اختبار مان-ويتني

حاسبة

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

اختيار المتغيرات

دليل

متى يُستخدم؟

حين توجد مجموعتان من مشاركين مختلفين ومتغير واحد للمقارنة بينهما – ولا يكون اختبار t في محلّه. يعدّد Gravetter وWallnau (2017, Appendix E.1) أسباب الانتقال من الدرجات إلى الرتب: البيانات قيست أصلًا على مقياس ترتيبي؛ الدرجات تخرق افتراضات t وANOVA (الاعتدالية، تساوي التباينات)؛ تباين مرتفع على نحو خاص، "تمحوه" الرتب؛ أو درجة غير معرَّفة – فالمشارك الذي لم ينهِ المهمة يحصل ببساطة على أعلى رتبة. يضيف Field (2024، القسم 7.2) الحالة الشائعة: عينة صغيرة، لا يمكن فيها الاستناد إلى نظرية النهاية المركزية ولا تصحيح البيانات – ويلاحظ أن الطرق المتينة (صفحة القيم المتطرفة والافتراضات) قد ورثت الاختبارات اللامعلمية، لكن SPSS لا يقدّم منها إلا القليل، وهذه الاختبارات "مدخل لطيف" إلى اختبار الفرضيات. تقدّمه Pallant (2020، الفصل 16) بوصفه البديل اللامعلمي لاختبار t للعينات المستقلة: "هل يختلف الرجال والنساء في مستوى تقدير الذات؟".

في هذا الموقع، المكان الطبيعي له حالتان: فقرة تقدير مفردة (ليكرت 1-5)، وهي وفق اصطلاح الموقع متغير ترتيبي لا متوسط له (المتغيرات ومستويات القياس) – فالمقارنة بين مجموعتين تُجرى هنا، أو في التكرارات وفي مربع كاي؛ ودرجة مقياس أو متغير كمّي في عينة صغيرة أو مع قيم متطرفة، حين يُظهر اختبار الاعتدالية (اختبار الاعتدالية، حسب المجموعة) أو مخطط الصندوق توزيعًا غير معقول لاختبار t. حين تكون المجموعتان كبيرتين (30 فأكثر) والبيانات كمّية، يكون اختبار t هو الخيار الافتراضي – Gravetter وWallnau: "إذا كانت البيانات ملائمة لـ ANOVA أو لأحد اختبارات t، فالاختبار المعياري أفضل من البديل الخاص بالبيانات الترتيبية" (Appendix E.1) – ويعزّزه مان-ويتني أو يحل محله حسب التقدير؛ ويخبركم مربع "قراءة النتيجة" بالحالة التي أنتم فيها. ثلاث مجموعات أو أكثر – اختبار كروسكال-واليس، وهو توسيع لهذا الاختبار (Gravetter & Wallnau, Appendix E.4).

المنطق: رتب بدلًا من الدرجات

الفكرة، كما يصفها Field (2024، القسم 7.4.1)، "أنيقة على نحو مدهش": تُرتَّب كل درجات المجموعتين معًا، من الأدنى (الرتبة 1) إلى الأعلى، دون اعتبار للمجموعة. إذا لم يكن هناك فرق بين المجموعتين، تتوزع الرتب العالية والمنخفضة بينهما بالتساوي تقريبًا، وتكون مجاميع الرتب متقاربة؛ وإذا كانت إحدى المجموعتين أعلى، تتركز الرتب العالية فيها ويكون مجموع رتبها أكبر. القيم المتطابقة (المتساوية في الرتب) تحصل على متوسط الرتب التي كانت ستحصل عليها – درجتان 6 كانتا ستأخذان الرتبتين 3 و4 تحصلان على 3.5، وثلاث درجات 35 في المواضع 16-18 تحصل على 17 (Field; Gravetter & Wallnau, 2017, Appendix E.1: "3 4 4 7 9 9 9 12 ← 1 2.5 2.5 4 6 6 6 8"). ومن هنا إحصاءان متكافئان: W_s لويلكوكسون – مجموع الرتب في المجموعة الأصغر (وحين تتساوى المجموعتان – المجموع الأصغر) – وU لمان-ويتني، الذي يُحسب منه: U = n₁n₂ + n₁(n₁ + 1)/2 − R₁ (المعادلة 7.8). يعطي Gravetter وWallnau (Appendix E.2) لـ U تفسيرًا مباشرًا: "كأن المجموعتين فريقان في مسابقة" – كل مشارك في المجموعة أ يحصل على نقطة عن كل مشارك في المجموعة ب يأتي تحته في الترتيب؛ U_A هو مجموع نقاط أ، وU_B نقاط ب، وU_A + U_B = n_An_B، والإحصاء المُبلَّغ عنه هو الأصغر بينهما. في مثالهما (E.1)، مجموعتان من ستة: U_A = 30, U_B = 6، ولذلك U = 6.

الدلالة الإحصائية. في المصدرين مساران. في العينة الصغيرة – التوزيع الدقيق: يعطي الجدول B9 لدى Gravetter وWallnau قيمة حرجة (لـ 6 مقابل 6، U ≤ 5 دالّة عند .05؛ وU = 6 لا)، ويطبع SPSS Exact Sig.؛ Field (الإطار 7.2): في العينة الصغيرة – "عمليًا كل ما هو أقل من 50" – تُستخدم قيمة p الدقيقة. في العينة الكبيرة – التقريب الطبيعي: القيمة المتوقعة والخطأ المعياري للإحصاء يُشتقان من أحجام المجموعتين فقط – W̄_s = n₁(n₁ + n₂ + 1)/2، SE = √(n₁n₂(n₁ + n₂ + 1)/12) (Field، المعادلتان 7.1-7.2؛ لـ 10 مقابل 10: 105 و13.23) – وz هي بُعد الإحصاء عن قيمته المتوقعة بوحدات الخطأ المعياري (المعادلة 7.5؛ Gravetter & Wallnau، الملحق E.2، مع U: z = (U − n_An_B/2)/√(n_An_B(n_A + n_B + 1)/12)؛ في المثال E.1 – −1.92، ليست في المنطقة الحرجة ±1.96، "الاستنتاج نفسه كما من الجدول"). يصحّح SPSS الخطأ المعياري للقيم المتساوية – والصفحة كذلك؛ أما Gravetter وWallnau وPSPP فلا يصحّحون، والفرق في z يكون عادةً في المنزلة العشرية الثالثة.

كيف تُقرأ المخرجات؟

الجدول 1 – الرتب والوسيطات. هذا هو جدول Ranks في SPSS (N, Mean Rank, Sum of Ranks) مع إضافة الوسيط والربيعيات والمدى لكل مجموعة. أول ما يُقرأ: متوسط الرتبة – "المجموعة ذات متوسط الرتبة المنخفض هي المجموعة التي فيها درجات منخفضة أكثر" (Field, 2024, Section 7.4.4)؛ في مثال المخدرات لدى Field، كانت متوسطات الرتب يوم الأحد 11.95 و9.05 – متقاربة – ويوم الأربعاء 15.10 مقابل 5.90. الوسيط هو ما يُبلَّغ عنه بدلًا من المتوسط: "إحصاء أنسب للاختبارات اللامعلمية" (Field، القسم 7.4.6؛ Pallant، 2020، الفصل 16 – حيث يُستخرَج في خطوة منفصلة في Means). انتبهوا إلى أن الوسيطات المتطابقة لا تعني عدم وجود فرق: الاختبار يقارن التوزيع كله عبر الرتب، لا الوسيطات – ولذلك قد يكون الاختبار دالًّا إحصائيًا مع وسيطات متساوية، خصوصًا في فقرة التقدير.

الجدول 2 – الاختبار. جدول Test Statistics في القائمة القديمة في SPSS: Mann-Whitney U، وWilcoxon W، وZ، وAsymp. Sig. (2-tailed) وExact Sig.. U وW وصفيان – قيمتهما تعتمد على أحجام المجموعتين، ولا تقيس أثرًا؛ وz سالبة دائمًا، لأن U هو الأصغر من الاثنين، ولذلك لا تقول شيئًا عن الاتجاه – فالاتجاه يُقرأ من الجدول 1. تطبع الصفحة قيمتين لـ p: التقاربية (من التقريب الطبيعي، مع تصحيح القيم المتساوية) والدقيقة (2·P(U ≤ U_{مُشاهَد}) من التوزيع الدقيق لـ U دون قيم متساوية – وهي ما يطبعه SPSS باسم Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]؛ اصطلاح الموقع: تُحسب حين تضم كل من المجموعتين 50 مشاركًا على الأكثر). قاعدة Field (الإطار 7.2): العينة الصغيرة – الدقيقة؛ والكبيرة – تكفي التقاربية. في مثاله، يوم الأحد U = 35.5، p = .280 (غير دالّ: "الإكستازي ليس أكثر إحباطًا من الكحول في اليوم التالي")، ويوم الأربعاء U = 4، p < .001 – "يُكتب p < .001 لأن قيمة p المُشاهَدة صغيرة جدًا"؛ وهذه القيم من بين فحوص الصفحة. العمودان الأخيران – مقياسا الأثر.

مخطط الصندوق يُظهر ما يفحصه الاختبار: أين تقع التوزيعات بعضها بالنسبة إلى بعض – الوسيط (خط سميك)، والربيعيات (الصندوق)، والشوارب والقيم المتطرفة (Pallant, 2020, Chapter 6). Field (القسم 7.4.6): "أبلِغوا عن الوسيطات ومداها، أو ارسموا مخطط الصندوق".

حجم الأثر – مسطرتان، "هذا وذاك"

لا يطبع SPSS مقياس أثر للاختبار، والمصدران يقترحان مقياسين مختلفين. r لدى Pallant (2020، الفصل 16): r = |z|/√N، حيث N هو عدد كل المشاركين – "قيمة تقريبية لـ r" – مع اصطلاحات Cohen (1988، ص 79-83): .1 صغير، .3 متوسط، .5 كبير؛ في مثالها z = −1.23, N = 436، r = .06، "صغير جدًا". r_rb لدى Field (2024، القسم 7.4.5): الارتباط الرتبي الثنائي (rank-biserial; Cureton, as cited in Field)، بمعادلة Wendt: r_rb = 1 − 2U/(n₁n₂) (المعادلة 7.11)، مع التفسير الحدسي لـ Kerby: في المثال، r_rb = .29 يوم الأحد – "نحو 29% من البيانات المرتَّبة تدعم فكرة أن الاكتئاب أعلى بعد الإكستازي" – و.92 يوم الأربعاء، "دعم قوي جدًا". تحسبه الصفحة من U₁ للمجموعة الأولى التي اخترتموها، بحيث تدل الإشارة على الاتجاه: موجبة – المجموعة أ أعلى؛ وتعرض نسبة الأزواج الداعمة. المقياسان ليسا متطابقين ولا يمكن تحويل أحدهما إلى الآخر (r يعتمد أيضًا على N عبر z)؛ يُبلَّغ عن أحدهما على الأقل، ويُذكَر أيّهما.

الافتراضات والتحذيرات

افتراضان عامان (Pallant, 2020, Chapter 16): المعاينة العشوائية، واستقلال المشاهدات – "كل مشارك يُحسب مرة واحدة، ولا يمكن أن يظهر في أكثر من مجموعة واحدة، وبيانات مشارك لا تؤثر في بيانات آخر"؛ القياسات المتكررة للمشاركين أنفسهم – لاختبار ويلكوكسون للعينات المترابطة، لا هنا. يذكّر Field (2024، الحاشية 2 للفصل 7) بأن هذه الاختبارات أيضًا ليست "خالية من التوزيع": فهي تفترض توزيعًا متصلًا – ولذلك في بيانات التقدير ذات القيم المتساوية الكثيرة، يكون تصحيح القيم المتساوية في z مهمًا. القوة الإحصائية. Field (الإطار 7.1): الرتب تفقد معلومات عن حجم الفروق، ولذلك حين تتحقق افتراضات الاختبار المعلمي، يكون أقوى؛ لكن حين لا يكون توزيع المعاينة طبيعيًا، يكون معدل الخطأ من النوع الأول للاختبار المعلمي غير معروف – وحينها تكون العبارة "الاختبارات اللامعلمية أقل قوة" ببساطة غير معرَّفة. مجموعات صغيرة جدًا. مع أقل من خمسة مشاركين في المجموعة يكاد الاختبار لا يستطيع أن يخرج دالًّا (التوزيع الدقيق خشن)؛ والصفحة تحذّر من ذلك.

القيم المفقودة. يُدرَج المشارك حين تكون له قيمة صالحة في المتغير التابع وفي متغير التجميع – الحذف حسب التحليل (/MISSING ANALYSIS). الاختبارات المتعددة. عدة متغيرات بنقرة واحدة هي عدة اختبارات، لكل منها خطر 5% للخطأ من النوع الأول. ما لا تحسبه هذه الصفحة. قيمة p الدقيقة للمجموعات الأكبر من 50، وMonte Carlo (الإطار 7.2)، وكولموغوروف-سميرنوف لمجموعتين، وMoses وWald-Wolfowitz (النصيحة 7.1 لدى Field)، والاختبار ذو الطرف الواحد كمخرجات، وفترة الثقة لفرق الوسيطين (Hodges-Lehmann في R) وbootstrap.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

قائمتان، ومخرجان. الطريقة الجديدة (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Sections 7.3 and 7.4.3): Analyze › Nonparametric Tests › Independent Samples… – في تبويب Objective يُختار Customize analysis (Field: "لا يُستحسن ترك الحاسوب يفكر نيابة عنكم")؛ في Fields – المتغير التصنيفي إلى Groups والتابع إلى Test Fields؛ في Settings – Customize tests وMann-Whitney U (2 samples)؛ وقبل ذلك، Pallant: في Edit › Options › Output يُختار Pivot tables and charts. المخرجات: Hypothesis Test Summary (القرار فقط)، والنقر المزدوج يفتح Independent-Samples Mann-Whitney U Test Summary مع مخطط الرتب – Total N، وMann-Whitney U، وWilcoxon W، وStandard Error، وStandardized Test Statistic (قيمة z) وAsymptotic Sig.، وفي الإصدارات التي تضم وحدة الاختبارات الدقيقة أيضًا Exact Sig.. انتبهوا: في القائمة الجديدة يُحسب U وW من المجموعة الثانية (الرمز الأعلى) وليسا بالضرورة الأصغر – في مثال Pallant U = 21594 حين n = 184 × 252، والإحصاء المعياري سالب أو موجب حسب الاتجاه؛ وقيمة p مطابقة. الوسيطات ليست في المخرجات – تستخرجها Pallant في Analyze › Compare Means › Means مع Median في Cell Statistics.

الطريقة القديمة، التي تولّدها الصفحة كأوامر Syntax (لأنها تتيح اختيار مجموعتين من عدة مجموعات وتطبع U وW كما في الجدول 2): Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › 2 Independent Samples… – المتغير إلى Test Variable List، ومتغير التجميع إلى Grouping Variable مع Define Groups، وMann-Whitney U محدَّد:

NPAR TESTS
  /M-W=עמדות_ציון BY קבוצה(1 2)
  /MISSING ANALYSIS.

MEANS TABLES=עמדות_ציון BY קבוצה
  /CELLS=COUNT MEDIAN.

قراءة المخرجات. Ranks = الجدول 1 (N, Mean Rank, Sum of Ranks)؛ Test Statistics = الجدول 2 – Mann-Whitney U, Wilcoxon W, Z, Asymp. Sig. (2-tailed)، وللمجموعات الصغيرة أيضًا Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]؛ MEANS – الوسيطات. فُحصت أوامر Syntax مقابل PSPP (التنفيذ الحر): U وW ومجاميع الرتب متطابقة؛ وقيمة z في PSPP دون تصحيح القيم المتساوية.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

في R الأساسية wilcox.test(x, y) – باسم "Wilcoxon rank sum test"، وهو الاختبار نفسه. ثلاثة فروق عن SPSS تحسن معرفتها: الإحصاء W في R هو عدد الأزواج التي تكون فيها المجموعة الأولى أعلى (ليس U الأصغر ولا W لويلكوكسون)؛ والإعداد الافتراضي يضيف تصحيح الاتصال إلى قيمة p التقاربية – correct = FALSE يعطي قيمة p في SPSS وفي الصفحة؛ وقيمة p الدقيقة (exact = TRUE) لا تُحسب إلا في غياب القيم المتساوية. شُغِّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال وأعطى قيم الجداول (في التعليقات). قاعدة الموقع للعربية في R: ملف بترميز UTF-8، وكل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وبيئة UTF-8 للأسماء العبرية.

# اختبار مان-ويتني – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)   # قراءة ملف إكسل

# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغيّر؛ ورقة العمل "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_mw_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; g <- d[["קבוצה"]]
y1 <- y[g == 1 & !is.na(y)]; y2 <- y[g == 2 & !is.na(y)]

# الوسيط والربيعيات (type = 6 = SPSS) لكل مجموعة – الجدول 1
median(y1); quantile(y1, c(.25, .75), type = 6)      # التجريبية: Mdn 3.375، [2.91, 4.00]
median(y2); quantile(y2, c(.25, .75), type = 6)      # الضابطة: Mdn 3.125، [2.50, 3.55]

# الرتب: المجموع ومتوسط الرتبة لكل مجموعة (متوسط الرتب للقيم المتساوية)
r <- rank(c(y1, y2)); R1 <- sum(r[seq_along(y1)]); R2 <- sum(r[-seq_along(y1)])
c(R1, R2, R1 / length(y1), R2 / length(y2))          # 4147، 3113؛ متوسطا الرتب 69.12، 51.88

# الاختبار: p التقاربية دون تصحيح الاتصال = SPSS؛ W في R = n1n2 − U1
wt <- wilcox.test(y1, y2, exact = FALSE, correct = FALSE)
wt                                                    # W = 2317، p = .0066
n1 <- length(y1); n2 <- length(y2)
U1 <- n1 * n2 + n1 * (n1 + 1) / 2 - R1; U2 <- n1 * n2 + n2 * (n2 + 1) / 2 - R2
c(U = min(U1, U2), W = min(R1, R2))                  # U = 1283، W = 3113 – كما في SPSS

# قيمة z (سالبة كما في SPSS)، وr = |z|/√N (Pallant) وr_rb = 1 − 2U1/(n1n2) (Field)
z <- -abs(qnorm(wt$p.value / 2))
c(z = z, r = abs(z) / sqrt(n1 + n2), r_rb = 1 - 2 * U1 / (n1 * n2))   # −2.72، .248، .287

# عينة صغيرة دون قيم متساوية – p الدقيقة (المثال E.1 لدى Gravetter وWallnau)
wilcox.test(c(27, 2, 9, 48, 6, 15), c(71, 63, 18, 68, 94, 8), exact = TRUE)   # W = 6، p = .065

عرض النتائج

Field (2024، القسم 7.4.6): يُبلَّغ عن الإحصاء (U، أو W_s إن كان مفضَّلًا)، وعن z، وعن قيمة p الدقيقة (لا p ≤ .05)، ومقياس أثر – وعن وسيطَي المجموعتين: "لم تختلف مستويات الاكتئاب لدى متعاطي الإكستازي (Mdn = 17.50) اختلافًا دالًّا عن متعاطي الكحول (Mdn = 16.00) في اليوم التالي، U = 35.50, z = −1.11, p = .280, r_rb = .29. لكن بحلول يوم الأربعاء كان متعاطو الإكستازي (Mdn = 33.50) أكثر اكتئابًا على نحو دالّ (Mdn = 7.50)، U = 4.00, z = −3.48, p < .001, r_rb = .92". Pallant (2020، الفصل 16) بالقالب نفسه مع n وr: "U = 21594, z = −1.23, p = .22, r = .06". يضيف Gravetter وWallnau (Appendix E.2) أنه وفق APA يُستحسن تضمين مجاميع الرتب أيضًا. جمل عرض النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو – الوسيط وn لكل مجموعة، وU, z, p (الدقيقة حين تُحسب)، وr_rb وr. قواعد الشكل (American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.36): p وr دون صفر قبل الفاصلة العشرية؛ وU, W, z معه.

أخطاء شائعة

قراءة الاتجاه من إشارة z. في المخرجات القديمة تكون z سالبة دائمًا؛ والاتجاه – من متوسطات الرتب أو من الوسيطات (Field, 2024, Section 7.4.4).

الإبلاغ عن المتوسطات. الاختبار على الرتب؛ ويُبلَّغ عن الوسيطات (Field, Section 7.4.6; Pallant, 2020, Chapter 16).

قراءة "غير دالّ" في عينة صغيرة على أنه "لا فرق". مع 6 مقابل 6 مشاركين، U = 6 غير دالّة رغم أن المجموعتين مختلفتان بوضوح (Gravetter & Wallnau، المثال E.1) – إنها القوة الإحصائية.

مقارنة U في R، وفي القائمة الجديدة، وفي القديمة. ثلاثة تعريفات (عدد الأزواج؛ من المجموعة الثانية؛ الأصغر) – وقيمة p نفسها.

الظن بأن الوسيطات المتساوية = اختبار غير دالّ. الاختبار يقارن التوزيعات؛ وفي فقرة التقدير قد يخفي وسيطان كلاهما "3" فرقًا دالًّا في الرتب.

الهروب إلى مان-ويتني كلما كان اختبار الاعتدالية دالًّا. في المجموعات الكبيرة تغطي نظرية النهاية المركزية اختبار t (Field، 2024، القسم 6.2.7؛ صفحة اختبار الاعتدالية) – ومان-ويتني يفقد حجم الفروق (الإطار 7.1).

الإبلاغ عن r فقط أو عن r_rb فقط دون ذكر أيّهما. مسطرتان مختلفتان؛ .29 لدى Field هي r_rb، و.06 لدى Pallant هي r.

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Open University Press.

Mann وWhitney (1947)، وWilcoxon (1945)، وCureton (1956)، وWendt (1972) وKerby (2014) – كما ورد في Field (2024). وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المراجع التي قُرئت في أصلها؛ Gravetter وWallnau (2017, Appendix E, pp. 687-692)، وCohen (1988)، وPallant (2020) وAPA (2020) – حسب الصفحة والفصل والقسم في الطبعة الورقية؛ Field (2024) في نسخة رقمية متدفقة – حسب القسم والمعادلة والإطار (جدوله 7.1 هو ملف الفحص لهذه الصفحة). أوامر Syntax – متحقَّق منها مقابل PSPP؛ وشُغِّلت R في الإصدار 4.3.3.