یک طرفہ تغیرات کا تجزیہ (ANOVA)

ڈیٹا لوڈ کرنا

شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:

متغیرات کا انتخاب

کب استعمال کریں؟

جب یہ جاننا ہو کہ کیا کسی مقداری متغیر کی اوسط تین یا زیادہ الگ گروہوں کے درمیان مختلف ہے – تعلیم کی تین سطحیں، تجربے کی چار حالتیں، پانچ علاقے۔ Pallant (2020، باب 18) نسخہ یوں بیان کرتی ہیں: تین یا زیادہ گروہوں والا ایک زمرہ جاتی (categorical) آزاد متغیر ("یک طرفہ" – ایک آزاد متغیر؛ "گروہوں کے مابین (between-subjects)" – ہر گروہ میں مختلف لوگ)، اور ایک مسلسل تابع متغیر۔ Gravetter اور Wallnau (2017، ص 366-370) وضاحت کرتے ہیں کہ t ٹیسٹوں کا سلسلہ کیوں نہیں: ہر ٹیسٹ میں قسم I کی خطا کا 5% خطرہ ہوتا ہے، اور تین گروہ تین ٹیسٹ ہیں – "تجرباتی الفا کی سطح" (experimentwise) جمع ہوتی جاتی ہے؛ ANOVA تمام فرقوں کو ایک ہی ٹیسٹ میں جانچتا ہے۔ Field (2024، سیکشن 12.3) دکھاتے ہیں کہ یہ ڈمی متغیرات والا لکیری ماڈل ہے: وہی F جو گروہوں کو پیش گو متغیرات (predictors) بنا کر ریگریشن سے حاصل ہوتا ہے۔

صرف دو گروہ – صفحہ حساب کرتا ہے، لیکن آزاد نمونوں کا t ٹیسٹ وہی فیصلہ دیتا ہے (F = t²) اور مزید کوہن کا d اور فرق کا وقفۂ اعتماد؛ انہی شرکاء کی کئی پیمائشیں – مکرر پیمائشوں (repeated measures) کے لیے تغیرات کا تجزیہ (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, Chapter 13)، صفحہ مکرر پیمائشوں کے لیے ANOVA پر؛ ایک اضافی مسلسل متغیر کے ساتھ گروہوں کا موازنہ جو پہلے ناپا گیا ہو (مثلاً "پہلے" کا اسکور) – ANCOVA، ہم متغیر (covariate) کے ساتھ تغیرات کا تجزیہ؛ دو یا زیادہ آزاد متغیرات، یا بلاکس – کثیر عاملی ANOVA، صفحہ تجربات کی منصوبہ بندی پر (وہیں نمونے کا حجم اور تصادفی رن شیٹ بھی)؛ ترتیبی تابع متغیر یا چھوٹے نمونے میں مفروضات (assumptions) کی شدید خلاف ورزی – کرسکل-والس ٹیسٹ (Pallant, Chapter 16; Gravetter & Wallnau, Appendix E)۔ کثیر آئٹمی پیمانے کا اسکور (صفحہ کرونباخ الفا اور پیمانے کا اسکور) سائٹ کے ضابطے کے مطابق وقفی متغیر سمجھا جاتا ہے (صفحہ متغیرات اور پیمائش کی سطحیں)؛ واحد لیکرٹ آئٹم – نہیں۔

منطق: گروہوں کے درمیان تغیر تقسیم گروہوں کے اندر تغیر

Gravetter اور Wallnau (2017، ص 371-375) ڈیٹا کے پورے پھیلاؤ کو دو حصوں میں تقسیم کرتے ہیں۔ گروہوں کے درمیان تغیر (variance) – گروہوں کی اوسطیں ایک دوسرے سے کتنی دور ہیں؛ یہ علاج سے (اگر اس کا اثر ہو) اور لوگوں کے باہمی فرق اور اتفاقی خطا سے بھی پیدا ہوتا ہے۔ گروہوں کے اندر تغیر – ایک ہی گروہ کے شرکاء ایک دوسرے سے کتنے مختلف ہیں؛ یہ صرف لوگوں کے باہمی فرق اور اتفاقی خطا سے پیدا ہوتا ہے، کیونکہ گروہ کے اندر سب کو ایک ہی علاج ملا۔ F ان دونوں کا تناسب ہے: اگر علاج کا کوئی اثر نہ ہو تو دونوں ماخذ ایک ہی چیز ناپتے ہیں اور F 1 کے قریب ہوتا ہے؛ اگر اثر ہو تو شمار کنندہ بڑھتا ہے اور F اوپر جاتا ہے۔ Field (2024، سیکشن 12.3.4-12.3.8) یہی خیال ماڈل کی زبان میں بیان کرتے ہیں: SS_T (کل اوسط کے گرد سارا پھیلاؤ) = SS_M (جس کی گروہی اوسطیں وضاحت کرتی ہیں) + SS_R (جو باقی رہ جاتا ہے)، اور ہر ایک کو اس کے درجاتِ آزادی سے تقسیم کر کے اوسط مربع حاصل کیا جاتا ہے – تغیر کی "اوسط"، کیونکہ مربعوں کا مجموعہ مشاہدات کی تعداد کے ساتھ بڑھتا ہے۔

درجاتِ آزادی: df_مابین = k − 1 (گروہوں کی تعداد منفی ایک)، df_اندر = N − k (Gravetter & Wallnau, pp. 378-379)۔ Gravetter اور Wallnau کی مثال (مثال 12.2، ص 385-388): سیکھنے کی تین حکمتِ عملیاں، ہر ایک میں چھ طلبہ – SS_مابین = 84، SS_اندر = 88، MS بالترتیب 42 اور 5.87، F(2, 15) = 7.16، معنی خیز؛ Field کی مثال (سیکشن 12.2، جدول 12.1): تین خوراکوں میں پِلّوں کے ذریعے علاج، ہر گروہ میں پانچ – F(2, 12) = 5.12, p = .025۔ دونوں کا حساب صفحے پر ہوتا ہے اور بالکل وہی اعداد دیتی ہیں جو کتابوں میں ہیں۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

جدول 1 – گروہی شماریات (Descriptives)۔ Pallant (2020، باب 18): "ہمیشہ پہلے یہ جدول دیکھیں – کیا ہر گروہ کا N درست ہے؟" خالی یا بہت چھوٹا گروہ عموماً غلط کوڈ یا بہت سی گمشدہ قدروں کی علامت ہوتا ہے۔ قطار "کل" – مجموعی اوسط، جس کے گرد گروہوں کے درمیان تغیر ناپا جاتا ہے۔

جدول 2 – ANOVA جدول، جس میں Welch کی قطار بھی ہے (SPSS میں یہ الگ جدول میں ہوتی ہے، Robust Tests of Equality of Means)۔ کون سی قطار پڑھیں؟ t ٹیسٹ کی طرح ماخذ منقسم ہیں، اور صفحہ دونوں موقف پیش کرتا ہے:

آؤٹ پٹ میں "نتیجے کی تشریح" کا خانہ بتاتا ہے کہ کیا دونوں قطاریں متفق ہیں۔ Field کی پِلّوں والی مثال میں وہ اختلاف کرتی ہیں: عام F p = .025، Welch p = .054 – اور Field (سیکشن 12.9.1) کہتے ہیں کہ یہ الجھن "صرف اسی صورت میں ہے جب .05 کی حد کو جادوئی طاقتیں دی جائیں"۔ F، df اور p۔ p .05 سے چھوٹا – گروہوں کے درمیان "کہیں نہ کہیں" معنی خیز فرق ہے؛ جدول یہ نہیں بتاتا کہ کن کے درمیان (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, p. 393)۔ F کا کوئی یک طرفہ نسخہ نہیں – p کو دو سے تقسیم نہیں کیا جا سکتا (Field، ٹپ 12.1)۔

پوسٹ ہاک ٹیسٹ: کن گروہوں کے درمیان؟

معنی خیز F بتاتا ہے کہ کم از کم ایک فرق معنی خیز ہے؛ پوسٹ ہاک ٹیسٹ (post hoc) تمام جوڑوں سے گزرتے ہیں اور سطحِ معنویت کی ایسی تصحیح کرتے ہیں کہ تمام جوڑوں پر مجموعی طور پر قسم I کی خطا کا خطرہ 5% رہے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 393-394; Field, 2024, Section 12.6)۔ SPSS تقریباً 18 طریقے پیش کرتا ہے؛ Field (سیکشن 12.6.3، Toothaker، 1993 کی پیروی میں) خلاصہ کرتے ہیں: برابر حجم کے گروہ اور ملتے جلتے تغیرات – Tukey (یا REGWQ)؛ قسم I کی خطا پر "یقینی کنٹرول" – بونفیرونی؛ تغیرات کی برابری میں شک – Games-Howell، "جسے میں ہر دوسرے طریقے کے علاوہ چلانے کی سفارش کرتا ہوں"۔ صفحہ تینوں دکھاتا ہے، اور جدول 3 ایک سوئچ کے ذریعے ان کے درمیان بدلتا ہے:

تشریح کب کی جائے؟ Pallant (باب 18) اور Gravetter اور Wallnau (ص 393): صرف معنی خیز مجموعی F کے بعد اور تین یا زیادہ گروہوں کے ساتھ (دو گروہوں میں پوچھنے کو کچھ نہیں)۔ جدول ہمیشہ دکھایا جاتا ہے، اور جب F معنی خیز نہ ہو تو نوٹ بتاتا ہے کہ اس سے فرق رپورٹ نہیں کیے جاتے۔ طریقہ پہلے سے طے کیا جاتا ہے – ٹیسٹ کے بعد وہ طریقہ نہیں چنا جاتا جو زیادہ ستارے دے؛ صفحے کا طے شدہ انتخاب (لیوین معنی خیز نہ ہو تو Tukey، ہو تو Games-Howell) ایسا ہی ایک اصول ہے۔ مخصوص موازنوں کی پیشگی منصوبہ بندی (planned contrasts, Field, Section 12.5; Scheffé, Gravetter & Wallnau, pp. 395-396) – صفحے پر نہیں۔

اثر کا حجم

معنویت حجم نہیں ہے: Pallant (2020، باب 18) N = 435 پر مثال دیتی ہیں – F(2, 432) = 4.64, p = .01، لیکن اوسطیں 21.36، 22.10 اور 22.96 اور η² = .02: "کافی بڑے نمونے کے ساتھ کافی چھوٹے فرق بھی معنی خیز نکل آتے ہیں، چاہے ان کی کوئی عملی اہمیت نہ ہو"۔ جدول دو پیمانے پرنٹ کرتا ہے:

ایٹا مربع (η²) – تابع متغیر کے تغیر (variance) کا وہ حصہ جس کی وضاحت گروہ کی رکنیت سے ہوتی ہے: SS_مابین/SS_کل (Gravetter & Wallnau، 2017، ص 388-389، فارمولا 12.14 – "وضاحت شدہ تغیر کا فیصد"، مثال 12.2 میں η² = 0.488؛ Pallant، 2020، باب 18 – ANOVA جدول سے ہاتھ سے حساب کیا جاتا ہے؛ Field، 2024، مساوات 12.33 – یہ لکیری ماڈل کا R² ہے)۔ Cohen (1988، ص 284-287) کی حدیں جو Pallant دیتی ہیں: .01 چھوٹا، .06 درمیانہ، .14 بڑا۔

اومیگا مربع (ω²) – Field (سیکشن 12.7، مساوات 12.34): η² "کچھ متعصب" ہے کیونکہ یہ صرف نمونے کے مربعوں کے مجموعوں پر مبنی ہے؛ ω² آبادی کے تخمینے کے لیے تصحیح کرتا ہے: (SS_مابین − df_مابین·MS_اندر) / (SS_کل + MS_اندر) – پِلّوں کی مثال میں η² = .46 لیکن ω² = .35، اور Field ω² رپورٹ کرتے ہیں (سیکشن 12.12) انہی حدوں کے ساتھ (Kirk، 1996)۔ چھوٹے نمونے یا بہت سے گروہوں میں ان کا فرق بڑا ہوتا ہے، اور بڑے نمونے میں وہ تقریباً یکساں ہیں؛ "نتیجے کی تشریح" کا خانہ دونوں دکھاتا ہے۔ Field مزید کہتے ہیں کہ مجموعی اثر کا حجم دو گروہوں کے جوڑے کے فرق کے حجم سے کم دلچسپ ہے – ہر جوڑے کے لیے t ٹیسٹ کے صفحے پر کوہن کا d نکالا جا سکتا ہے۔ SPSS 27 اور اس سے اوپر دونوں پرنٹ کرتا ہے (ANOVA Effect Sizes) وقفۂ اعتماد کے ساتھ، جو صفحے پر نہیں ہیں۔

مفروضات اور انتباہات

تین مفروضات (assumptions) (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 391-392): ہر گروہ میں مشاہدات آزاد ہیں؛ آبادیاں نارمل ہیں؛ اور سب کا تغیر یکساں ہے۔ آزادی کلیدی مفروضہ ہے: Field (سیکشن 12.4.2)، Scariano اور Davenport کا حوالہ دیتے ہیں – مشاہدات کے درمیان 0.5 کی ہم بستگی قسم I کی خطا کو 5% سے بڑھا کر 74% کر دیتی ہے۔ دو بار ناپا گیا شریک، ایک ہی جماعتوں کے طلبہ، شریکِ حیات – اس کی خلاف ورزی کرتے ہیں، اور درست ٹیسٹ کوئی اور ہے۔ نارملٹی: Gravetter اور Wallnau – "عام طور پر اس کی فکر نہیں کی جاتی، خاص طور پر بڑے نمونوں میں"؛ Field (سیکشن 12.4.2) اس افسانے سے اختلاف کرتے ہیں کہ "ANOVA مضبوط ہے": چولگی (skewness)، بھاری دُمیں اور مختلف تغیرات برابر گروہوں میں بھی F پر اثر ڈالتے ہیں، اور بھاری دُموں میں مرکزی حد کا مسئلہ 30 سے کہیں بڑے نمونے مانگتا ہے – اس لیے ہر گروہ کا ہسٹوگرام دیکھا جاتا ہے (صفحہ تعددات اور توضیحی شماریات) اور آؤٹ لائرز بھی (صفحہ آؤٹ لائرز اور مفروضات)، اور شک کی صورت میں مضبوط (robust) ٹیسٹ بھی چلایا جاتا ہے (Field, Section 12.10) یا کرسکل-والس۔

تغیرات کی یکسانیت۔ Gravetter اور Wallnau (ص 392، اور ص 314): "ایک اہم مفروضہ"، اس عملی اصول کے ساتھ – ایک تغیر کا دوسرے سے تین چار گنا بڑا ہونا تشویش کی وجہ ہے؛ Field (باکس 12.2): جب گروہ حجم میں برابر نہ ہوں اور بڑے گروہ زیادہ پھیلے ہوئے ہوں تو عام F قدامت پسند ہے، اور الٹی صورت میں لبرل – Welch اور Brown-Forsythe تصحیح کرتے ہیں۔ صفحہ لیوین (اوسط کے گرد، جیسے SPSS) اور Welch کی قطار پرنٹ کرتا ہے؛ انتخاب – سیکشن "آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں"۔

غیر برابر حجم کے گروہ۔ Gravetter اور Wallnau (ص 390): ANOVA اس صورت میں بھی درست ہے، "خاص طور پر جب نمونے نسبتاً بڑے ہوں اور حجم کا فرق انتہائی نہ ہو"، لیکن برابر گروہوں میں سب سے زیادہ درست ہے۔ Field (سیکشن 12.6.2): پوسٹ ہاک ٹیسٹ ہی خراب ہوتے ہیں جب حجم اور تغیرات مختلف ہوں – Games-Howell اسی صورتِ حال کے لیے بنایا گیا ہے۔ دو سے کم مشاہدات والی سطح تجزیے سے خارج کر دی جاتی ہے (اور صفحہ اطلاع دیتا ہے)۔

گمشدہ قدریں۔ جس شریک کی قدر تابع متغیر یا گروہوں کے متغیر میں گمشدہ ہو وہ صرف اسی تابع متغیر کے تجزیے میں شامل نہیں ہوتا – تجزیہ وار حذف (/MISSING=ANALYSIS)، جیسا کہ SPSS اور Pallant کا طے شدہ (default) انتخاب ہے؛ اس لیے N ایک تابع متغیر سے دوسرے تک بدل سکتا ہے۔ گمشدہ قدروں کا کیا کیا جائے – صفحہ گمشدہ قدریں۔

کئی تابع متغیرات۔ Field (سیکشن 12.8.1)، SPSS میں ایک ساتھ کئی تابع متغیرات چلانے کے امکان پر تحفظ ظاہر کرتے ہیں – "قسم I کی خطا پر کنٹرول کھو دیا جاتا ہے" – اور MANOVA یا مشترکہ اشاریہ تجویز کرتے ہیں؛ Pallant (باب 18) تجزیوں کے سلسلے کو ایک جدول میں رپورٹ کرنے کی تجویز دیتی ہیں۔ صفحہ کئی کی اجازت دیتا ہے، اور تشریح کے خانے میں یاد دلاتا ہے کہ ہر تجزیے میں 5% خطرہ ہے۔

یہ صفحہ کیا حساب نہیں کرتا۔ Brown-Forsythe، منصوبہ بند تقابلات (contrasts) اور رجحان کا تجزیہ (Field, Section 12.5)، Scheffé اور REGWQ، Dunnett، η² اور ω² کے لیے وقفۂ اعتماد (SPSS 27 اور اس سے اوپر)، bootstrap اور تراشیدہ اوسطوں پر مضبوط ٹیسٹ (Field, Section 12.10)، دو طرفہ اور کثیر عاملی ANOVA (صفحہ تجربات کی منصوبہ بندی پر) اور مکرر پیمائشوں کے لیے (صفحہ مکرر پیمائشوں کے لیے ANOVA پر)، Bayes factor۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

نسخوں کے بارے میں نوٹ۔ طریقۂ کار مستحکم ہے؛ نسخہ 27 سے ڈائیلاگ میں Estimate effect size for overall tests شامل ہے اور یہ η²، ε² اور ω² اور وقفۂ اعتماد کے ساتھ ANOVA Effect Sizes جدول پرنٹ کرتا ہے (Field، 2024، سیکشن 12.8.1 اور 12.9.1 – نسخہ 29 کے مطابق)، جبکہ Pallant (2020، نسخہ 26 کے مطابق) لکھتی ہیں کہ SPSS "اس تجزیے کے لیے اثر کا حجم نہیں دیتا" اور ایٹا مربع ہاتھ سے نکالتی ہیں۔ پرانے نسخوں میں – سنٹیکس سے /ES=OVERALL کی سطر حذف کر دیں۔

طریقۂ کار (Pallant, 2020, Chapter 18; Field, 2024, Sections 12.8.1-12.8.4): Analyze › Compare Means › One-Way ANOVA… – تابع متغیر (یا کئی) کو Dependent List کے خانے میں، آزاد متغیر کو Factor میں؛ Options… – Descriptive، Homogeneity of variance test، Welch (اور Brown-Forsythe)، Means plot، اور Exclude cases analysis by analysis؛ Post Hoc… – "برابر تغیرات" کے تحت Tukey اور Bonferroni، "غیر برابر" کے تحت Games-Howell۔ سنٹیکس:

ONEWAY עמדות_ציון גיל BY השכלה
  /ES=OVERALL
  /STATISTICS=DESCRIPTIVES HOMOGENEITY WELCH
  /MISSING=ANALYSIS
  /POSTHOC=TUKEY GH BONFERRONI ALPHA(0.05).

آؤٹ پٹ پڑھنا۔ Descriptives = جدول 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error، اوسط کا وقفۂ اعتماد، کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ)؛ Test of Homogeneity of Variances = جدول 2 کے نوٹ والا لیوین ٹیسٹ – SPSS 26 اور اس سے اوپر چار نسخے پرنٹ کرتا ہے، اور صفحہ (اور Pallant) Based on Mean پڑھتے ہیں؛ ANOVA = جدول 2 (Between Groups, Within Groups, Total)؛ Robust Tests of Equality of Means = Welch کی قطار (Statistic, df1, df2, Sig.)؛ ANOVA Effect Sizes – جدول کے نوٹ والے Eta-squared اور Omega-squared Fixed-effect؛ Multiple Comparisons = جدول 3 – SPSS ہر جوڑا دو بار پرنٹ کرتا ہے (I−J and J−I) تینوں بلاکس میں (Tukey HSD، Games-Howell، Bonferroni)، معنی خیز فرق کے ساتھ ستارے کے نشان سمیت۔ آؤٹ پٹ میں "SPSS سنٹیکس ڈاؤن لوڈ کریں" کا بٹن لوڈنگ، لغت (اگر کوڈ بک شیٹ تھی) اور منتخب متغیرات پر ONEWAY کمانڈ تیار کرتا ہے۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

بنیادی R میں: ANOVA جدول کے لیے aov()، Welch کے لیے oneway.test() (اس کا طے شدہ انتخاب)، Tukey ٹیسٹوں کے لیے TukeyHSD() (Tukey-Kramer، جیسا کہ صفحے پر)، بونفیرونی کے لیے pairwise.t.test(p.adjust = "bonferroni")؛ اوسط کے گرد لیوین ٹیسٹ – car پیکج سے leveneTest(center = mean)؛ Games-Howell – پیکج rstatix یا PMCMRplus (اسکرپٹ میں نہیں)۔ η² اور ω² کا حساب ANOVA جدول سے ہاتھ سے کیا جاتا ہے۔ اسکرپٹ مثال کی فائل پر جوں کا توں چلایا گیا اور جداول کی قدریں دیں (تبصروں میں)۔ R میں اردو کے لیے سائٹ کا اصول: UTF-8 فائل، ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہو، اور عبرانی ناموں کے لیے UTF-8 ماحول (Windows پر: R 4.2 اور اس سے اوپر، یا Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew'))۔

# یک طرفہ تغیرات کا تجزیہ – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)   # ایکسل پڑھنا
library(car)      # لیوین ٹیسٹ: leveneTest

# لوڈنگ: معیاری سانچہ – قطار = شریک، کالم = متغیر؛ شیٹ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_anova_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[complete.cases(d[["השכלה"]], d[["עמדות_ציון"]]), ]          # تجزیہ وار حذف (120 میں سے 117)
g <- factor(d[["השכלה"]], levels = 1:4, labels = c("תיכונית", "על-תיכונית", "תואר ראשון", "תואר מתקדם"))
y <- d[["עמדות_ציון"]]

# جدول 1 – گروہی شماریات
tapply(y, g, function(v) c(n = length(v), M = mean(v), SD = sd(v)))
# نتیجہ: 17 / 18 / 50 / 32 شرکاء؛ M 3.51, 3.21, 3.06, 3.51; SD 0.67, 0.81, 0.66, 0.81

# لیوین ٹیسٹ اوسط کے گرد – جیسے SPSS میں Based on Mean
leveneTest(y ~ g, center = mean)                         # F(3, 113) = 0.218, p = .884

# جدول 2 – ANOVA جدول، اور Welch کی قطار
m <- aov(y ~ g); summary(m)                              # F(3, 113) = 3.21, p = .026; SSB 5.08, SSW 59.51
oneway.test(y ~ g)                                       # Welch F(3, 43.82) = 3.26, p = .030

# اثر کا حجم: ایٹا مربع = SSB/SST، اومیگا مربع = (SSB − dfB·MSW)/(SST + MSW)
s <- summary(m)[[1]]; ssb <- s[["Sum Sq"]][1]; ssw <- s[["Sum Sq"]][2]; msw <- s[["Mean Sq"]][2]; dfb <- s[["Df"]][1]
ssb / (ssb + ssw)                                        # ایٹا مربع = .079
(ssb - dfb * msw) / (ssb + ssw + msw)                    # اومیگا مربع = .054

# جدول 3 – پوسٹ ہاک ٹیسٹ: Tukey HSD (Tukey-Kramer) اور بونفیرونی
TukeyHSD(m)                                              # اعلیٰ ڈگری–بیچلر ڈگری: فرق 0.448, p = .037; باقی جوڑے معنی خیز نہیں
pairwise.t.test(y, g, p.adjust.method = "bonferroni")    # اعلیٰ ڈگری–بیچلر ڈگری: p = .044

نتائج کی رپورٹنگ

پہلے نتیجہ رپورٹ کیا جاتا ہے اور پھر شماریات: ہر گروہ کی اوسط اور معیاری انحراف (متن، جدول یا چارٹ میں)، قوسین میں دونوں درجاتِ آزادی کے ساتھ F، درست p، اثر کا حجم، اور پھر پوسٹ ہاک ٹیسٹ – کون سے جوڑے مختلف نکلے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 389-390; Field, 2024, Section 12.12; Pallant, 2020, Chapter 18; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43)۔ Gravetter اور Wallnau کی مثال: "تغیرات کے تجزیے نے سیکھنے کی تین حکمتِ عملیوں کے درمیان معنی خیز فرق ظاہر کیے، F(2, 15) = 7.16, p = .007, η² = 0.488" – اور جب کمپیوٹر سے درست p دستیاب ہو تو وہی رپورٹ کیا جاتا ہے، نہ کہ p < .05۔ Field کی مثال، Welch اور ω² کے ساتھ: "پِلّوں کے ذریعے علاج کا خوشی کی سطح پر کوئی معنی خیز اثر نہیں پایا گیا، F(2, 7.94) = 4.32, p = .054, ω² = .35 [−.15, .59]" – اور نوٹ کریں کہ وہ غیر معنی خیز F بھی رپورٹ کرتے ہیں اور نمایاں اثر کا حجم بھی۔ Pallant کی مثال: "عمر کے تین گروہوں کے درمیان LOT اسکورز میں p < .05 کی سطح پر شماریاتی طور پر معنی خیز فرق پایا گیا: F(2, 432) = 4.64, p = .01۔ معنویت کے باوجود، اوسطوں کے درمیان حقیقی فرق کافی چھوٹا تھا؛ اثر کا حجم، ایٹا مربع، .02 تھا۔ Tukey HSD ٹیسٹ سے پوسٹ ہاک موازنوں نے ظاہر کیا کہ گروہ 1 کی اوسط (M = 21.36, SD = 4.55) گروہ 3 کی اوسط (M = 22.96, SD = 4.49) سے معنی خیز طور پر مختلف تھی؛ گروہ 2 (M = 22.10, SD = 4.15) ان میں سے کسی سے بھی معنی خیز طور پر مختلف نہیں تھا۔" تجزیوں کے سلسلے کے لیے – APA جدول جس میں ہر گروہ کے لیے n, M, SD، F, p اور η² ہوں (Pallant)۔

ساخت کے اصول (APA, 2020, Section 6.36): F اعشاریہ سے پہلے صفر کے ساتھ (1 سے بڑھ سکتا ہے)، p، η² اور ω² صفر کے بغیر (نہیں بڑھ سکتے)؛ Welch کے غیر صحیح عددی درجاتِ آزادی – دو ہندسوں میں۔ آؤٹ پٹ کے رپورٹ کے جملے اسی طرح بنے ہیں، اردو اور انگریزی میں، سوئچ میں منتخب طریقے کے پوسٹ ہاک ٹیسٹوں کے ساتھ۔

عام غلطیاں

ANOVA کے بجائے t ٹیسٹوں کا سلسلہ۔ چار گروہ چھ t ٹیسٹ ہیں – اور قسم I کی خطا کا مجموعی خطرہ 5% سے بہت اوپر چڑھ جاتا ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 369-370; Field, 2024, Section 2.10.8)۔

"فرق ہے" رپورٹ کرنا بغیر یہ بتائے کہ کن کے درمیان۔ معنی خیز F صرف یہ بتاتا ہے کہ کم از کم ایک جوڑا مختلف ہے؛ پوسٹ ہاک ٹیسٹوں (یا منصوبہ بند تقابلات (contrasts)) کے بغیر نتیجہ نامکمل ہے (Gravetter & Wallnau, p. 393)۔

F معنی خیز نہ ہونے پر پوسٹ ہاک ٹیسٹوں کی تشریح کرنا – یا نتائج دیکھنے کے بعد طریقہ چننا۔ پہلے سے طے کیا جاتا ہے (Pallant، 2020، باب 18؛ Field، سیکشن 12.6 – "یہ کچھ p-hacking جیسا ہے، بس p کی تصحیح کر دی جاتی ہے")۔

Welch کی قطار کو نظر انداز کرنا۔ جب لیوین معنی خیز ہو، یا جب گروہ حجم اور پھیلاؤ میں بہت مختلف ہوں، تو عام F کی قطار دونوں سمتوں میں گمراہ کر سکتی ہے (Field, Box 12.2)؛ Field ہمیشہ Welch رپورٹ کرتے ہیں۔

اثر کے حجم کے بغیر p رپورٹ کرنا۔ بڑے نمونے میں معمولی فرق بھی معنی خیز نکلتا ہے – η² = .02 والی Pallant کی مثال؛ Field ω² اس وقت بھی رپورٹ کرتے ہیں جب F معنی خیز نہ ہو۔

مکرر پیمائشوں (repeated measures) پر یک طرفہ ANOVA۔ تین مواقع پر انہی شرکاء کی پیمائش آزادی کی خلاف ورزی کرتی ہے (Field, Section 12.4.2) – مکرر پیمائشوں کے لیے ANOVA۔

اوسطوں کے چارٹ پر انحصار کرنا۔ جو محور صفر سے شروع نہ ہو وہ معمولی فرقوں کو بڑھا چڑھا کر دکھاتا ہے (Pallant, Chapter 18)، اور ایک دوسرے پر چڑھے ہوئے وقفۂ اعتماد کا مطلب "غیر معنی خیز" نہیں ہوتا (Field, Section 12.9.1)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Welch (1951)، Brown اور Forsythe (1974)، Toothaker (1993)، Kirk (1996)، Scariano اور Davenport (1987)، Wilcox (2017) اور Weinstein، McDermott اور Roediger (2010) – بحوالہ Field (2024) اور Gravetter اور Wallnau (2017)۔ سائٹ کے اصول کے مطابق حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے۔ Field (2024) اور Pallant (2020) ری فلو ہونے والے ڈیجیٹل نسخے میں – حوالہ سیکشن اور باب کے مطابق؛ Gravetter اور Wallnau (2017)، Cohen (1988) اور APA (2020) – چھپے ہوئے ایڈیشن کے صفحے اور سیکشن کے مطابق۔