اختبار t لعينة واحدة

حاسبة

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

اختيار المتغيرات وقيمة الاختبار

دليل

متى يُستخدم؟

حين توجد عينة واحدة، ومتوسط واحد، وسؤال واحد: هل يختلف هذا المتوسط عن قيمة معيّنة. يعرض Gravetter وWallnau (2017، الفصل 9) حالتين. الأولى – مجتمع معروف قبل العلاج: متوسط المجتمع قبل العلاج معروف (مثلًا 30)، وتلقّت عينة علاجًا، والسؤال هو هل لا يزال المتوسط بعد العلاج 30 (ص 274-275، الشكل 9.3). والثانية، وهي الأكثر شيوعًا في العلوم الاجتماعية – قيمة مشتقة من المنطق، من دون أي معرفة سابقة بالمجتمع: أسئلة تقدير على مقياس 1-7، حيث 4 "محايد"، وسؤال البحث هو هل لدى المستجيبين موقف أصلًا – H₀: μ = 4 (ص 275-276؛ دراسة الفكاهة لـ McGee وShevlin، 2009، في مستهل الفصل: حصل وصف يتضمن حس الفكاهة على M = 4.53، وهو أعلى بدلالة إحصائية من 4)؛ أو رُضّع نظروا إلى وجهين مدة 20 ثانية – إذا لم يوجد تفضيل، فالمتوسط للوجه الجميل 10 ثوانٍ، H₀: μ = 10 (المثال 9.2). "كل ما يلزم لحساب t هو فرضية صفرية وعينة من المجتمع غير المعروف" (ص 275).

هذا الاختبار هو أساس عائلة t: الاختباران الآخران في الموقع – لعينتين مستقلتين (مجموعتان منفصلتان) ولعينتين مترابطتين (المشاركون أنفسهم مرتين) – يقارنان متوسطين أحدهما بالآخر؛ أما هنا فيُقارَن متوسط واحد بقيمة ثابتة. درجة المقياس متعدد الفقرات (صفحة ألفا كرونباخ ودرجة المقياس) تُعامَل كمتغير فتري وفق اصطلاح الموقع (المتغيرات ومستويات القياس)، ولذلك يمكن فحصها مقابل منتصف المقياس؛ أما فقرة ليكرت المفردة – فلا (التكرارات والوسيط، في صفحة التكرارات).

المنطق: الفرق مقسومًا على الخطأ المعياري

فكرة Gravetter وWallnau (2017، القسم 9.1): متوسط العينة يقارب متوسط المجتمع، والخطأ المعياري يبيّن كم فرقًا معقولًا يُتوقع بينهما. في z-score يُقسَم الفرق M − μ على الخطأ المعياري الحقيقي، الذي يتطلب الانحراف المعياري للمجتمع – وهو لا يكاد يكون معروفًا أبدًا؛ "السبب الوحيد للاختبار هو التعرّف على مجتمع غير معروف" (ص 269). الحل: يُقدَّر الخطأ المعياري من العينة، s_M = s/√n (الصيغة 9.1)، فيُحصل على t – البنية نفسها التي لـ z، مع تقدير في المقام: t = (M − μ)/s_M (الصيغة 9.2). يقيس البسط الفرق الفعلي بين البيانات والفرضية؛ ويقيس المقام – كم فرقًا معقولًا يُتوقع بالصدفة؛ وحين يكون البسط أكبر كثيرًا من المقام، تكون t كبيرة (موجبة أو سالبة) ولا تتسق البيانات مع الفرضية (ص 275).

لأن المقام أيضًا مُقدَّر ويتغير من عينة إلى أخرى، فإن t تتغير أكثر من z: توزيع t أكثر تفلطحًا واتساعًا من التوزيع الطبيعي، خصوصًا حين تكون درجات الحرية – df = n − 1 (الصيغة 9.3) – صغيرة، ويقترب منه كلما كبرت n (القسم 9.1، الشكل 9.1): عند df = 1 تكون القيمة الحرجة ذات الطرفين لـ .05 هي 12.706، وعند df = 8 – 2.306، وعند اللانهاية – 1.96 (الجدول 9.1). لا تستخدم الصفحة الجدول: إنها تحسب p الدقيقة من توزيع t، كما يفعل "مطبوع الحاسوب" (ص 287)، وتعرضها كرقم لا كـ p < .05.

كيف تُقرأ المخرجات؟

الجدول 1 – إحصاءات العينة. N للقيم الصالحة، والمتوسط، والانحراف المعياري (للعينة، n − 1) والخطأ المعياري للمتوسط. هذا جدول One-Sample Statistics في SPSS. يُتحقق أولًا من أن N منطقي – القيم المفقودة الكثيرة أو قيمة نصية في العمود تُنقصه، والصفحة تنبّه إلى ذلك عند التحميل.

الجدول 2 – الاختبار. جدول One-Sample Test في SPSS: قيمة الاختبار، وt، وdf، وp ذات الطرفين، والفرق M − μ₀ (Mean Difference) وفترة الثقة 95% للفرق. إشارة t والفرق تبيّن في أي اتجاه تنحرف العينة عن قيمة الاختبار: موجبة – المتوسط أعلى منها. p أصغر من .05 – المتوسط يختلف اختلافًا دالًّا إحصائيًا عن قيمة الاختبار؛ وإلا – لم يُعثَر على فرق دالّ إحصائيًا (Gravetter & Wallnau، 2017، ص 277: "القرار الإحصائي"). فترة الثقة. يطبع الجدول الفترة للفرق، كما في SPSS؛ وفي ملاحظة الجدول وفي الرسم البياني تظهر الفترة نفسها للمتوسط – μ = M ± t·s_M (الصيغة 9.6؛ المثال 9.5) – وهي ببساطة فترة الفرق مضافًا إليها قيمة الاختبار. حين تتضمن فترة الفرق الصفر (أي تتضمن فترة المتوسط قيمة الاختبار)، لا يكون الاختبار دالًّا إحصائيًا، والعكس صحيح. تضيق الفترة كلما كبرت العينة وكلما انخفض مستوى الثقة (ص 286)؛ ولذلك، كما يحذّر Gravetter وWallnau، فهي وصف للأثر لكنها ليست بديلًا عن d أو عن r² (ص 286).

حجم الأثر

"من الممكن أن يكون أثر علاجي صغير جدًا 'دالًّا إحصائيًا'، خصوصًا حين تكون العينة كبيرة جدًا"، ولذلك يُعرض إلى جانب الاختبار أيضًا مؤشر لحجم الأثر (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 279). في المخرجات مؤشران، وكلاهما لا يكاد يعتمد على حجم العينة (ص 284):

d لكوهين (تقدير). الفرق بين متوسط العينة وقيمة الاختبار بوحدات الانحراف المعياري للعينة: d = (M − μ)/s (الصيغة 9.4). في مثال الرُّضّع: (13 − 10)/3 = 1.00 – الأثر يساوي انحرافًا معياريًا واحدًا (المثال 9.3، الشكل 9.5). يشير Gravetter وWallnau إلى أنه حين تُوضع قيم العينة بدلًا من المَعالم، يفضّل باحثون كثيرون تسميته "d المقدَّر" (ص 280)؛ وهو أيضًا Cohen's d الذي في مخرجات SPSS 27 وما بعده للعينة الواحدة. اصطلاحات Cohen (1988، ص 25-27): 0.2 صغير، 0.5 متوسط، 0.8 كبير – مع تحذيره من أن العتبات للاسترشاد، وأن الأثر يُحكم عليه في سياق المجال.

r² – نسبة التباين المفسَّر. كم من التباين في الدرجات "يُفسَّر" بالإزاحة عن قيمة الاختبار: في المثال، التباين حول 10 هو SS = 153، وبعد إزالة الأثر (3 نقاط من كل درجة) – 72؛ والفرق، 81 من أصل 153، هو 52.94% (الجدول 9.2). الصيغة من الاختبار نفسه: r² = t²/(t² + df) (الصيغة 9.5) – وفي سياق t يُسمّى أحيانًا أيضًا ω². عتبات Cohen لـ r² (الجدول 9.3): .01 صغير، .09 متوسط، .25 كبير – انتبهوا إلى أن هذه عتبات r مربَّعة (.1/.3/.5)، وهي مختلفة عن العتبات التي تأتي بها صفحة اختبار t للعينات المستقلة لـ η² من Pallant (.01/.06/.14)؛ هذه الصفحة تتبع مرجعها، Gravetter وWallnau. الانحراف المعياري الكبير يُصغّر t ومؤشري الأثر كليهما؛ أما حجم العينة فيُصغّر p فقط (ص 278، 284).

الافتراضات والتحذيرات

الافتراضان (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 277-278): المشاهدات مستقلة بعضها عن بعض – حدث واحد لا يؤثر في احتمال الآخر (مشارك قيس مرتين، أزواج، صفوف دراسية – تنتهك ذلك)؛ والمجتمع موزَّع توزيعًا طبيعيًا – افتراض ضروري للرياضيات، لكن "لانتهاكه أثر عملي ضئيل، خصوصًا حين تكون العينة كبيرة نسبيًا"؛ وفي العينة الصغيرة جدًا يكون مهمًا، و"إذا وُجد سبب للاشتباه في أن التوزيع غير طبيعي – فاستخدموا عينة كبيرة، من باب الاحتياط". ويشرح Field (2024) السبب: المطلوب هو توزيع معاينة طبيعي للمتوسط، ونظرية النهاية المركزية تضمنه حين تكون العينة كبيرة بما يكفي (القسمان 6.2.7 و6.8.3) – القيمة المتعارف عليها 30، لكن في توزيع بذيول ثقيلة قد يلزم 100 بل أكثر (الإطار 6.4)؛ في العينة الصغيرة يُنظر إلى المدرّج التكراري (التكرارات والإحصاء الوصفي) وإلى القيم المتطرفة (القيم المتطرفة والافتراضات)، وفي العينة الكبيرة لا يُحسم الأمر وفق اختبار اعتدالية (الإطار 6.7). يذكّر مربع "قراءة النتيجة" بذلك حين تكون n أصغر من 30.

قيمة الاختبار قرار، لا نتيجة. تُحدَّد قبل التحليل انطلاقًا من المنطق أو من معرفة خارجية – منتصف المقياس، متوسط منشور، معيار – ويُبلَّغ عنها مع مسوّغها. اختيارها بعد رؤية المتوسط، أو تجربة عدة قيم حتى تخرج نتيجة دالّة، يهدم معنى p (انظروا أخلاقيات البحث، القسم 7).

الاختبار ذو الطرف الواحد. يبيّن Gravetter وWallnau (القسم 9.4) كيف يُجرى اختبار موجَّه – القيمة الحرجة تؤخذ من طرف واحد، ويُكتب "ذو طرف واحد" صراحةً – ويذكران أن الاختبار ذا الطرفين أكثر شيوعًا، وأن الموجَّه مناسب حين يوجد مسوّغ مسبق. تحسب الصفحة p ذات الطرفين فقط؛ ومن خطط مسبقًا لاختبار ذي طرف واحد، وجاء الفرق في الاتجاه المتنبَّأ به، يقسم p على اثنين – ويُبلغ عن ذلك.

القيم المفقودة. لكل متغير مفحوص يُدرج المشاركون الذين لديهم قيمة صالحة فيه – الحذف حسب التحليل (/MISSING=ANALYSIS)، وهو الإعداد الافتراضي في SPSS؛ وقد يتغير N من متغير إلى آخر. الاختبارات المتعددة. عدة متغيرات بنقرة واحدة هي عدة اختبارات، لكل منها خطر 5% للخطأ من النوع I؛ يُبلَّغ عنها كلها، ويُنظر في التصحيح (صفحة الارتباطات: Holm / FDR).

ما لا تحسبه الصفحة. فترة الثقة لـ d (يطبعها SPSS 27 وما بعده)، وbootstrap، والاختبار ذو الطرف الواحد كمخرجات، واختبار الإشارة وويلكوكسون لعينة واحدة (البدائل اللامعلمية)، وBayes factor.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

المراجع التي يستند إليها الموقع (Field، 2024؛ Pallant، 2020) لا تصف هذا الإجراء – إذ تنتقل مباشرة إلى اختبارات المجموعتين – ولذلك فالوصف هنا من الموقع، وقد تم التحقق منه مقابل PSPP (تنفيذ حر لـ SPSS): Analyze › Compare Means › One-Sample T Test… – المتغير (أو عدة متغيرات) إلى مربع Test Variable(s)، وقيمة الاختبار في حقل Test Value (الإعداد الافتراضي 0 – ولا يكاد يكون أبدًا ما يُراد)؛ Options… – مستوى فترة الثقة ومعالجة المفقودين؛ وفي الإصدار 27 وما بعده – مربع Estimate effect sizes. أوامر Syntax التي تولّدها الصفحة:

T-TEST
  /TESTVAL=3
  /MISSING=ANALYSIS
  /VARIABLES=עמדות_ציון
  /ES DISPLAY(TRUE)
  /CRITERIA=CI(.95).

قراءة المخرجات. One-Sample Statistics = الجدول 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error Mean)؛ One-Sample Test = الجدول 2 – في العنوان Test Value = 3، ثم t, df, Sig. (2-tailed) (في 27 وما بعده أيضًا One-Sided p – تُتجاهل)، وMean Difference و95% Confidence Interval of the Difference – فترة للفرق، لا للمتوسط؛ One-Sample Effect Sizes – صف Cohen's d، Point Estimate (يطبع SPSS أيضًا Hedges' correction، وهو غير موجود في الصفحة). قيمة اختبار واحدة لكل المتغيرات في الأمر؛ وحين تُختار في الصفحة قيم مختلفة لمتغيرات مختلفة، تتضمن أوامر Syntax أمر T-TEST لكل قيمة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

في R الأساسي تعطي t.test(x, mu = …) قيم t وdf وp وفترة ثقة للمتوسط (لا للفرق كما في SPSS – يُطرح μ₀ للمقارنة)؛ وd وr² يُحسبان يدويًا. شُغِّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال وأعطى قيم الجداول (في التعليقات). قاعدة الموقع للعربية في R: ملف UTF-8، كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وبيئة UTF-8 للأسماء غير اللاتينية.

# اختبار t لعينة واحدة – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)   # قراءة ملف إكسل

# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغيّر؛ ورقة العمل "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_ttest1_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
y <- d[["עמדות_ציון"]]; y <- y[!is.na(y)]

# إحصاءات العينة – الجدول 1
c(n = length(y), M = mean(y), SD = sd(y), SE = sd(y) / sqrt(length(y)))   # القيم n 120, M 3.270, SD 0.745, SE 0.068

# الاختبار مقابل قيمة الاختبار 3 (منتصف مقياس 1-5) – الجدول 2؛ فترة الثقة في R هي للمتوسط
tt <- t.test(y, mu = 3)
tt                                   # النتيجة t = 3.96, df = 119, p = .00013، فترة الثقة للمتوسط [3.135, 3.404]
tt$conf.int - 3                      # فترة الثقة للفرق، كما في SPSS: [0.135, 0.404]

# حجم الأثر: d لكوهين = (M − μ)/s، وr² = t²/(t² + df)
(mean(y) - 3) / sd(y)                                                     # القيمة d = 0.362
unname(tt$statistic^2 / (tt$statistic^2 + tt$parameter))                # القيمة r² = .117

عرض النتائج

يُبلَّغ عن الوصف ثم عن الاختبار: المتوسط والانحراف المعياري، وقيمة الاختبار وما تمثّله، وt مع درجات الحرية بين قوسين، وp الدقيقة، وحجم الأثر – وفترة الثقة مباشرة بعد الاختبار (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 287; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). مثال Gravetter وWallnau: "نظر الرُّضّع إلى الوجه الجميل M = 13 من أصل 20 ثانية في المتوسط، SD = 3.00. كان الزمن أعلى بدلالة إحصائية من المتوقع في غياب التفضيل، t(8) = 3.00, p = .017, r² = 0.5294"، ومع فترة الثقة: t(8) = 3.00, p < .05, 80% CI [11.603, 14.397]. حين تكون p الدقيقة متاحة – يُبلَّغ عنها (p = .017، لا p < .05)؛ و"p = 0.000" في المطبوع ليست صفرًا بل تقريب – يُكتب p < .001 (ص 287). في الاختبار ذي الطرف الواحد يُكتب "ذو طرف واحد" صراحةً (ص 289).

قواعد الشكل (APA, 2020, Section 6.36): t والفرق مع صفر قبل النقطة؛ وp وr² من دونه (لا يمكن أن يتجاوزا 1)؛ وd مع الصفر. جمل عرض النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو، بالعربية والإنجليزية، مع فترة الثقة 95% للمتوسط.

أخطاء شائعة

ترك قيمة الاختبار 0. الإعداد الافتراضي في SPSS يفحص هل يختلف المتوسط عن الصفر – وهو دائمًا تقريبًا "دالّ" ودائمًا تقريبًا بلا معنى. قيمة الاختبار هي الفرضية (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 275-276).

اختيار قيمة الاختبار بعد رؤية المتوسط. الفرضية تسبق البيانات؛ وإلا فإن p لا تقول شيئًا.

قراءة فترة الثقة في SPSS كفترة للمتوسط. إنها فترة للفرق عن قيمة الاختبار؛ وللمتوسط – تُضاف قيمة الاختبار (أو تُقرأ ملاحظة الجدول في الصفحة).

تفسير "غير دالّ" بأنه "المتوسط يساوي قيمة الاختبار". فترة الثقة التي تتضمن قيمة الاختبار تعني أن الفرق الحقيقي قد يكون سالبًا أو صفرًا أو موجبًا – لا أنه صفر. يُبلَّغ عن d وعن الفترة.

اختبار لعينة واحدة على فقرة ليكرت مفردة. وفق اصطلاح الموقع الفقرة المفردة متغير ترتيبي – التكرارات والوسيط؛ أما متوسط درجة المقياس متعدد الفقرات – فنعم.

الخلط بين مسطرتي r² وη². .09 هي r² متوسطة عند Gravetter وWallnau (الجدول 9.3)؛ و.06 هي η² متوسطة عند Pallant – مسطرتان، الفكرة نفسها، أعداد مختلفة.

قسمة p على اثنين بعد رؤية الاتجاه. الاختبار ذو الطرف الواحد يُخطَّط له مسبقًا، ويُسوَّغ، ويُبلَّغ عنه بوصفه كذلك (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 9.4).

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

McGee وShevlin (2009) وSlater وزملاؤه (1998) – كما ورد في Gravetter وWallnau (2017). وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المراجع التي قُرئت في أصلها؛ Gravetter وWallnau (2017)، وCohen (1988) وAPA (2020) – حسب الصفحة والقسم في الطبعة المطبوعة؛ Field (2024) في نسخة رقمية متدفقة – حسب القسم. إجراء SPSS – وصف من الموقع، تم التحقق منه مقابل PSPP (غير مقتبس من مرجع).