مخفی عوامل کے درمیان ثالثی (bootstrap)

کیلکولیٹر

ڈیٹا لوڈ کرنا

شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:

ماڈل کی تعریف

رہنما

کب استعمال کریں؟

جب مفروضہ ایک میکانزم کے بارے میں ہو: ایک عامل نتیجے کو کسی تیسرے عامل کے ذریعے متاثر کرتا ہے۔ Kline (2023، ص 349) ثالثی (mediation) کے تجزیے کو اس سوال کے طور پر بیان کرتے ہیں کہ "تبدیلیاں کسی سببی عامل سے ایک یا زیادہ ثالث متغیرات کے ذریعے کیسے منتقل ہوتی ہیں، جو بدلے میں نتیجے میں تبدیلیوں کا باعث بنتے ہیں"۔ مثال کی فائل میں: اداروں پر اعتماد ← کمیونٹی سے وابستگی کا احساس ← شرکت، اور ساتھ ہی اعتماد سے شرکت تک ایک براہِ راست راستہ۔

پیمانے کے اسکورز کی بجائے مخفی عوامل کیوں؟ Kline (2023، ص 350) Iacobucci وغیرہ (2007، بحوالہ Kline) کی سمولیشنز پیش کرتے ہیں جن کے مطابق ہر متغیر کے لیے کئی اشاریوں والے ثالثی کے تجزیے، جو پیمائشی خطا کو قابو میں رکھتے ہیں، واحد اشاریے والے تجزیوں (عام ریگریشن) سے "عموماً بہتر" ہوتے ہیں۔ پیمانے کے اسکورز کے ساتھ – صفحہ پاتھ تجزیہ اور ثالثی (وہاں بوٹ اسٹریپ بھی ہے)، یا تعدیل اور ثالثی (PROCESS کے انداز میں، معتدل شدہ ثالثی بھی)؛ ثالثی کی تقسیم کے بغیر مکمل ماڈل کے لیے – ساختی مساوات ماڈلنگ (SEM)؛ صرف پیمائشی ماڈل کی جانچ کے لیے – توثیقی عاملی تجزیہ۔

منطق: راستوں کا حاصلِ ضرب

M کے ذریعے Y پر X کا بالواسطہ اثر دونوں عددی سروں کا حاصلِ ضرب ہے – a (X ← M) ضرب b (M ← Y)، جہاں b پہلے ہی X کو قابو میں رکھتا ہے؛ مجموعی اثر ab + c′ ہے، جہاں c′ براہِ راست اثر ہے۔ Kline (2023، ص 125) تشریح کرتے ہیں: ab، Y میں وہ متوقع تبدیلی ہے جب X مستقل رہے اور M اس قدر تک بدلے جہاں وہ X میں ایک نقطے کی تبدیلی سے پہنچتا (Pearl، 2009، بحوالہ Kline)۔ کئی ثالث متغیرات کے ساتھ – ہر راستے کا اپنا حاصلِ ضرب (متوازی: X ← M1 ← Y اور X ← M2 ← Y؛ تسلسل میں: X ← M1 ← M2 ← Y)، اور مجموعی بالواسطہ اثر ان کا مجموعہ ہے (Kline, pp. 351-352, Figure 20.2)۔

معیاری خطا۔ خود راستے کے لیے – عام معیاری خطا۔ حاصلِ ضرب کے لیے دو طریقے ہیں۔ ڈیلٹا طریقہ (Sobel، 1982، بحوالہ Kline، 2023، ص 125، مساوات 8.2؛ یہ lavaan میں := کی طے شدہ ترتیب بھی ہے – Rosseel، 2012، سیکشن 7.4) – لیکن "Sobel ٹیسٹ نارملٹی فرض کرتا ہے، جبکہ حاصلِ ضرب کے تخمینہ کاروں کی تقسیمیں عموماً نارمل نہیں ہوتیں؛ وہ اکثر غیر متشاکل ہوتی ہیں اور ان کا کرٹوسس (kurtosis) بلند ہوتا ہے"، اسے بڑا نمونہ درکار ہوتا ہے، اور چھوٹے نمونے میں اس کی p قدریں "بہت غیر درست ہو سکتی ہیں" (Kline, p. 128)۔ بوٹ اسٹریپ – "جو نارملٹی فرض نہیں کرتا" اور تین یا زیادہ راستوں والے سلسلوں کے لیے بھی موزوں ہے (وہی ماخذ)۔ صفحہ دونوں کو ساتھ ساتھ چھاپتا ہے۔

بوٹ اسٹریپ اور وقفہ ہائے اعتماد

Byrne (2016، ص 367-368) خیال کو بیان کرتی ہیں: اصل نمونہ "آبادی" کا کام کرتا ہے، اور اس میں سے "واپسی کے ساتھ" اسی حجم کے بہت سے نمونے لیے جاتے ہیں؛ ہر نمونے میں ماڈل کا دوبارہ تخمینہ لگایا جاتا ہے، اور تخمینوں کی تقسیم ایک "ٹھوس" نمونہ جاتی تقسیم ہے، جو نارملٹی کے مفروضے پر منحصر نہیں۔ صفحہ ان جواب دہندگان میں سے جن کی تمام آئٹمز میں قدر ہے، مکمل قطاریں (جواب دہندگان) چنتا ہے، ہر نمونے میں مکمل نمونے کے تخمینوں سے شروع کر کے ماڈل کا تخمینہ لگاتا ہے، اور تمام اثرات محفوظ کرتا ہے۔ جس نمونے میں تخمین کاری متقارب نہ ہوئی – وہ حساب سے نکل جاتا ہے؛ ناقابلِ قبول حل والا نمونہ – باقی رہتا ہے اور رپورٹ کیا جاتا ہے، جیسے lavaan میں۔ آؤٹ پٹ کی شکل میں حاصل شدہ تقسیم نظر آتی ہے، اور عموماً اس کی عدم تشاکل بھی۔

دو وقفہ ہائے اعتماد۔ فیصدیے: حدیں بوٹ اسٹریپ کی تقسیم کے 2.5 اور 97.5 فیصدیے ہیں (صفحہ lavaan کا انٹرپولیشن استعمال کرتا ہے، boot.ci.type = "perc")۔ تعصب سے درست شدہ (bias-corrected): Kline (2023، ص 129) اسے ایسے طریقے کے طور پر بیان کرتے ہیں جو "تجرباتی نمونہ جاتی تقسیم میں ممکنہ عدم تشاکل کے مطابق خود کو ڈھالتا ہے، اس بات کا تعین کر کے کہ بوٹ اسٹریپ تخمینوں کا کتنا حصہ مشاہدہ شدہ نتیجے سے نیچے آتا ہے" (Efron، 1987، بحوالہ Kline) – یہ lavaan کا "bca.simple" ہے، اور یہی وقفہ AMOS چھاپتا ہے (Byrne، 2016، ص 374، وہاں طے شدہ – 90%)۔ صفحہ دونوں کو چھاپتا ہے ("یہ بھی اور وہ بھی"): جب دونوں متفق ہوں – کوئی سوال نہیں؛ جب ایک میں صفر شامل ہو اور دوسرے میں نہیں – نتیجہ سرحد پر ہے۔ سیڈ: Kline (ص 129) یاد دلاتے ہیں کہ بوٹ اسٹریپ وقفے کی حدیں "لازمی طور پر منفرد نہیں جب تک محقق سیڈ مقرر نہ کرے" – کسی اور سیڈ اور دوسرے نمونے میں یہ سوال کہ صفر اندر ہے یا نہیں، الٹ سکتا ہے۔ صفحہ R کے اعداد کے جنریٹر (Mersenne-Twister اور sample.int) کو نافذ کرتا ہے، اس لیے یہاں سیڈ 2026 اور lavaan میں iseed = 2026 بالکل وہی نمونے دیتے ہیں – اور وہی وقفے۔

کتنے نمونے؟ 1,000 – ان پیکیجز میں طے شدہ جو Kline (ص 129) نے چلائے، اور صفحے پر بھی؛ Byrne (ص 374) نے 500 سے مثال دی۔ جتنے زیادہ نمونے ہوں، حدیں سیڈ پر اتنی ہی کم منحصر ہوتی ہیں؛ 5,000 براؤزر میں تقریباً آدھا منٹ لیتے ہیں۔

اثر کا حجم

Kline (2023، ص 353-355) بتاتے ہیں کہ کوئی "عالمگیر اور جامع ثالثی کا اثر کا حجم" نہیں اور تمام اشاریوں کی حدود ہیں۔ آؤٹ پٹ کا جدول 5 تین پیش کرتا ہے: معیاری شدہ (standardized) بالواسطہ اثر – نتیجے کے معیاری انحراف میں، پیش گو متغیر (predictor) میں ایک معیاری انحراف کی تبدیلی کے لیے (ص 353)، اس حد کے ساتھ کہ معیاری شدہ قدروں کا مختلف تغیرات والے نمونوں کے درمیان موازنہ نہیں کیا جا سکتا۔ ثالثی کا تناسب P_M = ab/(ab + c′) (مساوات 20.1) – "غالباً سب سے زیادہ رپورٹ کیا جانے والا"، لیکن "یہ سادہ تناسب نہیں": یہ 1 سے بڑھ سکتا ہے یا منفی ہو سکتا ہے، جب مجموعی اثر صفر کے قریب ہو تو یہ محدود نہیں رہتا، اور بہت چھوٹے بالواسطہ اثر کا اس سے تھوڑے ہی بڑے مجموعی اثر سے تناسب "بلند" دکھائی دے سکتا ہے (Preacher اور Kelley، 2011، بحوالہ Kline، ص 354)؛ اور اس کی قدریں "N < 500 ہونے پر غیر مستحکم ہو سکتی ہیں"۔ مثال کی فائل میں P_M = 1.05 – براہِ راست اثر تقریباً صفر اور منفی – اور اس کا بوٹ اسٹریپ وقفہ بہت چوڑا ہے: بالکل یہی وجہ ہے۔ û = (a_sb_s)² (Lachowicz وغیرہ، 2018، بحوالہ Kline، مساوات 20.3) – معیاری شدہ بالواسطہ اثر کا مربع، جو آبادی میں نتیجے کے تغیر کے اس حصے کے برابر ہے جسے پیش گو متغیر اور ثالث متغیر جعلی تعلقات کی تصحیح کے بعد مل کر واضح کرتے ہیں؛ اوپر کی جانب متعصب، خصوصاً چھوٹے نمونے میں۔ صفحہ اسے صرف دو راستوں والے واحد سلسلے کے لیے چھاپتا ہے، جیسا کہ تعریف میں ہے۔

تشریح: ثالثی کیا بتاتی ہے – اور کیا نہیں

مکمل، جزوی، غیر مستقل۔ صفر سے مختلف نہ ہونے والا براہِ راست راستہ اور ساتھ ایسا بالواسطہ اثر جو مختلف ہو – "مکمل ثالثی"؛ براہِ راست اور بالواسطہ ایک ہی علامت کے ساتھ – "جزوی" (Kline, 2023, p. 127)۔ جب بالواسطہ اور براہِ راست کی علامتیں الٹی ہوں – "غیر مستقل ثالثی": مجموعی اثر صفر کے قریب ہو سکتا ہے چاہے بالواسطہ اثر نمایاں ہو، اس لیے ثالثی کی پہلی شرط کے طور پر "پیش گو متغیر اور نتیجے کے درمیان معنی خیز تعلق" کا پرانا تقاضا اسے غلطی سے رد کر دیتا ہے؛ جب ثالث متغیر کو قابو میں رکھنے سے تعلق مضبوط ہو جائے – "اخفا" (suppression) (وہی ماخذ، ص 127-128)۔ آؤٹ پٹ میں نتیجے کی تشریح تینوں صورتوں کی نشاندہی کرتی ہے۔

ثالثی کا افسانہ۔ Kline (2023، ص 349) ثالثی کے باب کا آغاز "افسانے" سے کرتے ہیں – یہ عقیدہ کہ ثالثی کی ایک عام تحقیق واقعی ثالثی کا تخمینہ لگاتی ہے، جب ڈیزائن عرضی (cross-sectional) ہو، مفروضات زیرِ بحث نہ آئیں، معنی خیز بالواسطہ اثر کو "ثبوت" سمجھا جائے اور مساوی ماڈلز کا ذکر نہ ہو۔ عرضی تحقیق میں تین رکاوٹیں (ص 350): (1) "وقتی تقدم کی عدم موجودگی" – ثالثی کی تعریف ایک عامل سے دوسرے عامل تک منتقل ہونے والی تبدیلی کے طور پر کی جاتی ہے، اور ایک ہی پیمائش میں تبدیلی کا تخمینہ ممکن نہیں؛ (2) وقت میں مضبوط تصوراتی ترتیب کے بغیر ایک ماڈل کو مساوی ماڈلز پر ترجیح نہیں دی جا سکتی – اور تین متغیرات والے ماڈل میں ایسے 18 ہیں، جن میں سے بعض میں ثالثی بالکل نہیں (شکل 20.1)؛ (3) کسی مشترک عامل سے تعصب جو ناپا نہ گیا ہو۔ Thoemmes (2015, as cited in Kline, pp. 352-353) نے دکھایا کہ معنی خیز بالواسطہ اثر والا ماڈل چننے کے لیے تیروں کو الٹنا جائز نہیں – غلط ماڈل اکثر ملتے جلتے حجم کا بالواسطہ اثر دیتا ہے، اور درست ماڈل لازماً وہ نہیں جس کا اثر سب سے بڑا ہو۔ جو مدد کرتا ہے: طولی ڈیزائن (نیم طولی یا مکمل – ص 356-357)، آلاتی متغیر (instrumental variable)، اچھے اشاریے اور ثالث متغیر اور نتیجے کے لیے پیمائش کے مختلف طریقے (ص 353)۔

مفروضات اور انتباہات

بوٹ اسٹریپ جادو نہیں۔ Kline (2023، ص 129): بوٹ اسٹریپ تخمینے "چھوٹے نمونوں میں بہت متعصب ہو سکتے ہیں، خصوصاً اگر نمونے کی تقسیمیں آبادی کی تقسیموں کی عکاسی نہ کریں"۔ Byrne (2016، ص 369-370) حدود گنواتی ہیں: اصل نمونہ آبادی کی نمائندگی کرے؛ مشاہدات آزاد اور یکساں تقسیم شدہ ہوں (Yung اور Bentler، 1996، بحوالہ Byrne)؛ نارمل ڈیٹا میں بوٹ اسٹریپ کی معیاری خطائیں ML کی نسبت زیادہ متعصب ہوتی ہیں (Ichikawa اور Konishi، 1995، بحوالہ Byrne)؛ اور بوٹ اسٹریپ "یقیناً چھوٹے نمونوں کا علاجِ کل نہیں"۔ پیمانے کا تعین: Byrne (ص 370) Arbuckle (2007، بحوالہ Byrne) کو پیش کرتی ہیں: بوٹ اسٹریپ میں ہر عامل کے لیے ایک لوڈنگ مقرر کی جاتی ہے، عامل کا تغیر نہیں – تغیرات کو 1 پر مقرر کرنا "بوٹ اسٹریپ کی بہت بڑھی ہوئی معیاری خطاؤں کا باعث بنتا ہے" (Hancock اور Nevitt، 1999، بحوالہ Byrne)۔ اس لیے صفحے پر – صرف مارکر؛ معیاری شدہ اثرات اس انتخاب پر منحصر نہیں۔

نمونے کا حجم اور SEM کے مفروضات – جیسا کہ صفحہ ساختی مساوات ماڈلنگ (SEM) میں: 200 جواب دہندگان سے کم، یا فی پیرامیٹر 10 سے کم پر، صفحہ خبردار کرتا ہے (Kline, 2023, p. 16)؛ پانچ سے کم زمروں والے آئٹمز (Rhemtulla et al., 2012, p. 354)؛ ناقابلِ قبول حل (Kline, p. 421)۔ Kline (ص 354) اضافہ کرتے ہیں کہ ثالثی کا تناسب P_M 500 جواب دہندگان سے کم پر غیر مستحکم ہو سکتا ہے۔ گمشدہ قدریں – بوٹ اسٹریپ سے پہلے فہرست وار حذف (listwise deletion) (جیسے lavaan)۔

یہ صفحہ کیا حساب نہیں کرتا۔ مشروط ثالثی (کسی راستے کی تعدیل – "conditional process analysis"، Kline، ص 358-361)، تاخیری اثرات والے طولی ماڈلز، Pearl کے مفہوم میں سببی ثالثی (فطری اثرات، ص 360)، مکمل BCa وقفہ (سرعت کے عددی سر کے ساتھ – صرف bca.simple)، مطابقت کے ٹیسٹ کے لیے Bollen-Stine بوٹ اسٹریپ، غیر تکراری (non-recursive) ماڈلز اور خلل کی ہم بستگیاں، گروہوں کا موازنہ اور پیمائشی عدم تغیر۔

اور SPSS اور AMOS میں یہ کیسے کریں؟

SPSS Statistics میں ساختی مساوات کے ماڈل نہیں ہیں (Pallant, 2020, Chapter 10)؛ پیمانے کے اسکورز کے درمیان ثالثی کے لیے Hayes کا PROCESS میکرو موجود ہے (2022, as cited in Kline, 2023, pp. 129, 358)، جو مشاہدہ شدہ متغیرات کے لیے بوٹ اسٹریپ وقفے نکالتا ہے اور "صفر پیمائشی خطا" فرض کرتا ہے (Kline, p. 358)۔ AMOS میں ماڈل SEM کے صفحے کی طرح بنایا جاتا ہے، اور Analysis Properties ونڈو میں، Bootstrap ٹیب پر، Perform bootstrap، نمونوں کی تعداد اور Bias-corrected confidence intervals پر نشان لگایا جاتا ہے – طے شدہ 90% (Byrne, 2016, pp. 373-374)۔ AMOS خلاصے میں رپورٹ کرتا ہے کہ کتنے نمونے "استعمال نہیں ہوئے" کیونکہ حل نہیں ملا (وہی ماخذ، ص 382) – جیسے یہاں آؤٹ پٹ کے شروع میں بوٹ اسٹریپ کی سطر۔ متوقع فرق: AMOS χ² کو تقسیم کنندہ N − 1 سے نکالتا ہے (Byrne, p. 93)، اور اس کا اعداد کا جنریٹر مختلف ہے – حدیں قریب ہوں گی لیکن یکساں نہیں۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

lavaan میں راستوں کے لیے لیبل متعین کیے جاتے ہیں (a*trust)، اثرات := سے، اور se = "bootstrap" طلب کیا جاتا ہے (Rosseel, 2012, Section 7.4)؛ iseed سیڈ مقرر کرتا ہے۔ وقفہ ہائے اعتماد – parameterEstimates میں boot.ci.type = "perc" یا "bca.simple" کے ساتھ۔ آؤٹ پٹ میں "R اسکرپٹ ڈاؤن لوڈ کریں" بٹن آپ کا متعین کردہ ماڈل اسی تعداد کے نمونوں اور اسی سیڈ کے ساتھ لکھتا ہے۔ نیچے دیا گیا اسکرپٹ مثال کی فائل پر جوں کا توں چلایا گیا (lavaan 0.6-17)، اور صفحہ، 1,000 نمونوں اور سیڈ 2026 کے ساتھ، وہی اعداد دیتا ہے۔

# مخفی عوامل کے درمیان بوٹ اسٹریپ کے ساتھ ثالثی – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)   # ایکسل پڑھنا
library(lavaan)   # sem, parameterEstimates

# لوڈنگ: معیاری سانچہ – قطار = جواب دہندہ، کالم = آئٹم؛ شیٹ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_cfa_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
items <- c(paste0("שייכות_", 1:4), paste0("אמון_", 1:4), paste0("השתתפות_", 1:4))
d <- as.data.frame(d[, items])
names(d) <- c(paste0("b", 1:4), paste0("t", 1:4), paste0("p", 1:4))   # ماڈل کے لیے انگریزی میں مختصر نام

# ماڈل: اعتماد ← وابستگی ← شرکت، اور مزید اعتماد ← شرکت؛ بالواسطہ اثر، مجموعی اثر اور ثالثی کا تناسب
model <- "
  belong =~ b1 + b2 + b3 + b4
  trust  =~ t1 + t2 + t3 + t4
  partic =~ p1 + p2 + p3 + p4
  belong ~ a*trust
  partic ~ b*belong + c*trust
  ind := a*b
  tot := c + a*b
  pm  := (a*b) / (c + a*b)
"
# بوٹ اسٹریپ کے 1000 نمونے؛ iseed – سیڈ (جیسے صفحے پر: وہی سیڈ، وہی نمونے)
fit <- sem(model, data = d, se = "bootstrap", bootstrap = 1000, iseed = 2026)
pe <- parameterEstimates(fit, boot.ci.type = "perc")
pe[pe$op %in% c("~", ":="), c("lhs", "op", "rhs", "label", "est", "se", "ci.lower", "ci.upper")]
# a 0.531 [0.402, 0.681]; b 0.529 [0.363, 0.712]; c -0.014 [-0.187, 0.158]
# ind 0.281 (SE 0.061) [0.174, 0.412]; tot 0.267 [0.121, 0.438]; pm 1.051 (SE 1.104) [0.574, 2.252]
pb <- parameterEstimates(fit, boot.ci.type = "bca.simple")       # تعصب سے درست شدہ
pb[pb$op == ":=", c("lhs", "est", "ci.lower", "ci.upper")]          # ind [0.175, 0.413]

# موازنے کے لیے – ڈیلٹا طریقہ (بوٹ اسٹریپ کے بغیر)
fit_ml <- sem(model, data = d)
parameterEstimates(fit_ml)[parameterEstimates(fit_ml)$op == ":=", c("lhs", "est", "se", "pvalue")]
# ind SE 0.060; pm SE 0.332 – بوٹ اسٹریپ میں 1.104 کے مقابلے میں: ڈیلٹا تناسب کے عدم استحکام کو نہیں دیکھتا

نتائج کی رپورٹنگ

ماڈل (پیش گو متغیر، ثالث متغیرات، نتیجہ، براہِ راست راستہ یا نہیں)، ماڈل کی مطابقت (model fit)، راستے (b معیاری خطا کے ساتھ، اور β)، اور ہر بالواسطہ اثر کے لیے – تخمینہ، بوٹ اسٹریپ وقفۂ اعتماد اور اس کی قسم (فیصدیے یا تعصب سے درست شدہ)، نمونوں کی تعداد اور سیڈ رپورٹ کیے جاتے ہیں؛ کئی ثالث متغیرات کے ساتھ – ہر راستہ الگ بھی۔ Kline (2023، ص 128) یاد دلاتے ہیں کہ وقفے کو ٹیسٹ کے طور پر پڑھنا لازم نہیں: "وقفۂ اعتماد کے اندر تمام قدریں اصولاً مساوی ہیں"، اور اس کے اندر صفر "کسی دوسری قدر سے زیادہ خاص نہیں"۔ Kline (ص 422): "صرف معیاری شدہ حل رپورٹ کرنا غلطی ہے"۔ APA (2020، سیکشن 6.36) – β اور p کے لیے اعشاریے سے پہلے صفر نہیں، اور b کے لیے صفر کے ساتھ؛ ہر اثر کے لیے ایک قطار والا جدول – جیسے آؤٹ پٹ کا جدول 3۔ اور بحث کے باب میں – ڈیزائن (عرضی یا طولی) اور مساوی ماڈلز، جن کے بغیر "ثالثی" ڈیٹا سے زیادہ مضبوط دعویٰ ہے۔

عام غلطیاں

"بالواسطہ اثر معنی خیز ہے – ثالثی ثابت ہو گئی"۔ عرضی ڈیزائن میں یہ ایک مفروضہ ہے جس سے ڈیٹا ہم آہنگ ہے، ثبوت نہیں (Kline, 2023, pp. 349-350)۔

پہلے پیش گو متغیر اور نتیجے کے درمیان معنی خیز تعلق کا تقاضا کرنا۔ غیر مستقل ثالثی میں مجموعی اثر صفر ہو سکتا ہے چاہے بالواسطہ اثر نمایاں ہو (Kline, p. 127)۔

Sobel پر بھروسا کرنا۔ حاصلِ ضرب کی تقسیم غیر متشاکل ہے؛ بوٹ اسٹریپ وقفہ رپورٹ کیا جاتا ہے۔

سیڈ اس وقت تک بدلتے رہنا جب تک وقفے میں صفر شامل نہ رہے۔ سیڈ پہلے سے مقرر کیا جاتا ہے اور رپورٹ کیا جاتا ہے؛ اگر نتیجہ سیڈ پر منحصر ہو – تو وہ سرحد پر ہے۔

P_M کو "ثالثی شدہ فیصد" کے طور پر پڑھنا۔ یہ 1 سے بڑھ سکتا ہے، جیسا کہ مثال میں؛ اس کے ساتھ معیاری شدہ بالواسطہ اثر رپورٹ کیا جاتا ہے۔

تیر الٹنا اور بڑے بالواسطہ اثر والا ماڈل چن لینا۔ مساوی ماڈلز کا فیصلہ شماریاتی طور پر نہیں ہوتا (Thoemmes, 2015, as cited in Kline, pp. 352-353)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Brown, T. A. (2015). Confirmatory factor analysis for applied research (2nd ed.). Guilford Press.

Byrne, B. M. (2016). Structural equation modeling with AMOS: Basic concepts, applications, and programming (3rd ed.). Routledge.

Hu, L., & Bentler, P. M. (1999). Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 6(1), 1-55. https://doi.org/10.1080/10705519909540118

Kline, R. B. (2023). Principles and practice of structural equation modeling (5th ed.). Guilford Press.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Rhemtulla, M., Brosseau-Liard, P. É., & Savalei, V. (2012). When can categorical variables be treated as continuous? A comparison of robust continuous and categorical SEM estimation methods under suboptimal conditions. Psychological Methods, 17(3), 354-373. https://doi.org/10.1037/a0029315

Rosseel, Y. (2012). lavaan: An R package for structural equation modeling. Journal of Statistical Software, 48(2), 1-36. https://doi.org/10.18637/jss.v048.i02

Efron (1987)، Hayes (2022)، Iacobucci وغیرہ (2007)، Jackson (2003)، Lachowicz وغیرہ (2018)، Pearl (2009)، Preacher اور Kelley (2011)، Sobel (1982) اور Thoemmes (2015) – بحوالہ Kline (2023)؛ Arbuckle (2007)، Hancock اور Nevitt (1999)، Ichikawa اور Konishi (1995) اور Yung اور Bentler (1996) – بحوالہ Byrne (2016)؛ Sobel (1982) – Rosseel (2012) کے ہاں بھی۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے۔ سائٹ کے ضابطے: 1,000 نمونوں اور سیڈ 2026 کی طے شدہ ترتیب، دونوں قسم کے وقفوں کو ساتھ ساتھ دکھانا، اور صرف مارکر۔ صفحے پر حساب کی توثیق R میں lavaan 0.6-17 سے کی گئی ہے – وہی نمونے، وہی وقفے۔