرمال بودن باقیمانده‌ها بهتر است با چشم بررسی شود – در هیستوگرام یا، بهتر از آن، در نمودار Q-Q (همان‌جا، با علامت زدن Normal probability plot): هرچه نقاط به قطر نزدیک‌تر باشند، توزیع به نرمال نزدیک‌تر است. آزمون‌های رسمی نرمال بودن (Kolmogorov-Smirnov، Shapiro-Wilk) بیش از شکل توزیع به حجم نمونه وابسته‌اند: در نمونه کوچک ضعیف‌اند، و در نمونه بزرگ تقریباً همیشه معنادار می‌شوند، حتی برای انحرافی جزئی – Pallant (2020, ص. 138-139) یادآور می‌شود که این در نمونه‌های بزرگ رایج است و به پیروی از Tabachnick & Fidell، به جای آن‌ها به هیستوگرام و نمودار Q-Q ارجاع می‌دهد. و Gelman, Hill & Vehtari (2020, ص. 155) یک گام فراتر می‌روند: برای برآورد خط – در مقابل پیش‌بینی یک مشاهده منفرد – نرمال بودن باقیمانده‌ها "تقریباً هیچ اهمیتی ندارد"، و بنابراین اصلاً بررسی آن را توصیه نمی‌کنند؛ نمودار Q-Q بد نیست، اما بهتر است توجه به روایی، بازنمایی و خطی بودن معطوف شود.

خود نمودار باقیمانده‌ها ایده Anscombe (1973, ص. 18) است، و توضیح می‌دهد که چرا نمودار پراکنش کافی نیست: ظاهراً نمودار باقیمانده‌ها نمی‌تواند چیزی را نشان دهد که در نمودار اصلی نیست، اما وقتی خط را حذف کنیم، محور Y کشیده می‌شود و آنچه باقی مانده به روشنی دیده می‌شود. چهار چیز را باید در آن جست‌وجو کرد: چند باقیمانده بسیار بزرگ‌تر از همه دیگران (داده‌های پرت)؛ باقیمانده‌هایی که در یک منحنی چیده می‌شوند (رابطه غیرخطی)؛ پراکندگی‌ای که به تدریج با مقادیر پیش‌بینی‌شده افزایش می‌یابد (واریانس ناهمسان)؛ و توزیع چوله باقیمانده‌ها. سه مورد آخر، اگر شانس بیاوریم، با هم با تبدیل Y ناپدید می‌شوند – برای مثال لگاریتم – و "منحنی" با تبدیل X یا با افزودن جمله درجه دوم نیز حل می‌شود. و البته می‌توان هر یک را با آزمونی رسمی بررسی کرد، اما نمودار "مجموعه‌ای از ویژگی‌ها را به سرعت و به روشنی نشان می‌دهد، و آزمون‌های رسمی اغلب زائد به نظر می‌رسند" (همان‌جا).

و آنچه نباید رسم کرد. پس از چنین فهرستی از تشخیص‌ها، ارزش دارد "نکته سریع" Gelman & Hill (2007, ص. 548) را به یاد داشته باشیم: "آیا واقعاً می‌خواهید همه نمودارهای Q-Q، نمودارهای تأثیر و همه چیزهای دیگری را که یک بسته آماری بیرون می‌دهد تولید کنید؟ با همه این‌ها چه خواهید کرد؟" – و قاعده‌ای که به جای آن پیشنهاد می‌کنند: هر نموداری که نشان می‌دهید – آماده توضیح آن باشید. نمودار پراکنش با خط رگرسیون و نمودار باقیمانده‌ها دو نموداری‌اند که تقریباً همیشه از این آزمون سربلند بیرون می‌آیند؛ بقیه وقتی افزوده می‌شوند که حرفی برای گفتن داشته باشند.

داده پرت و مشاهده تأثیرگذار – یک چیز نیستند

ماشین‌حساب این صفحه نقاطی را که از آستانه‌های سه شاخص توضیح‌داده‌شده در اینجا فراتر می‌روند – باقیمانده استانداردشده، اهرم و فاصله Cook – در نمودار علامت‌گذاری می‌کند و در جدول "مشاهده‌ها برای بررسی" گرد می‌آورد – با قید همیشگی: فراتر رفتن دلیلی برای بررسی است، نه برای حذف.

دومین چیزی که نمودار پراکنش، پس از شکل رابطه، آشکار می‌کند نقاطی است که تنها نشسته‌اند – دور از ابر، در انتهای یکی از محورها یا هر دو. چنین نقطه‌ای ممکن است آزمودنی واقعاً استثنایی باشد، اما اغلب فقط رقمی است که نادرست وارد شده، و بنابراین گام نخست همیشه بازگشت به فایل و بررسی مقدار است. اگر واقعی باشد، Anscombe (1973, ص. 17-18) توصیه می‌کند مشاهده برای بررسی جداگانه کنار گذاشته شود و خط بر بقیه داده‌ها برازش شود – و می‌افزاید که این بررسی "ممکن است بسیار ثمربخش از آب درآید". چرا این به‌ویژه اینجا مهم است: همبستگی پیرسون به یک نقطه منفرد بسیار حساس است. Gravetter & Wallnau (2017, ص. 499) این را با پنج نقطه نشان می‌دهند که همبستگی میان آن‌ها تقریباً صفر است (r = −.08)؛ افزودن یک نقطه افراطی آن را به r = .85 می‌جهاند – "رابطه قوی"‌ای که تماماً بر یک آزمودنی تکیه دارد. کسی که فقط عدد را بخواند هرگز این را نخواهد فهمید. Field (2024, بخش 9.3) تمایزی می‌افزاید که ارزش درونی کردن دارد: داده پرت مشاهده‌ای است که مدل آن را بد پیش‌بینی می‌کند – باقیمانده‌اش بزرگ است؛ مشاهده تأثیرگذار مشاهده‌ای است که بدون آن خط شکل دیگری داشت. این‌ها دو چیز متفاوت‌اند، و یک مشاهده می‌تواند یکی باشد بدون دیگری.

نمونه Field (2024, Jane Superbrain 9.1) این را به زیبایی نشان می‌دهد: در هشت ناحیه لندن تعداد میخانه‌ها و تعداد موارد مرگ سنجیده شد. در هفت ناحیه رابطه کاملاً خطی است؛ هشتمی – "سیتی" لندن، یک مایل مربع با ساکنان اندک و میخانه‌های فراوان برای رفت‌وآمدکنندگان – دور از همه نشسته است. و با این حال باقیمانده آن تقریباً کوچک‌ترین است، زیرا خط را چنان به سوی خود "می‌کشد" که خط از نزدیکی آن عبور می‌کند. بر اساس باقیمانده، داده پرت نیست؛ بر اساس شاخص‌های تأثیر، خط را به کلی تغییر می‌دهد. نتیجه: در نمودار پراکنش، نقطه‌ای منفرد در انتهای دور محور X خطرناک‌تر از نقطه‌ای است که در میانه دامنه از خط دور است.

شش پیکربندی که خوب است بشناسید. کتابی که بیشتر شاخص‌های تأثیر نوین از آن برآمده‌اند اتفاقاً با یک نمودار پراکنش آغاز می‌شود: Belsley, Kuh & Welsch (1980, ص. 8-9) شش پیکربندی سبک‌پردازی‌شده از "نقطه عجیب" را نشان می‌دهند، و این‌ها نقشه خوبی از آن چیزی است که ممکن است در ابر پنهان باشد. در شکل زیر خط پیوسته خط رگرسیون روی همه نقاط است، و خط‌چین – خطی که بدون نقاط علامت‌گذاری‌شده به دست می‌آمد:

(الف) پراکندگی یکنواخت – وضعیت مطلوب؛ اگر پراکندگی X کم باشد، شیب دقیق نخواهد بود، اما خطای استاندارد آن خود این را می‌گوید. (ب) داده پرت در میانه دامنه X – نقطه‌ای دور از خط، اما نزدیک میانگین X: شیب تقریباً جابه‌جا نمی‌شود، فقط عرض از مبدأ؛ این داده پرت نسبتاً "بی‌آزار" است، که نشانه‌اش باقیمانده بزرگ است. (ج) فاصله، اما سازگار – نقطه‌ای دور که دقیقاً روی ادامه خط نشسته است: زیان‌آور نیست، و حتی سودمند است – واریانس برآورد شیب را کاهش می‌دهد. این یادآوری است که نقطه افراطی لزوماً نقطه بدی نیست. (د) نقطه‌ای که شیب را تعیین می‌کند – نگران‌کننده‌ترین پیکربندی: بدون نقطه دور تقریباً رابطه‌ای نیست، و با آن رابطه‌ای آشکار وجود دارد؛ در واقع، همان‌طور که نویسندگان می‌گویند، اینجا "در عمل فقط دو نقطه" وجود دارد. باقیمانده آن کوچک است – خط از آن عبور می‌کند – و بنابراین شاخص‌های باقیمانده آن را نخواهند گرفت؛ اهرم می‌گیرد. Cook & Weisberg (1982, ص. 102-103) بحث تأثیر را دقیقاً با چنین نموداری آغاز می‌کنند، و تأکید می‌کنند که حتی کسی که تغییر خط را از پیش انتظار دارد از آنچه بر شاخص‌ها می‌گذرد شگفت‌زده خواهد شد: با نقطه دور R² = .90؛ بدون آن – کمتر از .01. (ه) دو نقطه که می‌کشند – دو نقطه با اهرم بالا، که هر یک به تنهایی خط را کج می‌کند؛ اینجا، به نوشته نویسندگان، اقدامی لازم است: حذف، یا – ملایم‌تر – کاهش وزن آن‌ها، یا تغییر مدل. (و) پنهان‌سازی متقابل – دو نقطه نزدیک به هم: حذف یکی از آن‌ها تقریباً خط را تغییر نمی‌دهد، زیرا دیگری همچنان می‌کشد، و بنابراین شاخص‌هایی که مشاهده به مشاهده بررسی می‌کنند (مانند فاصله Cook) ممکن است هر دو را از دست بدهند (همان‌جا، ص. 9، 31). به همین دلیل هیچ جایگزینی برای چشم وجود ندارد: چنین زوجی در نمودار پراکنش بی‌درنگ به چشم می‌آید.

برای کمّی‌سازی: باقیمانده‌های استانداردشده (standardized residuals) – باقیمانده‌ها بر حسب نمره استاندارد: قدر مطلق بالاتر از 3.29 دلیلی برای نگرانی است؛ اگر بیش از 1% مشاهده‌ها بالاتر از 2.58، یا بیش از 5% بالاتر از 1.96 باشند – مدل داده‌ها را بد بازنمایی می‌کند؛ فاصله Cook – تأثیر مشاهده بر کل مدل: وقتی حذف شود همه ضرایب با هم چقدر جابه‌جا می‌شوند. این شاخص، در تجزیه Cook & Weisberg (1982, ص. 117)، حاصل‌ضرب دو عامل دیگر این فهرست است – مجذور باقیمانده استانداردشده ضرب در "توان بالقوه" اهرم (h/(1 − h)) – و بنابراین مشاهده می‌تواند به دو دلیل متفاوت تأثیرگذار باشد: چون از خط دور است، یا چون در محور X دور است؛ در نمونه‌ای که می‌آورند (3.5.1) چهار مشاهده دقیقاً همان D = 3 را می‌گیرند، دو تا به هر دلیل. آستانه رایج، D > 1، یعنی حذف مشاهده برآوردهای مدل را به فراتر از یک ناحیه اطمینان 50% جابه‌جا می‌کند – و Cook & Weisberg آن را فقط به عنوان "مبنایی برای مقایسه" پیشنهاد می‌کنند، و هشدار می‌دهند که تعریف "بزرگ" به مسئله بستگی دارد (ص. 118)؛ و اهرم (leverage) – اینکه مقدار X مشاهده تا چه حد افراطی است، مقادیر بالاتر از دو برابر میانگین 2(k + 1)/n بررسی شوند (Hoaglin & Welsch, 1978, بخش 2؛ Belsley, Kuh & Welsch, 1980, ص. 17؛ با یک پیش‌بین: 4/n). اهرم، h، بنا به تعریف وزن مشاهده در مقدار پیش‌بینی‌شده خودش است – در h = 1 مدل یک پارامتر را "وقف" آن می‌کند و خط رگرسیون ناگزیر از آن عبور می‌کند – و در رگرسیون ساده فرمولی شفاف دارد: h = 1/n + (x − x̄)² / Σ(x − x̄)² – سهم مشاهده از پراکندگی کل X (Hoaglin & Welsch, 1978, Section 3). از اینجا دو چیز که خوب است به یاد بسپارید. در نمودار پراکنش دو متغیر، اهرم به سادگی دیده می‌شود: مشاهده افراطی در محور X مشاهده‌ای با اهرم بالا است، و نیازی به شاخص نیست؛ شاخص فقط وقتی ضروری می‌شود که چند پیش‌بین وجود داشته باشد، و آنگاه مشاهده‌ای می‌تواند در ترکیب آن‌ها دور باشد بی‌آنکه در هیچ‌یک افراطی باشد، و هیچ نموداری آن را آشکار نخواهد کرد (همان‌جا، بخش 2). و دوم، راهبردی که Hoaglin & Welsch پیشنهاد می‌کنند (بخش 5): اهرم برای یافتن نقاط حساس در محور X و باقیمانده‌های استودنتی‌شده برای یافتن مقادیر پرت Y بررسی می‌شوند – هر دو، زیرا مشاهده‌ای با اهرم بالا ممکن است باقیمانده کوچکی نشان دهد دقیقاً به این دلیل که خط را پیشاپیش به سوی خود کشیده است، و شاخص باقیمانده به تنهایی آن را از دست خواهد داد. و هشداری از آن‌ها که همه آنچه گفته شد را متعادل می‌کند: نقاط افراطی در X همچنین همان‌هایی هستند که بیشترین اطلاعات را درباره شیب حمل می‌کنند، و بنابراین حذف یک نقطه اهرمی ممکن است دقتی را که با آن می‌توان شیب را برآورد کرد بسیار کاهش دهد – "چنین تصمیم‌هایی را نمی‌توان به صورت خودکار گرفت". Belsley, Kuh & Welsch دو شاخص دیگر می‌افزایند که آن‌ها نیز در پنجره Save در SPSS می‌آیند: Standardized DfBeta – وقتی مشاهده حذف شود شیب به اندازه چند خطای استاندارد جابه‌جا می‌شود، آستانه 2/√n؛ و Standardized DfFit – مقدار پیش‌بینی‌شده آن چقدر جابه‌جا می‌شود، آستانه 2√(p/n)، که در آن p تعداد پارامترها از جمله عرض از مبدأ است (1980, ص. 28). اهرم خطر بالقوه را می‌سنجید – مشاهده در X چقدر دور است؛ این دو آسیب واقعی را می‌سنجند. همه این‌ها در SPSS از درون روال رگرسیون (دکمه Save) تولید می‌شوند، نه از نمودار پراکنش – از نمودار به رگرسیون را ببینید.

دامنه محدود مقادیر. دامی خاموش که در خود نمودار دیده نمی‌شود: وقتی نمونه فقط بخش باریکی از دامنه ممکن مقادیر را پوشش می‌دهد – برای مثال سنجش رابطه میان هوش و پیشرفت تحصیلی فقط در میان دانشجویان تحصیلات تکمیلی – همبستگی‌ای که به دست می‌آید متفاوت، و معمولاً پایین‌تر، از همبستگی‌ای است که از دامنه کامل به دست می‌آمد. هرچه دامنه دو متغیر در نمونه گسترده‌تر باشد، برآورد رابطه قابل اعتمادتر است؛ و وقتی عمداً گروهی افراطی بررسی می‌شود (برای مثال بیمارانی با سطح اضطراب بالا)، نباید همبستگی را به فراتر از دامنه نمونه‌گیری‌شده تعمیم داد (Pallant, 2020, p. 136). در نمودار پراکنش این به صورت ابری دیده می‌شود که فقط یک گوشه از محورها را پوشش می‌دهد. Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, ص. 57-58) این را با اعداد نشان می‌دهند: وقتی نمونه‌ای از اعضای هیئت علمی فقط به کسانی محدود می‌شود که 5-11 سال پیش دکتری گرفته‌اند (به جای 3-18)، همبستگی میان سابقه و تعداد انتشارات از .657 به .388 کاهش می‌یابد، و R² از .43 به .15 – در حالی که شیب رگرسیون تقریباً جابه‌جا نمی‌شود (1.98 در برابر 2.46). این ویژگی‌ای کلی است: وقتی رابطه خطی است، b در برابر تغییرات پراکندگی X پایدار است، و r نیست. از اینجا دو توصیه عملی – همیشه انحراف معیار متغیرها گزارش شود، تا خواننده بتواند داوری کند که آیا دامنه محدود است؛ و وقتی رابطه میان نمونه‌هایی با انحراف معیارهای متفاوت مقایسه می‌شود، شیب‌ها مقایسه شوند و نه همبستگی‌ها.

آنچه نمودار نمی‌تواند نشان دهد: پایایی اندازه‌گیری. پرسشنامه‌ها با خطا می‌سنجند، و خطای اندازه‌گیری هر همبستگی‌ای را تضعیف می‌کند: همبستگی میان دو نمره مشاهده‌شده نمی‌تواند از جذر حاصل‌ضرب پایایی‌های آن‌ها فراتر رود، r_XY ≤ √(r_XX·r_YY). دو مقیاس که پایایی هر یک .80 است نمی‌توانند بیش از .80 همبسته باشند، و همبستگی مشاهده‌شده .44 میان آن‌ها با همبستگی .55 میان سازه‌های "واقعی" متناظر است – این تصحیح برای تضعیف است (correction for attenuation): r بر همان جذر تقسیم می‌شود (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 55-57). دو نتیجه از این برمی‌آید. نخست، ناپایایی توضیحی کافی برای همبستگی پایین است، اما نمی‌تواند همبستگی بالای کاذب بیافریند – همبستگی قوی میان شاخص‌های ناپایا یافته‌ای به‌ویژه قوی است. Cohen (1988, ص. 79) دقیقاً از همین حساب استفاده می‌کند تا توضیح دهد چرا r = .10 "کوچک‌تر از آن" نیست که در پی‌اش باشیم: دو سازه نظری که همبستگی واقعی‌شان .25 است، وقتی هر یک با ابزاری سنجیده شود که .63 با سازه‌اش همبسته است، در اندازه‌گیری فقط .25 × .63 × .63 = .10 همبسته خواهند بود – به نقل او از ترستون، "در روان‌شناسی، ما افراد را با سایه‌هایشان می‌سنجیم". دوم، همبستگی تصحیح‌شده مقداری فرضی است و نه داده: فقط در کنار همبستگی مشاهده‌شده و با احتیاط گزارش شود – وقتی پایایی‌ها در نمونه‌ای دیگر برآورد شده‌اند یا کمتر از واقع برآورد شده‌اند، تصحیح ممکن است مقداری اغراق‌آمیز، و حتی بزرگ‌تر از 1، بدهد. و نکته‌ای ظریف درباره خط رگرسیون: شیب b از ناپایایی در Y اثر نمی‌پذیرد (نوفه آنجا جذب باقیمانده‌ها می‌شود)، اما از ناپایایی در X اثر می‌پذیرد. خود پایایی در صفحه آلفای کرونباخ و نمره مقیاس محاسبه می‌شود.

گویه در برابر مقیاسی که جزئی از آن است. دامی نزدیک: نمودار پراکنش یک گویه منفرد در برابر نمره کل مقیاسی که آن را در بر دارد همیشه رابطه‌ای مثبت نشان خواهد داد – صرفاً چون گویه بخشی از مجموع است. با k گویه که اصلاً به یکدیگر مربوط نیستند، هر گویه با مجموع به اندازه 1/√k همبسته است: با دو گویه – .71، با چهار – .50، بدون هیچ رابطه واقعی (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 59). بنابراین همبستگی گویه با مقیاس همیشه در برابر مقیاس بدون آن محاسبه می‌شود (corrected item-total correlation) – و این دقیقاً ستونی است که صفحه پایایی تولید می‌کند. با همین روحیه (همان‌جا، ص. 53): r = 1 فقط وقتی ممکن است که دو متغیر به یک شکل توزیع شده باشند، و هرچه توزیع‌ها متفاوت‌تر باشند – به‌ویژه وقتی در جهت‌های مخالف چوله‌اند، یا وقتی هر دو متغیر دووجهی با نسبت‌های بسیار متفاوت‌اند – سقف همبستگی پایین‌تر از 1 است.

و مهم‌ترین هشدار. شاخص‌های تشخیصی برای این‌اند که ببینیم مدل تا چه اندازه با داده‌ها جور است – نه برای توجیه حذف نقاط به منظور رسیدن به نتیجه مطلوب، برای مثال تبدیل شیب غیرمعنادار به معنادار (Field, 2024, Section 9.3.3). Belsley, Kuh & Welsch (1980, ص. 3-4)، که بسیاری از این شاخص‌ها را پروراندند، صراحتاً آن‌ها را برای جلوگیری از درمانی نوشتند که به همان اندازه رایج و نامناسب است – "دور ریختن داده‌های پرت"، که به گفته آن‌ها بسیاری‌شان اصلاً تأثیرگذار نیستند: مشاهده پرت لزوماً مشاهده بدی نیست، و گاهی جالب‌ترین اطلاعات نمونه را حمل می‌کند؛ فقط پس از شناسایی آن می‌توان کیفیتش را داوری کرد و تصمیم گرفت چه باید کرد. مشاهده پرتی که بر خط تأثیر نمی‌گذارد مدل را به خطر نمی‌اندازد، و در هر حال پرسش جالب این است که چرا با آن جور نیست. دو روش رایج برای برخورد با داده‌های پرت به دلیلی بنیادی معیوب‌اند (Field & Wilcox, 2017, Section Alternative estimators): برش بر اساس انحراف معیار – برای مثال حذف هر مشاهده‌ای که بیش از 2.5 انحراف معیار از میانگین دور است، رسمی رایج در داده‌های زمان واکنش – بر میانگین و انحراف معیار تکیه دارد، که خود حساس‌ترین شاخص‌ها به داده‌های پرت‌اند، و بنابراین یک داده پرت بزرگ داده‌های پرت دیگر را "پنهان می‌کند"؛ و حذف دستی داده‌های پرت، که پس از آن رگرسیون معمول روی آنچه باقی مانده اجرا می‌شود – نادیده می‌گیرد که داده‌ها پیشاپیش "پاک‌سازی" شده‌اند، و بنابراین خطاهای استانداردی که به دست می‌آیند نادرست‌اند، نمونه هر قدر هم بزرگ باشد. جایگزین‌های استوار – میانگین‌های پیراسته 20%، برآوردگرهای M که داده پرت را به صورت تجربی شناسایی و وزنش را کاهش می‌دهند، و رگرسیون استوار – عمدتاً در R در دسترس‌اند (همان‌جا، ص. 17-18، 32-34)؛ آنچه در SPSS در دسترس است، و در هر حال توصیه می‌شود، بوت‌استرپ در بخش از نمودار به رگرسیون است. و در عمل وقتی یک مشاهده سهم زیادی در خط داشته چه باید کرد؟ Anscombe (1973, ص. 18-20) آزمون و راه‌حل را صورت‌بندی می‌کند. آزمون: درباره رابطه‌ای آسوده‌خاطرتریم که حتی پس از حذف چند مشاهده – هر کدام که باشد – آشکار بماند، یعنی رابطه‌ای که "در همه مشاهده‌ها نفوذ دارد و عمدتاً از یکی دو مورد ناشی نمی‌شود". و راه‌حل، از نمونه‌ای درباره هزینه‌های آموزش در پنجاه ایالت آمریکا که در آن آلاسکا، با مقادیر پیش‌بین دور از همه، سهم ویژه‌ای در خط داشت: آلاسکا کنار گذاشته نشود – زیرا پس از آن هاوایی، کالیفرنیا، نیویورک خواهند آمد، "و کجا باید ایستاد؟" – بلکه رگرسیون روی همه ایالت‌ها گزارش شود، افزوده شود که آلاسکا سهم زیادی در آن داشت، و گفته شود بدون آن چه رخ می‌دهد (همان‌جا: خط تقریباً تغییر نکرد، خطاهای استاندارد اندکی افزایش یافتند و R² کاهش یافت). هر دو چیز – رابطه در همه داده‌ها و سهم ویژه مشاهده – یافته‌اند. Cook & Weisberg (1982, ص. 104) فضای گزینه‌ها را جمع‌بندی می‌کنند، پس از آنکه روشن می‌کنند شاخص‌هایی که پرورانده‌اند "برای فراهم کردن قواعدی برای رد داده‌ها نیستند": مشاهده‌ای که منشأ آن خطای اندازه‌گیری، تایپ یا شرایط آزمایشی نامناسب است – اصلاح یا حذف می‌شود؛ مشاهده‌ای که چنین توضیحی ندارد – آزمون رسمی داده‌های پرت (با این قید که نباید توان زیادی از آن انتظار داشت)، گردآوری داده‌های بیشتر، یا – آنچه معمولاً مناسب است – گزارش هر دو تحلیل، با مشاهده و بدون آن. به نوشته آن‌ها، تصمیم نهایی همیشه به زمینه بستگی دارد، و بنابراین توصیه فراگیری وجود ندارد.

چند آزمودنی لازم است؟

قواعد سرانگشتی رایج – 10 یا 15 آزمودنی برای هر پیش‌بین – چنان ساده‌انگارانه‌اند که بی‌فایده‌اند (Field, 2024, Section 9.5): حجم نمونه لازم به شدت رابطه‌ای که انتظار یافتنش می‌رود و به توان آماری مطلوب بستگی دارد. با یک پیش‌بین، و برای توان 0.8 بر اساس عرف (Cohen, 1988)، Field محاسبه می‌کند: حدود 25 آزمودنی برای کشف رابطه قوی کافی است (R² ≈ .26)، حدود 55 برای رابطه متوسط (R² ≈ .13)، اما برای رابطه ضعیف (R² ≈ .02) صدها آزمودنی لازم است. و نمونه کوچک در جهت عکس نیز گمراه می‌کند: R مورد انتظار از داده‌های کاملاً تصادفی k/(N − 1) است – با 21 آزمودنی و یک پیش‌بین، حتی نوفه خالص R برابر 0.05 می‌دهد، و به آسانی می‌توان تحت تأثیر "رابطه"‌ای قرار گرفت که وجود ندارد.

اعداد Field بر جدول‌های Cohen تکیه دارند، و خوب است آن‌ها را از اصل بشناسید: در جدول 3.4.1 (1988, ص. 102)، برای آزمون دودامنه در سطح .05 و توان .80، به 28 زوج برای کشف r = .50، به 85 زوج برای r = .30، و به 783 زوج برای r = .10 نیاز است (و برای توان .90: 37، 113 و 1,047). تفاوت‌های کوچک با اعداد Field از آنجا ناشی می‌شود که او اثر را با R² برابر .02 / .13 / .26 تعریف می‌کند. جدول را برعکس هم می‌توان خواند: برای مثال با n = 50، شانس کشف رابطه متوسط فقط .57 است (همان‌جا، مثال 3.4) – و این نمونه‌ای است که به نظر بسیاری کاملاً معقول می‌آید. و نکته‌ای از Cohen که خوب است به یاد بسپارید: جدول‌ها وقتی دامنه مقادیر در نمونه محدود است معتبر نیستند (ص. 100) – دامنه محدود مقادیر را در بالا ببینید.

این اعداد از کجا می‌آیند. Gelman & Hill (2007, ص. 441) منطق پشت هر جدول توان را در یک سطر توضیح می‌دهند: برای آنکه شانس 80% برای به دست آوردن نتیجه معنادار وجود داشته باشد، اثر واقعی باید 2.8 خطای استاندارد از صفر فاصله داشته باشد – 1.96 تا فاصله اطمینان 95% صفر را در بر نگیرد، به‌علاوه 0.84 برای رسیدن به صدک 80 توزیع نرمال. با خطای استاندارد ضریب همبستگی (در تبدیل z فیشر، 1/√(n − 3)) این قاعده اعداد بالا را بازتولید می‌کند: برای r = .30 به 85 آزمودنی می‌رسیم، برای r = .10 نزدیک به 780. دو نتیجه عملی از اینجا برمی‌آید. نخست: خطاهای استاندارد مانند 1/√n کاهش می‌یابند، و بنابراین برای نصف کردن خطای استاندارد چهار برابر آزمودنی لازم است – در r = .10 این تفاوت میان 783 و حدود 3,100 است (همان‌جا، ص. 446). دوم، و مهم‌تر: هر محاسبه توانی اندازه اثر واقعی را فرض می‌کند، "فرضی که ذاتاً با داده‌های موجود قابل بررسی نیست" – نمونه پیشینی که r = .30 داد با رابطه‌ای بسیار ضعیف‌تر نیز سازگار است – و بنابراین "لزوماً نباید از پژوهشی پیشنهادی انتظار معناداری داشت، حتی اگر حجم نمونه درست محاسبه شده باشد" (همان‌جا، ص. 447). جدول توان ابزار برنامه‌ریزی است، نه تضمین.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

ماشین‌حساب این صفحه با روال Simple Scatter در منوی Graphs در SPSS متناظر است. برای راهنمای مفصل Field (2024, بخش 5.8) و Pallant (2020, ص. 153-157) را ببینید. SPSS برای نمودار پراکنش دو مسیر دارد: کادرهای گفت‌وگوی قدیمی (Legacy Dialogs)، که اینجا گام به گام در آن پیش می‌رویم، و Chart Builder جدیدتر، که در پایان بخش نشان داده می‌شود. هر دو همان نمودار را تولید می‌کنند.

یادداشت نسخه‌ها. تصاویر صفحه در این بخش در SPSS نسخه 21 تهیه شده‌اند. خود روال‌ها در طول نسخه‌ها پایدارند، اما جای گزینه‌ها در منو، نام زبانه‌ها و تعداد گزینه‌ها در گالری ممکن است اندکی تغییر کند – و اگر صفحه نزد شما کمی متفاوت به نظر می‌رسد، احتمالاً دلیلش همین است. Field (2024)، که این بخش بر آن تکیه دارد، نیز بر اساس نسخه 29 نوشته شده است. خود Field در این باره اطمینان می‌دهد – میان هر ویراست و ویراست بعدی نسخه‌های جدیدی منتشر می‌شوند، و روال‌هایی که کتاب توصیف می‌کند تقریباً از این تأثیر نمی‌پذیرند.

در منو Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot… انتخاب می‌شود:

در کادر گفت‌وگوی Scatter/Dot که باز می‌شود، نوع نمودار از میان پنج گزینه انتخاب می‌شود، و سپس روی Define کلیک می‌شود:

Simple Scatter – نمودار پراکنش یک متغیر وابسته و یک متغیر مستقل؛ این نوع اصلی است، همان که این صفحه محاسبه می‌کند، و همچنین هنگام باز شدن کادر به عنوان پیش‌فرض علامت خورده است. Overlay Scatter – چند زوج متغیر روی یک نمودار. Matrix Scatter – ماتریسی که همه زوج‌های ممکن از فهرستی از متغیرها را یکجا نشان می‌دهد (این دو در ادامه، در بخش گسترش‌ها، بسط داده می‌شوند). 3-D Scatter – نمودار پراکنش سه متغیر به طور هم‌زمان. و Simple Dot، تنها گزینه اینجا که نمودار پراکنش نیست – نمودار نقطه‌ای که توزیع یک متغیر را توصیف می‌کند، مشابه هیستوگرامی که در آن هر مشاهده یک نقطه است.

با انتخاب Simple Scatter پنجره تعریف Simple Scatterplot باز می‌شود: متغیر وابسته به کادر Y Axis و متغیر مستقل به کادر X Axis منتقل می‌شود – در نمونه پیش رو اعتماد (trust) در محور Y و خودکارآمدی (efficacy) در محور X:

سه کادر دیگر در این پنجره سودمندند، اما الزامی نیستند: Set Markers by نقاط را بر اساس طبقه‌های یک متغیر سوم رنگ‌آمیزی می‌کند (ایده‌ای قدیمی: Anscombe, 1973, ص. 20، آن را triple scatterplot نامید – نمودار دو متغیر که در آن نماد نقطه متغیر سومی را رمزگذاری می‌کند، و از نظر او این جایگزینی فقیرانه اما کافی برای نمودار سه‌بعدی بود)؛ Label Cases by به هر نقطه برچسبی می‌افزاید، که برای یافتن یک مشاهده پرت معین سودمند است؛ و Panel by Rows/Columns نمودار را بر اساس گروه‌ها به زیرنمودارهای جداگانه تفکیک می‌کند (Overlay Scatter را در بخش بعد ببینید). کلیک روی OK نمودار را تولید می‌کند:

سه چیز در این نمودار پیش از ادامه شایسته توجه است. نخست، نقاط در یک شبکه چیده شده‌اند. هر دو متغیر میانگین گویه‌های مقیاس‌اند، و بنابراین فقط مقادیری با گام‌های نیم‌نمره‌ای می‌گیرند. این کاملاً درست است، و نشانه خرابی در داده‌ها نیست.

دوم، و این مهم‌تر است – روی صفحه بسیار کمتر از 479 نقطه دیده می‌شود. آزمودنی‌هایی که مقادیرشان در هر دو متغیر یکسان است روی هم رسم می‌شوند (overplotting)، و یک نقطه منفرد روی صفحه ممکن است ده‌ها مشاهده را نمایندگی کند. معنای عملی: در چنین نموداری نمی‌توان شدت رابطه را با چشم برآورد کرد، زیرا تراکم – اطلاعات مهم – به سادگی دیده نمی‌شود؛ بنابراین با عدد سنجیده می‌شود (r یا R²) و نه با برداشت شخصی. آنچه به خوبی دیده می‌شود شکل ابر است: گوشه پایین و راست – خودکارآمدی بالا همراه با اعتماد پایین – تقریباً کاملاً خالی است، و این دقیقاً نشانه رابطه مثبت است. (در نمودار این صفحه نقاط با شفافیت نسبی رسم می‌شوند، و بنابراین انباشت مشاهده‌ها در یک جا به صورت لکه‌ای تیره‌تر دیده می‌شود – اشاره‌ای بصری به تراکم که در خروجی معمول SPSS نیست.) درمان دیگر برای overplotting لرزاندن است (jittering): به مقدار هر آزمودنی، در یکی از محورها یا هر دو، "نوفه" تصادفی بسیار کوچکی افزوده می‌شود، تا نقاطی که روی هم نشسته بودند اندکی پراکنده شوند و حسی از تراکم پدید آید. خود مقادیر تغییر نمی‌کنند – فقط رسم – و محاسبه البته روی داده‌های اصلی انجام می‌شود (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 111). حالتی که این تکنیک در آن واقعاً ضروری است نمودار پراکنشی است که یکی از متغیرهایش طبقه‌ای است، برای مثال جنسیت با کدگذاری 0/1: بدون لرزاندن هر گروه یک ستون عمودی است، که در آن نمی‌توان یک آزمودنی را از صد آزمودنی تشخیص داد.

چه مقدار نوفه افزوده شود؟ Gelman & Hill (2007, ص. 554) قاعده‌ای می‌دهند: برای داده‌هایی با مقادیر صحیح – عددی تصادفی یکنواخت میان −0.3 و +0.3 برای هر مقدار X و Y؛ و به طور کلی، "درست به اندازه‌ای که ماهیت گسسته داده‌ها همچنان آشکار باشد". برای داده‌های لیکرت با گام‌های نیم‌نمره‌ای، مانند نمونه، دامنه متناظر حدود ±0.15 است. آن‌ها جایگزینی را هم رد می‌کنند که در آن نقطه هم‌پوشان با یک رقم (2، 3…) یا نمادی ویژه علامت‌گذاری می‌شود: این از نظر بصری گمراه‌کننده است، و از نظر اصولی کافی نیست، زیرا در این صورت نمایش هر آزمودنی بیش از حد به آزمودنی‌های دیگر وابسته است. در R این geom_jitter(width = 0.15, height = 0.15) به جای geom_point در اسکریپت بخش R است.

و سوم، اینجا یک مشاهده پرت وجود دارد. در گوشه بالا و چپ نقطه‌ای تنها نشسته است – خودکارآمدی 1.00 با اعتماد 5.00 – دور از الگوی بقیه مشاهده‌ها. این دقیقاً همان مشاهده‌ای است که بخش مفروضه‌ها در بالا توصیه می‌کند برای آن توقف و بررسی شود: اگر خطای تایپی است، جایش در تحلیل نیست؛ و اگر داده‌ای واقعی است، می‌ماند – اما خوب است بدانیم که آنجا است، و بررسی کنیم که تا چه اندازه خط رگرسیون را به سوی خود می‌کشد. و در پایان، نمایشی کوچک از همه آنچه در بند پیشین گفته شد: در خود فایل داده‌ها آنجا نه یک مشاهده بلکه دو مشاهده هست – دو آزمودنی با دقیقاً همان مقادیر، که روی هم رسم شده‌اند و یک نقطه به نظر می‌رسند.

مرحله ویرایش: پنجره Chart Editor. برخلاف ماشین‌حساب این صفحه، در SPSS خط رگرسیون به صورت خودکار همراه نمودار ظاهر نمی‌شود – در ویرایش افزوده می‌شود. دوبار کلیک (double-click) روی نمودار در پنجره خروجی آن را در پنجره‌ای جداگانه، Chart Editor، باز می‌کند، و در کنار آن پنجره Properties باز می‌شود – مرکز ویرایش نمودار:

یک قاعده مهم در پنجره Properties: زبانه‌های آن بسته به آنچه در نمودار انتخاب شده تغییر می‌کنند. در تصویر بالا چیزی انتخاب نشده، و بنابراین فقط دو زبانه ظاهر می‌شوند – Chart Size، که ارتفاع و عرض نمودار در آن بر حسب پوینت تعیین می‌شود (اینجا 375 در 468.75، با حفظ نسبت ارتفاع به عرض)، و Variables. کلیک روی یکی از نقاط پراکنش کل سری نقاط را انتخاب می‌کند، و دو زبانه دیگر به پنجره می‌افزاید:

در Marker ظاهر نقاط تعیین می‌شود: Type – شکل نشانه (دایره، مربع، مثلث)؛ Size – اندازه آن؛ و Fill و Border – رنگ پرکننده و رنگ حاشیه. به طور پیش‌فرض پرکننده خالی است (Transparent) و حاشیه سیاه، و دایره‌های توخالی خروجی از همین‌جا است. این زبانه سودمندتر از آن است که به نظر می‌رسد: کوچک کردن نشانه، یا پر کردن آن با رنگی روشن و شفاف، اتفاقاً در نمودار پرتراکمی مانند نمودار ما، که نقاط زیادی در آن روی هم نشسته‌اند، کمک می‌کند.

زبانه Spikes از هر نقطه خط نازکی به یک لنگر ثابت می‌افزاید: Floor – به محور X، Origin – به مبدأ محورها، و Centroid – به مرکز ثقل ابر. پیش‌فرض، None، برای نمودار پراکنش معمولی توصیه‌شده نیز هست؛ Centroid می‌تواند در یک درس پراکندگی حول مرکز را نشان دهد، اما در نموداری با صدها مشاهده انبوهی درهم از خطوط پدید می‌آورد.

زبانه Variables عمیق‌ترین همه است: اجزایی را که نمودار از آن‌ها ساخته شده و متغیرهایی را که به آن‌ها داده می‌دهند نشان می‌دهد. فهرست کشویی Element Type نشان می‌دهد که روی همان داده‌ها چه چیزهای دیگری می‌توان رسم کرد – Marker (نقاط، که جزء موجود است)، Fit Line (خط برازش)، Interpolation Line، Distribution Line، Path و غیره. اینجا همچنین می‌توان با دکمه New جزء جدیدی به نمودار افزود. با این حال، معمولاً نیازی به این مسیر نیست: خط رگرسیون با یک فرمان ویژه افزوده می‌شود، و این گام بعدی است.

و افزودن خود خط رگرسیون. در منوی Chart Editor، Elements › Fit Line at Total… انتخاب می‌شود. این فرمان زبانه تازه‌ای، Fit Line، به پنجره Properties می‌افزاید که روش برازش (Fit Method) در آن انتخاب می‌شود: پیش‌فرض Linear رگرسیون خطی ساده است – دقیقاً همان که این صفحه محاسبه می‌کند – و در کنار آن Quadratic، Cubic، Loess و Mean of Y. کلیک روی Apply و سپس Close خط را به نمودار می‌افزاید، و مقدار R Sq Linear را روی آن نشان می‌دهد (در نسخه‌های قدیمی‌تر SPSS این نوشته بدون علامت توان دوم، به صورت متن "RSq Linear"، ظاهر می‌شود). بستن پنجره Chart Editor نمودار به‌روزشده را به پنجره خروجی بازمی‌گرداند.

و Loess چه می‌کند؟ این جالب‌ترین گزینه از میان جایگزین‌های خط راست است: خطی هموارشده که هیچ فرضی درباره شکل رابطه ندارد، بلکه به سادگی روند داده‌ها را، قطعه به قطعه، دنبال می‌کند (locally weighted scatterplot smoother). کاربرد درست آن به عنوان بررسی است: اگر رابطه در جامعه آماری خطی باشد، خط Loess باید مانند تقریبی زمخت از یک خط راست به نظر برسد – در استعاره Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, ص. 112)، مانند "خط راستی که کودکی خردسال با دست آزاد کشیده باشد". اگر آشکارا خمیده باشد، خط راست مدل درستی نیست. دو چیز که خوب است بدانید: عرض پنجره (در SPSS: % of points to fit) میزان هموارسازی را تعیین می‌کند – مقدار بیش از حد کوچک هر زیگزاگ نوفه را رسم می‌کند، مقدار بیش از حد بزرگ حتی انحنای واقعی را صاف می‌کند، و بنابراین ارزش دارد دو-سه مقدار امتحان شود؛ و در دو انتهای دامنه X، که داده‌ها در آن‌ها پراکنده‌اند، خط بسیار کمتر از مرکز قابل اعتماد است (همان‌جا، ص. 113-114).

و نوارهای اطمینان حول خط. در همان زبانه Fit Line، زیر Fit Method، گروه گزینه‌های Confidence Intervals قرار دارد. پیش‌فرض None است – خط برهنه، بدون نوار – و در کنار آن دو گزینه که شبیه به نظر می‌رسند و اصلاً شبیه نیستند: Mean و Individual (با فیلد سطح اطمینان، 95 به طور پیش‌فرض). Mean عدم قطعیت خود خط را رسم می‌کند – اینکه در جامعه آماری، میانگین Y در هر مقدار X از کجا عبور می‌کند. Individual به پرسش کاملاً دیگری پاسخ می‌دهد – اینکه یک آزمودنی منفرد جدید انتظار می‌رود کجا قرار گیرد – و نوار آن بسیار پهن‌تر است، زیرا دو منبع عدم قطعیت را به جای یکی حمل می‌کند: هم عدم قطعیت خط، و هم پراکندگی آزمودنی‌ها حول آن. Gelman & Hill (2007, ص. 47-48) این را چنین صورت‌بندی می‌کنند: خطای استاندارد پیش‌بینی برای مشاهده‌ای جدید اندکی بزرگ‌تر از σ است – انحراف معیار باقیمانده‌ها، که همان Std. Error of the Estimate در جدول Model Summary است – و این به دلیل عدم قطعیت در برآورد ضرایب رگرسیون است؛ و در تقریب نرمال، حدود 50% از مقادیر واقعی در دامنه ±0.67σ حول پیش‌بینی قرار می‌گیرند، حدود 68% در دامنه ±σ و حدود 95% در دامنه ±2σ.

و چرا هر دو نوار در میانه باریک‌اند و در دو انتها پهن می‌شوند. این پدیده‌ای از SPSS نیست بلکه ویژگی خود پیش‌بینی است: عدم قطعیت هرچه از میانگین پیش‌بین دورتر شویم افزایش می‌یابد (Gelman & Hill, 2007, p. 44). در فرمول خطای استاندارد پیش‌بینی (همان‌جا، ص. 47، پانویس 3) این مستقیماً دیده می‌شود – σ_forecast = σ √(1 + 1/n + (x − x̄)² / Σ(x_i − x̄)²): جمله میانی هرچه نمونه بزرگ‌تر شود کوچک‌تر می‌شود؛ جمله سوم هرچه مقدار Xای که برای آن پیش‌بینی می‌شود از میانگین X در نمونه دورتر باشد بزرگ‌تر می‌شود – و شکل ساعت‌شنی نوار از همین‌جا است؛ و 1 در ابتدا دقیقاً تفاوت میان Individual و Mean است: پراکندگی آزمودنی منفرد حول خط، که حتی وقتی نمونه بی‌حد بزرگ شود ناپدید نمی‌شود. این همان قیدی است که اینجا درباره دو انتهای خط Loess گفته شد، و در نسخه خطی بیانی گرافیکی می‌یابد – خود نوار اعلام می‌کند که خط کجا کمتر می‌داند.

و چه باید گزارش کرد. دو نوار به دو پرسش متفاوت پاسخ می‌دهند، و بنابراین انتخاب میان آن‌ها موضوع سلیقه نیست: Mean می‌گوید تا چه اندازه می‌دانیم خط از کجا عبور می‌کند، و Individual می‌گوید تا چه اندازه می‌توان یک فرد را پیش‌بینی کرد. اشتباه رایج این است که نوار باریک را چنان بخوانیم که گویی می‌گوید آزمودنی‌ها کجا قرار می‌گیرند، در حالی که فقط می‌گوید میانگین آن‌ها از کجا عبور می‌کند – و در نمونه بزرگ حتی وقتی پراکندگی حول خط عظیم است بسیار باریک است. در فصل یافته‌ها، وقتی نمودار پراکنش برای توصیف رابطه آمده و نه برای پیش‌بینی، انتخاب رایج Mean است؛ و در یادداشت شکل باید ذکر شود کدام نوار و در چه سطح اطمینانی نشان داده شده است. این سخت‌گیری زائدی نیست بلکه الزامی صریح است: APA (2020, بخش 7.28) توضیح هر سایه‌زنی یا جزء طراحی دیگری را که معنایی دارد در یادداشت الزامی می‌کند، و صراحتاً می‌گوید وقتی نمودار نشانه‌های خطا دارد باید گفت که آیا نماینده انحراف معیارها، خطاهای استاندارد، حدود اطمینان یا دامنه‌ها هستند – و می‌افزاید که خوب است حجم نمونه نیز در کنار آن‌ها ذکر شود. ماشین‌حساب این صفحه خط را بدون نوار رسم می‌کند، و بنابراین این افزوده‌ای است که فقط از SPSS می‌آید.

کلیک روی Paste در هر یک از کادرهای گفت‌وگو عمل را به صورت سینتکس ذخیره می‌کند:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(BIVAR)=efficacy WITH trust
  /MISSING=LISTWISE.

توجه کنید: فرمان GRAPH به طور پیش‌فرض از حذف لیستی استفاده می‌کند (/MISSING=LISTWISE)، و نه از حذف زوجی که روال همبستگی‌ها و ماشین‌حساب این صفحه به کار می‌برند. در یک نمودار پراکنش منفرد، از تنها یک زوج متغیر، این تفاوت معنای عملی ندارد: هر دو روش دقیقاً به همان مجموعه مشاهده‌ها می‌رسند، زیرا اینجا متغیر دیگری نیست که "به خاطر آن" مشاهده‌های بیشتری کنار گذاشته شوند.

مسیر دوم: Chart Builder

مسیری که تاکنون توصیف شد مسیر کادرهای گفت‌وگوی قدیمی است. در نسخه‌های جدید SPSS ابزار اصلی ساخت نمودار Chart Builder است، که از Graphs › Chart Builder… به آن می‌رسیم (Field, 2024, Sections 5.3 and 5.8). نتیجه یکسان است – تفاوت در شیوه ساختن است.

پیامی که هنگام باز شدن ظاهر می‌شود، و ارزش فهمیدن دارد. با باز شدن Chart Builder کادری بیرون می‌پرد که یادآوری می‌کند سطح اندازه‌گیری هر متغیر باید درست تعریف شده باشد – Scale، Ordinal یا Nominal – زیرا این ابزار بر آن تکیه دارد تا بداند کدام متغیرها پیوسته و کدام طبقه‌ای‌اند (Field, 2024, SPSS Tip 5.1). این خطا نیست بلکه یادآوری است: کسی که متغیرها را در ستون Measure در Variable View درست تعریف کرده به سادگی تأیید می‌کند و ادامه می‌دهد. در نخستین تصویر این بخش دقیقاً همین را می‌توان دید – پنج متغیر تاب‌آوری Scale تعریف شده‌اند، و متغیرهای جمعیت‌شناختی Ordinal یا Nominal.

این کادر چیز دومی را نیز یادآوری می‌کند: اگر نمودار شامل یک متغیر طبقه‌ای باشد، بهتر است برای آن برچسب‌های مقدار (value labels) تعریف شود – تا در نمودار "سکولار" ظاهر شود و نه "1". دکمه Define Variable Properties مستقیماً به جایی می‌برد که هر دو مورد در آن اصلاح می‌شوند، و OK به خود پنجره ادامه می‌دهد.

ساختار پنجره. چهار ناحیه: Gallery – گالری انواع نمودارها؛ فهرست متغیرها؛ canvas، که پیش‌نمایش نمودار در حین کار در آن ساخته می‌شود؛ و در سمت راست دکمه‌های Element Properties و Options، که تعیین می‌کنند نمودار دقیقاً چه چیزی را نشان می‌دهد و چگونه با مقادیر گمشده برخورد می‌کند. درون canvas نواحی رهاسازی (drop zones) با خط‌چین آبی مشخص شده‌اند، و متغیرها به درون آن‌ها کشیده می‌شوند – به جای انتقال با پیکان‌ها مانند کادرهای قدیمی.

دو جزئیات در تصویر ارزش نگاه کردن دارند. نخست، کنار هر متغیر در فهرست نماد سطح اندازه‌گیری آن ظاهر می‌شود – خط‌کش برای Scale، ستون‌ها برای Ordinal و دایره‌های رنگی برای Nominal؛ این همان تعریفی است که کادر قبلی یادآوری کرد، و اینجا با چشم دیده می‌شود. و دوم، زیر فهرست پیام "No categories (scale variable)" ظاهر می‌شود – این پیام به متغیر انتخاب‌شده در فهرست اشاره دارد و اعلام می‌کند که پیوسته است و بنابراین طبقه‌ای ندارد. در پایین پنجره چهار زبانه هست: Gallery – راه متداول، انتخاب از یک گالری آماده؛ Basic Elements – ساختن از صفر، جزء به جزء؛ و در کنار آن‌ها Groups/Point ID و Titles/Footnotes.

و ساختن نمودار پراکنش. در فهرست Choose from گزینه Scatter/Dot انتخاب می‌شود، و گالری نمودارهای پراکنش باز می‌شود: Simple scatter، Grouped scatter، Scatterplot matrix، Simple dot plot، Summary point plot، Drop-line و نسخه‌های سه‌بعدی. دوبار کلیک روی Simple scatter (یا کشیدن آن به canvas) نموداری با دو ناحیه رهاسازی قرار می‌دهد – یکی برای محور Y و یکی برای محور X. متغیرها به درون آن‌ها کشیده می‌شوند و روی OK کلیک می‌شود:

و هشداری کوچک که از سردرگمی جلوگیری می‌کند: بالای پیش‌نمایش نوشته شده است "Chart preview uses example data" – نقاطی که در پنجره دیده می‌شوند داده‌های شما نیستند بلکه داده‌های نمایشی‌اند. پیش‌نمایش ساختار نمودار را نشان می‌دهد، نه نتیجه آن را، و نمودار واقعی تنها پس از OK به دست می‌آید – و وقتی به دست می‌آید، کاملاً با نمودار مرحله 4 در بالا، همانی که در مسیر قدیمی تولید شد، یکسان است. دو مسیر، دقیقاً همان نمودار.

قاعده سرانگشتی برای قرار دادن همانی است که پیش‌تر به کار بستیم: متغیر پیامد روی محور Y، پیش‌بین روی محور X. Field قیدی به این می‌افزاید که بهتر است به خاطر سپرده شود – در پژوهش همبستگی، که در آن هر دو متغیر هم‌زمان اندازه‌گیری می‌شوند، واژه‌های "پیش‌بین" و "پیامد" تنها جایگاه آن‌ها را در نمودار توصیف می‌کنند و بر علیت دلالت ندارند (2024, بخش 5.8.1).

دو گسترشی که در بخش قبل آمد اینجا نیز وجود دارند، با نام‌هایی دیگر: Grouped scatter ناحیه رهاسازی سومی می‌افزاید، که یک متغیر طبقه‌ای به درون آن کشیده می‌شود و نقاط بر اساس آن رنگ می‌گیرند – معادل Set Markers by (بخش 5.8.2)؛ و Scatterplot matrix تنها یک ناحیه رهاسازی نشان می‌دهد، که همه متغیرهای مورد نظر یک‌باره به درون آن کشیده می‌شوند – آن‌ها در فهرست با کمک Ctrl (یا Cmd در Mac) انتخاب و با هم کشیده می‌شوند (بخش 5.8.4).

و نقطه پرت کیست؟ نکته‌ای از Pallant (2020, ص. 76، 157) که از جست‌وجو در فایل بی‌نیاز می‌کند: در زبانه Groups/Point ID در Chart Builder گزینه Point ID label علامت زده می‌شود و متغیر شناسه به ناحیه رهاسازی Point ID کشیده می‌شود. در نمودار به‌دست‌آمده Chart Editor باز می‌شود، Elements › Data Label Mode انتخاب می‌شود (نخستین گزینه منو، در تصویر صفحه مرحله 6 در بالا) و روی یک نقطه کلیک می‌شود – و شماره شناسه آن در کنارش ظاهر می‌شود. بدون متغیر شناسه، شماره سطری که SPSS داده است نمایش داده می‌شود. بدین ترتیب می‌توان به پرسشنامه همان آزمودنی بازگشت و بررسی کرد که آیا خطای تایپی در کار است. (در ماشین‌حساب این صفحه، نگه داشتن نشانگر روی یک نقطه مقادیر آن را نشان می‌دهد، اما نه شناسه را – ستون شناسه از تحلیل کنار گذاشته می‌شود.)

و سینتکس اینجا کاملاً متفاوت به نظر می‌رسد. در Chart Builder نیز دکمه Paste وجود دارد، اما فرمان کوتاه GRAPH را که در بالا دیدیم تولید نمی‌کند، بلکه فرمان GGRAPH را، و درون آن بلوکی به زبانی ویژه توصیف نمودارها – GPL (Graphics Production Language)، که میان BEGIN GPL و END GPL محصور است:

* Chart Builder.
GGRAPH
  /GRAPHDATASET NAME="graphdataset" VARIABLES=efficacy trust MISSING=LISTWISE REPORTMISSING=NO
  /GRAPHSPEC SOURCE=INLINE.
BEGIN GPL
  SOURCE: s=userSource(id("graphdataset"))
  DATA: efficacy=col(source(s), name("efficacy"))
  DATA: trust=col(source(s), name("trust"))
  GUIDE: axis(dim(1), label("efficacy"))
  GUIDE: axis(dim(2), label("trust"))
  ELEMENT: point(position(efficacy*trust))
END GPL.

طولانی‌تر – اما صریح‌تر، و بنابراین ارزش دارد خواندنش را یاد بگیرید. هر سطر به پرسش دیگری پاسخ می‌دهد: DATA – کدام متغیرها وارد نمودار می‌شوند؛ GUIDE: axis – روی هر محور چه نوشته می‌شود؛ SCALE – هر محور از چه نوع مقیاسی استفاده می‌کند؛ و ELEMENT – در عمل چه چیزی رسم می‌شود (point، یعنی نقاط). سطر نخست، * Chart Builder.، فقط یک توضیح است – SPSS آن را می‌افزاید تا ثبت کند فرمان از کدام پنجره آمده است، و نقطه پایان آن است که آن را خاتمه می‌دهد. جزئیات بسته به گزینه‌هایی که در پنجره انتخاب شده‌اند اندکی تغییر می‌کنند، و بنابراین سینتکسی که شما به دست می‌آورید ممکن است اندکی متفاوت به نظر برسد.

و یک امتیاز اضافه: سینتکس فاش می‌کند که SPSS هر متغیر را چگونه فهمیده است. فرض کنیم به جای خودکارآمدی، متغیر دین را به محور X بکشیم – متغیری طبقه‌ای با سه طبقه. SPSS مانع این کار نمی‌شود، نموداری تولید می‌کند، و این چیزی است که در Paste ظاهر می‌شود:

DATA: dat=col(source(s), name("dat"), unit.category())
GUIDE: axis(dim(1), label("dat"))
SCALE: cat(dim(1), include("1", "2", "3"))
SCALE: linear(dim(2), include(0))
ELEMENT: point(position(dat*trust))

دو واژه افشاگر عبارت‌اند از unit.category() در سطر DATA و cat در سطر SCALE محور X – در برابر linear در محور Y. یعنی یک محور طبقه‌ای است و دیگری پیوسته، و فهرست include("1", "2", "3") سه طبقه را صراحتاً برمی‌شمارد. نمودار به‌دست‌آمده ابری از نقاط نیست بلکه سه ستون عمودی است، یکی برای هر گروه، و نمی‌توان از آن روندی خواند یا خط رگرسیون معناداری بر آن برازش داد. این دقیقاً همان موردی است که در بخش مفروضه‌ها شرح داده شد: وقتی متغیر تبیینی طبقه‌ای است، پرسش این نیست که "آیا روندی صعودی وجود دارد" بلکه این است که "آیا میانگین‌ها میان گروه‌ها تفاوت دارند" – و برای این پرسش نمودار جعبه‌ای و مقایسه میانگین‌ها مناسب است، نه نمودار پراکنش. (این قاعده فقط به متغیر اسمی مربوط نیست: متغیر ترتیبی با مقادیر اندک نیز، مانند اینجا، ستون می‌دهد و نه ابر.)

خط رگرسیون دقیقاً به همان شکلی که در بالا شرح داده شد افزوده می‌شود، در همان Chart Editor – دو مسیر در آنجا به هم می‌رسند. ارزش دارد در این زمینه با نکته‌ای از Field آشنا شوید: SPSS کنار خط برچسبی می‌چسباند، و گاهی این برچسب روی نقاط می‌افتد و داده‌ها را پنهان می‌کند؛ در چنین حالتی کافی است آن را در پنجره Properties خاموش کنید. و در نمودار گروه‌بندی‌شده، پس از افزودن خط، SPSS برای هر گروه خط جداگانه‌ای رسم می‌کند – و مقایسه شیب‌های آن‌ها دقیقاً همان پرسش است که آیا رابطه در یک گروه قوی‌تر از گروه دیگر است (بخش 5.8.2).

خواندن خروجی

برخلاف جدول Correlations، که خود ضریب همبستگی r را نشان می‌دهد، SPSS روی نمودار پراکنش – در گوشه آن، کنار خط رگرسیون – ضریب تعیین را نشان می‌دهد، به صورت نوشته "R Sq Linear = …". برای نمونه، در نمودار پراکنشی که هم‌اکنون تعریف کردیم – خودکارآمدی (X) در برابر اعتماد (Y) در فایل داده‌های این صفحه (512 پاسخ‌گو، پس از حذف زوجی مقادیر گمشده): R Sq Linear = .55، و N = 479.

برای بازگشت از R² به ضریب پیرسون r، جذر گرفته می‌شود و علامت بر اساس جهت خط رگرسیون افزوده می‌شود: اینجا √.55 ≈ .74، و چون خط صعودی است (شیب مثبت) r = .74 به دست می‌آید – دقیقاً همان مقداری که در خانه همبستگی میان خودکارآمدی و اعتماد در جدول همبستگی‌ها ظاهر می‌شود (صفحه همبستگی‌ها، جدول همبستگی‌ها میان پنج متغیر تاب‌آوری)، و قوی‌ترین همبستگی در میان ده زوج آنجا. این همچنین راهی آسان برای سنجیدن خودتان است: اگر پیش‌تر همبستگی پیرسون را محاسبه کرده‌اید، مجذور آن باید با R² Linear که نمودار نشان می‌دهد برابر باشد.

فراتر از اندازه رابطه، مقایسه شیب خط با معادله آن معنای عددی را روشن می‌کند: در این نمونه معادله خط Ý = 1.159 + 0.687X است – یعنی به ازای هر یک نمره افزایش در سطح خودکارآمدی، سطح اعتماد مورد انتظار به طور میانگین حدود 0.69 نمره افزایش می‌یابد. عرض از مبدأ (1.159)، یعنی مقدار مورد انتظار وقتی X = 0، معمولاً معنای محتوایی ندارد وقتی 0 خارج از دامنه مقادیری است که در عمل در مقیاس اندازه‌گیری مشاهده شده‌اند.

از نمودار به رگرسیون: همان اعداد در رویه Regression

نمودار پراکنش R² و خط را نشان می‌دهد، اما نه پارامترها و آزمون‌های آن‌ها را. همان اعدادی که ماشین‌حساب اینجا در جدول نشان می‌دهد در SPSS از رویه رگرسیون به دست می‌آیند: Analyze › Regression › Linear…، متغیر وابسته به کادر Dependent و پیش‌بین به کادر Independent(s) (Field, 2024, Section 9.7). خروجی در سه جدول می‌آید (بخش 9.8)، و بهتر است بدانید هر مقدار ما کجا قرار دارد – و جدول 1 این صفحه از این پس همه آن‌ها را نشان می‌دهد (R² تعدیل‌شده، خطای استاندارد برآورد، F، و b و a با خطاهای استاندارد، t و فاصله‌های اطمینان). برای رگرسیون با چند پیش‌بین – صفحه رگرسیون خطی:

Field توصیه می‌کند در پنجره اصلی Bootstrap… علامت زده شود و فاصله‌های اطمینان از نوع BCa برای b درخواست شود: فاصله اطمینانی که "به صفر نمی‌رسد" مستقیم‌ترین شاهد برای رابطه در جامعه آماری است، و بوت‌استرپ به مفروضه‌های نرمال بودن و همگنی واریانس تکیه ندارد (2024, بخش 9.8.2). ایده ساده است (Field & Wilcox, 2017, Section Adjusting standard errors): به جای فرض کردن اینکه b در نمونه‌های مکرر چگونه توزیع می‌شد، این وضعیت شبیه‌سازی می‌شود – از خود داده‌ها، با جای‌گذاری، نمونه‌ای جدید به اندازه نمونه اصلی گرفته می‌شود، b روی آن محاسبه می‌شود، و این کار هزاران بار تکرار می‌شود (توصیه متداول: 2,000). مقادیری که 95% میانی این هزاران b را در بر می‌گیرند فاصله اطمینان هستند (percentile)، و BCa نسخه‌ای است که عدم تقارن را نیز تصحیح می‌کند. چون این روش هیچ فرضی درباره شکل توزیع ندارد، خطاهای استاندارد و فاصله‌های اطمینانی که به دست می‌دهد باید در برابر نقض مفروضه‌هایی که در بالا شرح داده شدند نیز پایدار بمانند. و در پایان، جمله Field & Wilcox (ibid., Section Discussion and recommendations) که بهتر است در برابر هر کسی که می‌گوید "رگرسیون روشی استوار است" به خاطر داشت: بر پایه صدها پژوهش در پنجاه سال گذشته، این جمله به سادگی نادرست است – و آن‌ها پیشنهاد می‌کنند که گفتن آن ممنوع شود. ادامه رویه – چند پیش‌بین، شاخص‌های تشخیصی، مفروضه‌ها در خروجی – در صفحه رگرسیون خطی سایت شرح داده شده است.

گسترش‌ها: مقایسه گروه‌ها و همه زوج‌ها به‌یک‌باره

مقایسه گروه‌ها در یک نمودار – Overlay Scatter. وقتی می‌خواهیم چند زوج متغیر را با هم نمایش دهیم، یا همان زوج را میان زیرگروه‌ها مقایسه کنیم – برای نمونه، آیا رابطه میان خودکارآمدی و اعتماد در گروه‌های مذهبی مختلف از نظر شدت مشابه است – در کادر Scatter/Dot گزینه Overlay Scatter انتخاب و روی Define کلیک می‌شود:

در پنجره Overlay Scatterplot، در فهرست متغیرها دو متغیر به‌یک‌باره انتخاب و به فهرست Y-X Pairs منتقل می‌شوند؛ هر سطر در آن یک زوج است، و متغیری که نخست انتخاب شده متغیر Y زوج می‌شود. دکمه پیکان‌ها (Swap Pair) جای Y و X زوج انتخاب‌شده را عوض می‌کند – توجه کنید که در مثال پیش رو خودکارآمدی Y است و اعتماد و تعلق X هستند، برعکس مثال اصلی صفحه. برای تقسیم نمودار به زیرنمودارها بر اساس گروه، یک متغیر طبقه‌ای به کادر Columns (زیرنمودارها کنار هم) یا Rows (زیر هم) در Panel by منتقل می‌شود – اینجا متغیر دین (dat):

خروجی سه زیرنمودار کنار هم است – سکولارها، سنتی‌ها و مذهبی‌ها-حریدی‌ها – و در هر یک دو سری نقطه با رنگ‌های متفاوت، بر اساس راهنمای سمت راست: خودکارآمدی در برابر اعتماد و خودکارآمدی در برابر تعلق. محورها میان همه زیرنمودارها مشترک‌اند، و بنابراین می‌توان آن‌ها را مستقیماً با هم مقایسه کرد:

اینجا نیز خطوط رگرسیون خودبه‌خود ظاهر نمی‌شوند: نمودار در Chart Editor باز و Elements › Fit Line at Subgroups انتخاب می‌شود – و آنگاه برای هر سری در هر زیرنمودار خط جداگانه‌ای به دست می‌آید، و در راهنمای سمت راست R² Linear هر خط (Pallant, 2020, p. 305):

دو توصیه از Gelman & Hill (2007, ص. 555) برای چنین نموداری. نخست – درباره نمادها: برای دو-سه گروه نمادهایی انتخاب می‌شوند که با چشم از هم متمایزند – دایره توخالی در برابر دایره توپر، نه حروف M و F – زیرا نماد راهی است که نمودار با آن می‌گوید "هر نقطه آزمودنی‌ای از این گروه است"؛ در مقابل، اندازه نماد تقریباً از نمایش یک متغیر پیوسته ناتوان است. دوم – داستانی از کار خودشان: آن‌ها نموداری پیش‌وپس با خطوط رگرسیون جداگانه برای گروه‌های درمان و کنترل رسم کردند، و تنها پس از دیدن نمودار با خطوط موازی دریافتند که خطوط ناموازی – یعنی تعامل میان درمان و اندازه‌گیری "پیش" – مدل درست هستند، و این معلوم شد که واقعیت اصلی داده‌هاست. "خطوط و نقاط با هم این را بسیار روشن‌تر از هر خلاصه عددی نشان می‌دهند" (همان). این دقیقاً همان چیزی است که نمودار Overlay با Fit Line at Subgroups امکان بررسی آن را می‌دهد: آیا شیب‌ها مشابه‌اند.

بدین ترتیب می‌توان با یک نمودار به هر دو پرسشی که نمودار برای آن‌ها ساخته شده پاسخ داد. کدام یک از دو رابطه قوی‌تر است؟ نزد سکولارها خودکارآمدی بیشتر با اعتماد مرتبط است (R² = .554) تا با تعلق (.460)، و نزد مذهبی‌ها-حریدی‌ها فاصله مشابه است (.506 در برابر .404) – حال آنکه نزد سنتی‌ها این دو تقریباً برابرند (.525 و .536). و آیا رابطه میان گروه‌ها مشابه است؟ رابطه خودکارآمدی-اعتماد در هر سه نسبتاً پایدار است (.51-.55)، و رابطه خودکارآمدی-تعلق نوسان بیشتری دارد (.40-.54). توجه کنید که اعداد راهنما R² هستند و نه r: تفاوت میان .554 و .460 تفاوت میان r = .74 و r = .68 است. و هشداری که مستقیماً از بخش مفروضه‌ها – شش پیکربندی و اهرم – برمی‌آید: وقتی گروهی کوچک است – مانند مذهبی‌ها-حریدی‌ها در این نمونه، که زیرنمودارشان آشکارا کم‌تراکم است – دو-سه نقطه با اهرم بالا کافی است تا خط آن را به هر سو منحرف کند، و بنابراین شیب‌ها میان گروه‌ها تنها پس از بررسی اینکه در هر یک چند آزمودنی هست مقایسه می‌شوند، و اگر تفاوت مهم است – با یک آزمون بررسی می‌شود و نه با چشم.

کلیک روی Paste در پنجره Overlay Scatterplot تعریف را به صورت سینتکس ذخیره می‌کند – و این سینتکس کوتاه‌تر و صریح‌تر از خود پنجره است:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(OVERLAY)=trust belonging WITH efficacy efficacy (PAIR)
  /PANEL COLVAR=dat COLOP=CROSS
  /MISSING=LISTWISE.

آن را این‌گونه می‌خوانیم: OVERLAY – چند زوج روی محورهای یکسان؛ پیش از WITH متغیرهای X و پس از آن متغیرهای Y، به ترتیب، و (PAIR) دستور می‌دهد آن‌ها یک‌به‌یک جفت شوند – اولی با اولی، دومی با دومی (و نه هر کدام با همه). اینجا: trust با efficacy و belonging با efficacy – باز می‌بینیم که خودکارآمدی Y است. /PANEL COLVAR=dat تقسیم به ستون‌ها بر اساس دین است (ROWVAR به سطرها تقسیم می‌کرد)، و /MISSING=LISTWISE – مانند نمودار تکی – آزمودنی‌ای را که در هر یک از متغیرهای فرمان مقدار گمشده دارد حذف می‌کند؛ در نمودار چندزوجی این دیگر مهم است، زیرا آزمودنی‌ای که فقط تعلقش گمشده است از زوج خودکارآمدی-اعتماد نیز ناپدید می‌شود. اگر حذف زوجی مورد نظر است، به /MISSING=VARIABLEWISE تغییر داده می‌شود.

نگاهی به همه زوج‌ها به‌یک‌باره – Matrix Scatter. برای بررسی هم‌زمان همه زوج‌های متغیرها – برای نمونه میان پنج متغیر تاب‌آوری – از Matrix Scatter استفاده می‌شود: همه متغیرها به فهرست Matrix Variables منتقل و تأیید می‌شوند. هر خانه در ماتریس نمودار پراکنش یک زوج است، به طوری که کل ماتریس خانه به خانه در برابر ماتریس همبستگی‌ها در صفحه همبستگی‌ها قرار می‌گیرد – خانه در برابر عدد – و چیزی را نشان می‌دهد که عدد نمی‌تواند: اینکه آیا یکی از زوج‌ها منحنی است، و آیا در یکی از آن‌ها مشاهده‌ای نشسته که خط را می‌کشد. بنابراین ارزش دارد به آن پیش از محاسبه همبستگی‌ها نگاه کرد و نه پس از آن. و مزیتی ویژه آن: آزمودنی‌ای را که در یک خانه برجسته است می‌توان در خانه‌های دیگر جست‌وجو کرد، و دید که آیا در همه متغیرها پرت است یا فقط در یک زوج – Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, ص. 115-116) این را با برجسته کردن همان آزمودنی در همه خانه‌ها نشان می‌دهند.

در پنجره Scatterplot Matrix همه متغیرهایی که می‌خواهیم ببینیم به فهرست Matrix Variables منتقل می‌شوند – اینجا پنج متغیر تاب‌آوری. باقی کادرها از نمودار تکی آشنا هستند: Set Markers by برای رنگ‌آمیزی بر اساس گروه، Label Cases by برای برچسب‌ها، و Panel by برای تقسیم:

خروجی شبکه‌ای از 5×5 خانه است. قطر خالی است – متغیر در برابر خودش جالب نیست – و هر خانه دیگر نمودار پراکنش یک زوج است: متغیر سطر روی محور Y، متغیر ستون روی محور X. دو نیمه شبکه تصویر آینه‌ای یکدیگرند – خانه "رهبری در برابر خودکارآمدی" بالای قطر همان نمودار "خودکارآمدی در برابر رهبری" زیر آن است، با محورهای جابه‌جاشده – و بنابراین نگاه به یک نیمه کافی است – تا وقتی که خطوط رگرسیون افزوده شوند: در هر خانه خط، خط متغیر سطر بر متغیر ستون است، و بنابراین خطوط در دو خانه همزاد تصویر آینه‌ای نیستند بلکه دو خط متفاوت‌اند، Y بر X و X بر Y (ببینید و وقتی محورها جابه‌جا می‌شوند چه رخ می‌دهد). به گفته Cohen, Cohen, West & Aiken (2003, ص. 115) این برتری اصلی ماتریس بر جدول همبستگی‌هاست: جدول تنها جهت و شدت رابطه خطی را نشان می‌دهد، حال آنکه ماتریس روابط غیرخطی را نیز آشکار می‌کند، که در جدول صرفاً به صورت همبستگی پایین دیده می‌شوند. و باز همان شبکه آشنا: همه متغیرها میانگین گویه‌ها با گام‌های نیم‌نمره‌ای هستند، و بنابراین نقاط در سطرها و ستون‌ها چیده شده‌اند، و یک نقطه نماینده آزمودنی‌های بسیاری است:

و مانند هر نمودار پراکنش، خط رگرسیون در ویرایش افزوده می‌شود: Chart Editor و سپس Elements › Fit Line at Total – یک عمل که به همه خانه‌ها به‌یک‌باره خط می‌افزاید:

اینجا با یک نگاه چه می‌بینیم؟ هر ده رابطه مثبت و روشن‌اند – همه خطوط صعودی‌اند و هیچ ابری خمیده نیست – و بنابراین پیرسون برای همه آن‌ها مناسب است؛ این دقیقاً جدول گرافیکی ماتریس همبستگی‌ها در صفحه همبستگی‌هاست (آنجا: r میان .62 و .74). آنچه در چنین شبکه‌ای دشوار دیده می‌شود تفاوت‌ها در شدت میان زوج‌هاست: تراکم آن‌ها را پنهان می‌کند، و مقایسه با اعداد انجام می‌شود. در مقابل، به پرسش مهم‌تر – آیا زوجی هست که رفتاری متفاوت از دیگران دارد، با شکلی منحنی یا با نقاط پرت – ماتریس بهتر از هر جدولی پاسخ می‌دهد. اینجا نیز Paste سینتکس را ذخیره می‌کند، و اینجا نیز /MISSING=LISTWISE: آزمودنی‌ای که در یکی از پنج متغیر مقدار گمشده دارد از همه بیست خانه ناپدید می‌شود، و بنابراین N در هر خانه کمتر از نمودار تکی همان زوج است:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

گزارش نتایج

گزارش نمودار پراکنش معمولاً شامل خود نمودار (با خط رگرسیون) است، و در کنار آن – در متن – جهت و شدت رابطه، ضریب تعیین، و گاهی معادله خط. وقتی نمودار پراکنش همراه محاسبه همبستگی است، مانند اینجا، معمول است هر دو با هم گزارش شوند: نمودار به عنوان پشتوانه بصری، و همبستگی به عنوان خلاصه عددی. خود نمودار به صورت "شکل" (Figure) بر اساس قواعد APA قالب‌بندی می‌شود: شماره شکل در بالا، عنوان توصیفی با حروف ایتالیک، محورها با نام متغیرها، و زیر شکل یادداشتی که توضیح می‌دهد هر نقطه نماینده چیست و خط چیست – درست مانند نمودار پراکنش نمونه در راهنما، که در آن هر نقطه یک آزمودنی است و خطوط رگرسیون در یادداشت توضیح داده شده‌اند (American Psychological Association [APA], 2020, Sections 7.22-7.28; Section 7.36, Figure 7.15).

نمودار، جدول و جمله‌های گزارش در این قالب – r و R² با دو رقم بدون صفر آغازین، b و a با صفر آغازین، فاصله‌های اطمینان برای r و برای b (Field, 2024, Section 9.14) – را ماشین‌حساب این صفحه به طور خودکار از فایل داده‌ها تولید می‌کند، و می‌توان آن‌ها را به صورت فایل Word دانلود کرد؛ خود نمودار از صفحه نمایش کپی می‌شود، و یادداشت شکل – از جدول خروجی.

وقتی رگرسیون اصل است. اگر تأکید کار بر مدل است و نه بر همبستگی، Field (2024, بخش 9.14) حداقلی برای گزارش تعریف می‌کند: b با خطای استاندارد و فاصله اطمینان آن (ترجیحاً بوت‌استرپ)، مقدار دقیق p، ضریب استانداردشده β، و R² – و بهتر است عرض از مبدأ نیز، تا خواننده بتواند معادله را بازسازی کند. بر اساس قواعد APA (APA, 2020, Section 6.36)، مقادیری که نمی‌توانند از 1 بیشتر شوند – β، R² و p – بدون صفر پیش از نقطه نوشته می‌شوند (.55 و نه 0.55)؛ b و عرض از مبدأ، که می‌توانند، با صفر نوشته می‌شوند. خطای استاندارد و فاصله اطمینان b در جدول این صفحه نیستند – آن‌ها در رویه رگرسیون تولید می‌شوند (ببینید از نمودار به رگرسیون). و در صورت‌بندی حداقلی: اثر برآوردشده (b)، خطای استاندارد آن و مقدار p – و در کنار آن‌ها جمله‌ای که توضیح دهد ضریب چه می‌گوید، تا هر خواننده‌ای بفهمد؛ و وقتی سخن از رگرسیون ساده است، نمودار پراکنش با خط بهترین راه برای ارائه نتیجه است.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

دقیقاً همان نمودار – نقاط، خط رگرسیون، عنوان ایتالیک و یادداشت شکل – در R با یک اسکریپت، با بسته گرافیکی ggplot2 به دست می‌آید. قراردادها همانند بخش R در دیگر صفحه‌های سایت است: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، نام‌های کوتاه انگلیسی برای فرمول (efficacy = خودکارآمدی، trust = اعتماد)، و محیط UTF-8 برای نام‌های عبری (در Windows: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") یا R 4.2 به بالا). اسکریپت در چهار بخش ساخته شده است: اعداد، نمودار، ذخیره، و نوارهای اطمینان. اسکریپت عیناً روی فایل نمونه صفحه (DATA_scatter_example_heb.xlsx، کاربرگ "נתונים") در R 4.3.3 اجرا شد، و نتایج – یکسان با جدول 1 و جمله‌های گزارش – در توضیحات آمده است. مسیر و نام متغیرها را با موارد خودتان جایگزین کنید؛ در R در مسیر از اسلش معمولی (/) استفاده می‌شود.

# نمودار پراکنش و خط رگرسیون – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
# فقط یک بار، اگر بسته‌ها نصب نیستند: install.packages(c("readxl", "ggplot2", "ragg"))
library(readxl)    # خواندن اکسل
library(ggplot2)   # گرافیک

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_scatter_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("מסוגלות", "אמון")]
names(d) <- c("efficacy", "trust")          # نام‌های کوتاه انگلیسی برای فرمول

# --- 1. اعداد (یکسان با جدول 1 صفحه) ---
cor.test(d$efficacy, d$trust)               # مقدار r = .738, t(477) = 23.90, p < .001، فاصله اطمینان [.695, .776]
cor.test(d$efficacy, d$trust, method = "spearman", exact = FALSE)   # مقدار rho = .728
fit <- lm(trust ~ efficacy, data = d)       # خط رگرسیون: trust بر efficacy (حذف زوجی خودکار)
summary(fit)                                # مقادیر a = 1.159 (SE .096), b = 0.687 (SE .029, t = 23.90), s = 0.715, R² = .545، تعدیل‌شده .544, F(1, 477) = 571.4
confint(fit)                                # فاصله‌های اطمینان 95%: a [0.970, 1.349], b [0.631, 0.744]
nobs(fit)                                   # تعداد N = 479 – مشاهدات با مقدار معتبر در هر دو متغیر

# --- 2. نمودار ---
p <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, colour = "#37716D", linewidth = 0.9) +
  labs(x = "خودکارآمدی", y = "اعتماد",
       title = "شکل 1",
       subtitle = "اعتماد به عنوان تابعی از خودکارآمدی",
       caption = paste0("یادداشت. هر نقطه نماینده یک آزمودنی است، بر اساس مقادیر او در خودکارآمدی (محور افقی) و اعتماد (محور عمودی).\n",
                        "خط، خط رگرسیون خطی اعتماد بر خودکارآمدی است. N = ", nobs(fit),
                        " مشاهده با مقدار معتبر در هر دو متغیر.")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p

# --- 3. ذخیره برای پایان‌نامه: 300 dpi، موتور AGG (فارسی و نشانه‌گذاری درست) ---
ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy.png", p, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

# --- 4. نوارهای اطمینان: Mean در برابر Individual (مانند نمودار صفحه وقتی هر دو نوار علامت زده می‌شوند) ---
# توضیح: Mean – فاصله اطمینان 95% برای خود خط: se = TRUE در geom_smooth (پیش‌فرض آن)؛ Individual – فاصله پیش‌بینی 95% برای یک آزمودنی منفرد: predict(interval = "prediction")
grid <- data.frame(efficacy = seq(min(d$efficacy, na.rm = TRUE), max(d$efficacy, na.rm = TRUE), length.out = 100))
pred <- cbind(grid, predict(fit, newdata = grid, interval = "prediction", level = 0.95))
pred[c(1, 50, 100), ]                        # برای نمونه x = 3: ŷ = 3.22، فاصله پیش‌بینی [1.81, 4.62]؛ پهنای نوار در دو انتها اندکی بیشتر می‌شود

p_ci <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_ribbon(data = pred, aes(x = efficacy, ymin = lwr, ymax = upr), inherit.aes = FALSE, fill = "#A7D6D5", alpha = 0.35) +   # Individual
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, level = 0.95, colour = "#37716D", fill = "#37716D", alpha = 0.35, linewidth = 0.9) +  # Mean
  labs(x = "خودکارآمدی", y = "اعتماد",
       title = "شکل 2",
       subtitle = "اعتماد به عنوان تابعی از خودکارآمدی، با نوارهای اطمینان",
       caption = paste0("یادداشت. هر نقطه نماینده یک آزمودنی است؛ N = ", nobs(fit), " مشاهده با مقدار معتبر در هر دو متغیر.\n",
                        "خط، خط رگرسیون خطی اعتماد بر خودکارآمدی است.\n",
                        "نوار تیره – فاصله اطمینان 95% برای خط (Mean)؛ نوار روشن – فاصله پیش‌بینی 95% برای یک آزمودنی منفرد (Individual).")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p_ci

ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy_ci.png", p_ci, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

در هر بخش چه رخ می‌دهد. در بخش 1، cor.test مقدار r، درجات آزادی، p و فاصله اطمینان را می‌دهد (با تبدیل فیشر – همان فاصله‌ای که در جدول 1 است)، و همان تابع با method = "spearman" – مقدار r_s را؛ lm خط را برآورد می‌کند، summary عرض از مبدأ و شیب را با خطاهای استاندارد، t و p آن‌ها، خطای استاندارد برآورد (Residual standard error)، R² و F چاپ می‌کند – در داده‌های نمونه 1.159 و 0.687، s = 0.715، R² = .545، دقیقاً سطرهای جدول 1 که ماشین‌حساب تولید می‌کند؛ confint فاصله‌های اطمینان ضرایب را می‌دهد، و nobs مقدار N = 479 را برمی‌گرداند. در بخش 2، geom_point نقاط را رسم می‌کند (با شفافیت، زیرا در مقیاس لیکرت آزمودنی‌های بسیاری دقیقاً روی یک نقطه قرار می‌گیرند، و بدین ترتیب دیده می‌شود ابر کجا متراکم است)، geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) خط رگرسیون را بدون نوار می‌افزاید، و labs اجزای APA را به شکل می‌دهد: شماره، عنوان ایتالیک (subtitle با face = "italic")، نام متغیرها روی محورها، و یادداشت شکل در caption – اینکه هر نقطه نماینده چیست، خط چیست و حجم نمونه، با تراز راست به کمک hjust = 1. بخش 3 فایل PNG را با 300 dpi در اندازه‌ای ثابت ذخیره می‌کند، و این نسخه‌ای است که وارد پایان‌نامه می‌شود – نه خروجی گرفته‌شده از پنل Plots، که با وضوح صفحه نمایش و به اندازه پنجره ذخیره می‌شود.

دو "هشدار" خطا نیستند. پس از هر اجرا Removed 33 rows containing missing values چاپ می‌شود: 512 آزمودنی در فایل منهای 479 با مقدار معتبر در هر دو متغیر – R صرفاً حذف زوجی را گزارش می‌کند، همان روشی که SPSS و ماشین‌حساب صفحه به کار می‌برند. لازم نیست کاری انجام دهید. مقادیر گمشده در هر سه مرحله – cor.test، lm و نمودار – به طور خودکار حذف می‌شوند، و بنابراین اعداد با اعداد جدول یکسان‌اند: r(477) = .738, p < .001.

دام خط فارسی – و چگونه از آن عبور کنیم. در اجرای نخست احتمالاً متن فارسی در نمودار درست به نظر می‌رسد، اما نشانه‌گذاری در یادداشت شکل به هم می‌ریزد: نقطه پایانی به سمت چپ سطر می‌پرد، و N = 479 به جای نادرستی در جمله سرگردان می‌شود (این در اجرای آزمایشی صفحه نیز رخ داد، در محیط لینوکس بدون این موتور). این مشکل کد نیست بلکه مشکل موتور گرافیکی‌ای است که RStudio به طور پیش‌فرض با آن رسم می‌کند: این موتور حروف فارسی را از راست به چپ می‌چیند، اما فرض می‌کند جهت پایه سطر از چپ به راست است، و بنابراین هر چیزی که حرف فارسی نیست – نقطه، پرانتز، عدد لاتین – در جای نادرست می‌افتد. عنوان‌ها و برچسب‌های محور یکی-دو واژه‌ای آسیب نمی‌بینند؛ جمله کامل با نشانه‌گذاری – آسیب می‌بیند. راه‌حل موتور گرافیکی‌ای است که الگوریتم دوجهتی یونیکد را به درستی اجرا می‌کند، AGG، که در بسته ragg می‌آید، در دو جا: در فایل – این همان آرگومان device = ragg::agg_png در سطر ggsave اسکریپت است؛ و در پنل Plots – یک بار، در تنظیمات: Tools › Global Options › General › Graphics › Backend: AGG، و سپس Apply و OK:

و دو قاعده کوچک دیگر برای فارسی در R: فایل اسکریپت با رمزگذاری UTF-8 ذخیره شود (در RStudio: File › Save with Encoding) – وگرنه متن فارسی ممکن است به نقطه یا مربع تبدیل شود؛ و وقتی یادداشتی طولانی با \n به چند سطر تقسیم می‌شود، هر سطر با یک واژه فارسی آغاز شود و نه با حرف لاتین یا عدد – سطری که با N = 479 آغاز شود به عنوان سطر لاتین چیده می‌شود، و نقطه آن باز می‌گریزد.

نوارهای اطمینان – نمایش زنده Mean در برابر Individual

بخش 4 اسکریپت دو نواری را رسم می‌کند که در بخش زبانه Fit Line شرح داده شدند – و می‌توان به چشم دید که چرا تمایز میان آن‌ها مهم است. نوار Mean تنها یک واژه لازم دارد: se = TRUE در geom_smooth (در واقع این پیش‌فرض آن است – حذف se = FALSE کافی است)، و این فاصله اطمینان 95% برای خود خط است. نوار Individual در ggplot2 تعبیه نشده است، و بنابراین مستقیماً از مدل محاسبه می‌شود: predict(fit, newdata, interval = "prediction") برای هر مقدار X پیش‌بینی و حدود فاصله پیش‌بینی برای یک آزمودنی منفرد را برمی‌گرداند، و geom_ribbon آن‌ها را به صورت نوار رسم می‌کند. هر دو نوار با یک سطح اطمینان، 95%، رسم شده‌اند، و با این حال:

نوار Mean تقریباً در خط فرو می‌رود: با 479 آزمودنی به خوبی می‌دانیم خط میانگین از کجا می‌گذرد، و در نمونه‌ای بزرگ‌تر این نوار تا صفر منقبض می‌شد. نوار Individual بر دو-سه نمره از مقیاس گسترده است – زیرا پراکندگی آزمودنی‌ها پیرامون خط را نیز در بر می‌گیرد، همان σ آن بخش، که با هیچ حجم نمونه‌ای از میان نمی‌رود. و هر دو، اگر با دقت نگاه شود، پیرامون میانگین X باریک‌ترین‌اند و به سمت دو انتها اندکی پهن‌تر می‌شوند – شکل ساعت شنی. یادداشت شکل در کد صراحتاً می‌گوید هر نوار نماینده چیست و با چه سطح اطمینانی، چنان‌که APA (2020, بخش 7.28) می‌خواهد – و به همین دلیل است که در فصل یافته‌ها معمولاً تنها Mean گزارش می‌شود: پرسش آنجا این است که "رابطه از کجا می‌گذرد"، نه اینکه "آزمودنی جدید کجا خواهد افتاد".

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Belsley, D. A., Kuh, E., & Welsch, R. E. (1980). Regression diagnostics: Identifying influential data and sources of collinearity. Wiley.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cook, R. D., & Weisberg, S. (1982). Residuals and influence in regression. Chapman & Hall.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Field, A. P., & Wilcox, R. R. (2017). Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers. Behaviour Research and Therapy, 98, 19-38. https://doi.org/10.1016/j.brat.2017.05.013

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2020). Regression and other stories. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Hoaglin, D. C., & Welsch, R. E. (1978). The hat matrix in regression and ANOVA. The American Statistician, 32(1), 17-22. https://doi.org/10.1080/00031305.1978.10479237

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.