تصادفی عوامل (random factors)، نیسٹڈ (nested) اور اسپلٹ پلاٹ

مستقل یا تصادفی؟

فرق خود عامل میں نہیں بلکہ سوال میں ہے۔ مستقل عامل – تجربے کی سطحیں بالکل وہی ہیں جن میں ہماری دلچسپی ہے، اور "استنباط کا دائرہ جانچی گئی سطحوں کا مخصوص مجموعہ ہے" (Montgomery, 2020, p. 493)۔ تصادفی عامل – سطحیں "سطحوں کی ایک بڑی آبادی میں سے تصادفی طور پر چنی گئیں، اور محقق پوری آبادی کے بارے میں استنباط کرنا چاہتا ہے" (ایضاً)۔ Maxwell، Delaney اور Kelley (2018) اسے نقل (replication) کے ذریعے بیان کرتے ہیں: مستقل عامل وہ ہے جس کی وہی سطحیں تحقیق کی نقل میں بھی شامل ہوتیں؛ تصادفی میں مقصد ہے "چند مخصوص سطحوں کے اثرات تک نہیں، بلکہ سطحوں کی اس آبادی تک تعمیم کرنا جس کی چنی گئی سطحیں محض نمائندگی کرتی ہیں" (ص 548)۔ ایسے عوامل "چلائے" جانے سے زیادہ "نمونے کے طور پر لیے" جاتے ہیں (ص 549): اسکول، جماعتیں، معالج، آپریٹر، بیچ، دن – اور سب سے عام تصادفی عامل، خود شرکاء (ص 547)۔

جب اسکول حقیقی تصادفی نمونہ نہ بھی ہوں – مثلاً وہ جنہوں نے شرکت پر رضامندی دی – سوال یہ ہے کہ کیا نتیجہ صرف انہی پر لاگو ہونا چاہیے۔ اگر ہاں، تو عامل مستقل ہے؛ اگر "عمومی طور پر اسکولوں" کی بات کرنی ہو – تصادفی (Maxwell et al., 2018, p. 549)۔ اور سہولت کی بنا پر چنے گئے گروہوں کے بارے میں Murray اور Blitstein (2003، بحوالہ Maxwell et al.، 2018، ص 607) لکھتے ہیں کہ گروہ کو تصادفی اثر کے طور پر متعین کرنا نہ صرف جائز بلکہ "ضروری" ہے۔ کسی تصادفی عامل کو نظر انداز کرنا، یا اسے مستقل کے طور پر متعین کرنا، "بعض ٹیسٹوں کو اوپر کی طرف متعصب کر سکتا ہے" (ص 551)۔

ایک تصادفی عامل: تغیر کے اجزاء اور گروہ کے اندر ہم بستگی

یک طرفہ تصادفی ماڈل، y_ij = μ + τ_i + ε_ij، میں اثرات τ_i ایک تصادفی متغیر ہیں جس کا تغیر σ²_τ ہے، اور ایک مشاہدے کا تغیر σ²_τ + σ² ہے – "تغیر کے اجزاء" (Montgomery, 2020, p. 101)۔ حساب عام تغیرات کے تجزیے جیسا ہے، "تاہم نتائج بالکل مختلف ہیں" (ص 103): مفروضہ H₀: σ²_τ = 0 ہے، سطحوں کی پوری آبادی پر۔ توقعات E(MS_Tr) = σ² + nσ²_τ اور E(MS_E) = σ² سے تخمینے σ̂² = MS_E اور σ̂²_τ = (MS_Tr − MS_E)/n نکلتے ہیں (مساوات 3.48-3.51، ص 103)۔

خود σ²_τ کا کوئی درست وقفۂ اعتماد نہیں (ص 106)، لیکن تناسب σ²_τ/(σ²_τ + σ²) – گروہ کے اندر ہم بستگی (ICC) – کا ہے (مساوات 3.56-3.57، ص 106)، اور صفحہ اس کا حساب کرتا ہے۔ ICC "تغیر کے اس تناسب کی نشان دہی کرتا ہے جو تصادفی عامل سے منسوب ہے" (Maxwell et al., 2018, p. 547)، اور یہ مستقل اثرات کے ω² کے مماثل ہے (ص 565)۔ Montgomery کی کرگھوں والی مثال (مثال 3.10) میں – ICC .38 اور .98 کے درمیان (ص 106)۔ اسکولوں میں تعلیمی کامیابی کے ڈیٹا میں عام ICC .15-.25 ہوتا ہے (Hedges & Hedberg، 2007، بحوالہ Maxwell et al.، 2018، ص 608)۔

اوسط مربعوں کی توقعات: مخرج کیسے چنا جاتا ہے

عام تغیرات کے تجزیے میں ہر ٹیسٹ باقیہ (residual) کے مقابل ہوتا ہے۔ جب کوئی تصادفی عامل ہو تو یہ درست نہیں رہتا: "جب ڈیزائن میں کوئی تصادفی عامل ہو تو دوسرے عامل کے ساتھ اس کا ہر تعامل دوسرے عامل کے مرکزی اثر کے اوسط مربع پر اثر ڈالتا ہے" (Maxwell et al., 2018, p. 555)۔ مثلاً نصاب (مستقل) × اسکول (تصادفی): اگر نصاب کچھ اسکولوں میں بہتر کام کرتا ہے، تو نمونے میں نصابوں کے درمیان فرق اس پر منحصر ہے کہ کون سے اسکول نمونے میں آئے – اور باقیہ کے مقابل ٹیسٹ "بہت بڑی F قدریں دیتا ہے، الا یہ کہ آبادی میں تعامل بالکل صفر ہو" (ص 558)۔

آلہ ہر جزو کی اوسط مربع کی توقع E(MS) ہے۔ Montgomery (2020، سیکشن 13.4، ص 505-507) ہر متوازن ڈیزائن کے لیے اصول دیتا ہے – متقاطع، نیسٹڈ یا مخلوط: کسی جزو کی توقع σ² ہے، جمع اس کا اپنا جزوِ تغیر، جمع ان تمام تصادفی اجزاء کے اجزائے تغیر جو اسے شامل کرتے ہیں؛ "ہر جزو کا عددی سر اس کی ہر الگ قدر میں مشاہدات کی تعداد ہے" (ص 506)۔ F کو اس طرح بنایا جاتا ہے کہ شمار کنندہ اور مخرج "صرف اسی جزو یا مستقل عامل میں مختلف ہوں جس میں ہماری دلچسپی ہے" (ص 505)۔ صفحہ ان اصولوں کو بالکل اسی طرح لاگو کرتا ہے، اور توقعات کو جدول 2 میں دکھاتا ہے – اور انہیں کتاب کے جداول 13.10، 14.1، 14.11 اور 14.17 سے ملایا جا سکتا ہے۔ Maxwell et al. (2018) ایک عملی اصول میں خلاصہ کرتے ہیں: "خود اثر کے علاوہ، توقع میں حصہ ڈالنے والے صرف تصادفی عوامل کے ساتھ تعاملات یا نیسٹڈ تصادفی اثرات ہیں" (ص 593)۔

مخلوط ماڈل: محدود یا غیر محدود؟

جب مستقل عامل A تصادفی عامل B کے ساتھ متقاطع ہو، تو تعامل کی دو صورتیں ہیں۔ محدود ماڈل میں B کی ہر سطح پر A کی سطحوں پر تعامل کے اثرات کا مجموعہ صفر ہوتا ہے (Montgomery, 2020, Equation 13.8, p. 500)؛ تب E(MS_B) = σ² + anσ²_β، اور B کی جانچ باقیہ کے مقابل ہوتی ہے۔ غیر محدود ماڈل میں ایسی کوئی پابندی نہیں (ص 502)؛ تب E(MS_B) میں تعامل بھی شامل ہوتا ہے، اور B کی جانچ MS_AB کے مقابل ہوتی ہے (ص 503)۔ مستقل عامل کا ٹیسٹ دونوں میں یکساں ہے۔

Montgomery "محدود ماڈل کو ترجیح دیتا ہے" اور بتاتا ہے کہ یہ "دراصل تھوڑا زیادہ عمومی ہے" (ص 503)؛ Maxwell et al. (2018) "غیر محدود طریقے کو رد کرتے ہیں"، کیونکہ اس میں تصادفی عامل پر صفری مفروضے کا مطلب اب یہ نہیں رہتا کہ حاشیائی اوسطیں برابر ہیں (ص 606)۔ دوسری طرف، JMP اور Minitab (طے شدہ طور پر) غیر محدود ماڈل میں کام کرتے ہیں (Montgomery, 2020, p. 504)، اور R میں lmer بھی؛ اور Maxwell et al. (2018) کے مطابق – SPSS اور SAS بھی (ص 605-606)۔ اس لیے صفحے پر طے شدہ (default) ماڈل محدود ہے، غیر محدود ماڈل کے لیے سوئچ کے ساتھ؛ "نتیجے کی تشریح" بتاتی ہے کہ تبدیلی پر کون سے ٹیسٹ بدلتے ہیں۔ دونوں ماڈلوں میں اجزاء کا تعلق: σ²_β = σ²_γ + σ²_αγ/a – کتاب (ص 503) میں فارمولا الٹا چھپا ہے (دریافت E3، آگے دیکھیں)؛ مثال 13.2 میں: 10.2798 + (−0.1399)/3 = 10.2332۔

جب کوئی درست ٹیسٹ نہ ہو: تخمینی F

دو یا زیادہ تصادفی عوامل کے ساتھ بعض اوقات ایسا کوئی ایک اوسط مربع نہیں ہوتا جس کی توقع موزوں ہو۔ تب ایک امتزاج بنایا جاتا ہے: شمار کنندہ میں MS' = MS_r + … + MS_s اور مخرج میں MS'' = MS_u + … + MS_v، اس طرح کہ توقعات کا فرق بالکل وہی جزو ہو جس کی جانچ ہو رہی ہے، اور F = MS'/MS'' تقریباً F کی تقسیم رکھتا ہے Satterthwaite کے درجاتِ آزادی کے ساتھ (1946, as cited in Montgomery, 2020): ہر طرف کے لیے p = (ΣMS)²/Σ(MS²/f) (مساوات 13.14-13.18، ص 509)۔ اوسط مربعوں کو منفی بھی کیا جا سکتا ہے، لیکن Montgomery ایسے امتزاج کو ترجیح دیتا ہے "جس میں منفی عددی سر والے اوسط مربع نہ ہوں" (ص 512) – اور صفحہ ہمیشہ ایسا امتزاج بناتا ہے، اور سب سے مختصر کو چنتا ہے۔ مثال 13.5 (دباؤ میں کمی) میں درجۂ حرارت کا ٹیسٹ (MS_A + MS_ABC)/(MS_AB + MS_AC) = 2.22 ہے 2.11 اور 7.88 درجاتِ آزادی کے ساتھ (ص 511-512)، اور Minitab، جو منفی کرتا ہے، 2.30 حاصل کرتا ہے۔ یہ ٹیسٹ "صرف تقریباً F کی تقسیم رکھتا ہے" (Maxwell et al., 2018, p. 560)۔

یکجائی (pooling)۔ ایک متبادل یہ ہے کہ نہ ہونے کے برابر تعامل کو ماڈل سے نکال کر باقیہ میں شامل کر دیا جائے۔ لیکن ڈیٹا کی بنیاد پر تعامل کا فیصلہ "خطرناک ہو سکتا ہے"، کیونکہ یہ دونوں قسم کی خطاؤں کی زد میں ہے (Montgomery, 2020, p. 508)۔ عملی اصول: "اگر اصل خطا کے اوسط مربع کے چھ یا زیادہ درجاتِ آزادی ہوں – یکجا نہ کریں"؛ ورنہ صرف اس صورت میں جب جزو کا F کسی بلند α، جیسے 0.25، پر معنی خیز نہ ہو (ص 509)۔ Maxwell et al. (2018) مزید کہتے ہیں کہ محتاط طریقہ یہ ہے کہ ابتدائی ٹیسٹ کے نتیجے سے قطع نظر تعامل کو مخرج کے طور پر استعمال کیا جاتا رہے (ص 562)، اور قوت بڑھانے کا سب سے عملی طریقہ بس تصادفی عامل میں سطحیں بڑھانا ہے (ص 563)۔ صفحے پر یکجائی کے لیے اجزاء ترتیبات میں نشان زد کیے جاتے ہیں۔

نیسٹڈ (nested) عوامل

"کوئی عامل کسی دوسرے عامل میں نیسٹڈ ہے اگر اس کی ہر سطح دوسرے عامل کی صرف ایک سطح کے ساتھ آتی ہو" (Maxwell et al., 2018, p. 573): اسکولوں میں جماعتیں، سپلائرز کے ہاں بیچ، علاج کے طریقوں میں معالج۔ Montgomery کا عملی ٹیسٹ: "اگر عامل کی سطحوں کو من مانے طور پر دوبارہ نمبر دیا جا سکے" – سپلائر الف کا بیچ 1 اور سپلائر ب کا بیچ 1 ایک ہی بیچ نہیں – "تو عامل نیسٹڈ ہے" (2020، ص 519)۔ اس لیے نیسٹڈ عامل اور اس عامل کے درمیان جس کے اندر وہ ہے کوئی تعامل نہیں (ص 519)، اور اس کا مربعوں کا مجموعہ ہر والد سطح کے اندر اس کی سطحوں کے فرقوں کا مجموعہ ہے (ص 521)۔ صفحے پر نیسٹڈ سطحوں کو ہر والد سطح میں دوبارہ نمبر دیا جا سکتا ہے (ہر سپلائر میں 1-4) یا مسلسل (1-12)؛ جب نمبرنگ مسلسل ہو تو صفحہ نیسٹنگ خود پہچان لیتا ہے۔

نیسٹڈ عامل عموماً تصادفی ہوتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 574)، اور تب وہ اپنے اوپر والے عامل کا مخرج ہوتا ہے: علاج کے طریقوں کا موازنہ معالجین کے درمیان تغیر کے مقابل جانچا جاتا ہے، شرکاء کے درمیان نہیں – "یہ سوال کہ آیا مرد زیرِ تربیت افراد خواتین زیرِ تربیت افراد سے مختلف درجہ بندی کرتے ہیں، زیرِ تربیت افراد کے درمیان تغیر کے لحاظ سے مناسب طور پر جواب پاتا ہے" (ص 583)۔ یہی ان تحقیقات میں ہے جن میں پوری جماعتیں حالتوں میں تفویض کی جاتی ہیں (ص 575)۔ Wampold اور Serlin (2000، بحوالہ Maxwell et al.، 2018، ص 590) دکھاتے ہیں کہ .3 کے ICC والے نیسٹڈ تصادفی عامل کو نظر انداز کرنا قسم I کی خطا کی شرح کو تین گنا یا اس سے زیادہ بڑھا سکتا ہے۔ نیسٹڈ ڈیزائن کا تجزیہ گویا وہ متقاطع ہو ایک بے معنی "تعامل" پیدا کرتا ہے؛ متقاطع تجزیے کا SS_B + SS_A×B بالکل SS_B(A) ہے (Montgomery, 2020, pp. 522-524)۔ مخلوط ڈیزائن – کچھ عوامل متقاطع اور کچھ نیسٹڈ، جیسے مثال 14.2 میں (فکسچرز × ترتیبیں، آپریٹر ترتیب میں نیسٹڈ) – انہی اصولوں سے تجزیہ کیے جاتے ہیں (ص 530-534)۔

اسپلٹ پلاٹ

بعض اوقات "رنز کو مکمل طور پر تصادفی ترتیب میں چلانا ممکن نہیں ہوتا" (Montgomery, 2020, p. 534)۔ کاغذ کی کھنچاؤ کی مضبوطی والی مثال (سیکشن 14.4) میں گودے کی تیاری کے تین طریقے چار درجۂ حرارت پر جانچے جاتے ہیں: ایک طریقے سے بیچ تیار کیا جاتا ہے، اسے چار حصوں میں تقسیم کیا جاتا ہے اور ہر حصے کو مختلف درجۂ حرارت پر پکایا جاتا ہے – 36 کے بجائے "کل نو بیچ" (ص 535)۔ بیچ مرکزی قطعہ (whole plot) ہے، طریقہ – مرکزی قطعے کا عامل، اور ہر حصہ – ذیلی قطعہ (ص 535)۔ اصول: "جن عوامل کو بدلنا مشکل ہو وہ مرکزی قطعات بناتے ہیں، اور آسان والے – ذیلی قطعات" (ص 539)۔ ڈیزائن میں دو خطائیں ہیں: مرکزی قطعے کے عامل کی جانچ تکرار × مرکزی قطعے کا عامل (مرکزی قطعے کی خطا) کے مقابل ہوتی ہے، اور ذیلی قطعے کے عامل اور تعامل کی – ذیلی قطعے کی خطاؤں کے مقابل، جو عموماً چھوٹی ہوتی ہیں، "کیونکہ ذیلی قطعات زیادہ یکساں ہوتے ہیں" (ص 537)۔ اس لیے "جس عامل میں ہماری زیادہ دلچسپی ہو اسے ذیلی قطعات میں رکھنا بہتر ہے" (ص 535)۔

مکمل ماڈل (مساوات 14.15) میں تکرارات تصادفی ہیں، اور تکرارات اور تکرار × ذیلی قطعہ کا کوئی ٹیسٹ نہیں (ص 536)؛ اگر یہ فرض کیا جائے کہ ذیلی قطعے میں تکرارات کے ساتھ تعاملات نہ ہونے کے برابر ہیں، تو انہیں یکجا کر کے ایک سادہ تر ماڈل حاصل ہوتا ہے (مساوات 14.16، ص 537) – یہی وہ ماڈل ہے جو JMP استعمال کرتا ہے (ایضاً)، اور R میں aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) بھی۔ صفحے پر: "اسپلٹ پلاٹ کی منصوبہ بندی" ٹیب میں – رن کی ترتیب اور متوقع جدول؛ تجزیے میں – تصادفی تکرار، دونوں عوامل مستقل، اور یکجائی کے لیے تکرار × ذیلی قطعہ اور تکرار × تعامل نشان زد کیے جاتے ہیں۔ رویّاتی علوم میں یہی ساخت "مخلوط ڈیزائن" بھی کہلاتی ہے: شرکاء کے مابین عامل اور شرکاء کے اندر عامل، جب شرکاء شرکاء کے مابین عامل میں نیسٹڈ ہوں (Maxwell et al., 2018, pp. 689-690) – صفحے پر: شریک تصادفی ہے اور گروہ میں نیسٹڈ ہے، اور شرکاء کے اندر عامل کے ساتھ متقاطع ہے۔

"غیر ارادی" اسپلٹ پلاٹ۔ جب فیکٹوریل تجربہ ایسی ترتیب میں چلایا جائے جو مشکل سے بدلنے والے عامل کی تبدیلیوں کی تعداد کم کرے، اور پھر تجزیہ ایسے کیا جائے گویا ترتیب تصادفی تھی، تو "مرکزی قطعے کے عوامل میں قسم I کی بہت زیادہ خطائیں، اور ذیلی قطعے کے عوامل میں قسم II کی بہت زیادہ خطائیں ہونے کا رجحان ہوتا ہے" (Montgomery, 2020, p. 538)۔ اور ایک عملی اصول: "اگر تمام اثرات اور تعاملات معنی خیز ہوں تو اچھی طرح جانچ لینا چاہیے کہ تجربہ حقیقت میں کیسے کیا گیا" (ص 540)۔

تغیر کے اجزاء: تخمینے، وقفہ ہائے اعتماد اور منفی قدریں

صفحہ تغیر کے اجزاء کا تخمینہ ANOVA طریقے سے لگاتا ہے: تصادفی اجزاء کی توقع کی مساواتیں حل کی جاتی ہیں "ان اوسط مربعوں کو خارج کرنے کے بعد جن میں مستقل عوامل شامل ہوں" (Montgomery, 2020, p. 501)۔ یہ لمحات (moments) کا طریقہ ہے، جو "نارملٹی کا مفروضہ نہیں مانگتا" (ص 103)۔ معیاری خطا – √(Σ2c_i²MS_i²/f_i)، کتاب میں JMP کے آؤٹ پٹ کی طرح (جداول 3.20 اور 14.7، ص 109، 527)۔ خطا کے تغیر کا کائی اسکوائر سے درست وقفۂ اعتماد ہے (مساوات 13.19، ص 512)؛ باقی کے لیے – Satterthwaite کا تخمینی قرب (مساوات 13.20-13.23، ص 514-515)، جسے "صرف اس وقت استعمال کیا جا سکتا ہے جب تخمینہ مثبت ہو" (ص 515)، اور جو اس وقت اچھا کام کرتا ہے جب درجاتِ آزادی بڑے اور عددی سر مثبت ہوں (ص 516)۔ مثال 13.6 میں: σ̂²_τβ = 31.36، r = 5.19، اور وقفہ 12.39 سے 179.83 تک (کتاب میں 180.84، کوانٹائل کو گول کرنے کی وجہ سے – دریافت E25)۔

منفی تخمینہ۔ دو اوسط مربعوں کا فرق منفی نکل سکتا ہے۔ Montgomery تین راستے گنواتا ہے: اسے اس علامت کے طور پر قبول کرنا کہ جزو صفر ہے – لیکن "منفی تخمینے کی جگہ صفر دوسرے تخمینوں کی خصوصیات کو بگاڑ سکتا ہے"؛ ایسے طریقے سے دوبارہ تخمینہ لگانا جو ہمیشہ غیر منفی قدریں دے؛ یا اسے اس بات کی علامت سمجھنا کہ ماڈل غلط ہے (ص 104)۔ ایک اور عملی راستہ: جب تعامل کا p بڑا ہو، اسے نکال کر دوبارہ تجزیہ کرنا – "نسبتاً آسان طریقہ جو اکثر زیادہ پیچیدہ طریقوں جتنا ہی اچھا کام کرتا ہے" (ص 497)۔ Maxwell et al. (2018) بتاتے ہیں کہ رواج تخمینے کو صفر مقرر کرنا ہے (ص 566)، اور یہ عموماً چھوٹے نمونے یا صفر کے قریب جزو کی علامت ہوتا ہے (ص 964)۔ صفحہ منفی تخمینے کو جوں کا توں دکھاتا ہے (نارنجی رنگ میں)، اور کل تغیر میں حصے کا حساب ایسے کرتا ہے گویا وہ صفر ہو۔

ANOVA یا REML؟ REML "تغیر کے اجزاء کے تخمینے کے لیے زیادہ سے زیادہ امکان (maximum likelihood) کی مقبول صورت ہے" (Montgomery, 2020, p. 108)، اور اس کا فائدہ یہ ہے کہ "یہ معیاری خطائیں پیدا کرتا ہے، اس لیے وقفہ ہائے اعتماد معلوم کرنا آسان ہے" (ص 513)۔ متوازن ڈیزائن میں "دونوں طریقے متفق ہوتے ہیں" (ص 109، 499) – لیکن صرف اس وقت جب REML غیر منفی قدروں تک محدود نہ ہو (جیسے JMP میں)۔ R میں lmer محدود کرتا ہے، اس لیے جب ANOVA کا کوئی تخمینہ منفی ہو، تو وہ اسے صفر کر دیتا ہے اور دوسروں کو بھی بدل دیتا ہے: مثال 13.1 میں – پرزے 10.2798 کے بجائے 10.2513 (دریافت E9)۔ صفحے کی مثال میں – طریقہ × اسکول: ANOVA میں −0.089، REML میں 0۔ غیر متوازن ڈیزائن میں مخلوط ماڈل استعمال کیا جاتا ہے – "جب نمونوں کے حجم برابر نہ ہوں تو یہی پسندیدہ طریقہ ہے" (Maxwell et al., 2018, p. 954)؛ صفحہ صرف متوازن ڈیزائنوں کا تجزیہ کرتا ہے، اور غیر متوازن ڈیزائن میں lmer کے ساتھ R اسکرپٹ پیش کرتا ہے۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

جدول 1 – ڈیزائن کی ساخت جیسا کہ صفحے نے اسے سمجھا: ہر عامل کی قسم، سطحوں کی تعداد، اور وہ کس میں نیسٹڈ ہے۔ اسے سب سے پہلے جانچنا بہتر ہے – ایسے تجزیے میں زیادہ تر غلطیاں ساخت کی غلطیاں ہوتی ہیں۔

جدول 2 – تغیرات کا تجزیہ: SS، df اور MS حسبِ معمول؛ کالم E(MS) – ہر اوسط مربع کس چیز کا تخمینہ ہے (σ²_X – تصادفی جزو کا جزوِ تغیر، θ²_X – مستقل جزو کے اثر کا حجم، جیسے Maxwell et al.، 2018، ص 557 میں)؛ "ٹیسٹ کا مخرج" – ہر جزو کی جانچ کس کے مقابل ہوتی ہے۔ ^a والا F – تخمینی F، غیر صحیح عددی درجاتِ آزادی کے ساتھ۔ "کوئی ٹیسٹ نہیں" – کوئی موزوں امتزاج نہیں؛ "باقیہ کے طور پر استعمال" – سب سے اوپر والا جزو جب خانوں میں تکرار نہ ہو۔

جدول 3 اور شکل 1 – تغیر کے اجزاء: تخمینہ، معیاری خطا، کل تغیر میں حصہ (ہر جزو کا ICC)، اور وقفۂ اعتماد۔ کالم "تخمینہ" فارمولا دکھاتا ہے – اسے جدول 2 سے ہاتھ سے دوبارہ نکالا جا سکتا ہے۔ ICC (یک طرفہ ڈیزائن میں) – درست وقفۂ اعتماد کے ساتھ۔ اوسطیں – ہر مستقل عامل کے لیے، اس کے ٹیسٹ کے مخرج سے معیاری خطا کے ساتھ (Montgomery, 2020, p. 501)۔

مثال میں (تدریس کے تین طریقے × چار اسکول، ہر اسکول میں ہر طریقے کی دو جماعتیں، فی جماعت تین طلبہ): طریقے کی جانچ طریقہ × اسکول کے مقابل ہوتی ہے، F(2, 6) = 5.18, p = .049 – بمشکل معنی خیز، صرف چھ درجاتِ آزادی کے ساتھ؛ اسکول کی، محدود ماڈل میں، جماعتوں کے مقابل جانچ ہوتی ہے، F(3, 12) = 2.14, p = .148؛ جماعتوں کے درمیان فرق معنی خیز ہیں، F(12, 48) = 2.48, p = .013، اور جماعت تقریباً 30% تغیر کی ذمہ دار ہے۔ تعامل طریقہ × اسکول – ایک چھوٹا منفی تخمینہ۔

مفروضات اور انتباہات

توازن۔ توقعات کے اصول صرف متوازن ڈیزائنوں پر لاگو ہوتے ہیں – ہر والد سطح میں سطحوں کی ایک ہی تعداد اور ہر خانے میں مشاہدات کی ایک ہی تعداد (Montgomery, 2020, p. 505)۔ غیر برابر حجم والے نیسٹڈ تصادفی عامل میں "کوئی درست ٹیسٹ نہیں" (Maxwell et al., 2018, p. 586)۔

تقسیم۔ تصادفی اثرات اور خطائیں نارمل تقسیم رکھتی ہیں، آزاد ہیں، اور ان کا تغیر یکساں ہے – مستقل عامل کی ہر سطح کے اندر بھی (Maxwell et al., 2018, p. 585)۔ تخمینی F اور Satterthwaite کے وقفے – صرف تخمینی قرب ہیں۔

شماریاتی قوت۔ "قوت شرکاء کی تعداد اور تصادفی عامل کی سطحوں کی تعداد دونوں پر منحصر ہے – اور سطحوں کی تعداد عموماً زیادہ اہم پہلو ہے" (Maxwell et al., 2018, p. 572)۔ چار اسکولوں کے ساتھ، طریقے کے ٹیسٹ کے صرف چھ درجاتِ آزادی ہیں، چاہے ہر اسکول میں سینکڑوں طلبہ ہوں۔

بہت سے متقاطع تصادفی عوامل۔ جب جزو میں شامل عوامل کے علاوہ ایک سے زیادہ تصادفی عامل ہوں، تو عموماً کوئی درست ٹیسٹ نہیں ہوتا (Maxwell et al., 2018, p. 559)، اور تخمینی ٹیسٹ کو بہت سی سطحیں درکار ہوتی ہیں۔

یہ صفحہ کیا حساب نہیں کرتا۔ غیر متوازن ڈیزائن (ان کے لیے – lmer اسکرپٹ)، درجہ وار نیسٹڈ ڈیزائن (staggered; Montgomery, 2020, Section 14.1.4)، تکرار کے بغیر جزوی اسپلٹ پلاٹ جس کا تجزیہ نیم نارمل پلاٹس سے کیا جاتا ہے (سیکشن 14.5.1)، MLS وقفے (مساوات 13.24-13.27)، تصادفی ڈھلوانیں اور گروہ کی سطح پر پیش گو متغیرات (Maxwell et al., 2018, Chapter 16)، اور منصفین کی اعتباریت کے لیے ICC (باب 11)۔ اسپلٹ-اسپلٹ پلاٹ اور پٹی دار ڈیزائن (strip-plot) (سیکشنز 14.5.2-14.5.3) کا صفحے پر تجزیہ تصادفی تکرار اور تین یا دو مستقل عوامل والے ڈیزائن کے طور پر کیا جاتا ہے، متعلقہ اجزاء کی یکجائی کے ساتھ۔ صفحہ "تجربات کی منصوبہ بندی (DOE)" میں – مستقل عوامل والے فیکٹوریل تجربات، 2^k اور کسری ڈیزائن؛ اور صفحہ "ردعمل کی سطح کا طریقہ (response surface methodology)" میں – مقداری عوامل اور بہترین نقطہ۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

Analyze › General Linear Model › Univariate میں تصادفی عوامل کو Random Factor(s) میں داخل کیا جاتا ہے؛ نیسٹڈ جزو سنٹیکس میں لکھا جاتا ہے، /DESIGN = A B(A)۔ SPSS اوسط مربعوں کی توقعات کا حساب کرتا ہے اور ٹیسٹ بناتا ہے، تخمینی ٹیسٹوں سمیت – غیر محدود ماڈل میں (Maxwell et al., 2018, pp. 605-606)، اس لیے موازنے کے لیے صفحے پر "غیر محدود" منتخب کیا جاتا ہے۔ محدود ماڈل کے ٹیسٹ /TEST = method VS method*school سے شامل کیے جاتے ہیں (ص 568)؛ صفحے کا سنٹیکس انہیں خود لکھ دیتا ہے۔ تغیر کے اجزاء – VARCOMP میں /METHOD=SSTYPE(3) کے ساتھ (ANOVA تخمینے، غیر محدود)۔ مینو کے راستے سافٹ ویئر کے بارے میں عمومی معلومات ہیں، اور سنٹیکس SPSS میں نہیں چلایا گیا۔ PSPP میں، جو SPSS سنٹیکس پڑھنے والا مفت سافٹ ویئر ہے، UNIANOVA اور VARCOMP نہیں، اور اس کی GLM کمانڈ نیسٹڈ اجزاء قبول نہیں کرتی؛ متقاطع ڈیزائن کے مربعوں کے مجموعوں کو ہم نے اس میں جانچا، اور وہ صفحے سے یکساں ہیں۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

دو طریقے۔ کلاسیکی – مربعوں کے مجموعوں کے لیے lm، اور پھر توقعات کے مطابق ٹیسٹ اور اجزاء، ہاتھ سے؛ صفحے کا اسکرپٹ یہی کرتا ہے، صفحے کے چنے ہوئے مخرجوں کے ساتھ۔ Error() کے ساتھ aov غیر محدود ماڈل کے ٹیسٹ دیتا ہے (مثلاً اسپلٹ پلاٹ کے لیے aov(y ~ A*B + Error(rep/A)))۔ جدید – پیکیج lme4 سے lmer: تصادفی عامل کے لیے (1 | school)، اس کے تعامل کے لیے (1 | method:school)، اور نیسٹڈ عامل کے لیے (1 | school:class)؛ lmerTest F ٹیسٹ شامل کرتا ہے۔ lmer غیر منفی اجزاء والا غیر محدود ماڈل ہے – "ANOVA یا REML" دیکھیں۔ نیچے کا اسکرپٹ انگریزی مثال کی فائل پر بعینہٖ چلایا گیا، اور تبصروں میں دی گئی قدریں صفحے سے یکساں ہیں۔ R میں اردو کے لیے سائٹ کا اصول: UTF-8 فائل، ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے، اور متغیرات کے نام انگریزی میں۔

# تصادفی اور نیسٹڈ عوامل – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ کی گئی ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)   # ایکسل پڑھنا
library(lme4)     # مخلوط ماڈل (install.packages("lme4"))

# لوڈنگ: لمبی ساخت – قطار = طالب علم؛ شیٹ "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_mix_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))
for (v in c("method", "school", "class")) d[[v]] <- factor(d[[v]])

# مربعوں کے مجموعے: طریقہ، اسکول، تعامل، اور طریقہ × اسکول میں نیسٹڈ جماعت
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))
a <- anova(lm(score ~ method + school + method:school + method:school:class, data = d))
MS <- setNames(a[["Mean Sq"]], c("method", "school", "method:school", "class", "Residuals")); round(MS, 3)
# نتیجہ: 511.097 212.759 98.690 99.222 40.056

# محدود ماڈل میں ٹیسٹ (صفحے پر طے شدہ): اسکول کی جانچ جماعت کے مقابل، طریقہ × اسکول کے مقابل نہیں
c(method = MS[["method"]] / MS[["method:school"]], school = MS[["school"]] / MS[["class"]],
  method.school = MS[["method:school"]] / MS[["class"]], class = MS[["class"]] / MS[["Residuals"]])
# نتیجہ: 5.179 (2, 6), 2.144 (3, 12), 0.995 (6, 12), 2.477 (12, 48)

# ANOVA طریقے سے تغیر کے اجزاء، محدود ماڈل میں
c(school = (MS[["school"]] - MS[["class"]]) / 18, method.school = (MS[["method:school"]] - MS[["class"]]) / 6,
  class = (MS[["class"]] - MS[["Residuals"]]) / 3, residual = MS[["Residuals"]])
# نتیجہ: 6.308, -0.089, 19.722, 40.056

# موازنے کے لیے: REML – غیر محدود ماڈل، اور غیر منفی اجزاء (طریقہ × اسکول صفر ہو جاتا ہے)
m <- lmer(score ~ method + (1 | school) + (1 | method:school) + (1 | method:school:class), data = d)
print(VarCorr(m), comp = "Variance")
# نتیجہ: اسکول 6.318، طریقہ × اسکول 0.000، جماعت 19.663، باقیہ 40.056

نتائج کی رپورٹنگ

رپورٹ کو ڈیزائن اور تجزیے کو دوبارہ تیار کرنے کے قابل بنانا چاہیے: کون سے عوامل مستقل اور کون سے تصادفی اور کیوں، کیا کس میں نیسٹڈ ہے، کتنی سطحیں اور ہر خانے میں کتنے مشاہدات؛ کون سا ماڈل (محدود یا غیر محدود) اور کون سے اجزاء یکجا کیے گئے؛ ہر ٹیسٹ کے لیے – اصل مخرج کے درجاتِ آزادی کے ساتھ F (باقیہ کے نہیں، جب مخرج کوئی اور ہو) اور p؛ اور تغیر کے اجزاء یا ICC، وقفہ ہائے اعتماد کے ساتھ۔ APA (2020، سیکشن 6.43) "اتنی معلومات جس سے قاری تجزیوں کی تصدیق کر سکے" مانگتا ہے۔ شکل کے اصول (سیکشن 6.36): p اور ICC اعشاریہ سے پہلے صفر کے بغیر؛ F اور تغیر کے اجزاء – صفر کے ساتھ۔ آؤٹ پٹ میں نتائج کا پیراگراف اسی طرح بنا ہے، اردو اور انگریزی میں۔

عام غلطیاں

ہر چیز کی باقیہ کے مقابل جانچ کرنا۔ جب کوئی تصادفی عامل ہو تو یہ ان مستقل عوامل کے F کو بڑھا دیتا ہے جو اس کے ساتھ متقاطع ہوں یا اس کے اوپر ہوں (Maxwell et al., 2018, pp. 558, 590)۔

نیسٹڈ ڈیزائن کا تجزیہ گویا وہ متقاطع ہو۔ ایک ایسا "تعامل" حاصل ہوتا ہے جس کی کوئی تشریح نہیں (Montgomery, 2020, pp. 522-524)۔ پوچھا جاتا ہے: کیا سپلائر الف کا بیچ 1 وہی بیچ ہے جو سپلائر ب کا بیچ 1 ہے؟

مرکزی قطعات کو نظر انداز کرنا۔ اسپلٹ پلاٹ جس کا تجزیہ مکمل طور پر تصادفی ڈیزائن کے طور پر کیا جائے – مرکزی قطعے کے عامل میں قسم I کی اور ذیلی قطعات میں قسم II کی بہت زیادہ خطائیں (ص 538)۔

تصادفی عامل کی کم سطحیں۔ تین یا چار اسکول – اور طریقے کا ٹیسٹ تقریباً بے قوت ہے، چاہے کتنے ہی طلبہ ہوں (Maxwell et al., 2018, p. 572)۔

ماڈل جانچے بغیر سافٹ ویئرز کے درمیان تغیر کے اجزاء کا موازنہ کرنا۔ محدود یا غیر محدود، ANOVA یا REML، صفر کرنے کے ساتھ یا بغیر – ہر ایک اسی جزو کے لیے مختلف عدد دیتا ہے۔ کاغذ کی مضبوطی والی مثال میں JMP تکرارات کے لیے 2.4757 رپورٹ کرتا ہے (جدول 14.19، ص 538 – غیر محدود، یکجا شدہ)، اور محدود ماڈل 2.90 دیتا ہے۔

تعامل کو صرف اس لیے یکجا کرنا کہ وہ معنی خیز نہیں۔ خطا کے چھ یا زیادہ درجاتِ آزادی ہوں تو – یکجا نہیں کیا جاتا؛ ورنہ – صرف اس صورت میں جب p 0.25 سے اوپر ہو (Montgomery, 2020, p. 509)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Satterthwaite (1946)، Murray اور Blitstein (2003)، Hedges اور Hedberg (2007) اور Wampold اور Serlin (2000) – بحوالہ Montgomery (2020) اور Maxwell et al. (2018)۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے؛ حوالے مطبوعہ صفحے کے مطابق ہیں۔ Montgomery کا سیکشن 3.9 اور ابواب 13-14، اور Maxwell et al. کا باب 10، ابواب 11-12 کے سیکشنز اور باب 16 پڑھے گئے۔ صفحے کے حساب کی توثیق R 4.3.3 (lm، Error کے ساتھ aov، lme4، lmerTest) کے مقابل کی گئی ہے، اور Montgomery کی مثالوں 3.10، 13.1-13.6، 14.1-14.2 اور کاغذ کی مضبوطی والی مثال (سیکشن 14.4) اور Maxwell et al. کے جداول 10.5، 10.9 اور 12.19 کے تمام مطبوعہ اعداد کے مقابل۔