تحليل التباين المصاحب (ANCOVA)

حاسبة

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

اختيار المتغيرات

دليل

متى يُستخدم؟

عند مقارنة متوسطات المجموعات (كما في تحليل التباين الأحادي)، مع وجود متغير متصل إضافي مرتبط بالمتغير التابع – متغير مصاحب (covariate؛ كان يُسمّى سابقًا بالإنجليزية concomitant variable، أي "متغير يأتي مع" لبّ البحث – Maxwell et al.، 2018، ص 452؛ ويُسمّى أيضًا "متغير ضبط"). الحالة الشائعة: تجربة بقياس قبلي وبعدي – المقارنة تكون في الدرجة "البعدية"، والدرجة "القبلية" هي المتغير المصاحب (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.5.1). وANCOVA نموذج خطي يحتوي على عامل تصنيفي وعلى متنبِّئ متصل معًا (Field, 2024, Section 13.3). وحين توجد عدة قياسات للمشاركين أنفسهم ويكون السؤال هو التغيّر نفسه – ANOVA للقياسات المتكررة.

المنطق: خطوط متوازية

يُطابق النموذج لكل مجموعة خط انحدار للمتغير التابع على المتغير المصاحب – بالميل نفسه لجميع المجموعات، أي الميل المشترك داخل المجموعات (b_W) – ويختبر ما إذا كانت هذه الخطوط المتوازية تقع على ارتفاعات مختلفة (Maxwell et al., 2018, pp. 463-466). الخطأ هو انحراف كل مشارك عن خط مجموعته، ولذلك حين يتنبأ المتغير المصاحب جيدًا يكون الخطأ أصغر بكثير منه في تحليل التباين العادي. في المثال الصغير لـ Maxwell وزملائه ينخفض مجموع مربعات الخطأ من 28 إلى 12 (المرجع نفسه، ص 467-468). ويُرى ذلك مباشرة في شكل الانتشار الذي ترسمه الصفحة.

المتوسطات المعدَّلة

المتوسط المعدَّل لمجموعة هو ارتفاع خطها عند المتوسط العام للمتغير المصاحب: Ȳ′_j = Ȳ_j − b_W(X̄_j − X̄) (Maxwell et al., 2018, Equation 9.27, p. 469). المجموعة التي بدأت مرتفعة في المتغير المصاحب "تنزل" على امتداد الخط، والمجموعة التي بدأت منخفضة "تصعد" – التعديل هو "انزلاق المتوسط على امتداد خط الانحدار" (المرجع نفسه، ص 471). يختبر اختبار F للعامل الفروق بين المتوسطات المعدَّلة، ولذلك تُفسَّر هي لا المتوسطات الخام (Field, 2024, Section 13.7.2). في مثال Maxwell وزملائه: متوسطات الاكتئاب بعد العلاج 7.3 و12.2 و14.0، والمعدَّلة 7.54 و11.98 و13.98 (2018، ص 483-484) – وتعطي الصفحة الأرقام نفسها.

مع التعيين العشوائي وبدونه

حين تكون المجموعات قد عُيّنت عشوائيًا، فإنها متساوية في المتوسط في المتغير المصاحب، والإسهام الرئيسي لـ ANCOVA هو تقليل الخطأ – اختبار أقوى وفترات ثقة أضيق، إذ تقدّر المتوسطات المعدَّلة والخام الفرق نفسه (Maxwell et al., 2018, pp. 454-455, 471). وحتى إن تبيّن أن المجموعات تختلف قليلًا في المتغير المصاحب بالصدفة، فإن ANCOVA أفضل (المرجع نفسه، ص 476).

حين تكون المجموعات قائمة مسبقًا – صفوف، مدارس، من اختار المشاركة – قد يغيّر التعديل النتيجة بل ويعكسها. ANCOVA "ليست بديلًا عن التعيين العشوائي" (Maxwell et al., 2018, p. 454): فهي تجيب عن السؤال "هل كانت المجموعات ستختلف لو كانت متساوية في المتغير المصاحب"، ولا سبيل لضمان أنها تصحّح على نحو سليم فروقًا لم تُقَس (ibid., p. 455; Field, 2024, Section 13.5.1). إضافة إلى ذلك، حين يُقاس المتغير المصاحب مع خطأ قياس يكون التعديل ناقصًا (Maxwell et al., 2018, p. 482). تفحص الصفحة ما إذا كان المتغير المصاحب يختلف بين المجموعات ("التوازن"). هذا ليس شرطًا إحصائيًا، لكنه يحدد كيفية التفسير (ibid., pp. 475-476; Field, 2024, Section 13.5.1).

اختيار المتغير المصاحب

يجب أن يُقاس المتغير المصاحب قبل المعالجة – فالمتغير الذي كان يمكن للمعالجة أن تؤثر فيه "يُخرج" جزءًا من الأثر نفسه (Pallant, 2020, Chapter 22; Maxwell et al., 2018, p. 478). يُختار مسبقًا، وفق دراسات سابقة تُظهر أنه يتنبأ بالمتغير التابع، لا وفق بيانات الدراسة الحالية (المرجع نفسه، ص 494). والقياس "القبلي" للمتغير التابع مرشّح جيد (المرجع نفسه، ص 451). ويجب أن يتمتع بثبات جيد – تقترح Pallant ألفا كرونباخ فوق .7، والأفضل فوق .8 (الفصل 22؛ انظروا ألفا كرونباخ). كم متغيرًا مصاحبًا؟ في دراسة صغيرة لا أكثر من اثنين أو ثلاثة (Maxwell et al., 2018, p. 493)، وليست متغيرات مرتبطة ارتباطًا قويًا بعضها ببعض – عند نحو r = .80 يُستحسن حذف أحدها (Pallant, 2020, Chapter 22).

تجانس الميول

الافتراض المركزي: العلاقة بين المتغير المصاحب والمتغير التابع متطابقة في جميع المجموعات – الخطوط متوازية فعلًا. يُختبر بنموذج يضيف التفاعل عامل × متغير مصاحب: إذا كان دالًّا إحصائيًا، فالميول مختلفة (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.8; Maxwell et al., 2018, p. 520). تُجري الصفحة هذا الفحص دائمًا، وتعرض أيضًا الميل في كل مجموعة. ماذا يُفعل حين يُنتهك؟ تكتب Pallant (2020، الفصل 22) أنه لا يُستحسن عندئذ إجراء ANCOVA؛ ويقترح Field (2024، القسم 13.8) الإبقاء على النموذج مع التفاعل وتفسيره؛ ويوصي Maxwell وزملاؤه (2018، ص 536-537) بنموذج بميول منفصلة – منذ أن يقترب اختبار التجانس من الدلالة، مثلًا p < .2 – وبطريقة Johnson-Neyman، التي تُظهر عند أي قيم للمتغير المصاحب يكون الفرق بين المجموعات دالًّا إحصائيًا (المرجع نفسه، ص 531-535). لا تُجري الصفحة Johnson-Neyman؛ ولدى SPSS ماكرو يُجريه (المرجع نفسه، ص 535-536).

ANCOVA أم درجات التغيّر؟

طريقة شائعة أخرى: حساب "البعدي ناقص القبلي" لكل مشارك ومقارنة الفروق بتحليل التباين. في تجربة ذات تعيين عشوائي تختبر الطريقتان الفرضية نفسها، لكن خطأ ANCOVA أصغر، ولذلك فهي "أفضل دائمًا تقريبًا" (Maxwell et al., 2018, pp. 499-501). ودرجة التغيّر تعادل ANCOVA بميل مثبَّت مسبقًا عند 1 (المرجع نفسه، ص 499). حين لا تكون المجموعات عشوائية، تطرح الطريقتان أسئلة مختلفة وقد تعطيان إجابات مختلفة – "مفارقة Lord" (المرجع نفسه، ص 501-502). وطريقة ثالثة – حساب البواقي من انحدار على المتغير المصاحب وتحليلها – لا تعادل ANCOVA، ويُستحسن تجنّبها (المرجع نفسه، ص 498).

المقارنات الزوجية

حين توجد أكثر من مجموعتين، تُقارَن المتوسطات المعدَّلة في أزواج. الخطأ المعياري لكل فرق يتضمن الفرق في متوسطات المتغير المصاحب (Maxwell et al., 2018, Equation 9.37, p. 490). تصحّح الصفحة وفق بونفيروني – توصية Field (2024، القسم 13.6.6)، وهي أيضًا طريقة SPSS، الذي تكون فيه اختبارات Post Hoc المعتادة معطَّلة عند وجود متغير مصاحب (المرجع نفسه، القسم 13.6.5). يقترح Maxwell وزملاؤه لجميع المقارنات الزوجية Tukey حين تكون قيم المتغير المصاحب محددة مسبقًا، وBryant-Paulson حين تكون مَقيسة (2018، ص 490-492)؛ وبما أن المتغير المصاحب يُقاس عادةً مثل المتغير التابع، فهناك من يوصي باعتباره متغيرًا عشوائيًا (المرجع نفسه، ص 475).

أحجام الأثر

يطبع SPSS مربع إيتا الجزئي – التباين الذي يفسّره العامل من بين ما لم تفسّره المتغيرات الأخرى (Field, 2024, Section 13.4). يقترح Maxwell وزملاؤه (2018، ص 486-489) النظر إلى المتغير المصاحب بوصفه "جزءًا جوهريًا" من التصميم – فهو موجود في المجتمع – ولذلك عدم إخراجه من التباين الكلي: مربع أوميغا وفق المعادلة 9.31 (في مثالهم .12؛ وللمقارنة، R² للعامل يساوي .18 من التباين الكلي و.22 عند استبعاد المتغير المصاحب – ص 487-488)، وd للمقارنة الزوجية – الفرق بين المتوسطات المعدَّلة مقسومًا على الانحراف المعياري من تحليل التباين بدون المتغير المصاحب (المعادلة 9.32). تعرض الصفحة الثلاثة (مربع أوميغا – حين يوجد عامل واحد).

كيف تُقرأ المخرجات؟

بالترتيب: المتوسطات الخام (للمتغير المصاحب أيضًا)؛ الفحوص الأولية – التوازن وتجانس الميول وليفين؛ جدول ANCOVA – صف لكل متغير مصاحب ولكل عامل؛ الميل؛ المتوسطات المعدَّلة مقابل الخام؛ المقارنات الزوجية؛ جدول يقارن بتحليل التباين بدون المتغير المصاحب – كم انخفض الخطأ وهل تغيّر الاستنتاج؛ والرسوم البيانية. ويشير قسم "قراءة النتيجة" إلى ما هو مهم في حالتكم.

الافتراضات

افتراضات تحليل التباين – استقلال الأخطاء والاعتدالية وتساوي التباين – واثنان آخران: علاقة خطية بين المتغير المصاحب والمتغير التابع في كل مجموعة، وتجانس الميول (Maxwell et al., 2018, pp. 473-475; Pallant, 2020, Chapter 22). تُفحص الخطية في شكل الانتشار؛ ويمكن إدخال العلاقة المنحنية بحدّ تربيعي (Maxwell et al., 2018, p. 493). تُجري الصفحة اختبار ليفين على القيمة المطلقة للبواقي من النموذج. وحين لا تتحقق الافتراضات – يصف Field (2024، القسمان 13.5.3، 13.9) طريقة البوتستراب وANCOVA الحصينة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

Analyze → General Linear Model → Univariate: المتغير التابع، والعامل في Fixed Factor(s) والمتغير المصاحب في Covariate(s) (Field, 2024, Section 13.6; Pallant, 2020, Chapter 22). يُفحص تجانس الميول في تشغيل منفصل باستخدام Model → Build terms يتضمن التفاعل (Field, 2024, Section 13.8). في EM Means – مقارنات ببونفيروني؛ وفي Options – حجم الأثر واختبارات التجانس وParameter estimates. تُنزّل الصفحة ملف Syntax يتضمن التشغيلين (UNIANOVA ... WITH). لا يُجري PSPP نموذج GLM مع متغيرات مصاحبة، ولذلك لم يُختبر ملف Syntax فيه.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

نموذج خطي (lm) مع تباينات مجموعها صفر، وcar::Anova(type = 3) للجدول، وanova(m, ms) لتجانس الميول، وemmeans للمتوسطات المعدَّلة وللمقارنات (المتغير المصاحب عند متوسطه – الإعداد الافتراضي). شُغّل النص البرمجي أدناه كما هو على مثال Maxwell وزملائه (2018، الجدول 9.7، ص 483)، والقيم في التعليقات.

# تحليل ANCOVA في R – مثال Maxwell وزملائه (2018، الجدول 9.7): الاكتئاب قبل وبعد، ثلاث مجموعات من 10
library(car)       # دالة Anova من النوع III
library(emmeans)   # المتوسطات المعدَّلة
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # إلزامي للنوع III

d <- data.frame(group = factor(rep(c("SSRI", "Placebo", "Wait"), each = 10), levels = c("SSRI", "Placebo", "Wait")),
                pre  = c(18, 16, 16, 15, 14, 20, 14, 21, 25, 11, 18, 16, 15, 14, 20, 25, 11, 25, 11, 22, 15, 19, 10, 29, 24, 15, 9, 18, 22, 13),
                post = c(12, 0, 10, 9, 0, 11, 2, 4, 15, 10, 11, 4, 19, 15, 3, 14, 10, 16, 10, 20, 17, 25, 10, 22, 23, 10, 2, 10, 14, 7))
m  <- lm(post ~ pre + group, data = d)
ms <- lm(post ~ pre + group + group:pre, data = d)
anova(m, ms)                          # تجانس الميول: F(2, 24) = 1.06, p = .36
Anova(m, type = 3)                    # المجموعة: F(2, 26) = 3.73, p = .038؛ القبلي: F(1, 26) = 10.77
coef(m)["pre"]                        # الميل المشترك b = 0.645
emmeans(m, pairwise ~ group, adjust = "bonferroni")
# المتوسطات المعدَّلة: 7.54، 11.98، 13.98؛ SSRI مقابل الانتظار: -6.44, p = .039

عرض النتائج

يُبلَّغ عن المتغير المصاحب وعن الفحوص الأولية، ولا سيما تجانس الميول (Pallant, 2020, Chapter 22)، ثم عن قيمة F للمتغير المصاحب وللعامل، مع p وحجم الأثر (Field, 2024, Section 13.11; Pallant, ibid.). وفي الجدول – المتوسطات الخام مع الانحراف المعياري والمعدَّلة مع الخطأ المعياري، وn في كل مجموعة (المرجع نفسه). تكتب الصفحة فقرة كهذه بالعربية والإنجليزية.

أخطاء شائعة

"ضبط" الفروق بين مجموعات قائمة واستنتاج السببية – ANCOVA لا تحلّ محل التعيين العشوائي (Maxwell et al., 2018, p. 454; Field, 2024, Section 13.5.1).

متغير مصاحب قيس بعد المعالجة – قد يُخرج جزءًا من الأثر (Maxwell et al., 2018, p. 478).

تفسير المتوسطات الخام بدلًا من المعدَّلة (Field, 2024, Section 13.7.2).

تخطّي فحص الميول – حين تكون مختلفة، يتوقف الفرق بين المجموعات على قيمة المتغير المصاحب (Field, 2024, Section 13.8).

اختيار المتغيرات المصاحبة وفق البيانات – مثلًا، المتغير الأقوى ارتباطًا بالمتغير التابع في العينة الحالية (Maxwell et al., 2018, p. 494).

تحليل البواقي بدلًا من ANCOVA (Maxwell et al., 2018, p. 498).

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المراجع التي قُرئت في أصلها. Field (2024) وPallant (2020) في نسخة رقمية متدفقة – الإحالة حسب القسم والفصل؛ Maxwell وزملاؤه (2018) – حسب الصفحة المطبوعة. اصطلاحات الموقع: حذف الحالة كاملة؛ النوع III؛ متوسطات معدَّلة عند المتوسط العام للمتغيرات المصاحبة، غير موزونة عبر عامل ثانٍ؛ ليفين على القيمة المطلقة للبواقي من النموذج؛ خانتان بعد الفاصلة العشرية في الجداول. "المتغير المصاحب" – ترجمة covariate في الموقع (على غرار concomitant variable)، لتجنّب الخلط مع المتغير الوسيط (mediator). الحساب متحقَّق منه مقابل R 4.3.3 (car، emmeans) ومقابل الأرقام المطبوعة لدى Maxwell وزملائه (2018): الجداول 9.1 و9.7-9.10 و9.12، التمرين 4.