تغیرات کا مشترکہ تجزیہ (ANCOVA)
گروہوں کا موازنہ تابع متغیر میں کیا جاتا ہے، اور ساتھ ہی ایک ایسے متغیر کو مدِنظر رکھا جاتا ہے جو علاج سے پہلے ناپا گیا ہو – عموماً اسی متغیر کی "پہلے" والی پیمائش۔ تصادفی تفویض والی تحقیق میں اس سے خطا کم ہوتی ہے اور ٹیسٹ مضبوط ہوتا ہے؛ جب گروہ پہلے سے مختلف ہوں تو یہ خود موازنے کو بھی بدل دیتا ہے، اور تب احتیاط ضروری ہے۔ یہ صفحہ ایک یا دو عوامل اور تین تک ہم متغیرات (covariates) کے ساتھ ANCOVA چلاتا ہے: ڈھلوانوں کی یکسانیت کا ٹیسٹ، قسم III کا جدول، ڈھلوان، ایڈجسٹ شدہ اوسط (adjusted means)، بونفیرونی کے ساتھ جوڑی وار موازنے، اثر کے حجم اور چارٹ – APA ساخت کے جداول، اردو اور انگریزی میں نتائج کا پیراگراف، Word، SPSS سنٹیکس اور R اسکرپٹ کے ساتھ۔
ڈیٹا لوڈ کرنا
شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:
متغیرات کا انتخاب
کب استعمال کریں؟
جب گروہوں کی اوسطوں کا موازنہ کیا جاتا ہے (جیسا کہ یک طرفہ تغیرات کا تجزیہ میں)، اور ایک اضافی مسلسل متغیر موجود ہو جو تابع متغیر سے تعلق رکھتا ہو – ہم متغیر (covariate; ماضی میں انگریزی میں اسے concomitant variable کہا جاتا تھا، یعنی وہ متغیر "جو تحقیق کے اصل موضوع کے ساتھ ساتھ آتا ہے" – Maxwell et al.، 2018، ص 452؛ اسے "کنٹرول متغیر" بھی کہا جاتا ہے)۔ عام صورت: پہلے اور بعد کی پیمائش والا تجربہ – موازنہ "بعد" کے اسکور میں ہوتا ہے، اور "پہلے" کا اسکور ہم متغیر ہوتا ہے (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.5.1)۔ ANCOVA ایک لکیری ماڈل ہے جس میں زمرہ جاتی (categorical) عامل بھی ہوتا ہے اور مسلسل پیش گو متغیر (predictor) بھی (Field, 2024, Section 13.3)۔ جب انہی شرکاء کی کئی پیمائشیں ہوں اور سوال خود تبدیلی کا ہو – مکرر پیمائشوں کے لیے ANOVA۔
منطق: متوازی لکیریں
ماڈل ہر گروہ کے لیے ہم متغیر (covariate) پر تابع متغیر کی ریگریشن لائن فٹ کرتا ہے – تمام گروہوں کے لیے ایک ہی ڈھلوان، یعنی گروہوں کے اندر مشترکہ ڈھلوان (bW) – اور جانچتا ہے کہ کیا یہ متوازی لکیریں مختلف بلندیوں پر ہیں (Maxwell et al., 2018, pp. 463-466)۔ خطا ہر شریک کا اپنے گروہ کی لکیر سے انحراف ہے، اس لیے جب ہم متغیر اچھی پیش گوئی کرتا ہو تو خطا عام تغیرات کے تجزیے کی نسبت کہیں کم ہوتی ہے۔ Maxwell اور ساتھیوں کی چھوٹی مثال میں خطا کے مربعوں کا مجموعہ 28 سے گھٹ کر 12 رہ جاتا ہے (ایضاً، ص 467-468)۔ صفحہ جو سکیٹر پلاٹ بناتا ہے اس میں یہ براہِ راست نظر آتا ہے۔
ایڈجسٹ شدہ اوسط
کسی گروہ کی ایڈجسٹ شدہ اوسط (adjusted mean) ہم متغیر کی مجموعی اوسط پر اس گروہ کی لکیر کی بلندی ہے: Ȳ′j = Ȳj − bW(X̄j − X̄) (Maxwell et al., 2018, Equation 9.27, p. 469)۔ جو گروہ ہم متغیر میں اونچا شروع ہوا وہ لکیر کے ساتھ "نیچے آتا ہے"، اور جو نیچا شروع ہوا وہ "اوپر جاتا ہے" – یہ تصحیح "ریگریشن لائن کے ساتھ اوسط کو سرکانا" ہے (ایضاً، ص 471)۔ عامل کا F ٹیسٹ ایڈجسٹ شدہ اوسطوں کے فرق کو جانچتا ہے، اس لیے تشریح انہی کی کی جاتی ہے نہ کہ خام اوسطوں کی (Field, 2024, Section 13.7.2)۔ Maxwell اور ساتھیوں کی مثال میں: علاج کے بعد افسردگی کی اوسطیں 7.3، 12.2 اور 14.0، اور ایڈجسٹ شدہ 7.54، 11.98 اور 13.98 (2018، ص 483-484) – صفحہ یہی اعداد دیتا ہے۔
تصادفی تفویض کے ساتھ اور اس کے بغیر
جب گروہوں کی تفویض تصادفی ہو، تو ہم متغیر (covariate) میں وہ اوسطاً برابر ہوتے ہیں، اور ANCOVA کا بنیادی فائدہ خطا میں کمی ہے – زیادہ مضبوط ٹیسٹ اور زیادہ تنگ وقفۂ اعتماد، جبکہ ایڈجسٹ شدہ اور خام اوسطیں ایک ہی فرق کا تخمینہ لگاتی ہیں (Maxwell et al., 2018, pp. 454-455, 471)۔ اگر اتفاقاً گروہ ہم متغیر میں تھوڑے مختلف بھی نکلیں، تب بھی ANCOVA بہتر ہے (ایضاً، ص 476)۔
جب گروہ پہلے سے موجود ہوں – جماعتیں، اسکول، وہ لوگ جنہوں نے شرکت کا انتخاب کیا – تو تصحیح نتیجے کو بدل سکتی ہے بلکہ الٹ بھی سکتی ہے۔ ANCOVA "تصادفی تفویض کا متبادل نہیں" (Maxwell et al., 2018, p. 454): یہ اس سوال کا جواب دیتا ہے کہ "اگر گروہ ہم متغیر (covariate) میں برابر ہوتے تو کیا وہ مختلف ہوتے"، اور اس بات کی ضمانت کا کوئی طریقہ نہیں کہ یہ نہ ناپے گئے فرقوں کی درست تصحیح کرتا ہے (ibid., p. 455; Field, 2024, Section 13.5.1)۔ مزید یہ کہ جب ہم متغیر پیمائشی خطا کے ساتھ ناپا گیا ہو تو تصحیح ناکافی رہتی ہے (Maxwell et al., 2018, p. 482)۔ صفحہ جانچتا ہے کہ کیا ہم متغیر گروہوں کے درمیان مختلف ہے ("توازن")۔ یہ شماریاتی شرط نہیں، لیکن اس سے طے ہوتا ہے کہ تشریح کیسے کی جائے (ibid., pp. 475-476; Field, 2024, Section 13.5.1)۔
ہم متغیر کا انتخاب
ہم متغیر (covariate) علاج سے پہلے ناپا جانا چاہیے – ایسا متغیر جس پر علاج اثر ڈال سکتا تھا، خود اثر کا ایک حصہ "نکال دیتا ہے" (Pallant, 2020, Chapter 22; Maxwell et al., 2018, p. 478)۔ اسے پہلے سے منتخب کیا جاتا ہے، سابقہ تحقیقات کی بنیاد پر جو دکھاتی ہوں کہ یہ تابع متغیر کی پیش گوئی کرتا ہے، نہ کہ موجودہ تحقیق کے ڈیٹا کی بنیاد پر (ایضاً، ص 494)۔ تابع متغیر کی "پہلے" والی پیمائش ایک اچھا امیدوار ہے (ایضاً، ص 451)۔ اسے قابلِ اعتبار ہونا چاہیے – Pallant کرونباخ الفا .7 سے زیادہ تجویز کرتی ہیں، بہتر ہے .8 سے زیادہ (باب 22؛ کرونباخ الفا دیکھیں)۔ کتنے ہم متغیر؟ چھوٹی تحقیق میں دو یا تین سے زیادہ نہیں (Maxwell et al., 2018, p. 493)، اور ایسے نہیں جو آپس میں بہت زیادہ ہم بستہ ہوں – r = .80 کے آس پاس ایک کو نکال دینا بہتر ہے (Pallant, 2020, Chapter 22)۔
ڈھلوانوں کی یکسانیت
مرکزی مفروضہ (assumption): ہم متغیر (covariate) اور تابع متغیر کا تعلق تمام گروہوں میں یکساں ہے – لکیریں واقعی متوازی ہیں۔ اسے ایک ایسے ماڈل میں جانچا جاتا ہے جو عامل × ہم متغیر کا تعامل شامل کرتا ہے: اگر یہ معنی خیز ہو تو ڈھلوانیں مختلف ہیں (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.8; Maxwell et al., 2018, p. 520)۔ صفحہ یہ جانچ ہمیشہ چلاتا ہے، اور ہر گروہ میں ڈھلوان بھی دکھاتا ہے۔ جب یہ مفروضہ ٹوٹ جائے تو کیا کیا جائے؟ Pallant (2020، باب 22) لکھتی ہیں کہ تب ANCOVA نہ چلانا بہتر ہے؛ Field (2024، سیکشن 13.8) تعامل والے ماڈل کو برقرار رکھنے اور اس کی تشریح کرنے کی تجویز دیتے ہیں؛ Maxwell اور ساتھی (2018، ص 536-537) الگ الگ ڈھلوانوں والے ماڈل کی سفارش کرتے ہیں – اس وقت بھی جب یکسانیت کا ٹیسٹ معنویت کے قریب ہو، مثلاً p < .2 – اور Johnson-Neyman طریقے کی، جو دکھاتا ہے کہ ہم متغیر کی کن قدروں پر گروہوں کا فرق معنی خیز ہے (ایضاً، ص 531-535)۔ صفحہ Johnson-Neyman نہیں چلاتا؛ SPSS کے لیے ایک میکرو موجود ہے جو اسے چلاتا ہے (ایضاً، ص 535-536)۔
ANCOVA یا تبدیلی کے اسکور؟
ایک اور عام طریقہ: ہر شریک کے لیے "بعد منفی پہلے" کا حساب کریں اور ان فرقوں کا موازنہ تغیرات کے تجزیے میں کریں۔ تصادفی تفویض والے تجربے میں دونوں طریقے ایک ہی مفروضے کو جانچتے ہیں، لیکن ANCOVA کی خطا کم ہوتی ہے، اس لیے یہ "تقریباً ہمیشہ بہتر" ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 499-501)۔ تبدیلی کا اسکور ایسے ANCOVA کے مساوی ہے جس کی ڈھلوان پہلے سے 1 مقرر کر دی گئی ہو (ایضاً، ص 499)۔ جب گروہ تصادفی نہ ہوں تو دونوں طریقے مختلف سوال پوچھتے ہیں اور مختلف جواب دے سکتے ہیں – "Lord کا تضاد" (ایضاً، ص 501-502)۔ تیسرا طریقہ – ہم متغیر (covariate) پر ریگریشن سے باقیات (residuals) کا حساب کر کے ان کا تجزیہ کرنا – ANCOVA کے مساوی نہیں، اور اس سے گریز کرنا بہتر ہے (ایضاً، ص 498)۔
جوڑی وار موازنے
جب دو سے زیادہ گروہ ہوں تو ایڈجسٹ شدہ اوسطوں کا جوڑوں میں موازنہ کیا جاتا ہے۔ ہر فرق کی معیاری خطا میں ہم متغیر (covariate) کی اوسطوں کا فرق بھی شامل ہوتا ہے (Maxwell et al., 2018, Equation 9.37, p. 490)۔ صفحہ بونفیرونی کے مطابق تصحیح کرتا ہے – یہ Field (2024، سیکشن 13.6.6) کی سفارش ہے، اور SPSS کا طریقہ بھی، جس میں ہم متغیر ہونے پر عام Post Hoc ٹیسٹ بند ہوتے ہیں (ایضاً، سیکشن 13.6.5)۔ Maxwell اور ساتھی تمام جوڑی وار موازنوں کے لیے Tukey تجویز کرتے ہیں جب ہم متغیر کی قدریں پہلے سے مقرر کی گئی ہوں، اور Bryant-Paulson جب وہ ناپی گئی ہوں (2018، ص 490-492)؛ چونکہ ہم متغیر عموماً تابع متغیر کی طرح ناپا جاتا ہے، بعض لوگ اسے تصادفی متغیر سمجھنے کی سفارش کرتے ہیں (ایضاً، ص 475)۔
اثر کے حجم
SPSS جزوی ایٹا مربع پرنٹ کرتا ہے – وہ تغیر (variance) جس کی عامل وضاحت کرتا ہے، اس میں سے جس کی دوسرے متغیرات نے وضاحت نہیں کی (Field, 2024, Section 13.4)۔ Maxwell اور ساتھی (2018، ص 486-489) تجویز کرتے ہیں کہ ہم متغیر (covariate) کو ڈیزائن کا "بنیادی حصہ" سمجھا جائے – یہ آبادی میں موجود ہے – اس لیے اسے کل تغیر سے نہ نکالا جائے: مساوات 9.31 کے مطابق اومیگا مربع (ان کی مثال میں .12؛ موازنے کے لیے، عامل کا R² کل تغیر میں سے .18 ہے اور ہم متغیر کو منہا کرنے پر .22 – ص 487-488)، اور جوڑی وار موازنے کے لیے d – ایڈجسٹ شدہ اوسطوں کا فرق تقسیم ہم متغیر کے بغیر تغیرات کے تجزیے کے معیاری انحراف (مساوات 9.32)۔ صفحہ تینوں دکھاتا ہے (اومیگا مربع – جب ایک عامل ہو)۔
آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟
ترتیب وار: خام اوسطیں (ہم متغیر کی بھی)؛ ابتدائی جانچیں – توازن، ڈھلوانوں کی یکسانیت اور لیوین؛ ANCOVA کا جدول – ہر ہم متغیر اور ہر عامل کے لیے ایک قطار؛ ڈھلوان؛ ایڈجسٹ شدہ اوسطیں بمقابلہ خام؛ جوڑی وار موازنے؛ ایک جدول جو ہم متغیر کے بغیر تغیرات کے تجزیے سے موازنہ کرتا ہے – خطا کتنی کم ہوئی اور کیا نتیجہ بدلا؛ اور چارٹ۔ "نتیجے کی تشریح" بتاتی ہے کہ آپ کے معاملے میں کیا اہم ہے۔
مفروضات
تغیرات کے تجزیے کے مفروضات (assumptions) – آزاد خطائیں، نارملٹی اور برابر تغیر – اور مزید دو: ہر گروہ میں ہم متغیر (covariate) اور تابع متغیر کے درمیان لکیری تعلق، اور ڈھلوانوں کی یکسانیت (Maxwell et al., 2018, pp. 473-475; Pallant, 2020, Chapter 22)۔ لکیریت سکیٹر پلاٹ میں جانچی جاتی ہے؛ خمیدہ تعلق کو مربع رکن کے ذریعے شامل کیا جا سکتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 493)۔ صفحہ ماڈل کی باقیات (residuals) کی مطلق قدر پر لیوین چلاتا ہے۔ جب مفروضات پورے نہ ہوں – Field (2024، سیکشن 13.5.3، 13.9) بوٹ اسٹریپ اور مضبوط (robust) ANCOVA بیان کرتے ہیں۔
اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟
Analyze → General Linear Model → Univariate: تابع متغیر، عامل کو Fixed Factor(s) میں اور ہم متغیر (covariate) کو Covariate(s) میں (Field, 2024, Section 13.6; Pallant, 2020, Chapter 22)۔ ڈھلوانوں کی یکسانیت ایک الگ رن میں Model → Build terms کے ساتھ جانچی جاتی ہے جس میں تعامل شامل ہو (Field, 2024, Section 13.8)۔ EM Means میں – بونفیرونی کے ساتھ موازنے؛ Options میں – اثر کا حجم، یکسانیت کے ٹیسٹ اور Parameter estimates۔ صفحہ دونوں رنز والا سنٹیکس ڈاؤن لوڈ کرتا ہے (UNIANOVA ... WITH)۔ PSPP ہم متغیرات کے ساتھ GLM نہیں چلاتا، اس لیے سنٹیکس اس میں نہیں جانچا گیا۔
اور R میں یہ کیسے کریں؟
صفر مجموعہ والے تقابلات (contrasts) کے ساتھ لکیری ماڈل (lm)، جدول کے لیے car::Anova(type = 3)، ڈھلوانوں کی یکسانیت کے لیے anova(m, ms)، اور ایڈجسٹ شدہ اوسطوں اور موازنوں کے لیے emmeans (ہم متغیر اپنی اوسط پر – طے شدہ (default))۔ نیچے دیا گیا اسکرپٹ Maxwell اور ساتھیوں کی مثال (2018، جدول 9.7، ص 483) پر من و عن چلایا گیا، اور قدریں تبصروں میں ہیں۔
# مثال: R میں ANCOVA – Maxwell اور ساتھیوں کی مثال (2018، جدول 9.7): پہلے اور بعد کی افسردگی، 10 کے تین گروہ
library(car) # قسم III کا Anova
library(emmeans) # ایڈجسٹ شدہ اوسطیں
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly")) # قسم III کے لیے لازمی
d <- data.frame(group = factor(rep(c("SSRI", "Placebo", "Wait"), each = 10), levels = c("SSRI", "Placebo", "Wait")),
pre = c(18, 16, 16, 15, 14, 20, 14, 21, 25, 11, 18, 16, 15, 14, 20, 25, 11, 25, 11, 22, 15, 19, 10, 29, 24, 15, 9, 18, 22, 13),
post = c(12, 0, 10, 9, 0, 11, 2, 4, 15, 10, 11, 4, 19, 15, 3, 14, 10, 16, 10, 20, 17, 25, 10, 22, 23, 10, 2, 10, 14, 7))
m <- lm(post ~ pre + group, data = d)
ms <- lm(post ~ pre + group + group:pre, data = d)
anova(m, ms) # ڈھلوانوں کی یکسانیت: F(2, 24) = 1.06, p = .36
Anova(m, type = 3) # گروہ: F(2, 26) = 3.73, p = .038; پہلے: F(1, 26) = 10.77
coef(m)["pre"] # مشترکہ ڈھلوان b = 0.645
emmeans(m, pairwise ~ group, adjust = "bonferroni")
# ایڈجسٹ شدہ اوسطیں: 7.54, 11.98, 13.98; SSRI بمقابلہ انتظار: -6.44, p = .039
نتائج کی رپورٹنگ
ہم متغیر (covariate) اور ابتدائی جانچیں رپورٹ کی جاتی ہیں، خاص طور پر ڈھلوانوں کی یکسانیت (Pallant, 2020, Chapter 22)، اور پھر ہم متغیر اور عامل کا F، p اور اثر کے حجم کے ساتھ (Field, 2024, Section 13.11; Pallant, ibid.)۔ جدول میں – معیاری انحراف کے ساتھ خام اوسطیں اور معیاری خطا کے ساتھ ایڈجسٹ شدہ اوسطیں، اور ہر گروہ میں n (ایضاً)۔ صفحہ ایسا پیراگراف اردو اور انگریزی میں لکھتا ہے۔
عام غلطیاں
پہلے سے موجود گروہوں کے فرقوں کو "کنٹرول" کرنا اور علیت کا نتیجہ نکالنا – ANCOVA تصادفی تفویض کا متبادل نہیں (Maxwell et al., 2018, p. 454; Field, 2024, Section 13.5.1)۔
علاج کے بعد ناپا گیا ہم متغیر (covariate) – اثر کا ایک حصہ نکال سکتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 478)۔
ایڈجسٹ شدہ کے بجائے خام اوسطوں کی تشریح کرنا (Field, 2024, Section 13.7.2)۔
ڈھلوانوں کی جانچ چھوڑ دینا – جب وہ مختلف ہوں تو گروہوں کا فرق ہم متغیر (covariate) کی قدر پر منحصر ہوتا ہے (Field, 2024, Section 13.8)۔
ہم متغیرات (covariates) کو ڈیٹا کی بنیاد پر چننا – مثلاً اسے جو موجودہ نمونے میں تابع متغیر سے سب سے زیادہ ہم بستہ ہو (Maxwell et al., 2018, p. 494)۔
ANCOVA کے بجائے باقیات (residuals) کا تجزیہ (Maxwell et al., 2018, p. 498)۔
حوالہ جات
American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000
Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.
Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.
Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.
سائٹ کے اصول کے مطابق حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے۔ Field (2024) اور Pallant (2020) ری فلو ہونے والے ڈیجیٹل نسخے میں – حوالہ سیکشن اور باب کے مطابق؛ Maxwell اور ساتھی (2018) – چھپے ہوئے صفحے کے مطابق۔ سائٹ کے ضابطے: فہرست وار حذف (listwise deletion)؛ قسم III؛ ایڈجسٹ شدہ اوسطیں ہم متغیرات کی مجموعی اوسط پر، دوسرے عامل پر غیر وزنی؛ ماڈل کی باقیات (residuals) کی مطلق قدر پر لیوین؛ جداول میں اعشاریہ کے بعد دو ہندسے۔ "ہم متغیر" – سائٹ پر covariate کا ترجمہ (concomitant variable کی پیروی میں)، تاکہ ثالث متغیر (mediator) سے التباس نہ ہو۔ حساب کی توثیق R 4.3.3 (car، emmeans) سے اور Maxwell اور ساتھیوں (2018) کے چھپے ہوئے اعداد سے کی گئی ہے: جداول 9.1، 9.7-9.10 اور 9.12، مشق 4۔