مکرر پیمائشوں (repeated measures) کے لیے ANOVA

کیلکولیٹر

ڈیٹا لوڈ کرنا

شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:

متغیرات اور ترتیبات

رہنما

کب استعمال کریں؟

جب وہی شرکاء تمام اوسطوں میں حصہ ڈالیں: تجربے کی تمام حالتوں میں ناپے جائیں، یا وقت کے کئی نقاط پر (Field, 2024, Section 15.2)۔ مثالیں: پروگرام سے پہلے، اس کے اختتام پر اور فالو اپ میں اضطراب؛ شور کی تین حالتوں میں ردعمل کا وقت؛ انہی لوگوں کی طرف سے انہی آئٹمز کی درجہ بندی۔ جب الگ گروہ بھی ہوں – پروگرام بمقابلہ کنٹرول – تو ڈیزائن مخلوط ہے: گروہوں کے مابین (between-subjects) ایک عامل اور شرکاء کے اندر (within-subjects) ایک عامل (ایضاً، سیکشن 16.2)۔ صرف دو پیمائشیں – صفحہ حساب کر دیتا ہے، لیکن جوڑی دار نمونوں کا t ٹیسٹ وہی فیصلہ دیتا ہے (F = t²; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 433-435) اور ساتھ ہی فرق کے لیے d اور وقفۂ اعتماد بھی۔ ہر حالت میں مختلف گروہ – یک طرفہ تغیرات کا تجزیہ (one-way ANOVA)؛ گروہوں کے مابین کئی عوامل – تجربات کی منصوبہ بندی (DOE)۔

ڈیٹا کی ساخت

چوڑی ساخت، جیسا کہ SPSS میں: ہر شریک کے لیے ایک قطار، ہر پیمائش کے لیے ایک کالم (Field, 2024, Section 15.8.1)۔ شرکاء کے اندر (within-subjects) دو عوامل میں – ہر امتزاج کے لیے ایک کالم، اس ترتیب میں کہ دوسرا عامل تیزی سے بدلتا ہے: (1,1)، (1,2)، (1,3)، (2,1)... – جیسا کہ SPSS کی ونڈو میں فہرست (ایضاً، سیکشن 15.14)۔ صفحہ فہرست کے نیچے دکھاتا ہے کہ کون سا کالم کس امتزاج کو دیا گیا، اور absent_0, absent_4... جیسے نام خودکار طور پر سطحوں کے ناموں میں توڑ دیے جاتے ہیں۔ جس شریک کی ایک پیمائش غائب ہو – وہ پورا شامل نہیں ہوتا (فہرست وار حذف (listwise deletion)، جیسا کہ SPSS)، اور صفحہ بتاتا ہے کہ کتنے شرکاء خارج ہوئے۔

منطق: تغیر کی تقسیم

کل تغیر (variance) حالتوں کے درمیان تغیر اور حالتوں کے اندر تغیر میں تقسیم ہوتا ہے، اور پھر – یہی فرق ہے – حالتوں کے اندر کا تغیر دوبارہ تقسیم ہوتا ہے: اس کا ایک حصہ شرکاء کے درمیان مستقل فرق ہے، اور اسے خطا سے نکال دیا جاتا ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 420-424)۔ جو بچتا ہے – حالتوں اور شرکاء کے درمیان تعامل – وہ F کا نسب نما ہے۔ وہاں کی مثال میں: حالتوں کے درمیان SS 84، شرکاء کے درمیان 66 اور خطا 22، اور F(2, 10) = 19.09 (ایضاً، ص 426) – صفحہ یہی اعداد دیتا ہے۔ اسی لیے شرکاء کے اندر (within-subjects) ڈیزائن زیادہ حساس ہے: Gravetter اور Wallnau کی عددی مثال میں وہی فرق الگ گروہوں میں 1.91 کا F اور مکرر پیمائشوں (repeated measures) میں 11 دیتے ہیں (ایضاً، ص 430-431)۔ شرکاء کے اندر دو عوامل والے ڈیزائن میں ہر اثر کی اپنی خطا ہوتی ہے – اثر کا شرکاء کے ساتھ تعامل (Maxwell et al., 2018, p. 673)۔

کرویت اور ε کی تصحیح

یک متغیری ٹیسٹ کرویت (sphericity) فرض کرتا ہے: یہ کہ ہر دو پیمائشوں کے درمیان فرق کا تغیر (variance) برابر ہے (Maxwell et al., 2018, p. 627; Field, 2024, Section 15.5.1)۔ دو پیمائشوں میں ایک ہی فرق ہوتا ہے، اور مفروضہ ہمیشہ پورا ہوتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 628)۔ وقت کے ساتھ پیمائشوں میں یہ اکثر ٹوٹ جاتا ہے – قریبی پیمائشیں دور کی پیمائشوں سے زیادہ ہم بستہ ہوتی ہیں – اور تب قسم اول کی خطا کی شرح .05 کے بجائے .10 یا .15 تک پہنچ سکتی ہے (ایضاً، ص 629-630)۔

حل: ٹیسٹ کے درجاتِ آزادی کو ε سے ضرب دینا، جو کرویت (sphericity) سے انحراف کی حد کا تخمینہ ہے – جب یہ پوری ہو تو 1، اور سب سے بڑے انحراف میں 1/(k − 1) تک (ibid., p. 630; Field, 2024, Sections 15.5.2, 15.5.4)۔ F خود نہیں بدلتا، صرف p بدلتا ہے۔ چار اختیارات، نرم ترین سے محتاط ترین تک: بغیر تصحیح، Huynh-Feldt، Greenhouse-Geisser اور نچلی حد۔ Maxwell اور ان کے ساتھی "سمجھتے ہیں کہ کبھی استعمال نہیں کرنا چاہیے" غیر تصحیح شدہ ٹیسٹ (2018، ص 632)، ان کی عمومی سفارش Greenhouse-Geisser ہے، کیونکہ Huynh-Feldt ممکن ہے خطا کی شرح برقرار نہ رکھے (ایضاً، ص 634)، اور نچلی حد حد سے زیادہ محتاط ہے (ایضاً)۔ Field (2024، سیکشن 15.5.4) عام قاعدہ بھی پیش کرتا ہے – جب تخمینہ .75 سے اوپر ہو تو Huynh-Feldt – اور دونوں کی اوسط لینے کا امکان بھی۔ صفحہ Greenhouse-Geisser کے مطابق رپورٹ کرتا ہے، اور کوئی اور انتخاب بھی کیا جا سکتا ہے۔

Mauchly: کرویت (sphericity) کے مفروضے کے لیے معنویت کا ٹیسٹ۔ Field سفارش کرتا ہے کہ اس پر انحصار نہ کیا جائے: یہ نمونے کے حجم پر منحصر ہے – بڑے نمونے میں نہ ہونے کے برابر انحراف پر بھی معنی خیز، اور چھوٹے میں بڑے انحراف پر بھی غیر معنی خیز – اس لیے بہتر ہے کہ ہمیشہ ε کے مطابق تصحیح کی جائے (2024، سیکشن 15.5.2)۔ Maxwell اور ان کے ساتھی بھی لکھتے ہیں کہ ابتدائی ٹیسٹ کے طور پر اس کی "بہت کم قدر" ہے (2018، ص 629)۔ صفحہ اسے اس لیے دکھاتا ہے کہ SPSS اسے دکھاتا ہے۔

کثیر متغیری طریقہ

ایک اور راستہ، جو کرویت (sphericity) بالکل فرض نہیں کرتا: k پیمائشوں کو k − 1 فرق کے متغیرات میں بدلنا اور جانچنا کہ کیا ان سب کی اوسطیں صفر ہیں – کثیر متغیری تغیرات کا تجزیہ (Maxwell et al., 2018, pp. 728, 741; Field, 2024, Section 15.5.4)۔ SPSS چار ٹیسٹ چھاپتا ہے: Pillai، Wilks، Hotelling اور Roy۔ خالص شرکاء کے اندر (within-subjects) اثر میں یہ ہمیشہ یکساں ہوتے ہیں (Maxwell et al., 2018, pp. 832-833)؛ جب مختلف ہوں تو Pillai سب سے زیادہ مضبوط ہے (ایضاً، ص 829)۔ Pallant (2020، باب 18) ہمیشہ کثیر متغیری ٹیسٹ پڑھتی ہیں۔

کون سا بہتر ہے؟ کثیر متغیری ٹیسٹ اس وقت درست ہے جب تقسیم نارمل ہو، لیکن چھوٹے نمونوں میں کمزور ہے، اور جب شرکاء پیمائشوں سے کم ہوں تو ناممکن ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 775-777)۔ Algina اور Keselman کا قاعدہ (1997, as cited in Maxwell et al., 2018, p. 776): کثیر متغیری جب 4 تک پیمائشیں ہوں، ε ≤ .90 اور کم از کم k + 15 شرکاء ہوں، یا 5-8 پیمائشیں، ε ≤ .85 اور کم از کم k + 30؛ ورنہ – تصحیح کے ساتھ یک متغیری۔ قاعدہ آبادی میں ε سے متعلق ہے، اور نمونے کے تخمینے کی بنیاد پر انتخاب "مسئلہ پیدا کر سکتا ہے" (ایضاً)۔ خلاصے میں Maxwell اور ان کے ساتھی کثیر متغیری طریقے کو "معمولی برتری" دیتے ہیں (ایضاً، ص 778)۔ آؤٹ پٹ میں "نتیجے کی تشریح" آپ کے ڈیٹا پر یہ قاعدہ لاگو کرتی ہے۔

مخلوط ڈیزائن

جب گروہوں کے مابین (between-subjects) عامل بھی ہو تو ٹیسٹوں کی دو قسمیں ہوتی ہیں (Maxwell et al., 2018, pp. 691-693)۔ گروہوں کے مابین اثر گروہوں کے اندر شرکاء کے درمیان تغیر (variance) کے مقابل جانچا جاتا ہے – یہ ہر شریک کی اوسط پر یک طرفہ تغیرات کے تجزیے کے مساوی ہے، اور کرویت (sphericity) اس سے متعلق نہیں (ایضاً، ص 692، 706)۔ شرکاء کے اندر (within-subjects) اثر اور گروہ کے ساتھ تعامل گروہوں کے اندر شرکاء کے ساتھ شرکاء کے اندر عامل کے تعامل کے مقابل جانچے جاتے ہیں۔ تعامل عموماً اصل سوال ہوتا ہے: کیا وقت کے ساتھ تبدیلی پروگرام اور کنٹرول میں مختلف ہے؟ اسے سب سے پہلے رپورٹ کیا جاتا ہے (Pallant, 2020, Chapter 20)۔

ایک اور مفروضہ (assumption): یہ کہ پیمائشوں کے ہم تغیر کے میٹرکس (covariance matrices) گروہوں میں برابر ہوں۔ جب گروہ حجم میں برابر ہوں تو ٹیسٹ اس کی خلاف ورزی کے مقابلے میں مضبوط ہیں (Maxwell et al., 2018, p. 704)۔ SPSS اسے Box's M سے جانچتا ہے؛ Pallant (2020، باب 20) تجویز کرتی ہیں کہ اسے α = .001 پر پڑھا جائے کیونکہ یہ بہت حساس ہے، اور Maxwell اور ان کے ساتھی (2018، ص 840) سمجھتے ہیں کہ اس کا عملی فائدہ کم ہے۔ صفحہ اسے اور ہر پیمائش کے لیے لیوین ٹیسٹ کو دکھاتا ہے۔

تقابلات، جوڑی وار موازنے اور سادہ اثرات

F ٹیسٹ بتاتا ہے کہ فرق ہے، یہ نہیں کہ کہاں۔ آگے بڑھنے کے تین طریقے – اور سوال کے مطابق ان میں سے ایک چنا جاتا ہے (Field, 2024, Sections 15.9.5, 15.15.3):

منصوبہ بند تقابلات (contrasts) – پہلے سے طے شدہ سوالات: وقت کے ساتھ لکیری یا دو درجی رجحان (کثیر رکنی، SPSS میں طے شدہ)، ہر حالت بمقابلہ بنیادی حالت (سادہ)، یا ہر سطح بمقابلہ اگلی (تکراری) (ایضاً، سیکشن 15.8.2)۔ یہاں یہ ضروری ہے کہ ہر تقابل کو اس کی اپنی خطا کے ساتھ جانچا جائے – تقابل کے اسکورز کا تغیر (variance) – نہ کہ مشترکہ خطا کے ساتھ، جو کرویت (sphericity) فرض کرتی ہے؛ تقابلات کرویت کی خلاف ورزی کے لیے مجموعی ٹیسٹ سے کہیں زیادہ حساس ہیں (Maxwell et al., 2018, pp. 638-639)۔ صفحہ یہی کرتا ہے، اور SPSS بھی۔

جوڑی وار موازنے – پیمائشوں کا ہر جوڑا، بونفیرونی تصحیح کے ساتھ۔ مکرر پیمائشوں (repeated measures) میں یہی سفارش ہے، نہ کہ Tukey، جو کرویت (sphericity) نہ ہونے پر خطا کی شرح برقرار نہیں رکھتا (Maxwell et al., 2018, pp. 757-758; Field, 2024, Section 15.5.3)۔

سادہ اثرات (simple effects) – جب تعامل ہو: ایک عامل کا اثر دوسرے کی ہر سطح پر – مثلاً وقت کے ساتھ تبدیلی پروگرام میں الگ اور کنٹرول میں الگ (Field, 2024, Section 15.15.3)۔ ہر ایسا اثر ایک اضافی ٹیسٹ ہے؛ Field سفارش کرتا ہے کہ تعامل کو جتنا ممکن ہو کم ٹیسٹوں میں توڑا جائے اور ان کی تعداد کے لیے تصحیح کی جائے (ایضاً)۔

اثر کے حجم

SPSS جزوی ایٹا مربع (partial eta squared) چھاپتا ہے: SS_اثر/(SS_اثر + SS_خطا) – شرکاء کے درمیان فرق نسب نما میں نہیں ہوتے (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427)۔ اسی لیے یہ بڑا ہوتا ہے، اور گروہوں کے مابین (between-subjects) تحقیق کے ایٹا مربع سے قابلِ موازنہ نہیں۔ Maxwell اور ان کے ساتھی (2018، ص 634-635) اومیگا مربع (omega squared) کو ترجیح دیتے ہیں جو شرکاء کے درمیان تغیر (variance) کو نسب نما میں رکھتا ہے، جیسا کہ گروہوں کے مابین تحقیق میں – "اسے نظر انداز نہ کرنا مناسب معلوم ہوتا ہے" (ایضاً، ص 635) – اور یہ نمونے کے بجائے آبادی کا تخمینہ لگاتا ہے۔ وہاں McCarthy کی مثال میں: ω² = .04 (ایضاً)، جبکہ انہی ڈیٹا کا جزوی ایٹا مربع .22 ہے۔ صفحہ دونوں دکھاتا ہے، اور اومیگا مربع – ان ڈیزائنوں میں جن کے لیے کتاب میں فارمولا ہے (شرکاء کے اندر (within-subjects) ایک یا دو عوامل، یا گروہوں کے مابین عامل کے ساتھ ایک؛ ایضاً، مساوات 11.35، 12.6 اور 12.22-12.24)۔ تقابل (contrasts) اور جوڑی وار موازنے کے لیے d نکالا جا سکتا ہے (جوڑی دار نمونوں کا t ٹیسٹ)۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

جداول SPSS کی ترتیب میں: اوسطیں؛ کرویت (Mauchly اور ε)؛ منتخب تصحیح کے مطابق شرکاء کے اندر (within-subjects) ٹیسٹ؛ ایک جدول جو چاروں طریقوں میں p کا موازنہ کرتا ہے؛ کثیر متغیری ٹیسٹ؛ مخلوط ڈیزائن میں – گروہوں کے مابین (between-subjects) ٹیسٹ، لیوین اور Box's M؛ تقابلات (contrasts)؛ حاشیائی اوسطیں؛ جوڑی وار موازنے؛ سادہ اثرات (simple effects)؛ اور ایک شکل۔ پہلے تعامل پڑھا جاتا ہے، پھر بنیادی اثرات۔ "نتیجے کی تشریح" اس طرف اشارہ کرتی ہے جو آپ کے معاملے میں اہم ہے – کرویت سے انحراف کی حد، یک متغیری یا کثیر متغیری، اور تعامل۔

مفروضات

عام تغیرات کے تجزیے کے مفروضات (assumptions) – شرکاء کے درمیان آزادی، نارملٹی (خاص طور پر چھوٹے نمونے میں) اور تغیرات کی یکسانیت – اور ایک اور: "ہم تغیر (covariance) کی یکسانیت"، یعنی شرکاء حالتوں کے درمیان کم و بیش اپنی نسبتی جگہ برقرار رکھتے ہیں (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 428)۔ اس کی درست صورت میں – کرویت (اوپر)۔ مخلوط ڈیزائن میں – گروہوں کے درمیان برابر میٹرکس بھی (Maxwell et al., 2018, p. 704)۔ جب مفروضات پورے نہ ہوں: تراشیدہ اوسطوں پر مضبوط ٹیسٹ (R میں WRS2 پیکج میں rmanova؛ Field, 2024، سیکشن 15.10)، آخری چارے کے طور پر فریڈمین ٹیسٹ (ایضاً، سیکشن 15.7)، یا کثیر سطحی ماڈل (ایضاً، سیکشن 15.5.4)۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

Analyze → General Linear Model → Repeated Measures: شرکاء کے اندر عامل اور سطحوں کی تعداد مقرر کی جاتی ہے، کالموں کو ترتیب سے رکھا جاتا ہے، اور اگر ہو تو گروہوں کے مابین (between-subjects) عامل شامل کیا جاتا ہے (Field, 2024, Sections 15.8, 16.5; Pallant, 2020, Chapters 18, 20)۔ Options میں – توضیحات، اثر کا حجم، اور مخلوط ڈیزائن میں یکسانیت کے ٹیسٹ؛ EM Means میں – بونفیرونی کے ساتھ بنیادی اثرات کا موازنہ۔ متعلقہ جدول: Tests of Within-Subjects Effects، Greenhouse-Geisser کی قطار میں (Field, 2024, Section 15.9)۔ صفحہ تیار سنٹیکس ڈاؤن لوڈ کرتا ہے (GLM ... /WSFACTOR)۔ PSPP میں GLM کے ذریعے مکرر پیمائشیں نہیں چلتیں، اس لیے سنٹیکس اس میں نہیں جانچا گیا۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

SPSS سے قریب ترین طریقہ: کثیر متغیری ماڈل (ردعمل کے میٹرکس کے ساتھ lm) اور idata و idesign کے ساتھ car::Anova – یہ کثیر متغیری ٹیسٹ، یک متغیری ٹیسٹ، Mauchly اور تصحیحات دیتا ہے؛ emmeans – حاشیائی اوسطیں اور موازنے۔ SPSS سے دو چھوٹے فرق: R میں Mauchly دوسرے درجے کا رکن شامل کرتا ہے، اور car پیکج میں Huynh-Feldt گروہ ہونے پر ایک مختلف تصحیح سے نکالا جاتا ہے۔ نیچے کا اسکرپٹ مثال کی فائل پر جوں کا توں چلایا گیا (قدریں تبصروں میں)۔

# مکرر پیمائشوں (repeated measures) کے لیے ANOVA، R میں – صفحے کی مثال کی فائل (36 طلبہ، پروگرام/کنٹرول × امتحانی اضطراب کی تین پیمائشیں)
library(car)       # کثیر متغیری ماڈل پر Anova
library(emmeans)   # حاشیائی اوسطیں اور موازنے
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # قسم III کے لیے لازمی

d <- data.frame(group = factor(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), labels = c("program", "control")),
                pre = c(46, 53, 34, 59, 59, 50, 39, 39, 41, 61, 38, 79, 60, 59, 68, 75, 55, 43, 38, 51, 48, 44, 56, 51, 64, 51, 44, 60, 60, 61, 33, 48, 45, 39, 52, 32),
                post = c(48, 34, 39, 48, 53, 42, 32, 27, 25, 41, 44, 65, 54, 59, 51, 67, 39, 38, 40, 46, 47, 59, 45, 54, 64, 55, 55, 64, 50, 56, 30, 39, 46, 43, 50, 30),
                followup = c(34, 45, 27, 42, 55, 43, 41, 42, 40, 55, 45, 67, 55, 57, 51, 70, 44, 36, 37, 51, 53, 52, 54, 64, 78, 50, 49, 62, NA, 53, 37, 53, 47, 47, 51, 30))
d <- na.omit(d)                                     # فہرست وار حذف (listwise deletion): 35 باقی رہتے ہیں
fit <- lm(cbind(pre, post, followup) ~ group, data = d)
idata <- data.frame(time = factor(1:3))
av <- Anova(fit, idata = idata, idesign = ~ time, type = 3)
summary(av, multivariate = TRUE)
# وقت (time): F(2, 66) = 5.94, GG eps = .94
# تعامل (group:time): F(2, 66) = 9.46, p (GG) = .0003
# تعامل کے لیے Pillai: V = .42, F(2, 32) = 11.50

ml <- list(time = c("pre", "post", "followup"))
pairs(emmeans(fit, ~ time | group, mult.name = "time", mult.levs = ml), adjust = "bonferroni")
# پروگرام میں: pre - post = 8.44 (p = .0001)

نتائج کی رپورٹنگ

ڈیزائن، کون سی تصحیح کی گئی اور ε رپورٹ کیے جاتے ہیں، اور ہر اثر کے لیے تصحیح شدہ درجاتِ آزادی کے ساتھ F (مثلاً F(1.60, 11.19))، p اور اثر کا حجم – اور بتایا جاتا ہے کہ کون سا (Field, 2024, Section 15.12)۔ جب کثیر متغیری ٹیسٹ رپورٹ کیا جائے – Pillai (V) اور اس کا F (ایضاً؛ Pallant, 2020، باب 18 – وہاں Wilks)۔ اوسطیں اور معیاری انحراف – جدول میں۔ مخلوط ڈیزائن میں – تعامل سب سے پہلے (Pallant, 2020, Chapter 20)۔ صفحہ ایسا پیراگراف اردو اور انگریزی میں لکھتا ہے۔

عام غلطیاں

مکرر پیمائشوں (repeated measures) کا تجزیہ ایسے کرنا جیسے وہ الگ گروہ ہوں – شرکاء کے درمیان فرق خطا میں رہ جاتے ہیں، اور ٹیسٹ اپنی زیادہ تر برتری کھو دیتا ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 430-431)۔

غیر تصحیح شدہ قطار پڑھنا – "Sphericity Assumed" – کرویت (sphericity) جانچے بغیر (Maxwell et al., 2018, p. 632)۔

Mauchly کی بنیاد پر تصحیح کا فیصلہ کرنا – یہ ٹیسٹ نمونے کے حجم پر منحصر ہے؛ تصحیح ε کے مطابق کی جاتی ہے (Field, 2024, Section 15.5.2)۔

یہ دیکھ کر کہ کون سا معنی خیز ہے، Greenhouse-Geisser اور Huynh-Feldt میں سے انتخاب کرنا – Field (2024، سیکشن 15.9.3) دکھاتا ہے کہ انہی ڈیٹا میں ایک .063 دیتا ہے اور دوسرا .048؛ فیصلہ پہلے سے طے ہونا چاہیے، اور اہم چیز اثر کا حجم ہے۔

Tukey یا مشترکہ خطا کے ساتھ تقابلات (contrasts) – دونوں کرویت (sphericity) فرض کرتے ہیں؛ بونفیرونی اور ہر تقابل کے لیے الگ خطا (Maxwell et al., 2018, pp. 639, 757-758)۔

مکرر پیمائشوں (repeated measures) کے جزوی ایٹا مربع کا گروہوں کے مابین (between-subjects) تحقیق کے جزوی ایٹا مربع سے موازنہ کرنا – نسب نما مختلف ہیں (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427; Maxwell et al., 2018, p. 635)۔

کنٹرول گروہ کے بغیر وقت کے ساتھ تبدیلی سے علیت اخذ کرنا – ترتیب کے اثرات جیسے مشق، اکتاہٹ اور تھکاوٹ اس کی وضاحت کر سکتے ہیں (Field, 2024, Section 1.6.5; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 430)؛ حالتوں میں – قرعہ اندازی سے ترتیب کو متوازن کیا جائے (Field، ایضاً؛ صفحہ متغیرات، پیمائش کی سطحیں اور تحقیقی ڈیزائن)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Algina اور Keselman (1997) – بحوالہ Maxwell اور ساتھی (2018)؛ Girden (1992) اور دیگر – بحوالہ Field (2024)۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے۔ Field (2024) اور Pallant (2020) ڈیجیٹل ری فلو ایبل نسخے میں – حوالہ سیکشن اور باب کے مطابق؛ Maxwell اور ساتھی (2018) اور Gravetter و Wallnau (2017) – چھپے ہوئے صفحے کے مطابق۔ سائٹ کے ضابطے: چوڑی ساخت اور فہرست وار حذف (listwise deletion)، جیسا کہ SPSS؛ رپورٹنگ میں Greenhouse-Geisser بطور طے شدہ (default)؛ Huynh-Feldt اصل فارمولے میں، جیسا کہ SPSS؛ قسم III اور غیر وزنی حاشیائی اوسطیں؛ جداول میں نقطے کے بعد دو ہندسے۔ حساب کی توثیق R 4.3.3 (car، emmeans) کے مقابل اور چھپے ہوئے اعداد کے مقابل کی گئی ہے: Maxwell اور ساتھیوں کے ہاں – جداول 11.5، 12.1، 12.7 اور 12.15 (12.5، 12.19 اور ε کے تخمینوں کے ساتھ)، 13.2 اور 14.9؛ Gravetter اور Wallnau کے ہاں – جدول 13.2 اور شکل 13.4 میں SPSS کا آؤٹ پٹ؛ اور Field (2024) اور Pallant (2020) میں SPSS کے پرنٹ آؤٹس سے موازنہ کر کے۔