آزمون خی‌دو استقلال

بارگذاری داده‌ها

ستون‌ها را مستقیماً از کاربرگ بچسبانید (همراه با سطر عنوان) – در اکسل انتخاب کنید، کپی کنید و اینجا بچسبانید:

انتخاب متغیرها

چه زمانی از خی‌دو استقلال استفاده می‌شود؟

وقتی هر دو متغیر طبقه‌ای‌اند و می‌خواهیم بدانیم آیا توزیع یکی به دیگری وابسته است: آیا نسبت شرکت‌کنندگان در فعالیت اجتماعی بین ساکنان قدیمی و تازه‌واردان متفاوت است؟ آیا انتخاب رشته تحصیلی با پیشینه مرتبط است؟ متغیر طبقه‌ای میانگین ندارد – "میانگین یک متغیر طبقه‌ای بی‌معناست" (Field, 2024, Section 19.3) – و بنابراین فراوانی‌ها تحلیل می‌شوند: چند آزمودنی در هر ترکیب طبقه‌ها قرار گرفته‌اند. Pallant (2020، فصل 16) همین پرسش را به سه شکل بیان می‌کند: آیا بین جنسیت و سیگار کشیدن رابطه‌ای هست؟ آیا مردان بیشتر سیگار می‌کشند؟ آیا نسبت سیگاری‌ها در هر دو جنس یکسان است؟ – این همان آزمون است. اگر یکی از متغیرها پیوسته باشد، این آزمون مناسب نیست: برای مقایسه میانگین‌ها بین گروه‌ها – آزمون t یا ANOVA؛ برای پیش‌بینی یک متغیر طبقه‌ای از پیش‌بین‌های پیوسته – رگرسیون لجستیک (Field, Section 19.2). جدولی با سه متغیر طبقه‌ای یا بیشتر – تحلیل لگ‌خطی (Field, Section 19.4)، که در سایت نیست.

آزمون چگونه کار می‌کند

مدل "عدم رابطه" است. اگر رابطه‌ای نباشد، فراوانی مورد انتظار در هر خانه فقط از حاشیه‌های جدول به دست می‌آید: E = (جمع سطر × جمع ستون) / N (Field, 2024, Equation 19.3). آزمون فاصله بین مشاهده‌شده و مورد انتظار را در همه خانه‌ها، استانداردشده بر حسب مقدار مورد انتظار، جمع می‌زند – χ² = Σ (O − E)²/E (Equation 19.2; Gravetter & Wallnau, 2017, Section 17.3) – و آماره به‌طور تقریبی توزیع خی‌دو با df = (r − 1)(c − 1) درجه آزادی دارد: تعداد خانه‌هایی که پس از معلوم بودن جمع سطرها و ستون‌ها می‌توان "آزادانه انتخاب کرد" (Gravetter & Wallnau, Equation 17.5). مثال Field (جدول 19.1): 200 گربه برای رقصیدن در ازای غذا یا محبت آموزش دیدند؛ 28 از 38 گربه‌ای که غذا گرفتند رقصیدند، در مقابل 48 از 162 گربه‌ای که محبت گرفتند – χ²(1) = 25.36, p < .001. می‌توان این جدول را در حالت "جدول فراوانی آماده" در صفحه چسباند و همه اعداد فصل را به دست آورد.

چهار سطر جدول آزمون‌ها – و آنچه گزارش می‌شود

خی‌دو پیرسون خودِ آزمون است؛ سطرهای دیگر به این پرسش پاسخ می‌دهند که وقتی نمونه کوچک است چه می‌شود. آزمون دقیق فیشر (Field, Section 19.3.3) آزمون دیگری نیست، بلکه محاسبه دقیق احتمال به جای تقریب توزیع خی‌دو است – تقریب وقتی فراوانی‌های مورد انتظار بزرگ‌تر از 5 باشند خوب است، و وقتی کوچک باشند متزلزل می‌شود؛ بنابراین فیشر برای جدول 2×2 با نمونه کوچک طراحی شده است، و SPSS آن را خودکار برای هر جدول 2×2 چاپ می‌کند. نسبت درست‌نمایی (G²; Section 19.3.4) بر درست‌نمایی بیشینه مبتنی است، توزیعی مانند پیرسون دارد، و در نمونه بزرگ تقریباً با آن یکسان است؛ Field آن را در نمونه‌های کوچک ترجیح می‌دهد. تصحیح پیوستگی ییتس (بخش 19.3.5) پیش از مجذور کردن 0.5 از هر انحراف مطلق کم می‌کند، زیرا در جدول 2×2 پیرسون به p بیش از حد کوچک گرایش دارد – و اینجا دو کتاب از هم جدا می‌شوند: Field می‌نویسد "شواهد نه چندان کمی" وجود دارد که این تصحیح بیش از حد تصحیح می‌کند و مقادیر χ² بسیار کوچکی تولید می‌کند (Howell, 2012, as cited in Field)، و جمع‌بندی می‌کند "خوب است آن را بشناسید، و احتمالاً بهتر است نادیده‌اش بگیرید"؛ Pallant (2020، فصل 16) دستور می‌دهد در جدول 2×2 دقیقاً سطر Continuity Correction گزارش شود، و این را در جمله گزارش خود نشان می‌دهد. صفحه هر دو را نمایش می‌دهد، و برای گزارش طبق قاعده سایت علامت می‌زند: پیرسون؛ و در جدول 2×2 که شرط فراوانی‌های مورد انتظار را نقض می‌کند – فیشر. اگر استاد راهنمای شما ییتس را می‌خواهد – اعداد در جدول 3 است، و گزارش به سبک Pallant (بخش گزارش در ادامه).

شدت رابطه: φ، V کرامر و نسبت شانس

معناداری می‌گوید که رابطه‌ای وجود دارد؛ نمی‌گوید چقدر قوی است، و در نمونه بزرگ حتی تفاوت کوچکی در درصدها معنادار می‌شود (Field, 2024, Section 19.5.3). سه شاخص، χ² را برای حجم نمونه و ابعاد جدول تصحیح می‌کنند تا عددی بین 0 و 1 به دست آید (Field, Section 19.3.6): φ – √(χ²/N)، دقیق برای جدول 2×2 و در آن برابر همبستگی پیرسون بین دو متغیر دووجهی (و بنابراین علامت دارد؛ Gravetter & Wallnau، 2017، معادله 17.8)؛ ضریب توافق پیرسون، که به‌ندرت به 1 می‌رسد؛ و V کرامر – √(χ²/(N·df*)) که در آن df* = min(r − 1, c − 1) (Gravetter & Wallnau, Equation 17.9) – که حتی در جدول بزرگ می‌تواند به 1 برسد، و بنابراین "مفیدترین" است (Field). در جدول 2×2، φ و V یکسان‌اند. آستانه‌ها: برای تفسیر φ از آستانه‌های همبستگی استفاده می‌شود – .10 کوچک، .30 متوسط، .50 بزرگ (Cohen، 1988، به نقل از Pallant، 2020، و Gravetter & Wallnau، 2017)؛ برای V در جدول بزرگ‌تر آستانه‌ها پایین‌ترند، بر حسب df* (Gravetter & Wallnau, Table 17.10): برای df* = 2 – .07 / .21 / .35؛ برای df* = 3 – .06 / .17 / .29. صفحه بر اساس همین جدول تفسیر می‌کند. رابطه بین این دو: Cohen شاخص w را به صورت V·√df* با آستانه‌های .10 / .30 / .50 تعریف می‌کند – دقیقاً همان آستانه‌ها، در مقیاسی دیگر.

نسبت شانس (OR) به نظر Field (بخش 19.8.4) شاخص اثر رایج‌تر و مفیدتر برای جدول 2×2 است – "معادل طبقه‌ای یک مقایسه متمرکز". شانس (odds) تعداد مواردی است که رخ داده تقسیم بر تعداد مواردی که رخ نداده: شانس رقصیدن پس از غذا 28/10 = 2.8، پس از محبت 48/114 = .42، و نسبت بین آن‌ها 6.65 – "اگر گربه با غذا آموزش دیده باشد، شانس اینکه برقصد 6.65 برابر بیشتر از وقتی است که با محبت آموزش دیده باشد" (معادله‌های 19.40-19.42). صفحه فاصله اطمینان 95% را روی مقیاس لگاریتمی اضافه می‌کند (مانند Risk Estimate در SPSS): فاصله‌ای که 1 را در بر نگیرد – رابطه معنادار است. به جهت توجه کنید: شانس برای طبقه اول ستون‌ها، در سطر اول نسبت به سطر دوم – ترتیب طبقه‌ها در جدول تعیین می‌کند که 6.65 به دست آورید یا 1/6.65 = .15، و هر دو همان یافته‌اند.

خروجی را چگونه بخوانیم؟

جدول 1 – درصدها. Field (2024، بخش 19.8) جدول توافقی گربه‌ها را از طریق درصدها درون هر نوع آموزش می‌خواند: از آموزش‌دیدگان با غذا 73.7% رقصیدند، از آموزش‌دیدگان با محبت 29.6% – "وقتی غذا پاداش بود بیشتر گربه‌ها رقصیدند، وقتی محبت پاداش بود بیشترشان امتناع کردند". Pallant (2020، فصل 16) این کار را با "% within sex" انجام می‌دهد: 17.9% از مردان سیگار می‌کشند در برابر 20.6% از زنان، و یادآوری می‌کند که بررسی شود دو درصد در هر سطر به 100 برسند. این خوانش اصلی نتیجه است؛ آزمون فقط می‌گوید که آیا تفاوت بین سطرها بزرگ‌تر از آن است که تصادف توضیح دهد.

جدول 2 – فراوانی مورد انتظار و باقیمانده‌ها. ابتدا کمترین فراوانی مورد انتظار بررسی می‌شود (شرط آن – در بخش مفروضه‌ها). سپس، در جدولی بزرگ‌تر از 2×2، باقیمانده‌ها نشان می‌دهند کدام خانه‌ها رابطه را پیش می‌برند: باقیمانده استانداردشده (O − E)/√E یک نمره z است (Field, Section 19.8.1) – خارج از ±1.96 خانه به طور معنادار در سطح .05 از مقدار مورد انتظار فاصله دارد، ±2.58 در .01، ±3.29 در .001، و علامت نشان می‌دهد بیشتر یا کمتر از مقدار مورد انتظار است؛ در مورد گربه‌ها دو خانه غذا معنادارند (3.6 و −2.8) و دو خانه نوازش نه (−1.7 و 1.4): "رابطه بین نوع پاداش و رقصیدن عمدتاً ناشی از غذاست". Pallant از باقیمانده استانداردشده تعدیل‌شده (Adjusted Residual) استفاده می‌کند که اندازه سطر و ستون را نیز در نظر می‌گیرد: بالاتر از 2 – بیشتر از مقدار مورد انتظار، پایین‌تر از −2 – کمتر، "نوعی آزمون تعقیبی". صفحه هر دو را نمایش می‌دهد و خانه‌هایی را که باقیمانده تعدیل‌شده آن‌ها خارج از ±1.96 است با رنگ زرد مشخص می‌کند.

جدول 3 – آزمون‌ها. سطر پیرسون (یا سطر علامت‌گذاری‌شده) خوانده می‌شود؛ در جدول 2×2 توجه کنید که مقدار دقیق فیشر در ستون p بدون مقدار χ² چاپ می‌شود. جدول 4 – شدت رابطه. V (یا φ) همراه با برچسب آن بر اساس آستانه‌ها، و در جدول 2×2 نسبت شانس همراه با فاصله اطمینان. نمودار جدول 1 را پیش چشم می‌آورد: اگر ستون‌ها در هر گروه به یک نسبت باشند – رابطه‌ای وجود ندارد.

مفروضه‌ها و هشدارها

استقلال مشاهدات. این آزمون بر مفروضه‌های مدل خطی تکیه ندارد (نرمال بودن و مانند آن – متغیر طبقه‌ای نمی‌تواند توزیع نرمال داشته باشد)، اما دو مفروضه خاص خود را دارد (Field, 2024, Section 19.5). نخست: هر آزمودنی، گویه یا واحد تنها در یک خانه سهم دارد (Section 19.5.1; Gravetter & Wallnau, 2017, Section 17.4). بنابراین نمی‌توان خی‌دو را روی اندازه‌گیری‌های مکرر اجرا کرد – همان افراد پیش و پس – و نه روی آزمودنی‌ای که در چند طبقه علامت خورده است. برای اندازه‌گیری‌های مکرر در دو متغیر دووجهی – آزمون مک‌نمار (Pallant, 2020, Chapter 16)؛ برای طرح‌های پیچیده‌تر Field به مدل‌های آمیخته تعمیم‌یافته ارجاع می‌دهد.

فراوانی‌های مورد انتظار. در جدول 2×2 هیچ خانه‌ای نباید کمتر از 5 باشد؛ در جدول بزرگ‌تر – همه خانه‌ها بالاتر از 1 و حداکثر 20% زیر 5 (Field, Section 19.5.2). Pallant می‌افزاید که برخی نویسندگان برای جدول 2×2 دست‌کم 10 را توصیه می‌کنند. نقض این شرط "توان آزمون را به طرز چشمگیری کاهش می‌دهد – تا جایی که شاید ارزش زحمتش را نداشته باشد" (Field). راه‌حل‌ها: در جدول 2×2 – آزمون دقیق فیشر؛ در جدول بزرگ – ادغام طبقه‌ها (تنها وقتی منطق محتوایی دارد: بهار، تابستان و "پاییز/زمستان")، یا گردآوری داده‌های بیشتر. افزودن یک مقدار ثابت به همه خانه‌ها چیزی را حل نمی‌کند. توجه کنید: شرط درباره فراوانی مورد انتظار است، نه مشاهده‌شده – خانه مشاهده‌شده خالی به‌خودی‌خود مشکلی نیست.

نمونه بزرگ. "تفاوت‌های نسبتاً کوچک در فراوانی خانه‌ها می‌توانند در صورتی که نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد رابطه معناداری به دست دهند" (Field, Section 19.5.3) – بنابراین درصدها و شاخص اثر خوانده می‌شوند، نه فقط p (نمودار 1).

آنچه این صفحه محاسبه نمی‌کند. ضریب توافق و λ گودمن و کروسکال (Field، نکته 19.1)؛ آزمون z برای مقایسه نسبت‌های ستون‌ها با تصحیح بونفرونی (Compare column proportions – Field، بخش 19.8: حروف کنار فراوانی‌ها در خروجی SPSS)؛ Bayes factor برای جدول (بخش 19.8.3)؛ تحلیل لگ‌خطی برای سه متغیر و بیشتر (بخش‌های 19.4، 19.9-19.11)؛ آزمون مک‌نمار و آزمون خی‌دو نیکویی برازش (Gravetter & Wallnau, Sections 17.1-17.2). مرز Field برای باقیمانده‌های استانداردشده (±1.96) و آستانه Pallant (±2) – همان ایده با گرد کردن متفاوت؛ صفحه از 1.96 استفاده می‌کند.

و این کار در SPSS چگونه انجام می‌شود؟

Analyze › Descriptive Statistics › Crosstabs… – یک متغیر در Row(s)، دیگری در Column(s) (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 19.7.3). در دکمه Statistics…: Chi-square، Phi and Cramer's V، و برای جدول 2×2 همچنین Risk (نسبت شانس). در دکمه Cells…: Observed، Expected (برای بررسی شرط)، Row در درصدها، و در باقیمانده‌ها Standardized (Field) و/یا Adjusted standardized (Pallant). آزمون فیشر برای جدول 2×2 به طور خودکار چاپ می‌شود؛ برای جدول بزرگ‌تر – دکمه Exact…. سینتکس Pallant، به همراه خانه‌ها و شاخص‌هایی که صفحه نمایش می‌دهد:

CROSSTABS
  /TABLES=training BY dance
  /FORMAT=AVALUE TABLES
  /STATISTICS=CHISQ PHI RISK
  /CELLS=COUNT ROW EXPECTED SRESID ASRESID
  /COUNT ROUND CELL.

جدول فراوانی آماده (Field, Section 19.7.2): برای هر خانه یک سطر وارد می‌شود – کد سطر، کد ستون و فراوانی – و وزن‌دهی انجام می‌شود: Data › Weight Cases… › Weight cases by متغیر فراوانی (WEIGHT BY freq.). این همان چیزی است که سینتکس صفحه وقتی ورودی جدول آماده است تولید می‌کند، از جمله برچسب‌های مقادیر. خواندن خروجی: Crosstabulation – Count و % within = جدول 1، Expected Count، Std. Residual و Adjusted Residual = جدول 2؛ Chi-Square Tests – Pearson Chi-Square، Continuity Correction (ییتس)، Likelihood Ratio، Fisher's Exact Test در Exact Sig. (2-sided) و (1-sided) = جدول 3، و پانویس "a" – چند خانه زیر 5 و کمترین مقدار مورد انتظار؛ Symmetric Measures – Phi، Cramer's V = جدول 4؛ Risk Estimate – Odds Ratio همراه با فاصله اطمینان = جدول 4. Linear-by-Linear Association که در خروجی هست – آزمونی برای روند خطی بین دو متغیر ترتیبی است و در صفحه نیست.

و این کار در R چگونه انجام می‌شود؟

همه چیز در R پایه: table برای جدول، chisq.test با correct = FALSE برای پیرسون (پیش‌فرض R در جدول 2×2 تصحیح ییتس است – برعکس SPSS)، $expected، $residuals (استانداردشده) و $stdres (تعدیل‌شده)، fisher.test. اسکریپت عیناً روی فایل نمونه اجرا شد و مقادیر جدول را داد (در توضیحات). قاعده سایت برای R: فایل با UTF-8 ذخیره می‌شود، هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود، و نام‌های عبری محیط UTF-8 لازم دارند (در Windows: R 4.2 به بالا، یا Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# آزمون خی‌دو استقلال – پروفسور استت. این فایل با UTF-8 ذخیره شده است؛ هر سطر توضیح با یک واژه فارسی آغاز می‌شود
library(readxl)   # خواندن اکسل

# بارگذاری: الگوی استاندارد – سطر = آزمودنی، ستون = متغیر؛ کاربرگ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_chi_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")

# جدول توافقی: سطرها = سابقه، ستون‌ها = مشارکت (آزمودنی‌هایی که در یکی از آن دو مقدار گمشده دارند حذف می‌شوند)
tab <- table(d$"ותק_בקהילה", d$"השתתפות")
tab
prop.table(tab, 1)                       # درصدها از سطر

# آزمون خی‌دو پیرسون بدون تصحیح پیوستگی (مانند Pearson Chi-Square در SPSS)
ct <- chisq.test(tab, correct = FALSE)
ct                                       # χ² = 17.79, df = 2, p < .001
ct$expected                              # فراوانی‌های مورد انتظار – بررسی شرط (هیچ خانه‌ای زیر 5 نیست)
ct$residuals                             # باقیمانده‌های استانداردشده (O − E)/√E
ct$stdres                                # باقیمانده‌های استانداردشده تعدیل‌شده (Adjusted Residual در SPSS)

# V کرامر: √(χ² / (N · min(r − 1, c − 1)))
sqrt(ct$statistic / (sum(tab) * (min(dim(tab)) - 1)))   # V = .242

# جدول 2×2: جنسیت × مشارکت – تصحیح ییتس، آزمون دقیق فیشر و نسبت شانس
tab2 <- table(d$"מגדר", d$"השתתפות")
chisq.test(tab2, correct = FALSE)$statistic     # پیرسون = .023
chisq.test(tab2, correct = TRUE)$statistic      # تصحیح ییتس = .001
fisher.test(tab2)$p.value                       # فیشر دودامنه = .907
(tab2[1, 1] * tab2[2, 2]) / (tab2[1, 2] * tab2[2, 1])   # نسبت شانس نمونه = .965 (fisher.test برآورد شرطی چاپ می‌کند که اندکی متفاوت است)

گزارش نتایج

آماره همراه با درجه آزادی و N در پرانتز، p و شاخص اثر گزارش می‌شوند؛ طبق APA (2020، بخش 6.36) φ و V – که از 1 بیشتر نمی‌شوند – بدون صفر پیش از ممیز، و خود χ² با دو رقم اعشار. Field (2024، بخش 19.8.5): "رابطه معناداری بین نوع آموزش و اینکه گربه‌ها رقصیدند یا نه یافت شد، χ²(1) = 25.36, p < .001. نسبت شانس نشان داد که شانس رقصیدن در صورتی که گربه با غذا آموزش دیده بود 6.65 برابر بیشتر بود" – و او توصیه می‌کند جدول توافقی نیز پیوست شود. Gravetter و Wallnau (2017، بخش 17.4) مقدار N و φ را می‌افزایند: χ²(1, n = 200) = 6.381, p < .05, φ = 0.179، و پس از آن جمله‌ای درباره جهت. Pallant (2020، فصل 16)، با ییتس: "آزمون خی‌دو استقلال (با تصحیح پیوستگی ییتس) رابطه معناداری بین جنسیت و سیگار کشیدن نشان نداد، χ²(1, n = 436) = .34, p = .56, phi = −.03". جمله‌های گزارش صفحه از شیوه Field پیروی می‌کنند و مانند Gravetter و Wallnau مقدار N را در پرانتز می‌آورند؛ جمله مقایسه ("در میان X، 72% ... بودند") همان "جهت" است که هر دو کتاب پس از اعداد می‌خواهند. وقتی فیشر گزارش شده است – نوشته می‌شود "آزمون دقیق فیشر، p = …" بدون χ².

اشتباهات رایج

خواندن فراوانی‌ها به جای درصدها. 48 گربه که پس از نوازش رقصیدند بیشتر از 28 گربه پس از غذاست – و با این حال غذا بهتر عمل می‌کند، زیرا 162 گربه نوازش گرفتند و تنها 38 گربه غذا. Field (بخش 19.5.3): درصدها الگو را بازتاب می‌دهند، فراوانی‌ها به اندازه گروه‌ها بستگی دارند.

بررسی شرط روی فراوانی مشاهده‌شده. شرط درباره فراوانی مورد انتظار است. خانه مشاهده‌شده با 2 آزمودنی می‌تواند کاملاً درست باشد؛ خانه مورد انتظار 2.4 – نه.

خی‌دو روی اندازه‌گیری‌های مکرر. همان 100 نفر پیش و پس، 100 مشاهده‌اند، نه 200. مک‌نمار (Pallant, Chapter 16).

گزارش p بدون درصدها و بدون شاخص اثر. در نمونه‌ای با 2,000 نفر حتی تفاوت سه واحد درصدی هم معنادار است؛ V = .04 آنچه را p پنهان می‌کند به خواننده می‌گوید (نمودار 1).

اشتباه گرفتن جهت نسبت شانس. OR = 6.65 و OR = .15 یک یافته‌اند در جهت معکوس؛ با کلمات گفته می‌شود شانس چه کسانی و برای چه، مانند جمله‌ای که صفحه تولید می‌کند.

سوءاستفاده از چهار سطر. انتخاب میان پیرسون، ییتس، نسبت درست‌نمایی و فیشر بر اساس اینکه کدام p کوچک‌تری می‌دهد. از پیش تعیین می‌شود – قاعده سایت، یا دستورالعمل استاد راهنما – و همان سطر در همه جدول‌های پژوهش گزارش می‌شود.

ادغام طبقه‌ها پس از دیدن نتیجه. ادغام زمانی مجاز است که منطق محتوایی داشته باشد و از پیش مستند شده باشد (Field, Section 19.5.2)؛ ادغامی که به این دلیل انتخاب شده که آزمون را معنادار می‌کند p-hacking است.

منابع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Pearson (1900)، Fisher (1922)، Yates و Howell (2012) – به نقل از Field (2024)؛ Cohen (1988) – به نقل از Gravetter و Wallnau (2017) و Pallant (2020). طبق قاعده سایت، در فهرست منابع تنها منابعی می‌آیند که اصل آن‌ها خوانده شده است. یادداشتی برای خواننده‌ای که با کتاب‌ها مقایسه می‌کند: Pallant برای آستانه "کوچک" V در دو طبقه .01 چاپ می‌کند – غلط چاپی به جای .10 (مقدار نزد Gravetter & Wallnau، جدول 17.10، و نزد Cohen)؛ Gravetter و Wallnau برای مثال 17.4 مقدار χ² = 6.381 را چاپ می‌کنند – محاسبه دقیق 6.380 می‌دهد (آن‌ها چهار جمله را پیش از جمع گرد کرده‌اند).