تعدیل اور ثالثی (moderation and mediation)

کیلکولیٹر

ڈیٹا لوڈ کرنا

شیٹ سے کالم براہِ راست چسپاں کریں (عنوانات کی قطار سمیت) – ایکسل میں منتخب کریں، کاپی کریں اور یہاں چسپاں کریں:

ماڈل اور متغیرات

رہنما

تعدیل یا ثالثی؟

تیسرے متغیر کے بارے میں دو مختلف سوال۔ تعدیل (moderation) – ایک تیسرا متغیر دو دوسرے متغیرات کے درمیان تعلق کو بدلتا ہے: "معتدل کار متغیر وہ متغیر ہے جو دو دوسرے متغیرات کے درمیان تعلق پر اثر ڈالتا ہے" (Field, 2024, Section 11.3.1)۔ تعلق کمزور ہو سکتا ہے، مضبوط ہو سکتا ہے یا الٹ سکتا ہے – "یہ ضروری نہیں کہ ایک گروہ میں اثر ہو اور دوسرے میں نہ ہو" (ایضاً)۔ خاکے میں معتدل کار متغیر ایک تیر ہے جو تیر پر جا لگتا ہے (Cohen et al., 2003, p. 458)۔ ثالثی (mediation) – ایک تیسرا متغیر تعلق کی وضاحت کرتا ہے: X، M پر اثر ڈالتا ہے، اور M، Y پر اثر ڈالتا ہے (Field, 2024, Section 11.4.1)۔ ثالث متغیرات وہ ہیں جو "اثر کو آگے لے جاتے ہیں" (Cohen et al., 2003, p. 477)۔

صفحے کی مثال میں – 240 فرضی طلبہ – ایک ہی ڈیٹا پر دونوں سوال پوچھے جا سکتے ہیں: کیا سماجی سہارا تعلیمی دباؤ سے ذہنی فلاح کو پہنچنے والے نقصان کی تعدیل کرتا ہے (ماڈل 1)؟ اور کیا دباؤ پریشان کن سوچ کی تکرار اور نیند کے ذریعے فلاح کو نقصان پہنچاتا ہے (ماڈل 4)؟ اور ماڈل 7 اور 14 دونوں کو یکجا کرتے ہیں: کیا سہارا بالواسطہ اثر کو بدلتا ہے – پہلے مرحلے میں (دباؤ ← پریشان کن سوچ) یا دوسرے میں (نیند ← فلاح)؟

تعدیل کا ماڈل (ماڈل 1)

Y کی پیش گوئی X، W اور ان کے حاصلِ ضرب سے کی جاتی ہے: Ŷ = b₀ + b₁X + b₂W + b₃XW (Field, 2024, Equation 11.3; Cohen et al., 2003, Equation 7.1.2)۔ حاصلِ ضرب ہی تعامل ہے – "واقعی دونوں متغیرات ایک دوسرے سے ضرب دیے گئے" (Field, 2024, Section 11.3.4) – اور اگر b₃ معنی خیز ہو تو تعدیل موجود ہے۔ X اور W کا حاصلِ ضرب کے ساتھ ماڈل میں ہونا لازمی ہے: b₃ تعامل کی نمائندگی "اگر اور صرف اگر" کرتا ہے جب دونوں متغیرات مساوات میں شامل ہوں (Cohen et al., 2003, p. 284; Field, 2024, Section 11.3.2)۔

تعامل کتنا اضافہ کرتا ہے؟ ΔR² – حاصلِ ضرب والے ماڈل اور اس کے بغیر ماڈل کے درمیان R² کا فرق، اضافے کے لیے F ٹیسٹ کے ساتھ (Cohen et al., 2003, p. 275)۔ تعاملات عموماً تغیر کا "صرف چند فیصد" اضافہ کرتے ہیں، اور بڑے تعاملات مشاہداتی تحقیقات میں "نادر" ہیں (ص 297) – اس لیے 2%-5% کا اضافہ نہ ہونے کے برابر نہیں۔ اضافے کا F ٹیسٹ عام خطاؤں میں t² کے برابر ہے، جو b₃ کا ہے۔

اوسط سے مرکزیت

جب ماڈل میں حاصلِ ضرب ہو تو b₁، X کا اثر ہے جب W = 0 (Cohen et al., 2003, p. 260; Field, 2024, Section 11.3.3) – اور صفر اکثر ایک ناممکن قدر ہوتی ہے: صفر عمر، صفر نبض، 1-7 کے پیمانے پر صفر سہارا۔ اوسط سے مرکزیت (mean-centering) – ہر قدر سے اوسط منہا کرنا – b₁ کو X کا وہ اثر بنا دیتی ہے جب W اوسط پر ہو، اور ساتھ ہی W کے پورے دائرے میں X پر Y کی "اوسط ریگریشن" بھی (Cohen et al., 2003, pp. 261-262; Field, 2024, Section 11.3.3)۔ مرکزیت "بلند ترین درجے کی رقم کے عددی سر پر اثر نہیں ڈالتی" (Cohen et al., 2003, p. 266) – b₃، تعامل کا ٹیسٹ اور سادہ ڈھلوانیں مرکزیت کے ساتھ اور اس کے بغیر یکساں ہیں (ص 271)۔ سفارش: حاصلِ ضرب میں شامل مسلسل متغیرات کو مرکز پر لائیں (p. 266; Field, 2024, Section 11.3.3)، الا یہ کہ صفر کا کوئی مطلب ہو۔ Y کو مرکز پر لانے کی ضرورت نہیں (Cohen et al., 2003, p. 266)۔

Hayes (2022، سیکشن 9.1) دوسرے پہلو پر زور دیتے ہیں: یہ دعویٰ کہ "ملٹی کولینیئریٹی پر قابو پانے" کے لیے مرکزیت لازمی ہے، ایک "افسانہ" ہے (ص 320-321)۔ مرکزیت واقعی X اور حاصلِ ضرب کے درمیان ہم بستگی کو کم کرتی ہے، لیکن b₃ کی معیاری خطا، t اور p بالکل نہیں بدلتے (ص 324-325)۔ یعنی – دونوں ہی: مرکزیت تعدیل کے ٹیسٹ کو نہیں بدلتی، لیکن b₁ اور b₂ کو بامعنی بنا دیتی ہے؛ Hayes سفارش کرتے ہیں کہ اس کا جواز یہی بیان کیا جائے، اور صرف اس وقت جب اس کے بغیر عددی سر بے معنی ہوں (ص 328)۔

صفحے پر – تین اختیارات، جیسے PROCESS میں: صرف حاصلِ ضرب میں شامل مسلسل متغیرات (center=2؛ صفحے کا طے شدہ اختیار، اور Field کا انتخاب – سیکشن 11.3.6)، سب (center=1)، یا بغیر – خود PROCESS کا طے شدہ اختیار (Hayes, 2022, pp. 328-329, 602)۔ پہلے اختیار میں دو قدری متغیر کو مرکز پر نہیں لایا جاتا، کیونکہ اس کی قدروں کا مطلب ہوتا ہے۔ آؤٹ پٹ میں W کی قدریں ہمیشہ اصل پیمانے پر دکھائی جاتی ہیں۔

سادہ ڈھلوانیں اور Johnson-Neyman

معنی خیز تعامل بتاتا ہے کہ تعلق بدلتا ہے، لیکن یہ نہیں کہ کیسے۔ سادہ ڈھلوانیں (simple slopes): W کی ایک قدر رکھی جاتی ہے اور اس قدر پر X پر Y کی ریگریشن لائن حاصل ہوتی ہے، Ŷ = (b₁ + b₃W)X + (b₂W + b₀) – ڈھلوان θ = b₁ + b₃W (Cohen et al., 2003, Equation 7.3.1, p. 270)۔ اس کی معیاری خطا – عددی سروں کے تغیر کے میٹرکس سے: SE = √(s²_b1 + 2W·cov_b1b3 + W²·s²_b3)، n − k − 1 درجاتِ آزادی پر t کے ساتھ (مساوات 7.4.2 اور 7.4.4، ص 273)۔ صفحے کی توثیق وہاں چھپی ہوئی مثال سے کی گئی ہے (جدول 7.4.1، ص 276)۔

کن قدروں پر؟ Cohen et al. (2003، ص 269) اوسط اور ±1 معیاری انحراف، یا بامعنی قدروں، جیسے طبی کٹ آف پوائنٹس، کی سفارش کرتے ہیں؛ Field (2024، سیکشن 11.3.5) بھی لکھتے ہیں کہ یہ "عام" ہے۔ Hayes اس کے برعکس 16ویں، 50ویں اور 84ویں فیصدیوں کی سفارش کرتے ہیں – PROCESS کا طے شدہ اختیار: "اگر W بہت غیر متشاکل ہو"، تو اوسط سے ایک معیاری انحراف نیچے یا اوپر کی قدر پیمانے سے باہر جا سکتی ہے، جبکہ فیصدیے "ہمیشہ ڈیٹا کی وسعت کے اندر" ہوتے ہیں، اور نارمل تقسیم میں یہ بالکل اوسط اور ±1 معیاری انحراف ہیں (2022، ص 259، 265-266، 268)۔ "pick-a-point" کا نام – Rogosa (1980, as cited in Bauer & Curran, 2005, p. 374)، جو نوٹ کرتے ہیں کہ قدریں "کافی حد تک من مانے طریقے سے منتخب کی جاتی ہیں"۔ صفحے پر انتخاب کیا جا سکتا ہے؛ اوسط اور ±1 معیاری انحراف منتخب کرنے پر، ڈیٹا سے باہر آنے والی قدر کو کم سے کم یا زیادہ سے زیادہ سے بدل دیا جاتا ہے، جیسے PROCESS میں (Hayes, 2022, p. 268)۔ Hayes یہ واضح نہیں کرتے کہ PROCESS فیصدیوں کا حساب کیسے کرتا ہے؛ صفحے پر – R کا type 6 (سائٹ کا ضابطہ)۔ PROCESS سادہ ڈھلوانیں بھی صرف اس وقت دکھاتا ہے جب تعامل .10 کی سطح پر معنی خیز ہو (ص 599)؛ صفحہ انہیں ہمیشہ دکھاتا ہے۔

Johnson-Neyman (Johnson & Neyman، 1936، بحوالہ Bauer & Curran، 2005) – تین قدروں کی بجائے، تمام قدریں: W کی کون سی قدریں X کے اثر کو معنی خیز بناتی ہیں؟ حدیں وہ قدریں ہیں جن پر سادہ ڈھلوان کا t بالکل فیصلہ کن قدر کے برابر ہوتا ہے – t²_crit·SE²(W) − (b₁ + b₃W)² = 0، W میں ایک دو درجی مساوات جسے جذور کے فارمولے سے حل کیا جاتا ہے (Bauer & Curran, 2005, Equations 16-21, p. 380; Hayes, 2022, p. 270)۔ ڈیٹا کی وسعت میں دو حدیں، ایک یا ایک بھی نہیں ہو سکتی (Hayes, 2022, pp. 270-271)؛ Field صرف دو حدوں والی صورت بیان کرتے ہیں، جن کے درمیان اثر معنی خیز نہیں (2024، سیکشن 11.3.5)، اور صفحے کی مثال میں ایک حد ہے۔ وسعت سے باہر کے جذور کو "نظر انداز کرنا چاہیے" (Hayes, 2022, p. 270)؛ Cohen et al. بھی ریگریشن کی تشریح "صرف مشاہدہ شدہ ڈیٹا کی وسعت کے اندر" کرنے کی سفارش کرتے ہیں (2003، ص 282)۔ اس لیے صفحہ صرف W کی وسعت کے اندر کی حدیں رپورٹ کرتا ہے، اور ہر جانب جواب دہندگان کا فیصد، جیسے PROCESS (Hayes, 2022, p. 271)۔ جب حد کی ایک جانب کم جواب دہندگان ہوں تو Hayes اس علاقے سے زیادہ نتیجہ اخذ کرنے میں "تامل کریں گے" (ص 275)۔ ایک اور تحفظ: ٹیسٹ W کی ہر قدر پر الگ الگ کیا جاتا ہے، نہ کہ تمام قدروں پر ایک ساتھ؛ اس لیے Bauer اور Curran ان علاقوں میں "بنیادی طور پر ایک تخمینی (heuristic) قدر" دیکھتے ہیں (2005، ص 383)، اور بیک وقت تصحیح (Potthoff، 1964، بحوالہ ان کے ہاں) PROCESS میں نہیں ہے (Hayes, 2022, p. 271, Note 6) اور صفحے پر بھی نہیں۔

ثالثی کا ماڈل (ماڈل 4)

دو مساواتیں (اور زیادہ، اگر کئی ثالث متغیرات ہوں)، ہر ایک الگ ریگریشن: M = i₁ + aX، اور Y = i₂ + c'X + bM۔ a – M پر X کا اثر؛ b – Y پر M کا، جب X مستقل ہو؛ c' – Y پر X کا براہِ راست اثر؛ اور حاصلِ ضرب ab – بالواسطہ اثر (Field, 2024, Sections 11.4.1-11.4.3, Equation 11.6)۔ "تعاقب کے اصول کے مطابق، بالواسطہ اثرات کا تخمینہ براہِ راست اثرات کے حاصلِ ضرب کے طور پر لگایا جاتا ہے"، اور انہیں جمع کیا جا سکتا ہے (Cohen et al., 2003, p. 462)۔ کل اثر c – X کا عددی سر جب Y کی پیش گوئی صرف X سے کی جائے – بالکل براہِ راست جمع بالواسطہ کے برابر ہے، c = c' + ab (p. 463, Equation 12.2.1; p. 465; Hayes, 2022, Section 3.2)۔ OLS میں یہ مساوات "ہمیشہ، ہر ڈیٹا سیٹ میں" درست رہتی ہے (Hayes, 2022, p. 95; p. 87)، جب تک کنٹرول متغیرات M کی مساوات اور Y کی مساوات دونوں میں ہوں (ص 136) اور مساواتیں انہی جواب دہندگان پر ہوں – اس لیے صفحہ گمشدہ ڈیٹا والے جواب دہندگان کو تمام مساواتوں سے ایک ساتھ حذف کرتا ہے۔

متوازی طور پر کئی ثالث متغیرات (Field, 2024, Section 11.4.7): ہر ثالث متغیر کا اپنا a_j اور b_j، اور اپنا بالواسطہ اثر a_jb_j؛ ان کا مجموعہ کل بالواسطہ اثر ہے۔ ثالث متغیرات ایک دوسرے سے جڑے ہوتے ہیں ("دو سرا تیر"، ایضاً)، اور b_j ہر ثالث متغیر کا اثر ہے جب باقیوں کو کنٹرول کیا جائے۔ صفحہ بالواسطہ اثرات کے درمیان فرق بھی شامل کرتا ہے – کیا پریشان کن سوچ کے راستے والا اثر نیند کے راستے والے سے زیادہ مضبوط ہے – ان کے اپنے bootstrap وقفے کے ساتھ، جیسے PROCESS میں contrast=1 (Hayes, 2022, pp. 176-178, 591; Preacher & Hayes, 2008, p. 884)۔ مختلف پیمانوں والے ثالث متغیرات کا موازنہ بھی جائز ہے، کیونکہ بالواسطہ اثرات X اور Y کی اکائیوں میں ہوتے ہیں (Hayes, 2022, p. 176)۔ لیکن فرق "قوت" کا فرق صرف اس وقت ہے جب دونوں بالواسطہ اثرات ایک ہی علامت کے ہوں (ص 178)۔ تمام ثالث متغیرات والا ایک ماڈل کئی الگ ماڈلوں سے بہتر ہے: اس میں ہر بالواسطہ اثر باقیوں کو کنٹرول کر کے ہوتا ہے، اور یوں خارج شدہ متغیرات کی وجہ سے "تعصب کا امکان کم ہوتا ہے" (Preacher & Hayes, 2008, p. 881)۔

بالواسطہ اثر کی جانچ کیسے کی جاتی ہے؟

پرانا طریقہ – چار شرائط از Baron اور Kenny (1986، بحوالہ Field، 2024، سیکشن 11.4.2): X، Y کی پیش گوئی کرتا ہے، X، M کی پیش گوئی کرتا ہے، M، Y کی پیش گوئی کرتا ہے، اور M شامل کرنے پر X کا اثر "کمزور ہو جاتا ہے"۔ Field وضاحت کرتے ہیں کہ مسئلہ چوتھی شرط میں ہے – کتنی کمی کافی ہے؟ – اور معنی خیز سے غیر معنی خیز کی طرف منتقلی تلاش کرنے کا رواج "ہر طرح کی فضولیات کی طرف لے جاتا ہے" (ایضاً)۔ Hayes (2022، سیکشن 4.1) مزید کہتے ہیں کہ معنی خیز کل اثر کی بالکل ضرورت نہیں: "بالواسطہ اثر صفر سے مختلف ہو سکتا ہے چاہے کل اثر نہ ہو" (ص 123؛ اور اسی طرح Preacher & Hayes، 2008، ص 880)۔ Cohen et al. (2003، ص 467) صرف راستوں کی جانچ کرتے ہیں، اور بالواسطہ اثر کے لیے معیاری خطا نہیں دیتے۔

Sobel ٹیسٹ (Sobel, 1982, as cited in Hayes, 2022, Section 3.4) – z = ab/SE۔ صفحہ "دوسرے درجے" کی معیاری خطا استعمال کرتا ہے، SE = √(a²s²_b + b²s²_a + s²_as²_b) (Hayes, 2022, Equation 3.7, p. 97) – وہی جس کا حساب PROCESS کرتا ہے (ص 590)۔ Preacher اور Hayes (2008، ص 880، 882) پہلے درجے کا نسخہ، آخری رقم کے بغیر، پیش کرتے ہیں اور نوٹ کرتے ہیں کہ فرق "عموماً نہ ہونے کے برابر" ہے۔ ٹیسٹ فرض کرتا ہے کہ حاصلِ ضرب ab نارمل طور پر تقسیم ہے، لیکن عام نمونوں میں اس کی تقسیم "بے قاعدہ" ہوتی ہے، اور اس کی شماریاتی قوت کم ترین میں سے ہے – Hayes: "میں اس طریقے سے گریز کرنے کی سفارش کرتا ہوں" (2022، ص 99)۔ صفحہ اسے صرف موازنے کے لیے دکھاتا ہے۔

Bootstrap – Field اور PROCESS کا طریقہ (سیکشن 11.4.4-11.4.6): ڈیٹا میں سے، واپسی کے ساتھ، اسی حجم کا نمونہ لیا جاتا ہے؛ تمام مساواتوں اور ab کا دوبارہ تخمینہ لگایا جاتا ہے؛ یہ 5,000 بار دہرایا جاتا ہے؛ تخمینوں کو ترتیب دیا جاتا ہے؛ اور 95% وقفۂ اعتماد وہ قدریں ہیں جو مقامات 0.005k(100 − ci) اور k[1 − 0.005(100 − ci)] + 1 پر ہیں – 5,000 نمونوں میں، 125واں اور 4,876واں (Hayes, 2022, pp. 100, 102)۔ یہ فیصدیہ وقفہ ہے، PROCESS کا طے شدہ اختیار؛ 5,000-10,000 نمونے "زیادہ تر استعمالات میں کافی ہیں" (ص 105)۔ "اگر وقفۂ اعتماد میں صفر شامل ہو – تو ہم یہ فرض کرنے کی طرف مائل ہوتے ہیں کہ ثالثی نہیں ہے" (Field, 2024, Section 11.4.6)۔ تخمینہ اور وقفۂ اعتماد Baron اور Kenny اور Sobel سے بہتر ہیں، کیونکہ "سیاہ و سفید سوچ میں پڑنا زیادہ مشکل ہوتا ہے" (سیکشن 11.4.2)۔ نمونوں کی تعداد بدلی جا سکتی ہے (200 سے 20,000)؛ جب مقام پورا عدد نہ ہو تو صفحہ نچلے کو نیچے کی طرف اور بالائی کو اوپر کی طرف گول کرتا ہے (سائٹ کا ضابطہ)۔

فیصدیہ یا تعصب سے تصحیح شدہ؟ حوالوں میں دونوں ہی: Preacher اور Hayes (2008، ص 886) نے تعصب سے تصحیح شدہ (bias-corrected) وقفے کی سفارش کی تھی؛ Hayes (2022، ص 109) بعد میں لکھتے ہیں کہ یہ تصحیح قسم I کی خطا کو "کچھ بڑھا سکتی ہے" جب راستوں میں سے ایک صفر ہو، اور یہ کہ فیصدیہ وقفہ "زیادہ سفارش کردہ طریقہ" بن گیا ہے۔ BCa وقفے "PROCESS میں دستیاب نہیں اور کبھی نہیں تھے" (ص 104)۔ صفحہ فیصدیہ وقفے کا حساب کرتا ہے۔

رینڈم سیڈ: ایک ہی سیڈ – ایک ہی نمونے۔ مستقل سیڈ کے بغیر، ہر رن میں "آپ کو کچھ مختلف قدریں ملیں گی" (Field, 2024, Section 11.4.5, Note 13)، اور Hayes ہمیشہ سیڈ مقرر کرنے اور اسے رپورٹ کرنے کی سفارش کرتے ہیں (2022، ص 106-107)۔ سیڈ آؤٹ پٹ میں اور R اسکرپٹ میں ظاہر ہوتا ہے، جو R کا وہی جنریٹر استعمال کرتا ہے – اس لیے ڈاؤن لوڈ کیا گیا اسکرپٹ بالکل وہی وقفے دیتا ہے۔ SPSS یا SAS کے لیے PROCESS میں وہی سیڈ مختلف نمونے دیتا ہے، کیونکہ جنریٹر مختلف ہے (Hayes, 2022, p. 106)۔ صفحے پر طے شدہ سیڈ 42 ہے، جیسے رہنما کی مثالوں میں؛ "نیا سیڈ" دوسرا سیڈ دیتا ہے، اور bootstrap وقفے چند ہزارویں حصوں میں بدل جاتے ہیں۔

بالواسطہ اثر کا اثر کا حجم

بالواسطہ اثر ab "کسی بھی عددی سر کی طرح ایک غیر معیاری شدہ ریگریشن عددی سر" ہے – X کی ہر اکائی پر Y کی اکائیوں میں (Field, 2024, Section 11.4.3)۔ دو معیار بندیاں: جزوی طور پر معیاری شدہ – ab/s_Y: X کی ہر اکائی پر Y کے کتنے معیاری انحراف (Hayes, 2022, Table 4.2, p. 148; MacKinnon, 2008, as cited in Field, 2024, Equation 11.7)۔ مکمل طور پر معیاری شدہ – ab·s_X/s_Y (Hayes, 2022, p. 116; Field, 2024, Equation 11.8)، "ثالثی کا اشاریہ"، جس کا ماڈلوں کے درمیان موازنہ کیا جا سکتا ہے اور جسے میٹا تجزیے میں شامل کیا جا سکتا ہے؛ Field اسے مثال میں رپورٹ کرتے ہیں، β = 0.04 (سیکشن 11.4.6)۔ جب X دو قدری ہو تو Hayes مکمل طور پر معیاری شدہ سے "گریز" کرنے اور جزوی طور پر معیاری شدہ رپورٹ کرنے کی سفارش کرتے ہیں (2022، ص 148)، اور PROCESS اس کا حساب نہیں کرتا (ص 145) – اور صفحہ بھی نہیں۔ دوسرے پیمانے، جیسے "ثالثی کا تناسب" ab/c، Hayes رد کرتے ہیں: یہ محدود نہیں اور عام حجم کے نمونوں میں مستحکم نہیں (ص 149-151)۔

معتدل شدہ ثالثی (ماڈل 7 اور 14)

کبھی سوال یہ ہوتا ہے کہ کیا طریقۂ عمل کسی تیسرے متغیر پر منحصر ہے۔ ماڈل 7 – W پہلے راستے کی تعدیل کرتا ہے: M = i₁ + a₁X + a₂W + a₃XW، اس لیے W کی کسی خاص قدر پر بالواسطہ اثر (a₁ + a₃W)·b ہے۔ ماڈل 14 – W دوسرے راستے کی تعدیل کرتا ہے: Y = i₂ + c'X + b₁M + b₂W + b₃MW، اور بالواسطہ اثر a·(b₁ + b₃W) ہے۔ (Hayes، 2022، مساوات 12.6-12.8، ص 468-469، اور مساوات 11.13، ص 434)۔ دونوں ماڈلوں میں براہِ راست اثر c' معتدل شدہ نہیں (ص 419، 480)؛ ماڈل 7 میں W صرف M کی مساوات میں داخل ہوتا ہے، اور ماڈل 14 میں – Y کی مساوات میں۔ بالواسطہ اثر W میں ایک سیدھی لکیر ہے، اور اس کی ڈھلوان – a₃b یا ab₃ – معتدل شدہ ثالثی کا اشاریہ ہے (Hayes, 2015, as cited in Hayes, 2022, pp. 440, 476): W کے ایک اکائی بڑھنے پر بالواسطہ اثر کتنا بدلتا ہے۔ اشاریے کا bootstrap وقفہ باضابطہ ٹیسٹ ہے: اگر اس میں صفر شامل نہ ہو – تو بالواسطہ اثر W پر منحصر ہے (ص 441)۔ یہی وقفہ کسی بھی دو مشروط بالواسطہ اثرات کے درمیان فرق کی بھی جانچ کرتا ہے، کیونکہ فرق اشاریہ ضرب W کی قدروں کا فرق ہے (ص 449)۔ اوسط سے مرکزیت مشروط بالواسطہ اثرات کو نہیں بدلتی (ص 426، نوٹ 1)۔

دو نوٹس۔ اول، "بالواسطہ اثر W کی کم قدر پر معنی خیز ہے اور زیادہ پر نہیں" معتدل شدہ ثالثی کا ثبوت نہیں – جس چیز کی جانچ ضروری ہے وہ دو بالواسطہ اثرات کے درمیان فرق ہے، اور یہی اشاریہ ہے۔ ماڈل 14 کی مثال میں بالکل یہی ہے: نیند کے راستے بالواسطہ اثر کم اور درمیانے سہارے پر معنی خیز ہے اور زیادہ پر نہیں، لیکن اشاریے کے وقفۂ اعتماد میں صفر شامل ہے۔ Hayes یہ صراحت سے کہتے ہیں: "کوئی فرق نہیں پڑتا" کہ کسی ایک راستے میں تعامل معنی خیز ہے یا نہیں؛ "اہم یہ ہے کہ کیا معتدل شدہ ثالثی کا اشاریہ صفر سے مختلف ہے" (2022، ص 441؛ اور دیکھیں ص 468)۔ دوم، مجموعی بالواسطہ اثر کا نہ ہونا اس بارے میں کچھ نہیں کہتا کہ آیا وہ معتدل شدہ ہے (ص 441)۔ صفحے کی توثیق R میں ایک آزاد حساب سے کی گئی ہے۔

مضبوط معیاری خطائیں

تمام مساواتوں کا تخمینہ OLS سے لگایا جاتا ہے، اور طے شدہ طور پر – غیر یکساں تغیر (heteroscedasticity) کے خلاف مضبوط معیاری خطاؤں، HC4، کے ساتھ۔ Field مشورہ دیتے ہیں کہ HC4 منتخب کریں "اور مفروضے کے بارے میں مزید نہ سوچنے کی راحت سے لطف اٹھائیں" (2024، سیکشن 11.3.6؛ اور ثالثی میں بھی یہی، سیکشن 11.4.4 اور 11.4.7)۔ Hayes ان میں سے کسی ایک کی سفارش نہیں کرتے؛ PROCESS، HC0 سے HC4 تک پیش کرتا ہے (hc=0 سے hc=4)، اور طے شدہ طور پر – عام خطائیں (Hayes، 2022، ص 608؛ Hayes & Cai، 2007، بحوالہ ایضاً)۔ صفحے پر HC3 یا عام خطائیں منتخب کی جا سکتی ہیں۔ مضبوط معیاری خطائیں t، p، عددی سروں کے وقفہ ہائے اعتماد اور سادہ ڈھلوانوں اور Johnson-Neyman کو بدلتی ہیں، اور ماڈل کا F ٹیسٹ Wald ٹیسٹ بن جاتا ہے – لیکن تخمینوں کو نہیں، اور نہ بالواسطہ اثرات کے bootstrap وقفوں کو۔ فرق حقیقی ہو سکتا ہے: Field کی ثالثی کی مثال میں براہِ راست اثر عام خطاؤں میں "اب بھی معنی خیز" ہے (سیکشن 11.4.2)، اور HC4 میں معنی خیز نہیں، p = .079 (سیکشن 11.4.5)۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

ماڈل 1۔ جدول 1 – ماڈل کا حجم اور تعامل کا اضافہ (ΔR² مع F)۔ جدول 2 – عددی سر: b₃ تعدیل کا ٹیسٹ ہے؛ b₁ اور b₂ – مشروط اثرات (دوسرے متغیر کی اوسط پر، اگر مرکز پر لایا گیا ہو)۔ جدول 3 – سادہ ڈھلوانیں۔ اس کے بعد – Johnson-Neyman (جملہ، شکل اور تفصیلی جدول) اور تعامل کی شکل۔ مثال میں (مکمل ڈیٹا والے 238 جواب دہندگان، HC4): دباؤ × سہارا تعامل معنی خیز ہے، b = 0.28, t(234) = 3.44, p < .001، اور ΔR² = .046 کا اضافہ کرتا ہے۔ سہارا جتنا زیادہ ہو، دباؤ فلاح کو اتنا کم نقصان پہنچاتا ہے: سہارا 3.21 پر θ = −1.14 (16واں فیصدیہ)، 4.42 پر −0.80 اور 5.68 پر −0.45 (84واں فیصدیہ)۔ Johnson-Neyman کی حد – سہارا 6.18: اس سے اوپر، 7.1% جواب دہندگان میں، دباؤ کا اثر اب معنی خیز نہیں رہتا۔

ماڈل 4۔ مساواتوں کا جدول – ہر ثالث متغیر کے لیے a، b اور c'، اور مجموعی ماڈل۔ اس کے بعد – کل اور براہِ راست اثر، bootstrap وقفوں کے ساتھ بالواسطہ اثرات، اثر کا حجم، Sobel (سمٹا ہوا) اور راستوں کی شکل۔ مثال میں (پریشان کن سوچ اور نیند متوازی طور پر، سیڈ 42): پریشان کن سوچ کے راستے بالواسطہ اثر −0.29, 95% CI [−0.43, −0.17]، نیند کے راستے −0.14 [−0.22, −0.06]، اور دونوں مل کر −0.42 – کل اثر c = −0.75 کے نصف سے زیادہ؛ براہِ راست اثر c' = −0.32 اب بھی معنی خیز ہے – جزوی ثالثی۔

ماڈل 7 اور 14۔ مساواتوں کا جدول، W کی تین قدروں پر مشروط بالواسطہ اثرات، اور معتدل شدہ ثالثی کا اشاریہ۔ مثال میں (سیڈ 42): ماڈل 7 میں (پریشان کن سوچ بطور ثالث متغیر) سہارا دباؤ اور پریشان کن سوچ کے درمیان تعلق کو کمزور کرتا ہے، اور اشاریہ 0.073 [0.028, 0.122] میں صفر شامل نہیں – بالواسطہ اثر −0.38 سے کمزور ہو کر −0.20 ہو جاتا ہے۔ ماڈل 14 میں (نیند بطور ثالث متغیر) اشاریہ 0.051 [−0.005, 0.119] میں صفر شامل ہے – معتدل شدہ ثالثی کا کوئی ثبوت نہیں، اگرچہ زیادہ سہارے پر مشروط بالواسطہ اثر معنی خیز نہیں اور باقی ہیں۔

مفروضات اور انتباہات

علیت۔ معنی خیز تعامل علّی مفروضے کو "جائز نہیں ٹھہراتا"، اور "معتدل کار متغیر محض دوسرے نام سے ایک پیش گو متغیر ہے" – ایک ہی ماڈل میں X اور W کے کردار بدلے جا سکتے ہیں (Field, 2024, Box 11.1)۔ ثالثی صراحتاً ایک علّی دعویٰ ہے: X، M سے پہلے ہے، M، Y سے پہلے ہے، اور کوئی ایسا مشترکہ عامل نہیں جس کی پیمائش نہ ہوئی ہو۔ علّی استنباط کی شرائط – تعلق، وقت میں تقدم اور متبادل وضاحتوں کا رد (Cohen et al., 2003, pp. 454-455)؛ جن وجوہات کی پیمائش نہیں ہوئی ان کا پیمائش شدہ وجوہات سے غیر ہم بستہ ہونا لازمی ہے (ص 460)۔ ڈیٹا صرف ماڈل کے ساتھ "مطابقت" دکھا سکتا ہے، اسے ثابت نہیں کر سکتا (ص 79)، اور اکثر متبادل ماڈل ہوتے ہیں جو ڈیٹا سے اتنے ہی مطابقت رکھتے ہیں (ص 475)۔ عرضی (cross-sectional) ڈیٹا میں – جیسے مثال میں – وقت کی ترتیب کے بارے میں مفروضہ ایک مفروضہ ہے، نتیجہ نہیں (ص 477)۔

پیمائش۔ ثالث متغیر میں پیمائش کی خطا اثرات کو متعصب کرتی ہے (Cohen et al., 2003, p. 475)؛ اور حاصلِ ضرب کی اعتباریت ہر متغیر کی اعتباریت سے کم ہوتی ہے – تقریباً اعتباریتوں کا حاصلِ ضرب، مثلاً .8 × .8 = .64 (ص 297) – اس لیے تعامل کو پکڑنے کی شماریاتی قوت کم ہوتی ہے۔ درمیانے حجم کے تعامل کے لیے کامل پیمائش میں 55 جواب دہندگان درکار ہیں، اور .88 کی اعتباریت میں 100-150 اور اس سے زیادہ (ص 297)۔

لکیری ماڈل۔ ہر مساوات ایک عام لکیری ریگریشن ہے، اپنے تمام مفروضات (assumptions) کے ساتھ – لکیریت، آزاد مشاہدات، شدید آؤٹ لائرز کے بغیر باقیات (residuals)۔ مضبوط معیاری خطائیں صرف تغیرات کی یکسانیت کا مسئلہ حل کرتی ہیں۔ دو قدری (binary) Y یا M کے لیے لاجسٹک ریگریشن درکار ہے (PROCESS یہ کرتا ہے)، اور صفحہ اس کا حساب نہیں کرتا – وہ انتباہ دیتا ہے۔ دو سے زیادہ گروہوں والے زمرہ جاتی (categorical) معتدل کار متغیر کے لیے ڈمی کوڈنگ درکار ہے (Cohen et al., 2003, Section 9.3)، اور صفحہ اسے مسلسل سمجھتا ہے۔

یہ صفحہ کیا حساب نہیں کرتا۔ PROCESS کے دوسرے ماڈل (سلسلہ وار ثالثی، دوہری تعدیل، براہِ راست اثر کی تعدیل)، سہ طرفہ تعاملات (Cohen et al., 2003, Section 7.8)، مربعی رقم کے ساتھ تعامل (سیکشن 7.9)، دو سے زیادہ گروہوں والا زمرہ جاتی (categorical) معتدل کار یا پیش گو متغیر، اور BCa قسم کے bootstrap وقفے۔ زیادہ پیچیدہ پاتھ ماڈل میں ثالثی کے لیے (ML تخمینے کے ساتھ، مطابقت کے اشاریوں (fit indices) سمیت) – صفحہ "پاتھ تجزیہ اور ثالثی"؛ مخفی عوامل کے درمیان ثالثی کے لیے – "مخفی عوامل کے درمیان ثالثی"؛ عام ریگریشن کے لیے – "لکیری ریگریشن"۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

آسان راستہ – PROCESS، Andrew Hayes کا ایک مفت میکرو جو SPSS میں مینو Analyze › Regression › PROCESS شامل کرتا ہے؛ تنصیب Field (2024، سیکشن 4.13.1) میں بیان کی گئی ہے، اور کمانڈز کی مکمل رہنمائی – Hayes (2022، ص 579-650) کے ضمیمہ A میں۔ Y، X، W یا M اور ماڈل نمبر منتخب کیا جاتا ہے؛ اختیارات میں – HC4، "صرف حاصلِ ضرب بنانے والے مسلسل متغیرات" کی مرکزیت، Johnson-Neyman، اور W کی قدریں (سیکشن 11.3.6، 11.4.4)۔ دو پھندے (SPSS Tip 11.1): PROCESS کو زیادہ سے زیادہ 8 حروف کے نام درکار ہیں، اور ملتے جلتے لمبے نام کٹ کر ایک ہی نام بن جاتے ہیں؛ اور اسٹرنگ متغیرات اسے "الجھا دیتے ہیں"۔ صفحے کا سنٹیکس حاصلِ ضرب COMPUTE سے بناتا ہے اور ہر مساوات کے لیے REGRESSION چلاتا ہے – یہ PSPP، مفت سافٹ ویئر، میں بھی چلتا ہے اور صفحے کے عددی سر دیتا ہے (عام خطاؤں میں)؛ PROCESS کی کمانڈ تبصرے میں دی گئی ہے، ضمیمہ A کے اختیارات کے ساتھ (model, center, hc, jn, boot, seed; Hayes, 2022, pp. 581-582)؛ ہم نے اسے نہیں چلایا – ہمارے پاس SPSS نہیں ہے۔ مینو کے راستے سافٹ ویئر کے بارے میں عمومی معلومات ہیں۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

کسی خاص پیکیج کی ضرورت نہیں: ہر مساوات کے لیے lm، HC3 اور HC4 خطاؤں کے لیے sandwich پیکیج سے vcovHC، اور bootstrap کے لیے ایک سادہ لوپ۔ سادہ ڈھلوانیں اور Johnson-Neyman – اوپر کے فارمولوں سے، عددی سروں کے تغیر کے میٹرکس کے ساتھ۔ صفحہ جو اسکرپٹ ڈاؤن لوڈ کرتا ہے وہ یہ سب آپ کے ڈیٹا اور آپ کے منتخب کردہ ماڈل کے لیے کرتا ہے، اسی سیڈ اور اسی جنریٹر کے ساتھ – یعنی بالکل وہی وقفہ ہائے اعتماد۔ نیچے والا اسکرپٹ انگریزی مثال کی فائل (R 4.3.3) پر جوں کا توں چلایا گیا، اور تبصروں میں دی گئی قدریں صفحے کے مطابق ہیں۔ R میں اردو کے لیے سائٹ کا اصول: UTF-8 فائل، ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہو، اور متغیرات کے نام انگریزی میں۔

# تعدیل اور ثالثی – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)     # ایکسل پڑھنا
library(sandwich)   # مضبوط معیاری خطائیں (install.packages("sandwich"))

# لوڈنگ: انگریزی مثال کی فائل میں "Data" شیٹ
d0 <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_mod_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))

# ===== ماڈل 1: کیا سہارا (W) دباؤ (X) اور فلاح (Y) کے درمیان تعلق کی تعدیل کرتا ہے؟ =====
# فہرست وار حذف صرف ماڈل کے متغیرات میں، جیسے صفحے پر
d <- d0[complete.cases(d0[, c("stress", "support", "wellbeing")]), ]; nrow(d)
# نتیجہ: 238
# مرکزیت اور حاصلِ ضرب
d$x <- d$stress - mean(d$stress); d$w <- d$support - mean(d$support); d$xw <- d$x * d$w
f <- lm(wellbeing ~ x + w + xw, data = d)
V <- vcovHC(f, type = "HC4")                       # خطائیں HC4، جیسے PROCESS میں hc=4 کے ساتھ
round(cbind(b = coef(f), SE = sqrt(diag(V)), t = coef(f) / sqrt(diag(V))), 3)
# نتیجہ: دباؤ b = -0.794 (جب سہارا اوسط پر ہو)، تعامل b = 0.280, SE = 0.081, t = 3.44
r <- lm(wellbeing ~ x + w, data = d); anova(r, f)   # تعامل کا اضافہ (عام خطائیں)
summary(f)$r.squared - summary(r)$r.squared
# نتیجہ: F(1, 234) = 15.29 اور ΔR² = .046

# سادہ ڈھلوانیں W کے 16، 50، 84 فیصدیوں پر
wv <- quantile(d$support, c(.16, .50, .84), type = 6) - mean(d$support)
th <- coef(f)["x"] + coef(f)["xw"] * wv
se <- sqrt(V["x", "x"] + 2 * wv * V["x", "xw"] + wv^2 * V["xw", "xw"])
round(cbind(W = wv + mean(d$support), effect = th, se = se, t = th / se), 3)
# نتیجہ: W = 3.214, 4.415, 5.675 پر دباؤ کا اثر -1.139, -0.803, -0.450 – زیادہ سہارا ہو تو دباؤ کم نقصان پہنچاتا ہے

# Johnson-Neyman: W کی وہ قدریں جن پر اثر کا t بالکل فیصلہ کن قدر کے برابر ہے
tc <- qt(.975, df.residual(f)); b <- coef(f)
a2 <- b["xw"]^2 - tc^2 * V["xw", "xw"]; a1 <- 2 * (b["x"] * b["xw"] - tc^2 * V["x", "xw"]); a0 <- b["x"]^2 - tc^2 * V["x", "x"]
sort(Re(polyroot(c(a0, a1, a2)))) + mean(d$support)
# نتیجہ: 6.181 اور 10.981؛ بالائی حد ڈیٹا کی وسعت سے باہر ہے، اس لیے صرف 6.181 شمار ہوتا ہے – اس سے اوپر اثر معنی خیز نہیں

# ===== ماڈل 4: کیا پریشان کن سوچ اور نیند دباؤ اور فلاح کے درمیان تعلق کی ثالثی کرتے ہیں؟ =====
d <- d0[complete.cases(d0[, c("stress", "rumination", "sleep", "wellbeing")]), ]; nrow(d)
# نتیجہ: 238
X <- d$stress; Y <- d$wellbeing; M <- as.matrix(d[, c("rumination", "sleep")]); n <- nrow(d)
fitb <- function(Xm, y) as.numeric(solve(crossprod(Xm), crossprod(Xm, y)))
eff <- function(i) {                               # بالواسطہ اثرات نمونہ i میں
  a <- sapply(1:2, function(j) fitb(cbind(1, X[i]), M[i, j])[2])
  bb <- fitb(cbind(1, X[i], M[i, ]), Y[i])[3:4]
  c(rumination = a[1] * bb[1], sleep = a[2] * bb[2], total = sum(a * bb))
}
round(eff(1:n), 3)
# نتیجہ: -0.287, -0.136, -0.423
set.seed(42)                                       # وہی سیڈ جو صفحے پر ہے – وہی نمونے
bs <- t(sapply(1:5000, function(r) eff(sample.int(n, n, replace = TRUE))))
# فیصدیہ وقفہ جیسے PROCESS میں: 5,000 ترتیب شدہ قدروں میں سے 125ویں اور 4,876ویں قدر (Hayes, 2022، ص 100)
round(apply(bs, 2, function(v) sort(v)[c(125, 4876)]), 3)
# نتیجہ: [-0.432, -0.172], [-0.218, -0.062], [-0.570, -0.293] – دونوں ثالث متغیرات معنی خیز ہیں

نتائج کی رپورٹنگ

Hayes (2022، سیکشن 14.2) سفارش کرتے ہیں: شماریات کو دعووں کے لیے "رموزِ اوقاف" کے طور پر استعمال کریں نہ کہ اصل چیز کے طور پر (ص 539)؛ براہِ راست اور بالواسطہ دونوں اثرات رپورٹ کریں، ہر ایک ٹیسٹ کے ساتھ (ص 543)؛ "X کا بالواسطہ اثر" کہیں نہ کہ "ثالثی شدہ اثر"؛ نمونوں کی تعداد، وقفے کی قسم اور سیڈ بیان کریں (ص 543، 549)؛ اور تعدیل اور معتدل شدہ ثالثی میں – مشروط اثر کا فنکشن، W کی قدریں، مرکزیت اور کوڈنگ (ص 548-549)۔ حاصلِ ضرب والے ماڈل میں "معیاری شدہ" عددی سر – کبھی نہیں (ص 549)۔ Field تجویز کرتے ہیں کہ تعدیل کو عددی سروں کے جدول میں رپورٹ کیا جائے – وقفۂ اعتماد کے ساتھ b، SE، t اور p – اور PROCESS کا ورژن اور Hayes کا حوالہ دیا جائے (Field, 2024, Section 11.3.8, Table 11.1)؛ اور ثالثی کو – کم از کم bootstrap وقفے کے ساتھ بالواسطہ اثر اور اثر کا حجم، اور بہتر ہے کہ عددی سروں کے ساتھ ایک شکل بھی (سیکشن 11.4.6، شکل 11.12)۔ APA (2020، سیکشن 6.43) "اتنی معلومات کہ قاری تجزیوں کی تصدیق کر سکے" مانگتا ہے: تعدیل میں – کیا متغیرات کو مرکز پر لایا گیا، W کی کن قدروں پر ڈھلوانوں کی جانچ کی گئی، اور معیاری خطاؤں کی قسم؛ ثالثی میں – bootstrap نمونوں کی تعداد، وقفے کی قسم (فیصدیہ) اور سیڈ۔ شکل کے اصول (سیکشن 6.36): p نقطے سے پہلے صفر کے بغیر؛ b، t اور F – صفر کے ساتھ۔ آؤٹ پٹ میں نتائج کا پیراگراف اسی طرح بنایا گیا ہے، اردو اور انگریزی میں۔

عام غلطیاں

مسلسل متغیر کو دو گروہوں میں بانٹنا۔ ایک پیش گو متغیر کو وسطانیے پر بانٹنے سے r² اپنی قدر کا .64 رہ جاتا ہے – "جیسے ایک تہائی سے زیادہ جواب دہندگان کو پھینک دینا" – اور دو پیش گو متغیرات کو بانٹنے سے جعلی اثرات اور تعامل پیدا ہو سکتے ہیں۔ "ہم اس کے خلاف سختی سے سفارش کرتے ہیں" (Cohen et al., 2003, p. 256)۔

خود متغیرات کے بغیر حاصلِ ضرب۔ ماڈل میں X اور W کے بغیر، حاصلِ ضرب کا عددی سر تعامل نہیں ہے (Cohen et al., 2003, p. 284; Field, 2024, Section 11.3.2)۔

مرکزیت کے بغیر b₁ کو "مرکزی اثر" سمجھنا۔ یہ X کا اثر ہے جب W = 0 ہو – شاید ایک ایسی قدر جو موجود ہی نہیں (Cohen et al., 2003, pp. 260-261)۔

سافٹ ویئر سے حاصلِ ضرب کا "معیاری شدہ عددی سر"۔ یہ حاصلِ ضرب کا معیاری اسکور ہے، معیاری اسکوروں کا حاصلِ ضرب نہیں – اسے "نظر انداز کرنا چاہیے" (Cohen et al., 2003, p. 283)۔ درست معیاری شدہ حل – X اور W کو معیاری بنائیں، ضرب دیں، اور چلائیں (ایضاً)۔

ڈیٹا سے باہر تشریح کرنا۔ W کی ایسی قدر پر سادہ ڈھلوان یا Johnson-Neyman حد جو ڈیٹا میں نہیں – یا جس میں بہت کم جواب دہندگان ہیں – ڈیٹا سے آگے کا استنباط ہے (Cohen et al., 2003, p. 282)۔

"معنویت میں کمی" میں ثالثی تلاش کرنا۔ خود بالواسطہ اثر کی جانچ کرنے کی بجائے c کے p کا c' کے p سے موازنہ (Field, 2024, Section 11.4.2)۔

"یہاں معنی خیز اور وہاں غیر معنی خیز" سے معتدل شدہ ثالثی اخذ کرنا۔ معتدل شدہ ثالثی کے اشاریے کی جانچ کی جاتی ہے – ماڈل 14 کی مثال دیکھیں۔

عرضی ڈیٹا میں ثالثی کو علّی نتیجے کے طور پر پیش کرنا۔ تجزیہ دکھاتا ہے کہ ڈیٹا طریقۂ عمل کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے، یہ نہیں کہ وہ موجود ہے (Cohen et al., 2003, p. 79)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Bauer, D. J., & Curran, P. J. (2005). Probing interactions in fixed and multilevel regression: Inferential and graphical techniques. Multivariate Behavioral Research, 40(3), 373-400. https://doi.org/10.1207/s15327906mbr4003_5

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). Sage.

Hayes, A. F. (2022). Introduction to mediation, moderation, and conditional process analysis: A regression-based approach (3rd ed.). Guilford Press.

Preacher, K. J., & Hayes, A. F. (2008). Asymptotic and resampling strategies for assessing and comparing indirect effects in multiple mediator models. Behavior Research Methods, 40(3), 879-891. https://doi.org/10.3758/BRM.40.3.879

Baron اور Kenny (1986) اور MacKinnon (2008) – بحوالہ Field (2024)؛ Sobel (1982)، Hayes (2015) اور Hayes اور Cai (2007) – Hayes (2022) کے ہاں؛ Johnson اور Neyman (1936)، Rogosa (1980) اور Potthoff (1964) – Bauer اور Curran (2005) کے ہاں۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہ ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے۔ Field کا حوالہ سیکشن، مساوات اور جدول کے مطابق دیا گیا ہے (الیکٹرانک کتاب چھپے ہوئے صفحہ نمبر محفوظ نہیں رکھتی)؛ باقی – چھپے ہوئے صفحے کے مطابق۔ پڑھے گئے: Field کا باب 11؛ Cohen et al. کے ابواب 7، 9.3 اور 12؛ Hayes کے ابواب 1-5، 7-9، 11-12 اور 14 اور ضمیمہ A؛ اور دونوں مضامین مکمل طور پر۔ صفحے کے حساب کی توثیق R 4.3.3 (lm، sandwich، اور اسی جنریٹر کے ساتھ bootstrap) سے، Cohen et al. کے جدول 7.4.1 (سادہ ڈھلوانیں، معیاری خطائیں اور وقفہ ہائے اعتماد) سے، اور باب 12 کی تنخواہوں والی مثال سے، جدول 3.5.1 کے خام ڈیٹا سے، کی گئی ہے۔

حوالوں میں ہمیں ملنے والی غلطیاں۔ Field (2024): بالواسطہ اثر کا وقفۂ اعتماد [0.02, 0.27] رپورٹ کیا گیا ہے (سیکشن 11.4.6 اور شکل 11.12)، لیکن آؤٹ پٹ 11.9 میں نچلی حد .0023 ہے – یعنی [0.00, 0.27]؛ اور ثالثی کے اشاریے کی نچلی حد 0.001 کی بجائے 0.007 چھپی ہے (سیکشن 11.4.5)۔ Field وقفوں کو "BCa" کہتے ہیں، لیکن BCa وقفے "PROCESS میں دستیاب نہیں اور کبھی نہیں تھے" (Hayes, 2022, p. 104) – یہ فیصدیہ وقفے ہیں، طے شدہ اختیار، جیسے صفحے پر۔ Cohen et al. (2003): تنخواہ پر جنس کا کل اثر $3,917 اور راستہ f = 1.72 چھپا ہے (باب 12)، لیکن جدول 3.5.1 کے خام ڈیٹا سے $3,902 اور 1.79 حاصل ہوتے ہیں، اور ملازمت کی مدت کے راستے بالواسطہ اثر $2,423 نہیں بلکہ $2,408 ہے؛ اور جدول 7.4.1D میں غیر معنی خیز ڈھلوان t = −.40 کے ساتھ دو ستارے لگے ہیں۔ Bauer اور Curran (2005، ص 380، نوٹ 2): جب تعامل معنی خیز ہو اور کوئی حقیقی جذر نہ ہو تو ڈھلوان W کی ہر قدر پر معنی خیز ہے، نہ کہ "کسی قدر پر نہیں" جیسا کہ وہاں لکھا ہے۔ Hayes (2022): ص 457 پر بالواسطہ اثر −0.218 چھپا ہے اور آؤٹ پٹ میں −.1281؛ ص 281 پر F(1, 207) = 4.257 کے ساتھ p = .016 – درست .040 ہے؛ اور ضمیمے کا سنٹیکس hc=0 کو طے شدہ اختیار کے طور پر نشان زد کرتا ہے (ص 581)، ص 608 کے برخلاف۔ مکمل فہرست – توثیقی رپورٹ میں۔