سکیٹر پلاٹ اور ریگریشن لائن

کیلکولیٹر

ڈیٹا لوڈ کرنا

کالم براہِ راست شیٹ سے چسپاں کیے جاتے ہیں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں، اور یہاں چسپاں کریں (کاموں سے الگ کی گئی قدریں بھی، جیسے رہنما میں انسکومب کا چوکڑا):

متغیرات کا انتخاب

رہنما

سکیٹر پلاٹ کب استعمال کریں؟

سکیٹر پلاٹ (جسے انتشاری نقشہ بھی کہا جاتا ہے، scatter plot) دو مقداری متغیرات کے درمیان تعلق دکھاتا ہے۔ ہر نقطہ ایک شریک ہے: اس کا مقام دونوں متغیرات میں اس کی قدر سے طے ہوتا ہے – ایک متغیر X محور پر، دوسرا Y محور پر، اور ہر شریک اپنا جوڑا (x, y) ہے۔ گراف ہم بستگی کے حساب سے پہلے پہلا قدم ہے، کیونکہ یہ وہ چیزیں ظاہر کرتا ہے جو اکیلا عدد چھپاتا ہے – غیر لکیری تعلق، آؤٹ لائرز، یا نمونے کے اندر الگ گروہ۔ اور کسی بھی حساب سے پہلے، نقاط کے بادل پر ایک نظر وہ تین خصوصیات دکھاتی ہے جنہیں ہم بستگی کا عددی سر بعد میں ایک عدد میں سمیٹے گا: سمت – بڑھتا ہوا یا گھٹتا ہوا؛ شکل – سیدھی لکیر، منحنی، یا کچھ بھی نہیں؛ اور قوت – نقاط اسی شکل سے کتنے جڑے ہوئے ہیں (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 487-488; Pallant, 2020, pp. 153-154)۔ ان تینوں میں سے عدد صرف پہلی اور تیسری کو اچھی طرح سمیٹتا ہے – اور دوسری کو تو وہ پہلے ہی سے فرض کر لیتا ہے۔

جس مقالے نے سکیٹر پلاٹ کو لازمی بنا دیا وہ تین ایسے عقائد سے شروع ہوتا ہے جن پر تقریباً ہم سب کی تربیت ہوئی، اور جو سب غلط ہیں: کہ حسابات درست ہوتے ہیں اور گراف "تقریباً"؛ کہ ہر قسم کے ڈیٹا کے لیے ایک ہی درست حساب ہوتا ہے؛ اور کہ پیچیدہ حسابات خوبی ہیں، جبکہ ڈیٹا کو دیکھنا دھوکا ہے (Anscombe, 1973, p. 17)۔ Anscombe لکھتے ہیں کہ کمپیوٹر کو حسابات بھی اور گراف بھی تیار کرنے چاہئیں – اور دونوں کا مطالعہ کرنا چاہیے۔ اور جب کسی بھی حساب سے پہلے Y کو X کے مقابل بنایا جائے تو پانچ میں سے ایک بات ہوگی: نقاط تقریباً سیدھی لکیر پر ہوتے ہیں؛ وہ ایک ہموار منحنی پر ہوتے ہیں جو سیدھی لکیر نہیں؛ وہ X سے بے تعلق بکھرے ہوتے ہیں؛ کچھ درمیانی صورت؛ یا – سب سے دلچسپ صورت – ان میں سے زیادہ تر لکیر یا منحنی سے جڑے ہوتے ہیں، اور چند بہت دور ہوتے ہیں۔ آخری صورت میں دیکھنے کے لیے ایک اثر موجود ہے، لیکن معمول کے ریگریشن حسابات اسے نظرانداز کر سکتے ہیں (وہیں)۔ دوسری صورت کو کبھی کبھی X یا Y کے پیمانے کی تبدیلی (transformation) سے پہلی میں بدلا جا سکتا ہے؛ اور پانچویں میں ہمیشہ اس جانچ سے آغاز کیا جاتا ہے کہ غیر معمولی قدریں درست ٹائپ کی گئیں – اور اگر وہ حقیقی ہیں تو انہیں خصوصی مطالعے کے لیے الگ رکھا جاتا ہے، جو "بہت ثمر آور ثابت ہو سکتا ہے"۔

اور یہیں سے Gelman & Hill (2007، ص 554) کا سادہ اصول: ہر چلائی جانے والی ریگریشن کے ساتھ – سکیٹر پلاٹ بنایا جاتا ہے؛ اور صرف ڈیٹا کا نہیں، بلکہ اس پر فٹ کیے گئے ماڈل کا بھی، کیونکہ "عددی سروں کا جدول وہ احساس نہیں دیتا جو گراف دیتا ہے" (وہیں، ص 548)۔ اور کون سا گراف، اس پر ان کے دو نکات: تمام جوڑوں کا سکیٹر میٹرکس (دیکھیں توسیعات) ہر متغیر کی ہر متغیر پر ریگریشن چلانے جیسا ہے – مفید، لیکن سوچ سمجھ کر چنے گئے گرافوں سے زیادہ سیکھا جاتا ہے؛ اور جب دونوں متغیرات میں وقت کی یا سببی ترتیب ہو، تو "پہلے" X محور پر اور "بعد" Y محور پر (وہیں، ص 553)۔

گراف کیسے پڑھیں: ریگریشن لائن اور R²

ریگریشن لائن وہ سیدھی لکیر ہے جو نقاط سے لکیر تک عمودی فاصلوں کے مربعوں کے مجموعے کو کم سے کم کرتی ہے – "بہترین لکیر" صرف اسی مفہوم میں، نہ اس مفہوم میں کہ وہ ہر نقطے کے الگ الگ سب سے قریب سے گزرتی ہے۔ اس کی ڈھلوان بتاتی ہے کہ X میں ایک اکائی اضافے پر متغیر Y میں کتنی اکائیوں کی تبدیلی متوقع ہے: مثبت ڈھلوان بڑھتے ہوئے تعلق کو، منفی ڈھلوان – گھٹتے ہوئے تعلق کو، اور صفر کے قریب ڈھلوان – لکیری تعلق کی عدم موجودگی کو بیان کرتی ہے۔

R² (تعینی عددی سر (coefficient of determination)) متغیر Y میں تغیر (variance) کی اس شرح کو ظاہر کرتا ہے جس کی ریگریشن لائن X کے ذریعے "وضاحت" کرتی ہے۔ اس کی قدر ہمیشہ 0 اور 1 (یا 0% اور 100%) کے درمیان ہوتی ہے، اور یہ تعلق کی سمت پر منحصر نہیں: R² = .25 کا مطلب ہے کہ Y میں 25% تغیر کی وضاحت X سے ہوتی ہے، خواہ تعلق بڑھتا ہوا ہو یا گھٹتا ہوا۔ اس کا پیئرسن عددی سر سے تعلق سادہ ہے – R² دراصل r کا مربع ہے – اس لیے R² سے r پر واپس جانے کے لیے جذر لیا جاتا ہے اور ریگریشن لائن کی سمت کے مطابق علامت لگائی جاتی ہے (بڑھتی ہوئی = مثبت، گھٹتی ہوئی = منفی)۔ یہیں سے اثر کے حجم کا پیمانہ بھی: .01 کا R² چھوٹا تعلق ہے، .09 – درمیانہ، اور .25 یا زیادہ – بڑا (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 501) – بالکل وہی حدیں r = .1 / .3 / .5 جن کے مطابق کیلکولیٹر تعلق کی قوت کو الفاظ میں بیان کرتا ہے۔ اور چونکہ مربع علامت مٹا دیتا ہے، +.80 کی ہم بستگی اور −.80 کی ہم بستگی یکساں طور پر مستقل تعلقات ہیں – علامت اور قوت ایک دوسرے سے آزاد ہیں (وہیں، ص 489)۔

ڈھلوان قوت نہیں ہے۔ ایک عام غلطی یہ ہے کہ ڈھلوان دار لکیر کو "مضبوط تعلق" اور ہلکی لکیر کو "کمزور تعلق" سمجھا جائے۔ تعلق کی قوت یہ ہے کہ نقاط لکیر سے کتنے جڑے ہوئے ہیں – نہ کہ لکیر کتنی ڈھلوان دار ہے۔ ڈھلوان بتاتی ہے کہ X کی ہر اکائی پر Y کتنی اکائیاں بدلتا ہے، اس لیے یہ پیمائش کی اکائیوں پر منحصر ہے: بالکل وہی ڈیٹا ڈھلوان دار لکیر دے گا اگر Y نکات میں ناپا جائے اور ہلکی لکیر اگر سینکڑوں نکات میں – اور دونوں صورتوں میں ہم بستگی یکساں۔ اور Cohen (1988، ص 75، 77) کے الفاظ میں: r خود ایک ڈھلوان ہے – لکیر کی ڈھلوان جب دونوں متغیرات کو ایک ہی تغیر پر معیاری بنایا گیا ہو – جبکہ b وہی ڈھلوان خام اکائیوں میں ہے، b = r·s_Y/s_X؛ اور جب اکائیوں کا اپنا مفہوم ہو (شیکل، سال، امتحان کے نکات) تو عموماً b رپورٹ کرنا بہتر ہے، جو نمونوں کے درمیان X کا پھیلاؤ بدلنے پر بھی مستحکم رہتا ہے۔ کیلکولیٹر کے تیار کردہ جدول میں دونوں چیزیں واضح طور پر الگ ہیں: r اور R² قوت ناپتے ہیں، b ڈھلوان ناپتا ہے۔ یہ مثال کے ڈیٹا میں بھی دیکھا جا سکتا ہے: خود اعتمادی×بھروسا اور قیادت×آمادگی دو ایسے جوڑے ہیں جن کی ڈھلوان تقریباً یکساں ہے (0.687 اور 0.716) لیکن R² مختلف (.545 بمقابلہ .522) – اور بڑی ڈھلوان دراصل کمزور جوڑے میں ہے۔

اور جب محوروں کو آپس میں بدلا جائے تو کیا ہوتا ہے۔ ہم بستگی نہیں جانتی کہ کون X ہے اور کون Y – r متشاکل ہے، اور دونوں ترتیبوں میں وہی قدر ملے گی۔ ریگریشن لائن خوب جانتی ہے: X پر Y کی لکیر عمودی فاصلوں کو کم سے کم کرتی ہے، اور Y پر X کی لکیر افقی فاصلوں کو، اور یہ دو مختلف لکیریں ہیں جو صرف کامل ہم بستگی میں منطبق ہوتی ہیں۔ دونوں ڈھلوان کے عددی سر بھی مختلف ہیں – یہ صرف اسی وقت برابر ہوتے ہیں جب دونوں متغیرات کے معیاری انحراف برابر ہوں – اس لیے خود سکیٹر پلاٹ بھی متشاکل نہیں: وہی ڈیٹا محور بدلنے پر مختلف نظر آتا ہے (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 110)۔ مثال کے ڈیٹا میں: خود اعتمادی پر بھروسا b = 0.687 دیتا ہے؛ بھروسے پر خود اعتمادی b = 0.793 دیتی ہے – اور دونوں صورتوں میں وہی r = .738۔ کیلکولیٹر میں دونوں متغیرات بدل کر یہ ایک کلک میں جانچا جا سکتا ہے۔ یہی وجہ ہے کہ ترتیب – پیش گو متغیر (predictor) X میں، نتیجہ Y میں – ایک ایسا فیصلہ ہے جو حساب سے پہلے کیا جانا اور رپورٹ کیا جانا چاہیے، سہولت کا معاملہ نہیں۔

الفاظ ضابطہ ہیں، عدد نتیجہ ہے۔ کیلکولیٹر قوت کو Cohen (1988) کی .1 / .3 / .5 حدوں کے مطابق الفاظ میں بیان کرتا ہے – جو سماجی علوم میں مقبول ہیں، لیکن واحد نہیں۔ کچھ درسی کتب پانچ درجوں والا پیمانہ استعمال کرتی ہیں: .1 تک کوئی تعلق نہیں، .1-.3 کمزور، .3-.5 درمیانہ، .5-.7 بلند، اور .7 سے اوپر بہت بلند۔ مثال کے ڈیٹا میں ہم بستگی .738 ایک پیمانے کے مطابق "مضبوط" اور دوسرے کے مطابق "بہت بلند" ہے – اس لیے ہمیشہ عدد رپورٹ کیا جاتا ہے، اور لفظی وضاحت اضافے کے طور پر بتائی جاتی ہے۔ یہ جاننا مفید ہے کہ Cohen نے خود یہ حدیں واضح طور پر ایک ضابطے کے طور پر تجویز کیں "جب زیادہ موزوں تعریفیں موجود نہ ہوں تب استعمال کے لیے"، اور ہر شعبے کو دعوت دی کہ وہ اپنے لیے دوسری تعریفیں طے کرے (1988، ص 79)۔ ہر حد کے پیچھے ایک دلیل ہے: .10 ایسا تعلق ہے جو عام مشاہدے میں نظر نہیں آتا، لیکن "نرم" علوم جن تعلقات کے پیچھے بھاگتے ہیں ان میں سے بہت سے اسی درجے کے ہوتے ہیں (ص 79)؛ .30 – مختلف نفسیاتی متغیرات کے درمیان ہم بستگیوں کی "وسعت کا درمیان"، اور ایسا تعلق جسے "ایک معقول حساس مشاہدہ کار" آنکھ سے پہچان لیتا ہے (ص 80)؛ اور .50 – "جتنا بلند وہ پہنچتے ہیں": شخصیت، تعلیم اور مشاورت کی نفسیات میں مختلف متغیرات کے درمیان ہم بستگیوں کی عملی حد، جیسے ذہانت اور اسکول کے نمبروں کے درمیان ہم بستگی (ص 80-81)۔ اس سے اوپر، Cohen کہتے ہیں، عام طور پر صرف اعتباریت کے عددی سر ملتے ہیں (ص 78) – اس لیے سوالنامے کے دو پیمانوں کے درمیان .74 جیسی ہم بستگی، جیسا کہ مثال کے ڈیٹا میں ہے، ان معیارات کے مطابق خاص طور پر بلند ہے، اور یہ پوچھنا قابلِ غور ہے کہ کیا دونوں پیمانے جزوی طور پر ایک ہی چیز نہیں ناپ رہے۔ اور اگر ایسا عدد چاہیے جو براہِ راست لکیر کے گرد پھیلاؤ کو ناپے – "نقاط اس سے کتنے جڑے ہوئے ہیں" – تو وہ تخمینے کی معیاری خطا ہے (standard error of the estimate): باقیات (residuals) کا معیاری انحراف، Y کی اکائیوں میں؛ یہ جتنی چھوٹی ہو، پیش گوئی اتنی درست ہوتی ہے (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 40-41)۔ یہ اس صفحے کے جدول میں نہیں، لیکن ریگریشن کے عمل کے Model Summary جدول میں آتی ہے (دیکھیں گراف سے ریگریشن تک)۔

اور سپیئرمین ہم بستگی کب۔ کیلکولیٹر کا تیار کردہ جدول پیئرسن کے ساتھ سپیئرمین ہم بستگی بھی دکھاتا ہے، جو قدروں کے درجوں پر حساب کی جاتی ہے نہ کہ خود قدروں پر۔ Gravetter & Wallnau (2017، ص 510-511) دو صورتیں گنواتے ہیں جن میں یہ استعمال ہوتی ہے: جب متغیرات ترتیبی پیمانے (درجہ بندیوں) میں ناپے جائیں، اور جب ایک سمت میں ایسے مستقل تعلق کی توقع ہو جو لازماً سیدھی لکیر نہ ہو – مثلاً مشق اور کارکردگی، جو ہر مشق کے ساتھ بہتر ہوتی ہے لیکن گھٹتی ہوئی رفتار سے؛ سپیئرمین تعلق کی شکل سے قطع نظر اس کی استقامت ناپتی ہے، کیونکہ جب تعلق مستقل ہو تو درجے سیدھی لکیر پر آ جاتے ہیں چاہے قدریں نہ آئیں۔ سکیٹر پلاٹ کی زبان میں: سپیئرمین پوچھتی ہے کہ کیا بادل مستقل طور پر اوپر جاتا ہے (یا نیچے)، لازماً سیدھی لکیر میں نہیں، اس لیے یہ کسی ایک آؤٹ لائر اور ایسے موڑ کے لیے کم حساس ہے جو سمت نہیں بدلتا۔ جدول کی دونوں قطاروں کا موازنہ ایک فوری جانچ ہے: جب دونوں قریب ہوں تو تعلق تقریباً لکیری ہے اور نمایاں آؤٹ لائرز کے بغیر؛ جب سپیئرمین پیئرسن سے کہیں بڑی ہو تو بادل میں کچھ ہے – کوئی موڑ یا دور کا نقطہ – جس پر دوبارہ نظر ڈالنا قابلِ قدر ہے۔

اور جب تعلق سیدھی لکیر نہ ہو۔ کم ہم بستگی اس بات کا ثبوت نہیں کہ تعلق نہیں: ممکن ہے ایک مضبوط اور مستقل غیر لکیری تعلق ہو، جسے سیدھی لکیر اور پیئرسن عددی سر بس دیکھ نہیں پاتے۔ نفسیات سے کلاسیکی مثال اضطراب اور کارکردگی کا تعلق ہے – اضطراب کی ایک خاص سطح تک کارکردگی بہتر ہوتی ہے، اور اس سے آگے گھٹتی ہے؛ سکیٹر پلاٹ میں یہ الٹے U کی شکل ہے، اور پیئرسن ہم بستگی صفر کے قریب ہو سکتی ہے حالانکہ تعلق آنکھ سے واضح ہے – پیئرسن صرف سیدھی لکیر والے تعلقات ناپتی ہے، اور دوسری شکلوں کے لیے دوسرے اشاریے ہیں (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 488; Pallant, 2020, p. 153)۔ یہ ہمیشہ گراف سے آغاز کرنے کی ایک اور وجہ ہے – ہم بستگی کے صفحے پر انسکومب کا چوکڑا بھی دیکھیں۔

چوکڑا – کیلکولیٹر میں آزمائیں۔ Anscombe (1973، ص 19) کے چار فرضی ڈیٹا سیٹ، ہر ایک میں گیارہ جوڑے، بالکل ایک جیسا معیاری آؤٹ پٹ دیتے ہیں: n = 11، X کا اوسط 9.0، Y کا اوسط 7.5، ریگریشن لائن Ŷ = 3 + 0.5·X، R² = .667 – اور پھر بھی صرف پہلا وہ ہے جو زیادہ تر لوگ یہ اعداد دیکھ کر تصور کرتے ہیں: دوسرا ایک ہموار منحنی، تیسرا ایک کامل سیدھی لکیر جس سے ایک نقطہ ہٹا ہوا ہے، اور چوتھا ایک ہی X پر دس نقاط اور ایک نقطہ جو اکیلا ڈھلوان طے کرتا ہے۔ یہ اس صفحے کے کیلکولیٹر میں دیکھا جا سکتا ہے: درج ذیل بلاک کو چسپاں کرنے والے ٹیب میں کاپی کریں، اور باری باری x کے ساتھ y1، y2، y3، اور پھر x4 کے ساتھ y4 منتخب کریں:

x,y1,y2,y3,x4,y4
10,8.04,9.14,7.46,8,6.58
8,6.95,8.14,6.77,8,5.76
13,7.58,8.74,12.74,8,7.71
9,8.81,8.77,7.11,8,8.84
11,8.33,9.26,7.81,8,8.47
14,9.96,8.10,8.84,8,7.04
6,7.24,6.13,6.08,8,5.25
4,4.26,3.10,5.39,19,12.50
12,10.84,9.13,8.15,8,5.56
7,4.82,7.26,6.42,8,7.91
5,5.68,4.74,5.73,8,6.89

جدول کی دو قطاروں پر توجہ دیں۔ r اور R² چاروں میں یکساں ہیں (.816، .667؛ تیسرے ہندسے میں گول کرنے کے فرق) – یہی بالکل Anscombe کا نکتہ ہے۔ لیکن سپیئرمین ہم بستگی بہت مختلف ہے: .82، .69، .99 اور .50 – تیسرے سیٹ میں سپیئرمین پیئرسن سے کہیں زیادہ ہے (ایک آؤٹ لائر کے ساتھ کامل لکیر)، اور چوتھے میں کہیں کم (دس برابر درجے اور ایک نقطہ) – بالکل وہی علامت جو اوپر "اور سپیئرمین ہم بستگی کب" میں بیان ہوئی۔ اعداد، اگر معلوم ہو کہ کہاں دیکھنا ہے، اشارہ ضرور دیتے ہیں؛ لیکن گراف بس دکھا دیتا ہے۔

اور جب بادل ٹکڑوں میں بٹ جائے۔ ایسا بادل جو دو تین الگ ٹکڑوں جیسا لگے، ترچھے ترتیب میں، کسی تیسرے متغیر کی انتباہی علامت ہے۔ Gravetter & Wallnau (2017، ص 497، 502-503) کی مثال: شہروں میں گرجا گھروں کی تعداد اور جرائم کی تعداد کے درمیان مضبوط مثبت ہم بستگی پائی گئی – اس لیے نہیں کہ عبادت جرم کو جنم دیتی ہے، بلکہ اس لیے کہ دونوں شہر کے حجم کے ساتھ بڑھتے ہیں؛ ہر حجم کے گروہ کے اندر تعلق غائب ہو جاتا ہے۔ سکیٹر پلاٹ میں یہ شہر کے حجم کے مطابق ٹکڑوں کی صورت میں نظر آتا ہے، جن میں سے ہر ایک اکیلا رجحان سے خالی ہے۔ جب اس کا شبہ ہو تو گراف کو تیسرے متغیر کے مطابق رنگ دیا جاتا ہے یا تقسیم کیا جاتا ہے (دیکھیں Overlay Scatter اور Panel by توسیعات میں)، یا جزوی ہم بستگی حساب کی جاتی ہے – ہم بستگی کے صفحے پر۔

اور لکیر انتہائی شرکاء کے بارے میں کیا بتاتی ہے۔ جب ہم بستگی کامل نہ ہو تو X میں انتہائی نقاط Y میں انتہائی نہیں ہوتے: ایک متغیر میں سب سے اونچے شرکاء دوسرے متغیر میں بھی اونچے – لیکن کم – ہونے کا رجحان رکھتے ہیں، اور یہی سب سے نیچے والوں کا حال ہے۔ یہ اوسط کی طرف رجعت ہے (regression toward the mean; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 501-502)، اور یہی وجہ ہے کہ ریگریشن لائن ہمیشہ بادل کے وتر سے ہلکی ہوتی ہے۔ یہاں کوئی کھینچنے والی قوت نہیں – یہ ایک شماریاتی حقیقت ہے جو اس بات سے نکلتی ہے کہ تعلق کامل نہیں؛ لیکن یہ وضاحت کرتی ہے، مثلاً، کہ "سال کا کھلاڑی" اپنے پہلے سیزن کے بعد دوسرے میں کیوں مایوس کرتا ہے، اور کیوں امتحان الف میں سب سے زیادہ نمبر لینے والا امتحان ب میں عموماً صرف اوسط سے کچھ اوپر ہوگا۔ Gelman, Hill & Vehtari (2020، ص 87-90) اس تضاد کو بھی حل کرتے ہیں جو بہت سوں کو پریشان کرتا ہے: اگر لمبی ماؤں کی بیٹیاں اوسطاً ان سے چھوٹی ہوتی ہیں، تو کیا چند نسلوں میں ہم سب ایک ہی قد کے نہیں ہو جائیں گے؟ نہیں – کیونکہ پیش گوئی اوسط کی طرف رجعت کرتی ہے، لیکن مشاہدہ پیش گوئی نہیں: پیش گوئی کی خطا بالکل وہی پھیلاؤ واپس شامل کر دیتی ہے جو رجعت گھٹاتی ہے، اور نسلوں کے درمیان تغیر (variance) مستقل رہتا ہے۔ زیادہ خطرناک ہے رجعت کا مغالطہ (regression fallacy) – رجعت کو کوئی سبب منسوب کرنا۔ ٹورسکی اور کاہنمین کی مثال، جو وہ پیش کرتے ہیں: فلائٹ انسٹرکٹرز نے دیکھا کہ کامیاب کرتب پر تعریف کے بعد اگلی کارکردگی بدتر ہوتی ہے، اور ڈانٹ کے بعد – بہتر، اور نتیجہ نکالا کہ تعریف نقصان دہ ہے؛ دراصل بہترین کرتب قسمت کا نتیجہ بھی ہوتا ہے، اور اس کے بعد انسٹرکٹر کے ردعمل سے قطع نظر کمی متوقع ہوتی ہے۔ یہی معاملہ ان طلبہ کا ہے جو وسط مدتی امتحان میں زیادہ نمبر کے بعد "سست پڑ گئے": ایک سمیولیشن میں جہاں نمبر حقیقی صلاحیت جمع خالص شور ہیں، بغیر کسی محرک کے، بالکل یہی نمونہ ملتا ہے۔ "پہلے" بمقابلہ "بعد" کا سکیٹر پلاٹ – وتر سے ہلکی ریگریشن لائن کے ساتھ – بالکل وہ صورت ہے جس میں یہ یاد رکھنا مفید ہے۔

اور ایسے گراف کے لیے ایک سادہ بصری مدد ہے، جو اس صفحے کے کیلکولیٹر میں نہیں اور SPSS یا R میں شامل کی جا سکتی ہے: Gelman & Hill (2007، ص 556) "طے شدہ لکیر" بنانے کی سفارش کرتے ہیں – صفر کی اونچائی پر افقی لکیر، یا، ایک ہی اکائیوں میں پہلے بمقابلہ بعد کے گراف میں، وتر y = x جو برابری کو ظاہر کرتا ہے۔ جیسے ہی وتر گراف پر ہو، اوسط کی طرف رجعت آنکھ سے نظر آتی ہے: جو "پہلے" میں اونچا تھا وہ زیادہ تر وتر کے نیچے ہوتا ہے، جو نیچا تھا – اس کے اوپر، اور ریگریشن لائن وتر کو اوسط پر کاٹتی ہے۔ اور اسی سیاق میں – جب دونوں محور ایک ہی چیز کو ایک ہی اکائیوں میں ناپیں، تو گراف مربع اور دونوں محوروں پر ایک ہی پیمانے میں بنایا جاتا ہے، چاہے اس کے بڑے حصے خالی رہیں؛ اور جب متغیرات مختلف ہوں، تو مربع نہیں، تاکہ ضمنی طور پر ایسی برابری کا تاثر نہ دیا جائے جو موجود نہیں (وہیں)۔

تین نظریں، اسی ترتیب میں۔ Pallant (2020، ص 156-157) تجویز کرتی ہیں کہ ہر سکیٹر پلاٹ کو کچھ بھی حساب کرنے سے پہلے تین مقررہ مراحل میں پڑھا جائے:

لفافے کا عملی اصول۔ Gravetter & Wallnau (2017، ص 489) آنکھ سے r کا اندازہ لگانے کا ایک طریقہ تجویز کرتے ہیں: نقاط کے گرد ایک لفافہ بنایا جاتا ہے – وہ تنگ ترین بند لکیر جو ان سب کو گھیر لے۔ امریکی فٹ بال کی شکل کا لفافہ تقریباً .7 کی ہم بستگی ہے؛ زیادہ موٹا لفافہ – 0 کے زیادہ قریب ہم بستگی؛ زیادہ تنگ لفافہ – 1 کے زیادہ قریب۔ لیکرٹ پیمانوں جیسے منفصل ڈیٹا میں، جہاں ایک نقطہ درجنوں شرکاء کو چھپا لیتا ہے (اوپر دیکھیں)، یہ اندازہ گمراہ کن ہے – وہاں عدد پر بھروسا کیا جاتا ہے۔

آنکھ جو لکیر کھینچتی ہے وہ ریگریشن لائن نہیں۔ جب طلبہ سے نقاط کے بادل پر ہاتھ سے ریگریشن لائن کھینچنے کو کہا جائے تو وہ تقریباً ہمیشہ بادل کا طولی محور کھینچتے ہیں – وہ لکیر جو تمام نقاط کے "سب سے قریب سے گزرتی ہے" (شماریاتی زبان میں: پہلے بنیادی جزو کی لکیر)۔ لیکن ریگریشن لائن صرف عمودی فاصلوں کو کم سے کم کرتی ہے، اور وہ ہمیشہ زیادہ ہلکی ہوتی ہے: .5 کی ہم بستگی والے معیاری شدہ متغیرات میں اس کی ڈھلوان بالکل بادل کے محور کی ڈھلوان کی آدھی ہوتی ہے (Gelman, Hill & Vehtari, 2020, pp. 187-188)۔ اور ظاہری شکل کے باوجود، پیش گوئی کے لیے یہی درست لکیر ہے: بادل کے بائیں کنارے پر تمام نقاط طولی محور کے اوپر ہوتے ہیں – وہ کم X قدروں کے لیے بہت کم اور زیادہ قدروں کے لیے بہت زیادہ پیش گوئی کرتا ہے – جبکہ ریگریشن لائن X کی ہر قدر پر Y کے اوسط سے گزرتی ہے۔ یہی اوپر بیان کی گئی اوسط کی طرف رجعت کی ہندسی وضاحت بھی ہے۔

لکیر ایک ماڈل ہے، اور ماڈل پیش گوئی کرتا ہے۔ ریگریشن لائن اس چیز کی سب سے سادہ شکل ہے جسے Field (2024، سیکشن 9.2) "لکیری ماڈل" کہتے ہیں: Ŷ = b₀ + b₁X۔ دونوں پیرامیٹر بالکل کیلکولیٹر کے تیار کردہ جدول کی آخری دو قطاریں ہیں – مقطع b₀ (جدول میں a): جب X = 0 ہو تو Y کی متوقع قدر؛ اور ڈھلوان b₁ (جدول میں b): X میں ایک اکائی اضافے پر Y میں متوقع تبدیلی۔ Y کے اوپر ٹوپی یاد دلاتی ہے کہ یہ پیش گوئی شدہ قدر (predicted value) ہے، مشاہدہ شدہ قدر نہیں: X کی ایک قدر رکھی جاتی ہے اور وہ Y ملتا ہے جس کی ماڈل توقع کرتا ہے۔ مثال کے ڈیٹا میں، مثلاً، ایسے جواب دہندہ کے لیے جس کی خود اعتمادی کی سطح 4.0 ہے ماڈل 1.159 + 0.687 × 4.0 ≈ 3.91 بھروسے کی توقع کرتا ہے۔ یہ پیش گوئی ہر شریک کے لیے درست نہیں – مشاہدہ شدہ قدر اور پیش گوئی شدہ قدر کے درمیان فرق باقیہ (residual) ہے، اور لکیر اس طرح چنی جاتی ہے کہ باقیات کے مربعوں کا مجموعہ کم سے کم ممکن ہو (کم ترین مربعوں کا طریقہ، Field، 2024، سیکشن 9.2.4)۔ اس لکیر کے بارے میں تین سادہ حقائق ہر شکل پڑھنے میں مدد دیتے ہیں (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 16.1): یہ ہمیشہ نقطے (X کا اوسط، Y کا اوسط) سے گزرتی ہے؛ اس کی ڈھلوان کی علامت ہم بستگی کی علامت ہے؛ اور جب ہم بستگی صفر ہو تو یہ Y کے اوسط کی اونچائی پر ایک افقی لکیر ہے – بالکل اگلے پیراگراف کا "کوئی تعلق نہیں" ماڈل۔

R² کہاں سے آتا ہے، اور p کے پیچھے کون سا ٹیسٹ ہے۔ یہ جاننے کے لیے کہ ماڈل اچھا ہے یا نہیں، اس کا موازنہ سب سے سادہ ممکنہ ماڈل سے کیا جاتا ہے – "کوئی تعلق نہیں": ہر شریک کے لیے Y کے اوسط کی پیش گوئی، X جو بھی ہو۔ مشاہدات کے اوسط سے فاصلوں کے مربعوں کا مجموعہ (SS_T) وضاحت طلب تغیر (variance) کی مقدار ہے؛ ریگریشن لائن سے فاصلوں کے مربعوں کا مجموعہ (SS_R) وہ ہے جو لکیر فٹ کرنے کے بعد غیر واضح رہ گیا؛ اور ان کے درمیان فرق (SS_M) وہ بہتری ہے جو لکیر لائی۔ R² محض تناسب SS_M / SS_T ہے – تغیر کا وہ حصہ جس کی ماڈل وضاحت کرتا ہے، اس میں سے جس کی وضاحت ہونی تھی (Field, 2024, Section 9.2.4)۔ انہی مربعوں کے مجموعوں پر F ٹیسٹ بنا ہے، جو پوچھتا ہے کہ کیا ماڈل اوسط سے معنی خیز طور پر بہتر ہے؛ اور ڈھلوان پر n − 2 درجاتِ آزادی کے ساتھ t ٹیسٹ بنا ہے، جو پوچھتا ہے کہ کیا b₁ صفر سے مختلف ہے (سیکشن 9.2.5)۔ جب صرف ایک پیش گو متغیر (predictor) ہو تو یہ دونوں ٹیسٹ اور پیئرسن ہم بستگی کا معنویت کا ٹیسٹ تین بھیسوں میں ایک ہی ٹیسٹ ہیں: F = t²، اور تینوں میں p قدر یکساں ہے۔ اس لیے کیلکولیٹر کے جدول میں p بیک وقت ہم بستگی کی، ڈھلوان کی اور پورے ماڈل کی معنویت ہے۔

مفروضات (assumptions)، آؤٹ لائرز اور اثر انداز مشاہدات

مفروضات – ان کی اہمیت کی ترتیب سے

دونوں متغیرات مقداری ہیں (مسلسل یا ترتیبی)؛ زمرہ جاتی (categorical) متغیر (مثلاً علاقہ یا مذہب) سکیٹر پلاٹ کے لیے موزوں نہیں – وہاں باکس پلاٹ یا تغیرات کا تجزیہ موزوں ہیں۔ اس کے علاوہ، Field (2024، سیکشن 9.4.1) لکیری ماڈل کے مفروضات کو ان کی اہمیت کے مطابق ترتیب دیتے ہیں، Field & Wilcox (2017) اور Gelman, Hill & Vehtari (2020، سیکشن 11.1) کی پیروی میں۔ مؤخر الذکر کے ہاں فہرست دو ایسے مفروضات سے شروع ہوتی ہے جو بالکل شماریاتی نہیں، اور جو سب سے اہم ہیں: صداقت – کہ ڈیٹا تحقیقی سوال کا جواب دیتا ہے: نتیجے کا متغیر واقعی مظہر کو ناپتا ہے (امتحان کے نمبر "ذہانت" نہیں)، ماڈل متعلقہ پیش گو متغیرات کو شامل کرتا ہے، اور ان صورتوں پر عام ہوتا ہے جن کے بارے میں بات کرنا مقصود ہے؛ اور نمائندگی – کہ نمونہ X دیے ہونے پر Y کی تقسیم کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس سے نکلنے والا عملی امتیاز سونے کے برابر ہے: X کے مطابق نمونے کا انتخاب (مثلاً قد اور آمدنی کے نمونے میں عورتوں یا لمبے لوگوں کی زیادتی) ریگریشن کو نقصان نہیں پہنچاتا؛ Y کے مطابق انتخاب (امیروں کی زیادتی) پہنچاتا ہے (ص 153-154)۔ ان کے بعد ہی چار شماریاتی مفروضات آتے ہیں، اسی ترتیب میں:

اس ترتیب کے پیچھے اہم نکتہ: مفروضات کی خلاف ورزی بنیادی طور پر تعمیم کو نقصان پہنچاتی ہے – معنویت کے ٹیسٹوں اور وقفہ ہائے اعتماد کو – نہ کہ لکیر کے تخمینوں کو۔ کیلکولیٹر جو ڈھلوان اور مقطع دکھاتا ہے وہ آپ کے سامنے موجود ڈیٹا کے لیے درست ہیں چاہے مفروضات پورے نہ ہوں؛ جو مشکوک ہو جاتا ہے وہ نمونے سے آبادی کے بارے میں نتیجہ ہے (Field, 2024, Section 9.4)۔ زیادہ درست طور پر (Field & Wilcox, 2017, Section Critical assumptions): جب باقیات کا تغیر (variance) یکساں نہ ہو یا مشاہدات ایک دوسرے پر منحصر ہوں تو a اور b کے تخمینے غیر متعصب رہتے ہیں – لیکن ان کی معیاری خطا کا فارمولا مستقل تغیر فرض کرتا ہے، اس لیے معیاری خطائیں متعصب ہوتی ہیں، اور ان کے ساتھ p قدریں اور وقفہ ہائے اعتماد بھی۔ لکیر درست ہے؛ اس پر کس حد تک بھروسا کیا جا سکتا ہے – یہ نہیں۔ یہی بات Cohen (1988، ص 75) کہتے ہیں: لکیری تعلق کے توضیحی اشاریے کے طور پر، r کسی مفروضے کا تقاضا نہیں کرتا – نہ متغیرات کی تقسیم کے بارے میں اور نہ تغیر کی یکسانیت کے بارے میں؛ مفروضات صرف معنویت کے ٹیسٹ کے ساتھ داخل ہوتے ہیں، اور تب بھی ان کی معتدل خلاف ورزی، خاص طور پر بڑے نمونے میں، ٹیسٹ کی صداقت کو سنجیدگی سے نقصان نہیں پہنچاتی۔ دو مزید عملی تقاضے: متغیرات میں تغیر ہونا لازمی ہے – جس متغیر کی تمام قدریں یکساں ہوں وہ کسی چیز کی پیش گوئی نہیں کر سکتا (ایسی صورت میں کیلکولیٹر خطا کا پیغام دکھاتا ہے)؛ اور نتیجے کا متغیر مسلسل ہونا چاہیے نہ کہ "محدود" – 1-5 کا پیمانہ جس میں تمام جوابات 4 اور 5 پر مرکوز ہوں اس چیز کو محدود کر دیتا ہے جو دریافت کی جا سکتی ہے۔

اور جانچ کیسے کی جاتی ہے۔ لکیریت کو خود سکیٹر پلاٹ میں جانچا جاتا ہے – اس صفحے کا یہی پورا مقصد ہے۔ باقیات کے بارے میں دونوں مفروضات کو باقیات کی شکل میں جانچا جاتا ہے، جو ریگریشن کے عمل سے حاصل ہوتی ہے نہ کہ سکیٹر پلاٹ سے: X محور پر پیش گوئی شدہ قدریں، Y محور پر باقیات، اور پوری وسعت میں ایک یکساں پٹی دیکھنا مطلوب ہے – بغیر قیف کے (تغیر کی یکسانیت کی خلاف ورزی) اور بغیر قوس کے (غیر لکیری تعلق کی باقیات)۔ SPSS میں: ریگریشن کی ونڈو میں، Plots بٹن، *ZPRED کو X میں اور *ZRESID کو Y میں۔ اور باقیات کی نارملٹی کو آنکھ سے جانچنا بہتر ہے – ہسٹوگرام میں یا، اس سے بہتر، Q-Q شکل میں (وہیں، Normal probability plot کے نشان کے ساتھ): نقاط وتر سے جتنے جڑے ہوں، تقسیم نارمل کے اتنی ہی قریب ہے۔ نارملٹی کے رسمی ٹیسٹ (Kolmogorov-Smirnov، Shapiro-Wilk) تقسیم کی شکل سے زیادہ نمونے کے حجم پر منحصر ہیں: چھوٹے نمونے میں وہ کمزور ہیں، اور بڑے نمونے میں تقریباً ہمیشہ معنی خیز آتے ہیں، معمولی انحراف پر بھی – Pallant (2020، ص 138-139) کہتی ہیں کہ بڑے نمونوں میں یہ عام ہے اور Tabachnick & Fidell کی پیروی میں ان کی بجائے ہسٹوگرام اور Q-Q شکل کی طرف رجوع کرتی ہیں۔ اور Gelman, Hill & Vehtari (2020، ص 155) ایک قدم آگے جاتے ہیں: لکیر کے تخمینے کے لیے – انفرادی مشاہدے کی پیش گوئی کے برعکس – باقیات کی نارملٹی "تقریباً بالکل اہم نہیں"، اس لیے وہ اسے جانچنے کی سفارش ہی نہیں کرتے؛ Q-Q شکل میں کوئی حرج نہیں، لیکن توجہ صداقت، نمائندگی اور لکیریت کی طرف موڑنی چاہیے۔

باقیات کی شکل خود Anscombe (1973، ص 18) کا خیال ہے، اور یہ وضاحت کرتی ہے کہ سکیٹر پلاٹ کیوں کافی نہیں: بظاہر باقیات کی شکل کوئی ایسی چیز نہیں دکھا سکتی جو اصل گراف میں نہ ہو، لیکن جب ہم نے لکیر ہٹا دی تو Y محور کھنچ جاتا ہے اور جو باقی رہتا ہے وہ واضح نظر آتا ہے۔ اس میں تلاش کرنے کی چار چیزیں: کچھ باقیات جو باقی سب سے کہیں بڑی ہوں (آؤٹ لائرز)؛ باقیات جو منحنی میں ترتیب پائیں (غیر لکیری تعلق)؛ پھیلاؤ جو پیش گوئی شدہ قدروں کے ساتھ بتدریج بڑھے (غیر یکساں تغیر)؛ اور باقیات کی متعصب (skewed) تقسیم۔ آخری تین، اگر قسمت ساتھ دے، Y کی تبدیلی (transformation) سے ایک ساتھ غائب ہو جاتے ہیں – مثلاً لوگارتھم – اور "منحنی" X کی تبدیلی یا مربع جزو شامل کرنے سے بھی حل ہو جاتی ہے۔ اور یقیناً ان میں سے ہر ایک کو رسمی ٹیسٹ سے جانچا جا سکتا ہے، لیکن شکل "خصوصیات کی ایک قسم کو تیزی اور واضح طور پر دکھاتی ہے، اور رسمی ٹیسٹ اکثر غیر ضروری لگتے ہیں" (وہیں)۔

اور کیا نہ بنائیں۔ تشخیصات کی ایسی فہرست کے بعد، Gelman & Hill (2007، ص 548) کا "فوری مشورہ" یاد رکھنا قابلِ قدر ہے: "کیا آپ واقعی تمام Q-Q شکلیں، اثر کی شکلیں اور وہ سب کچھ بنانا چاہتے ہیں جو شماریاتی پیکج اگلتا ہے؟ آپ اس سب کا کیا کریں گے؟" – اور وہ اصول جو وہ اس کی بجائے تجویز کرتے ہیں: جو بھی گراف آپ پیش کریں – اس کی وضاحت کے لیے تیار رہیں۔ ریگریشن لائن والا سکیٹر پلاٹ اور باقیات کی شکل وہ دو ہیں جو تقریباً ہمیشہ اس امتحان پر پورے اترتے ہیں؛ باقی تب شامل کیے جاتے ہیں جب ان کے پاس کہنے کو کچھ ہو۔

آؤٹ لائر اور اثر انداز مشاہدہ – ایک چیز نہیں

اس صفحے کا کیلکولیٹر شکل میں نشان لگاتا ہے اور "جانچ کے لیے مشاہدات" کے جدول میں ان نقاط کو جمع کرتا ہے جو یہاں بیان کردہ تین اشاریوں کی حدوں سے تجاوز کرتے ہیں – معیاری شدہ باقیہ (standardized residual)، لیوریج (leverage) اور Cook کا فاصلہ – اس مستقل تنبیہ کے ساتھ: تجاوز جانچنے کی وجہ ہے، حذف کرنے کی نہیں۔

تعلق کی شکل کے بعد دوسری چیز جو سکیٹر پلاٹ ظاہر کرتا ہے وہ اکیلے بیٹھے نقاط ہیں – بادل سے دور، کسی ایک محور کے کنارے پر یا دونوں پر۔ ایسا نقطہ واقعی ایک غیر معمولی شریک ہو سکتا ہے، لیکن اکثر یہ محض غلط ٹائپ کیا گیا ہندسہ ہوتا ہے، اس لیے پہلا قدم ہمیشہ فائل پر واپس جا کر قدر کو جانچنا ہے۔ اگر یہ حقیقی ہے، تو Anscombe (1973، ص 17-18) مشاہدے کو الگ مطالعے کے لیے ایک طرف رکھنے اور باقی ڈیٹا پر لکیر فٹ کرنے کی سفارش کرتے ہیں – اور مزید کہتے ہیں کہ یہ مطالعہ "بہت ثمر آور ثابت ہو سکتا ہے"۔ یہ خاص طور پر یہاں کیوں اہم ہے: پیئرسن ہم بستگی ایک اکیلے نقطے کے لیے بہت حساس ہے۔ Gravetter & Wallnau (2017، ص 499) اسے پانچ نقاط سے واضح کرتے ہیں جن کے درمیان ہم بستگی تقریباً صفر ہے (r = −.08)؛ ایک انتہائی نقطہ شامل کرنے سے یہ r = .85 تک اچھل جاتی ہے – ایک "مضبوط تعلق" جو پورا ایک شریک پر ٹکا ہے۔ جو صرف عدد پڑھے اسے یہ کبھی معلوم نہیں ہوگا۔ Field (2024، سیکشن 9.3) ایک ایسا امتیاز شامل کرتے ہیں جسے ذہن نشین کرنا مفید ہے: آؤٹ لائر وہ مشاہدہ ہے جس کی ماڈل بری پیش گوئی کرتا ہے – اس کا باقیہ بڑا ہے؛ اثر انداز مشاہدہ (influential observation) وہ مشاہدہ ہے جس کے بغیر لکیر مختلف نظر آتی۔ یہ دو مختلف چیزیں ہیں، اور ایک مشاہدہ دوسرے کے بغیر ایک ہو سکتا ہے۔

Field (2024، Jane Superbrain 9.1) کی مثال اسے خوب واضح کرتی ہے: لندن کے آٹھ علاقوں میں پبوں کی تعداد اور اموات کی تعداد ناپی گئی۔ ان میں سے سات میں تعلق کامل طور پر لکیری ہے؛ آٹھواں – لندن کا "سٹی"، ایک مربع میل جس میں چند رہائشی اور مسافروں کے لیے بے شمار پب ہیں – سب سے دور بیٹھا ہے۔ اور پھر بھی اس کا باقیہ تقریباً سب سے چھوٹا ہے، کیونکہ وہ لکیر کو اپنی طرف "کھینچتا" ہے یہاں تک کہ لکیر اس کے قریب سے گزرتی ہے۔ باقیہ کے مطابق وہ آؤٹ لائر نہیں؛ اثر کے اشاریوں کے مطابق وہ لکیر کو مکمل طور پر بدل دیتا ہے۔ نتیجہ: سکیٹر پلاٹ میں، X محور کے کنارے پر دور کا اکیلا نقطہ وسعت کے درمیان میں لکیر سے دور نقطے سے زیادہ خطرناک ہے۔

چھ ترتیبیں جن سے واقفیت مفید ہے۔ جس کتاب سے زیادہ تر جدید اثر کے اشاریے نکلے وہ دراصل ایک سکیٹر پلاٹ سے شروع ہوتی ہے: Belsley, Kuh & Welsch (1980، ص 8-9) "عجیب نقطے" کی چھ اسلوبی ترتیبیں پیش کرتے ہیں، اور یہ اس کا اچھا نقشہ ہیں جو بادل میں چھپا ہو سکتا ہے۔ نیچے دی گئی شکل میں ٹھوس لکیر تمام نقاط پر ریگریشن لائن ہے، اور نقطہ دار لکیر – وہ لکیر جو نشان زد نقاط کے بغیر حاصل ہوتی:

(الف) یکساں پھیلاؤ – مطلوبہ صورت؛ اگر X کا پھیلاؤ کم ہو تو ڈھلوان درست نہیں ہوگی، لیکن اس کی معیاری خطا یہ پہلے ہی بتا دیتی ہے۔ (ب) X کی وسعت کے درمیان میں آؤٹ لائر – لکیر سے دور نقطہ، لیکن X کے اوسط کے قریب: ڈھلوان تقریباً نہیں ہلتی، صرف مقطع؛ یہ نسبتاً "معصوم" آؤٹ لائر ہے، جس کی نشانی بڑا باقیہ ہے۔ (ج) فاصلہ، لیکن مطابق – دور کا نقطہ جو بالکل لکیر کے تسلسل پر بیٹھا ہے: نقصان دہ نہیں، بلکہ مفید بھی – یہ ڈھلوان کے تخمینے کا تغیر (variance) کم کرتا ہے۔ یہ یاد دہانی ہے کہ انتہائی نقطہ لازماً برا نقطہ نہیں۔ (د) وہ نقطہ جو ڈھلوان طے کرتا ہے – سب سے تشویشناک ترتیب: دور کے نقطے کے بغیر تقریباً کوئی تعلق نہیں، اور اس کے ساتھ واضح تعلق ہے؛ دراصل، جیسا کہ مصنفین کہتے ہیں، یہاں "عملاً صرف دو نقاط" ہیں۔ اس کا باقیہ چھوٹا ہے – لکیر اس سے گزرتی ہے – اس لیے باقیات کے اشاریے اسے نہیں پکڑیں گے؛ لیوریج (leverage) پکڑے گا۔ Cook & Weisberg (1982، ص 102-103) اثر کی بحث بالکل ایسے ہی گراف سے شروع کرتے ہیں، اور زور دیتے ہیں کہ جو پہلے سے لکیر کی تبدیلی کی توقع رکھتا ہو وہ بھی اشاریوں کے ساتھ ہونے والی بات پر حیران ہوگا: دور کے نقطے کے ساتھ R² = .90؛ اس کے بغیر – .01 سے کم۔ (ہ) دو جو کھینچتے ہیں – زیادہ لیوریج والے دو نقاط، جن میں سے ہر ایک اکیلا لکیر کو جھکا دیتا ہے؛ یہاں، مصنفین لکھتے ہیں، عمل درکار ہے: حذف، یا – زیادہ نرمی سے – ان کا وزن کم کرنا، یا ماڈل بدلنا۔ (و) باہمی پردہ پوشی – دو جڑے ہوئے نقاط: ان میں سے ایک کو حذف کرنے سے لکیر تقریباً نہیں بدلتی، کیونکہ دوسرا کھینچتا رہتا ہے، اس لیے مشاہدہ بہ مشاہدہ جانچنے والے اشاریے (جیسے Cook کا فاصلہ) دونوں کو نظرانداز کر سکتے ہیں (وہیں، ص 9، 31)۔ یہی وجہ ہے کہ آنکھ کا کوئی متبادل نہیں: ایسا جوڑا سکیٹر پلاٹ میں فوراً نمایاں ہوتا ہے۔

مقدار بندی کے لیے: معیاری شدہ باقیات (standardized residuals) – معیاری اسکورز میں باقیات: 3.29 سے زیادہ مطلق قدر تشویش کی وجہ ہے؛ اگر 1% سے زیادہ مشاہدات 2.58 سے اوپر ہوں، یا 5% سے زیادہ 1.96 سے اوپر – تو ماڈل ڈیٹا کی بری نمائندگی کرتا ہے؛ Cook کا فاصلہ – پورے ماڈل پر مشاہدے کا اثر: اسے حذف کرنے پر تمام عددی سر مل کر کتنا ہلتے ہیں۔ یہ اشاریہ، Cook & Weisberg (1982، ص 117) کی تحلیل کے مطابق، اس فہرست کے دوسرے دو عوامل کا حاصل ضرب ہے – معیاری شدہ باقیہ کا مربع ضرب لیوریج (leverage) کی "استعداد" (h/(1 − h)) – اس لیے مشاہدہ دو مختلف وجوہات سے اثر انداز ہو سکتا ہے: کیونکہ وہ لکیر سے دور ہے، یا کیونکہ وہ X محور پر دور ہے؛ ان کی دی گئی مثال (3.5.1) میں چار مشاہدات کو بالکل وہی D = 3 ملتا ہے، دو دو ہر وجہ سے۔ مسلمہ حد، D > 1، کا مطلب ہے کہ مشاہدے کو حذف کرنا ماڈل کے تخمینوں کو 50% کے اعتماد کے علاقے سے باہر لے جاتا ہے – اور Cook & Weisberg اسے صرف "موازنے کی بنیاد" کے طور پر تجویز کرتے ہیں، اور خبردار کرتے ہیں کہ "بڑے" کی تعریف مسئلے پر منحصر ہے (ص 118)؛ اور لیوریج (leverage) – مشاہدے کی X قدر کتنی انتہائی ہے، اوسط 2(k + 1)/n کے دوگنے سے زیادہ قدریں جانچیں (Hoaglin & Welsch، 1978، سیکشن 2؛ Belsley, Kuh & Welsch، 1980، ص 17؛ ایک پیش گو متغیر کے ساتھ: 4/n)۔ لیوریج، h، تعریف کے لحاظ سے مشاہدے کا اپنی پیش گوئی شدہ قدر میں وزن ہے – h = 1 پر ماڈل اس کے لیے ایک پیرامیٹر "وقف" کر دیتا ہے اور ریگریشن لائن لازماً اس سے گزرتی ہے – اور سادہ ریگریشن میں اس کا ایک شفاف فارمولا ہے: h = 1/n + (x − x̄)² / Σ(x − x̄)² – X کے مجموعی پھیلاؤ میں مشاہدے کا حصہ (Hoaglin & Welsch, 1978, Section 3)۔ اس سے دو باتیں یاد رکھنے کے قابل ہیں۔ دو متغیرات کے سکیٹر پلاٹ میں لیوریج بس نظر آتا ہے: X محور پر انتہائی مشاہدہ زیادہ لیوریج والا مشاہدہ ہے، اور کسی اشاریے کی ضرورت نہیں؛ اشاریہ صرف تب ناگزیر ہو جاتا ہے جب کئی پیش گو متغیرات ہوں، اور تب ایک مشاہدہ ان کے امتزاج میں دور ہو سکتا ہے بغیر کسی ایک میں انتہائی ہوئے، اور کوئی گراف اسے ظاہر نہیں کرے گا (وہیں، سیکشن 2)۔ اور دوسرا، وہ حکمتِ عملی جو Hoaglin & Welsch تجویز کرتے ہیں (سیکشن 5): X محور پر حساس نقاط کی نشاندہی کے لیے لیوریج اور غیر معمولی Y قدروں کی نشاندہی کے لیے اسٹوڈنٹائزڈ باقیات جانچی جاتی ہیں – دونوں، کیونکہ زیادہ لیوریج والا مشاہدہ چھوٹا باقیہ دکھا سکتا ہے عین اس لیے کہ وہ لکیر کو پہلے ہی اپنی طرف کھینچ چکا ہے، اور اکیلا باقیات کا اشاریہ اسے نظرانداز کر دے گا۔ اور ان کی ایک تنبیہ جو سب کہی گئی باتوں میں توازن پیدا کرتی ہے: X میں انتہائی نقاط ہی ڈھلوان کے بارے میں زیادہ تر معلومات رکھتے ہیں، اس لیے لیوریج والے نقطے کو حذف کرنا اس درستی کو بہت کم کر سکتا ہے جس سے اس کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے – "ایسے فیصلے خودکار طور پر نہیں کیے جا سکتے"۔ Belsley, Kuh & Welsch دو اشاریے مزید شامل کرتے ہیں جو SPSS کی Save ونڈو میں بھی آتے ہیں: Standardized DfBeta – مشاہدہ حذف کرنے پر ڈھلوان کتنی معیاری خطاؤں سے ہلتی ہے، حد 2/√n؛ اور Standardized DfFit – اس کی پیش گوئی شدہ قدر کتنی ہلتی ہے، حد 2√(p/n)، جہاں p مقطع سمیت پیرامیٹرز کی تعداد ہے (1980، ص 28)۔ لیوریج ممکنہ خطرہ ناپتا ہے – مشاہدہ X میں کتنا دور ہے؛ یہ دونوں حقیقی نقصان ناپتے ہیں۔ یہ سب SPSS میں ریگریشن کے عمل سے حاصل کیے جاتے ہیں (Save بٹن)، سکیٹر پلاٹ سے نہیں – دیکھیں گراف سے ریگریشن تک۔

قدروں کی محدود وسعت۔ ایک خاموش پھندا جو خود گراف میں نظر نہیں آتا: جب نمونہ ممکنہ قدروں کی وسعت کے صرف ایک تنگ حصے کا احاطہ کرے – مثلاً ذہانت اور کامیابیوں کے تعلق کی پیمائش صرف اعلیٰ ڈگری کے طلبہ میں – تو حاصل ہونے والی ہم بستگی اس سے مختلف، اور عموماً کم، ہوتی ہے جو پوری وسعت سے حاصل ہوتی۔ نمونے میں دونوں متغیرات کی وسعت جتنی زیادہ ہو، تعلق کا تخمینہ اتنا ہی قابلِ اعتماد ہے؛ اور جب جان بوجھ کر ایک انتہائی گروہ کا مطالعہ کیا جائے (مثلاً زیادہ اضطراب والے مریض)، تو ہم بستگی کو نمونہ لی گئی وسعت سے آگے عام نہیں کرنا چاہیے (Pallant, 2020, p. 136)۔ سکیٹر پلاٹ میں یہ ایسے بادل کی طرح نظر آتا ہے جو محوروں کے صرف ایک کونے کو ڈھانپتا ہے۔ Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 57-58) اسے اعداد سے واضح کرتے ہیں: جب فیکلٹی ارکان کے نمونے کو صرف ان تک محدود کیا جائے جنہوں نے 5-11 سال پہلے ڈاکٹریٹ مکمل کی (3-18 کی بجائے)، تو ملازمت کی مدت اور اشاعتوں کی تعداد کے درمیان ہم بستگی .657 سے .388 پر، اور R² .43 سے .15 پر گر جاتی ہے – جبکہ ریگریشن کی ڈھلوان تقریباً نہیں ہلتی (1.98 بمقابلہ 2.46)۔ یہ ایک عمومی خصوصیت ہے: جب تعلق لکیری ہو، تو b X کے پھیلاؤ میں تبدیلیوں کے مقابل مستحکم ہے، اور r نہیں۔ یہاں سے دو عملی سفارشات – ہمیشہ متغیرات کے معیاری انحراف رپورٹ کریں، تاکہ قاری فیصلہ کر سکے کہ کیا وسعت محدود ہے؛ اور جب ایسے نمونوں کے درمیان تعلق کا موازنہ کیا جائے جن کے معیاری انحراف مختلف ہوں، تو ڈھلوانوں کا موازنہ کریں نہ کہ ہم بستگیوں کا۔

جو گراف نہیں دکھا سکتا: پیمائش کی اعتباریت۔ سوالنامے خطا کے ساتھ ناپتے ہیں، اور پیمائش کی خطا ہر ہم بستگی کو کمزور کر دیتی ہے: دو مشاہدہ شدہ اسکورز کے درمیان ہم بستگی ان کی اعتباریتوں کے حاصل ضرب کے جذر سے زیادہ نہیں ہو سکتی، r_XY ≤ √(r_XX·r_YY)۔ .80 اعتباریت والے دو پیمانے .80 سے آگے مربوط نہیں ہو سکیں گے، اور ان کے درمیان .44 کی مشاہدہ شدہ ہم بستگی "حقیقی" ساختوں کے درمیان .55 کی ہم بستگی کے مطابق ہے – یہ تخفیف کی تصحیح (correction for attenuation) ہے: r کو اسی جذر سے تقسیم کیا جاتا ہے (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 55-57)۔ اس سے دو باتیں نکلتی ہیں۔ پہلی، غیر اعتباریت کم ہم بستگی کی کافی وضاحت ہے، لیکن یہ جعلی طور پر بلند ہم بستگی پیدا نہیں کر سکتی – غیر معتبر پیمانوں کے درمیان مضبوط ہم بستگی خاص طور پر مضبوط نتیجہ ہے۔ Cohen (1988، ص 79) بالکل یہی حساب یہ وضاحت کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں کہ r = .10 اتنا "چھوٹا" کیوں نہیں کہ اس کی تلاش نہ کی جائے: دو نظری ساختیں جن کی حقیقی ہم بستگی .25 ہو، جب ہر ایک ایسے آلے سے ناپی جائے جو اپنی ساخت سے .63 مربوط ہو، تو پیمائش میں صرف .25 × .63 × .63 = .10 مربوط ہوں گی – "نفسیات میں"، تھرسٹن کے اس اقتباس کے مطابق جو وہ پیش کرتے ہیں، "ہم لوگوں کو ان کے سایوں سے ناپتے ہیں"۔ دوسری، تصحیح شدہ ہم بستگی ایک فرضی قدر ہے نہ کہ ڈیٹا: اسے صرف مشاہدہ شدہ ہم بستگی کے ساتھ اور احتیاط سے رپورٹ کریں – جب اعتباریتوں کا تخمینہ کسی دوسرے نمونے میں لگایا گیا ہو یا بہت کم لگایا گیا ہو، تو تصحیح مبالغہ آمیز قدر دے سکتی ہے، حتیٰ کہ 1 سے بھی بڑی۔ اور ریگریشن لائن کے بارے میں ایک باریک نکتہ: ڈھلوان b Y میں غیر اعتباریت سے متاثر نہیں ہوتی (وہاں شور باقیات میں جذب ہو جاتا ہے)، لیکن X میں غیر اعتباریت سے ضرور متاثر ہوتی ہے۔ خود اعتباریت کرونباخ الفا اور پیمانے کا اسکور کے صفحے پر حساب کی جاتی ہے۔

آئٹم بمقابلہ وہ پیمانہ جس کا وہ حصہ ہے۔ ایک قریبی پھندا: کسی ایک آئٹم کا اسی کو شامل کرنے والے پیمانے کے اسکور کے مقابل سکیٹر پلاٹ ہمیشہ مثبت تعلق دکھائے گا – محض اس لیے کہ آئٹم مجموعے کا حصہ ہے۔ k ایسے آئٹمز کے ساتھ جو ایک دوسرے سے بالکل متعلق نہیں، ہر آئٹم مجموعے سے 1/√k پر مربوط ہوتا ہے: دو آئٹمز کے ساتھ – .71، چار کے ساتھ – .50، بغیر کسی حقیقی تعلق کے (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 59)۔ اس لیے آئٹم کی پیمانے سے ہم بستگی ہمیشہ اس کے بغیر پیمانے کے مقابل حساب کی جاتی ہے (corrected item-total correlation) – اور یہی بالکل وہ کالم ہے جو اعتباریت کا صفحہ تیار کرتا ہے۔ اسی انداز میں (وہیں، ص 53): r = 1 صرف تب ممکن ہے جب دونوں متغیرات کی تقسیم ایک ہی شکل کی ہو، اور تقسیمیں جتنی مختلف ہوں – خاص طور پر جب وہ مخالف سمتوں میں متعصب (skewed) ہوں، یا جب دونوں متغیرات بہت مختلف تناسب کے ساتھ دو حصی ہوں – ہم بستگی کی چھت 1 سے اتنی ہی کم ہوتی ہے۔

اور سب سے اہم تنبیہ۔ تشخیصی اشاریے یہ دیکھنے کے لیے ہیں کہ ماڈل ڈیٹا سے کتنا مطابقت رکھتا ہے – نہ کہ مطلوبہ نتیجہ حاصل کرنے کے لیے نقاط حذف کرنے کا جواز دینے کے لیے، مثلاً غیر معنی خیز ڈھلوان کو معنی خیز بنانا (Field, 2024, Section 9.3.3)۔ Belsley, Kuh & Welsch (1980، ص 3-4)، جنہوں نے ان میں سے بہت سے اشاریے تیار کیے، انہیں واضح طور پر اس عام اور اتنے ہی نامناسب علاج کو روکنے کے لیے لکھا – "آؤٹ لائرز کو پھینک دینا"، جن میں سے بہت سے، جیسا کہ وہ کہتے ہیں، بالکل اثر انداز نہیں ہوتے: غیر معمولی مشاہدہ لازماً برا مشاہدہ نہیں، اور کبھی کبھی وہ نمونے کی سب سے دلچسپ معلومات رکھتا ہے؛ اس کی شناخت کے بعد ہی اس کے معیار کا فیصلہ اور یہ طے کیا جا سکتا ہے کہ کیا کرنا ہے۔ جو غیر معمولی مشاہدہ لکیر پر اثر نہیں ڈالتا وہ ماڈل کے لیے خطرہ نہیں، اور ہر صورت میں دلچسپ سوال یہ ہے کہ وہ ماڈل سے کیوں مطابقت نہیں رکھتا۔ آؤٹ لائرز سے نمٹنے کے دو عام طریقے اصولی وجہ سے ناقص ہیں (Field & Wilcox, 2017, Section Alternative estimators): معیاری انحرافات کے مطابق کٹائی – مثلاً ہر اس مشاہدے کو حذف کرنا جو اوسط سے 2.5 معیاری انحراف سے زیادہ دور ہو، جو ردعمل کے وقت کے ڈیٹا میں ایک رائج عادت ہے – اوسط اور معیاری انحراف پر مبنی ہے، جو خود آؤٹ لائرز کے لیے سب سے حساس اشاریے ہیں، اس لیے ایک بڑا آؤٹ لائر دوسروں کو "چھپا" دیتا ہے؛ اور آؤٹ لائرز کو دستی طور پر ہٹانا، جس کے بعد باقی پر معمول کی ریگریشن چلائی جاتی ہے – اس بات کو نظرانداز کرتا ہے کہ ڈیٹا پہلے ہی "صاف" کیا جا چکا ہے، اس لیے حاصل ہونے والی معیاری خطائیں غلط ہیں، نمونہ چاہے کتنا ہی بڑا ہو۔ مضبوط (robust) متبادل – 20% تراشے ہوئے اوسط، M-تخمینے جو تجرباتی طور پر آؤٹ لائر کی شناخت کر کے اس کا وزن کم کرتے ہیں، اور مضبوط ریگریشن – زیادہ تر R میں دستیاب ہیں (وہیں، ص 17-18، 32-34)؛ SPSS میں جو دستیاب ہے، اور ہر صورت میں تجویز کردہ ہے، وہ بوٹ اسٹریپ ہے جو گراف سے ریگریشن تک کے سیکشن میں ہے۔ اور عملاً کیا کیا جائے جب ایک مشاہدے نے لکیر میں بہت حصہ ڈالا ہو؟ Anscombe (1973، ص 18-20) ٹیسٹ اور حل دونوں بیان کرتے ہیں۔ ٹیسٹ: ہم ایسے تعلق کے بارے میں زیادہ مطمئن ہیں جو کچھ مشاہدات – کوئی سے بھی – حذف کرنے کے بعد بھی نمایاں رہے، یعنی ایسا تعلق جو "تمام مشاہدات میں سرایت کرتا ہے اور بنیادی طور پر ایک یا دو سے پیدا نہیں ہوتا"۔ اور حل، امریکہ کی پچاس ریاستوں میں تعلیم پر اخراجات کی ایک مثال سے جس میں الاسکا نے، سب سے دور پیش گو قدروں کے ساتھ، لکیر میں خاص حصہ ڈالا: الاسکا کو خارج نہ کریں – کیونکہ اس کے بعد ہوائی، کیلیفورنیا، نیویارک آئیں گے، "اور کہاں رکا جائے؟" – بلکہ تمام ریاستوں پر ریگریشن رپورٹ کریں، شامل کریں کہ الاسکا نے اس میں بہت حصہ ڈالا، اور بتائیں کہ اس کے بغیر کیا ہوتا ہے (وہیں: لکیر تقریباً نہیں بدلی، معیاری خطائیں تھوڑی بڑھیں اور R² گرا)۔ دونوں باتیں – تمام ڈیٹا میں تعلق اور مشاہدے کا خاص حصہ – نتیجہ ہیں۔ Cook & Weisberg (1982، ص 104) امکانات کا خلاصہ کرتے ہیں، یہ واضح کرنے کے بعد کہ ان کے تیار کردہ اشاریے "ڈیٹا کو مسترد کرنے کے اصول فراہم کرنے کے لیے نہیں ہیں": جس مشاہدے کا ماخذ پیمائش کی غلطی، ٹائپنگ یا نامناسب تجرباتی حالات ہوں – درست یا حذف کیا جاتا ہے؛ جس مشاہدے کی ایسی کوئی وضاحت نہ ہو – آؤٹ لائرز کا رسمی ٹیسٹ (اس احتیاط کے ساتھ کہ اس سے زیادہ قوت کی توقع نہ رکھی جائے)، مزید ڈیٹا جمع کرنا، یا – جو عموماً موزوں ہے – دونوں تجزیوں کی رپورٹنگ، مشاہدے کے ساتھ اور اس کے بغیر۔ حتمی فیصلہ، وہ لکھتے ہیں، ہمیشہ سیاق پر منحصر ہے، اس لیے کوئی عمومی سفارش نہیں۔

کتنے شرکاء درکار ہیں؟

عام عملی اصول – ہر پیش گو متغیر (predictor) کے لیے 10 یا 15 شرکاء – اس حد تک سادہ ہیں کہ بے فائدہ ہیں (Field, 2024, Section 9.5): درکار نمونے کا حجم اس تعلق کی قوت پر منحصر ہے جس کے ملنے کی توقع ہے اور مطلوبہ شماریاتی قوت پر۔ ایک پیش گو متغیر کے ساتھ، اور مسلمہ طور پر 0.8 کی قوت کے لیے (Cohen، 1988)، Field حساب کرتے ہیں: مضبوط تعلق (R² ≈ .26) کی دریافت کے لیے تقریباً 25 شرکاء کافی ہیں، درمیانے تعلق (R² ≈ .13) کے لیے تقریباً 55، لیکن کمزور تعلق (R² ≈ .02) کے لیے سینکڑوں درکار ہیں۔ اور چھوٹا نمونہ الٹی سمت میں بھی گمراہ کرتا ہے: مکمل طور پر بے ترتیب ڈیٹا سے متوقع R k/(N − 1) ہے – 21 شرکاء اور ایک پیش گو متغیر کے ساتھ، خالص شور بھی 0.05 کا R دے گا، اور ایسے "تعلق" سے متاثر ہونا آسان ہے جو موجود نہیں۔

Field کے اعداد Cohen کے جداول پر مبنی ہیں، اور انہیں اصل میں جاننا مفید ہے: جدول 3.4.1 (1988، ص 102) میں، .05 کی سطح اور .80 قوت پر دو طرفہ ٹیسٹ کے لیے، 28 جوڑے r = .50 کی دریافت کے لیے، 85 – r = .30 کے لیے، اور 783 – r = .10 کے لیے درکار ہیں (اور .90 قوت کے لیے: 37، 113 اور 1,047)۔ Field کے اعداد سے چھوٹے فرق اس لیے ہیں کہ وہ اثر کو .02 / .13 / .26 کے R² میں متعین کرتے ہیں۔ جدول الٹا بھی پڑھا جاتا ہے: مثلاً n = 50 کے ساتھ، درمیانے تعلق کی دریافت کا امکان صرف .57 ہے (وہیں، مثال 3.4) – اور یہ ایسا نمونہ ہے جو بہت سوں کو بالکل معقول لگتا ہے۔ اور Cohen کا ایک نکتہ جو یاد رکھنے کے قابل ہے: جب نمونے میں قدروں کی وسعت محدود ہو تو جداول درست نہیں (ص 100) – اوپر قدروں کی محدود وسعت دیکھیں۔

یہ اعداد کہاں سے آتے ہیں۔ Gelman & Hill (2007، ص 441) ہر شماریاتی قوت کے جدول کے پیچھے کی منطق ایک سطر میں بیان کرتے ہیں: معنی خیز نتیجہ ملنے کے 80% امکان کے لیے، حقیقی اثر صفر سے 2.8 معیاری خطائیں دور ہونا چاہیے – 1.96 تاکہ 95% کا وقفۂ اعتماد صفر کو شامل نہ کرے، اور مزید 0.84 تاکہ نارمل تقسیم کے 80ویں فیصدیہ (percentile) تک پہنچا جائے۔ ہم بستگی کے عددی سر کی معیاری خطا کے ساتھ (فشر کی z تبدیلی میں، 1/√(n − 3)) یہ اصول اوپر کے اعداد دوبارہ پیدا کرتا ہے: r = .30 کے لیے 85 شرکاء نکلتے ہیں، r = .10 کے لیے 780 کے قریب۔ اس سے دو عملی نتائج نکلتے ہیں۔ پہلا: معیاری خطائیں 1/√n کی طرح گھٹتی ہیں، اس لیے معیاری خطا کو آدھا کرنے کے لیے چار گنا شرکاء درکار ہیں – r = .10 پر یہ 783 اور تقریباً 3,100 کا فرق ہے (وہیں، ص 446)۔ دوسرا، زیادہ اہم: ہر شماریاتی قوت کا حساب حقیقی اثر کا حجم فرض کرتا ہے، "ایسا مفروضہ جو اپنی فطرت میں دستیاب ڈیٹا سے جانچا نہیں جا سکتا" – ایک سابقہ نمونہ جس نے r = .30 دیا وہ کہیں کمزور تعلق سے بھی مطابقت رکھتا ہے – اس لیے "کسی مجوزہ تحقیق سے لازماً معنویت کی توقع نہیں رکھنی چاہیے، چاہے نمونے کا حجم درست حساب کیا گیا ہو" (وہیں، ص 447)۔ شماریاتی قوت کا جدول منصوبہ بندی کا آلہ ہے، ضمانت نہیں۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

اس صفحے کا کیلکولیٹر SPSS میں Graphs مینو کے Simple Scatter عمل کے متوازی ہے۔ تفصیلی رہنمائی کے لیے دیکھیں Field (2024، سیکشن 5.8) اور Pallant (2020، ص 153-157)۔ SPSS میں سکیٹر پلاٹ کے دو راستے ہیں: پرانے ڈائیلاگ باکس (Legacy Dialogs)، جن میں ہم یہاں قدم بہ قدم چلیں گے، اور نیا Chart Builder، جو سیکشن کے آخر میں پیش کیا گیا ہے۔ دونوں ایک ہی گراف تیار کرتے ہیں۔

ورژنز کے بارے میں نوٹ۔ اس سیکشن کے اسکرین شاٹس SPSS ورژن 21 میں تیار کیے گئے۔ خود طریقۂ کار ورژنز میں مستحکم ہیں، لیکن مینو میں آئٹمز کا مقام، ٹیبز کے نام اور گیلری میں اختیارات کی تعداد کچھ بدل سکتی ہے – اور اگر آپ کی اسکرین تھوڑی مختلف نظر آئے، تو غالباً یہی وجہ ہے۔ Field (2024)، جس پر یہ سیکشن مبنی ہے، بھی ورژن 29 کے مطابق لکھا گیا۔ Field خود اس معاملے میں تسلی دیتے ہیں – ہر ایڈیشن کے درمیان نئے ورژن آتے ہیں، اور کتاب میں بیان کردہ طریقۂ کار ان سے تقریباً متاثر نہیں ہوتے۔

مینو میں Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot… منتخب کیا جاتا ہے:

کھلنے والے Scatter/Dot ڈائیلاگ باکس میں پانچ اختیارات میں سے گراف کی قسم منتخب کی جاتی ہے، اور پھر Define پر کلک کیا جاتا ہے:

Simple Scatter – ایک تابع اور ایک آزاد متغیر کا سکیٹر پلاٹ؛ یہ بنیادی قسم ہے، وہی جو یہ صفحہ حساب کرتا ہے، اور باکس کھلنے پر یہی طے شدہ طور پر نشان زد ہوتی ہے۔ Overlay Scatter – ایک ہی گراف پر متغیرات کے کئی جوڑے۔ Matrix Scatter – ایک میٹرکس جو متغیرات کی فہرست میں سے تمام ممکنہ جوڑوں کو بیک وقت دکھاتا ہے (یہ دونوں آگے توسیعات کے سیکشن میں تفصیل سے آتے ہیں)۔ 3-D Scatter – بیک وقت تین متغیرات کا سکیٹر پلاٹ۔ اور Simple Dot، یہاں واحد اختیار جو سکیٹر پلاٹ نہیں – نقطوں کی شکل جو ایک متغیر کی تقسیم کو بیان کرتی ہے، ہسٹوگرام کی طرح جس میں ہر مشاہدہ ایک نقطہ ہے۔

Simple Scatter منتخب کرنے پر Simple Scatterplot کی ترتیب کی ونڈو کھلتی ہے: تابع متغیر کو Y Axis خانے میں اور آزاد متغیر کو X Axis خانے میں منتقل کیا جاتا ہے – ہماری مثال میں بھروسا (trust) Y محور پر اور خود اعتمادی (efficacy) X محور پر:

ونڈو میں تین مزید خانے مفید ہیں، لیکن لازمی نہیں: Set Markers by نقاط کو تیسرے متغیر کے زمروں کے مطابق رنگ دیتا ہے (خیال پرانا ہے: Anscombe، 1973، ص 20، نے اسے triple scatterplot کہا – دو متغیرات کا گراف جس میں نقطے کی علامت تیسرے متغیر کو کوڈ کرتی ہے، اور ان کی نظر میں یہ تین جہتی گراف کا ناقص مگر کافی متبادل تھا)؛ Label Cases by ہر نقطے پر لیبل شامل کرتا ہے، کسی خاص آؤٹ لائر کی نشاندہی کے لیے مفید؛ اور Panel by Rows/Columns گراف کو گروہوں کے مطابق الگ ذیلی گرافوں میں تقسیم کرتا ہے (اگلے سیکشن میں Overlay Scatter دیکھیں)۔ OK پر کلک کرنے سے گراف تیار ہوتا ہے:

آگے بڑھنے سے پہلے اس گراف میں تین چیزیں توجہ کے قابل ہیں۔ پہلی، نقاط ایک جال میں ترتیب پائے ہیں۔ دونوں متغیرات پیمانے کے آئٹمز کے اوسط ہیں، اس لیے وہ صرف آدھے نکتے کے وقفوں سے قدریں لیتے ہیں۔ یہ بالکل درست ہے، اور ڈیٹا میں کسی خرابی کی نشاندہی نہیں کرتا۔

دوسری، اور یہ زیادہ اہم ہے – اسکرین پر 479 سے بہت کم نقاط نظر آتے ہیں۔ جن شرکاء کی قدریں دونوں متغیرات میں یکساں ہیں وہ ایک دوسرے کے اوپر بنتے ہیں (overplotting)، اور اسکرین پر ایک نقطہ درجنوں مشاہدات کی نمائندگی کر سکتا ہے۔ عملی مطلب: ایسے گراف میں تعلق کی قوت کا آنکھ سے اندازہ نہیں لگایا جا سکتا، کیونکہ کثافت – اہم معلومات – بس نظر نہیں آتی؛ اس لیے اسے عدد (r یا R²) سے ناپا جاتا ہے نہ کہ تاثر سے۔ جو اچھی طرح نظر آتی ہے وہ بادل کی شکل ہے: نچلا دایاں کونا – کم بھروسے کے ساتھ زیادہ خود اعتمادی – تقریباً مکمل طور پر خالی ہے، اور یہی بالکل مثبت تعلق کی نشانی ہے۔ (اس صفحے کی شکل میں نقاط جزوی شفافیت کے ساتھ بنائے گئے ہیں، اس لیے ایک ہی جگہ مشاہدات کا جمع ہونا گہرے دھبے کی طرح نظر آتا ہے – کثافت کا ایک بصری اشارہ جو SPSS کے عام آؤٹ پٹ میں نہیں۔) overplotting کا ایک اور علاج جِٹر (jittering) ہے: ہر شریک کی قدر میں، ایک محور یا دونوں پر، معمولی بے ترتیب "شور" شامل کیا جاتا ہے، تاکہ ایک دوسرے پر بیٹھے نقاط تھوڑے بکھر جائیں اور کثافت کا احساس پیدا ہو۔ خود قدریں نہیں بدلتیں – صرف تصویر – اور حساب یقیناً اصل ڈیٹا پر کیا جاتا ہے (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 111)۔ وہ صورت جس میں یہ تکنیک واقعی ناگزیر ہے ایسا سکیٹر پلاٹ ہے جس کا ایک متغیر زمرہ جاتی (categorical) ہو، مثلاً 0/1 کوڈنگ میں جنس: جِٹر کے بغیر ہر گروہ ایک عمودی کالم ہے، جس میں ایک شریک اور سو شرکاء میں فرق نہیں کیا جا سکتا۔

کتنا شور شامل کیا جائے؟ Gelman & Hill (2007، ص 554) ایک اصول دیتے ہیں: مکمل اعداد والے ڈیٹا کے لیے – X اور Y کی ہر قدر کے لیے −0.3 اور +0.3 کے درمیان ایک یکساں بے ترتیب عدد؛ اور عمومی طور پر، "بس اتنا کہ ڈیٹا کی منفصل نوعیت اب بھی واضح رہے"۔ آدھے نکتے کے وقفوں والے لیکرٹ ڈیٹا کے لیے، جیسا کہ مثال میں ہے، متناظر وسعت تقریباً ±0.15 ہے۔ وہ اس متبادل کو بھی رد کرتے ہیں جس میں اوورلیپ کرنے والے نقطے کو کسی ہندسے (2، 3…) یا خاص علامت سے نشان زد کیا جاتا ہے: یہ بصری طور پر گمراہ کن ہے، اور اصولی طور پر ناکافی، کیونکہ تب ہر شریک کی نمائش دوسرے شرکاء پر بہت زیادہ منحصر ہوتی ہے۔ R میں یہ geom_jitter(width = 0.15, height = 0.15) ہے، geom_point کی بجائے، R کے سیکشن کے اسکرپٹ میں۔

اور تیسری، یہاں ایک آؤٹ لائر ہے۔ اوپری بائیں کونے میں ایک اکیلا نقطہ بیٹھا ہے – خود اعتمادی 1.00 کے ساتھ بھروسا 5.00 – باقی مشاہدات کے نمونے سے دور۔ یہ بالکل وہی مشاہدہ ہے جس کے لیے اوپر مفروضات کا سیکشن رک کر جانچنے کی سفارش کرتا ہے: اگر یہ ٹائپنگ کی غلطی ہے تو اس کی جگہ تجزیے میں نہیں؛ اور اگر یہ حقیقی ڈیٹا ہے تو یہ رہتا ہے – لیکن یہ جاننا مفید ہے کہ یہ وہاں ہے، اور جانچنا کہ یہ ریگریشن لائن کو اپنی طرف کتنا کھینچتا ہے۔ اور آخر میں، پچھلے پیراگراف میں کہی گئی ہر بات کی ایک چھوٹی سی مثال: خود ڈیٹا فائل میں وہاں ایک نہیں بلکہ دو مشاہدات ہیں – بالکل یکساں قدروں والے دو شرکاء، جو ایک دوسرے کے اوپر بنے ہیں اور ایک نقطہ نظر آتے ہیں۔

ترمیم کا مرحلہ: Chart Editor ونڈو۔ اس صفحے کے کیلکولیٹر کے برعکس، SPSS میں ریگریشن لائن گراف کے ساتھ خودکار طور پر ظاہر نہیں ہوتی – اسے ترمیم میں شامل کیا جاتا ہے۔ آؤٹ پٹ ونڈو میں گراف پر ڈبل کلک (double-click) اسے ایک الگ ونڈو، Chart Editor، میں کھولتا ہے، اور اس کے ساتھ Properties ونڈو کھلتی ہے – گراف کی ترمیم کا مرکز:

Properties ونڈو میں ایک اہم اصول: اس کے ٹیبز اس کے مطابق بدلتے ہیں جو گراف میں منتخب ہو۔ اوپر کے اسکرین شاٹ میں کچھ منتخب نہیں کیا گیا، اس لیے صرف دو ٹیب نظر آتے ہیں – Chart Size، جس میں گراف کی اونچائی اور چوڑائی پوائنٹس میں طے ہوتی ہے (یہاں 375 ضرب 468.75، اونچائی-چوڑائی کے تناسب کو برقرار رکھتے ہوئے)، اور Variables۔ کسی ایک سکیٹر نقطے پر کلک کرنے سے نقاط کی پوری سیریز منتخب ہو جاتی ہے، اور ونڈو میں دو مزید ٹیب شامل ہو جاتے ہیں:

Marker میں نقاط کی ظاہری شکل طے ہوتی ہے: Type – نشان کی شکل (دائرہ، مربع، مثلث)؛ Size – اس کا حجم؛ اور Fill اور Border – بھرائی کا رنگ اور فریم کا رنگ۔ طے شدہ طور پر بھرائی خالی (Transparent) اور فریم سیاہ ہوتا ہے، اسی لیے آؤٹ پٹ میں کھوکھلے دائرے ہیں۔ یہ ٹیب جتنا لگتا ہے اس سے زیادہ مفید ہے: نشان کو چھوٹا کرنا، یا اسے شفافیت کے ساتھ ہلکے رنگ سے بھرنا، دراصل ہمارے جیسے گنجان گراف میں مدد دیتا ہے، جہاں بہت سے نقاط ایک دوسرے کے اوپر بیٹھے ہیں۔

Spikes ٹیب ہر نقطے سے ایک مقررہ لنگر تک ایک باریک لکیر شامل کرتا ہے: Floor – X محور تک، Origin – محوروں کے مبدا تک، اور Centroid – بادل کے مرکزِ ثقل تک۔ طے شدہ None عام سکیٹر پلاٹ کے لیے تجویز کردہ بھی ہے؛ Centroid مرکز کے گرد پھیلاؤ کے سبق کی وضاحت کر سکتا ہے، لیکن سینکڑوں مشاہدات والے گراف میں یہ لکیروں کا الجھاؤ پیدا کرتا ہے۔

Variables ٹیب سب سے گہرا ہے: یہ وہ اجزاء دکھاتا ہے جن سے گراف بنا ہے اور وہ متغیرات جو انہیں ڈیٹا فراہم کرتے ہیں۔ ڈراپ ڈاؤن فہرست Element Type ظاہر کرتی ہے کہ انہی ڈیٹا پر اور کیا بنایا جا سکتا ہے – Marker (نقاط، اور یہی موجودہ جزو ہے)، Fit Line (مطابقت کی لکیر)، Interpolation Line، Distribution Line، Path وغیرہ۔ یہاں New بٹن سے گراف میں نیا جزو بھی شامل کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، عموماً اس راستے کی ضرورت نہیں: ریگریشن لائن ایک مخصوص کمانڈ سے شامل ہوتی ہے، اور یہی اگلا مرحلہ ہے۔

اور خود ریگریشن لائن کا اضافہ۔ Chart Editor کے مینو میں Elements › Fit Line at Total… منتخب کیا جاتا ہے۔ یہ کمانڈ Properties ونڈو میں ایک نیا ٹیب، Fit Line، شامل کرتی ہے جس میں مطابقت کا طریقہ (Fit Method) منتخب ہوتا ہے: طے شدہ Linear سادہ لکیری ریگریشن ہے – بالکل وہی جو یہ صفحہ حساب کرتا ہے – اور اس کے ساتھ Quadratic، Cubic، Loess اور Mean of Y۔ Apply اور پھر Close پر کلک کرنے سے لکیر گراف میں شامل ہو جاتی ہے، اور اس پر R Sq Linear کی قدر دکھائی دیتی ہے (SPSS کے پرانے ورژنز میں یہ عبارت مربع کی علامت کے بغیر، متن "RSq Linear" کے طور پر آتی ہے)۔ Chart Editor کی ونڈو بند کرنے سے تازہ شدہ گراف آؤٹ پٹ ونڈو میں واپس آ جاتا ہے۔

اور Loess کیا کرتا ہے؟ سیدھی لکیر کے متبادلات میں یہ دلچسپ اختیار ہے: ایک ہموار کی گئی لکیر جو تعلق کی شکل کے بارے میں کچھ فرض نہیں کرتی، بلکہ بس ڈیٹا میں رجحان کی پیروی کرتی ہے، حصہ بہ حصہ (locally weighted scatterplot smoother)۔ اس کا درست استعمال جانچ کے طور پر ہے: اگر آبادی میں تعلق لکیری ہے، تو Loess لکیر کو سیدھی لکیر کا موٹا سا تخمینہ نظر آنا چاہیے – Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 112) کے استعارے میں، "ایک چھوٹے بچے کا سیدھی لکیر کا آزادانہ خاکہ"۔ اگر یہ واضح طور پر مڑتی ہے، تو سیدھی لکیر درست ماڈل نہیں۔ دو باتیں جاننا مفید ہے: ونڈو کی چوڑائی (SPSS میں: % of points to fit) ہمواری کی مقدار طے کرتی ہے – بہت چھوٹی قدر شور کا ہر زگ زیگ بناتی ہے، بہت بڑی قدر حقیقی موڑ کو بھی سیدھا کر دیتی ہے، اس لیے دو تین قدریں آزمانا مفید ہے؛ اور X کی وسعت کے کناروں پر، جہاں ڈیٹا کم ہے، لکیر درمیان کی نسبت کہیں کم قابلِ اعتماد ہے (وہیں، ص 113-114)۔

اور لکیر کے گرد اعتماد کی پٹیاں۔ اسی Fit Line ٹیب میں، Fit Method کے نیچے، اختیارات کا گروپ Confidence Intervals ہے۔ طے شدہ None ہے – ننگی لکیر، بغیر پٹی کے – اور اس کے ساتھ دو اختیارات جو ملتے جلتے نظر آتے ہیں لیکن بالکل ملتے جلتے نہیں: Mean اور Individual (اعتماد کی سطح کے خانے کے ساتھ، طے شدہ طور پر 95)۔ Mean خود لکیر میں غیر یقینی کو بناتا ہے – آبادی میں، X کی ہر قدر پر Y کا اوسط کہاں سے گزرتا ہے۔ Individual بالکل دوسرے سوال کا جواب دیتا ہے – ایک نیا انفرادی شریک کہاں گرنے کی توقع ہے – اور اس کی پٹی کہیں زیادہ چوڑی ہے، کیونکہ یہ ایک کی بجائے غیر یقینی کے دو ماخذ رکھتی ہے: لکیر میں غیر یقینی بھی، اور اس کے گرد شرکاء کا پھیلاؤ بھی۔ Gelman & Hill (2007، ص 47-48) اسے یوں بیان کرتے ہیں: نئے مشاہدے کی پیش گوئی کی معیاری خطا σ سے کچھ بڑی ہوتی ہے – باقیات کا معیاری انحراف، جو Model Summary جدول میں Std. Error of the Estimate ہے – اور یہ ریگریشن کے عددی سروں کے تخمینے میں غیر یقینی کی وجہ سے ہے؛ اور نارمل تخمین میں، تقریباً 50% حقیقی قدریں پیش گوئی کے گرد ±0.67σ کی وسعت میں، تقریباً 68% ±σ کی وسعت میں اور تقریباً 95% ±2σ کی وسعت میں گرتی ہیں۔

اور دونوں پٹیاں درمیان میں تنگ اور کناروں پر چوڑی کیوں ہوتی ہیں۔ یہ SPSS کا مظہر نہیں بلکہ خود پیش گوئی کی خصوصیت ہے: پیش گو متغیر کے اوسط سے جتنا دور جائیں، غیر یقینی اتنی بڑھتی ہے (Gelman & Hill, 2007, p. 44)۔ پیش گوئی کی معیاری خطا کے فارمولے میں (وہیں، ص 47، حاشیہ 3) یہ براہِ راست نظر آتا ہے – σ_forecast = σ √(1 + 1/n + (x − x̄)² / Σ(x_i − x̄)²): درمیانی جزو نمونہ بڑھنے کے ساتھ سکڑتا ہے؛ تیسرا جزو اس وقت بڑھتا ہے جب وہ X قدر جس پر پیش گوئی کی جاتی ہے نمونے میں X کے اوسط سے دور ہو – اور یہیں سے پٹی کی ریت گھڑی جیسی شکل؛ اور شروع میں 1 بالکل Individual اور Mean کا فرق ہے: لکیر کے گرد انفرادی شریک کا پھیلاؤ، جو نمونہ بے حد بڑھنے پر بھی غائب نہیں ہوتا۔ یہ وہی تنبیہ ہے جو یہاں Loess لکیر کے کناروں کے بارے میں کہی گئی، اور لکیری صورت میں اسے گرافک اظہار ملتا ہے – پٹی خود بتاتی ہے کہ لکیر کہاں کم جانتی ہے۔

اور کیا رپورٹ کیا جائے۔ دونوں پٹیاں دو مختلف سوالوں کا جواب دیتی ہیں، اس لیے ان کے درمیان انتخاب ذوق کا معاملہ نہیں: Mean بتاتی ہے کہ ہم کتنا جانتے ہیں کہ لکیر کہاں سے گزرتی ہے، اور Individual بتاتی ہے کہ ایک شخص کی کتنی پیش گوئی کی جا سکتی ہے۔ عام غلطی تنگ پٹی کو ایسے پڑھنا ہے گویا وہ بتاتی ہے کہ شرکاء کہاں گرتے ہیں، جبکہ وہ صرف یہ بتاتی ہے کہ ان کا اوسط کہاں سے گزرتا ہے – اور بڑے نمونے میں یہ بہت تنگ ہوتی ہے چاہے لکیر کے گرد پھیلاؤ بہت بڑا ہو۔ نتائج کے باب میں، جب سکیٹر پلاٹ کا مقصد تعلق کو بیان کرنا ہو نہ کہ پیش گوئی کے لیے استعمال ہونا، مسلمہ انتخاب Mean ہے؛ اور شکل کے نوٹ میں بتانا چاہیے کہ کون سی پٹی دکھائی گئی ہے اور کس اعتماد کی سطح پر۔ یہ غیر ضروری سختی نہیں بلکہ ایک واضح تقاضا ہے: APA (2020، سیکشن 7.28) لازم کرتا ہے کہ نوٹ میں ہر وہ سایہ یا دوسرا ڈیزائنی عنصر جو معنی رکھتا ہو، واضح کیا جائے، اور صراحت سے کہتا ہے کہ جب گراف میں خطا کے نشانات ہوں تو بتانا چاہیے کہ آیا وہ معیاری انحراف، معیاری خطائیں، اعتماد کی حدیں یا وسعتیں ظاہر کرتے ہیں – اور مزید کہتا ہے کہ ان کے ساتھ نمونے کا حجم بھی بتانا مفید ہے۔ اس صفحے کا کیلکولیٹر لکیر کو بغیر پٹی کے بناتا ہے، اس لیے یہ اضافہ صرف SPSS سے آتا ہے۔

کسی بھی ڈائیلاگ باکس میں Paste پر کلک کرنے سے عمل سنٹیکس کے طور پر محفوظ ہو جاتا ہے:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(BIVAR)=efficacy WITH trust
  /MISSING=LISTWISE.

توجہ فرمائیں: GRAPH کمانڈ طے شدہ طور پر فہرست وار حذف (listwise deletion) (/MISSING=LISTWISE) استعمال کرتی ہے، نہ کہ جوڑی وار حذف (pairwise deletion) جو ہم بستگی کا عمل اور اس صفحے کا کیلکولیٹر استعمال کرتے ہیں۔ ایک اکیلے سکیٹر پلاٹ میں، صرف ایک متغیرات کے جوڑے کا، اس کا کوئی عملی مطلب نہیں: دونوں طریقے بالکل ایک ہی مشاہدات کے مجموعے تک لے جاتے ہیں، کیونکہ یہاں کوئی اضافی متغیرات نہیں جن کی "وجہ سے" مزید مشاہدات کم ہوں۔

دوسرا راستہ: Chart Builder

اب تک بیان کیا گیا راستہ پرانے ڈائیلاگ باکسز کا ہے۔ SPSS کے نئے ورژنز میں گراف بنانے کا مرکزی آلہ Chart Builder ہے، اور اس تک Graphs › Chart Builder… سے پہنچا جاتا ہے (Field, 2024, Sections 5.3 and 5.8)۔ نتیجہ یکساں ہے – فرق بنانے کے طریقے میں ہے۔

کھلنے پر ظاہر ہونے والا پیغام، اور اسے سمجھنا مفید ہے۔ Chart Builder کھولنے پر ایک باکس سامنے آتا ہے جو یاد دلاتا ہے کہ ہر متغیر کی پیمائش کی سطح درست متعین ہونی چاہیے – Scale، Ordinal یا Nominal – کیونکہ یہ آلہ اسی پر انحصار کرتا ہے یہ جاننے کے لیے کہ کون سے متغیرات مسلسل ہیں اور کون سے زمرہ جاتی (categorical) (Field، 2024، SPSS Tip 5.1)۔ یہ خطا نہیں بلکہ یاد دہانی ہے: جس نے Variable View کے Measure کالم میں متغیرات کو درست طور پر متعین کیا ہو وہ بس تصدیق کر کے آگے بڑھتا ہے۔ اس سیکشن کے پہلے اسکرین شاٹ میں بالکل یہی دیکھا جا سکتا ہے – لچک کے پانچوں متغیرات Scale متعین ہیں، اور آبادیاتی متغیرات Ordinal یا Nominal۔

یہ باکس ایک دوسری بات بھی یاد دلاتا ہے: اگر گراف میں کوئی زمرہ جاتی (categorical) متغیر شامل ہو تو بہتر ہے کہ اس کے لیے قدروں کے لیبلز (value labels) متعین کیے جائیں – تاکہ گراف میں "سیکولر" ظاہر ہو نہ کہ "1"۔ Define Variable Properties بٹن سیدھا اس جگہ لے جاتا ہے جہاں دونوں چیزیں درست کی جاتی ہیں، اور OK اصل ونڈو کی طرف آگے بڑھاتا ہے۔

ونڈو کی ساخت۔ چار حصے: Gallery – گراف کی اقسام کی گیلری؛ متغیرات کی فہرست؛ canvas، جس پر کام کے دوران گراف کا پیشگی منظر بنتا ہے؛ اور دائیں جانب Element Properties اور Options کے بٹن، جو طے کرتے ہیں کہ گراف بالکل کیا دکھاتا ہے اور گمشدہ قدروں سے کیسے نمٹتا ہے۔ canvas کے اندر نیلی نقطہ دار لکیروں سے ڈراپ زونز (drop zones) نشان زد ہوتے ہیں، اور متغیرات کو گھسیٹ کر ان میں ڈالا جاتا ہے – پرانے باکسز کی طرح تیروں سے منتقل کرنے کے بجائے۔

تصویر میں دو تفصیلات غور کے لائق ہیں۔ پہلی، فہرست میں ہر متغیر کے ساتھ اس کی پیمائش کی سطح کا نشان نظر آتا ہے – Scale کے لیے پیمانہ (رولر)، Ordinal کے لیے کالم اور Nominal کے لیے رنگین دائرے؛ یہ وہی تعریف ہے جس کی پچھلے باکس نے یاد دہانی کرائی تھی، اور یہاں وہ آنکھ کو نظر آتی ہے۔ دوسری، فہرست کے نیچے یہ پیغام آتا ہے "No categories (scale variable)" – اس کا تعلق فہرست میں نشان زد متغیر سے ہے اور یہ بتاتا ہے کہ وہ مسلسل ہے اس لیے اس کے زمرے نہیں ہیں۔ ونڈو کے نیچے چار ٹیبز ہیں: Gallery – معمول کا طریقہ، تیار گیلری سے انتخاب؛ Basic Elements – صفر سے تعمیر، ایک ایک جزو کر کے؛ اور ان کے ساتھ Groups/Point ID اور Titles/Footnotes۔

اور سکیٹر پلاٹ کی تیاری۔ Choose from کی فہرست میں Scatter/Dot منتخب کیا جاتا ہے، اور سکیٹر پلاٹس کی گیلری کھل جاتی ہے: Simple scatter، Grouped scatter، Scatterplot matrix، Simple dot plot، Summary point plot، Drop-line اور سہ جہتی ورژنز۔ Simple scatter پر ڈبل کلک (یا اسے canvas تک گھسیٹنا) ایک گراف رکھ دیتا ہے جس میں دو ڈراپ زونز ہوتے ہیں – ایک Y محور کے لیے اور ایک X محور کے لیے۔ متغیرات کو گھسیٹ کر ان میں ڈالا جاتا ہے اور OK پر کلک کیا جاتا ہے:

اور ایک چھوٹی سی تنبیہ جو الجھن سے بچاتی ہے: پیشگی منظر کے اوپر لکھا ہوتا ہے "Chart preview uses example data" – ونڈو میں نظر آنے والے نقطے آپ کا ڈیٹا نہیں بلکہ نمائشی ڈیٹا ہیں۔ یہ منظر گراف کی ساخت دکھاتا ہے، اس کا نتیجہ نہیں، اور اصل گراف صرف OK کے بعد ملتا ہے – اور جب ملتا ہے تو وہ اوپر مرحلہ 4 والے گراف سے بالکل یکساں ہوتا ہے، وہی جو پرانے راستے سے تیار ہوا تھا۔ دو راستے، بالکل ایک ہی گراف۔

رکھنے کا عملی اصول وہی ہے جو ہم پہلے اپنا چکے ہیں: نتیجے کا متغیر Y محور پر، پیش گو متغیر (predictor) X محور پر۔ Field اس میں ایک احتیاط کا اضافہ کرتے ہیں جو یاد رکھنے کے لائق ہے – ہم بستگی پر مبنی تحقیق میں، جہاں دونوں متغیرات بیک وقت ناپے جاتے ہیں، "پیش گو" اور "نتیجہ" کے الفاظ صرف گراف میں ان کی جگہ بیان کرتے ہیں اور علیت کی گواہی نہیں دیتے (2024، سیکشن 5.8.1)۔

پچھلے سیکشن کی دونوں توسیعات یہاں بھی موجود ہیں، دوسرے ناموں سے: Grouped scatter ایک تیسرا ڈراپ زون جوڑتا ہے، جس میں زمرہ جاتی (categorical) متغیر گھسیٹا جاتا ہے اور نقطے اسی کے مطابق رنگے جاتے ہیں – یہ Set Markers by کا متبادل ہے (سیکشن 5.8.2)؛ اور Scatterplot matrix صرف ایک ڈراپ زون دکھاتا ہے، جس میں تمام مطلوبہ متغیرات ایک ساتھ گھسیٹے جاتے ہیں – انہیں فہرست میں Ctrl (یا Mac پر Cmd) کی مدد سے منتخب کر کے اکٹھے گھسیٹا جاتا ہے (سیکشن 5.8.4)۔

اور غیر معمولی نقطہ کون سا ہے؟ Pallant کا ایک مشورہ (2020، ص 76، 157) جو فائل میں تلاش سے بچاتا ہے: Chart Builder کے Groups/Point ID ٹیب میں Point ID label پر نشان لگایا جاتا ہے اور شناختی متغیر کو Point ID ڈراپ زون میں گھسیٹا جاتا ہے۔ حاصل ہونے والے گراف میں Chart Editor کھولا جاتا ہے، Elements › Data Label Mode منتخب کیا جاتا ہے (مینو کا پہلا آئٹم، اوپر مرحلہ 6 کے اسکرین شاٹ میں) اور کسی نقطے پر کلک کیا جاتا ہے – اور اس کا شناختی نمبر اس کے ساتھ ظاہر ہو جاتا ہے۔ شناختی متغیر کے بغیر وہ قطار نمبر دکھایا جاتا ہے جو SPSS نے دیا ہے۔ یوں اسی جواب دہندہ کے سوالنامے پر واپس جا کر جانچا جا سکتا ہے کہ کہیں ٹائپنگ کی غلطی تو نہیں۔ (اس صفحے کے کیلکولیٹر میں کسی نقطے پر ماؤس لے جانے سے اس کی قدریں دکھائی دیتی ہیں، مگر شناخت نہیں – شناخت کا کالم تجزیے سے خارج ہوتا ہے۔)

اور یہاں سنٹیکس بالکل مختلف نظر آتا ہے۔ Chart Builder میں بھی Paste بٹن ہے، مگر وہ اوپر دیکھی گئی مختصر GRAPH کمانڈ نہیں بناتا بلکہ GGRAPH کمانڈ بناتا ہے، اور اس کے اندر گراف بیان کرنے کی ایک مخصوص زبان کا بلاک ہوتا ہے – GPL (Graphics Production Language)، جو BEGIN GPL اور END GPL کے درمیان بند ہوتا ہے:

* Chart Builder.
GGRAPH
  /GRAPHDATASET NAME="graphdataset" VARIABLES=efficacy trust MISSING=LISTWISE REPORTMISSING=NO
  /GRAPHSPEC SOURCE=INLINE.
BEGIN GPL
  SOURCE: s=userSource(id("graphdataset"))
  DATA: efficacy=col(source(s), name("efficacy"))
  DATA: trust=col(source(s), name("trust"))
  GUIDE: axis(dim(1), label("efficacy"))
  GUIDE: axis(dim(2), label("trust"))
  ELEMENT: point(position(efficacy*trust))
END GPL.

زیادہ لمبا – لیکن زیادہ واضح، اس لیے اسے پڑھنا سیکھنا فائدہ مند ہے۔ ہر سطر ایک مختلف سوال کا جواب دیتی ہے: DATA – کون سے متغیرات گراف میں داخل ہوتے ہیں؛ GUIDE: axis – ہر محور پر کیا لکھا ہے؛ SCALE – ہر محور کس قسم کا پیمانہ استعمال کرتا ہے؛ اور ELEMENT – عملاً کیا بنایا جاتا ہے (point، یعنی نقطے)۔ پہلی سطر، * Chart Builder.، محض ایک تبصرہ ہے – SPSS اسے یہ درج کرنے کے لیے شامل کرتا ہے کہ کمانڈ کس ونڈو سے آئی، اور اس کے آخر کا نقطہ ہی اسے ختم کرتا ہے۔ تفصیلات ونڈو میں منتخب کردہ اختیارات کے مطابق کچھ بدلتی ہیں، اس لیے آپ کے ہاں ملنے والا سنٹیکس کچھ مختلف نظر آ سکتا ہے۔

اور بونس: سنٹیکس یہ ظاہر کر دیتا ہے کہ SPSS نے ہر متغیر کو کیسے سمجھا۔ فرض کریں کہ خود اعتمادی کے بجائے ہم X محور پر مذہب کا متغیر گھسیٹیں – تین زمروں والا ایک زمرہ جاتی (categorical) متغیر۔ SPSS اسے نہیں روکے گا، گراف بنا دے گا، اور Paste میں یہ ظاہر ہوگا:

DATA: dat=col(source(s), name("dat"), unit.category())
GUIDE: axis(dim(1), label("dat"))
SCALE: cat(dim(1), include("1", "2", "3"))
SCALE: linear(dim(2), include(0))
ELEMENT: point(position(dat*trust))

ظاہر کرنے والے دو الفاظ ہیں DATA کی سطر میں unit.category() اور محور X کی SCALE سطر میں cat – جبکہ محور Y میں linear ہے۔ یعنی ایک محور زمرہ جاتی (categorical) ہے اور دوسرا مسلسل، اور include("1", "2", "3") کی فہرست تینوں زمروں کو صراحت سے گنواتی ہے۔ حاصل ہونے والا گراف نقطوں کا بادل نہیں بلکہ تین عمودی ستون ہوتا ہے، ہر گروہ کے لیے ایک، اور اس سے نہ کوئی رجحان پڑھا جا سکتا ہے اور نہ اس پر کوئی بامعنی ریگریشن لائن فٹ کی جا سکتی ہے۔ یہ بالکل وہی صورت ہے جو مفروضات کے سیکشن میں بیان ہوئی: جب وضاحتی متغیر زمرہ جاتی ہو تو سوال یہ نہیں کہ "کیا کوئی بڑھتا ہوا رجحان ہے" بلکہ یہ کہ "کیا گروہوں کے درمیان اوسط مختلف ہیں" – اور اس سوال کے لیے باکس پلاٹ اور اوسطوں کا موازنہ موزوں ہیں، سکیٹر پلاٹ نہیں۔ (یہ اصول صرف اسمی متغیر تک محدود نہیں: کم قدروں والا ترتیبی متغیر بھی، جیسا کہ یہاں، بادل کے بجائے ستون دے گا۔)

ریگریشن لائن بالکل اسی طرح شامل کی جاتی ہے جیسا اوپر بیان ہوا، اسی Chart Editor میں – دونوں راستے وہیں ملتے ہیں۔ اس سلسلے میں Field کا ایک مشورہ جاننے کے لائق ہے: SPSS لائن کے ساتھ ایک لیبل چسپاں کرتا ہے، اور بعض اوقات وہ نقطوں کے اوپر آ کر ڈیٹا چھپا دیتا ہے؛ ایسی صورت میں اسے بس Properties ونڈو میں بند کر دیا جاتا ہے۔ اور گروہ بند گراف میں، لائن شامل کرنے کے بعد، SPSS ہر گروہ کے لیے الگ لائن بنائے گا – اور ان کی ڈھلوانوں کا موازنہ بالکل یہی سوال ہے کہ آیا تعلق ایک گروہ میں دوسرے کی نسبت زیادہ مضبوط ہے (سیکشن 5.8.2)۔

آؤٹ پٹ پڑھنا

Correlations جدول کے برعکس، جو خود ہم بستگی کا عددی سر r دکھاتا ہے، SPSS سکیٹر پلاٹ پر – اس کے کونے میں، ریگریشن لائن کے ساتھ – تعیین کا عددی سر دکھاتا ہے، اس عبارت کی صورت میں "R Sq Linear = …"۔ مثال کے طور پر، ابھی ہم نے جو سکیٹر پلاٹ متعین کیا – خود اعتمادی (X) بمقابلہ بھروسہ (Y) اس صفحے کی ڈیٹا فائل میں (512 جواب دہندگان، گمشدہ قدروں کے جوڑی وار حذف (pairwise deletion) کے بعد): R Sq Linear = .55، اور N = 479۔

R² سے پیئرسن کے عددی سر r تک واپس جانے کے لیے جذر لیا جاتا ہے اور ریگریشن لائن کی سمت کے مطابق علامت لگائی جاتی ہے: یہاں √.55 ≈ .74، اور چونکہ لائن اوپر جاتی ہے (مثبت ڈھلوان) اس لیے r = .74 حاصل ہوتا ہے – بالکل وہی قدر جو ہم بستگی کے جدول میں خود اعتمادی اور بھروسے کے درمیان ہم بستگی کے خانے میں ہے (ہم بستگی کا صفحہ، لچک کے پانچ متغیرات کے درمیان ہم بستگی کا جدول)، اور وہاں کے دس جوڑوں میں سب سے مضبوط ہم بستگی۔ یہ خود کو جانچنے کا ایک آسان طریقہ بھی ہے: اگر آپ نے پہلے پیئرسن ہم بستگی حساب کی ہے تو اس کا مربع گراف میں دکھائے گئے R² Linear کے برابر ہونا چاہیے۔

تعلق کی شدت سے آگے، لائن کی ڈھلوان کا اس کی مساوات سے موازنہ عددی مفہوم کو واضح کرتا ہے: اس نمونے میں لائن کی مساوات Ý = 1.159 + 0.687X ہے – یعنی خود اعتمادی کی سطح میں ہر ایک نکتے کے اضافے پر بھروسے کی متوقع سطح اوسطاً تقریباً 0.69 نکات بڑھتی ہے۔ مقطع (1.159)، یعنی X = 0 ہونے پر متوقع قدر، عموماً کوئی ٹھوس مفہوم نہیں رکھتا جب 0 پیمائشی پیمانے پر عملاً مشاہدہ شدہ قدروں کی وسعت سے باہر ہو۔

گراف سے ریگریشن تک: Regression کے عمل میں وہی اعداد

سکیٹر پلاٹ R² اور لائن دکھاتا ہے، مگر پیرامیٹرز اور ان کے ٹیسٹ نہیں۔ جو اعداد یہاں کا کیلکولیٹر جدول میں دکھاتا ہے وہی SPSS میں ریگریشن کے عمل سے حاصل ہوتے ہیں: Analyze › Regression › Linear…، تابع متغیر Dependent خانے میں اور پیش گو متغیر (predictor) Independent(s) خانے میں (Field, 2024, Section 9.7)۔ آؤٹ پٹ تین جداول میں آتا ہے (سیکشن 9.8)، اور یہ جاننا مفید ہے کہ ہماری ہر قدر کہاں ہے – اور صفحے کا جدول 1 اب ان سب کو دکھاتا ہے (ایڈجسٹ شدہ R²، تخمینے کی معیاری خطا، F، اور b اور a اپنی معیاری خطاؤں، t اور وقفۂ اعتماد کے ساتھ)۔ کئی پیش گو متغیرات (predictors) والی ریگریشن کے لیے – لکیری ریگریشن کا صفحہ:

Field مشورہ دیتے ہیں کہ مرکزی ونڈو میں Bootstrap… پر نشان لگایا جائے اور b کے لیے BCa قسم کے وقفۂ اعتماد طلب کیے جائیں: ایسا وقفۂ اعتماد جو "صفر کو نہ چھوئے" آبادی میں تعلق کا سب سے براہِ راست ثبوت ہے، اور بوٹ اسٹریپ نارملٹی اور تغیر (variance) کی یکسانیت کے مفروضات (assumptions) پر انحصار نہیں کرتا (2024، سیکشن 9.8.2)۔ خیال سادہ ہے (Field & Wilcox, 2017, Section Adjusting standard errors): یہ فرض کرنے کے بجائے کہ مکرر نمونوں میں b کیسے تقسیم ہوتا، اس کی نقل کی جاتی ہے – خود ڈیٹا سے، واپسی کے ساتھ، اصل حجم کا نیا نمونہ لیا جاتا ہے، اس پر b حساب کیا جاتا ہے، اور یہ ہزاروں بار دہرایا جاتا ہے (عام سفارش: 2,000)۔ ان ہزاروں b کے درمیانی 95% کو گھیرنے والی قدریں وقفۂ اعتماد ہیں (percentile)، اور BCa ایک ورژن ہے جو عدم تشاکل کے لیے بھی تصحیح کرتا ہے۔ چونکہ یہ طریقہ تقسیم کی شکل کے بارے میں کچھ فرض نہیں کرتا، اس سے حاصل ہونے والی معیاری خطائیں اور وقفۂ اعتماد اوپر بیان کردہ مفروضات کی خلاف ورزیوں میں بھی قائم رہنے چاہئیں۔ اور آخر میں، Field & Wilcox کا وہ جملہ (ibid., Section Discussion and recommendations) جو ہر اس شخص کے سامنے یاد رکھنے کے لائق ہے جو کہتا ہے کہ "ریگریشن ایک مضبوط (robust) طریقہ ہے": پچھلے پچاس برسوں کی سینکڑوں تحقیقات کی بنیاد پر، یہ جملہ بس درست نہیں – اور وہ اس پر پابندی لگانے کی تجویز دیتے ہیں۔ عمل کا باقی حصہ – کئی پیش گو متغیرات، تشخیصی اشاریے، آؤٹ پٹ میں مفروضات – سائٹ کا لکیری ریگریشن کا صفحہ تفصیل سے بیان کرتا ہے۔

توسیعات: گروہوں کا موازنہ اور تمام جوڑے ایک ساتھ

ایک ہی گراف میں گروہوں کا موازنہ – Overlay Scatter۔ جب متغیرات کے کئی جوڑے ایک ساتھ دکھانے ہوں، یا ایک ہی جوڑے کا ذیلی گروہوں کے درمیان موازنہ کرنا ہو – مثلاً، کیا خود اعتمادی اور بھروسے کے درمیان تعلق مختلف مذہبی گروہوں میں یکساں شدت کا ہے – تو Scatter/Dot باکس میں Overlay Scatter منتخب کیا جاتا ہے اور Define پر کلک کیا جاتا ہے:

Overlay Scatterplot ونڈو میں متغیرات کی فہرست سے ایک ساتھ دو متغیرات نشان زد کر کے Y-X Pairs کی فہرست میں منتقل کیے جاتے ہیں؛ اس کی ہر قطار ایک جوڑا ہے، اور جو متغیر پہلے منتخب ہوا وہ جوڑے کا Y متغیر بن جاتا ہے۔ تیروں والا بٹن (Swap Pair) نشان زد جوڑے کے Y اور X کو آپس میں بدل دیتا ہے – توجہ فرمائیں کہ ہمارے سامنے کی مثال میں خود اعتمادی Y ہے جبکہ بھروسہ اور وابستگی X ہیں، صفحے کی مرکزی مثال کے الٹ۔ گراف کو گروہ کے مطابق ذیلی گرافوں میں تقسیم کرنے کے لیے، ایک زمرہ جاتی (categorical) متغیر Panel by کے Columns خانے (ذیلی گراف ساتھ ساتھ) یا Rows خانے (ایک دوسرے کے نیچے) میں منتقل کیا جاتا ہے – یہاں مذہب کا متغیر (dat):

آؤٹ پٹ تین ذیلی گراف ہیں ساتھ ساتھ – سیکولر، روایتی اور مذہبی-حریدی – اور ہر ایک میں مختلف رنگوں میں نقطوں کے دو سلسلے، دائیں جانب کی کلید کے مطابق: خود اعتمادی بمقابلہ بھروسہ اور خود اعتمادی بمقابلہ وابستگی۔ محور تمام ذیلی گرافوں میں مشترک ہیں، اس لیے ان کا براہِ راست موازنہ کیا جا سکتا ہے:

یہاں بھی ریگریشن لائنیں خود بخود ظاہر نہیں ہوتیں: گراف کو Chart Editor میں کھولا جاتا ہے اور Elements › Fit Line at Subgroups منتخب کیا جاتا ہے – تب ہر ذیلی گراف میں ہر سلسلے کے لیے الگ لائن ملتی ہے، اور دائیں جانب کی کلید میں ہر لائن کا R² Linear (Pallant, 2020, p. 305):

ایسے گراف کے لیے Gelman & Hill (2007، ص 555) کے دو مشورے۔ پہلا – نشانات کے بارے میں: دو تین گروہوں کے لیے ایسے نشانات منتخب کیے جاتے ہیں جو آنکھ سے الگ پہچانے جائیں – کھلا دائرہ بمقابلہ بھرا ہوا دائرہ، نہ کہ حروف M اور F – کیونکہ نشان ہی وہ طریقہ ہے جس سے گراف کہتا ہے "ہر نقطہ اس گروہ کا ایک جواب دہندہ ہے"؛ اس کے برعکس نشان کا حجم کسی مسلسل متغیر کی نمائندگی میں تقریباً کامیاب نہیں ہوتا۔ دوسرا – ان کے اپنے کام کی ایک کہانی: انہوں نے علاج اور کنٹرول گروہوں کے لیے الگ ریگریشن لائنوں کے ساتھ ایک پہلے-اور-بعد کا گراف بنایا، اور متوازی لائنوں والا گراف دیکھنے کے بعد ہی سمجھے کہ غیر متوازی لائنیں – یعنی علاج اور "پہلے" کی پیمائش کے درمیان تعامل – درست ماڈل ہیں، اور یہی ڈیٹا کی مرکزی حقیقت ثابت ہوئی۔ "لائنیں اور نقطے مل کر اسے کسی بھی عددی خلاصے سے کہیں زیادہ واضح دکھاتے ہیں" (ایضاً)۔ یہی وہ چیز ہے جسے Fit Line at Subgroups کے ساتھ Overlay چارٹ جانچنے کا موقع دیتا ہے: کیا ڈھلوانیں ملتی جلتی ہیں۔

یوں ایک ہی گراف سے ان دونوں سوالوں کا جواب دیا جا سکتا ہے جن کے لیے وہ بنایا گیا۔ دونوں تعلقات میں سے کون سا زیادہ مضبوط ہے؟ سیکولر افراد میں خود اعتمادی بھروسے سے (R² = .554) وابستگی کی نسبت (.460) زیادہ جڑی ہے، اور مذہبی-حریدی افراد میں فرق ملتا جلتا ہے (.506 بمقابلہ .404) – جبکہ روایتی افراد میں دونوں تقریباً برابر ہیں (.525 اور .536)۔ اور کیا تعلق گروہوں کے درمیان یکساں ہے؟ خود اعتمادی-بھروسہ کا تعلق تینوں میں کافی مستحکم ہے (.51-.55)، اور خود اعتمادی-وابستگی کا تعلق زیادہ بدلتا ہے (.40-.54)۔ توجہ فرمائیں کہ کلید میں اعداد R² ہیں نہ کہ r: .554 اور .460 کا فرق r = .74 اور r = .68 کا فرق ہے۔ اور ایک تنبیہ جو براہِ راست مفروضات کے سیکشن سے نکلتی ہے – چھ صورتیں اور لیوریج (leverage): جب کوئی گروہ چھوٹا ہو – جیسے اس نمونے میں مذہبی-حریدی، جن کا ذیلی گراف صاف طور پر کم آباد ہے – تو بلند لیوریج والے دو تین نقطے اس کی لائن کو کسی بھی سمت جھکانے کے لیے کافی ہیں، اس لیے گروہوں کے درمیان ڈھلوانوں کا موازنہ تبھی کیا جاتا ہے جب یہ جانچ لیا جائے کہ ہر ایک میں کتنے جواب دہندگان ہیں، اور اگر فرق اہم ہو – تو اسے آنکھ سے نہیں بلکہ ٹیسٹ سے جانچا جاتا ہے۔

Overlay Scatterplot ونڈو میں Paste پر کلک کرنے سے ترتیب سنٹیکس کے طور پر محفوظ ہو جاتی ہے – اور وہ خود ونڈو سے زیادہ مختصر اور واضح ہے:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(OVERLAY)=trust belonging WITH efficacy efficacy (PAIR)
  /PANEL COLVAR=dat COLOP=CROSS
  /MISSING=LISTWISE.

اسے یوں پڑھا جاتا ہے: OVERLAY – ایک ہی محوروں پر کئی جوڑے؛ WITH سے پہلے X کے متغیرات اور اس کے بعد Y کے متغیرات، ترتیب کے مطابق، اور (PAIR) انہیں ایک ایک کر کے جوڑنے کی ہدایت دیتا ہے – پہلا پہلے کے ساتھ، دوسرا دوسرے کے ساتھ (نہ کہ ہر ایک ہر ایک کے ساتھ)۔ یہاں: trust کے ساتھ efficacy اور belonging کے ساتھ efficacy – پھر نظر آتا ہے کہ خود اعتمادی Y ہے۔ /PANEL COLVAR=dat مذہب کے مطابق کالموں میں تقسیم ہے (ROWVAR قطاروں میں تقسیم کرتا)، اور /MISSING=LISTWISE – اکیلے گراف کی طرح – اس جواب دہندہ کو خارج کر دیتا ہے جس کی کمانڈ کے کسی بھی متغیر میں قدر گمشدہ ہو؛ کئی جوڑوں والے گراف میں یہ اب اہم ہو جاتا ہے، کیونکہ جس جواب دہندہ کی صرف وابستگی گمشدہ ہو وہ خود اعتمادی-بھروسہ کے جوڑے سے بھی غائب ہو جائے گا۔ اگر جوڑی وار حذف (pairwise deletion) مطلوب ہو تو /MISSING=VARIABLEWISE میں بدل دیا جاتا ہے۔

تمام جوڑوں پر ایک ساتھ نظر – Matrix Scatter۔ متغیرات کے تمام جوڑوں کو ایک ساتھ جانچنے کے لیے – مثلاً لچک کے پانچ متغیرات کے درمیان – Matrix Scatter استعمال کیا جاتا ہے: تمام متغیرات Matrix Variables کی فہرست میں منتقل کر کے تصدیق کی جاتی ہے۔ میٹرکس کا ہر خانہ ایک جوڑے کا سکیٹر پلاٹ ہے، اس طرح پورا میٹرکس ہم بستگی کے صفحے والے ہم بستگی کے میٹرکس کے مقابل کھڑا ہوتا ہے، خانہ بمقابلہ عدد – اور وہ دکھاتا ہے جو عدد نہیں دکھا سکتا: کیا کوئی جوڑا خمیدہ ہے، اور کیا کسی میں ایسا مشاہدہ بیٹھا ہے جو لائن کو کھینچتا ہے۔ اسی لیے اسے ہم بستگی کے حساب سے پہلے دیکھنا فائدہ مند ہے نہ کہ بعد میں۔ اور اس کی ایک خاص خوبی: جو جواب دہندہ ایک خانے میں نمایاں ہو اسے دوسرے خانوں میں تلاش کر کے دیکھا جا سکتا ہے کہ وہ تمام متغیرات میں غیر معمولی ہے یا صرف ایک جوڑے میں – Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 115-116) تمام خانوں میں ایک ہی جواب دہندہ کو نمایاں کر کے اس کی مثال دیتے ہیں۔

Scatterplot Matrix ونڈو میں وہ تمام متغیرات Matrix Variables کی فہرست میں منتقل کیے جاتے ہیں جو دیکھنے ہوں – یہاں لچک کے پانچ متغیرات۔ باقی خانے اکیلے گراف سے مانوس ہیں: گروہ کے مطابق رنگنے کے لیے Set Markers by، لیبلز کے لیے Label Cases by، اور تقسیم کے لیے Panel by:

آؤٹ پٹ 5×5 خانوں کا ایک جال ہے۔ وتر خالی ہے – کسی متغیر کا خود سے مقابلہ دلچسپ نہیں – اور ہر دوسرا خانہ ایک جوڑے کا سکیٹر پلاٹ ہے: قطار والا متغیر Y محور پر، کالم والا متغیر X محور پر۔ جال کے دونوں نصف آئینہ تصویریں ہیں – وتر کے اوپر "قیادت بمقابلہ خود اعتمادی" کا خانہ وہی گراف ہے جو اس کے نیچے "خود اعتمادی بمقابلہ قیادت" کا، محور بدلے ہوئے – اس لیے ایک نصف دیکھنا کافی ہے – جب تک کہ ریگریشن لائنیں شامل نہ کی جائیں: ہر خانے میں لائن قطار والے متغیر کی کالم والے متغیر پر ہوتی ہے، اس لیے دونوں جڑواں خانوں کی لائنیں آئینہ تصویریں نہیں بلکہ دو مختلف لائنیں ہیں، X پر Y اور Y پر X (دیکھیں اور جب محور بدلے جائیں تو کیا ہوتا ہے)۔ Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 115) کے مطابق یہ ہم بستگی کے جدول پر میٹرکس کی بنیادی برتری ہے: جدول صرف لکیری تعلق کی سمت اور شدت دکھاتا ہے، جبکہ میٹرکس غیر لکیری تعلقات بھی ظاہر کرتا ہے، جو جدول میں محض کم ہم بستگی کے طور پر نظر آتے ہیں۔ اور پھر وہی مانوس جال: تمام متغیرات آئٹمز کی اوسط ہیں جو آدھے نکتے کے وقفوں سے بڑھتی ہیں، اس لیے نقطے قطاروں اور ستونوں میں ترتیب پاتے ہیں، اور ایک نقطہ بہت سے جواب دہندگان کی نمائندگی کرتا ہے:

اور ہر سکیٹر پلاٹ کی طرح، ریگریشن لائن ترمیم میں شامل کی جاتی ہے: Chart Editor اور پھر Elements › Fit Line at Total – ایک ہی عمل جو تمام خانوں میں ایک ساتھ لائن شامل کر دیتا ہے:

یہاں ایک نظر میں کیا دکھائی دیتا ہے؟ تمام دس تعلقات مثبت اور واضح ہیں – تمام لائنیں اوپر جاتی ہیں اور کوئی بادل خم نہیں کھاتا – اس لیے پیئرسن سب کے لیے موزوں ہے؛ یہ بالکل ہم بستگی کے صفحے والے ہم بستگی کے میٹرکس کا گرافیکی جدول ہے (وہاں: r بین .62 اور .74)۔ ایسے جال میں جو چیز دیکھنا مشکل ہے وہ جوڑوں کے درمیان شدت کے فرق ہیں: کثافت انہیں چھپا دیتی ہے، اور موازنہ اعداد سے کیا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، زیادہ اہم سوال کا – کیا کوئی جوڑا دوسروں سے مختلف برتاؤ کرتا ہے، خمیدہ شکل میں یا غیر معمولی نقطوں کے ساتھ – میٹرکس کسی بھی جدول سے بہتر جواب دیتا ہے۔ یہاں بھی Paste سنٹیکس محفوظ کرتا ہے، اور یہاں بھی /MISSING=LISTWISE: جس جواب دہندہ کی پانچ میں سے کسی ایک متغیر میں قدر گمشدہ ہو وہ تمام بیس خانوں سے غائب ہو جاتا ہے، اس لیے ہر خانے میں N اسی جوڑے کے اکیلے گراف سے کم ہوتا ہے:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

نتائج کی رپورٹنگ

سکیٹر پلاٹ کی رپورٹنگ میں عموماً خود گراف (ریگریشن لائن کے ساتھ) شامل ہوتا ہے، اور اس کے ساتھ – متن میں – تعلق کی سمت اور شدت، تعیین کا عددی سر، اور بعض اوقات لائن کی مساوات بھی۔ جب سکیٹر پلاٹ ہم بستگی کے حساب کے ساتھ ہو، جیسا کہ یہاں، تو دونوں کو ایک ساتھ رپورٹ کرنے کا رواج ہے: گراف بصری سہارے کے طور پر، اور ہم بستگی عددی خلاصے کے طور پر۔ خود گراف کو APA کے اصولوں کے مطابق "شکل" (Figure) کے طور پر ترتیب دیا جاتا ہے: شکل کا نمبر اوپر، ترچھے حروف میں وضاحتی عنوان، متغیرات کے ناموں کے ساتھ محور، اور شکل کے نیچے ایک نوٹ جو بتائے کہ ہر نقطہ کس کی نمائندگی کرتا ہے اور لائن کیا ہے – بالکل رہنما میں دیے گئے سکیٹر پلاٹ کی مثال کی طرح، جس میں ہر نقطہ ایک جواب دہندہ ہے اور ریگریشن لائنیں نوٹ میں بیان کی گئی ہیں (American Psychological Association [APA], 2020, Sections 7.22-7.28; Section 7.36, Figure 7.15)۔

اس صفحے کا کیلکولیٹر گراف، جدول اور رپورٹ کے جملے اسی فارمیٹ میں – r اور R² دو ہندسوں میں ابتدائی صفر کے بغیر، b اور a ابتدائی صفر کے ساتھ، r اور b کے لیے وقفۂ اعتماد (Field, 2024, Section 9.14) – ڈیٹا فائل سے خود بخود تیار کرتا ہے، اور انہیں Word فائل کے طور پر ڈاؤن لوڈ کیا جا سکتا ہے؛ خود گراف اسکرین سے کاپی کیا جاتا ہے، اور شکل کا نوٹ – آؤٹ پٹ کے جدول سے۔

جب ریگریشن ہی اصل بات ہو۔ اگر کام میں زور ماڈل پر ہو نہ کہ ہم بستگی پر، تو Field (2024، سیکشن 9.14) رپورٹنگ کے لیے کم از کم یہ متعین کرتے ہیں: b اپنی معیاری خطا اور وقفۂ اعتماد کے ساتھ (بہتر ہے بوٹ اسٹریپ)، p کی عین قدر، معیاری شدہ (standardized) عددی سر β، اور R² – اور مقطع بھی مستحسن ہے، تاکہ قاری مساوات دوبارہ بنا سکے۔ APA کے اصولوں کے مطابق (APA, 2020, Section 6.36)، وہ قدریں جو 1 سے زیادہ نہیں ہو سکتیں – β، R² اور p – نقطے سے پہلے صفر کے بغیر لکھی جاتی ہیں (.55 نہ کہ 0.55)؛ b اور مقطع، جو ہو سکتے ہیں، صفر کے ساتھ لکھے جاتے ہیں۔ b کی معیاری خطا اور وقفۂ اعتماد اس صفحے کے جدول میں نہیں ہیں – انہیں ریگریشن کے عمل سے حاصل کیا جاتا ہے (دیکھیں گراف سے ریگریشن تک)۔ اور کم سے کم الفاظ میں: تخمینہ شدہ اثر (b)، اس کی معیاری خطا اور p کی قدر – اور ان کے ساتھ ایک جملہ جو بتائے کہ عددی سر کیا کہتا ہے، تاکہ ہر قاری سمجھ سکے؛ اور جب سادہ ریگریشن ہو تو لائن کے ساتھ سکیٹر پلاٹ نتیجہ پیش کرنے کا بہترین طریقہ ہے۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

بالکل وہی گراف – نقطے، ریگریشن لائن، ترچھا عنوان اور شکل کا نوٹ – R میں ایک ہی اسکرپٹ سے، گرافکس پیکج ggplot2 کے ساتھ، بنتا ہے۔ ضابطے سائٹ کے باقی صفحات کے R سیکشن جیسے ہیں: UTF-8 فائل، ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہو، فارمولے کے لیے انگریزی میں مختصر نام (efficacy = خود اعتمادی، trust = بھروسہ)، اور عبرانی ناموں (مثال کی فائل) کے لیے UTF-8 ماحول (Windows پر: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") یا R 4.2 اور اس سے اوپر)۔ اسکرپٹ چار حصوں میں بنا ہے: اعداد، گراف، محفوظ کرنا، اور اعتماد کی پٹیاں۔ اسے صفحے کی مثال کی فائل (DATA_scatter_example_heb.xlsx، شیٹ "נתונים") پر R 4.3.3 میں جوں کا توں چلایا گیا، اور نتائج – جدول 1 اور رپورٹ کے جملوں کے یکساں – تبصروں میں درج ہیں۔ راستہ اور متغیرات کے نام اپنے والوں سے بدل دیں؛ R میں راستے میں سیدھا سلیش (/) لکھا جاتا ہے۔

# سکیٹر پلاٹ اور ریگریشن لائن – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
# صرف ایک بار، اگر پیکجز انسٹال نہ ہوں: install.packages(c("readxl", "ggplot2", "ragg"))
library(readxl)    # ایکسل پڑھنا
library(ggplot2)   # گرافکس

# لوڈنگ: معیاری سانچہ – قطار = جواب دہندہ، کالم = متغیر؛ شیٹ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_scatter_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("מסוגלות", "אמון")]
names(d) <- c("efficacy", "trust")          # فارمولے کے لیے انگریزی میں مختصر نام

# --- 1. اعداد (صفحے کے جدول 1 کے یکساں) ---
cor.test(d$efficacy, d$trust)               # r = .738, t(477) = 23.90, p < .001، وقفۂ اعتماد [.695, .776]
cor.test(d$efficacy, d$trust, method = "spearman", exact = FALSE)   # rho = .728
fit <- lm(trust ~ efficacy, data = d)       # ریگریشن لائن: trust بر efficacy (خودکار جوڑی وار حذف)
summary(fit)                                # a = 1.159 (SE .096), b = 0.687 (SE .029, t = 23.90), s = 0.715, R² = .545، ایڈجسٹ شدہ .544, F(1, 477) = 571.4
confint(fit)                                # وقفۂ اعتماد 95%: a [0.970, 1.349], b [0.631, 0.744]
nobs(fit)                                   # N = 479 – دونوں متغیرات میں درست قدر والے مشاہدات

# --- 2. گراف ---
p <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, colour = "#37716D", linewidth = 0.9) +
  labs(x = "خود اعتمادی", y = "بھروسہ",
       title = "شکل 1",
       subtitle = "خود اعتمادی کے تفاعل کے طور پر بھروسہ",
       caption = paste0("نوٹ۔ ہر نقطہ ایک جواب دہندہ کی نمائندگی کرتا ہے، خود اعتمادی (افقی محور) اور بھروسے (عمودی محور) میں اس کی قدروں کے مطابق۔\n",
                        "لائن خود اعتمادی پر بھروسے کی لکیری ریگریشن لائن ہے۔ N = ", nobs(fit),
                        " مشاہدات دونوں متغیرات میں درست قدر کے ساتھ۔")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p

# --- 3. کام کے لیے محفوظ کرنا: 300 dpi، AGG انجن (اردو اور اوقاف درست) ---
ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy.png", p, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

# --- 4. اعتماد کی پٹیاں: Mean بمقابلہ Individual (جیسے صفحے کے چارٹ میں جب دونوں پٹیاں نشان زد ہوں) ---
# وضاحت: Mean – خود لائن کے لیے 95% وقفۂ اعتماد: geom_smooth میں se = TRUE (اس کا طے شدہ انتخاب)؛ Individual – اکیلے جواب دہندہ کے لیے 95% پیش گوئی کا وقفہ: predict(interval = "prediction")
grid <- data.frame(efficacy = seq(min(d$efficacy, na.rm = TRUE), max(d$efficacy, na.rm = TRUE), length.out = 100))
pred <- cbind(grid, predict(fit, newdata = grid, interval = "prediction", level = 0.95))
pred[c(1, 50, 100), ]                        # مثلاً x = 3: ŷ = 3.22، پیش گوئی کا وقفہ [1.81, 4.62]؛ پٹی کی چوڑائی کناروں پر کچھ بڑھ جاتی ہے

p_ci <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_ribbon(data = pred, aes(x = efficacy, ymin = lwr, ymax = upr), inherit.aes = FALSE, fill = "#A7D6D5", alpha = 0.35) +   # Individual
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, level = 0.95, colour = "#37716D", fill = "#37716D", alpha = 0.35, linewidth = 0.9) +  # Mean
  labs(x = "خود اعتمادی", y = "بھروسہ",
       title = "شکل 2",
       subtitle = "خود اعتمادی کے تفاعل کے طور پر بھروسہ، اعتماد کی پٹیوں کے ساتھ",
       caption = paste0("نوٹ۔ ہر نقطہ ایک جواب دہندہ کی نمائندگی کرتا ہے؛ N = ", nobs(fit), " مشاہدات دونوں متغیرات میں درست قدر کے ساتھ۔\n",
                        "لائن خود اعتمادی پر بھروسے کی لکیری ریگریشن لائن ہے۔\n",
                        "گہری پٹی – لائن کے لیے 95% وقفۂ اعتماد (Mean)؛ ہلکی – اکیلے جواب دہندہ کے لیے 95% پیش گوئی کا وقفہ (Individual)۔")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p_ci

ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy_ci.png", p_ci, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

ہر حصے میں کیا ہوتا ہے۔ حصہ 1 میں cor.test r، درجاتِ آزادی، p اور وقفۂ اعتماد دیتا ہے (فشر کی تبدیلی سے – وہی وقفہ جو جدول 1 میں ہے)، اور اسی فنکشن میں method = "spearman" کے ساتھ – r_s؛ lm لائن کا تخمینہ لگاتا ہے، summary مقطع اور ڈھلوان کو ان کی معیاری خطاؤں، t اور p کے ساتھ، تخمینے کی معیاری خطا (Residual standard error)، R² اور F چھاپتا ہے – مثال کے ڈیٹا میں 1.159 اور 0.687، s = 0.715، R² = .545، بالکل کیلکولیٹر کے تیار کردہ جدول 1 کی قطاریں؛ confint عددی سروں کے وقفۂ اعتماد دیتا ہے، اور nobs N = 479 لوٹاتا ہے۔ حصہ 2 میں geom_point نقطے بناتا ہے (شفافیت کے ساتھ، کیونکہ لیکرٹ پیمانے میں بہت سے جواب دہندگان بالکل ایک ہی نقطے پر بیٹھتے ہیں، اور یوں دکھائی دیتا ہے کہ بادل کہاں گھنا ہے)، geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) پٹی کے بغیر ریگریشن لائن شامل کرتا ہے، اور labs شکل کو APA کے اجزاء دیتا ہے: نمبر، ترچھا عنوان (subtitle کے ساتھ face = "italic")، محوروں پر متغیرات کے نام، اور caption میں شکل کا نوٹ – ہر نقطہ کس کی نمائندگی کرتا ہے، لائن کیا ہے اور نمونے کا حجم، hjust = 1 سے دائیں جانب سیدھ میں۔ حصہ 3 مقررہ حجم میں 300 dpi پر PNG فائل محفوظ کرتا ہے، اور یہی ورژن کام میں جاتا ہے – نہ کہ Plots پین سے برآمد، جو اسکرین کی ریزولوشن اور ونڈو کے حجم میں محفوظ ہوتی ہے۔

دونوں "انتباہات" خطا نہیں ہیں۔ ہر رن کے بعد Removed 33 rows containing missing values چھپتا ہے: فائل میں 512 جواب دہندگان منفی 479 جن کی دونوں متغیرات میں درست قدر ہے – R بس جوڑی وار حذف (pairwise deletion) کی اطلاع دیتا ہے، وہی طریقہ جو SPSS اور صفحے کا کیلکولیٹر اپناتے ہیں۔ کچھ کرنے کی ضرورت نہیں۔ گمشدہ قدریں تینوں مراحل – cor.test، lm اور گراف – میں خود بخود ہٹا دی جاتی ہیں، اس لیے اعداد جدول والوں کے یکساں ہیں: r(477) = .738, p < .001۔

اردو کا جال – اور اس سے کیسے بچا جائے۔ پہلے رن میں امکان ہے کہ گراف میں اردو ٹھیک نظر آئے، لیکن شکل کے نوٹ میں اوقاف گڈمڈ ہو جائیں گے: آخری ختمہ سطر کے بائیں جانب اچھل جائے گا، اور N = 479 جملے میں غلط جگہ بھٹک جائے گا (صفحے کے آزمائشی رن میں بھی یہی ہوا، اس انجن کے بغیر لینکس ماحول میں)۔ یہ کوڈ کا مسئلہ نہیں بلکہ اس گرافکس انجن کا ہے جس سے RStudio طے شدہ طور پر بناتا ہے: وہ اردو حروف کو دائیں سے بائیں ترتیب دیتا ہے، لیکن فرض کرتا ہے کہ سطر کی بنیادی سمت بائیں سے دائیں ہے، اس لیے جو کچھ اردو حرف نہیں – نقطہ، قوسین، لاطینی عدد – غلط جگہ جا گرتا ہے۔ ایک دو الفاظ کے عنوانات اور محوروں کے لیبلز متاثر نہیں ہوتے؛ اوقاف کے ساتھ پورا جملہ – ہوتا ہے۔ حل ایک ایسا گرافکس انجن ہے جو یونیکوڈ کا دو سمتی الگورتھم درست طور پر نافذ کرے، AGG، جو ragg پیکج میں آتا ہے، دو جگہوں پر: فائل میں – یہ اسکرپٹ کی ggsave سطر میں device = ragg::agg_png آرگیومنٹ ہے؛ اور Plots پین میں – ایک بار، ترتیبات میں: Tools › Global Options › General › Graphics › Backend: AGG، پھر Apply اور OK:

اور R میں اردو کے لیے دو اور چھوٹے اصول: اسکرپٹ فائل کو UTF-8 انکوڈنگ میں محفوظ کیا جاتا ہے (RStudio میں: File › Save with Encoding) – ورنہ اردو نقطوں یا چوکوروں میں بدل سکتی ہے؛ اور جب کسی لمبے نوٹ کو \n سے کئی سطروں میں تقسیم کیا جائے تو ہر سطر اردو لفظ سے شروع کی جاتی ہے نہ کہ لاطینی حرف یا عدد سے – جو سطر N = 479 سے شروع ہو وہ لاطینی سطر کے طور پر ترتیب پائے گی، اور اس کا ختمہ پھر بھاگ جائے گا۔

اعتماد کی پٹیاں – Mean بمقابلہ Individual کا زندہ مظاہرہ

اسکرپٹ کا حصہ 4 وہ دونوں پٹیاں بناتا ہے جو Fit Line ٹیب کے سیکشن میں بیان ہوئیں – اور اپنی آنکھوں سے دیکھا جا سکتا ہے کہ ان کے درمیان امتیاز کیوں اہم ہے۔ Mean پٹی کو ایک لفظ درکار ہے: geom_smooth میں se = TRUE (دراصل یہ اس کا طے شدہ انتخاب ہے – se = FALSE مٹا دینا کافی ہے)، اور یہ خود لائن کے لیے 95% وقفۂ اعتماد ہے۔ Individual پٹی ggplot2 میں موجود نہیں، اس لیے اسے براہِ راست ماڈل سے حساب کیا جاتا ہے: predict(fit, newdata, interval = "prediction") X کی ہر قدر کے لیے پیش گوئی اور اکیلے جواب دہندہ کے لیے پیش گوئی کے وقفے کی حدیں لوٹاتا ہے، اور geom_ribbon انہیں پٹی کی صورت میں بناتا ہے۔ دونوں پٹیاں اعتماد کی ایک ہی سطح، 95%، پر بنائی جاتی ہیں، اور پھر بھی:

Mean پٹی لائن میں تقریباً گم ہو جاتی ہے: 479 جواب دہندگان کے ساتھ ہم اچھی طرح جانتے ہیں کہ اوسط لائن کہاں سے گزرتی ہے، اور اس سے بھی بڑے نمونے میں یہ سکڑ کر صفر ہو جاتی۔ Individual پٹی پیمانے پر دو تین نکات تک پھیلی ہوتی ہے – کیونکہ اس میں لائن کے گرد جواب دہندگان کا پھیلاؤ بھی شامل ہے، اس سیکشن کا σ، جو نمونے کے کسی بھی حجم میں ختم نہیں ہوتا۔ اور دونوں، اگر غور سے دیکھیں، X کی اوسط کے گرد سب سے تنگ ہیں اور کناروں کی طرف کچھ چوڑی ہو جاتی ہیں – ریت گھڑی کی شکل۔ کوڈ میں شکل کا نوٹ صراحت سے بتاتا ہے کہ ہر پٹی کس کی نمائندگی کرتی ہے اور اعتماد کی کس سطح پر، جیسا کہ APA (2020، سیکشن 7.28) تقاضا کرتا ہے – اور یہی وجہ ہے کہ نتائج کے باب میں عموماً صرف Mean رپورٹ کیا جاتا ہے: وہاں سوال یہ ہے کہ "تعلق کہاں سے گزرتا ہے"، نہ کہ "نیا جواب دہندہ کہاں گرے گا"۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Belsley, D. A., Kuh, E., & Welsch, R. E. (1980). Regression diagnostics: Identifying influential data and sources of collinearity. Wiley.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cook, R. D., & Weisberg, S. (1982). Residuals and influence in regression. Chapman & Hall.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Field, A. P., & Wilcox, R. R. (2017). Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers. Behaviour Research and Therapy, 98, 19-38. https://doi.org/10.1016/j.brat.2017.05.013

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2020). Regression and other stories. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Hoaglin, D. C., & Welsch, R. E. (1978). The hat matrix in regression and ANOVA. The American Statistician, 32(1), 17-22. https://doi.org/10.1080/00031305.1978.10479237

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.