آزمون رتبه‌های علامت‌دار ویلکاکسون

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب دو اندازه‌گیری

چه زمانی استفاده می‌شود؟

وقتی دو مجموعه نمره به هم مرتبط‌اند – همان آزمودنی‌ها دو بار، یا زوج‌های همتاشده – و آزمون t زوجی جای خود را ندارد. Field (2024، بخش 7.5) با یک مثال آغاز می‌کند: روان‌شناس بخش قبل اکنون می‌خواهد تغییر افسردگی را درون هر آزمودنی، از یکشنبه تا چهارشنبه، برای هر یک از دو دارو بررسی کند؛ از آنجا که توزیع‌ها در یکی از روزها نرمال نبودند و نمونه کوچک است، "توزیع نمونه‌گیری نیز غیرنرمال خواهد بود"، و از این رو آزمونی ناپارامتری. Pallant (2020، فصل 16): "جایگزین ناپارامتری آزمون t اندازه‌گیری‌های مکرر – به جای مقایسه میانگین‌ها، ویلکاکسون نمره‌ها را به رتبه تبدیل می‌کند و آن‌ها را در زمان 1 و زمان 2 مقایسه می‌کند"؛ مثال او – آزمون ترس از آمار پیش و پس از یک برنامه مداخله (n = 30). Gravetter و Wallnau (2017, Appendix E.3) – "جایگزینی برای آزمون t اندازه‌گیری‌های مکرر"، با همان دلایلی که در پیوست E.1 برای رفتن به سوی رتبه‌ها آمده است: داده‌های ترتیبی، نقض مفروضه‌ها، واریانس بالا، نمره تعریف‌نشده.

در این سایت جای طبیعی این آزمون دو وضعیت است: گویه رتبه‌بندی منفرد که دو بار اندازه‌گیری شده است (طبق قرارداد سایت – متغیر ترتیبی، متغیرها و مقیاس‌های اندازه‌گیری)؛ و نمره مقیاس یا متغیر کمّی وقتی تفاوت‌ها نرمال به نظر نمی‌رسند (آزمون نرمال بودن روی ستون تفاوت‌ها)، وقتی داده پرت وجود دارد، یا وقتی نمونه کوچک است. نباید آن را با مان-ویتنی (آزمون مجموع رتبه‌های ویلکاکسون) اشتباه گرفت – دو گروه جدا؛ Field هشدار می‌دهد که "ویلکاکسون دیگری هست که چیز دیگری را می‌آزماید" (بخش 7.4). وقتی زوج‌ها زیادند (30 و بیشتر) و داده‌ها کمّی‌اند، آزمون t زوجی انتخاب پیش‌فرض است، و Gravetter و Wallnau وقتی داده‌ها برای آن مناسب‌اند آن را ترجیح می‌دهند (Appendix E.1).

منطق: رتبه‌های تفاوت‌ها با علامت

این آزمون "بر رتبه‌بندی تفاوت‌های بین نمره‌ها در دو شرط مبتنی است" (Field, 2024, Section 7.5.1). گام‌ها: برای هر آزمودنی تفاوت محاسبه می‌شود (نزد Field – "نمره یکشنبه از نمره چهارشنبه کم می‌شود"، یعنی دوم منهای نخست؛ اینجا نیز همین‌طور)؛ تفاوت صفر – آزمودنی از رتبه‌بندی خارج می‌شود؛ علامت یادداشت می‌شود و تفاوت‌ها بر اساس قدر مطلقشان، از کوچک به بزرگ، رتبه‌بندی می‌شوند، با میانگین رتبه‌ها برای مقادیر یکسان – مانند مان-ویتنی؛ سپس رتبه‌های تفاوت‌های مثبت در T⁺ و رتبه‌های منفی در T⁻ جمع می‌شوند. در مثال Field (جدول 7.2): اکستازی – دو آزمودنی بدون تغییر، T⁺ = 36, T⁻ = 0؛ الکل – T⁺ = 8, T⁻ = 47. Gravetter و Wallnau (Appendix E.3) با هشت آزمودنی نشان می‌دهند: تفاوت‌ها "بر حسب اندازه، صرف‌نظر از جهت" رتبه‌بندی می‌شوند، رتبه‌های مثبت 3 و منفی 33 جمع می‌شوند.

کدام T. Field (و SPSS در منوی جدید) مجموع رتبه‌های مثبت را T می‌نامند – 36 و 8؛ Gravetter و Wallnau (و جدول B10 آن‌ها) – کوچک‌ترِ این دو را – 3. این صفحه هر دو را چاپ می‌کند. معناداری. در نمونه کوچک – توزیع دقیق: جدول B10 از Gravetter و Wallnau (برای n = 8، T ≤ 3 در سطح .05 معنادار است – و از این رو 3 رد می‌شود)، و Exact Sig. در SPSS؛ Field (کادر 7.2): زیر 50 – آزمون دقیق. در نمونه بزرگ – تقریب نرمال: امید ریاضی n(n + 1)/4 و خطای استاندارد √(n(n + 1)(2n + 1)/24)، که "تابع‌هایی از حجم نمونه، n هستند" – تعداد تفاوت‌های غیرصفر: نزد Field 8 و 10 (فرمول‌های 7.14-7.19: 18 و 7.14، 27.5 و 9.81)، و z فاصله T از امید ریاضی‌اش بر حسب واحد خطای استاندارد است (7.20-7.22: 2.53 و −1.99؛ Gravetter & Wallnau: "وقتی نمونه بزرگ‌تر از 20 است تقریب بسیار دقیق است"، و در مثال آن‌ها z = −2.10). SPSS خطای استاندارد را برای گره‌ها تصحیح می‌کند – و این صفحه نیز (7.12 و 9.80 نزد Field، به جای 7.14 و 9.81)؛ Gravetter و Wallnau تصحیح نمی‌کنند.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – میانه‌ها. میانه، چارک‌ها و دامنه هر اندازه‌گیری و تفاوت‌ها – آنچه به جای میانگین‌ها گزارش می‌شود (Field، 2024، بخش 7.5.7؛ Pallant، 2020، فصل 16، که در آنجا در گامی جداگانه با Frequencies تولید می‌شوند). جدول 2 – رتبه‌ها. جدول Ranks در SPSS: چند تفاوت منفی، چند مثبت، چند صفر، و میانگین رتبه و مجموع رتبه‌های هر علامت. در اینجا جهت خوانده می‌شود: "تعداد بیشتر تفاوت‌ها در یک جهت معین، جهت نتیجه را به شما می‌گوید" (Field، نکته‌های سم) – نزد Field، برای اکستازی 8 مثبت و 0 منفی (افسردگی افزایش یافت)، برای الکل 1 در برابر 9 (کاهش یافت). جدول 3 – آزمون. n (تفاوت‌های غیرصفر)، T، خطای استاندارد، z – علامت‌دار: مثبت وقتی اندازه‌گیری دوم بالاتر است (در خروجی قدیمی SPSS، z از مجموع کوچک‌تر محاسبه می‌شود و همیشه منفی است؛ در منوی جدید علامت‌دار است، مانند اینجا) – p مجانبی و p دقیق (2·P(T ≤ T_{کوچک‌تر}) از توزیع بدون گره؛ قرارداد سایت: تا 50 تفاوت محاسبه می‌شود)، و دو شاخص اثر. در مثال Field: اکستازی T = 36, SE = 7.12, z = 2.53, p = .012؛ الکل T = 8, SE = 9.80, z = −1.99, p = .047 – "اثر معکوس دو دارو" (بخش 7.5.5)، و این مقادیر از جمله آزمون‌های اعتبارسنجی این صفحه‌اند. نمودار تفاوت‌ها – مانند هیستوگرام در خروجی SPSS، مثبت‌ها به رنگ آبی و منفی‌ها به رنگ قرمز: "نسبت بین ستون‌ها نشانه‌ای سریع" از جهت است (بخش 7.5.4).

اندازه اثر – دو معیار، "هم این و هم آن"

r_rb از Field (2024، بخش 7.5.6): همبستگی دورشته‌ای رتبه‌ای برای اندازه‌گیری‌های مکرر، با فرمول ساده Kerby: r_rb = (T⁺ − T⁻)/(T⁺ + T⁻) (فرمول 7.23) – "تفاوت بین رتبه‌های مثبت و منفی به‌عنوان نسبتی از کل رتبه‌ها؛ این دقیقاً اثر به‌صورت نسبت است". اکستازی: (36 − 0)/36 = 1 – 100% رتبه‌ها در جهت "چهارشنبه بالاتر از یکشنبه"؛ الکل: (8 − 47)/55 = −.71 – 71% در جهت مخالف. علامت جهت را نشان می‌دهد. r از Pallant (2020، فصل 16): r = z/√N – "علامت نادیده گرفته می‌شود"، و N "تعداد مشاهدات در هر دو نقطه زمانی است، نه تعداد موارد": در مثال او z = 4.18, N = 60 (30 آزمودنی × 2)، r = .54، "اثر بزرگ" در قراردادهای Cohen (1988، ص. 79-83: .1/.3/.5). این صفحه همانند او عمل می‌کند (N = 2 × زوج‌ها) و این را در یادداشت جدول می‌گوید؛ کسی که با تعداد آزمودنی‌ها محاسبه کند مقداری √2 برابر بزرگ‌تر می‌گیرد. این دو شاخص یکسان نیستند و به هم تبدیل‌پذیر نیستند؛ دست‌کم یکی گزارش می‌شود، و گفته می‌شود کدام.

مفروضه‌ها و هشدارها

مفروضه‌ها (Pallant, 2020, Chapter 16): نمونه‌گیری تصادفی؛ و مشاهدات مستقل – با استثنای اندازه‌گیری‌های مکرر: "همان آزمودنی‌ها دوباره در نوبت‌ها یا شرایط متفاوت آزموده می‌شوند" – این دقیقاً همین آزمون است. Field (یادداشت 2 فصل 7): آزمون‌های ناپارامتری نیز توزیع پیوسته را فرض می‌کنند – و از این رو در داده‌های رتبه‌بندی با تفاوت‌های یکسان فراوان، تصحیح گره‌ها مهم است. تفاوت‌های صفر. Field و SPSS آن‌ها را کنار می‌گذارند، و n کوچک می‌شود؛ Gravetter و Wallnau (Appendix E.3) یادآوری می‌کنند که کنار گذاشتن "این واقعیت را نادیده می‌گیرد که تفاوت صفر شاهدی به سود فرض صفر است"، پیشنهاد می‌کنند آن‌ها به‌طور مساوی بین مثبت‌ها و منفی‌ها تقسیم شوند (و در تعداد فرد – یکی حذف شود)، و می‌خواهند گزارش شود که چگونه با آن‌ها برخورد شده است. این صفحه از SPSS پیروی می‌کند و تعداد آن‌ها را گزارش می‌دهد؛ در گویه رتبه‌بندی‌ای که بیشتر آزمودنی‌ها در آن تغییری نکرده‌اند – همین خود یافته است. توان آماری. رتبه‌ها اندازه تفاوت‌ها را از دست می‌دهند (Field, Box 7.1)؛ آزمون علامت، که رتبه‌ها را هم نادیده می‌گیرد، "توان کمی دارد مگر آنکه نمونه بسیار کوچک باشد" (نکته 7.2). با کمتر از شش تفاوت، آزمون نمی‌تواند در سطح .05 معنادار شود.

مقادیر گمشده. آزمودنی وقتی وارد می‌شود که هر دو اندازه‌گیری را داشته باشد (/MISSING ANALYSIS). آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. p دقیق برای بیش از 50 تفاوت، Monte Carlo، آزمون علامت، McNemar (برای دو اندازه‌گیری دووجهی) و Marginal Homogeneity (نکته 7.2 از Field)، فاصله اطمینان Hodges-Lehmann (در R)، بررسی بر حسب گروه (در SPSS – Split File، بخش 7.5.2؛ اینجا هر گروه در فایلی جداگانه اجرا می‌شود)، bootstrap.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

روش جدید (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 7.5.3): Analyze › Nonparametric Tests › Related Samples… – در Objective: Customize analysis؛ در Fields: دو اندازه‌گیری به Test Fields؛ در Settings: Customize tests و Wilcoxon matched-pair signed-rank (2 samples). خروجی: Hypothesis Test Summary، و با دوبار کلیک – Related-Samples Wilcoxon Signed Rank Test Summary همراه با هیستوگرام رنگی: Total N، Test Statistic (= T⁺)، Standard Error، Standardized Test Statistic (همان z، علامت‌دار) و Asymptotic Sig.؛ Field (بخش 7.5.2) نشان می‌دهد چگونه با Data › Split File بر حسب گروه بررسی شود. میانه‌ها – Pallant آن‌ها را با Frequencies و Quartiles تولید می‌کند.

روش قدیمی، که صفحه آن را به‌صورت سینتکس تولید می‌کند: Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › 2 Related Samples… – زوج به Test Pairs، Wilcoxon علامت‌خورده:

NPAR TESTS
  /WILCOXON=עמדות_ציון WITH עמדות_ציון_2 (PAIRED)
  /MISSING ANALYSIS.

FREQUENCIES VARIABLES=עמדות_ציון עמדות_ציון_2
  /FORMAT=NOTABLE
  /NTILES=4
  /ORDER=ANALYSIS.

خواندن خروجی. Ranks = جدول 2 – Negative Ranks (دومی کوچک‌تر از اولی)، Positive Ranks، Ties، همراه با N, Mean Rank, Sum of Ranks؛ Test Statistics – Z (از مجموع کوچک‌تر، همیشه منفی؛ پانویس می‌گوید "based on negative/positive ranks") و Asymp. Sig. (2-tailed)؛ Frequencies – میانه‌ها. سینتکس در برابر PSPP (پیاده‌سازی آزاد) بررسی شد: شمارش‌ها، میانگین رتبه‌ها، مجموع‌ها و z یکسان‌اند – اما PSPP تفاوت را برعکس علامت می‌زند (اولی منهای دومی)، بنابراین "منفی" و "مثبت" جابه‌جا می‌شوند.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

در R پایه wilcox.test(x2, x1, paired = TRUE) – آماره V در R همان T⁺ است (مجموع رتبه‌های مثبت x2 − x1)؛ پیش‌فرض، تصحیح پیوستگی اضافه می‌کند – correct = FALSE همان p در SPSS و در این صفحه را می‌دهد؛ exact = TRUE فقط بدون گره و بدون صفر محاسبه می‌شود. اسکریپت عیناً روی فایل داده‌های نمونه اجرا شد و مقادیر جدول‌ها را داد (در یادداشت‌ها). قاعده سایت برای فارسی در R: فایل UTF-8، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و محیط UTF-8 برای نام‌های عبری.

# آزمون رتبه‌های علامت‌دار ویلکاکسون – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_wx_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
ok <- !is.na(d[["עמדות_ציון"]]) & !is.na(d[["עמדות_ציון_2"]])
x1 <- d[["עמדות_ציון"]][ok]; x2 <- d[["עמדות_ציון_2"]][ok]

# میانه‌ها و چارک‌ها (type = 6 = SPSS) – جدول 1
median(x1); median(x2)                                  # 3.25, 3.50
quantile(x2 - x1, c(.25, .5, .75), type = 6)            # تفاوت‌ها

# تفاوت‌ها (دومی منهای اولی)، حذف صفرها، رتبه‌های |تفاوت|، T+ و T− – جدول 2
dd <- x2 - x1; nz <- dd[dd != 0]; r <- rank(abs(nz))
Tp <- sum(r[nz > 0]); Tm <- sum(r[nz < 0]); n <- length(nz)
c(zeros = sum(dd == 0), n = n, Tplus = Tp, Tminus = Tm)  # 14 صفر، n = 99، T+ = 3507، T− = 1443

# آزمون: V = T+؛ p مجانبی بدون تصحیح پیوستگی = SPSS (با تصحیح گره) – جدول 3
wt <- wilcox.test(x2, x1, paired = TRUE, exact = FALSE, correct = FALSE)
wt                                                      # V = 3507, p = .0003

# z علامت‌دار (مثبت = دومی بالاتر)، r_rb (Field) و r = |z|/√N با N = 2 × زوج‌ها (Pallant)
z <- sign(Tp - n * (n + 1) / 4) * abs(qnorm(wt$p.value / 2))
c(z = z, r_rb = (Tp - Tm) / (Tp + Tm), r = abs(z) / sqrt(2 * length(dd)))   # 3.62, .417, .240

# نمونه کوچک بدون گره و بدون صفر – p دقیق (جدول E.1 در Gravetter و Wallnau: خود تفاوت‌ها)
wilcox.test(c(4, -14, 5, -20, -6, -16, -8, -24), exact = TRUE)   # V = 3, p = .039

گزارش نتایج

Field (2024، بخش 7.5.7): "آماره (T)، معناداری دقیق و یک شاخص اثر را گزارش می‌کنیم" – همراه با میانه‌های دو وضعیت: "در مصرف‌کنندگان اکستازی سطح افسردگی در روز چهارشنبه (Mdn = 33.50) به‌طور معناداری بالاتر از روز یکشنبه (Mdn = 17.50) بود، T = 36, p = .012, r_rb = 1. در مصرف‌کنندگان الکل برعکس: در روز چهارشنبه (Mdn = 7.50) به‌طور معناداری پایین‌تر از روز یکشنبه (Mdn = 16.0)، T = 8, p = .047, r_rb = −.71" – یا با z به جای T. Pallant (2020، فصل 16): "z = −4.18, n = 30, p < .001، با اثری بزرگ (r = .54). میانه از 40 به 38 کاهش یافت". Gravetter و Wallnau (Appendix E.3) مجموع رتبه‌ها و نحوه برخورد با صفرها را نیز می‌افزایند. جمله‌های گزارش در خروجی به همین شکل ساخته شده‌اند – میانه‌ها، n، T, z, p (مقدار دقیق وقتی محاسبه شده باشد)، r_rb و r. قواعد شکلی (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p و r بدون صفر پیش از نقطه؛ T و z با صفر.

اشتباهات رایج

اشتباه گرفتن با مان-ویتنی. دو آزمون ویلکاکسون: مجموع رتبه‌ها – برای گروه‌های جدا؛ رتبه‌های علامت‌دار – برای همان آزمودنی‌ها (Field, 2024, Section 7.5).

خواندن جهت از علامت z در خروجی قدیمی. در آنجا همیشه منفی است؛ جهت – از شمارش و از رتبه‌ها (بخش 7.5.4).

گزارش میانگین‌ها. آزمون بر رتبه‌هاست؛ میانه‌ها گزارش می‌شوند (Field, Section 7.5.7; Pallant, 2020, Chapter 16).

فراموش کردن صفرها. صفرها از محاسبه بیرون می‌روند، اما نه از روایت: Gravetter و Wallnau می‌خواهند گزارش شود چند صفر بود و چگونه با آن‌ها برخورد شد (Appendix E.3).

محاسبه r مورد نظر Pallant با تعداد آزمودنی‌ها. در نزد او N تعداد مشاهدات است – دو برابر؛ مقدار √2 برابر کوچک‌تر به دست می‌آید، و گفته می‌شود کدام N.

پناه بردن به ویلکاکسون هر بار که آزمون نرمال بودن معنادار است. با 30 زوج و بیشتر، قضیه حد مرکزی آزمون t را پوشش می‌دهد (Field, 2024، بخش 6.2.7؛ آزمون نرمال بودن) – و ویلکاکسون اندازه تفاوت‌ها را از دست می‌دهد (کادر 7.1).

استفاده از آزمون علامت وقتی رتبه‌ها در دسترس‌اند. این آزمون اندازه تغییر را نادیده می‌گیرد – توان کمی دارد (نکته 7.2).

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Wilcoxon (1945)، King و همکاران (2011) و Kerby (2014) – به نقل از Field (2024). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع فقط منابعی می‌آیند که از اصل خوانده شده‌اند؛ Gravetter و Wallnau (2017, Appendix E, pp. 692-695)، Cohen (1988)، Pallant (2020) و APA (2020) – بر اساس صفحه، فصل و بخش نسخه چاپی؛ Field (2024) در نسخه دیجیتال با متن روان – بر اساس بخش، فرمول و کادر (جدول 7.1 او، که جدول 7.2 از آن مشتق شده، فایل آزمایشی این صفحه است). سینتکس – در برابر PSPP تأیید شده؛ R در نسخه 4.3.3 اجرا شد.