منهجية سطح الاستجابة

حاسبة

دليل

ما سطح الاستجابة، ومتى يُستخدم

منهجية سطح الاستجابة (Response Surface Methodology, RSM) هي "مجموعة من التقنيات الرياضية والإحصائية" لبناء نموذج لاستجابة تعتمد على عدة متغيرات، حيث "الهدف هو تحسين الاستجابة إلى أقصى حد" (Montgomery, 2020, p. 408). الاستجابة المتوسطة دالة للعوامل، η = f(x₁, x₂)، ورسمها البياني هو "سطح الاستجابة"؛ ويُعرض في خريطة خطوط الاستجابة المتساوية – "خطوط الاستجابة الثابتة" في مستوى عاملين (ص 408-409).

الفرق عن تحليل التباين العادي: هناك تكون العوامل تصنيفية، ويُسأل عمّا إذا كانت المتوسطات مختلفة. أما هنا فالعوامل كمّية ومتصلة – طول الدرس، عدد التمارين، الجرعة، درجة الحرارة – ويُسأل أين تكون الاستجابة في نطاقها الأفضل، وفي أي اتجاه يحسن التقدّم. الدالة f الحقيقية غير معروفة، ولذلك تُقرَّب بمتعددة حدود: من الرتبة الأولى (المعادلة 11.1) أو من الرتبة الثانية (11.2؛ ص 409). هذا تقريب محلي فقط – "من غير المرجح أن تكون متعددة الحدود تقريبًا معقولًا على كامل الفضاء"، لكنها "في منطقة صغيرة نسبيًا تعمل عادةً جيدًا" (ص 409).

أمثلة Montgomery مأخوذة من الهندسة الكيميائية – زمن التفاعل ودرجة الحرارة مقابل الناتج. والمنطق نفسه يناسب كل بحث تحدّد فيه الباحثة مستويات متغيرات متصلة: طول التدخل وتواتره، الجرعة، عدد الفقرات، زمن التعرّض. ملف المثال في الصفحة – بيانات مختلَقة عن درس تمارين – مبني على هذا النحو.

العمل على مراحل

"RSM إجراء متتابع" (Montgomery, 2020, p. 410). عندما نكون بعيدين عن النقطة المثلى، يكاد السطح يخلو من الانحناء ويكفي نموذج من الرتبة الأولى؛ ونصعد به نحو النقطة المثلى. وقرب النقطة المثلى يظهر الانحناء، فيُطابَق نموذج من الرتبة الثانية لتحديد موقعها – مثل "تسلّق تلّة" (ص 410). الحاسبة مبنية للمرحلتين: نموذج خطي مع مسار الصعود الأشد انحدارًا، ونموذج من الرتبة الثانية مع نقطة ثابتة.

في المرحلة الأولى تكفي تجربة 2^k (أو تصميم جزئي منها) مع بضع نقاط مركزية. تتيح النقاط المركزية ثلاثة أمور: تقدير الخطأ، وفحص التفاعلات، وفحص الانحناء (ص 412). فحص الانحناء بدرجة حرية واحدة: إذا كان السطح مستويًا، فإن متوسط النقاط العاملية ȳ_F يساوي متوسط النقاط المركزية ȳ_C؛ والفرق يقدّر Σβ_jj، وSS = n_Fn_C(ȳ_F − ȳ_C)²/(n_F + n_C) يُختبر مقابل الخطأ الصافي (ص 413). تحسبه الصفحة عندما تكون البيانات 2^k تمامًا مع نقاط مركزية، وتجزّئ بواقي النموذج الخطي إلى التفاعلات، والحدود التربيعية الخالصة، والخطأ الصافي – كما في الجدولين 11.2 و11.5 (ص 413، 415).

مسار الصعود الأشد انحدارًا

"طريقة الصعود الأشد انحدارًا إجراء للتحرك المتتابع في اتجاه أقصى زيادة في الاستجابة"؛ وللتصغير – النزول الأشد انحدارًا (Montgomery, 2020, p. 411). الاتجاه عمودي على خطوط الاستجابة المتساوية للنموذج الخطي، و"الخطوات على امتداد المسار متناسبة مع معاملات الانحدار" (ص 411). الخوارزمية (ص 415): يُختار حجم خطوة Δx_j في عامل واحد – "عادةً العامل الذي نعرف عنه أكثر، أو ذاك ذو المعامل الأكبر بالقيمة المطلقة"؛ وفي كل عامل آخر Δx_i = b_i/(b_j/Δx_j)؛ ثم يُحوَّل إلى الوحدات الطبيعية. في المثال 11.1 تكون الخطوة 5 دقائق في الزمن و2 درجة في الحرارة (ص 416).

"يحدد المجرِّب حجم الخطوة الفعلي، وفق معرفته بالعملية" (ص 411). تُجرى تجارب على امتداد المسار "إلى أن لا تُلاحَظ زيادة أخرى في الاستجابة"، وهناك يُطابَق نموذج خطي جديد؛ والوصول إلى جوار النقطة المثلى "يُستدَل عليه عادةً بعدم مطابقة النموذج من الرتبة الأولى" (ص 411). في المثال 11.1 ارتفعت الاستجابة حتى الخطوة العاشرة ثم انخفضت بعدها (ص 413-414)، وأظهر النموذج الجديد حول الخطوة العاشرة انحناءً دالًّا إحصائيًا – "النموذج من الرتبة الأولى ليس تقريبًا ملائمًا" (ص 414). في الصفحة – يُختار عامل مرجعي وحجم خطوة وعدد خطوات، ويعطي الجدول المسار بالوحدات المرمَّزة والطبيعية، مع تنبؤ فقط ضمن مدى البيانات.

النموذج من الرتبة الثانية: النقطة الثابتة والتحليل القانوني

بصيغة المصفوفات، ŷ = b₀ + x'b + x'Bx (المعادلة 11.5): b – متجه المعاملات الخطية، وB – مصفوفة متماثلة تقع المعاملات التربيعية على قطرها وأنصاف معاملات التفاعل خارجه (Montgomery, 2020, pp. 417-418). النقطة الثابتة – حيث تنعدم جميع المشتقات – هي x_s = −½B⁻¹b، والاستجابة عندها ŷ_s = b₀ + ½x_s'b (المعادلتان 11.7-11.8، ص 418). وهي "قد تكون نقطة قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرجية" (ص 416).

لمعرفة نوعها، يُنتقل إلى الصيغة القانونية: يُنقل الأصل إلى النقطة الثابتة وتُدار المحاور إلى المحاور الرئيسية للسطح، فيصبح ŷ = ŷ_s + λ₁w₁² + … + λ_kw_k² (المعادلة 11.9)، حيث λ هي الجذور الكامنة لـB (ص 418). كلها سالبة – قيمة عظمى؛ كلها موجبة – قيمة صغرى؛ بإشارات مختلطة – نقطة سرجية؛ و"السطح يكون أشد انحدارًا في اتجاه w_i الذي تكون فيه |λ_i| الأكبر" (ص 418). المحاور الجديدة هي w = M'(x − x_s)، حيث M – المتجهات الكامنة المعيارية (المعادلة 11.10، ص 423). في المثال 11.2 لدى Montgomery: x_s = (0.389, 0.306)، أي 87 دقيقة و176.5 درجة، وŷ_s = 80.21، والجذران الكامنان كلاهما سالب (−0.963، −1.414) – قيمة عظمى (ص 420)؛ وتستعيد الصفحة كل هذه الأرقام.

الحافّات (ridges). عندما يكون أحد الجذور الكامنة قريبًا من الصفر، تكون الاستجابة "شبه غير حساسة" للحركة على امتداد محوره (ص 424). إذا كانت النقطة الثابتة داخل منطقة التجربة – فهذه "حافّة ثابتة": خط من النقاط شبه المتساوية، ومرونة في الاختيار بينها وفق الكلفة أو الملاءمة. وإذا كانت بعيدة خارج المنطقة – فهي حافّة صاعدة (أو هابطة): "لا يمكن استنتاج شيء عن السطح الحقيقي أو عن النقطة الثابتة"، لكن يحسن مواصلة الاستكشاف في اتجاه المحور المسطّح (ص 424-425). تعلّم الصفحة الجذر الكامن الذي يقل عن عُشر الأكبر بالقيمة المطلقة – وهي عتبة canonical في حزمة rsm (اصطلاح الموقع) – وتنبّه عندما تكون النقطة خارج مدى البيانات.

عدة استجابات. عندما توجد عدة استجابات، يُطابَق نموذج لكل منها ويُبحث عن تركيبة تفي بها جميعًا – بتراكب خرائط خطوط الاستجابة المتساوية، أو بالتحسين مع قيود، أو بدالة استحسان (desirability) تجمع كل الاستجابات في مؤشر واحد (ص 425-429). تحلّل الصفحة استجابة واحدة في كل تشغيل؛ ولعدة استجابات – يُشغَّل التحليل لكل منها وتُقارَن الخرائط.

أي تصميم؟

للنموذج من الرتبة الأولى – 2^k أو تصميم جزئي لا تكون فيه الآثار الرئيسية مقترنة بعضها ببعض؛ النقاط المركزية لا تغيّر المعاملات الخطية ولا التعامد، وتضيف تقديرًا للخطأ (Montgomery, 2020, p. 430). في صفحة "تصميم التجارب" – 2^k والتصاميم الجزئية.

التصميم المركب المركزي (CCD) – "الفئة الأكثر شيوعًا" للنموذج من الرتبة الثانية (ص 430): 2^k (أو تصميم جزئي بدرجة الوضوح V) مع n_F من التشغيلات، و2k من النقاط المحورية عند ±α على كل محور، وn_C من النقاط المركزية (ص 431). وهو مناسب للبناء المتتابع: يُشغَّل أولًا 2^k مع النقاط المركزية، وإذا ظهر عدم مطابقة – تُضاف النقاط المحورية (ص 431). قراران: α وعدد النقاط المركزية.

• دوراني – α = n_F^1/4 (1.414 عند k = 2، و1.682 عند k = 3): تباين التنبؤ متساوٍ في جميع النقاط الواقعة على البعد نفسه من المركز – "تباين الاستجابة المتنبَّأ بها ثابت على الكرات" (ص 431-432).
• كروي – α = √k: جميع النقاط على كرة واحدة؛ وللمنطقة الكروية هذا هو الاختيار الجيد من حيث تباين التنبؤ، و"الدورانية الدقيقة ليست ضرورية لكي يكون التصميم جيدًا" (ص 432). يوصى بثلاث إلى خمس نقاط مركزية (ص 432).
• متمركز الأوجه – α = 1: ثلاثة مستويات فقط، لمنطقة مكعّبة، عندما يتعذّر الخروج من المدى؛ وهو غير دوراني، و"نقطتان أو ثلاث" نقاط مركزية تكفي (ص 433).
• التكتيل المتعامد – عندما يُشغَّل الجزء العاملي والجزء المحوري في أوقات مختلفة، يكونان كتلتين. يكون التصميم "مكتَّلًا تكتيلًا متعامدًا" عندما لا يؤثر أثر الكتل في المعاملات (ص 437)؛ وفي CCD يحدث ذلك عندما α = [n_F(n_A + n_CA)/(2(n_F + n_CF))]^1/2 (المعادلة 11.18، ص 439). يمكن "التنازل قليلًا عن الدورانية أو عن التكتيل المتعامد من دون فقدان كبير للمعلومات" (ص 439). النقاط المركزية التي شُغِّلت في الكتلة نفسها فقط هي تكرارات (ص 440).

Box-Behnken – تصميم بثلاثة مستويات، "تركيبة من 2^k مع تصاميم كتل غير كاملة": كل زوج عوامل عند ±1 والبقية في المركز، إضافة إلى نقاط مركزية. وهو "كفء جدًا من حيث عدد التشغيلات"، و"دوراني أو شبه دوراني"، وجميع نقاطه على كرة نصف قطرها √2، ولا زوايا فيه – وهذه ميزة عندما تكون التركيبة القصوى لجميع العوامل مكلفة أو مستحيلة (ص 432؛ الجدول 11.8 لـk = 3، ص 433). في الصفحة – k = 3 حتى 5، بالبناء نفسه.

في التخطيط تعرض الصفحة تباين التنبؤ المعياري N·x'(X'X)⁻¹x (المعادلة 11.16، ص 436) في المركز، وفي نقطة عاملية، وفي نقطة محورية – وفي التصميم الدوراني تتساوى الأخيرتان عندما تكونان على البعد نفسه. التصاميم المثلى (D, I)، وتصاميم الخلائط، وتصاميم تجارب الحاسوب (ص 440-472) – ليست في الصفحة.

هل النموذج ملائم؟

عدم المطابقة مقابل الخطأ الصافي. تتجزأ بواقي النموذج إلى قسمين: الخطأ الصافي – التباين بين التشغيلات المكررة في النقطة نفسها، وهو لا يعتمد على النموذج؛ وعدم المطابقة – ما يتبقى. إذا كان عدم المطابقة أكبر من الخطأ الصافي، فالنموذج يغفل شيئًا ما (Montgomery, 2020, Tables 11.2, 11.5 and 11.7). لذلك النقاط المركزية مهمة: من دون تكرارات لا يوجد خطأ صافٍ ولا يوجد هذا الاختبار.

مقارنة النماذج. الجدول 1 في المخرجات يقارن بين النماذج الثلاثة – الخطي، والخطي مع التفاعلات، ومن الرتبة الثانية – مثل "Model Summary Statistics" و"Lack of Fit Tests" لدى Montgomery (الجدول 11.7، ص 421): الانحراف المعياري للبواقي، وR²، وR² المعدَّل، وR² التنبؤي وPRESS، وعدم المطابقة. في المثال 11.2 يفشل الخطي وذو التفاعلات (R² التنبؤي سالب، وعدم مطابقة دالّ إحصائيًا)، والنموذج من الرتبة الثانية ملائم (R² التنبؤي .918، وعدم مطابقة غير دالّ إحصائيًا، p = .290). يستند R² التنبؤي إلى PRESS – مجموع مربعات البواقي عندما يُتنبأ بكل تشغيلة من دونها.

التشخيص. كما في كل انحدار – البواقي، والرافعة، والتأثير (الجدول 11.7، ص 422). في الصفحة – جدول التشخيص المطوي في نهاية المخرجات.

كيف تُقرأ المخرجات؟

في التخطيط: الجدول 1 – التصميم وخصائصه: الأجزاء، وα، وعدد التشغيلات والمعاملات، ودرجات الحرية لعدم المطابقة وللخطأ الصافي، والتكتيل، وتباين التنبؤ. الجدول 2 – ورقة التشغيل بترتيب عشوائي، مع القيم المرمَّزة والطبيعية. الشكل 1 – نقاط التصميم. التنزيل إلى إكسل يتضمن مفتاح ترميز فيه الترميز، والصفحة تقرؤه من جديد في التحليل.

في التحليل: قبل التشغيل – جدول الترميز: لكل عامل مركز ونصف مدى (x = (ξ − المركز)/نصف المدى)، من مفتاح الترميز أو وفق القيم. الجدول 1 – مقارنة النماذج. الجدول 2 – تحليل التباين للنموذج المختار: كل حدّ مع مجموع مربعات جزئي، وبواقٍ تتجزأ إلى عدم مطابقة وخطأ صافٍ. الجدول 3 – المعاملات بالوحدات المرمَّزة، مع فترات الثقة وVIF، وتحته المعادلة بوحدات الأصل. في النموذج من الرتبة الثانية – الجدول 4، النقطة الثابتة، والجدول 5، التحليل القانوني؛ وفي النموذج الخطي – مسار الصعود الأشد انحدارًا. الشكل – خريطة خطوط الاستجابة المتساوية لكل زوج من العوامل، والبقية في المركز أو في النقطة الثابتة. بعده – التنبؤ عند نقطة مع فترة ثقة وفترة تنبؤ، وجدول التشخيص، وفقرة النتائج، وخانة "قراءة النتيجة".

الافتراضات والتحذيرات

التقريب محلي. متعددة الحدود ملائمة للمنطقة التي فُحصت، لا لما يتجاوزها (Montgomery, 2020, p. 409). كل تنبؤ خارج نقاط التصميم استقراء؛ لا تحسب الصفحة تنبؤات على المسار خارج المدى، وتنبّه عندما تكون النقطة الثابتة خارجه. يفترض تحليل النقطة الثابتة أنها "داخل منطقة الاستكشاف" (ص 418).

العشوائية. كما في كل تجربة، ترتيب التشغيل عشوائي – وهي ورقة التشغيل التي تبنيها الصفحة. افتراضات الخطأ هي افتراضات الانحدار العادي: الاستقلال، وتساوي التباين، وتوزيع قريب من الطبيعي – وتُفحص في البواقي.

الترميز. المعاملات والنقطة الثابتة والتحليل القانوني – بالوحدات المرمَّزة، كما لدى Montgomery. المعادلة بوحدات الأصل مكافئة، لكن معاملاتها تعتمد على الوحدات ولا تجوز المقارنة بينها (ص 422). الجذور الكامنة تعتمد على الترميز؛ والترميز الذي تكون فيه ±1 هي المستويات العاملية يحفظ معناها.

ما لا تحسبه هذه الصفحة. التصاميم المثلى (D, I, G)، وتصاميم الخلائط، وتجارب الحاسوب، وEVOP (Montgomery, 2020, Sections 11.4.4-11.7)، ودالة الاستحسان لعدة استجابات، وتجارب 3^k (الفصل 9) والتصاميم المتينة (الفصل 12). في صفحة "تصميم التجارب" – العوامل التصنيفية، و2^k والتصاميم الجزئية؛ وفي صفحة "العوامل العشوائية والمتداخلة وتصميم القطع المنشقة" – التصاميم ذات القيود على العشوائية.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

لا يوجد في SPSS Statistics إجراء لسطوح الاستجابة. تُحسب المتغيرات المرمَّزة وحواصل ضربها ومربعاتها في Transform › Compute Variable، ويُشغَّل Analyze › General Linear Model › Univariate مع إدخالها كلها بوصفها Covariates، مع مجاميع مربعات من النوع III – وهي قيم SS الجزئية في الجدول 2 – ومع Lack of fit في Options. أوامر Syntax التي تولّدها الصفحة تفعل ذلك بالضبط (COMPUTE ثم UNIANOVA … WITH … /PRINT=PARAMETER LOF). أما النقطة الثابتة والتحليل القانوني والخرائط فلا يحسبها SPSS – لها يُستخدم R أو الصفحة. من دون كتل، تضيف أوامر Syntax أيضًا REGRESSION بالحدود نفسها – والمعاملات نفسها. المسارات معلومات عامة عن البرنامج، ولم تُشغَّل أوامر Syntax في SPSS. في PSPP، البرنامج المجاني الذي يقرأ أوامر Syntax لـSPSS، لا يوجد UNIANOVA؛ وقد شغّلنا فيه جزء REGRESSION على ملف المثال، والمعاملات مطابقة للصفحة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

حزمة rsm: coded.data للترميز، وrsm مع FO أو TWI أو PQ أو SO للنموذج، وsummary يعطي المعاملات وتحليل التباين حسب المجموعات مع عدم المطابقة والخطأ الصافي؛ وcanonical – النقطة الثابتة والجذور الكامنة؛ وcontour – الخرائط؛ وccd وbbd – التصاميم. يصفّر canonical الجذور الكامنة التي تقل عن عُشر الأكبر قبل حساب النقطة، ولذلك تختلف نقطته في سطح ذي حافّة عن −½B⁻¹b لدى Montgomery المستخدمة في الصفحة. مسار الصعود في steepest يُقاس بمسافة موحّدة لا وفق خطوة في عامل واحد. شُغِّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال الإنجليزي، والقيم في التعليقات مطابقة للصفحة. قاعدة الموقع للنصوص غير اللاتينية في R: ملف بترميز UTF-8، وكل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وأسماء المتغيرات بالإنجليزية.

# منهجية سطح الاستجابة – بروفيسور ستات. هذا الملف محفوظ بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)   # قراءة ملف إكسل
library(rsm)      # سطوح الاستجابة (install.packages("rsm"))

# التحميل: القالب القياسي – صف = تشغيلة؛ الورقة "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_rsm_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))

# الترميز: x = (ξ − المركز)/نصف المدى – تصبح المستويات العاملية −1 و+1
cd <- coded.data(d, x1 ~ (lesson_length - 45) / 10, x2 ~ (practice_items - 10) / 3, x3 ~ (review_weeks - 3) / 1)

# نموذج من الرتبة الثانية: جدول rsm – FO وTWI وPQ والبواقي وعدم المطابقة والخطأ الصافي
fit <- rsm(retention ~ SO(x1, x2, x3), data = cd)
summary(fit)       # المعاملات: b0 71.74; x1 4.26, x2 −2.68, x3 1.69; x1:x2 1.10, x1:x3 0.23, x2:x3 −1.68; x1² −3.26, x2² −2.57, x3² −1.68؛ عدم المطابقة: F(5, 5) = 0.89, p = .551

# قيمة SS الجزئية لكل حدّ (الجدول 2 في الصفحة): أعمدة صريحة، ثم drop1 – كل حدّ بعد جميع الحدود الأخرى
e <- transform(as.data.frame(cd), x12 = x1 * x2, x13 = x1 * x3, x23 = x2 * x3, x1q = x1^2, x2q = x2^2, x3q = x3^2)
drop1(lm(retention ~ x1 + x2 + x3 + x12 + x13 + x23 + x1q + x2q + x3q, data = e), test = "F")   # x1 F = 123.97 … x3q F = 21.07

# النقطة الثابتة والجذور الكامنة (الجدول 4 في الصفحة)
canonical(fit)     # xs = 0.568, −0.687, 0.883؛ بوحدات الأصل 50.7 دقيقة، 7.9 تمارين، 3.9 أسابيع؛ الجذور الكامنة −1.16, −2.64, −3.71 – قيمة عظمى

# خريطة خطوط الاستجابة المتساوية للعاملين الأولين، والثالث عند النقطة الثابتة
contour(fit, ~ x1 + x2, image = TRUE, at = canonical(fit)$xs)

# مقارنة النماذج (الجدول 1 في الصفحة): R² المعدَّل وPRESS
for (f in list(retention ~ FO(x1, x2, x3), retention ~ FO(x1, x2, x3) + TWI(x1, x2, x3), retention ~ SO(x1, x2, x3))) {
  m <- rsm(f, data = cd)
  cat(sprintf("%-45s adjR2 = %.3f  PRESS = %.2f\n", deparse(f), summary(m)$adj.r.squared, sum((resid(m) / (1 - hatvalues(m)))^2)))
}   # قيمة R² المعدَّل .482 / .432 / .944؛ PRESS 423.72 / 625.07 / 88.27

عرض النتائج

ينبغي أن يتيح عرض النتائج استعادة التصميم والتحليل: نوع التصميم (CCD، وقيمة α فيه؛ Box-Behnken)، والعوامل ومداها، والترميز، وعدد النقاط المركزية والكتل، وعدد التشغيلات؛ والنموذج المختار وسبب اختياره (عدم المطابقة، وR² المعدَّل وR² التنبؤي)؛ وجدول المعاملات؛ وإن وُجدت – النقطة الثابتة بوحدات الأصل، والاستجابة المتنبَّأ بها عندها وطبيعتها (الجذور الكامنة). تطلب APA (2020، القسم 6.43) "معلومات كافية لكي يتمكن القارئ من تأكيد التحليلات". قواعد الشكل (القسم 6.36): R² وp من دون صفر قبل النقطة؛ والمعاملات والمتوسطات والجذور الكامنة – معه. فقرة النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو، بالعربية والإنجليزية؛ وقبل اعتماد النقطة – تُجرى عندها تشغيلات تأكيدية.

أخطاء شائعة

"عامل واحد في كل مرة". يُحرَّك كل عامل على حدة فتضيع التفاعلات واتجاه التحسين الحقيقي – المسار الأشد انحدارًا يغيّر جميع العوامل معًا، بالتناسب مع المعاملات (Montgomery, 2020, p. 415).

نموذج من الرتبة الثانية من تصميم لا يدعمه. في 2^k مع نقاط مركزية تكون جميع الحدود التربيعية متطابقة، ولا يمكن تقديرها كلًّا على حدة – بل الانحناء الكلي فقط (ص 413). تُضاف نقاط محورية.

تفسير نقطة ثابتة خارج منطقة التجربة كأنها النقطة المثلى. خارج المنطقة لا يكون النموذج صالحًا (ص 425).

اختيار النموذج وفق R² وحده. يرتفع R² دائمًا مع زيادة الحدود؛ أما R² المعدَّل وR² التنبؤي وعدم المطابقة فتبيّن ما إذا كانت الإضافة مجدية (الجدول 11.7، ص 421).

مقارنة المعاملات في المعادلة الطبيعية. إنها تعتمد على الوحدات؛ تُقارَن في المعادلة المرمَّزة (ص 422).

الاستغناء عن النقاط المركزية. من دونها لا يوجد خطأ صافٍ، ولا اختبار لعدم المطابقة، ولا فحص للانحناء (ص 412-413).

تقريب α. في المثال 11.2 يعرض الجدول α = 1.414، بينما حُسبت المخرجات بـ√2 – وتختلف النتائج في الخانة الثالثة (نتيجة ظهرت في التحقق من الصفحة). في التخطيط تُدخل α الدقيقة؛ وإذا قُرّب مستوى ما فعليًا، تُكتب القيمة التي شُغِّلت.

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Box وHunter (1957) وBox وBehnken (1960) – كما ورد في Montgomery (2020). وفق قاعدة الموقع، لا تُدرج في قائمة المراجع إلا المصادر التي قُرئت في أصلها؛ والاقتباسات وفق الصفحة المطبوعة. قُرئ الفصل 11 من Montgomery كاملًا من صور الصفحات (طبقة النص في المسح تُسقط معظم المعادلات). الحساب في الصفحة محقَّق مقابل R 4.3.3 (lm، drop1، predict، hatvalues، rstudent، cooks.distance) وحزمة rsm (rsm، canonical، ccd، bbd)، ومقابل جميع الأرقام المطبوعة في المثالين 11.1 و11.2 وفي الجدولين 11.8 و11.11.