پیئرسن اور سپیئرمین ہم بستگی

کیلکولیٹر

ڈیٹا لوڈ کرنا

شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:

متغیرات اور ہم بستگی کی قسم کا انتخاب

رہنما

کب استعمال کریں؟

جب دو متغیرات کے درمیان تعلق جانچنا ہو: کیا ایک کی قدر میں اضافہ دوسرے کی قدر میں اضافے سے، یا اس کے برعکس کمی سے، وابستہ ہے۔ پیئرسن کے لیے دو مقداری متغیرات درکار ہیں (وقفی یا نسبتی پیمانہ)؛ سپیئرمین تب بھی موزوں ہے جب کوئی ایک متغیر ترتیبی پیمانے پر ناپا گیا ہو – مکمل امتیاز ذرا آگے۔ دونوں آزاد مشاہدات فرض کرتے ہیں: ڈیٹا کی ہر قطار ایک الگ جواب دہندہ ہے، اور قطاروں کے درمیان کوئی تعلق نہیں – دو بار ناپا گیا وہی جواب دہندہ، یا ایک ہی جماعت کے طلبہ، اس مفروضے کی خلاف ورزی کرتے ہیں۔ ہم بستگی کا عددی سر ایک ساتھ دو چیزیں بتاتا ہے – تعلق کی سمت (مثبت یا منفی) اور اس کی شدت۔ یاد رکھنا اہم ہے: ہم بستگی علّت نہیں ہے۔ بہت مضبوط تعلق بھی یہ نہیں کہتا کہ ایک متغیر دوسرے کا سبب ہے: ممکن ہے کوئی تیسرا متغیر، جو ناپا ہی نہ گیا ہو، دونوں کے درمیان تعلق پیدا کر رہا ہو؛ ممکن ہے اثر کی سمت ہماری سوچ کے برعکس ہو؛ اور مزید وضاحتیں بھی ممکن ہیں۔ تیسرے متغیر کے شبہے کی جانچ کے لیے صفحے پر آگے جزوی ہم بستگی دیکھیں۔

پیئرسن یا سپیئرمین؟

اور اگر ایک متغیر دو قدری ہو؟ جب ایک متغیر دو قدری (binary) ہو (صرف دو قدریں، مثلاً پڑھا/نہیں پڑھا) اور دوسرا مقداری (مثلاً تنخواہ)، تو پوائنٹ بائی سیریل ہم بستگی (Point-biserial) استعمال کی جاتی ہے: دو قدری متغیر کو 0 اور 1 کے طور پر کوڈ کیا جاتا ہے، اور حساب بذاتِ خود پیئرسن ہم بستگی جیسا ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 516-517; Field, 2024, Section 8.4.5; Cohen et al., 2003, Section 2.3.3, pp. 29-30) – اس لیے عملاً اسے اس صفحے کے کیلکولیٹر میں بھی، ایسی کوڈنگ کے ذریعے، نکالا جا سکتا ہے۔

لیکن مصنوعی دو قدری تقسیم نہ بنائیں۔ الٹی سمت کی سفارش نہیں کی جاتی: تجزیے کو "آسان" بنانے کے لیے مسلسل متغیر کو دو "گروہوں" میں نہیں کاٹا جاتا (مثلاً وسطانیہ پر تقسیم – median split)۔ یہ تقسیم معلومات ضائع کرتی ہے: نارمل تقسیم والے متغیرات میں، اوسط پر تقسیم کے بعد حاصل ہونے والی ہم بستگی اصل ہم بستگی کا صرف تقریباً 80% ہوگی – تقریباً پانچواں حصہ ضائع، جو نمونے کے تقریباً 38% سے دستبردار ہونے کے برابر ہے؛ اور حدِ فاصل جتنی اوسط سے دور ہو (مثلاً کسی حد کے مطابق "زیادہ/کم") نقصان اتنا بڑھتا ہے – ایک معیاری انحراف پر کاٹنے سے ہم بستگی کا صرف تقریباً دو تہائی باقی رہتا ہے (Cohen, 1983)۔ شماریاتی قوت بھی متاثر ہوتی ہے: واقعی موجود تعلق کو دریافت کرنے کا امکان گھٹ جاتا ہے – MacCallum اور ساتھیوں کی مثال میں، ρ = .40 اور N = 50 کے لیے، ایک متغیر کو اوسط پر تقسیم کرنے کے بعد قوت .84 سے گھٹ کر .63 رہ جاتی ہے (MacCallum et al., 2002, pp. 26-27)۔ پوائنٹ بائی سیریل ہم بستگی ایسے متغیر کے لیے ہے جو فطری طور پر دو قدری ہو – نہ کہ تقسیم کیے گئے مسلسل متغیر کے لیے۔

نتیجہ کیسے پڑھیں؟

ہم بستگی کا عددی سر r – اور سپیئرمین ہم بستگی میں: r_s – -1 سے +1 کے درمیان ہوتا ہے، اور اس کے دو اجزاء ہیں جن میں سے ہر ایک الگ کہانی سناتا ہے۔ علامت – مثبت یا منفی – تعلق کی سمت بتاتی ہے۔ مقدار، علامت سے قطع نظر (|r|)، بتاتی ہے کہ تعلق کتنا مضبوط ہے: یہ 1 کے جتنا قریب ہو، تعلق – پیئرسن میں لکیری، سپیئرمین میں یک سمتی – اتنا مضبوط ہے، اور 0 کے جتنا قریب ہو – اتنا کمزور۔

کامل پیئرسن ہم بستگی (r = ±1) کا مطلب ہے کہ تمام نقاط بالکل ایک سیدھی لکیر پر ہیں – بڑھتی یا گھٹتی۔ کامل سپیئرمین ہم بستگی (r_s = ±1) کے لیے اس سے کم درکار ہے: کافی ہے کہ ایک متغیر میں ہر اضافے کے ساتھ دوسرے متغیر میں ہمیشہ اضافہ (یا ہمیشہ کمی) ہو – چاہے نقاط سیدھی لکیر پر نہ ہوں۔

اور r = 0 کا کیا مطلب ہے؟ صرف یہ کہ کوئی لکیری تعلق نہیں۔ کم یا صفر ہم بستگی یہ ثابت نہیں کرتی کہ متغیرات میں کوئی تعلق ہی نہیں: پھر بھی ان میں ایسا مضبوط غیر لکیری تعلق ہو سکتا ہے – مثلاً U کی شکل میں – جسے پیئرسن کا عددی سر دیکھ ہی نہیں پاتا۔ اس لیے آؤٹ پٹ میں سکیٹر پلاٹ پر بھی ہمیشہ نظر ڈالنا مفید ہے۔

ایک ہی r – بالکل مختلف تصویریں۔ سکیٹر پلاٹ کی اہمیت کا سب سے مشہور مظاہرہ "انسکومب کا چوکڑا" ہے: ڈیٹا کے چار مجموعے جن سب کی اوسطیں، معیاری انحراف اور ہم بستگی ایک جیسی ہے – r = .816 – لیکن سکیٹر پلاٹ میں وہ ایک دوسرے سے بالکل مختلف نظر آتے ہیں: ایک میں – عام لکیری تعلق؛ دوسرے میں – غیر لکیری خم؛ تیسرے میں – کامل لکیر جس سے ایک آؤٹ لائر نقطہ عددی سر کو "کھینچ" لیتا ہے؛ اور چوتھے میں – ایسی ہم بستگی جو پوری کی پوری ایک انتہائی مشاہدے پر ٹکی ہے (Anscombe, 1973)۔ نتیجہ: صرف عددی سر پر کبھی اکتفا نہ کریں – ہمیشہ خود ڈیٹا کو بھی دیکھیں۔ اور یہ نظر ڈالنے کے لیے SPSS تک انتظار کی ضرورت نہیں: سائٹ کے صفحے سکیٹر پلاٹ اور ریگریشن لائن پر وہی ڈیٹا فائل اپ لوڈ کر کے، متغیرات کا جوڑا منتخب کر کے فوراً ان کا سکیٹر پلاٹ حاصل کیا جا سکتا ہے – ریگریشن لائن، ہم بستگی کے عددی سر اور R² کے ساتھ۔

تعلق کی شدت۔ ہم بستگیوں کو کمزور، درمیانی یا مضبوط میں تقسیم کرنے کی کوئی عالمگیر حد نہیں۔ رہنمائی کے لیے عموماً کوہن کے ضابطے استعمال کیے جاتے ہیں (Cohen, 1988, pp. 79-81): |r| < .10 – نہ ہونے کے برابر؛ .10-.30 – کمزور؛ .30-.50 – درمیانہ؛ .50 اور اس سے اوپر – مضبوط۔ یہی وہ پیمانہ ہے جو اس صفحے کے خودکار رپورٹ کے جملے استعمال کرتے ہیں۔ بعض رہنما قدرے مختلف تقسیم تجویز کرتے ہیں، اور کوہن خود زور دیتے ہیں کہ یہ ضابطے صرف تب استعمال کیے جائیں جب شعبے کے لیے زیادہ موزوں معیارات دستیاب نہ ہوں۔ اس لیے ہم بستگی کی شدت کی تشریح تحقیقی سیاق، متغیرات کی نوعیت اور شعبے کے سابقہ نتائج کے مطابق ہونی چاہیے – نہ کہ پہلے سے تیار حدوں کے مطابق (Cohen, 1988, p. 79; Field, 2024, Section 8.2.2; Pallant, 2020, Chapter 11)۔

معنویت شدت نہیں ہے۔ بڑا نمونہ خود تعلق کو مضبوط نہیں بناتا – صرف اس کی پیمائش کو زیادہ درست بناتا ہے۔ نتیجہ: بڑے نمونے میں معمولی ہم بستگی بھی معنی خیز نکل سکتی ہے، اور چھوٹے نمونے میں اصل تعلق بس نظر سے رہ سکتا ہے۔ اس لیے ہمیشہ r، p اور N تینوں رپورٹ کیے جاتے ہیں، اور ان میں سے صرف ایک پر اکتفا نہیں کیا جاتا۔

وقفۂ اعتماد۔ نمونے کا r ایک تخمینہ ہے؛ 95% کا وقفۂ اعتماد بتاتا ہے کہ آبادی میں ہم بستگی معقول طور پر کس وسعت میں ہے – اور یوں یہ اس کمی کو پورا کرتا ہے جو اکیلا p نہیں بتاتا۔ صفحے کا تفصیلی جدول اور رپورٹ کے جملے اسے ہر پیئرسن ہم بستگی کے لیے دکھاتے ہیں، فشر کی تبدیلی (transformation) کے حساب سے (فارمولا اور مثال – سیکشن فارمولے میں؛ Field، 2024، سیکشن 8.2.4)۔ اس میں دو باتیں پڑھیں: کیا یہ صفر پر مشتمل ہے (اگر ہاں – ڈیٹا تعلق کی غیر موجودگی کو رد نہیں کرتا، اور یہ غیر معنی خیز p کے متوازی ہے)، اور یہ کتنا چوڑا ہے – [.02, .53] جیسا وقفہ (مثلاً r = .30 اور n = 50) بتاتا ہے کہ ہم بستگی کا تخمینہ نمایاں عدم درستی سے لگایا گیا ہے، چاہے وہ معنی خیز ہو۔ وقفہ r کے گرد متشاکل نہیں ہوتا – اور یہ ٹھیک ہے۔ Field (2024، سیکشن 8.8) ہم بستگی کے ساتھ وقفۂ اعتماد رپورٹ کرنے کی سفارش کرتے ہیں – اور اس صفحے کے رپورٹ کے جملے یہی کرتے ہیں۔

ہم بستگی توقع سے کم کیوں ہے؟ دو "تکنیکی" عوامل منظم طور پر ہم بستگیوں کو سکیڑ دیتے ہیں۔ محدود وسعت (restriction of range): جب نمونہ قدروں کی وسعت کے صرف ایک حصے کا احاطہ کرے – مثلاً انتخابی اسکور اور ملازمت میں کامیابی کے تعلق کی جانچ صرف ان لوگوں میں جو منتخب ہوئے – تو مشاہدہ شدہ ہم بستگی پوری آبادی کی ہم بستگی سے کم نکلتی ہے؛ کوہن یہاں تک خبردار کرتے ہیں کہ ان کے نمونے کے حجم کے جداول محدود وسعت کی حالت میں درست نہیں (Cohen, 1988, p. 100)۔ اعتباریت کی وجہ سے تخفیف (attenuation): جب پیمائش کے آلات درست نہ ہوں تو اسکورز میں تصادفی شور شامل ہو جاتا ہے – اور یہ شور مشاہدہ شدہ ہم بستگی کو گھٹا دیتا ہے (Cohen, 1988, p. 79)۔ تقریبی اصول: نمونے میں نظر آنے والی ہم بستگی اصل ہم بستگی ضرب √(r_xx·r_yy) کے برابر ہے – دونوں آلات کی اعتباریتوں کے حاصلِ ضرب کا جذر۔ مثال: دو پیمانوں کے درمیان .50 کا اصل تعلق، جن میں سے ہر ایک کی اعتباریت .70 ہو، نمونے میں صرف تقریباً .35 نظر آئے گا۔ اس لیے جب کسی ہم بستگی کا سابقہ نتائج سے موازنہ کیا جائے تو نمونے کی وسعت اور آلات کی اعتباریت دونوں پر توجہ دینی چاہیے۔ r کی مقدار پر اثر انداز ہونے والے عوامل کی منظم بحث کے لیے – بشمول دونوں مظاہر کی تصحیح کے فارمولے – Cohen et al.‏ (2003، سیکشن 2.10) دیکھیں۔

متعدد موازنے۔ جب ایک ساتھ بہت سی ہم بستگیاں جانچی جائیں تو اس کا امکان بڑھ جاتا ہے کہ ان میں سے کم از کم ایک اتفاقاً معنی خیز نکلے: پانچ متغیرات میں پہلے ہی دس ٹیسٹ ہو جاتے ہیں۔ توثیقی تحقیق میں بہتر ہے کہ مفروضات پہلے سے متعین کیے جائیں، یا متعدد موازنوں کی وجہ سے معنویت کی قدروں کی تصحیح پر غور کیا جائے (مثلاً Holm یا FDR تصحیح)۔

ہم بستگی فیصد نہیں ہے۔ r = .50 کی ہم بستگی "50% تعلق" کی نشاندہی نہیں کرتی۔ دونوں متغیرات کے مشترکہ تغیر کی شرح ظاہر کرنے کے لیے پیئرسن کے عددی سر کا مربع لیا جاتا ہے: اس صورت میں r² = .25، یعنی 25% مشترکہ تغیر۔ مشترکہ تغیر کی تشریح پیئرسن ہم بستگی کے لیے درست ہے – اسے خود بخود سپیئرمین کے عددی سر کے مربع پر لاگو نہیں کیا جاتا۔

عام غلطیاں

ہم بستگی کی شدت (r) رپورٹ کیے بغیر p قدر رپورٹ کرنا – صرف معنویت یہ نہیں بتاتی کہ تعلق کتنا مضبوط ہے۔ "غیر معنی خیز" نتیجے کو اس بات کا ثبوت سمجھنا کہ "کوئی تعلق نہیں" – شاید نمونہ موجود تعلق دریافت کرنے کے لیے بس بہت چھوٹا ہو۔ ہم بستگی سے علّت اخذ کرنا۔ r کو فیصد کے طور پر پیش کرنا۔ سپیئرمین پر غور کیے بغیر واحد لیکرٹ آئٹم پر پیئرسن ہم بستگی چلانا – واحد آئٹم کے لیے زیادہ تر صورتوں میں سپیئرمین زیادہ موزوں ہے، اگرچہ یہ ایک رائج ضابطہ ہے نہ کہ قطعی اصول: Jamieson (2004) سخت موقف پر، Norman (2010) نرم موقف پر – اور انہوں نے اصل لیکرٹ ڈیٹا (64 ہم بستگی کے جوڑوں) پر یہ بھی دکھایا کہ پیئرسن اور سپیئرمین تقریباً ایک جیسے نتائج دیتے ہیں، بہت زیادہ ترچھی تقسیموں میں بھی (دونوں قسم کے عددی سروں کے درمیان .99 کی ہم بستگی)۔ اور یہ رپورٹ کرنا بھول جانا کہ ہر ہم بستگی کس نمونے کے حجم (N) پر مبنی ہے۔

اور سوچے سمجھے بغیر جوڑی وار حذف (pairwise deletion) پر بھروسہ کرنا۔ کیلکولیٹر، SPSS اور R (pairwise.complete.obs کے ساتھ) ہر ہم بستگی ان جواب دہندگان پر نکالتے ہیں جن کی اس جوڑے کے دونوں متغیرات میں درست قدر ہو – اور یہی وجہ ہے کہ مثال کے جدول میں N، 447 اور 483 کے درمیان ہے۔ یہ سہولت مفت نہیں۔ Gelman & Hill (2007، ص 531-532) اس طریقے کو "دستیاب کیسز کا تجزیہ" (available-case analysis) کہتے ہیں اور دو مسائل کی نشاندہی کرتے ہیں۔ پہلا: میٹرکس کی ہر ہم بستگی جواب دہندگان کے ایک مختلف ذیلی گروہ پر نکالی جاتی ہے، اس لیے ہم بستگیاں "ضروری نہیں کہ ایک دوسرے سے ہم آہنگ ہوں" – وہ عملاً قدرے مختلف نمونوں کو بیان کرتی ہیں۔ دوسرا، جو فہرست وار حذف (listwise deletion) پر بھی لاگو ہوتا ہے: اگر جواب نہ دینے والے جواب دینے والوں سے منظم طور پر مختلف ہوں تو تخمینہ متعصب ہوتا ہے۔ ان کی مثال نیویارک کے ایک سروے سے ہے: 90% سیاہ فام جواب دہندگان نے اپنی آمدنی بتائی بمقابلہ 81% سفید فام، اس لیے آمدنی کا خلاصہ اس آبادی سے مختلف آبادی کی نمائندگی کرتا ہے جس کی نمائندگی تعلیم کا خلاصہ کرتا ہے۔ عملی نتیجہ جوڑی وار حذف ترک کرنا نہیں – جب گمشدگی کم اور تصادفی ہو تو یہ معقول ہے، اور عموماً پورے جواب دہندگان کو نکال دینے سے بہتر ہے – بلکہ تین عادتیں: N کی وسعت رپورٹ کریں (جیسا کہ جدول کرتا ہے)؛ جب جوڑوں کے درمیان فرق بڑا ہو تو جانچیں کہ کون گمشدہ ہے اور کس متغیر میں؛ اور یاد رکھیں کہ جب گمشدگی تصادفی نہ ہو تو حل ماڈل پر مبنی ڈیٹا کی تکمیل ہے (imputation؛ وہی ماخذ، سیکشن 25.3-25.6؛ صفحہ گمشدہ قدروں سے نمٹنا دیکھیں)، نہ کہ حذف کے دو طریقوں میں سے انتخاب۔

جزوی ہم بستگی – تیسرے متغیر کو بے اثر کرنا

بعض اوقات دو متغیرات کے درمیان ہم بستگی ان کے درمیان براہِ راست تعلق کی عکاسی نہیں کرتی، بلکہ کسی تیسرے متغیر سے "پیدا" ہوتی ہے جو دونوں سے ہم بستہ ہو – اس مظہر کو جعلی ہم بستگی (spurious correlation) کہا جاتا ہے۔ جزوی ہم بستگی (Partial correlation) ایسے شبہے کی جانچ کرتی ہے: یہ تیسرے متغیر z کو شماریاتی طور پر بے اثر کرتے ہوئے x اور y کی ہم بستگی نکالتی ہے (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 502; Field, 2024, Section 8.5.2; Cohen et al., 2003, Section 3.3.3, p. 74)۔

ایک معروف مثال: شہروں کے ایک نمونے میں، کسی شہر میں عبادت گاہوں کی تعداد وہاں کے سنگین جرائم کی تعداد سے مضبوطی سے ہم بستہ ہے – r = .92۔ وضاحت یہ نہیں کہ عبادت گاہیں جرم کو جنم دیتی ہیں: دونوں متغیرات ایک تیسرے متغیر سے ہم بستہ ہیں – آبادی کا حجم (عبادت گاہوں کی تعداد سے r = .96 اور جرائم کی تعداد سے r = .96)۔ بڑے شہر میں دونوں بہت ہوتے ہیں، چھوٹے قصبے میں – دونوں کم۔ آبادی کے حجم کو بے اثر کرنے کے بعد جزوی ہم بستگی گر کر صفر ہو جاتی ہے – جعلی ہم بستگی کی کلاسیکی مثال (Gravetter & Wallnau، 2017، ص 497، 503؛ اس مثال کا ڈیٹا وضاحت کے لیے فرضی ہے، جیسا کہ کتاب میں درج ہے)۔ توجہ فرمائیں کہ یہاں r_xy ≈ r_xz·r_yz – اور یہی جعلی تعلق کی باضابطہ شرط ہے: x کا y سے تعلق صرف اور صرف z کے ذریعے ہے (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4, p. 78)۔ لیکن بے اثر کرنا ہمیشہ تعلق کو "توڑ" نہیں دیتا: Pallant (2020، باب 12) کی مثال میں قابو کے احساس اور محسوس شدہ دباؤ کی ہم بستگی r = −.58 ہے، اور سماجی پسندیدگی کو بے اثر کرنے کے بعد یہ تقریباً ویسی ہی رہتی ہے (جزوی ہم بستگی r = −.55)۔ جب جزوی ہم بستگی اصل ہم بستگی کے قریب ہو تو یہ دراصل اس بات کا ثبوت ہے کہ تعلق اپنے بل پر قائم ہے اور جانچے گئے تیسرے متغیر کا نتیجہ نہیں۔ جزوی ہم بستگی تینوں جوڑی وار ہم بستگیوں سے نکالی جاتی ہے:

اور عبادت گاہوں اور جرم کی مثال میں (کتاب کے صحیح اعداد کے ساتھ):

ایک قریبی رشتہ دار: نیم جزوی ہم بستگی۔ جزوی ہم بستگی میں تیسرے متغیر کو دونوں متغیرات سے بے اثر کیا جاتا ہے۔ نیم جزوی ہم بستگی (semi-partial؛ SPSS میں اسے Part کہا جاتا ہے) میں z کو صرف ایک متغیر سے بے اثر کیا جاتا ہے۔ تشریح میں فرق: نیم جزوی ہم بستگی کا مربع x کا وہ منفرد حصہ دیتا ہے جو y کی وضاحت میں ہے، کل تغیرِ y کی شرح کے طور پر۔ اس کے برعکس، جزوی ہم بستگی کے مربع میں شرح صرف اس تغیر سے نکالی جاتی ہے جو z کو بے اثر کرنے کے بعد باقی رہے (Field, 2024, Section 8.5)۔ یہ پیمانہ بنیادی طور پر متعدد ریگریشن میں اہم ہے، جہاں یہ ہر پیش گو متغیر (predictor) کا منفرد حصہ ظاہر کرتا ہے۔ فارمولا جزوی ہم بستگی جیسا ہی ہے – بس نسب نما میں صرف ایک جذر باقی رہتا ہے:

دو متغیرات کو بیک وقت بھی بے اثر کیا جا سکتا ہے – دوسرے درجے کی جزوی ہم بستگی (Field, 2024, Section 8.5.3)۔ توجہ فرمائیں: کم جزوی ہم بستگی مشاہدہ شدہ تعلق کو "منسوخ" نہیں کرتی – یہ بتاتی ہے کہ اس کا نمایاں حصہ تیسرے متغیر سے واضح ہوتا ہے؛ اور بے اثر کرنے کے لیے متغیر کا انتخاب نظریاتی فیصلہ ہے، شماریاتی نہیں۔ کثیر متغیری سیاق میں جزوی اور نیم جزوی ہم بستگی کی مکمل تشکیل کے لیے Cohen et al.‏ (2003، سیکشن 3.3.2-3.3.3، ص 72-75) دیکھیں۔

تیسرے متغیر کے تین مختلف کردار۔ جزوی ہم بستگی تیسرے متغیر کے صرف ایک کردار سے نمٹتی ہے – الجھاؤ پیدا کرنے والا (confounder)، جو جعلی تعلق پیدا کرتا ہے جیسے عبادت گاہوں اور جرم کی مثال میں آبادی کا حجم (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4)۔ لیکن تیسرا متغیر معتدل کار (moderator) کا کردار بھی ادا کر سکتا ہے: x اور y کے تعلق کی شدت یا سمت z کی قدروں کے مطابق بدلتی ہے – اس کی پہلی جھلک گروہوں کے درمیان ہم بستگی کا موازنہ دیتا ہے (سیکشن فارمولے میں "دو ہم بستگیوں کا موازنہ" دیکھیں)، اور مکمل جانچ ریگریشن میں تعامل کے ذریعے ہوتی ہے (کلاسیکی تشکیل: Cohen et al.‏، 2003، باب 7)؛ یا ثالث (mediator): z وہ میکانزم ہے جس کے ذریعے x کا y سے تعلق ہے (x → z → y)، اور تب ثالثی (mediation) کے تجزیے میں کل تعلق کو براہِ راست اور بالواسطہ اثر میں تقسیم کیا جاتا ہے (تشکیل: Cohen et al.‏، 2003، باب 12؛ Field، 2024، سیکشن 11.3-11.4)۔ جاننا اہم ہے: جزوی ہم بستگی الجھاؤ پیدا کرنے والے اور ثالث میں امتیاز نہیں کر سکتی – دونوں صورتوں میں حساب یکساں ہے، اور ان میں امتیاز نظریے اور تحقیقی منصوبہ بندی کا معاملہ ہے۔ تعدیل (moderation) اور ثالثی ریگریشن کی دنیا سے تعلق رکھتے ہیں – صفحہ تعدیل اور ثالثی دیکھیں (تعامل، سادہ ڈھلوانیں، bootstrap کے ساتھ بالواسطہ اثر)، صفحہ متعدد لکیری ریگریشن، اور پاتھ ماڈل میں ثالثی کے لیے – صفحہ پاتھ تجزیہ اور ثالثی، جو تعلق کو وقفۂ اعتماد کے ساتھ براہِ راست اور بالواسطہ اثر میں تقسیم کرتا ہے۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

اس صفحے کا کیلکولیٹر SPSS میں Bivariate Correlations کے طریقۂ کار کی عام ترتیبات کے متوازی ہے۔ تفصیلی رہنمائی کے لیے Pallant (2020، ابواب 11-12) اور Field (2024، باب 8) دیکھیں۔

نسخوں کے بارے میں نوٹ۔ اس سیکشن کے اسکرین شاٹس SPSS نسخہ 21 میں تیار کیے گئے۔ طریقۂ کار بذاتِ خود تمام نسخوں میں مستحکم ہیں، لیکن مینو میں اشیاء کا مقام اور اختیارات کے نام تھوڑے بدل سکتے ہیں – اور اگر آپ کی اسکرین کچھ مختلف نظر آئے تو غالباً یہی وجہ ہے۔ ایک ٹھوس مثال صفحے پر آگے موجود ہے: Confidence Interval کا بٹن Bivariate Correlations کی ونڈو میں صرف نسخہ 27 میں شامل کیا گیا، اور پرانے نسخوں میں وہ آپ کو وہاں نہیں ملے گا۔ Field (2024) نسخہ 29 کے مطابق لکھی گئی ہے، اور وہ خود اس معاملے میں تسلی دیتے ہیں: ایک ایڈیشن سے دوسرے تک نئے نسخے آتے رہتے ہیں، اور کتاب میں بیان کردہ طریقۂ کار ان سے تقریباً متاثر نہیں ہوتے۔

مینو میں Analyze › Correlate › Bivariate… منتخب کریں:

کھلنے والے ڈائیلاگ باکس (Bivariate Correlations) میں ایک طرف فائل کے متغیرات کی فہرست ہوتی ہے، اور جن متغیرات کا باہمی تعلق جانچنا ہو انہیں (دو یا زیادہ) Variables کے خانے میں منتقل کیا جاتا ہے۔ Correlation Coefficients کے تحت، پیئرسن کا عددی سر (Pearson) طے شدہ طور پر نشان زد ہوتا ہے – دوبارہ کلک کرنے سے نشان ہٹ جاتا ہے – جبکہ سپیئرمین کا عددی سر (Spearman)، جو طے شدہ طور پر نشان زد نہیں ہوتا، اسی خانے میں نشان زد کیا جاتا ہے؛ دونوں کو ایک ساتھ بھی نشان زد کیا جا سکتا ہے، جیسے اس صفحے پر "دونوں" کا اختیار۔ (Kendall's tau-b وہاں موجود ایک اور درجاتی عددی سر ہے، جس کا یہ صفحہ حساب نہیں کرتا۔)

SPSS کے طے شدہ اختیارات اس صفحے جیسے ہی ہیں – دو طرفہ معنویت (Two-tailed)، معنی خیز ہم بستگیوں پر ستاروں کا نشان (Flag significant correlations) اور گمشدہ قدروں کا جوڑی وار حذف (Options › Exclude cases pairwise) – اس لیے زیادہ تر صورتوں میں نتائج گول کرنے کے فرق تک یکساں ہونے چاہییں۔ (صفحہ ہمیشہ دو طرفہ معنویت نکالتا ہے، اور اس میں طریقۂ کار کے اضافی اختیارات جیسے یک طرفہ ٹیسٹ شامل نہیں۔) نشان لگانے کا ایک چھوٹا فرق: SPSS صرف p < .05 اور p < .01 پر نشان لگاتا ہے، جبکہ یہاں p < .001 کے لیے *** بھی لگایا جاتا ہے، جیسا کہ APA جداول میں رائج ہے (American Psychological Association [APA], 2020, Section 7.14)۔

ڈائیلاگ باکس میں Paste پر کلک کرنے سے عمل سنٹیکس کے طور پر محفوظ ہو جاتا ہے – تجزیے کی دستاویز بندی اور اسے دہرانے کے لیے مفید:

CORRELATIONS
  /VARIABLES=מנהיגות יעילות מוכנות שייכות אמון
  /PRINT=TWOTAIL NOSIG
  /MISSING=PAIRWISE.

اور وقفۂ اعتماد؟ اوپر کا سنٹیکس اسے نہیں چھاپتا۔ SPSS 27 اور اس سے اوپر میں Bivariate Correlations کی ونڈو میں Confidence interval… پر کلک کر کے Estimate confidence interval of bivariate correlation parameter نشان زد کیا جاتا ہے – اور آؤٹ پٹ میں ایک دوسرا جدول شامل ہو جاتا ہے جس میں ہر ہم بستگی کی نچلی اور اوپری حد ہوتی ہے (Field, 2024, Sections 8.4.1-8.4.2)۔ پیئرسن کے لیے حساب فشر کی تبدیلی ہے – وہی وقفہ جو اس صفحے کا تفصیلی جدول دکھاتا ہے۔ پرانے نسخوں میں یہ بٹن موجود نہیں، اور وقفہ سیکشن فارمولے کے فارمولے سے نکالا جاتا ہے – یا یہیں صفحے پر۔

اور عددی سروں سے بھی پہلے – تمام جوڑوں پر ایک ساتھ نظر۔ سکیٹر پلاٹ کا مشورہ متغیرات کے تمام جوڑوں پر ایک ہی بار میں لاگو کیا جا سکتا ہے، سکیٹر پلاٹس کے میٹرکس کے ذریعے: مینو میں Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot… › Matrix Scatter › Define، متغیرات کو Matrix Variables کی فہرست میں منتقل کر کے منظوری دیں۔ یہی میٹرکس جدید Chart Builder میں بھی بنایا جا سکتا ہے، جس میں مطابقت کی لکیر کے ساتھ واحد سکیٹر پلاٹ یا گروہ وار سکیٹر پلاٹ بھی بنائے جاتے ہیں (Field, 2024, Section 5.8)۔ یہاں بھی Paste سنٹیکس محفوظ کرتا ہے:

زیادہ تفصیلی واحد سکیٹر پلاٹ کے لیے – ریگریشن لائن، R² اور تیار رپورٹ کے جملوں کے ساتھ – سکیٹر پلاٹ کا صفحہ دیکھیں، جس میں اس طریقۂ کار کا مکمل، تصاویر کے ساتھ SPSS رہنما بھی ہے۔

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

میٹرکس پڑھنے میں تین نکات۔ اول، تمام خانے اوپر کو جاتا ہوا بادل دکھاتے ہیں – آؤٹ پٹ جدول کی دس مثبت اور مضبوط ہم بستگیوں کے مطابق، اور خمیدہ تعلق یا اثر انداز آؤٹ لائرز کی کوئی علامت نہیں؛ یہی وہ جانچ ہے جو انسکومب کا چوکڑا سکھاتا ہے (اوپر دیکھیں)۔ دوم، نقاط ایک منظم "جالی" پر ڈھیر ہوتے ہیں – یہ متوقع ہے جب متغیرات منفصل پیمانے کے آئٹمز کی اوسطیں ہوں، اور یہ کوئی مسئلہ نہیں۔ اور سوم، توجہ فرمائیں کہ GRAPH کمانڈ طے شدہ طور پر فہرست وار حذف (listwise deletion) استعمال کرتی ہے (/MISSING=LISTWISE) – ہم بستگی کے جدول کے جوڑی وار حذف کے برعکس – اس لیے ہر خانے میں نقاط کی تعداد جدول میں اسی جوڑے کے N سے تھوڑی کم ہو سکتی ہے۔

اور عملاً نارملٹی کی جانچ؟ جیسا کہ یاد ہوگا، نارملٹی کا تعلق بنیادی طور پر معنویت کے ٹیسٹ کی صداقت سے ہے، خاص طور پر چھوٹے نمونوں میں۔ جانچ تصویری طور پر کی جاتی ہے: مینو میں Analyze › Descriptive Statistics › Explore میں Normality plots with tests نشان زد کر کے Q-Q چارٹ حاصل کیا جاتا ہے – اگر نقاط وتر کی لکیر سے چپکے ہوں تو تقسیم نارمل کے قریب ہے – اسی آؤٹ پٹ میں عدم تشاکل (skewness) اور کرٹوسس (kurtosis) کے پیمانوں کے ساتھ (Field, 2024, Sections 6.9.4-6.9.5)۔ اور جب شک باقی رہے – bootstrap وقفۂ اعتماد (سیکشن فارمولے میں دیکھیں) نارملٹی کے مفروضے پر انحصار کو بہت کم کر دیتا ہے؛ وہ بھی، ظاہر ہے، آزاد مشاہدات اور آبادی کی نمائندگی کرنے والے نمونے پر قائم ہے۔

آؤٹ پٹ پڑھنا

لچک کے پانچ متغیرات – قیادت، اثر پذیری، آمادگی، وابستگی اور اعتماد – کے لیے SPSS کا آؤٹ پٹ جدول (Correlations) ایسا نظر آتا ہے۔ آؤٹ پٹ جدول ایک متشاکل میٹرکس ہے: متغیرات قطاروں اور کالموں دونوں میں عنوانات کے طور پر آتے ہیں، اور ہر جوڑے کو دو یکساں خانے ملتے ہیں – ایک وتر کے اوپر اور ایک نیچے۔ ہر خانے میں تین سطریں ہیں:

ہر خانے کی پہلی سطر – ہم بستگی کا عددی سر (Pearson Correlation)۔ مثلاً تیر سے نشان زد سطر میں آمادگی اور قیادت کی ہم بستگی .722 ہے – مثبت ہم بستگی: آمادگی کی بلند سطحیں قیادت کی بلند سطحوں کے ساتھ چلنے کا رجحان رکھتی ہیں، اور کوہن کے ضابطوں کے مطابق یہ مضبوط ہم بستگی ہے۔ اگر علامت منفی ہوتی تو مطلب الٹ ہوتا – ایک کی قدر جتنی بڑھے، دوسرے کی اتنی گھٹے۔ وتر پر ہمیشہ 1 ہوگا: ہر متغیر اپنے آپ سے کامل طور پر ہم بستہ ہے۔ یہ کوئی نتیجہ نہیں – وتر کو بس چھوڑ دیں۔

دوسری سطر – معنویت (Sig. (2-tailed))۔ SPSS، p قدر اعشاریہ کے بعد تین ہندسوں میں دکھاتا ہے، اس لیے .000 کا مطلب صفر نہیں بلکہ p < .001 ہے – اور ایسے ہی رپورٹ کیا جاتا ہے (کبھی p = 0 نہیں؛ APA، 2020، سیکشن 6.36)۔ عددی سروں کے ساتھ ستارے، جن کی وضاحت جدول کے نیچے حاشیے میں ہے، معنی خیز ہم بستگی کی نشاندہی کرتے ہیں؛ اس جدول میں تمام ہم بستگیاں معنی خیز ہیں۔

تیسری سطر – نمونے کا حجم (N)۔ ان جواب دہندگان کی تعداد جن کے ڈیٹا پر وہ ہم بستگی نکالی گئی۔ توجہ فرمائیں کہ N ایک جوڑے سے دوسرے تک بدلتا ہے (مثلاً قیادت-اثر پذیری کے جوڑے میں 455 بمقابلہ قیادت-آمادگی کے جوڑے میں 447): یہ جوڑی وار حذف ہے – ہر ہم بستگی ان جواب دہندگان پر نکالی جاتی ہے جن کی اس جوڑے کے دونوں متغیرات میں درست قدر ہو، سنٹیکس کے /MISSING=PAIRWISE کے مطابق۔

جوڑی وار حذف (pairwise deletion) کے بارے میں جاننے کی اہم بات۔ فائدہ – ہر ہم بستگی دستیاب ڈیٹا کا زیادہ سے زیادہ استعمال کرتی ہے۔ قیمت – ہر ہم بستگی قدرے مختلف ذیلی نمونے پر نکالی جاتی ہے، اس لیے میٹرکس کے عددی سروں کا موازنہ بالکل انہی جواب دہندگان پر مبنی نہیں؛ جب گمشدگیاں زیادہ ہوں تو ایسا میٹرکس اس پر قائم بعد کے تجزیوں (جیسے متعدد ریگریشن یا SEM) کے لیے غیر ہم آہنگ بھی نکل سکتا ہے۔ اس لیے ہر ہم بستگی کے لیے N رپورٹ کیا جاتا ہے (جیسے اس صفحے کے دکھائے گئے جدول کے نوٹ میں)، اور جب بہت سا ڈیٹا گمشدہ ہو تو فہرست وار حذف (Bivariate کی ونڈو میں Options › Exclude cases listwise) یا گمشدہ ڈیٹا سے مخصوص طریقے سے نمٹنے پر غور کیا جاتا ہے۔

دو چیزیں پڑھنے کا تعین کرتی ہیں: عددی سر کی مقدار، جس سے شدت پڑھی جاتی ہے، اور اس کی علامت، جس سے سمت پڑھی جاتی ہے۔ اس جدول میں تمام دس ہم بستگیاں مثبت، مضبوط (.622-.738) اور معنی خیز ہیں۔ سپیئرمین ہم بستگی کا آؤٹ پٹ جدول بالکل اسی ساخت میں بنا ہوتا ہے۔ یہ صفحہ وہی معلومات زیادہ کفایتی APA فارمیٹ میں دکھاتا ہے: نچلے مثلث کا میٹرکس جس میں ستارے معنویت کی نشاندہی کرتے ہیں، اور N جدول کے نوٹ میں رپورٹ کیا جاتا ہے۔

نتائج کی رپورٹنگ

متن اور جدول کے درمیان فیصلہ مقدار کا معاملہ ہے: ایک جوڑا ایک جملے میں سما جاتا ہے؛ دس جوڑے، جیسے یہاں، مسلسل نہیں پڑھے جا سکتے – اس لیے دو سطحیں یکجا کی جاتی ہیں: ایک جامع جدول جو تمام ہم بستگیوں کو یکجا کرے، اور متن جو جدول سے ابھرنے والی تصویر کو نمایاں کرے – اس میں پہلے سے موجود ہر عدد کو دہرائے بغیر۔ ابھی پڑھے گئے آؤٹ پٹ کی رپورٹ ایسی نظر آئے گی۔

جدول۔ SPSS کا میٹرکس جوں کا توں مقالے میں نقل نہیں کیا جاتا: یہ ہر ہم بستگی دو بار دکھاتا ہے، اور تحقیقی رپورٹ میں کسی ہم بستگی کو ایک سے زیادہ بار رپورٹ کرنے کی ضرورت نہیں۔ ہم بستگی کا جدول جامع ہونا چاہیے اور اس میں صرف ضروری معلومات ہوں: نچلا مثلث، ابتدائی صفر کے بغیر اور اعشاریہ کے بعد دو ہندسوں میں قدریں – APA فارمیٹ یہی تقاضا کرتا ہے (APA, 2020, Section 6.36) – اور صحیح p قدروں کے بغیر – معنویت ستاروں سے ظاہر کی جاتی ہے، جن کی کلید جدول کے نیچے درج ہوتی ہے (سیکشن 7.14)۔ یہی رہنما میں ہم بستگی کے مثالی جدول کی ساخت ہے: متغیرات عنوانات کے کالم میں نمبر وار ہیں، کالموں کے عنوانات میں صرف نمبر ہیں، اور وتر – جس پر متغیر کی اپنے آپ سے ہم بستگی 1 ہے – ایک لمبے فاصل ڈیش (em dash) سے نشان زد ہے، عدد سے نہیں (سیکشن 7.21، جدول 7.10)۔ نمونے کا حجم بھی ہر خانے میں لکھنے کی ضرورت نہیں: جب وہی N دہرایا جائے تو اسے ایک بار، جدول کے نیچے یا اس کے عنوان کے نیچے رپورٹ کیا جاتا ہے، اور جب وہ جوڑے سے جوڑے تک بدلے – جیسے یہاں، جوڑی وار حذف کی وجہ سے – تو وسعت رپورٹ کی جاتی ہے۔ (صفحہ آؤٹ پٹ میں جو ہم بستگی کا میٹرکس دکھاتا ہے وہ جان بوجھ کر تین ہندسوں میں رہتا ہے، جیسے SPSS اور R میں، تاکہ ان کے مقابل جانچ اور تقابل آسان ہو؛ مقالے میں جمع کرائے جانے والے جدول میں دو تک گول کیا جاتا ہے – میٹرکس کے نیچے "جمع کرانے کے لیے جدول کاپی کریں" کا بٹن یہ خود بخود کرتا ہے۔) توجہ فرمائیں: جن ہم بستگیوں پر آؤٹ پٹ میں ** (سطح .01 پر معنی خیز) کا نشان ہے وہ دراصل p < .001 ہیں – اس لیے جدول میں ان پر *** کا نشان ہے۔

متن۔ ہم بستگی کی لفظی رپورٹ میں تین اجزاء ہوتے ہیں: خود ہم بستگی، اس کی معنویت اور نمونے کا حجم۔ ان کے پیچھے اصول: متن میں اتنی معلومات ہونی چاہییں کہ قاری کیے گئے تجزیے کو سمجھ سکے اور اس کی تصدیق کر سکے، بشمول اثر کے حجم اور وقفۂ اعتماد جب وہ موجود ہوں (APA, 2020, Section 6.43)۔ اسے اس طرح لکھا جاتا ہے کہ نتیجہ الفاظ میں پڑھا جائے اور شماریات قوسین میں آئیں، مثلاً: یہ پایا گیا کہ اثر پذیری جتنی زیادہ ہو، اعتماد بھی اتنا ہی زیادہ ہوتا ہے (r = .74, 95% CI [.69, .78], p < .001, n = 479)۔ وقفۂ اعتماد قوسین میں r کے بعد آتا ہے – Field (2024، سیکشن 8.8) بھی ایسے ہی رپورٹ کرتے ہیں، اور اس صفحے کے رپورٹ کے جملے بھی ایسے ہی لکھے گئے ہیں۔ نمونے کا حجم n کے طور پر رپورٹ کیا جا سکتا ہے، یا r کے بعد قوسین میں درجاتِ آزادی کے طور پر – r(477) = .74، جہاں df = N − 2 – اور جب N تمام ہم بستگیوں کے لیے یکساں ہو تو اسے نتائج کے باب کے شروع میں ایک بار رپورٹ کر کے تکرار سے بچا جاتا ہے۔ متن کے اندر جدول کا حوالہ دیا جاتا ہے، عمومی رجحان بیان کیا جاتا ہے اور نمایاں نتائج کو اجاگر کیا جاتا ہے، مثلاً سب سے مضبوط اور سب سے کمزور ہم بستگی:

اس فارمیٹ میں جدول اور رپورٹ کے جملے اس صفحے کا کیلکولیٹر ڈیٹا فائل سے خود بخود تیار کرتا ہے، اور مکمل آؤٹ پٹ Word فائل کے طور پر ڈاؤن لوڈ کیا جا سکتا ہے۔

اور چارٹ۔ جب سکیٹر پلاٹ خود نتائج کے باب میں شامل ہو – نہ کہ صرف حساب سے پہلے مفروضات کی جانچ کے لیے استعمال ہو – تو وہ ایک شکل ہے، اور شکل کی اپنی ساخت ہوتی ہے: نمبر، ترچھے حروف میں عنوان، دونوں محوروں پر متغیرات کے نام، اور اس کے نیچے ایک نوٹ۔ نوٹ بھولنا آسان ہے، لیکن یہی وہ جزو ہے جو شکل کو خود کفیل بناتا ہے، اور APA (2020، سیکشن 7.28) تفصیل سے بتاتا ہے کہ اسے کیا کہنا چاہیے: پیمائش کی اکائیوں، علامات اور مخففات کی وضاحت جو کلید میں واضح نہ ہوں، اور ہر سایہ کاری، رنگ یا کسی اور ڈیزائن عنصر کی وضاحت جو معنی رکھتا ہو۔ سکیٹر پلاٹ میں یہ دو مختصر جملوں میں ڈھلتا ہے – ہر نقطہ کس کی نمائندگی کرتا ہے (ایک جواب دہندہ، دونوں متغیرات میں اس کی قدروں کے مطابق) اور لکیر کیا ہے (لکیری ریگریشن لائن)۔ اور اگر چارٹ میں خطا کی علامات یا اعتماد کی پٹی دکھائی گئی ہو تو صراحت سے بتانا چاہیے کہ وہ معیاری انحراف، معیاری خطائیں، اعتماد کی حدیں یا وسعتیں ظاہر کرتی ہیں – اور رہنما مزید کہتا ہے کہ ان کے ساتھ نمونے کا حجم بھی درج کرنا مفید ہے (وہی ماخذ)۔ شکل کا نوٹ جدول کے نوٹ کے فارمیٹ میں، اور اسی ترتیب سے لکھا جاتا ہے – عمومی، مخصوص، احتمال – اور معنویت کے ستارے، اگر ہوں، احتمال کے نوٹ میں بالکل ویسے ہی واضح کیے جاتے ہیں جیسے جدول کے نیچے (سیکشن 7.14)۔

اس صفحے کے آؤٹ پٹ میں ہر سکیٹر پلاٹ کے ساتھ ایسا ہی شکل کا نوٹ آتا ہے، جو خود بخود بنتا ہے: ہر نقطہ کس کی نمائندگی کرتا ہے اور ہر متغیر کس محور پر ہے، لکیر کیا ہے (اور جب صرف سپیئرمین منتخب ہو تو لکیر نہیں ہوتی – اور یہ جملہ حذف ہو جاتا ہے)، اور گمشدہ قدروں سے نمٹنے کے طریقے کے ساتھ نمونے کا حجم۔ چارٹ خود اسکرین سے کاپی کیا جاتا ہے (یہ Word فائل میں شامل نہیں)، اور نوٹ – آؤٹ پٹ کے جدول سے۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

R شماریات کے لیے ایک مفت، اوپن سورس ورک اسپیس ہے، اور بالکل یہی تجزیہ اس میں چند سطروں میں ہو جاتا ہے: cor() ہم بستگی کا میٹرکس دیتا ہے، crossprod(!is.na()) ہر جوڑے کا N، اور cor.test() – واحد جوڑے کے لیے – t، p اور وقفۂ اعتماد (فشر کی تبدیلی سے، جیسے صفحہ)۔ نیچے کا اسکرپٹ صفحے کی مثال کی فائل (DATA_correlations_example_heb.xlsx، وہ تین متغیرات جو اس میں طے شدہ طور پر منتخب ہوتے ہیں) پر جوں کا توں چلایا گیا، اور نتائج – جو جداول 1-2 اور رپورٹ کے جملوں سے یکساں ہیں – تبصروں میں درج ہیں۔ R میں اردو کے لیے سائٹ کا اصول: UTF-8 فائل، ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہو، حساب کے لیے انگریزی میں مختصر نام، اور عبرانی ناموں (مثال کی فائل) کے لیے UTF-8 ماحول (Windows پر: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") یا R 4.2 اور اس سے اوپر)۔ راستہ اور متغیرات کے نام اپنے والے سے بدل دیں؛ R میں راستے میں سیدھا سلیش (/) لکھا جاتا ہے۔

# پیئرسن اور سپیئرمین ہم بستگی – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)   # ایکسل پڑھنا

# لوڈنگ: معیاری سانچہ – قطار = جواب دہندہ، کالم = متغیر؛ شیٹ "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_correlations_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("גיל", "עמדות1", "עמדות_ציון")]              # صفحے پر منتخب متغیرات (مثال کی فائل کا طے شدہ انتخاب)
names(d) <- c("age", "att1", "att")                    # انگریزی میں مختصر نام

# جدول 1 – جوڑی وار حذف کے ساتھ پیئرسن میٹرکس، تین ہندسے جیسے SPSS اور صفحے کے جدول میں
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs"), 3)   # عمر-att1 .116، عمر-att .209، att1-att .684

# ہر جوڑے میں جواب دہندگان کی تعداد (جوڑی وار حذف کا N – جدول کا نوٹ)
crossprod(!is.na(d))                                  # یعنی 114, 116, 118 (اور وتر پر: ہر متغیر کے لیے 116, 118, 120 درست مشاہدات)

# جدول 2 – واحد جوڑا: r, df, t, p اور فشر کی تبدیلی سے 95% وقفۂ اعتماد (جیسے صفحے پر)
cor.test(d$age, d$att)                                # r = .209, t(114) = 2.278, p = .0246, وقفۂ اعتماد [.027, .377] – جیسے جدول 2 اور رپورٹ کا جملہ

# سپیئرمین ہم بستگی – وہی میٹرکس درجوں پر؛ واحد جوڑے کے p کے لیے: cor.test(..., method = "spearman", exact = FALSE)
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs", method = "spearman"), 3)   # یعنی .095, .226, .669
cor.test(d$age, d$att, method = "spearman", exact = FALSE)   # rho = .226, p = .0145 (t تخمینہ، جیسے SPSS اور صفحے پر)

کوڈ میں دو اہم نکات: آرگیومنٹ use = "pairwise.complete.obs" جوڑی وار حذف ہے – اس کے بغیر، گمشدہ قدروں کی موجودگی میں R، NA لوٹائے گا، اور فہرست وار حذف کے ساتھ نتائج SPSS سے مطابقت نہیں رکھیں گے؛ اور cor.test واحد جوڑے کا حساب صرف اسی جوڑے کے مکمل مشاہدات پر کرتا ہے (اس لیے مثال میں df = 114 – دونوں متغیرات میں قدر رکھنے والے 116 جواب دہندگان)۔ p-value < 2.2e-16، R کا نشان ہے ایسی قدر کے لیے جو اس کی دکھائی جانے والی ہر قدر سے چھوٹی ہو – اور رپورٹ میں p < .001 لکھا جاتا ہے۔ سپیئرمین میں، جب برابر درجے ہوں، exact = FALSE کے بغیر cor.test یہ انتباہ دے گا: "Cannot compute exact p-value with ties" – یہ ٹھیک ہے: یہ تخمینے پر منتقل ہو جاتا ہے، وہی تخمینہ جو SPSS اور یہ صفحہ دونوں استعمال کرتے ہیں۔ (اختیاری: Hmisc پیکج کا rcorr() تمام جوڑوں کے لیے r، n اور p ایک ہی آؤٹ پٹ میں SPSS کے انداز میں چھاپتا ہے۔)

تینوں آلات – SPSS، R اور اس صفحے کا کیلکولیٹر – ایک جیسے عددی سر نکالتے ہیں جب انہیں ایک ہی طرح ترتیب دیا جائے – جوڑی وار حذف اور دو طرفہ معنویت: SPSS اور کیلکولیٹر میں یہ طے شدہ اختیارات ہیں، اور R میں یہ اوپر کے کوڈ میں صراحت سے درج ہے۔ اس لیے ایک ہی ڈیٹا فائل پر وہ ایک جیسے نتائج دیتے ہیں۔ دو آلات کے درمیان ایسا تقابل یہ یقینی بنانے کا بہترین طریقہ ہے کہ تجزیہ درست کیا گیا۔

عددی سروں کے پیچھے فارمولے

اس سیکشن کے فارمولوں کی تفصیلی تشکیل کے لیے Gravetter & Wallnau (2017، باب 15) دیکھیں۔

پیئرسن کا عددی سر – معیاری اسکورز سے۔ پیئرسن کو سمجھنے کا سب سے شفاف طریقہ معیاری اسکورز کے ذریعے ہے: ہر قدر کو معیاری اسکور میں بدلا جاتا ہے – وہ اپنے متغیر کی اوسط سے کتنے معیاری انحراف اوپر یا نیچے ہے، z_x = (x − x) / s_x – پھر معیاری اسکورز کے جوڑوں کے حاصلِ ضرب جمع کر کے n − 1 سے تقسیم کیا جاتا ہے:

(n − 1 کیوں؟ کیونکہ یہی وہ تقسیم ہے جو نمونے کے معیاری انحراف s کے اندر ہے جس سے معیاری اسکورز بنائے گئے۔ جو کتابیں معیاری اسکورز کو آبادی کے معیاری انحراف سے متعین کرتی ہیں وہ یہاں بھی n سے تقسیم کرتی ہیں – بشرطیکہ ضابطہ شمار کنندہ اور نسب نما میں یکساں ہو، r یکساں نکلتا ہے۔)

منطق: جب کوئی مشاہدہ دونوں متغیرات میں اوسط سے اوپر ہو تو دونوں معیاری اسکور مثبت ہوتے ہیں اور حاصلِ ضرب مثبت؛ جب وہ ایک میں اوپر اور دوسرے میں نیچے ہو تو حاصلِ ضرب منفی۔ اگر زیادہ تر حاصلِ ضرب مثبت ہوں – r مثبت نکلتا ہے؛ اگر زیادہ تر منفی ہوں – منفی؛ اور جب کوئی مستقل رجحان نہ ہو تو مثبت اور منفی حاصلِ ضرب ایک دوسرے کو کاٹ دیتے ہیں اور r، 0 کے قریب آ جاتا ہے۔

ہم تغیر (Covariance)۔ یہی خیال خام قدروں سے بھی حاصل کیا جا سکتا ہے: ہر مشاہدے کے لیے x کی اوسط سے انحراف کو y کی اوسط سے انحراف سے ضرب دیں، حاصلِ ضرب جمع کریں اور n − 1 سے تقسیم کریں – نمونے کے معیاری انحراف والا وہی ضابطہ:

covariance یہ ناپتا ہے کہ دونوں متغیرات کس حد تک "ایک ساتھ حرکت کرتے ہیں"، لیکن خام قدروں میں – اس لیے اس کی مقدار پیمائش کی اکائیوں پر منحصر ہے (قد کو میٹر کی بجائے سینٹی میٹر میں ناپنا اسے 100 گنا بڑھا دے گا)۔ اکائیوں سے آزاد پیمانہ حاصل کرنے کے لیے دونوں متغیرات کے معیاری انحرافات سے تقسیم کیا جاتا ہے – اور نتیجہ بالکل پیئرسن کا عددی سر ہے:

یہ تقسیم ہم تغیر کو ایک مقررہ وسعت، ‎-1 سے ‎+1 تک، میں معیاری بنا دیتی ہے۔ صفحے پر ملنے والی دو قریبی اصطلاحات کے فرق پر توجہ دیں: covariance خام اکائیوں میں مشترکہ تغیر پذیری ہے، جبکہ r² مشترکہ تغیر کی شرح ظاہر کرتا ہے – ایک معیاری شدہ اور اکائیوں سے آزاد پیمانہ۔ (تکنیکی نوٹ: بعض کتابیں n سے تقسیم کرتی ہیں اور بعض n − 1 سے؛ r یکساں نکلتا ہے، کیونکہ وہی عامل شمار کنندہ اور نسب نما میں آتا ہے اور کٹ جاتا ہے۔)

تین خصوصیات جو جاننے کے قابل ہیں۔ اول، r متغیرات کی لکیری تبدیلی سے متاثر نہیں ہوتا – کوئی مستقل جمع کرنا یا کسی مثبت مستقل سے ضرب دینا (سینٹی میٹر سے میٹر، پوائنٹس سے فیصد) اسے بالکل نہیں بدلتا؛ منفی مستقل سے ضرب صرف علامت الٹ دیتی ہے، اور شدت |r| برقرار رہتی ہے۔ دوم، خود r کی تشریح نسبتی پیمانے کے طور پر نہیں کی جاتی: r = .40، r = .20 سے "دگنا مضبوط" تعلق نہیں؛ مشترکہ تغیر کی مقداروں کا موازنہ کرنے کے لیے مربعوں کا موازنہ کیا جاتا ہے (.16 بمقابلہ .04)۔ اور سوم، پیئرسن مشاہدات کی اصل قدروں کو مدِنظر رکھتا ہے – سپیئرمین کے برعکس، جو صرف درجہ بندی میں ان کا مقام دیکھتا ہے۔

سپیئرمین کا عددی سر – درجوں سے۔ سپیئرمین صرف درجہ بندیوں پر نکالا جاتا ہے۔ جب برابر درجے نہ ہوں تو معروف مختصر فارمولا استعمال کیا جا سکتا ہے:

جہاں d_i دونوں متغیرات کے درمیان مشاہدہ i کے درجوں کا فرق ہے، اور n مشاہدات کی تعداد۔ اگر دونوں درجہ بندیاں بالکل یکساں ہوں تو تمام فرق 0 ہیں اور r_s = +1 حاصل ہوتا ہے؛ اگر ایک متغیر میں درجہ بندی دوسرے کی بالکل الٹ ہو تو r_s = -1 حاصل ہوتا ہے۔ خام قدروں کا کوئی وزن نہیں – صرف درجہ بندی میں مقام کا۔

ایک چھوٹی مثال: پانچ امیدواروں کو انٹرویو میں دو انٹرویو لینے والوں نے درجہ دیا، اور جاننا ہے کہ درجہ بندیاں ایک دوسرے سے کس حد تک متفق ہیں:

یعنی دونوں انٹرویو لینے والوں کے درمیان بلند اتفاق۔ عملی استعمال کے لیے اہم نوٹ: جب برابر درجے (ties) ہوں تو برابر مشاہدات کو ان کے درجوں کی اوسط دی جاتی ہے، اور تب مختصر فارمولا درست نہیں رہتا۔ عمومی طریقہ – جو ہمیشہ درست ہے – درجوں پر پیئرسن کا عددی سر نکالنا ہے۔ بالکل اسی طرح سپیئرمین اس صفحے پر اور SPSS میں بھی نکالا جاتا ہے، اس لیے جب برابر درجے نہ ہوں تو دونوں طریقے بالکل ایک ہی قدر دیتے ہیں۔

ہم بستگی کی معنویت کا ٹیسٹ۔ نمونے میں پائی گئی ہم بستگی کو ابھی جانچ کی ضرورت ہے: کیا اس کے آبادی میں بھی موجود ہونے کے کافی شواہد ہیں؟ صفری مفروضہ یہ ہے کہ آبادی میں کوئی ہم بستگی نہیں (ρ = 0)۔ r اور نمونے کے حجم n سے t قدر نکالی جاتی ہے:

یہ قدر df = n − 2 درجاتِ آزادی کے ساتھ t تقسیم رکھتی ہے – یہی وہ درجاتِ آزادی ہیں جو ہم نے رپورٹنگ فارمیٹ r(df) میں دیکھے۔ اگر حاصل ہونے والی p قدر سطحِ معنویت (عموماً 5%) سے کم ہو تو صفری مفروضہ رد کر کے یہ نتیجہ نکالا جاتا ہے کہ آبادی میں ہم بستگی موجود ہے۔ فارمولا پیئرسن کے لیے وضع کیا گیا ہے؛ سپیئرمین کی p قدر – اس صفحے پر اور SPSS میں بھی – اسی t تخمینے سے نکالی جاتی ہے، اور یہیں سے چھوٹے نمونوں کے بارے میں اوپر ذکر کردہ تحفظ آتا ہے۔ مفروضے کو غیر سمتی (دو طرفہ) یا سمتی (یک طرفہ) کے طور پر وضع کیا جا سکتا ہے، تحقیقی مفروضے کے مطابق۔ یہ امتیاز فیصلہ کن ہو سکتا ہے: Gravetter & Wallnau (2017، ص 507-509) کی مثال میں، 30 جواب دہندگان کے نمونے میں r = .35 کی ہم بستگی t(28) = 1.97 دیتی ہے – ایسی قدر جو دو طرفہ حد (2.048) کو پار نہیں کرتی لیکن یک طرفہ حد (1.701) کو پار کرتی ہے۔ وہی ہم بستگی سمتی جانچ میں معنی خیز ہے اور غیر سمتی جانچ میں نہیں؛ اس لیے مفروضے کی سمت نتیجہ دیکھنے کے بعد نہیں، بلکہ پہلے سے، نظریے کے مطابق طے کی جاتی ہے۔ فارمولا، درجاتِ آزادی کی وضاحت اور t ٹیسٹ Field (2024، سیکشن 8.2.3) کے ہاں بھی تفصیل سے موجود ہیں۔

پیئرسن ہم بستگی کا وقفۂ اعتماد۔ نمونے میں پایا گیا r ایک نقطی تخمینہ ہے، اور اس کے ساتھ وقفۂ اعتماد رپورٹ کرنے کی بھی سفارش کی جاتی ہے۔ چونکہ r کی نمونہ گیری تقسیم متشاکل نہیں، وقفہ فشر کی تبدیلی (Fisher z) کے ذریعے نکالا جاتا ہے: r کو z′ قدر میں بدلا جاتا ہے،

جس کی معیاری خطا 1/√(n − 3) ہے۔ z′ کے گرد 95% کا وقفۂ اعتماد بنایا جاتا ہے (±1.96 معیاری خطائیں) اور اس کی حدوں کو واپس r کے پیمانے پر بدلا جاتا ہے۔ حاصل وقفہ r کے گرد متشاکل نہیں ہوتا – اور یہ ٹھیک ہے۔ مثال: n = 50 کے ساتھ r = .30، .02 سے .53 تک کا وقفۂ اعتماد دیتا ہے – ایک ٹھوس یاد دہانی کہ چھوٹے نمونوں میں "درمیانی ہم بستگی" کا تخمینہ بھی بڑی عدم درستی سے لگتا ہے۔ اس صفحے کے تفصیلی جدول اور رپورٹ کے جملوں کا وقفۂ اعتماد بالکل اسی طرح نکالا جاتا ہے (Field، 2024، سیکشن 8.2.4، مساوات 8.12-8.14؛ ان کی مثال میں – n = 5 کے ساتھ r = .87 – وقفہ [−.05, .99] ہے: بہت چھوٹے نمونے میں وقفہ تقریباً بے فائدہ ہے)۔ SPSS 27 اور اس سے اوپر میں یہی وقفے براہِ راست Bivariate Correlations کی ونڈو میں طلب کیے جا سکتے ہیں (Confidence interval کا بٹن؛ اوپر دیکھیں)۔

bootstrap وقفۂ اعتماد۔ جب نارملٹی کے مفروضے کی خلاف ورزی کا خدشہ ہو تو وقفۂ اعتماد bootstrap سے بھی بنایا جا سکتا ہے – خود نمونے سے دوبارہ نمونہ گیری (resampling)، تقسیم کی شکل کے بارے میں کسی مفروضے کے بغیر (لیکن آزاد مشاہدات اور آبادی کی نمائندگی کرنے والے نمونے کے مفروضے کے ساتھ)؛ یہی سپیئرمین ہم بستگی کے وقفۂ اعتماد کا رائج طریقہ بھی ہے۔ SPSS میں: Bivariate کی ونڈو میں Bootstrap کا بٹن، اور وقفۂ اعتماد کا تعصب سے درست شدہ نسخہ (BCa) رپورٹ کرنا رائج ہے۔ bootstrap کے نتائج ایک بار چلانے سے دوسری بار تک تھوڑے بدلتے ہیں، کیونکہ یہ طریقہ تصادفی نمونہ گیری پر مبنی ہے – یہ خصوصیت ہے، خرابی نہیں (Field, 2024, Sections 8.4, 6.10.8)۔

دو ہم بستگیوں کا موازنہ۔ یہاں بھی فشر کی تبدیلی استعمال ہوتی ہے۔ جب ہم بستگیاں دو آزاد گروہوں سے آئیں (مثلاً: کیا امتحانی پریشانی اور گریڈ کا تعلق مردوں اور خواتین میں مختلف ہے؟)، تو ہر ہم بستگی کو z′ میں بدل کر فرق جانچا جاتا ہے:

حاصل ہونے والے z کا نارمل تقسیم سے موازنہ کیا جاتا ہے: 1.96 سے اوپر مطلق قدر کا مطلب 5% کی سطح پر معنی خیز فرق ہے (دو طرفہ)۔ جب ہم بستگیاں ایک ہی نمونے سے آئیں (مثلاً: کیا x کا y سے تعلق اس سے زیادہ مضبوط ہے جتنا z کا اس سے ہے؟) تو موازنہ df = N − 3 کے ساتھ t ٹیسٹ سے کیا جاتا ہے، جو تینوں جوڑی وار ہم بستگیوں کو استعمال کرتا ہے؛ SPSS میں اس کے لیے کوئی بنا بنایا مینو نہیں (Field, 2024, Section 8.6)۔ اور توجہ کے لیے: یہ کہ ایک ہم بستگی معنی خیز نکلی اور دوسری نہیں – اس بات کا ثبوت نہیں کہ وہ ایک دوسرے سے مختلف ہیں؛ خود فرق کو براہِ راست جانچنا ضروری ہے۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Cohen, J. (1983). The cost of dichotomization. Applied Psychological Measurement, 7(3), 249-253. https://doi.org/10.1177/014662168300700301

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Jamieson, S. (2004). Likert scales: How to (ab)use them. Medical Education, 38(12), 1217-1218. https://doi.org/10.1111/j.1365-2929.2004.02012.x

MacCallum, R. C., Zhang, S., Preacher, K. J., & Rucker, D. D. (2002). On the practice of dichotomization of quantitative variables. Psychological Methods, 7(1), 19-40. https://doi.org/10.1037/1082-989X.7.1.19

Norman, G. (2010). Likert scales, levels of measurement and the "laws" of statistics. Advances in Health Sciences Education, 15(5), 625-632. https://doi.org/10.1007/s10459-010-9222-y

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے۔ Field (2024) اور Pallant (2020) ری فلو ایبل ڈیجیٹل نسخے میں – حوالہ سیکشن اور باب کے مطابق؛ Gravetter اور Wallnau (2017)، Cohen (1988)، Cohen اور دیگر (2003)، Gelman اور Hill (2007) اور APA (2020) – مطبوعہ ایڈیشن کے صفحے اور سیکشن کے مطابق؛ مقالات (Anscombe, 1973; Cohen, 1983; MacCallum et al., 2002; Jamieson, 2004; Norman, 2010) – اصل متن کے مطابق۔ صفحے کے حساب کی توثیق scipy اور R کے مقابل کی گئی ہے۔