ردعمل کی سطح کا طریقہ (response surface methodology)

ردعمل کی سطح کیا ہے، اور یہ کب استعمال ہوتی ہے

ردعمل کی سطح کا طریقہ (Response Surface Methodology, RSM) "ریاضیاتی اور شماریاتی تکنیکوں کا مجموعہ" ہے جو ایسے ردعمل کا ماڈل بنانے کے لیے ہے جو کئی متغیرات پر منحصر ہو، جبکہ "مقصد ردعمل کو بہترین بنانا ہے" (Montgomery, 2020, p. 408)۔ اوسط ردعمل عوامل کا تفاعل ہے، η = f(x₁, x₂)، اور اس کا گراف "ردعمل کی سطح" ہے؛ اسے یکساں ردعمل کے نقشے (contour plot) میں دکھایا جاتا ہے – دو عوامل کے مستوی میں "مستقل ردعمل کی لکیریں" (ص 408-409)۔

عام تغیرات کے تجزیے سے فرق: وہاں عوامل زمرہ جاتی (categorical) ہوتے ہیں، اور پوچھا جاتا ہے کہ کیا اوسطیں مختلف ہیں۔ یہاں عوامل مقداری اور مسلسل ہیں – سبق کی لمبائی، مشقوں کی تعداد، خوراک، درجۂ حرارت – اور پوچھا جاتا ہے کہ ان کی حد میں کہاں ردعمل سب سے بہتر ہے، اور کس سمت آگے بڑھنا چاہیے۔ حقیقی f معلوم نہیں ہوتا، اس لیے اسے کثیر رکنی سے تقریب دی جاتی ہے: پہلے درجے کا (مساوات 11.1) یا دوسرے درجے کا (11.2؛ ص 409)۔ یہ صرف مقامی تقریب ہے – "یہ امکان نہیں کہ کثیر رکنی پوری جگہ پر معقول تقریب ہو"، لیکن "نسبتاً چھوٹے علاقے میں یہ عموماً اچھی طرح کام کرتا ہے" (ص 409)۔

Montgomery کی مثالیں کیمیکل انجینئرنگ سے آتی ہیں – ردعمل کا وقت اور درجۂ حرارت بمقابلہ پیداوار۔ یہی منطق ہر اس تحقیق پر لاگو ہوتی ہے جس میں محققہ مسلسل متغیرات کی سطحیں مقرر کرتی ہے: مداخلت کی لمبائی اور تعدد، خوراک، آئٹمز کی تعداد، نمائش کا وقت۔ صفحے کی مثال کی فائل – مشقی سبق کے بارے میں فرضی ڈیٹا – اسی طرح بنائی گئی ہے۔

مرحلہ وار کام

"RSM ایک تسلسل وار طریقہ ہے" (Montgomery, 2020, p. 410)۔ جب بہترین نقطے سے دور ہوں تو سطح میں تقریباً کوئی خمیدگی نہیں ہوتی اور پہلے درجے کا ماڈل کافی ہے؛ اس کے ساتھ بہترین نقطے کی طرف چڑھا جاتا ہے۔ بہترین نقطے کے قریب خمیدگی ظاہر ہوتی ہے، اور اسے تلاش کرنے کے لیے دوسرے درجے کا ماڈل فٹ کیا جاتا ہے – جیسے "پہاڑی پر چڑھنا" (ص 410)۔ کیلکولیٹر دونوں مراحل کے لیے بنایا گیا ہے: تیز ترین چڑھائی (steepest ascent) کے راستے کے ساتھ لکیری ماڈل، اور ساکن نقطے (stationary point) کے ساتھ دوسرے درجے کا ماڈل۔

پہلے مرحلے میں چند مرکزی نقاط (center points) کے ساتھ 2^k تجربہ (یا اس کا کسر) کافی ہے۔ مرکزی نقاط تین چیزیں ممکن بناتے ہیں: خطا کا تخمینہ، تعاملات کی جانچ، اور خمیدگی کی جانچ (ص 412)۔ خمیدگی کی جانچ ایک درجۂ آزادی کی ہے: اگر سطح ہموار ہو تو فیکٹوریل نقاط کی اوسط ȳ_F مرکزی نقاط کی اوسط ȳ_C کے برابر ہوتی ہے؛ فرق Σβ_jj کا تخمینہ ہے، اور SS = n_Fn_C(ȳ_F − ȳ_C)²/(n_F + n_C) کو خالص خطا (pure error) کے مقابل جانچا جاتا ہے (ص 413)۔ صفحہ اس کا حساب اس وقت کرتا ہے جب ڈیٹا بالکل مرکزی نقاط کے ساتھ 2^k ہو، اور لکیری ماڈل کی باقیات (residuals) کو تعاملات، خالص دو درجی اور خالص خطا میں توڑتا ہے – جیسا کہ جداول 11.2 اور 11.5 (ص 413، 415)۔

تیز ترین چڑھائی کا راستہ

"تیز ترین چڑھائی (steepest ascent) کا طریقہ ردعمل میں زیادہ سے زیادہ اضافے کی سمت میں مسلسل حرکت کا طریقہ ہے"؛ کم سے کم کرنے کے لیے – تیز ترین اترائی (Montgomery, 2020, p. 411)۔ سمت لکیری ماڈل کی یکساں ردعمل کی لکیروں پر عمود ہوتی ہے، اور "راستے پر قدم ریگریشن کے عددی سروں کے متناسب ہوتے ہیں" (ص 411)۔ الگورتھم (ص 415): ایک عامل میں قدم کا حجم Δx_j منتخب کیا جاتا ہے – "عموماً وہ عامل جس کے بارے میں ہم سب سے زیادہ جانتے ہیں، یا وہ جس کا عددی سر مطلق قدر میں سب سے بڑا ہو"؛ ہر دوسرے عامل میں Δx_i = b_i/(b_j/Δx_j)؛ اور قدرتی اکائیوں میں تبدیل کیا جاتا ہے۔ مثال 11.1 میں قدم وقت میں 5 منٹ اور درجۂ حرارت میں 2 درجے ہے (ص 416)۔

"قدم کا اصل حجم تجربہ کار عمل کے بارے میں علم کی بنیاد پر طے کرتا ہے" (ص 411)۔ راستے پر تجربات چلائے جاتے ہیں "یہاں تک کہ ردعمل میں مزید اضافہ نظر نہ آئے"، اور وہاں نیا لکیری ماڈل فٹ کیا جاتا ہے؛ بہترین نقطے کے آس پاس پہنچنا "عموماً پہلے درجے کے ماڈل کی عدم مطابقت (lack of fit) سے ظاہر ہوتا ہے" (ص 411)۔ مثال 11.1 میں ردعمل دسویں قدم تک بڑھا اور اس کے بعد گھٹ گیا (ص 413-414)، اور دسویں قدم کے گرد نئے ماڈل نے معنی خیز خمیدگی دکھائی – "پہلے درجے کا ماڈل مناسب تقریب نہیں" (ص 414)۔ صفحے پر – بنیادی عامل، قدم کا حجم اور قدموں کی تعداد منتخب کی جاتی ہے، اور جدول کوڈ شدہ اور قدرتی اکائیوں میں راستہ دیتا ہے، پیش گوئی صرف ڈیٹا کی حد کے اندر۔

دوسرے درجے کا ماڈل: ساکن نقطہ اور کینونیکل تجزیہ

میٹرکس کی صورت میں، ŷ = b₀ + x'b + x'Bx (مساوات 11.5): b – لکیری عددی سروں کا ویکٹر، اور B – ایک متشاکل میٹرکس جس کے وتر پر دو درجی عددی سر اور اس سے باہر تعامل کے عددی سروں کا نصف ہو (Montgomery, 2020, pp. 417-418)۔ ساکن نقطہ (stationary point) – جہاں تمام مشتقات صفر ہو جاتے ہیں – x_s = −½B⁻¹b ہے، اور اس پر ردعمل ŷ_s = b₀ + ½x_s'b (مساوات 11.7-11.8، ص 418)۔ یہ "زیادہ سے زیادہ، کم سے کم یا زینی نقطہ (saddle point) ہو سکتا ہے" (ص 416)۔

یہ جاننے کے لیے کہ یہ کیا ہے، کینونیکل (canonical) صورت کی طرف جایا جاتا ہے: مبدا کو ساکن نقطے (stationary point) پر منتقل کیا جاتا ہے اور محوروں کو سطح کے بنیادی محوروں کی طرف گھمایا جاتا ہے، اور یوں ŷ = ŷ_s + λ₁w₁² + … + λ_kw_k² (مساوات 11.9)، جہاں λ، B کی آئگن ویلیوز (eigenvalues) ہیں (ص 418)۔ سب منفی – زیادہ سے زیادہ؛ سب مثبت – کم سے کم؛ ملی جلی علامتیں – زینی نقطہ (saddle point)؛ اور "سطح w_i کی سمت میں سب سے زیادہ ڈھلوان ہوتی ہے جس میں |λ_i| سب سے بڑا ہو" (ص 418)۔ نئے محور w = M'(x − x_s) ہیں، جہاں M – نارملائز شدہ آئگن ویکٹرز (مساوات 11.10، ص 423)۔ Montgomery کی مثال 11.2 میں: x_s = (0.389, 0.306)، یعنی 87 منٹ اور 176.5 درجے، ŷ_s = 80.21، اور دونوں آئگن ویلیوز منفی (−0.963، −1.414) – زیادہ سے زیادہ (ص 420)؛ صفحہ یہ تمام اعداد دوبارہ حاصل کرتا ہے۔

ریج (ridges)۔ جب ایک آئگن ویلیو صفر کے قریب ہو تو ردعمل اس کے محور کے ساتھ حرکت کے لیے "تقریباً غیر حساس" ہوتا ہے (ص 424)۔ اگر ساکن نقطہ (stationary point) تجربے کے علاقے کے اندر ہو – یہ "ساکن ریج" ہے: تقریباً برابر نقاط کی ایک لکیر، اور لاگت یا سہولت کے مطابق ان میں سے انتخاب کی لچک۔ اگر یہ علاقے سے بہت باہر ہو – بڑھتی (یا گھٹتی) ریج: "حقیقی سطح یا ساکن نقطے کے بارے میں نتیجہ اخذ نہیں کیا جا سکتا"، لیکن ہموار محور کی سمت میں مزید تحقیق مفید ہے (ص 424-425)۔ صفحہ اس آئگن ویلیو کو نشان زد کرتا ہے جو مطلق قدر میں سب سے بڑی کے دسویں حصے سے کم ہو – rsm پیکج میں canonical کی حد (سائٹ کا ضابطہ) – اور بتاتا ہے جب نقطہ ڈیٹا کی حد سے باہر ہو۔

کئی ردعمل۔ جب کئی ردعمل ہوں تو ہر ایک کے لیے ماڈل فٹ کیا جاتا ہے اور ایسا امتزاج تلاش کیا جاتا ہے جو سب کو مطمئن کرے – یکساں ردعمل کے نقشوں کو ایک دوسرے پر رکھ کر، پابندیوں کے ساتھ بہترین سازی سے، یا مطلوبیت (desirability) کے تفاعل سے جو تمام ردعمل کو ایک اشاریے میں جوڑتا ہے (ص 425-429)۔ صفحہ ہر رن میں ایک ردعمل کا تجزیہ کرتا ہے؛ کئی ردعمل کے لیے – ہر ایک کے لیے چلائیں اور نقشوں کا موازنہ کریں۔

کون سا ڈیزائن؟

پہلے درجے کے ماڈل کے لیے – 2^k یا ایسا کسر جس میں بنیادی اثرات ایک دوسرے سے مدغم (aliased) نہ ہوں؛ مرکزی نقاط (center points) لکیری عددی سروں اور آرتھوگونیلٹی کو نہیں بدلتے، اور خطا کا اضافی تخمینہ دیتے ہیں (Montgomery, 2020, p. 430)۔ صفحہ "تجربات کی منصوبہ بندی (DOE)" میں – 2^k اور کسور۔

مرکزی مرکب ڈیزائن (CCD) – دوسرے درجے کے ماڈل کے لیے "سب سے مقبول طبقہ" (ص 430): 2^k (یا ریزولوشن V کا کسر) n_F رنز کے ساتھ، ہر محور پر ±α پر 2k محوری نقاط، اور n_C مرکزی نقاط (ص 431)۔ یہ تسلسل وار تعمیر کے لیے موزوں ہے: پہلے مرکزی نقاط کے ساتھ 2^k چلایا جاتا ہے، اور اگر عدم مطابقت (lack of fit) ہو – محوری نقاط شامل کیے جاتے ہیں (ص 431)۔ دو فیصلے: α اور مرکزی نقاط کی تعداد۔

• گردشی (rotatable) – α = n_F^1/4 (k = 2 کے لیے 1.414، k = 3 کے لیے 1.682): مرکز سے یکساں فاصلے پر تمام نقاط پر پیش گوئی کا تغیر (variance) برابر ہے – "پیش گو ردعمل کا تغیر کرّوں پر مستقل ہوتا ہے" (ص 431-432)۔
• کروی – α = √k: تمام نقاط ایک کرّے پر؛ کروی علاقے کے لیے پیش گوئی کے تغیر کے لحاظ سے یہ اچھا انتخاب ہے، اور "ڈیزائن کے اچھا ہونے کے لیے عین گردشیت اہم نہیں" (ص 432)۔ تین سے پانچ مرکزی نقاط (center points) کی سفارش کی جاتی ہے (ص 432)۔
• سطح مرکز – α = 1: صرف تین سطحیں، مکعب نما علاقے کے لیے، جب حد سے باہر جانا ممکن نہ ہو؛ یہ گردشی نہیں، اور "دو یا تین" مرکزی نقاط (center points) کافی ہیں (ص 433)۔
• آرتھوگونل بلاکنگ – جب فیکٹوریل اور محوری حصے مختلف اوقات میں چلیں تو وہ دو بلاکس ہیں۔ ڈیزائن "آرتھوگونل طور پر بلاک شدہ" ہوتا ہے جب بلاکس کا اثر عددی سروں کو متاثر نہ کرے (ص 437)؛ CCD میں یہ اس وقت ہوتا ہے جب α = [n_F(n_A + n_CA)/(2(n_F + n_CF))]^1/2 (مساوات 11.18، ص 439)۔ "معلومات کے بڑے نقصان کے بغیر گردشیت یا آرتھوگونل بلاکنگ سے تھوڑا سا دستبردار ہوا جا سکتا ہے" (ص 439)۔ صرف ایک ہی بلاک میں چلنے والے مرکزی نقاط (center points) تکرار ہیں (ص 440)۔

Box-Behnken – تین سطحوں کا ڈیزائن، "2^k کا نامکمل بلاک ڈیزائنوں کے ساتھ امتزاج": عوامل کا ہر جوڑا ±1 پر اور باقی مرکز میں، نیز مرکزی نقاط (center points)۔ یہ "رنز کی تعداد کے لحاظ سے بہت موثر"، "گردشی یا تقریباً گردشی" ہے، اس کے تمام نقاط √2 رداس کے کرّے پر ہیں، اور اس میں کونے نہیں – یہ اس وقت فائدہ ہے جب تمام عوامل کا انتہائی امتزاج مہنگا یا ناممکن ہو (ص 432؛ k = 3 کے لیے جدول 11.8، ص 433)۔ صفحے پر – k = 3 سے 5، اسی تعمیر میں۔

منصوبہ بندی میں صفحہ معیاری شدہ (standardized) پیش گوئی کا تغیر N·x'(X'X)⁻¹x (مساوات 11.16، ص 436) مرکز میں، ایک فیکٹوریل نقطے پر اور ایک محوری نقطے پر دکھاتا ہے – گردشی ڈیزائن میں آخری دونوں برابر ہوتے ہیں جب وہ یکساں فاصلے پر ہوں۔ بہترین ڈیزائن (D, I)، آمیزوں کے ڈیزائن اور کمپیوٹر تجربات کے ڈیزائن (ص 440-472) – صفحے پر نہیں۔

کیا ماڈل موزوں ہے؟

عدم مطابقت (lack of fit) بمقابلہ خالص خطا (pure error)۔ ماڈل کی باقیات (residuals) دو حصوں میں ٹوٹتی ہیں: خالص خطا – ایک ہی نقطے پر تکراری رنز کے درمیان تغیر (variance)، جو ماڈل پر منحصر نہیں؛ اور عدم مطابقت – جو باقی بچتا ہے۔ اگر عدم مطابقت خالص خطا سے بڑی ہو تو ماڈل کچھ چھوڑ رہا ہے (Montgomery, 2020, Tables 11.2, 11.5 and 11.7)۔ اسی لیے مرکزی نقاط (center points) اہم ہیں: تکرار کے بغیر نہ خالص خطا ہے اور نہ یہ ٹیسٹ۔

ماڈلوں کا موازنہ۔ آؤٹ پٹ میں جدول 1 تینوں ماڈلوں کا موازنہ کرتا ہے – لکیری، تعاملات کے ساتھ، اور دوسرے درجے کا – جیسا کہ Montgomery کے ہاں "Model Summary Statistics" اور "Lack of Fit Tests" (جدول 11.7، ص 421): باقیات (residuals) کا معیاری انحراف، R²، ایڈجسٹ شدہ R²، پیش گوئی کا R² اور PRESS، اور عدم مطابقت۔ مثال 11.2 میں لکیری اور تعاملات والا ماڈل ناکام ہوتے ہیں (پیش گوئی کا R² منفی، معنی خیز عدم مطابقت)، اور دوسرے درجے کا ماڈل موزوں ہے (پیش گوئی کا R² .918، غیر معنی خیز عدم مطابقت، p = .290)۔ پیش گوئی کا R²، PRESS پر مبنی ہے – باقیات کے مربعوں کا مجموعہ جب ہر رن کی پیش گوئی خود اس کے بغیر کی جائے۔

تشخیص۔ ہر ریگریشن کی طرح – باقیات (residuals)، لیوریج (leverage) اور اثر (جدول 11.7، ص 422)۔ صفحے پر – آؤٹ پٹ کے آخر میں تہہ شدہ تشخیصی جدول۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

منصوبہ بندی میں: جدول 1 – ڈیزائن اور اس کی خصوصیات: حصے، α، رنز اور عددی سروں کی تعداد، عدم مطابقت (lack of fit) اور خالص خطا (pure error) کے لیے درجاتِ آزادی، بلاکنگ، اور پیش گوئی کا تغیر۔ جدول 2 – تصادفی ترتیب میں رن شیٹ (run sheet)، کوڈ شدہ اور قدرتی قدروں کے ساتھ۔ شکل 1 – ڈیزائن کے نقاط۔ ایکسل میں ڈاؤن لوڈ میں کوڈنگ کے ساتھ کوڈ بک شیٹ شامل ہے، اور صفحہ تجزیے میں اسے واپس پڑھتا ہے۔

تجزیے میں: چلانے سے پہلے – کوڈنگ کا جدول: ہر عامل کے لیے مرکز اور نصف وسعت (x = (ξ − مرکز)/نصف وسعت)، کوڈ بک شیٹ سے یا قدروں کے مطابق۔ جدول 1 – ماڈلوں کا موازنہ۔ جدول 2 – منتخب ماڈل کا تغیرات کا تجزیہ: ہر رکن جزوی مربعوں کے مجموعے کے ساتھ، اور باقیات (residuals) جو عدم مطابقت (lack of fit) اور خالص خطا (pure error) میں ٹوٹتی ہیں۔ جدول 3 – کوڈ شدہ اکائیوں میں عددی سر، وقفۂ اعتماد اور VIF کے ساتھ، اور اس کے نیچے اصل اکائیوں میں مساوات۔ دوسرے درجے کے ماڈل میں – جدول 4، ساکن نقطہ (stationary point)، اور جدول 5، کینونیکل (canonical) تجزیہ؛ لکیری ماڈل میں – تیز ترین چڑھائی کا راستہ۔ شکل – عوامل کے ہر جوڑے کے لیے یکساں ردعمل کا نقشہ، باقی مرکز میں یا ساکن نقطے پر۔ اس کے بعد – وقفۂ اعتماد اور پیش گوئی کے وقفے کے ساتھ ایک نقطے پر پیش گوئی، تشخیصی جدول، نتائج کا پیراگراف اور "نتیجے کی تشریح" کا خانہ۔

مفروضات اور انتباہات

تقریب مقامی ہے۔ کثیر رکنی جانچے گئے علاقے کے لیے موزوں ہے، اس سے آگے نہیں (Montgomery, 2020, p. 409)۔ ڈیزائن کے نقاط سے باہر ہر پیش گوئی خارجی تخمین (extrapolation) ہے؛ صفحہ راستے پر حد سے باہر پیش گوئیاں نہیں نکالتا، اور جب ساکن نقطہ (stationary point) حد سے باہر ہو تو انتباہ دیتا ہے۔ ساکن نقطے کا تجزیہ فرض کرتا ہے کہ یہ "تحقیق کے علاقے کے اندر" ہے (ص 418)۔

بے ترتیبی۔ ہر تجربے کی طرح رنز کی ترتیب تصادفی ہے – وہ رن شیٹ (run sheet) جو صفحہ بناتا ہے۔ خطا کے بارے میں مفروضات (assumptions) عام ریگریشن والے ہیں: آزاد، برابر تغیر، تقسیم نارمل کے قریب – باقیات (residuals) میں جانچے جاتے ہیں۔

کوڈنگ۔ عددی سر، ساکن نقطہ (stationary point) اور کینونیکل (canonical) تجزیہ – کوڈ شدہ اکائیوں میں، جیسا کہ Montgomery کے ہاں۔ اصل اکائیوں میں مساوات مساوی ہے، لیکن اس کے عددی سر اکائیوں پر منحصر ہیں اور ان کا آپس میں موازنہ نہیں کرنا چاہیے (ص 422)۔ آئگن ویلیوز کوڈنگ پر منحصر ہیں؛ ایسی کوڈنگ جس میں ±1 فیکٹوریل سطحیں ہوں ان کا مطلب برقرار رکھتی ہے۔

یہ صفحہ کیا حساب نہیں کرتا۔ بہترین ڈیزائن (D, I, G)، آمیزوں کے ڈیزائن، کمپیوٹر تجربات، EVOP (Montgomery, 2020, Sections 11.4.4-11.7)، کئی ردعمل کے لیے مطلوبیت کا تفاعل، 3^k تجربات (باب 9) اور مضبوط ڈیزائن (باب 12)۔ صفحہ "تجربات کی منصوبہ بندی (DOE)" میں – زمرہ جاتی (categorical) عوامل، 2^k اور کسور؛ اور صفحہ "تصادفی عوامل (random factors)، نیسٹڈ (nested) اور اسپلٹ پلاٹ" میں – بے ترتیبی پر پابندی والے ڈیزائن۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

SPSS Statistics میں ردعمل کی سطح کے لیے کوئی طریقۂ عمل نہیں۔ کوڈ شدہ متغیرات، ان کے حاصل ضرب اور ان کے مربع Transform › Compute Variable میں نکالے جاتے ہیں، اور Analyze › General Linear Model › Univariate چلایا جاتا ہے، ان سب کو Covariates کے طور پر رکھ کر، قسم III کے مربعوں کے مجموعوں کے ساتھ – یہی جدول 2 کے جزوی SS ہیں – اور Options میں Lack of fit کے ساتھ۔ صفحہ جو سنٹیکس تیار کرتا ہے وہ بالکل یہی کرتا ہے (COMPUTE اور پھر UNIANOVA … WITH … /PRINT=PARAMETER LOF)۔ ساکن نقطہ (stationary point)، کینونیکل (canonical) تجزیہ اور نقشے SPSS نہیں نکالتا – ان کے لیے R یا یہ صفحہ۔ بلاکس کے بغیر، سنٹیکس انہی ارکان کے ساتھ REGRESSION بھی شامل کرتا ہے – وہی عددی سر۔ راستے سافٹ ویئر کے بارے میں عمومی معلومات ہیں، اور سنٹیکس SPSS میں نہیں چلایا گیا۔ PSPP میں، جو مفت سافٹ ویئر ہے اور SPSS کا سنٹیکس پڑھتا ہے، UNIANOVA نہیں ہے؛ REGRESSION والا حصہ ہم نے اس میں مثال کی فائل پر چلایا، اور عددی سر صفحے سے یکساں ہیں۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

rsm پیکج: کوڈنگ کے لیے coded.data، ماڈل کے لیے FO، TWI، PQ یا SO کے ساتھ rsm، اور summary عددی سر اور گروہوں کے لحاظ سے تغیرات کا تجزیہ عدم مطابقت (lack of fit) اور خالص خطا (pure error) کے ساتھ دیتا ہے؛ canonical – ساکن نقطہ (stationary point) اور آئگن ویلیوز؛ contour – نقشے؛ ccd اور bbd – ڈیزائن۔ canonical نقطے کا حساب کرنے سے پہلے سب سے بڑی کے دسویں حصے سے چھوٹی آئگن ویلیوز کو صفر کر دیتا ہے، اس لیے ریج (ridge) والی سطح میں اس کا نقطہ صفحے پر Montgomery کے −½B⁻¹b سے مختلف ہوتا ہے۔ steepest کا چڑھائی کا راستہ یکساں فاصلے سے ناپا جاتا ہے نہ کہ ایک عامل میں قدم کے مطابق۔ اسکرپٹ انگریزی مثال کی فائل پر جوں کا توں چلایا گیا، اور تبصروں میں قدریں صفحے سے یکساں ہیں۔ R میں اردو کے لیے سائٹ کا اصول: UTF-8 فائل، ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہو، اور متغیرات کے نام انگریزی میں۔

# ردعمل کی سطح کا طریقہ (response surface methodology) – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)   # ایکسل پڑھنا
library(rsm)      # ردعمل کی سطح (install.packages("rsm"))

# لوڈنگ: معیاری سانچہ – قطار = رن؛ شیٹ "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_rsm_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))

# کوڈنگ: x = (ξ − مرکز)/نصف وسعت – فیکٹوریل سطحیں 1− اور 1+ بن جاتی ہیں
cd <- coded.data(d, x1 ~ (lesson_length - 45) / 10, x2 ~ (practice_items - 10) / 3, x3 ~ (review_weeks - 3) / 1)

# دوسرے درجے کا ماڈل: rsm کا جدول – FO، TWI، PQ، باقیات (residuals)، عدم مطابقت (lack of fit) اور خالص خطا (pure error)
fit <- rsm(retention ~ SO(x1, x2, x3), data = cd)
summary(fit)       # عددی سر: b0 71.74; x1 4.26, x2 −2.68, x3 1.69; x1:x2 1.10, x1:x3 0.23, x2:x3 −1.68; x1² −3.26, x2² −2.57, x3² −1.68؛ عدم مطابقت: F(5, 5) = 0.89, p = .551

# جزوی SS ہر رکن کے لیے (صفحے پر جدول 2): صریح کالم، اور پھر drop1 – ہر رکن باقی سب کے بعد
e <- transform(as.data.frame(cd), x12 = x1 * x2, x13 = x1 * x3, x23 = x2 * x3, x1q = x1^2, x2q = x2^2, x3q = x3^2)
drop1(lm(retention ~ x1 + x2 + x3 + x12 + x13 + x23 + x1q + x2q + x3q, data = e), test = "F")   # x1 F = 123.97 … x3q F = 21.07

# ساکن نقطہ (stationary point) اور آئگن ویلیوز (صفحے پر جدول 4)
canonical(fit)     # xs = 0.568, −0.687, 0.883؛ اصل اکائیوں میں 50.7 منٹ، 7.9 مشقیں، 3.9 ہفتے؛ آئگن ویلیوز −1.16, −2.64, −3.71 – زیادہ سے زیادہ

# یکساں ردعمل کا نقشہ پہلے دو عوامل کے لیے، جبکہ تیسرا ساکن نقطے پر
contour(fit, ~ x1 + x2, image = TRUE, at = canonical(fit)$xs)

# ماڈلوں کا موازنہ (صفحے پر جدول 1): ایڈجسٹ شدہ R² اور PRESS
for (f in list(retention ~ FO(x1, x2, x3), retention ~ FO(x1, x2, x3) + TWI(x1, x2, x3), retention ~ SO(x1, x2, x3))) {
  m <- rsm(f, data = cd)
  cat(sprintf("%-45s adjR2 = %.3f  PRESS = %.2f\n", deparse(f), summary(m)$adj.r.squared, sum((resid(m) / (1 - hatvalues(m)))^2)))
}   # ایڈجسٹ شدہ R² .482 / .432 / .944؛ PRESS 423.72 / 625.07 / 88.27

نتائج کی رپورٹنگ

رپورٹ ایسی ہونی چاہیے کہ ڈیزائن اور تجزیہ دوبارہ تیار کیا جا سکے: ڈیزائن کی قسم (CCD، اور اس کا α؛ Box-Behnken)، عوامل اور ان کی حدیں، کوڈنگ، مرکزی نقاط (center points) اور بلاکس کی تعداد، اور رنز کی تعداد؛ منتخب ماڈل اور کیوں (عدم مطابقت (lack of fit)، ایڈجسٹ شدہ R² اور پیش گوئی کا R²)؛ عددی سروں کا جدول؛ اور اگر ہو – اصل اکائیوں میں ساکن نقطہ (stationary point)، اس پر پیش گو ردعمل اور اس کی نوعیت (آئگن ویلیوز)۔ APA (2020، سیکشن 6.43) "اتنی معلومات کہ قاری تجزیوں کی تصدیق کر سکے" مانگتا ہے۔ شکل کے اصول (سیکشن 6.36): R² اور p نقطے سے پہلے صفر کے بغیر؛ عددی سر، اوسطیں اور آئگن ویلیوز – صفر کے ساتھ۔ آؤٹ پٹ میں نتائج کا پیراگراف اسی طرح بنایا گیا ہے، اردو اور انگریزی میں؛ اور نقطہ اپنانے سے پہلے – اس پر تصدیقی رنز چلائے جاتے ہیں۔

عام غلطیاں

"ایک وقت میں ایک عامل"۔ ہر عامل کو الگ سے حرکت دی جاتی ہے اور تعاملات اور بہتری کی حقیقی سمت چھوٹ جاتی ہے – تیز ترین راستہ تمام عوامل کو ایک ساتھ بدلتا ہے، عددی سروں کے تناسب سے (Montgomery, 2020, p. 415)۔

ایسے ڈیزائن سے دوسرے درجے کا ماڈل جو اسے سہارا نہیں دیتا۔ مرکزی نقاط (center points) والے 2^k میں تمام دو درجی ارکان یکساں ہوتے ہیں، اور ان کا الگ الگ تخمینہ نہیں لگایا جا سکتا – صرف مجموعی خمیدگی کا (ص 413)۔ محوری نقاط شامل کریں۔

تجربے کے علاقے سے باہر ساکن نقطے (stationary point) کی تشریح ایسے کرنا جیسے وہ بہترین ہو۔ علاقے سے باہر ماڈل درست نہیں (ص 425)۔

صرف R² کی بنیاد پر ماڈل کا انتخاب۔ مزید ارکان کے ساتھ R² ہمیشہ بڑھتا ہے؛ ایڈجسٹ شدہ R²، پیش گوئی کا R² اور عدم مطابقت (lack of fit) بتاتے ہیں کہ اضافہ قابلِ قدر ہے یا نہیں (جدول 11.7، ص 421)۔

قدرتی مساوات میں عددی سروں کا موازنہ۔ وہ اکائیوں پر منحصر ہیں؛ موازنہ کوڈ شدہ میں کیا جاتا ہے (ص 422)۔

مرکزی نقاط (center points) ترک کرنا۔ ان کے بغیر نہ خالص خطا (pure error) ہے، نہ عدم مطابقت (lack of fit) کا ٹیسٹ، اور نہ خمیدگی کی جانچ (ص 412-413)۔

α کو گول کرنا۔ مثال 11.2 میں جدول α = 1.414 دکھاتا ہے، اور آؤٹ پٹ کا حساب √2 سے کیا گیا – اور نتائج تیسرے ہندسے میں مختلف ہیں (صفحے کی توثیق میں سامنے آیا)۔ منصوبہ بندی میں درست α رکھا جاتا ہے؛ اگر عملاً سطح گول کی گئی ہو تو وہ قدر لکھیں جو چلائی گئی۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Box اور Hunter (1957) اور Box اور Behnken (1960) – بحوالہ Montgomery (2020)۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے؛ حوالے چھپے ہوئے صفحے کے مطابق ہیں۔ Montgomery کا باب 11 صفحات کی تصاویر سے مکمل طور پر پڑھا گیا (اسکین کی متنی تہہ زیادہ تر مساوات چھوڑ دیتی ہے)۔ صفحے پر حساب کی توثیق R 4.3.3 (lm، drop1، predict، hatvalues، rstudent، cooks.distance) اور rsm پیکج (rsm، canonical، ccd، bbd) کے مقابل، اور مثالوں 11.1 اور 11.2 اور جداول 11.8 اور 11.11 کے تمام چھپے ہوئے اعداد کے مقابل کی گئی ہے۔