التحليل العنقودي

حاسبة

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

المتغيرات والإعدادات

دليل

متى يُستخدم؟

حين يكون السؤال عن الأشخاص لا عن المتغيرات: هل توجد بين المستجيبين أنماط متمايزة – مستهلكون سلبيون مقابل صانعي محتوى، طلاب يحتاجون إلى دعم مقابل من لا يحتاجون – من دون أن تكون هذه المجموعات قد حُدِّدت مسبقًا. يعرّف Wendler وGröttrup (2021، ص 623) التحليل العنقودي بأنه مجموعة من الأساليب متعددة المتغيرات "تُستخدم لتحديد مجموعات من الكائنات 'المتشابهة'"، ويعدّان من بين الأمثلة تقسيم العملاء إلى شرائح في التسويق وتحديد "مجموعات فرعية من الطلاب ذوي الاحتياجات الخاصة" وفق الخلفية والأداء (ص 624). التمييز الأهم، في الشكل 7.1 لديهما: التحليل العنقودي يجمّع الصفوف (المشاركين)، والتحليل العاملي يجمّع الأعمدة (الفقرات). إذا كان السؤال أيّ الفقرات تقيس الشيء نفسه – التحليل العاملي التوكيدي وصفحة التعلّم غير الموجَّه (PCA) وحاسبة التحليل العاملي الاستكشافي؛ وإذا كانت المجموعات معروفة مسبقًا والسؤال هل تختلف – تحليل التباين. لا يوجد هنا متغير متنبَّأ به ولا "إجابة صحيحة": هذا تعلّم غير موجَّه، و"لأن الانتماء إلى المجموعة غير معروف مسبقًا، لا تستطيع الخوارزمية تعلّم خصائص المجموعات" (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 627).

تستعرض صفحة التعلّم غير الموجَّه كل أساليب التجميع (k-المتوسطات، الهرمي، المزائج الغاوسية، DBSCAN، TwoStep) وسؤال هل توجد عناقيد أصلًا. أما هذه الصفحة فتُشغّل أكثرها شيوعًا في الاستبانات: وارد ثم k-المتوسطات، على متغيرات كمّية. المتغيرات التصنيفية (مثل الجنس أو مجال الدراسة) لا تدخل في حساب المسافة هنا؛ بل تُستخدم لاحقًا للتحقق من العناقيد ووصفها.

المنطق: مرحلتان

المرحلة أ – التجميع الهرمي التراكمي. نبدأ بكل مشارك عنقودًا مستقلًا، وفي كل خطوة يُدمج أقرب عنقودين، حتى يصبح الجميع في عنقود واحد (Hastie et al., 2009, p. 520; Everitt et al., 2011, p. 73). كل مرحلة هي تقسيم، والشجرة كلها هي المخطط الشجري (dendrogram): "ارتفاع كل عقدة يتناسب مع عدم التشابه بين ابنيها"، والقطع الأفقي للشجرة يعطي تقسيمًا إلى عناقيد (Hastie et al., 2009, p. 521). ما معنى "الأقرب" حين يتعلق الأمر بمجموعات؟ هذا هو الربط (Everitt et al., 2011, pp. 76-77, Figure 4.3): المفرد (الزوج الأقرب)، الكامل (الزوج الأبعد)، المتوسط (كل الأزواج) – ووارد، الذي يُدمج فيه العنقودان اللذان تكون في دمجهما "الزيادة في مجموع المربعات داخل العناقيد… عبر كل المتغيرات" هي الأصغر (Ward، 1963، كما ورد في Everitt et al.، 2011، ص 78، جدول 4.1؛ وكذلك Wendler & Gröttrup، 2021، ص 648، جدول 7.24). وارد هو الربط الملائم لهدف k-المتوسطات: كلاهما يقلّل الشيء نفسه – مجموع مربعات المسافات عن المراكز داخل العناقيد. يميل الربط المفرد إلى "تسلسل" المشاركين في عناقيد طويلة، والكامل – إلى عناقيد متراصّة قد يكون أعضاؤها أحيانًا أقرب إلى عنقود آخر (Hastie et al., 2009, pp. 524-525).

المرحلة ب – k-المتوسطات. للتجميع الهرمي عيب بنيوي: "لا يمكن أبدًا أن يتغيّر تخصيص كائن لعنقود معيّن" (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 628, Table 7.1) – فالمشارك الذي دُمج مبكرًا مع جار له يبقى هناك حتى لو أصبح في النهاية أقرب إلى مركز عنقود آخر. تصحّح k-المتوسطات ذلك: إذا عُلمت المراكز، يُخصَّص كل مشارك لأقرب مركز؛ وإذا عُلم التخصيص، يُحسب كل مركز بوصفه متوسطًا؛ ويُكرَّر ذلك حتى لا يتغيّر أي تخصيص (Hastie et al.، 2009، ص 510، الخوارزمية 14.1). كل خطوة تُنقص مجموع مربعات المسافات، ولذلك فالتقارب مضمون – "غير أن النتيجة قد تكون قيمة صغرى محلية غير مثلى"، وهي تتوقف على نقطة البداية (المرجع نفسه). هنا تلتقي المرحلتان: Géron (2022, Chapter 9, "Centroid initialization methods") – "إذا كنتم تعرفون مصادفةً على وجه التقريب أين ينبغي أن تكون المراكز (مثلًا، إذا شغّلتم من قبل خوارزمية تجميع أخرى)، فيمكن تحديدها" نقطةً للبداية. وكذلك Everitt وزملاؤه (2011، ص 122): التقسيم الأولي "قد يكون نتيجة تطبيق سابق لطريقة تجميع أخرى، ربما إحدى الطرق الهرمية". ولدى Kassambara (2017، ص 163) اسم لهذه الطريقة – "hierarchical k-means"، وهي طريقة هجينة "لتحسين نتائج k-المتوسطات"، نشأت من أن "الحل النهائي لـ k-المتوسطات حساس جدًا للاختيار العشوائي الأولي لمراكز العناقيد"، وخطواتها الثلاث هي بالضبط هذه: تجميع هرمي وقطع الشجرة إلى k عنقودًا، ومركز ثقل كل منها، ثم k-المتوسطات من هذه المراكز – حيث "ستُحسّن k-المتوسطات التقسيم الأولي"، ولذلك "قد يختلف قليلًا" عن التقسيم النهائي. والصفحة تفعل ذلك بالضبط: تقطع شجرة وارد إلى k عنقودًا، وتحسب مركز ثقل كل منها، وتُشغّل منها k-المتوسطات. النتيجة حتمية – البيانات نفسها، النتيجة نفسها، في كل تشغيل – وليس فيها البدء العشوائي الذي يحذّر منه Wendler وGröttrup (2021، ص 677) في K-Means الخاصة بـ Modeler، التي تبدأ من السجل الأول ولذلك "تتوقف النتيجة إلى حدّ ما على ترتيب الكائنات". في المقابل، نقطة بداية واحدة هي أيضًا قيد: "يمكن أن تتأثر نتائج طريقة تحسين تأثرًا شديدًا باختيار التقسيم الأولي"، و"يُستحسن تشغيل خوارزمية التحسين عدة مرات بتقسيمات أولية مختلفة"؛ وإذا أعطت تقسيمات أولية مختلفة تجميعات مختلفة جدًا، فهذا عادةً علامة على أن عدد العناقيد خاطئ، أو على عدم وجود دليل واضح على عناقيد (Marriott, 1982, as cited in Everitt et al., 2011, p. 122). تُبلّغ الصفحة عن فحصين صغيرين في هذا الاتجاه – المقارنة بين المرحلتين وفحص النقل المفرد (أدناه)؛ أما التشغيل من بدايات عشوائية كثيرة – ففي R، باستخدام nstart.

يلخّص Wendler وGröttrup (2021، ص 628، جدول 7.1) مزايا العائلتين وعيوبهما، والطريقة ثنائية المرحلة تأخذ من كل منهما ما تُجيده: من الهرمية – شجرة تُظهر البنية في كل المستويات ونتيجة "حتمية (غير عشوائية)"، ومن k-المتوسطات – مرونة "إعادة تخصيص الكائنات لعناقيد أخرى". والمقارنة بين المرحلتين هي أيضًا فحص صغير: تُبلّغ الصفحة كم مشاركًا انتقل إلى عنقود آخر في المرحلة ب، وعن مؤشر راند المعدَّل (ARI) بين التقسيمين – 1 يعني اتفاقًا تامًا. هذا فحص للخوارزمية على البيانات نفسها، لا لاستقرار الحل في عينة أخرى – وعن ذلك في قسم الافتراضات والتحذيرات.

التقييس والمسافة

المسافة. تعمل الطريقتان على المسافة الإقليدية بين المشاركين – الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق في كل المتغيرات، "مقياس المسافة الأكثر شيوعًا" (Everitt et al., 2011, p. 49, Equation 3.4) – وعلى مربعها، الذي هو "أكثر حساسية للقيم المتطرفة" (Wendler & Gröttrup, 2021, pp. 630, 637). ومن هنا ينبع السؤال الأهم في الصفحة: ما الذي يدخل في المسافة، وبأيّ وزن. يقرّر Hastie وزملاؤه (2009، ص 506) أن "تحديد مقياس ملائم لعدم التشابه أهم بكثير لنجاح التجميع من اختيار خوارزمية التجميع".

التقييس – نعم، عادةً. في المسافة الإقليدية، يهيمن المتغير ذو المدى الكبير: عدد الساعات يوميًا (0-12) "سيطغى" على درجة مقياس (1-5)، وتصبح العناقيد في الواقع عناقيد ساعات. لذلك، كما يكتب Everitt وزملاؤه (2011، ص 67)، "لن يكون من المنطقي أن نعامل، مثلًا، الوزن بالكيلوغرامات والطول بالأمتار والقلق على مقياس من أربع نقاط على أنها متكافئة"، و"الحل الذي يُقترح في الغالب… هو ببساطة تقييس كل متغير إلى تباين 1 قبل أي تحليل"؛ Wendler وGröttrup (2021، ص 656-657) – تقييس المتغيرات الرقمية "مهم جدًا لإجراء التجميع… لكي تكون القيم قابلة للمقارنة، يجب تقييسها"؛ وGéron (2022, Chapter 9, "Limits of k-means") – "من المهم تدريج خصائص المدخلات قبل تشغيل k-المتوسطات، وإلا فقد تكون العناقيد ممطوطة جدًا". الإعداد الافتراضي في الصفحة هو درجات z (متوسط 0 وانحراف معياري 1 لكل متغير)، فيكون لكل متغير وزن متساوٍ في المسافة.

التقييس – ليس دائمًا. يحذّر Hastie وزملاؤه (2009، ص 506) من هذه القاعدة: إعطاء تأثير متساوٍ لكل المتغيرات "رغم أنه قد يبدو معقولًا، ويُوصى به في كثير من الأحيان، قد يكون ضارًّا جدًا". إذا كان متغير واحد يميّز جيدًا بين المجموعات وآخر ضجيجًا، فإن التقييس يزيد وزن الضجيج، و"سيميل إلى طمس المجموعات إلى حدّ أن خوارزمية التجميع لن تتمكن من كشفها" – في الشكل 14.5 لديهم تختفي مجموعتان منفصلتان جيدًا بعد التقييس. ويصوغ Everitt وزملاؤه (2011، ص 66-67) الأمر نفسه: التقييس حالة خاصة من إعطاء الأوزان، و"حين تُقيَّس المتغيرات قبل التحليل، يفترض الباحث أن أهمية المتغير تقل كلما زاد تباينه"؛ والأوزان حسب الانحرافات المعيارية "تبدو غير فعّالة"؛ والقسمة على مدى المتغير أفضل من درجات z في تطبيقات كثيرة (Milligan & Cooper، 1988، كما ورد في المرجع نفسه)؛ والأفضل التقييس حسب التباين داخل المجموعات لا حسب التباين الكلي – لكن المجموعات هي بالضبط ما نبحث عنه. وحين تكون كل المتغيرات على المقياس نفسه أصلًا (مثلًا أربع درجات مقاييس 1-5)، يغيّر التقييس الأوزان حسب الانحرافات المعيارية في العينة – وهذا ليس دائمًا ما نريده. تتيح الصفحة درجات z أو الوحدات الأصلية؛ أما التقييس حسب المدى فليس في الصفحة. القرار يتوقف على المتغيرات وعلى السؤال ("لا بديل عن التفكير المتأني في سياق كل مشكلة"، المرجع نفسه)؛ في الصفحة يُحدَّد خيار "تقييس المتغيرات" أو يُلغى، وتذكر المخرجات ما اختير. وحين يكون التقييس معطّلًا ومديات المتغيرات مختلفة جدًا – تُحذّر الصفحة.

مقياس ليكرت. تفترض المسافة أن الفرق بين 1 و2 يساوي الفرق بين 4 و5. يذكّر Wendler وGröttrup (2021، ص 635، جدول 7.8) بأنه في مقياس ليكرت "يجب تفسير المسافات بحذر، أو عدم تفسيرها إطلاقًا"، وبأن المسألة خلافية في الأدبيات. وفق اصطلاح الموقع (صفحة المتغيرات ومستويات القياس)، تُعامَل درجة المقياس متعدد الفقرات – متوسط عدة فقرات – بوصفها متغيرًا فتريًا، أما فقرة ليكرت المفردة – فلا. ومن هنا التوصية: التجميع حسب درجات المقاييس (صفحة ألفا كرونباخ ودرجة المقياس)، لا حسب فقرات مفردة.

كم عنقودًا؟

هذا هو القرار الأصعب في التحليل، ولا يوجد له اختبار دلالة. يميّز Hastie وزملاؤه (2009، ص 518) بين حالتين: في التقسيم إلى شرائح، "يُحدَّد k عادةً بوصفه جزءًا من المشكلة" (شركة لديها k من مندوبي المبيعات)؛ وحين يكون التجميع وصفًا لـ"مجموعات طبيعية"، يكون k غير معروف ويجب تقديره من البيانات. تُشغّل الصفحة الحل ثنائي المرحلة لكل k من 1 حتى العدد الأقصى الذي اخترتموه، وتطبع ثلاثة معايير جنبًا إلى جنب:

المرفق. مجموع مربعات المسافات عن المراكز داخل العناقيد، W_k، ينخفض دائمًا كلما زاد k – وفي الطرف الأقصى، يكون كل مشارك عنقودًا لنفسه وW = 0 (Hastie et al., 2009, p. 519). لكن إذا كانت هناك فعلًا k* مجموعة، فسيكون الانخفاض حادًا حتى k* ومعتدلًا بعده، لأن كل عنقود إضافي بعده يشطر مجموعة طبيعية إلى اثنتين فحسب؛ نبحث عن "انثناء" في المنحنى – "ومثل جوانب أخرى من إجراءات التجميع، هذا النهج استدلالي إلى حدّ ما" (Hastie et al., 2009, p. 519)؛ ويضيف Everitt وزملاؤه (2011، ص 126) أنه "قد يكون ذاتيًا جدًا"، وأن "الكبير" كثيرًا ما يكون "دالّة في التوقعات المسبقة للمستخدم". وفي الجدول يُعرض أيضًا بوصفه تباينًا مفسَّرًا، 1 − W_k/W₁ – نسبة التباين الكلي التي يفسّرها التقسيم (نظير R²؛ Wendler & Gröttrup، 2021، ص 649، جدول 7.25).

الصورة الظلية (silhouette). لكل مشارك: a – متوسط المسافة إلى أعضاء عنقوده، b – متوسط المسافة إلى أعضاء العنقود الأقرب التالي، والصورة الظلية s = (b − a)/max(a, b)، بين 1− و1+. يقول Rousseeuw (1987، ص 56)، الذي عرّف المؤشر: s القريبة من 1 – المشارك "مجمَّع جيدًا"؛ وحول 0 – "حالة وسطى"، "ليس واضحًا إطلاقًا" إلى أيّ العنقودين تنتمي؛ والقريبة من 1− – يكاد يمكن الجزم بأنه "صُنِّف خطأً". للمشارك الوحيد في عنقوده تكون الصورة الظلية 0 – اختيار "اعتباطي بالطبع، لكن قيمة الصفر تبدو الأكثر حيادًا" (المرجع نفسه). يلائم المؤشر الحالات التي تكون فيها المسافات على مقياس نسبي (مثل المسافة الإقليدية) وحين "نبحث عن عناقيد متراصّة ومنفصلة بوضوح" (ص 55)، ويمكن أن "يُستخدم متوسط الصورة الظلية لاختيار عدد ‘ملائم’ من العناقيد" (ص 53). متوسط الصورة الظلية على كل المشاركين مؤشر على جودة التقسيم، وk ذو المتوسط الأعلى مرشَّح؛ وللعتبات مصدران متفقان في الجوهر: يرى Kaufman وRousseeuw "تصنيفًا معقولًا" في متوسط صورة ظلية فوق 0.5 (Kaufman & Rousseeuw، 1990، كما ورد في Everitt et al.، 2011، ص 129)، وتوثيق SPSS Modeler، كما ينقله Wendler وGröttrup (2021، ص 649)، يصنّف حتى .25 ضعيفًا، وبين .25 و.50 متوسطًا، وفوق .50 جيدًا (IBM، 2015، كما ورد لديهما). الصورة الظلية غير معرَّفة لـ k = 1، ولذلك لا يمكنها أن تقول "لا توجد عناقيد هنا".

إحصاءة الفجوة (gap statistic؛ Tibshirani et al.، 2001، كما ورد في Hastie et al.، 2009، ص 519) "تقارن المنحنى log W_k بالمنحنى الناتج عن بيانات موزَّعة توزيعًا منتظمًا على مستطيل يحوي البيانات"، أي عن بيانات لا عناقيد فيها. الفجوة هي الفرق بين الاثنين؛ "هذه في الواقع طريقة آلية لتحديد موضع 'الانثناء'"، وهي "تعمل بشكل معقول أيضًا حين تقع البيانات في عنقود واحد، وفي هذه الحالة ستميل إلى تقدير العدد الأمثل للعناقيد بواحد – وهو السيناريو الذي تفشل فيه معظم الطرق المنافسة" (المرجع نفسه). القاعدة (المعادلة 14.39 هناك): أصغر k لا تقل فيه الفجوة عن الفجوة عند k + 1 ناقص خطئها المعياري. تولّد الصفحة البيانات المنتظمة بمولّد R (البذرة 2026 افتراضيًا، 100 عينة)، بحيث تطابق النتيجة نتيجة clusGap في حزمة cluster بالبذرة نفسها (دليل R أدناه). هذا هو المعيار الوحيد من الثلاثة الذي يستطيع أن يجيب "واحد": يؤكد Everitt وزملاؤه (2011، ص 129) أنه "يتيح تقييم جودة حل العنقود الواحد"، أي السؤال هل يوجد أصلًا دليل على عناقيد متمايزة – ولذلك هو الإعداد الافتراضي لاختيار k في المخرجات.

التوصية العامة هي "عدم الاعتماد على قاعدة واحدة لاختيار عدد المجموعات، بل تركيب نتائج عدة تقنيات" (Everitt et al., 2011, p. 130) – ولذلك يعرض الجدول المعايير الثلاثة. وحين تختلف المعايير – وهذا يحدث – ينتقل القرار إلى الباحث: يعرض Géron (2022، الفصل 9) مثالًا تفضّل فيه الصورة الظلية قليلًا k=4، فيختار 5 لأن العناقيد متقاربة الأحجام؛ ويذكّر Wendler وGröttrup (2021، ص 650) بأن "طرق التجميع لا تقدّم أي عون في إيجاد وصف ملائم لكل عنقود" – فالحل الذي لا يمكن وصفه بالكلمات ليس حلًا جيدًا، حتى لو كانت مؤشراته مرتفعة. قاعدة الإبهام √(n/2) (Mardia et al.، 1979، كما ورد في Wendler & Gröttrup، 2021، ص 649) فظّة جدًا للاختيار؛ وتظهر في مربع القراءة نقطةً مرجعية فقط.

كيف تُقرأ المخرجات؟

جدول 1 – اختيار عدد العناقيد. لكل k: W_k، والتباين المفسَّر، ومتوسط الصورة الظلية، والفجوة وخطؤها المعياري. يُعلَّم الصف الذي تختاره إحصاءة الفجوة، وكذلك k ذو أعلى صورة ظلية. الشكل 1 يعرض المنحنيات الثلاثة جنبًا إلى جنب.

عدد العناقيد للحل. تحت جدول 1 يُختار k. الإعداد الافتراضي هو اختيار إحصاءة الفجوة، وإذا اختارت 1 – فـk ذو أعلى صورة ظلية، مع تحذير. تغيير الاختيار يعيد حساب كل ما يليه، من دون تكرار إحصاءة الفجوة.

الشكل 2 – المخطط الشجري للمرحلة أ، مع خط القطع لـ k المختار. المحور الرأسي هو ارتفاع الدمج (بمسافات وارد): عمليات الدمج العالية، فوق صف من عمليات الدمج المنخفضة، مرشَّحة لأن تكون عناقيد طبيعية (Hastie et al., 2009, p. 521). يعرض SPSS الشجرة نفسها على مقياس معاير من 0-25 ("Rescaled Distance Cluster Combine"; Wendler & Gröttrup, 2021, p. 645) – والشكل مطابق. في عينة تزيد على 120 مشاركًا لا تُرسم الأوراق واحدة واحدة: تُعرض الشجرة فوق المجموعات الـ40 في أسفلها، مع عدد المشاركين في كل مجموعة.

جدول 2 – حجم العناقيد وجودتها: عدد المشاركين ونسبتهم، ومتوسط الصورة الظلية في كل عنقود وعدد المشاركين ذوي الصورة الظلية السالبة (الأقرب إلى عنقود آخر)، والحجم في عنقود وارد قبل المرحلة ب. وفي الملاحظة: كم مشاركًا انتقل إلى عنقود آخر في المرحلة ب، ومؤشر راند المعدَّل بين المرحلتين.

جدول 3 – ملامح العناقيد: لكل متغير – المتوسط الحسابي والانحراف المعياري في كل عنقود وفي العينة كلها، بالوحدات الأصلية، وη² – نسبة تباين المتغير الواقعة بين العناقيد. الشكل 3 يعرض المتوسطات نفسها بالدرجات المعيارية، بحيث يُرى بنظرة واحدة في أيّ شيء يرتفع كل عنقود أو ينخفض عن المتوسط. ومن هنا يُشتق الاسم الذي ستعطونه لكل عنقود، وهذا تفسير منكم، لا نتيجة للحساب (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 650).

الشكل 4 – الصورة الظلية: عمود لكل مشارك، مرتَّب داخل كل عنقود – "شكل سكين" لكل عنقود. ارتفاع الشكل هو عدد المشاركين في العنقود وعرضه هو صورهم الظلية؛ والعنقود الذي يقع معظم أعضائه تحت المتوسط العام (الخط المتقطع) عنقود ضعيف (Géron, 2022, Chapter 9). فقرة النتائج – بالعربية والإنجليزية؛ مربع "قراءة النتيجة" – هل تتفق المعايير؟، جودة العناقيد، ما الذي تحرّك بين المرحلتين، وما العمل الآن. تنزيل البيانات مع عمود العنقود – الملف نفسه مع عمود إضافي، للوصف والتحقق في الصفحات الأخرى.

الاستقرار بإعادة المعاينة – بنقرة. تحت رسم الصورة الظلية زر "حساب الاستقرار" (100 زوج وعينة افتراضيًا، بالبذرة نفسها كما في إحصاءة الفجوة). جدول 4 يعطي لكل k توزيع مؤشر راند المعدَّل بين حلول عينتَي bootstrap – القيمة الصغرى والربيعيات والوسيط والقيمة العظمى – والشكل 5 يعرضه في مخطط صندوقي، مع نقطة لكل زوج. جدول 5 ينتقل من التقسيم كله إلى الحل المختار: لكل عنقود – متوسط تشابه جاكار مع العنقود الأشبه به في عينات bootstrap، وكم مرة "تفكّك" وكم مرة "استُعيد"، والتفسير وفق Hennig (2023). تغيير k يعيد حساب جدول 5 فقط. حين يُحسب الاستقرار، يدخل أيضًا في فقرة النتائج وفي مربع القراءة. الأساليب – في القسم التالي.

الافتراضات والتحذيرات

الخوارزمية تُعيد دائمًا عناقيد. "مثل طرق التجميع هذه تصل دائمًا إلى k مجموعة، أيًّا كانت البيانات" (Rousseeuw, 1987, p. 55): ستُعيد k-المتوسطات ثلاثة عناقيد حتى من بيانات منتظمة تمامًا، بلا أي بنية؛ و"الطرق الهرمية تفرض بنية هرمية سواء أكانت هذه البنية موجودة فعلًا في البيانات أم لا" (Hastie et al., 2009, p. 522). لذلك إحصاءة الفجوة هي الإعداد الافتراضي لاختيار k، ولذلك يحذّر مربع القراءة حين تكون الصورة الظلية ضعيفة.

الاستقرار: هل سيتكرر الحل في عينة أخرى؟ يميّز Leisch (2016، ص 637)، في الفصل الخاص بفحص الاستقرار في الدليل المرجعي لـ Hennig وزملائه، بين مصدرين للعشوائية في كل تقسيم: العينة – مجموعة فرعية عشوائية من المجتمع – والخوارزمية، التي "من المعروف أنها تفرض بنية على البيانات حتى حين لا تكون مبنية جيدًا" (Dolnicar & Leisch، 2010، كما ورد في المرجع نفسه)؛ ولذلك فإن "استخدام تقسيم واحد، ناتج عن حساب واحد لخوارزمية معيّنة، يعرّض الباحثين لخطر استخدام حل عشوائي، لا حل موثوق". الطريقة ثنائية المرحلة تُلغي عشوائية الخوارزمية (لا بدء عشوائي)، لكن لا تُلغي عشوائية العينة. والاستقرار مهم خصوصًا حين تُتخذ قرارات بناءً على التقسيم – ففي تقسيم الأسواق هو أحد ستة معايير لتقييم الشرائح (Wedel & Kamakura، 1998، كما ورد في المرجع نفسه، ص 639) – وهو ليس مطابقًا لوجود عناقيد منفصلة: في الشكل 28.1 أربعة عناقيد لـ k-المتوسطات على بيانات منتظمة في مربع مستقرة جدًا، وعلى دائرة – غير مستقرة إطلاقًا (ص 638). طريقة الفحص هي إعادة المعاينة: تُسحب من البيانات عينات bootstrap، ويُجمَّع كل منها، وتُقارَن التقسيمات (ص 639-640)؛ يعرض الفصل ثلاث طرق – القوة التنبؤية (Tibshirani & Walther، 2005)، والاستقرار لكل عنقود بمؤشر جاكار (Hennig، 2007)، وARI بين أزواج عينات bootstrap (Dolnicar & Leisch، 2010؛ وكلها كما ورد في المرجع نفسه، ص 641-643) – ويخلص إلى أن "إعادة المعاينة تُحدث فرقًا كبيرًا، بينما الطريقة الدقيقة ليست بتلك الأهمية" (ص 650). يمكن أيضًا اختيار k حسب الاستقرار، لكن بحذر: "كثيرًا ما لا يمكن استبعاد أن يكون لتقسيم آخر غير الحقيقي استقرار مرتفع أيضًا" (ص 639). تُشغّل الصفحة، بنقرة، الطريقة الثالثة والثانية.

استقرار التقسيم كله (جدول 4 والشكل 5). في طريقة Dolnicar وLeisch (2010، كما ورد في Leisch، 2016، القسم 28.2.3) تُسحب عينتا bootstrap بحجم العينة، ويُجمَّع كل منهما، ويُنسب كل المشاركين الأصليين إلى أقرب مركز في كل من الاثنتين، ويُقارَن النسبان بمؤشر راند المعدَّل؛ ويُكرَّر ذلك مرات كثيرة، ويعطي كل زوج قيمة مستقلة. هذه الطريقة "في الوسط" بين الطريقتين الأخريين: فهي تقيس التقسيم كله، لكنها تسمح لعناقيد معيّنة، ربما صغيرة، بأن تكون غير مستقرة (ص 642). يُنظر إلى التوزيع، في مخطط صندوقي، و"القيم القريبة من الواحد تدل على استقرار مرتفع" (ص 643). في المثال الاصطناعي لـ Leisch، عند العدد الصحيح للعناقيد تساوي كل المؤشرات 1، وعند عدد خاطئ يتزحزح التوزيع إلى اليسار، وأحيانًا يكون ثنائي المنوال (ص 645). في الصفحة، تُستخدم الأزواج نفسها لكل قيم k، بحيث تكون المقارنة بين قيم k على العينات نفسها.

استقرار كل عنقود (جدول 5). في طريقة Hennig (2007, as cited in Leisch, 2016, Section 28.2.2) يُفحص التقسيم المختار، لا k بوجه عام (ص 646): في كل عينة bootstrap يؤخذ المشاركون الذين سُحبوا، كلٌّ منهم مرة واحدة، ويُجمَّعون، ولكل عنقود أصلي يُبحث عن العنقود الأشبه به في العينة وفق تشابه جاكار – عدد المشاركين المشتركين مقسومًا على عدد المشاركين في الاثنين معًا. متوسط التشابه عبر العينات هو مؤشر استقرار العنقود. يعطي Hennig (2023)، في توثيق الدالة clusterboot التي كتبها في حزمة fpc، قواعد إبهام: العنقود الصادق والمستقر يحتاج إلى متوسط .75 فما فوق؛ وبين .60 و.75 يشير العنقود إلى نمط في البيانات، لكن أيّ المشاركين ينتمون إليه – أمر مشكوك فيه جدًا؛ وتحت .60 – لا يُعتمد عليه؛ و"مستقر جدًا" – .85 فما فوق. وتُعدّ قيمة .50 فما دون في عينة مفردة "تفكّكًا" للعنقود، ولذلك مسوّغ نظري (Hennig, 2008, as cited in García-Escudero et al., 2016, p. 668). وفي التوثيق نفسه: الاستقرار ليس المعيار الوحيد للصدق، وحتى طريقة جامدة جدًا يمكن أن تعطي عناقيد مستقرة غير صادقة.

في ملف المثال (100 زوج، البذرة 2026) يُظهر جدول 4 بالضبط ما يصفه الفصل. لـ k = 3 وسيط ARI هو .95 والربيع الأدنى .94 – مستقر. لـ k = 2 الوسيط .87، لكن الربيع الأدنى .33 – التوزيع ثنائي المنوال، أي أن تقسيمين مختلفين إلى عنقودين يتنافسان. يصف Leisch مثل هذا التوزيع بأنه علامة على "عدة قيم عظمى محلية": فالقيمة المثلى المحلية في البيانات الأصلية قد تكون القيمة المثلى العامة في عينة bootstrap (ص 643). ومن k = 4 ينخفض الوسيط: .76، .62، وحتى .50 عند k = 8. في جدول 5، متوسط جاكار للعناقيد الثلاثة .98، .98 و.96 – مستقرة جدًا، ولم يتفكّك أيٌّ منها في أي عينة. وتحذير آخر من الفصل: يمكن اختيار k حسب الاستقرار، لكن بحذر – "كثيرًا ما لا يمكن استبعاد أن يكون لتقسيم آخر غير الحقيقي استقرار مرتفع أيضًا" (ص 639). في مسح السياحة الوارد في الفصل، كان التقسيم إلى 5 الأكثر استقرارًا، لكن شرائحه لم تكن لها ملامح واضحة، ولذلك لم يُختر (ص 648)؛ وفي التقسيم إلى 9 كانت بعض العناقيد أكثر استقرارًا من غيرها، وكانت المستقرة منها هي المثيرة للاهتمام (ص 649).

شكل العناقيد. تفضّل k-المتوسطات ووارد عناقيد "كروية" متقاربة الأحجام: "لا تعمل k-المتوسطات جيدًا حين تكون للعناقيد أحجام مختلفة أو كثافات مختلفة أو أشكال غير كروية" (Géron, 2022, Chapter 9, "Limits of k-means")؛ ووارد "يميل إلى إيجاد عناقيد كروية متقاربة الحجم" و"حساس للقيم المتطرفة" (Everitt et al., 2011, p. 78, Table 4.1)، و"كثيرًا ما يبدو أنه يعمل جيدًا، لكنه قد يفرض بنية كروية حيث لا توجد" (ص 84)، وفي دراسات المحاكاة نجح حين كانت العناقيد متقاربة الحجم وفشل حين كانت مختلفة الأحجام (ص 83)؛ وفي وارد "أحجام العناقيد متقاربة تقريبًا" (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 648)، وk-المتوسطات "تميل إلى إنتاج عناقيد متقاربة الحجم" (ص 677). قد تُبتلع مجموعة صغيرة متمايزة فعلًا؛ وللعناقيد الإهليلجية – المزيج الغاوسي (صفحة التعلّم غير الموجَّه، القسم 4).

القيم المتطرفة. مشارك متطرف واحد يجذب مركزًا نحوه (متوسطًا) ويزيد مجموع المربعات؛ في الربط المفرد تبقى القيم المتطرفة مشاركين منفردين، وفي الكامل تُبتلع داخل العناقيد (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 648, Table 7.24). العنقود المكوَّن من مشارك أو اثنين في الحل هو دائمًا تقريبًا قيمة متطرفة، لا نمط – يُفحص ذلك في صفحة القيم المتطرفة والافتراضات.

قيود عملية. القيم المفقودة: حذف الحالة كاملة (listwise deletion) في متغيرات التجميع (تُعلن الصفحة كم حالة حُذفت؛ للبدائل – Hastie et al.، 2009، ص 507، وصفحة القيم المفقودة). الحجم: حتى 3,000 مشارك، لأن التجميع الهرمي يحفظ كل المسافات بين أزواج المشاركين؛ وإحصاءة الفجوة تُشغّل التحليل كله على كل مجموعة مرجعية، ولذلك تستغرق مع 3,000 مشارك و100 عينة نحو دقيقة (يمكن تقليل عدد العينات). النتيجة حتمية، لكن حين يوجد مشاركون متطابقون أو مسافات متساوية تمامًا (شائع في فقرات ليكرت)، يُحدَّد ترتيب عمليات الدمج متساوية الارتفاع حسب ترتيب الصفوف، كما في R. يجب أن تكون المتغيرات كمّية: المتغير التصنيفي بترميز رقمي (1 = رجل، 2 = امرأة) يدخل بوصفه رقمًا ويجعل المسافة بلا معنى – وتُحذّر الصفحة.

ما لا تحسبه هذه الصفحة. طرق ربط أخرى (المفرد، الكامل، المتوسط)، مسافات أخرى (مانهاتن، جيب التمام)، المتغيرات التصنيفية والمختلطة (TwoStep مع اللوغاريتم-الإمكان)، المزائج الغاوسية وBIC، DBSCAN، اختبارات الدلالة بين العناقيد (انظروا الأخطاء الشائعة)، الاستقرار بطرق معاينة أخرى (القوة التنبؤية، العينات الفرعية، إضافة الضجيج)، والتحقق الخارجي الآلي – يُنزَّل عمود العنقود ويُفحص في صفحتي مربع كاي وتحليل التباين.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

في SPSS Statistics المرحلتان إجراءان منفصلان تحت Analyze › Classify. المسارات والخيارات التالية معلومات عامة عن البرنامج، كما في صفحة التعلّم غير الموجَّه، القسم 7؛ مراجع الصفحة تتناول SPSS Modeler لا Statistics. (1) التقييس: Analyze › Descriptive Statistics › Descriptives مع Save standardized values as variables – تُنشأ متغيرات باسم Z…. (2) وارد: Hierarchical Cluster على متغيرات Z؛ في زر Method – Ward's method مع Squared Euclidean distance؛ في زر Plots – Dendrogram؛ في زر Save – Single solution مع k. عمود Coefficients في جدول Agglomeration Schedule في SPSS ليس على مقياس ارتفاع الشجرة في R وفي الصفحة، لكن ترتيب عمليات الدمج يُفترض أن يكون الترتيب نفسه، باستثناء عمليات الدمج متساوية الارتفاع. (3) k-المتوسطات: K-Means Cluster على المتغيرات نفسها، مع عدد العناقيد، ومراكز أولية من ملف (Read initial)؛ تُحسب المراكز بوصفها متوسطات متغيرات Z حسب عنقود وارد (Data › Aggregate). من دون مراكز أولية، يختارها SPSS بنفسه من البيانات، وقد تختلف النتيجة عن نتيجة الصفحة.

أوامر Syntax التي تولّدها الصفحة تنفّذ الخطوات الثلاث: DESCRIPTIVES /SAVE، وCLUSTER مع /METHOD WARD /MEASURE SEUCLID و/SAVE CLUSTER(k)، وQUICK CLUSTER مع /INITIAL – مراكز وارد التي حسبتها الصفحة، مُدرجةً أرقامًا – ومع /METHOD KMEANS(NOUPDATE)، أي تحديث المراكز فقط في نهاية كل مرور على البيانات، كما في خوارزمية الصفحة. لم تُشغَّل أوامر Syntax في SPSS. في PSPP، وهو برنامج حر يقرأ أوامر Syntax الخاصة بـ SPSS، فُحص الجزء الأول فقط (التقييس)، لأنه لا يحتوي على الأمر CLUSTER ولا على /INITIAL. أما الصورة الظلية وإحصاءة الفجوة وفحوص الاستقرار بإعادة المعاينة فلا يحسبها SPSS Statistics – ولها R أو الصفحة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

في R الأساسية: scale للتقييس، hclust(dist(z), method = "ward.D2") لوارد (ward.D2 هو وارد على مسافات إقليدية؛ أما ward.D القديم فيفترض أنكم ربّعتموها مسبقًا)، cutree للقطع، وkmeans مع centers = مراكز وارد وalgorithm = "Lloyd" – خوارزمية الصفحة (الإعداد الافتراضي في R هو Hartigan-Wong، الذي "يضمن عدم وجود نقل مفرد لمشاهدة من مجموعة إلى أخرى يُنقص الهدف"؛ Hastie et al.، 2009، ص 510. في ملف المثال، لـ k = 2 و3 تعطي الخوارزميتان الحل نفسه؛ ولـ k أكبر يجد Hartigan-Wong أحيانًا حلًا بـ W_k أصغر قليلًا – وتُبلّغ الصفحة في مربع القراءة كم مشاركًا كان نقله المفرد سيُنقص W_k). الطريقة نفسها بوصفها دالة جاهزة: hkmeans في حزمة factoextra (Kassambara, 2017, pp. 163-164) – وارد (ward.D2) ثم kmeans، لكن بالإعدادات الافتراضية في R (Hartigan-Wong، وiter.max = 10)؛ في ملف المثال تطابق الصفحة لـ k = 2 و3، ولـ k أكبر تعطي W_k أصغر قليلًا. حزمة cluster تعطي silhouette وclusGap؛ مع d.power = 2 وspaceH0 = "original" وset.seed مساوية لبذرة الصفحة – الفجوة نفسها والخطأ المعياري نفسه كما في جدول 1. في نهاية النص البرمجي – فحصا الاستقرار في الجدولين 4-5: 100 زوج من عينات bootstrap مع ARI لكل k، وclusterboot من حزمة fpc مع الحل ثنائي المرحلة بوصفه طريقة التجميع؛ وبالبذرة نفسها يعطيان بالضبط قيم الصفحة. شُغِّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال (القيم في التعليقات). قاعدة الموقع للعربية في R: ملف UTF-8، كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وأسماء المتغيرات بالإنجليزية (الملف الإنجليزي).

# التحليل العنقودي – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)    # قراءة ملف إكسل
library(cluster)   # الصورة الظلية وإحصاءة الفجوة
library(mclust)    # مؤشر راند المعدَّل (adjustedRandIndex)
library(fpc)       # استقرار كل عنقود (clusterboot)

# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغير؛ ورقة العمل "Data"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_cluster_example_eng.xlsx", sheet = "Data")
v <- c("passive_use", "social_comparison", "content_creation", "social_connection", "daily_hours")
x <- as.data.frame(d[complete.cases(d[, v]), v])           # حذف الحالة كاملة (148 من 150)
z <- scale(x)                                             # التقييس: درجات z (المقام n − 1)

# المرحلة أ: وارد على مسافات إقليدية – الشجرة، وارتفاع عمليات الدمج الأخيرة
hc <- hclust(dist(z), method = "ward.D2")
rev(tail(hc$height, 5))                                   # الارتفاعات: 22.80 17.44 7.15 6.99 5.71 – قفزة بعد الثالث

# المرحلة ب: لكل k – قطع الشجرة، مراكز الثقل بوصفها مراكز أولية، ثم k-المتوسطات (Lloyd)
two_stage <- function(z, k, hc = hclust(dist(z), "ward.D2")) {
  w <- cutree(hc, k)
  centers <- apply(z, 2, function(col) tapply(col, w, mean))
  kmeans(z, centers = centers, iter.max = 100, algorithm = "Lloyd")
}
res <- lapply(2:8, function(k) two_stage(z, k, hc))
W   <- c(sum(z^2), sapply(res, function(m) m$tot.withinss))           # القيم W_k، بما في ذلك k = 1
sil <- sapply(res, function(m) mean(silhouette(m$cluster, dist(z))[, "sil_width"]))
round(cbind(k = 1:8, W = W, R2 = 1 - W / W[1], silhouette = c(NA, sil)), 3)   # جدول: R² .365/.575/.605؛ الصورة الظلية .337/.371/.274 (k = 2/3/4)

# إحصاءة الفجوة: الدالة نفسها، 100 عينة مرجعية منتظمة في مدى كل متغير؛ set.seed = بذرة الصفحة
set.seed(2026)
gap <- clusGap(z, FUNcluster = function(x, k) two_stage(x, k), K.max = 8, B = 100,
               d.power = 2, spaceH0 = "original")
print(gap, method = "Tibs2001SEmax")                      # الفجوة: k = 3؛ الفجوة 0.404/0.607/0.863/0.814، SE ≈ 0.035

# الحل المختار: الأحجام، والملامح بالوحدات الأصلية
km <- res[[2]]                                            # k = 3
km$size                                                   # الأحجام: 59 51 38
round(aggregate(x, by = list(cluster = km$cluster), FUN = mean), 2)
summary(silhouette(km$cluster, dist(z)))$clus.avg.widths  # الصورة الظلية لكل عنقود: .370 .369 .373
d$cluster <- NA; d$cluster[complete.cases(d[, v])] <- km$cluster   # عمود العنقود للملف

# الحل نفسه بدالة جاهزة: hkmeans في حزمة factoextra (Kassambara، 2017، الفصل 16) – وارد ثم k-المتوسطات، لكن بخوارزمية Hartigan-Wong
# ومن دون iter.max = 100؛ في ملف المثال مطابق لـ k = 2-3، ولـ k = 4 فما فوق W أصغر قليلًا
# factoextra::hkmeans(z, 3)$size                          # 59 51 38

# الاستقرار بإعادة المعاينة (Leisch، 2016، الفصل 28) – كما في الجدولين 4-5 في الصفحة، بالبذرة نفسها
# (أ) الحل كله (Dolnicar & Leisch، 2010، كما ورد في المرجع نفسه): عينتا bootstrap، تجميع في كل منهما لكل k، نسبة كل المشاركين
# الأصليين إلى أقرب مركز في كل من الاثنتين، وARI بين النسبين؛ 100 زوج – الأزواج نفسها لكل k
nearest <- function(z, centers) apply(z, 1, function(r) which.min(colSums((t(centers) - r)^2)))
set.seed(2026)
stab <- t(replicate(100, {
  s1 <- z[sample.int(nrow(z), replace = TRUE), ]
  s2 <- z[sample.int(nrow(z), replace = TRUE), ]
  sapply(2:8, function(k) adjustedRandIndex(nearest(z, two_stage(s1, k)$centers), nearest(z, two_stage(s2, k)$centers)))
}))
colnames(stab) <- paste0("k=", 2:8)
round(apply(stab, 2, quantile, c(.25, .5, .75)), 3)       # جدول 4: الوسيط k=2 .868 (الربيع الأدنى .333)، k=3 .945 (.939)، k=4 .760، k=5 .621 وحتى .503 عند k=8
boxplot(stab, xlab = "k", ylab = "ARI")                   # الشكل 5 (من دون النقاط)

# (ب) كل عنقود (Hennig، 2007، كما ورد في المرجع نفسه): clusterboot من حزمة fpc، مع الحل ثنائي المرحلة بوصفه دالة التجميع
hkm <- function(data, k) {
  cl <- two_stage(as.matrix(data), k)$cluster
  list(result = cl, nc = k, clusterlist = lapply(1:k, function(i) cl == i), partition = cl, clustermethod = "Ward + k-means")
}
cb <- clusterboot(z, B = 100, bootmethod = "boot", clustermethod = hkm, k = 3, seed = 2026, count = FALSE)
round(cb$bootmean, 3)                                     # جدول 5، متوسط جاكار: .981 .975 .963
cb$bootbrd; cb$bootrecover                                # تفكّك (≤ .50) / استُعيد (> .75)، من 100: 0 0 0 / 100 100 100

عرض النتائج

في التحليل العنقودي قرارات كثيرة يتخذها الباحث، ولذلك يجب أن يتيح عرض النتائج إعادة إنتاجها: أيّ المتغيرات دخلت ولماذا؛ هل قُيِّست؛ المسافة والطريقة (وارد، ثم k-المتوسطات من مراكز وارد)؛ كيف اختير عدد العناقيد – المعايير وقيمها، حتى حين تختلف؛ حجم كل عنقود؛ جدول الملامح مع المتوسطات الحسابية والانحرافات المعيارية؛ متوسط الصورة الظلية؛ وإذا فُحص الاستقرار – الطريقة وعدد العينات والنتيجة؛ وإذا أُجري تحقق – في أيّ شيء تختلف العناقيد في متغيرات لم تشارك في بنائها. تطلب APA (2020، القسم 6.43) الإبلاغ عن "معلومات كافية ليتمكن القارئ من تأكيد التحليلات". أسماء العناقيد ("مستهلكون سلبيون") تفسير، ويُبلَّغ عنها مع المتوسطات التي تستند إليها. قواعد الشكل (APA, 2020, Section 6.36): المتوسطات والانحرافات المعيارية مع صفر قبل النقطة، ومتوسط الصورة الظلية وη² من دونه. فقرة النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو، بالعربية والإنجليزية.

أخطاء شائعة

نسيان تقييس متغيرات بوحدات مختلفة – والحصول على عناقيد للمتغير ذي المدى الأكبر. والتقييس من دون تفكير – حين يحصل متغير مشوَّش على وزن متغير مميِّز (Hastie et al., 2009, p. 506).

التجميع حسب عشرات من فقرات ليكرت المفردة بدلًا من درجات المقاييس – فالمسافة على فقرات مفردة مسألة خلافية (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 635)، والفقرات الكثيرة لمقياس واحد تمنحه وزنًا مضاعفًا.

إدخال "كل ما هو متاح"، بما في ذلك متغيرات الخلفية (الجنس، العمر) ومتغيرات النتيجة – ثم "اكتشاف" أن العناقيد تختلف فيها. المتغير الذي شارك في بناء العناقيد لا يمكنه التحقق من صدقها.

اختيار k حسب ما يبدو جيدًا من دون الإبلاغ عن المعايير، أو اختيار k ذي أعلى صورة ظلية حين تكون .20 – أي حين لا توجد بنية واضحة.

اختبارات F أو t بين العناقيد على متغيرات التجميع، والإبلاغ بأن "العناقيد تختلف اختلافًا دالًّا". فقد بنت الخوارزمية العناقيد بحيث تختلف بالضبط في هذه المتغيرات، ولذلك فالدلالة مضمونة مسبقًا ولا تضيف معلومات. تطبع الصفحة η² مؤشرًا وصفيًا، من دون p.

تفسير المخطط الشجري بوصفه "بنية البيانات". "قد تؤدي طرق هرمية مختلفة، وكذلك تغييرات صغيرة في البيانات، إلى مخططات شجرية مختلفة إلى حد بعيد" (Hastie et al., 2009, p. 521).

الاكتفاء بتشغيل واحد. تقسيم واحد من عينة واحدة قد يكون "حلًا عشوائيًا، لا حلًا موثوقًا" (Leisch, 2016, p. 637)؛ قبل الإبلاغ عن أنماط – يُفحص الاستقرار بإعادة المعاينة (الجدولان 4-5).

النظر إلى العنقود بوصفه مجموعة حقيقية – نمطًا موجودًا في المجتمع – من دون تحقق: العنقود وصف لهذه العينة، بهذه المتغيرات وهذه المسافة (صفحة التعلّم غير الموجَّه، القسم 6).

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Everitt, B. S., Landau, S., Leese, M., & Stahl, D. (2011). Cluster analysis (5th ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470977811

García-Escudero, L. A., Gordaliza, A., Matrán, C., Mayo-Iscar, A., & Hennig, C. (2016). Robustness and outliers. In C. Hennig, M. Meilă, F. Murtagh, & R. Rocci (Eds.), Handbook of cluster analysis (pp. 653-677). Chapman & Hall/CRC.

Géron, A. (2022). Hands-on machine learning with Scikit-Learn, Keras, and TensorFlow: Concepts, tools, and techniques to build intelligent systems (3rd ed.). O'Reilly Media.

Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. (2009). The elements of statistical learning: Data mining, inference, and prediction (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-84858-7

Hennig, C. (2023). fpc: Flexible procedures for clustering (R package version 2.2.11) [Computer software]. https://CRAN.R-project.org/package=fpc

Kassambara, A. (2017). Practical guide to cluster analysis in R: Unsupervised machine learning (Ed. 1). STHDA.

Leisch, F. (2016). Resampling methods for exploring cluster stability. In C. Hennig, M. Meilă, F. Murtagh, & R. Rocci (Eds.), Handbook of cluster analysis (pp. 637-652). Chapman & Hall/CRC.

Rousseeuw, P. J. (1987). Silhouettes: A graphical aid to the interpretation and validation of cluster analysis. Journal of Computational and Applied Mathematics, 20, 53-65. https://doi.org/10.1016/0377-0427(87)90125-7

Wendler, T., & Gröttrup, S. (2021). Data mining with SPSS Modeler: Theory, exercises and solutions (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-030-54338-9

Ward (1963)، Kaufman وRousseeuw (1990)، Marriott (1982)، Milligan وCooper (1988) – كما ورد في Everitt وآخرين (2011)؛ IBM (2015) وMardia وآخرون (1979) – كما ورد في Wendler وGröttrup (2021)؛ Tibshirani وآخرون (2001) – كما ورد في Hastie وآخرين (2009) وفي Everitt وآخرين (2011)؛ Dolnicar وLeisch (2010)، Wedel وKamakura (1998)، Tibshirani وWalther (2005) وHennig (2007) – كما ورد في Leisch (2016)؛ Hennig (2008) – كما ورد في García-Escudero وآخرين (2016). Hennig (2023) – توثيق clusterboot (صفحة المساعدة في الحزمة)، وقد قُرئ في أصله. وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المصادر التي قُرئت في أصلها. Géron (2022) في نسخة رقمية بلا أرقام صفحات – الاقتباس حسب الفصل والقسم؛ Everitt وآخرون (2011)، Hastie وآخرون (2009)، Wendler وGröttrup (2021)، Rousseeuw (1987)، Leisch (2016)، García-Escudero وآخرون (2016) وKassambara (2017) – حسب الصفحة المطبوعة. الحساب في الصفحة مُتحقَّق منه مقابل R 4.3.3 (hclust، cutree، kmeans) والحزمتين cluster (silhouette، clusGap) وmclust (adjustedRandIndex)، والاستقرار – مقابل sample.int في R وfpc (clusterboot).