تجربات کی منصوبہ بندی (design of experiments)

کیلکولیٹر

رہنما

تجربہ کیا ہے، اور اس کی منصوبہ بندی کیوں کی جائے

تجربہ "رنز کا ایک سلسلہ ہے جس میں جان بوجھ کر تبدیلی کی جاتی ہے" کسی عمل میں داخل ہونے والے متغیرات میں، تاکہ دیکھا جائے کہ نتیجے میں کیا بدلتا ہے اور کیوں (Montgomery, 2020, p. 1)۔ ہم بستگی پر مبنی تحقیق کے برعکس، محققہ سطحیں طے کرتی ہے – تدریس کا طریقہ، خوراک، حالت – اور انہیں شرکاء کو تفویض کرتی ہے۔ اسی لیے تجربہ سببی سوال کا جواب دے سکتا ہے، بشرطیکہ تفویض تصادفی ہو: Fisher کی بصیرت یہ تھی کہ تصادفیت اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ "کوئی بے قابو عامل جانبداری پیدا نہیں کرے گا" شماریاتی ٹیسٹ کے نتیجے میں (Maxwell et al., 2018, p. 26)۔

منصوبہ بندی کے بغیر کام کرنے کے دو عام طریقے – "بہترین اندازہ" (پچھلے رن میں جو ہوا اس کے مطابق عامل بدلنا) اور "ایک وقت میں ایک عامل" – رنز ضائع کرتے ہیں اور تعاملات سے چوک جاتے ہیں: جو ایک عامل کی ایک سطح پر کام کرتا ہے ضروری نہیں کہ دوسری پر بھی کرے (Montgomery, 2020, p. 4)۔ سفارش یہ ہے کہ پہلے سے، اور ٹیم کے ساتھ، منصوبہ بندی کی جائے: مسئلہ وضع کیا جائے، تابع متغیر، عوامل، سطحیں اور وسعتیں منتخب کی جائیں، پھر ڈیزائن – اور صرف اس کے بعد چلایا اور تجزیہ کیا جائے (وہیں، ص 13، جدول 1.1)۔ "تجزیے کا طریقہ براہِ راست ڈیزائن پر منحصر ہے" (وہیں، ص 11) – اسی لیے صفحہ دو ایسے حصوں سے بنا ہے جو ایک دوسرے سے بات کرتے ہیں: منصوبہ بندی میں ڈاؤن لوڈ کی گئی رن شیٹ تجزیے میں واپس لوڈ کی جاتی ہے۔

تین اصول: تصادفیت، تکرار، بلاکس

تصادفیت "سنگِ بنیاد" ہے: شرکاء کی حالتوں میں تقسیم اور رنز کی ترتیب دونوں تصادفی طور پر طے کی جاتی ہیں۔ یہ اس مفروضے کا جواز ہے کہ خطائیں آزاد ہیں، اور بیرونی عوامل کو "اوسط کر دیتی ہے" – مثلاً اگر اتفاقاً تمام تھکے ہوئے شرکاء کو ایک ہی حالت ملی ہو (Montgomery, 2020, p. 11)۔ تکرار – ہر مرکب کا ایک اضافی آزاد رن؛ اس سے تجرباتی خطا کا تخمینہ ممکن ہوتا ہے اور اوسطیں زیادہ درست ہوتی ہیں۔ ایک ہی اکائی کی مکرر پیمائشیں تکرار نہیں ہیں (وہیں، ص 12)۔ بلاکس – ملتی جلتی اکائیوں کے گروہ (جماعت، دن، آپریٹر، کھیپ)، جن میں سے ہر ایک کے اندر ٹریٹمنٹس کا موازنہ کیا جاتا ہے، تاکہ ان کے درمیان کے فرق خطا سے نکال دیے جائیں (وہیں، ص 12-13)۔ تینوں "ہر تجربے کا حصہ" ہیں (وہیں، ص 13)، اور بعض اوقات ایک چوتھا اصول شامل کیا جاتا ہے – فیکٹوریل ڈیزائن (وہیں، ص 11)۔

کون سا ڈیزائن موزوں ہے؟

آزاد گروہ (مکمل تصادفی تفویض) – ایک عامل، ہر شریک ایک حالت میں۔ سب سے سادہ؛ تجزیہ – یک طرفہ تغیرات کا تجزیہ۔

تصادفی بلاکس – جب کوئی معلوم خلل انداز عامل (nuisance factor) ہو جسے قابو میں رکھا جا سکے: ہر بلاک میں تمام ٹریٹمنٹس، اور بلاک کے اندر ترتیب تصادفی۔ بلاک "تصادفیت پر ایک پابندی" ہے (Montgomery, 2020, p. 117)۔ مثلاً چار جماعتوں میں سے ہر ایک میں تین اسباق۔

لاطینی مربع – دو خلل انداز عوامل، ہر ایک p سطحوں میں، اور p ٹریٹمنٹس: ہر ٹریٹمنٹ ہر قطار اور ہر کالم میں ایک بار (Montgomery, 2020, p. 133)۔ نفسیات میں – زیادہ تر شرکاء کے اندر (within-subjects) ڈیزائن میں پیش کش کی ترتیب کو متوازن کرنے کے لیے: قطاریں شرکاء، کالم ترتیب میں مقام (Maxwell et al., 2018, pp. 645-648)۔

فیکٹوریل – دو یا زیادہ عوامل، تمام مرکبات۔ تعامل جانچنے کی اجازت دیتا ہے، اور تعامل کے بغیر – ہر شریک دونوں عوامل کے لیے بیک وقت "کام کرتا ہے"، اس طرح دو الگ تجربات کے مقابلے میں کم شرکاء کے ساتھ وہی شماریاتی قوت حاصل ہوتی ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 355-356; Montgomery, 2020, pp. 155-156)۔

‎2^k‎ اور جزوی ڈیزائن – بہت سے عوامل، ہر ایک دو سطحوں میں ("کم" اور "زیادہ")۔ چھانٹی کے لیے: آٹھ عوامل میں سے کون سا اثر ڈالتا ہے۔ جب تمام ‎2^k‎ مرکبات چلانا ممکن نہ ہو تو ان میں سے آدھے یا چوتھائی چلائے جاتے ہیں (جزوی ڈیزائن) – اثرات کے درمیان ایلیاسز (aliases) کی قیمت پر (Montgomery, 2020, pp. 274-278)۔

شرکاء کے اندر عامل (مکرر پیمائشیں) والے ڈیزائن – جوڑی دار نمونوں کا t ٹیسٹ یا مکرر پیمائشوں کے لیے ANOVA؛ تصادفی، نیسٹڈ اور اسپلٹ پلاٹ عوامل – صفحہ "تصادفی عوامل، نیسٹڈ اور اسپلٹ پلاٹ" میں؛ مقداری عوامل اور بہترین نقطہ – صفحہ "ردعمل کی سطح کا طریقہ" میں۔

نمونے کا حجم اور شماریاتی قوت

شماریاتی قوت صفری مفروضے کو رد کرنے کا احتمال ہے جب وہ واقعی غلط ہو۔ جب مفروضہ غلط ہو تو F شماریہ غیر مرکزی F تقسیم رکھتا ہے، غیر مرکزیت کے پیرامیٹر λ کے ساتھ جو اثر کے حجم، تغیر (variance) اور نمونے کے حجم کو یکجا کرتا ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 144-145)۔ صفحہ شماریاتی قوت براہِ راست اسی تقسیم سے حساب کرتا ہے – وہی حساب جو G*Power اور R میں pwr.anova.test کا ہے – اور سب سے چھوٹا n تلاش کرتا ہے جو آپ کی مطلوبہ قوت تک پہنچے۔ "شماریاتی قوت کے تجزیے میں سب سے مشکل حصہ عموماً تصوراتی ہوتا ہے، حسابی نہیں": اثر کا حجم طے کرنا ہوتا ہے (وہیں، ص 145)۔

اسے متعین کرنے کے تین طریقے، صفحے پر اور کتاب میں: (1) کوہن کا f – آبادی کی اوسطوں کا معیاری انحراف تقسیم گروہ کے اندر معیاری انحراف؛ چھوٹا .10، درمیانہ .25، بڑا .40 (Cohen, 1988, as cited in Maxwell et al., 2018, p. 146)۔ (2) متوقع اوسطیں اور معیاری انحراف – جن سے f حساب ہوتا ہے؛ کتاب کی مثال میں، σ = 100 کے ساتھ 400، 450 اور 500، f = .41 اور .80 قوت کے لیے فی گروہ 21 شرکاء دیتے ہیں (وہیں، ص 147-149)۔ (3) دو انتہائی اوسطوں کا فرق، معیاری انحراف کی اکائیوں میں (δ)، جب باقی سب درمیان میں ہوں – کتاب کا جدول 3.10 (ص 148)؛ صفحہ اس کے تمام 96 خانے دوبارہ پیدا کرتا ہے۔

ایک عامل میں شماریاتی قوت صرف f، n اور گروہوں کی تعداد پر منحصر ہے۔ فیکٹوریل ڈیزائن میں ہر اثر کی اپنی قوت ہوتی ہے، اور تعامل کے لیے عموماً زیادہ شرکاء درکار ہوتے ہیں: مرکزی اثر بہت سے شرکاء کی حاشیائی اوسطوں پر مبنی ہوتا ہے، اور تعامل – خانوں کی اوسطوں پر (Maxwell et al., 2018, pp. 354-355)۔ اسی لیے ترتیبات میں وہ اثر منتخب کیا جاتا ہے جس کے لیے قوت حساب کی جاتی ہے۔ بلاکس میں خطا کے درجاتِ آزادی کم ہوتے ہیں – (a − 1)(b − 1) – اور یہ بھی حساب میں شامل ہے۔ ‎2^k‎ تجربے میں اثر کا حجم σ کی اکائیوں میں بلند اور پست سطح کا فرق ہے؛ جیسے Montgomery کی مثال میں – 2σ کے اثر کے لیے ‎2³‎ کی دو تکراریں .937 کی قوت دیتی ہیں (Montgomery, 2020, pp. 209-210)۔

ابتدائی (pilot) تجربے سے حاصل اثر کے حجم کے بارے میں محتاط رہنا چاہیے: یہ اوپر کی طرف جانبدار اور غیر درست ہوتا ہے، اور اسے اگلی تحقیق کی منصوبہ بندی کے لیے استعمال کرنا "غالباً ایک بے تکا اندازہ ہے" (Maxwell et al.، 2015، بحوالہ Maxwell et al.، 2018، ص 149)۔ بہتر ہے کہ کئی حجموں کے لیے حساب کیا جائے، یا یک طرفہ وقفۂ اعتماد کی نچلی حد کے مطابق (وہیں، ص 150-151)۔ Montgomery (2020، ص 94-95) ایک اور طریقہ بھی تجویز کرتے ہیں: n اس طرح منتخب کیا جائے کہ دو اوسطوں کے فرق کا وقفۂ اعتماد مطلوبہ چوڑائی کا ہو۔

عملی تصادفی تفویض

منصوبہ بندی میں صفحہ ایک رن شیٹ نکالتا ہے: ہر رن (یا شریک) کے لیے – تصادفی ترتیب میں نمبر، معیاری ترتیب میں نمبر، بلاک اور حالت، اور نتیجے کے لیے ایک خالی کالم۔ ترتیب R کے تصادفی اعداد کے جنریٹر (sample کے ساتھ Mersenne-Twister) سے طے ہوتی ہے، اس طرح R میں set.seed(سیڈ); sample(N) بالکل وہی ترتیب دیتا ہے؛ صفحہ جو اسکرپٹ ڈاؤن لوڈ کرتا ہے وہ شیٹ کو دوبارہ بناتا ہے۔ رینڈم سیڈ کو ڈیٹا کے ساتھ محفوظ رکھنا بہتر ہے۔

مکمل تصادفیت – تمام رنز ایک تصادفی ترتیب میں۔ بلاکس میں – ہر بلاک کے اندر الگ تصادفی ترتیب۔ لاطینی مربع میں – تصادفی طور پر ایک "معیاری" مربع منتخب کیا جاتا ہے (جس کی پہلی قطار اور پہلا کالم حروفِ تہجی کی ترتیب میں ہوں)، اور پھر قطاروں، کالموں اور ٹریٹمنٹس کے ناموں کو ملا دیا جاتا ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 647-648; Montgomery, 2020, p. 137)۔ ‎6×6‎ تک صفحہ تمام معیاری مربعوں میں سے انتخاب کرتا ہے (1، 4، 56 اور 9,408؛ وہیں، جدول 4.13)؛ ‎7×7‎ سے – دوری (cyclic) مربع سے۔ صرف دوری مربع (A B C D, B C D A...) پیش کش کی ترتیب کے لیے "اچھا ڈیزائن نہیں": B ہمیشہ A کے بعد آتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 646)۔ جب کسی حالت کے بعد والی حالت پر باقی رہ جانے والے اثر کا اندیشہ ہو تو ترتیب کے لیے متوازن مربع (Williams) منتخب کیا جاتا ہے: ہر ٹریٹمنٹ ہر دوسرے کے فوراً بعد بالکل ایک بار آتا ہے؛ طاق p میں دو مربع درکار ہیں (وہیں، ص 648)۔ p سے زیادہ شرکاء والا تجربہ – کئی مربع، ہر ایک الگ قرعہ اندازی سے (وہیں)۔

فیکٹوریل تجربہ اور تعامل

تعامل کا مطلب ہے کہ ایک عامل کا اثر دوسرے کی سطح پر منحصر ہے – چارٹ میں، غیر متوازی لکیریں۔ جب تعامل بڑا ہو تو مرکزی اثرات کی "عملی اہمیت کم ہوتی ہے"، اور معنی خیز تعامل کسی مرکزی اثر کو چھپا سکتا ہے (Montgomery, 2020, p. 155)۔ تب ایک عامل کا اثر دوسرے کی ہر سطح پر جانچا جاتا ہے (سادہ اثرات (simple effects))۔ معنی خیز سہ طرفہ تعامل کی صورت میں "عموماً تشریح نہیں کی جاتی" نہ دو طرفہ تعاملات کی اور نہ مرکزی اثرات کی (Maxwell et al., 2018, p. 422)۔

ہر اثر (مرکزی، دو طرفہ، سہ طرفہ) ایک الگ "خاندان" ہے، اور خاندانوں کے درمیان تصحیح کے بغیر .05 کی سطحِ معنویت پر جانچا جاتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 329)۔ ہر خانے میں کم از کم دو مشاہدات درکار ہیں تاکہ خطا کا تخمینہ ہو؛ خانے میں ایک مشاہدے کے ساتھ تعامل کا کوئی ٹیسٹ نہیں، اور فرض کیا جاتا ہے کہ تعامل نہیں – Tukey نے اسے جانچنے کے لیے ایک درجۂ آزادی کا ٹیسٹ تجویز کیا (Montgomery, 2020, pp. 171-173)۔ صفحہ اسے خانے میں ایک مشاہدے والے دو طرفہ جدول میں، بلاکس سمیت، خود بخود چلاتا ہے۔

غیر مساوی خانے: قسم III یا II کا مربعوں کا مجموعہ

جب تمام خانوں میں شرکاء کی تعداد برابر ہو تو عوامل آرتھوگونل ہوتے ہیں، اور مربعوں کے مجموعے کی تینوں اقسام یکساں ہوتی ہیں۔ جب خانے برابر نہ ہوں – کوئی شریک چھوڑ گیا، کوئی اسکور گمشدہ – تو وہ مختلف مفروضات جانچتی ہیں (Maxwell et al., 2018, p. 370): قسم I دوسرے عامل کو نظر انداز کرتی ہے اور صرف اسی وقت موزوں ہے جب خانوں کا حجم آبادی کی عکاسی کرے؛ قسم II دوسرے عامل کو مدِنظر رکھتی ہے لیکن تعامل کو نہیں، اور اگر آبادی میں تعامل نہ ہو تو زیادہ طاقتور ہے؛ قسم III غیر وزن دار حاشیائی اوسطیں جانچتی ہے، اور تعامل ہونے پر بھی اس کی تشریح آسان ہے۔ "ہماری عمومی سفارش" – قسم III؛ "کچھ محققین ترجیح دیتے ہیں" قسم II کو جب یہ توقع کرنے کی نظریاتی وجہ ہو کہ تعامل نہیں اور اس کا ٹیسٹ معنویت سے بہت دور ہو (وہیں، ص 371)۔ یہ "دونوں" والا معاملہ ہے – اور صفحے پر: طے شدہ قسم III (جیسے SPSS)، قسم II ترتیبات میں۔ جدول میں حاشیائی اوسطیں – غیر وزن دار (جیسے R میں emmeans)، جو وہی ہیں جنہیں قسم III جانچتی ہے۔ خانوں کو برابر کرنے کے لیے کسی صورت شرکاء حذف نہیں کیے جاتے (وہیں، ص 372)۔

بلاکس اور لاطینی مربع

بلاک بلاکس کے درمیان فرق کو خطا سے نکال دیتا ہے: Montgomery کی مثال میں وہی ڈیٹا، جب بلاکس کے بغیر تجزیہ کیا جائے، خطا کے اوسط مربع کو دگنا کر دیتا ہے (7.33 سے 15.11)، اور ٹیسٹ کمزور ہو جاتا ہے (Montgomery, 2020, pp. 121-122)۔ ماڈل فرض کرتا ہے کہ بلاکس اور ٹریٹمنٹس کے درمیان تعامل نہیں (وہیں، ص 126)۔ صفحے پر، "بلاک" کے طور پر نشان زد عامل ماڈل میں صرف مرکزی اثر کے طور پر داخل ہوتا ہے، اور تجرباتی عوامل – اپنے درمیان تمام تعاملات کے ساتھ (جیسے بلاکس میں فیکٹوریل تجربے میں؛ وہیں، ص 188-190)۔ لاطینی مربع – بلاک کے دو عوامل (قطاریں اور کالم)؛ یونانی-لاطینی مربع – تین (وہیں، ص 140-142)؛ اور فیکٹوریل تجربہ بھی جس میں ہر مرکب مربع میں ایک حرف ہو (وہیں، ص 191-193)۔

بلاکس کا ٹیسٹ۔ Montgomery (2020، ص 119) ANOVA جدول سے بلاکس کا F ٹیسٹ نکال دیتے ہیں: تصادفیت صرف بلاکس کے اندر کی گئی، اس لیے یہ بلاکس کے درمیان فرق کا درست ٹیسٹ نہیں – لیکن تناسب MS_بلاکس/MS_خطا دکھاتا ہے کہ آیا بلاکس نے مدد کی۔ SPSS اور R (اور ان کے ہاں JMP بھی، ص 124) F اور p چھاپتے ہیں۔ "دونوں": صفحہ تناسب اور p دونوں دکھاتا ہے، نوٹ کے ساتھ۔

گمشدہ قدریں۔ جب کوئی مشاہدہ گمشدہ ہو تو بلاکس اور ٹریٹمنٹس آرتھوگونل نہیں رہتے۔ گمشدہ قدر کا تخمینہ لگانے کی بجائے (تخمینی تجزیہ جو معنویت کو بڑھا دیتا ہے)، صفحہ درست تجزیہ کرتا ہے – ریگریشن ماڈل (Montgomery, 2020, pp. 129-132)۔

بلاکس یا ANCOVA؟ جب بلاکس کسی مسلسل متغیر کی تقسیم سے بنائے جائیں (دہائیوں میں عمر)، Maxwell اور ان کے ساتھی خود مسلسل متغیر کے ساتھ تغیرات کا مشترکہ تجزیہ (ANCOVA) ترجیح دیتے ہیں – یہ تمام معلومات اور کم درجاتِ آزادی استعمال کرتا ہے؛ بلاکس کی جگہ تب ہے جب خلل انداز عامل اپنی فطرت میں زمرہ جاتی ہو (Maxwell et al., 2018, pp. 502-507)۔ دونوں: منصوبہ بندی میں – بلاکس کے مطابق تفویض (جو صفحہ بناتا ہے) ہر صورت میں اچھی ہے؛ تجزیے میں – اگر بلاک کسی مسلسل متغیر سے بنایا گیا ہو تو مسلسل متغیر کے ساتھ ریگریشن پر غور کریں۔

پیش کش کی ترتیب کے لیے لاطینی مربع۔ "تجزیہ ڈیزائن کے مطابق ہونا چاہیے" – لاطینی مربع کا ایسے تجزیہ کرنا گویا یہ بغیر ترتیب کا ڈیزائن ہو، ڈیزائن کی دی ہوئی چیز ضائع کر دیتا ہے (Maxwell et al., 2018, p. 648)۔ صفحہ شریک اور مقام کو بلاک کے عوامل کے طور پر تجزیہ کرتا ہے – Montgomery کا جمعی (additive) ماڈل (2020، ص 134)، ایک مربع میں خطا کے (p − 2)(p − 1) درجاتِ آزادی کے ساتھ۔ کئی مربعوں میں – ہر شریک اپنی شناخت (ID) کے ساتھ (وہیں، ص 137-139)۔

‏2^k، جزوی ڈیزائن اور ایلیاسز

جس تجربے میں ہر عامل دو سطحوں میں ہو، کسی عامل کا اثر بلند سطح کی اوسط اور پست سطح کی اوسط کا فرق ہے؛ ہر تعامل کا اثر بھی اسی طرح، اس کی علامتوں کے کالم سے (Montgomery, 2020, p. 196)۔ جب تکرار ہو تو ہر اثر F ٹیسٹ (ایک درجۂ آزادی) میں جانچا جاتا ہے۔ تکرار کے بغیر خطا کا کوئی تخمینہ نہیں۔ تب اثرات کی قلت کے اصول (sparsity of effects) پر بھروسہ کیا جاتا ہے: زیادہ تر نظام چند مرکزی اثرات اور کم درجے کے تعاملات کے زیرِ اثر ہوتے ہیں (وہیں، ص 218)۔ دو طریقے، اور صفحہ دونوں کرتا ہے: اثرات کی مطلق قدر کا نیم نارمل پلاٹ (half-normal plot) – نمایاں اثرات لکیر سے دور ہٹ جاتے ہیں (وہیں، ص 224)؛ اور Lenth کا طریقہ: چھوٹے اثرات سے "مصنوعی معیاری خطا" (PSE)، اور اس کے مقابل ایک اثر کے لیے حد (ME) اور تمام اثرات کے لیے مشترکہ حد (SME) (وہیں، ص 226)۔ Montgomery تجویز کرتے ہیں کہ Lenth کو "پلاٹ کے اضافے کے طور پر، اس کی جگہ نہیں" استعمال کیا جائے (وہیں، ص 227)، اور یاد دلاتے ہیں کہ حدیں محتاط ہیں (وہیں، ص 226)۔ اثرات منتخب کرنے کے بعد مختصر ماڈل چلایا جاتا ہے، اور باقی اثرات خطا بن جاتے ہیں (وہیں، ص 223) – ترتیبات میں "مختصر ماڈل"۔

جزوی ڈیزائن، ‎2^k‎ کے مرکبات میں سے، صرف ایک حصہ چلاتا ہے، جو ایک "جنریٹر" کے مطابق منتخب ہوتے ہیں: مثلاً ‎2⁴⁻¹‎ میں، D = ABC – D کا کالم A، B اور C کا حاصل ضرب ہے۔ قیمت: ہر اثر کسی دوسرے اثر کا "ایلیاس" (alias) بن جاتا ہے، اور انہیں الگ نہیں کیا جا سکتا – جس کا تخمینہ لگتا ہے وہ ان کا مجموعہ ہے (Montgomery, 2020, pp. 275-276)۔ ریزولوشن اس کا خلاصہ کرتا ہے: III میں مرکزی اثر دو طرفہ تعامل کا ایلیاس ہے؛ IV میں – مرکزی اثرات دو طرفہ تعاملات سے پاک ہیں، لیکن دو طرفہ تعاملات ایک دوسرے کے ایلیاس ہیں؛ V میں – دو طرفہ تعاملات بھی پاک ہیں (وہیں، ص 278)۔ صفحہ جدول 8.14 (وہیں، ص 299) کے جنریٹرز استعمال کرتا ہے – سب سے بلند ریزولوشن، اور ان میں سے "minimum aberration" (وہیں، ص 297-298) – اور تعریفی رشتہ (defining relation) اور ایلیاسز کی تمام زنجیریں دکھاتا ہے۔

‎2^k‎ میں بلاکس۔ جب تمام رنز ایک بلاک میں نہ سما سکیں تو بلند درجے کے تعاملات کو بلاکس کے ساتھ ملا دیا جاتا ہے (confounding): دو بلاکس میں ‎2⁴‎ میں – ABCD (Montgomery, 2020, pp. 259-265)۔ صفحہ بلاکس جدول 7.9 (وہیں، ص 270) کے مطابق بناتا ہے، اور تجزیے میں نشان زد کرتا ہے کہ کون سا اثر بلاکس کے ساتھ ملا ہوا ہے اور اس کا تخمینہ نہیں لگتا۔

اثر کے حجم

کثیر عاملی ڈیزائن میں یہ طے کرنا ہوتا ہے کہ بالکل کس چیز کو کس پر تقسیم کیا جائے (Maxwell et al., 2018, pp. 329-335)۔ جزوی ایٹا مربع – SS_اثر/(SS_اثر + SS_خطا) – تب موزوں ہے جب دوسرے عوامل سوال کے لیے "بیرونی" ہوں (اس عامل کی اکیلے بھی تحقیق کی جا سکتی تھی)؛ یہی SPSS چھاپتا ہے۔ لیکن یہ نمونے کی وضاحت ہے اور اوپر کی طرف جانبدار ہے۔ جزوی اومیگا مربع – (SS − df·MS_خطا)/(SS + (N − df)·MS_خطا) – آبادی کا تخمینہ لگاتا ہے، اور صرف اس وقت مثبت ہوتا ہے جب F، 1 سے بڑا ہو (وہیں، ص 334، مساوات 44)؛ جب منفی ہو تو 0 دکھایا جاتا ہے (وہیں، ص 421)۔ کتاب کے جدول 7.8 میں (ص 335) – ایک ہی اثر کے لیے .22 بمقابلہ .17۔ صفحہ دونوں دکھاتا ہے۔

آؤٹ پٹ کیسے پڑھیں؟

منصوبہ بندی میں: ڈیزائن کا جدول (رنز کی تعداد، خطا کے درجاتِ آزادی)، شماریاتی قوت کا جدول (ہر n کے لیے – ہر اثر کی قوت)، قوت کا چارٹ، اور رن شیٹ۔ لاطینی مربع میں – خود مربع؛ ‎2^k‎ میں – میٹرکس، تعریفی رشتہ، ریزولوشن اور ایلیاسز۔ رن شیٹ ایکسل میں ڈاؤن لوڈ کی جاتی ہے، نتیجے (response) کا کالم بھرا جاتا ہے، اور اسے "تجزیہ" میں لوڈ کیا جاتا ہے۔

تجزیے میں: ہر خانے میں اوسطوں کا جدول؛ ANOVA جدول – ہر اثر کے لیے SS، درجاتِ آزادی، F، p اور اثر کے دو حجم؛ وقفۂ اعتماد کے ساتھ حاشیائی اوسطیں؛ تعامل کا چارٹ۔ دو سطحی تجربے میں – اثرات کا جدول اور نیم نارمل پلاٹ بھی۔ "نتیجے کی تشریح" اس طرف اشارہ کرتی ہے جو آپ کے معاملے میں جانچنا اہم ہے – معنی خیز تعامل، غیر مساوی خانے، بلاکس میں جمعیت (additivity)۔

مفروضات

تغیرات کے تجزیے کے مفروضات (assumptions): آزاد خطائیں (جن کا جواز تصادفیت ہے)، نارمل تقسیم کے ساتھ، اور تمام خانوں میں برابر تغیر (Maxwell et al., 2018, pp. 133-141; Montgomery, 2020, pp. 68-76)۔ F ٹیسٹ نارملٹی سے انحراف اور غیر مساوی تغیرات کے مقابلے میں مضبوط ہے – جب تک خانے حجم میں برابر ہوں؛ غیر مساوی خانوں میں مختلف تغیرات "اہم مسائل پیدا کرتے ہیں" (Maxwell et al., 2018, p. 379)۔ جب ہر خانے میں کم از کم دو مشاہدات ہوں تو صفحہ تغیرات کی برابری کے لیے لیوین ٹیسٹ (اوسط کے گرد، جیسے SPSS) چلاتا ہے۔ بلاکس والے ڈیزائن میں جمعیت (additivity) بھی فرض کی جاتی ہے – کہ بلاکس اور ٹریٹمنٹس کے درمیان تعامل نہیں (Montgomery, 2020, p. 126)۔

اور SPSS میں یہ کیسے کریں؟

تجزیہ: Analyze → General Linear Model → Univariate (کمانڈ UNIANOVA)۔ قسم III طے شدہ ہے؛ بلاکس والا ماڈل – Model → Custom، بلاک صرف مرکزی اثر کے طور پر۔ صفحہ موزوں /DESIGN، حاشیائی اوسطوں (/EMMEANS)، جزوی ایٹا مربع اور لیوین ٹیسٹ کے ساتھ سنٹیکس ڈاؤن لوڈ کرتا ہے۔ SPSS میں جزوی فیکٹوریل ڈیزائنز کا جنریٹر اور Lenth نہیں – وہ صفحے پر اور R اسکرپٹ میں ہیں۔ سنٹیکس PSPP (GLM) میں جانچا گیا۔

اور R میں یہ کیسے کریں؟

R میں قسم III کے لیے صفر مجموعے والے تقابلات (contrasts) لازمی ہیں – ورنہ car::Anova(type = 3) غلط اعداد دیتا ہے۔ نیچے کا اسکرپٹ مثال کی فائل پر بعینہٖ چلایا گیا (قدریں تبصروں میں)۔ منصوبہ بندی کے لیے – set.seed اور sample وہی ترتیب دیتے ہیں جو صفحہ، اور جزوی ڈیزائنز کے لیے – پیکج FrF2۔

# تجربات کی منصوبہ بندی – پروفیسر اسٹیٹ۔ یہ فائل UTF-8 میں محفوظ کی گئی ہے؛ ہر تبصرے کی سطر اردو لفظ سے شروع ہوتی ہے
library(readxl)     # ایکسل پڑھنا
library(car)        # قسم III/II والا Anova
library(emmeans)    # حاشیائی اوسطیں
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # قسم III کے لیے لازمی

# منصوبہ بندی: شماریاتی قوت اور n (تین گروہ، f = .41) اور تصادفی ترتیب – اسی رینڈم سیڈ کے ساتھ وہی ترتیب جو صفحے پر ہے
pwr::pwr.anova.test(k = 3, f = 0.4082, sig.level = .05, power = .80)   # n = 20.3 – یعنی فی گروہ 21
set.seed(2026); sample(24)   # 24 رنز کی ترتیب: 1 6 13 15 12 4 ...

# تجزیہ: "Data" شیٹ؛ دو گمشدہ اسکورز
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_doe_example_eng.xlsx", sheet = "Data")
d <- d[!is.na(d$score), ]   # 48 میں سے 46
d$class <- factor(d$class); d$method <- factor(d$method); d$feedback <- factor(d$feedback)
m <- lm(score ~ class + method * feedback, data = d)   # جماعت – بلاک، صرف مرکزی اثر
Anova(m, type = 3)   # طریقہ: F(2, 37) = 9.92, p < .001؛ فیڈبیک: F(1, 37) = 0.86, p = .360؛ تعامل: F(2, 37) = 1.75, p = .187
emmeans(m, ~ method)   # اوسطیں 66.8، 79.0، 71.1 (SE 1.92-2.00)

نتائج کی رپورٹنگ

رپورٹ کیا جاتا ہے: ڈیزائن (کتنے عوامل، سطحیں، ہر خانے میں شرکاء، بلاکس)، تصادفی تفویض کیسے کی گئی، اور شماریاتی قوت کا وہ تجزیہ جس نے نمونے کا حجم طے کیا – فرض کیا گیا اثر کا حجم، α اور قوت۔ نتائج میں – ہر اثر کے لیے F(df₁, df₂)، p اور اثر کا حجم، اور جب خانے غیر مساوی ہوں تو مربعوں کے مجموعے کی قسم؛ اوسطیں (نہ کہ صرف ٹیسٹ) – جدول یا چارٹ میں۔ معنی خیز تعامل مرکزی اثرات سے پہلے بیان کیا جاتا ہے۔ نتائج سے حساب کی گئی "مشاہدہ شدہ قوت" رپورٹ نہیں کی جاتی – یہ محض p کا ترجمہ ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 151-152)۔

عام غلطیاں

قرعہ اندازی نہ کرنا – حالتوں کو سہولت کے مطابق چلانا (تمام حالت الف صبح کے وقت) اور کسی بیرونی عامل کو نتیجے میں داخل ہونے دینا (Montgomery, 2020, p. 11)۔

بلاکس کا ایسے تجزیہ کرنا گویا وہ تھے ہی نہیں – بلاکس کا تمام تغیر خطا میں چلا جاتا ہے (Montgomery, 2020, pp. 121-122)؛ اور اس کے برعکس – لاطینی مربع کا قطاروں اور کالموں کے بغیر تجزیہ کرنا (Maxwell et al., 2018, p. 648)۔

تعامل کی موجودگی میں مرکزی اثر کی تشریح کرنا – دوسرے عامل کی سطحوں پر اوسط شاید ان میں سے کسی کو بھی بیان نہ کرے (Montgomery, 2020, p. 155)۔

غیر مساوی خانوں میں قسم I – R میں aov اور anova کا طے شدہ انتخاب؛ نتیجہ عوامل کی ترتیب پر منحصر ہوتا ہے (Maxwell et al., 2018, pp. 370-371)۔

"مشاہدہ شدہ قوت" بطور ثبوت کہ اثر نہیں – جب نتیجہ غیر معنی خیز ہو تو یہ ہمیشہ .5 سے کم ہوتی ہے (Maxwell et al., 2018, p. 152)۔

صرف مرکزی اثر کے لیے نمونے کا حجم حساب کرنا جبکہ سوال تعامل کا ہو (Maxwell et al., 2018, p. 355)۔

جزوی ڈیزائن میں ایلیاسز کو بھول جانا – ‎2⁴⁻¹‎ میں "تعامل AB معنی خیز ہے" رپورٹ کرنا، جبکہ دراصل AB + CD کا تخمینہ لگا ہے (Montgomery, 2020, p. 276)۔

تکرار کی جگہ مکرر پیمائشیں – ایک ہی اکائی کی تین پیمائشیں تین تکراریں نہیں ہیں، اور تجرباتی خطا کا تخمینہ نہیں لگاتیں (Montgomery, 2020, p. 12)۔

حوالہ جات

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Cohen (1988)، Maxwell et al. (2015) اور Harris اور Quade (1992) – بحوالہ Maxwell اور ان کے ساتھی (2018)۔ سائٹ کے اصول کے مطابق، حوالہ جات کی فہرست میں صرف وہی ماخذ شامل ہیں جو اصل میں پڑھے گئے؛ حوالے چھپے ہوئے صفحے کے مطابق ہیں۔ "تجربات کی منصوبہ بندی" کے فولڈر کی دونوں کتابوں سے تیار کیا گیا (Montgomery – اسکین کے سیدھے کیے گئے نسخے سے، مکمل متنی تہہ کے ساتھ)۔ سائٹ کے ضوابط: R جیسا رینڈم سیڈ اور جنریٹر؛ طے شدہ قسم III؛ بلاکس کے لیے بھی F اور p، نوٹ کے ساتھ؛ جداول میں اعشاریہ کے بعد دو ہندسے۔ حساب کی تصدیق R 4.3.3 (car، emmeans، effectsize، pwr، FrF2، agricolae) اور PSPP سے، اور دونوں کتابوں میں چھپے ہوئے اعداد سے کی گئی ہے: Maxwell اور ان کے ساتھیوں کے ہاں جدول 3.10 اور شماریاتی قوت کی مثالیں، وہیں جداول 7.7، 7.8، 7.25، 8.14، 8.15 اور 9.12؛ اور Montgomery کے ہاں – مثالیں 4.1-4.3، 5.1-5.3، 5.6، 6.1، 6.2، 7.1، 7.2، 8.1، جداول 4.13، 7.9، 8.13 اور 8.14، اور Lenth کا طریقہ (ص 226)۔