یک نمونہ t ٹیسٹ

ڈیٹا لوڈ کرنا

شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:

متغیرات اور ٹیسٹ کی قدر کا انتخاب

کب استعمال کریں؟

جب ایک نمونہ ہو، ایک اوسط، اور ایک سوال: کیا یہ اوسط کسی خاص قدر سے مختلف ہے۔ Gravetter اور Wallnau (2017، باب 9) دو صورتیں پیش کرتے ہیں۔ پہلی – علاج سے پہلے معلوم آبادی: علاج سے پہلے آبادی کا اوسط معلوم ہے (مثلاً 30)، ایک نمونے کو علاج دیا گیا، اور سوال یہ ہے کہ آیا علاج کے بعد اوسط اب بھی 30 ہے (ص 274-275، شکل 9.3)۔ دوسری، اور سماجی علوم میں زیادہ عام – منطق سے اخذ کردہ قدر، آبادی کے بارے میں کسی سابقہ علم کے بغیر: 1-7 کے پیمانے پر درجہ بندی کے سوالات، جس میں 4 "غیر جانبدار" ہے، اور تحقیقی سوال یہ ہے کہ آیا جواب دہندگان کی کوئی رائے ہے بھی – H₀: μ = 4 (ص 275-276؛ McGee اور Shevlin کی مزاح پر تحقیق، 2009، جو باب کے آغاز میں ہے: حسِ مزاح والی وضاحت کو M = 4.53 ملا، جو 4 سے معنی خیز طور پر زیادہ ہے)؛ یا شیر خوار بچے جنہوں نے 20 سیکنڈ تک دو چہروں کو دیکھا – اگر کوئی ترجیح نہ ہو تو خوبصورت چہرے کا اوسط 10 سیکنڈ ہے، H₀: μ = 10 (مثال 9.2)۔ "t کا حساب کرنے کے لیے صرف ایک صفری مفروضہ اور نامعلوم آبادی سے ایک نمونہ درکار ہے" (ص 275)۔

یہ ٹیسٹ t خاندان کی بنیاد ہے: سائٹ کے دوسرے دو ٹیسٹ – آزاد نمونوں کے لیے (دو الگ گروہ) اور جوڑی دار نمونوں کے لیے (وہی شرکاء دو بار) – دو اوسطوں کا آپس میں موازنہ کرتے ہیں؛ یہاں ایک اوسط کا موازنہ ایک مستقل سے کیا جاتا ہے۔ کثیر آئٹمی پیمانے کے اسکور (صفحہ کرونباخ الفا اور پیمانے کا اسکور) کو سائٹ کے ضابطے کے مطابق وقفی متغیر سمجھا جاتا ہے (متغیرات اور پیمائش کی سطحیں)، اس لیے اسے پیمانے کے وسط کے مقابلے میں جانچا جا سکتا ہے؛ ایک واحد لیکرٹ آئٹم – نہیں (تعددات اور وسطانیہ، تعددات کے صفحے میں)۔

منطق: فرق تقسیم معیاری خطا

Gravetter اور Wallnau کا خیال (2017، سیکشن 9.1): نمونے کا اوسط آبادی کے اوسط کے قریب ہوتا ہے، اور معیاری خطا بتاتی ہے کہ ان کے درمیان کتنے فرق کی معقول توقع کی جائے۔ z-score میں فرق M − μ کو حقیقی معیاری خطا سے تقسیم کیا جاتا ہے، جس کے لیے آبادی کا معیاری انحراف درکار ہے – جو تقریباً کبھی معلوم نہیں ہوتا؛ "ٹیسٹ کی پوری وجہ ہی نامعلوم آبادی کے بارے میں جاننا ہے" (ص 269)۔ حل: معیاری خطا کا تخمینہ نمونے سے لگایا جاتا ہے، s_M = s/√n (فارمولا 9.1)، اور t حاصل ہوتا ہے – z جیسی ہی ساخت، مخرج میں تخمینے کے ساتھ: t = (M − μ)/s_M (فارمولا 9.2)۔ شمار کنندہ ڈیٹا اور مفروضے کے درمیان اصل فرق ناپتا ہے؛ مخرج – تصادف سے کتنے فرق کی معقول توقع ہے؛ جب شمار کنندہ مخرج سے بہت بڑا ہو، t بڑا ہوتا ہے (مثبت یا منفی) اور ڈیٹا مفروضے سے مطابقت نہیں رکھتا (ص 275)۔

چونکہ مخرج کا بھی تخمینہ لگایا جاتا ہے اور وہ نمونے سے نمونے بدلتا ہے، t میں z سے زیادہ تغیر ہوتا ہے: t تقسیم نارمل سے زیادہ چپٹی اور چوڑی ہوتی ہے، خاص طور پر جب درجاتِ آزادی – df = n − 1 (فارمولا 9.3) – کم ہوں، اور n بڑھنے کے ساتھ اس کے قریب ہوتی جاتی ہے (سیکشن 9.1، شکل 9.1): df = 1 پر .05 کے لیے دو طرفہ فیصلہ کن قدر 12.706 ہے، df = 8 پر – 2.306، اور لامتناہی پر – 1.96 (جدول 9.1)۔ صفحہ جدول استعمال نہیں کرتا: یہ t تقسیم سے درست p کا حساب کرتا ہے، جیسا "کمپیوٹر پرنٹ آؤٹ" کرتا ہے (ص 287)، اور اسے عدد کے طور پر رپورٹ کرتا ہے نہ کہ p < .05 کے طور پر۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

جدول 1 – نمونے کی شماریات۔ درست قدروں کا N، اوسط، معیاری انحراف (نمونہ جاتی، n − 1) اور اوسط کی معیاری خطا۔ یہ SPSS کا One-Sample Statistics جدول ہے۔ پہلے چیک کیا جاتا ہے کہ N معقول ہے – بہت سی گمشدہ قدریں یا کالم میں متنی قدر اسے کم کر دیتی ہیں، اور صفحہ لوڈنگ کے وقت اس کی اطلاع دیتا ہے۔

جدول 2 – ٹیسٹ۔ SPSS کا One-Sample Test جدول: ٹیسٹ کی قدر، t، df، دو طرفہ p، فرق M − μ₀ (Mean Difference) اور فرق کے لیے 95% کا وقفۂ اعتماد۔ t اور فرق کی علامت بتاتی ہے کہ نمونہ ٹیسٹ کی قدر سے کس سمت میں ہٹتا ہے: مثبت – اوسط اس سے زیادہ ہے۔ .05 سے کم p – اوسط ٹیسٹ کی قدر سے معنی خیز طور پر مختلف ہے؛ ورنہ – کوئی معنی خیز فرق نہیں ملا (Gravetter & Wallnau, 2017، ص 277: "شماریاتی فیصلہ")۔ وقفۂ اعتماد۔ جدول فرق کا وقفہ چھاپتا ہے، جیسا SPSS؛ جدول کے نوٹ اور چارٹ میں وہی وقفہ اوسط کے لیے ظاہر ہوتا ہے – μ = M ± t·s_M (فارمولا 9.6؛ مثال 9.5) – جو محض فرق کا وقفہ جمع ٹیسٹ کی قدر ہے۔ جب فرق کے وقفے میں صفر شامل ہو (یعنی اوسط کے وقفے میں ٹیسٹ کی قدر شامل ہو)، ٹیسٹ معنی خیز نہیں، اور اس کے برعکس۔ نمونہ جتنا بڑا اور اعتماد کی سطح جتنی کم ہو، وقفہ اتنا ہی تنگ ہوتا ہے (ص 286)؛ اور اسی لیے، Gravetter اور Wallnau خبردار کرتے ہیں، یہ اثر کی وضاحت ہے لیکن d یا r² کا متبادل نہیں (ص 286)۔

اثر کا حجم

"یہ ممکن ہے کہ علاج کا بہت چھوٹا اثر 'شماریاتی طور پر معنی خیز' ہو، خاص طور پر جب نمونہ بہت بڑا ہو"، اس لیے ٹیسٹ کے ساتھ اثر کے حجم کا پیمانہ بھی رپورٹ کیا جاتا ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 279)۔ آؤٹ پٹ میں دو ہیں، اور دونوں نمونے کے حجم پر تقریباً منحصر نہیں (ص 284):

کوہن کا d (تخمینہ)۔ نمونے کے اوسط اور ٹیسٹ کی قدر کے درمیان فرق، نمونے کے معیاری انحراف کی اکائیوں میں: d = (M − μ)/s (فارمولا 9.4)۔ شیر خوار بچوں کی مثال میں: (13 − 10)/3 = 1.00 – اثر ایک معیاری انحراف کے برابر ہے (مثال 9.3، شکل 9.5)۔ Gravetter اور Wallnau نشاندہی کرتے ہیں کہ جب پیرامیٹرز کی جگہ نمونے کی قدریں رکھی جائیں تو بہت سے محققین اسے "تخمینی d" کہنا پسند کرتے ہیں (ص 280)؛ یہی SPSS 27 اور اس سے اوپر کے آؤٹ پٹ میں یک نمونہ کے لیے Cohen's d بھی ہے۔ Cohen کے ضوابط (1988، ص 25-27): 0.2 چھوٹا، 0.5 درمیانہ، 0.8 بڑا – ان کی اس تنبیہ کے ساتھ کہ یہ حدیں صرف رہنمائی کے لیے ہیں، اور اثر کو شعبے کے سیاق میں پرکھا جاتا ہے۔

r² – وضاحت شدہ تغیر (explained variance) کا فیصد۔ اسکورز کے تغیر کا کتنا حصہ ٹیسٹ کی قدر سے ہٹاؤ سے "واضح" ہوتا ہے: مثال میں، 10 کے گرد تغیر SS = 153 ہے، اور اثر ہٹانے کے بعد (ہر اسکور سے 3 پوائنٹس) – 72؛ فرق، 153 میں سے 81، یعنی 52.94% ہے (جدول 9.2)۔ خود ٹیسٹ سے فارمولا: r² = t²/(t² + df) (فارمولا 9.5) – t کے سیاق میں اسے کبھی کبھی ω² بھی کہا جاتا ہے۔ r² کے لیے Cohen کی حدیں (جدول 9.3): .01 چھوٹا، .09 درمیانہ، .25 بڑا – نوٹ کریں کہ یہ r کی حدوں کے مربع ہیں (.1/.3/.5)، اور یہ ان حدوں سے مختلف ہیں جو آزاد نمونوں کے t ٹیسٹ کا صفحہ Pallant سے η² کے لیے لاتا ہے (.01/.06/.14)؛ یہ صفحہ اپنے ماخذ، Gravetter اور Wallnau، کی پیروی کرتا ہے۔ بڑا معیاری انحراف t اور اثر کے دونوں پیمانوں کو کم کرتا ہے؛ نمونے کا حجم صرف p کو کم کرتا ہے (ص 278، 284)۔

مفروضات اور انتباہات

دو مفروضات (assumptions) (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 277-278): مشاہدات ایک دوسرے سے آزاد ہیں – ایک واقعہ دوسرے کے احتمال پر اثر نہیں ڈالتا (دو بار ناپا گیا شریک، جوڑے، جماعتیں – اس کی خلاف ورزی کرتے ہیں)؛ اور آبادی نارمل تقسیم رکھتی ہے – ایسا مفروضہ جو ریاضی کے لیے ضروری ہے، لیکن "اس کی خلاف ورزی کا عملی اثر کم ہوتا ہے، خاص طور پر جب نمونہ نسبتاً بڑا ہو"؛ بہت چھوٹے نمونے میں یہ اہم ہے، اور "اگر یہ شبہ کرنے کی وجہ ہو کہ تقسیم نارمل نہیں – احتیاطاً بڑا نمونہ استعمال کریں"۔ Field (2024) وضاحت کرتے ہیں کیوں: جو درکار ہے وہ اوسط کی نارمل نمونہ جاتی تقسیم ہے، اور مرکزی حد کا مسئلہ اس کی ضمانت دیتا ہے جب نمونہ کافی بڑا ہو (سیکشن 6.2.7 اور 6.8.3) – رائج قدر 30 ہے، لیکن بھاری دُموں والی تقسیم میں 100 یا اس سے بھی زیادہ درکار ہو سکتے ہیں (باکس 6.4)؛ چھوٹے نمونے میں ہسٹوگرام (تعددات اور توضیحی شماریات) اور آؤٹ لائرز (آؤٹ لائرز اور مفروضات) کو دیکھا جاتا ہے، اور بڑے نمونے میں نارملٹی کے ٹیسٹ کی بنیاد پر فیصلہ نہیں کیا جاتا (باکس 6.7)۔ "نتیجے کی تشریح" کا خانہ اس کی یاد دہانی کراتا ہے جب n 30 سے کم ہو۔

ٹیسٹ کی قدر ایک فیصلہ ہے، نتیجہ نہیں۔ یہ تجزیے سے پہلے منطق یا بیرونی علم کی بنیاد پر طے کی جاتی ہے – پیمانے کا وسط، شائع شدہ اوسط، معیار – اور اپنی دلیل کے ساتھ رپورٹ کی جاتی ہے۔ اوسط دیکھنے کے بعد اسے منتخب کرنا، یا کئی قدریں آزمانا جب تک کوئی معنی خیز نہ نکلے، p کے معنی کو برباد کر دیتا ہے (دیکھیں تحقیق کی اخلاقیات، سیکشن 7)۔

یک طرفہ ٹیسٹ۔ Gravetter اور Wallnau (سیکشن 9.4) دکھاتے ہیں کہ سمتی ٹیسٹ کیسے چلایا جاتا ہے – فیصلہ کن قدر ایک دُم سے لی جاتی ہے، اور واضح طور پر "یک طرفہ" رپورٹ کیا جاتا ہے – اور بتاتے ہیں کہ دو طرفہ زیادہ عام ہے، اور سمتی ٹیسٹ اس وقت موزوں ہے جب اس کا پہلے سے جواز ہو۔ صفحہ صرف دو طرفہ p کا حساب کرتا ہے؛ جو پہلے سے یک طرفہ ٹیسٹ کی منصوبہ بندی کرے، اور فرق متوقع سمت میں ہو، وہ p کو دو سے تقسیم کرتا ہے – اور اسے رپورٹ کرتا ہے۔

گمشدہ قدریں۔ ہر ٹیسٹ کیے گئے متغیر کے لیے وہ شرکاء شامل کیے جاتے ہیں جن کی اس میں درست قدر ہو – تجزیہ وار حذف (/MISSING=ANALYSIS)، SPSS کے طے شدہ کی طرح؛ N ایک متغیر سے دوسرے میں بدل سکتا ہے۔ متعدد ٹیسٹ۔ ایک کلک میں کئی متغیرات کئی ٹیسٹ ہیں، ہر ایک میں قسم I کی خطا کا 5% خطرہ؛ سب رپورٹ کیے جاتے ہیں، اور تصحیح پر غور کیا جاتا ہے (صفحہ ہم بستگی: Holm / FDR)۔

یہ صفحہ کیا حساب نہیں کرتا۔ d کے لیے وقفۂ اعتماد (SPSS 27 اور اس سے اوپر اسے چھاپتا ہے)، bootstrap، آؤٹ پٹ کے طور پر یک طرفہ ٹیسٹ، یک نمونہ کے لیے سائن ٹیسٹ اور ولکاکسن (غیر پیرامیٹرک متبادل)، اور Bayes factor۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

جن ماخذوں پر سائٹ انحصار کرتی ہے (Field, 2024؛ Pallant, 2020) وہ اس طریقۂ کار کو بیان نہیں کرتے – وہ سیدھے دو گروہوں کے ٹیسٹوں پر چلے جاتے ہیں – اس لیے یہاں دی گئی وضاحت سائٹ کی اپنی ہے، جس کی تصدیق PSPP (SPSS کا مفت نفاذ) کے مقابل کی گئی ہے: Analyze › Compare Means › One-Sample T Test… – متغیر (یا کئی) Test Variable(s) کے خانے میں، ٹیسٹ کی قدر Test Value کے فیلڈ میں (طے شدہ 0 – تقریباً کبھی وہ نہیں جو چاہیے)؛ Options… – وقفۂ اعتماد کی سطح اور گمشدہ قدروں سے نمٹنا؛ ورژن 27 اور اس سے اوپر میں – Estimate effect sizes کا خانہ۔ صفحہ جو سنٹیکس تیار کرتا ہے:

T-TEST
  /TESTVAL=3
  /MISSING=ANALYSIS
  /VARIABLES=עמדות_ציון
  /ES DISPLAY(TRUE)
  /CRITERIA=CI(.95).

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں۔ One-Sample Statistics = جدول 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean)؛ One-Sample Test = جدول 2 – عنوان میں Test Value = 3، اور پھر t, df, Sig. (2-tailed) (27 اور اس سے اوپر میں One-Sided p بھی – اسے نظرانداز کریں)، Mean Difference اور 95% Confidence Interval of the Difference – فرق کا وقفہ، اوسط کا نہیں؛ One-Sample Effect Sizes – Cohen's d کی قطار، Point Estimate (SPSS Hedges' correction بھی چھاپتا ہے، جو صفحے پر نہیں)۔ کمانڈ میں تمام متغیرات کے لیے ایک ٹیسٹ کی قدر ہوتی ہے؛ جب صفحے پر مختلف متغیرات کے لیے مختلف قدریں منتخب کی گئی ہوں تو سنٹیکس میں ہر قدر کے لیے ایک T-TEST کمانڈ ہوتی ہے۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

بنیادی R میں t.test(x, mu = …)، t، df، p اور اوسط کے لیے وقفۂ اعتماد دیتا ہے (نہ کہ SPSS کی طرح فرق کے لیے – موازنے کے لیے μ₀ منفی کریں)؛ d اور r² ہاتھ سے حساب کیے جاتے ہیں۔ اسکرپٹ مثال کی فائل پر جوں کا توں چلایا گیا اور اس نے جداول کی قدریں دیں (تبصروں میں)۔ R میں اردو کے لیے سائٹ کا اصول: UTF-8 فائل، تبصرے کی ہر سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے، اور غیر لاطینی (اردو، عبرانی) ناموں کے لیے UTF-8 ماحول۔

# یک نمونہ t ٹیسٹ – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ کی گئی ہے؛ تبصرے کی ہر سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)   # ایکسل پڑھنا

# لوڈنگ: معیاری سانچہ – قطار = شریک، کالم = متغیر؛ شیٹ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_ttest1_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; y <- y[!is.na(y)]

# نمونے کی شماریات – جدول 1
c(n = length(y), M = mean(y), SD = sd(y), SE = sd(y) / sqrt(length(y)))   # n 120, M 3.270, SD 0.745, SE 0.068

# ٹیسٹ کی قدر 3 کے مقابلے میں ٹیسٹ (1-5 پیمانے کا وسط) – جدول 2؛ R کا وقفۂ اعتماد اوسط کے لیے ہے
tt <- t.test(y, mu = 3)
tt                                   # t = 3.96, df = 119, p = .00013، اوسط کے لیے وقفۂ اعتماد [3.135, 3.404]
tt$conf.int - 3                      # فرق کے لیے وقفۂ اعتماد، جیسا SPSS میں: [0.135, 0.404]

# اثر کا حجم: کوہن کا d = (M − μ)/s، اور r² = t²/(t² + df)
(mean(y) - 3) / sd(y)                                                     # d = 0.362
unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))                # r² = .117

نتائج کی رپورٹنگ

پہلے وضاحت اور پھر ٹیسٹ رپورٹ کیا جاتا ہے: اوسط اور معیاری انحراف، ٹیسٹ کی قدر اور وہ کس چیز کی نمائندگی کرتی ہے، قوسین میں درجاتِ آزادی کے ساتھ t، درست p، اثر کا حجم – اور ٹیسٹ کے فوراً بعد وقفۂ اعتماد (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 287; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43)۔ Gravetter اور Wallnau کی مثال: "شیر خوار بچوں نے 20 سیکنڈ میں سے اوسطاً M = 13 سیکنڈ خوبصورت چہرے کو دیکھا، SD = 3.00۔ یہ وقت ترجیح کی عدم موجودگی میں متوقع وقت سے معنی خیز طور پر زیادہ تھا، t(8) = 3.00, p = .017, r² = 0.5294"، اور وقفۂ اعتماد کے ساتھ: t(8) = 3.00, p < .05, 80% CI [11.603, 14.397]۔ جب درست p دستیاب ہو – وہی رپورٹ کیا جاتا ہے (p = .017، نہ کہ p < .05)؛ اور پرنٹ آؤٹ میں "p = 0.000" صفر نہیں بلکہ گول کیا ہوا ہے – p < .001 لکھا جاتا ہے (ص 287)۔ یک طرفہ ٹیسٹ میں واضح طور پر "یک طرفہ" لکھا جاتا ہے (ص 289)۔

شکل کے اصول (APA, 2020, Section 6.36): t اور فرق اعشاریہ سے پہلے صفر کے ساتھ؛ p اور r² اس کے بغیر (یہ 1 سے تجاوز نہیں کر سکتے)؛ d صفر کے ساتھ۔ آؤٹ پٹ میں رپورٹ کے جملے اسی طرح بنائے گئے ہیں، اردو اور انگریزی میں، اوسط کے لیے 95% کے وقفۂ اعتماد کے ساتھ۔

عام غلطیاں

ٹیسٹ کی قدر 0 رہنے دینا۔ SPSS کا طے شدہ (default) یہ جانچتا ہے کہ آیا اوسط صفر سے مختلف ہے – تقریباً ہمیشہ "معنی خیز" اور تقریباً ہمیشہ بے معنی۔ ٹیسٹ کی قدر ہی مفروضہ ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 275-276)۔

اوسط دیکھنے کے بعد ٹیسٹ کی قدر منتخب کرنا۔ مفروضہ ڈیٹا سے پہلے آتا ہے؛ ورنہ p کچھ نہیں بتاتا۔

SPSS کے وقفۂ اعتماد کو اوسط کا وقفہ سمجھنا۔ یہ ٹیسٹ کی قدر سے فرق کا وقفہ ہے؛ اوسط کے لیے – ٹیسٹ کی قدر جمع کی جاتی ہے (یا صفحے پر جدول کا نوٹ پڑھا جاتا ہے)۔

"غیر معنی خیز" کو "اوسط ٹیسٹ کی قدر کے برابر ہے" سمجھنا۔ ٹیسٹ کی قدر کو شامل کرنے والا وقفۂ اعتماد بتاتا ہے کہ حقیقی فرق منفی، صفر یا مثبت ہو سکتا ہے – یہ نہیں کہ وہ صفر ہے۔ d اور وقفہ رپورٹ کیے جاتے ہیں۔

ایک واحد لیکرٹ آئٹم پر یک نمونہ ٹیسٹ۔ سائٹ کے ضابطے کے مطابق واحد آئٹم ترتیبی متغیر ہے – تعددات اور وسطانیہ؛ کثیر آئٹمی پیمانے کے اسکور کا اوسط – ہاں۔

r² اور η² کے پیمانوں کو گڈمڈ کرنا۔ Gravetter اور Wallnau کے ہاں .09 درمیانہ r² ہے (جدول 9.3)؛ Pallant کے ہاں .06 درمیانہ η² ہے – دو پیمانے، ایک ہی خیال، مختلف اعداد۔

سمت دیکھنے کے بعد p کو دو سے تقسیم کرنا۔ یک طرفہ ٹیسٹ پہلے سے منصوبہ بند، مدلل، اور اسی طور پر رپورٹ کیا جاتا ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 9.4)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

McGee اور Shevlin (2009) اور Slater اور ساتھی (1998) – بحوالہ Gravetter اور Wallnau (2017)۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے؛ Gravetter اور Wallnau (2017)، Cohen (1988) اور APA (2020) – چھپے ہوئے ایڈیشن کے صفحے اور سیکشن کے مطابق؛ Field (2024) ری فلو ایبل ڈیجیٹل نسخے میں – سیکشن کے مطابق۔ SPSS کا طریقۂ کار – سائٹ کی وضاحت، جس کی تصدیق PSPP کے مقابل کی گئی (کسی ماخذ سے منقول نہیں)۔