القيم المتطرفة والافتراضات: ما الذي يحرف النتائج، وما الذي يُفعل

دليل

في هذه الصفحة

تقريبًا جميع الاختبارات في الموقع – الارتباط، t، ANOVA، الانحدار – هي صيغ لنموذج واحد، النموذج الخطي، ولذلك لها الافتراضات نفسها والأعداء أنفسهم. يسمّي Field (2024، الفصل 6) ذلك "وحش التحيّز" ذا الرأسين: القيم المتطرفة وانتهاك الافتراضات. تشرح الصفحة ما الذي يضرّه كل رأس – لأن ليس كل شيء يتضرر بالقدر نفسه: التقدير نفسه سليم في الغالب، وما ينكسر هو الخطأ المعياري ومعه فترة الثقة والاختبار – وترتّب الافتراضات حسب الأهمية (الخطية أولًا، والاعتدالية أخيرًا)، وتُظهر كيف تُكتشف المشكلات في الرسوم البيانية وفي الأرقام، وما الذي يُفعل: طرق متينة، لا الحذف ولا تحويل النتيجة.

1. ما التحيّز – وما الذي يتضرر بالضبط

القاضي "المتحيّز" هو مَن لا يتطابق حكمه مع الحقيقة الموضوعية؛ وكذلك في الإحصاء – المَعلَمات التي نقدّرها قد تختلف عن قيمها الحقيقية، والاختبارات قد تخطئ (Field, 2024, Section 6.3). المهم لهذه الصفحة هو أن "التحيّز" ليس شيئًا واحدًا. يفكّكه Field وفق ما يُراد من النموذج: إذا أُريد التقدير – فالمقدِّر غير المتحيّز هو الذي يصيب، في المتوسط عبر العينات، قيمة المجتمع؛ والمقدِّر المتسق يقترب منها كلما كبرت العينة؛ والمقدِّر الكفء هو ذو التباين الأصغر من بين البدائل. وإذا أُريدت فترة ثقة – فما يُفحص هو التغطية: الفترة البالغة 95% يُفترض أن تحتوي قيمة المجتمع في 95% من العينات، وإن لم تفعل – فهي متحيّزة. وإذا أُريد اختبار فرضية – فالاختبار غير المتحيّز يحافظ على معدل الخطأ من النوع I المحدَّد (5%) وعلى معدل الخطأ من النوع II (20%). هذا التمييز هو المفتاح لكل ما سيأتي: معظم الانتهاكات تترك التقدير سليمًا وتضرّ بالخطأ المعياري – ومعه بفترة الثقة وبالاختبار.

2. القيم المتطرفة – الرأس الأول

القيمة المتطرفة درجة تختلف كثيرًا عن بقية البيانات. مثال Field (2024، القسم 6.4) هو المراجعات السبع الأولى للطبعة الأولى من كتابه على أمازون: 2، 5، 4، 5، 5، 5، 5. المتوسط 4.43؛ ومن دون المراجعة الأولى – 4.83. درجة واحدة جرّت المتوسط 0.4 إلى الأسفل، وكان مشترٍ جديد سيستنتج أن الكتاب أسوأ مما يراه المجتمع. وفي نموذج بمتنبِّئ – حفلة موسيقية صاخبة جدًا مع طنين قصير نسبيًا في الأذنين – سطّحت القيمة المتطرفة خط الانحدار: انخفض الميل من 9.94 إلى 6.01. لكن النقطة المهمة عند Field هي أن القيم المتطرفة تضرّ بالخطأ أكثر بكثير مما تضرّ بالتقدير: في مثال المحاضرين الخمسة (1، 3، 4، 3، 2)، استبدال 4 بـ 10 يحرّك المتوسط من 2.6 إلى 3.8، لكنه يحرّك مجموع مربعات الخطأ من 5.2 إلى 50.8 – منها 38.44 تقع على عاتق القيمة المتطرفة. السبب: الأخطاء تُربَّع، والانحراف الكبير يُضرب في نفسه. ومجموع المربعات هو ما يُحسب منه الانحراف المعياري، والخطأ المعياري، وفترة الثقة، وإحصاءة الاختبار. قيمة متطرفة واحدة – فترة ثقة واسعة واختبار ضعيف.

ومع ذلك، Field قاطع: القيم المتطرفة تبقى في البيانات، ما لم يكن هناك دليل متين على أنها ليست من المجتمع الذي يهمّنا. كون الدرجة متطرفة ليس سببًا لحذفها. السؤال الذي يجب طرحه هو لماذا: إذا انتهت الحفلة الصاخبة بطنين قصير، وتبيّن أن هذا الشخص هو الوحيد الذي وضع سدّادات أذن – فهذا يفسّر وينقله إلى مجتمع آخر في آن، ويمكن استبعاده، بشرط الإبلاغ بأنه استُبعد ولماذا؛ ويُستحسن تحديد معايير الاستبعاد مسبقًا، في تسجيل مسبق. وإن لم يوجد تفسير كهذا – فالإعداد الافتراضي هو أن القيمة المتطرفة تعكس تباينًا طبيعيًا، ويُراد الإبقاء عليها. ويضيف Field تحذيرًا من "القيم المتطرفة المراوغة" (الإطار 6.5): لا درجة قصوى ومنفردة، بل مجتمع فرعي صغير ذو ذيول ثقيلة يختبئ داخل توزيع يبدو جرسًا مثاليًا – توزيع طبيعي مختلط (Tukey, 1960, as cited in Field). وهو يضخّم تقدير التباين ويخفض القوة الإحصائية للاختبارات، وهو شائع جدًا.

3. الافتراضات – بترتيب الأهمية، لا بالترتيب الذي تُدرَّس به

الافتراض شرط يضمن أن ما نحاول فعله يعمل كما ينبغي (Field, 2024, Section 6.5). تُعرض الإجراءات الإحصائية عادةً كاختبارات منفصلة لكل منها افتراضاته، لكن معظمها صيغ للنموذج الخطي المقدَّر بطريقة المربعات الصغرى، ولذلك لها منظومة افتراضات مشتركة. يرتّبها Field حسب الأهمية: (1) الخطية والجمعية؛ (2) القيمة المتوقعة للأخطاء صفر – متحقق دائمًا تقريبًا؛ (3) "الأخطاء الكروية" – تساوي التباين (تجانس التباين) والاستقلال؛ (4) اعتدالية "شيء ما". ويضيف جدوله 6.1 ما يشتريه كل افتراض: الخطية لازمة لكل شيء؛ ولتقدير غير متحيّز يكفي أن يكون متوسط الأخطاء صفرًا؛ ولأفضل تقدير – الأخطاء الكروية أيضًا؛ ولخطأ معياري غير متحيّز – الأخطاء الكروية واعتدالية الأخطاء أو عينة كبيرة. وفترة الثقة والاختبار يرثان افتراضات الخطأ المعياري.

الخطية والجمعية. افتراض أن النتيجة ترتبط بالمتنبِّئات بخط مستقيم، وأن المتنبِّئات المتعددة تعمل بالجمع. يضعه Field (2024، القسم 6.6) فوقها جميعًا: إن كان خاطئًا، فالنموذج يصف العالم وصفًا غير صحيح – حتى حين تتحقق سائر الافتراضات – ولا جدوى من تفسير المعاملات أو الانشغال بالدلالة الإحصائية. ومثَله: أن تسمّي القطة كلبًا. يمكنك أن تحاول إدخالها بيت الكلب أو أن ترمي لها كرة، لكنها ستبقى قطة. العلاقة المنحنية التي تُوصف بخط مستقيم نموذج خاطئ، لا نموذج فيه مشكلة.

تجانس التباين (تساوي التباين). تشتت الأخطاء حول النموذج متطابق عند جميع قيم المتنبِّئ – سحابة البيانات موازية للخط، ولا تتّسع كالقمع (Field, 2024, Section 6.7.1). حين يُنتهك الافتراض، تبقى تقديرات المعاملات غير متحيّزة – لكن الأخطاء المعيارية وفترات الثقة والاختبارات ليست دقيقة، وقد تكون فترات الثقة "غير دقيقة على نحو متطرف" (Wilcox, 2010, as cited in Field, Section 6.7.2). أي: إن كان المطلوب التقدير فقط – فلا بأس كبيرًا؛ وإن كانت الدلالة الإحصائية تُفحص أو فترة ثقة يُبلَّغ عنها – فالأمر مهم، وله حل (القسم 6). وفي المقارنة بين المجموعات يُسمّى هذا الافتراض تجانس التباينات.

استقلال الأخطاء. الخطأ في التنبؤ لمشارك واحد لا يرتبط بخطأ مشارك آخر. مثال Field (2024، القسم 6.7.3): بول وجولي اللذان يتشاوران في أي الصور رأيا – فالإجابات، ومن ثم الأخطاء، ليست مستقلة. يُنتهك الافتراض دائمًا حين تُجمع بيانات من الكيانات نفسها عبر الزمن – القياسات المتكررة، الدراسة الطولية – لأن إجابة الشخص في موعد ما ترتبط بإجابته في موعد آخر؛ ولأغراض الموقع، أيضًا حين يكون المشاركون متداخلين في مجموعات تؤثر فيهم (عائلات، بلدات، صفوف دراسية). العواقب كما في تجانس التباين – الخطأ المعياري خاطئ – والحل نموذج يأخذ الاعتماد في الحسبان، لا المربعات الصغرى العادية.

4. الاعتدالية – الافتراض الأقل أهمية، والأقل فهمًا

يفتتح Field (2024، القسم 6.8) بأن هذا الافتراض ربما يكون الأمر الأقل فهمًا في الإحصاء، ويتحمّل جزءًا من اللوم. الخطأ الشائع: الاعتقاد بأن "افتراض الاعتدالية" يقول إن البيانات يجب أن تتوزع توزيعًا طبيعيًا. لا. ما يجب أن يكون طبيعيًا هو أخطاء النموذج، وفوق كل شيء – توزيع المعاينة للتقدير: لمعرفة الخطأ المعياري تُستخدم صيغة صحيحة حين تتوزع التقديرات توزيعًا طبيعيًا عبر العينات؛ وإن لم يكن كذلك – فالخطأ المعياري وفترة الثقة والاختبار ليست دقيقة. ينبع الالتباس من أنه إذا كانت النتيجة طبيعية، فستكون الأخطاء كذلك، ولذلك تُستخدم النتيجة بديلًا عن الشيء المهم.

والأسباب الثلاثة التي تجعل هذا الافتراض الأقل أهمية (Field, 2024, Section 6.8.3): التقدير لا يتطلب الاعتدالية – المربعات الصغرى تعطي تقديرًا غير متحيّز يقلّل الخطأ إلى أدناه حتى حين لا تكون الأخطاء طبيعية؛ والاعتدالية تجعله فقط "الأفضل". في العينة الكبيرة لا تهمّ الاعتدالية – نظرية النهاية المركزية تضمن أن يكون توزيع المعاينة طبيعيًا بغض النظر عن شكل المجتمع. وفي العينة الصغيرة تُفحص بواقي النموذج: إن كانت طبيعية، يمكن المتابعة. كم يجب أن تكون العينة كي تُعدّ "كبيرة"؟ القيمة المتعارف عليها 30، لكن لا جواب بسيطًا (الإطار 6.4): في التوزيعات ذات الذيول الخفيفة يكفي حتى 20؛ ومع الذيول الثقيلة – حيث القيم المتطرفة شائعة – قد يلزم 100 بل 160، ومع كثير من الالتواء والتفلطح – أكثر من ذلك. ومن هنا الخلاصة العملية لـ Field: في العينة الكبيرة، القيم المتطرفة مصدر قلق أكثر إلحاحًا من الاعتدالية.

5. كيف يُفحص – الرسوم البيانية قبل الأرقام، والأرقام قبل الاختبارات

القيم المتطرفة تُرى في البيانات؛ وانتهاكات الافتراضات – في بواقي النموذج، وفي تقريب أول أيضًا في النتيجة نفسها (Field, 2024, Section 6.9). مثال Field: درجات النظافة لـ 810 من روّاد مهرجان ميتال، على مقياس من 0 إلى 4، في ثلاثة أيام. شكل الانتشار والمدرّج التكراري ومخطط الصندوق كلها تُظهر حالة واحدة بعيدة عن الجميع – درجة 20.02 في اليوم الأول، على مقياس ينتهي عند 4. يُعاد إلى السجل الأصلي: 2.02، خطأ طباعي. هذا هو الدرس الأول: القيمة المتطرفة هي أولًا سؤال عن البيان، وبعد ذلك فقط سؤال إحصائي. في الموقع: صفحة من SPSS إلى إكسل تحذّر من القيم الواقعة خارج المدى الذي يحدده مفتاح الترميز، وحاسبة التكرارات والإحصاء الوصفي تُظهر القيمة الصغرى والقيمة العظمى ورسمًا بيانيًا لكل متغير – من هناك يُبدأ.

الدرجات المعيارية (الإطار 6.6): تُحوَّل إلى درجات z وتُقارن بما يُتوقع في التوزيع الطبيعي – نحو 5% فوق 1.96 بالقيمة المطلقة، و1% فوق 2.58، ولا أحد تقريبًا فوق 3.29. في مثال Field: 6.8% فوق 1.96 (مقابل 5%)، و2.3% فوق 2.58 (مقابل 1%)، و0.8% فوق 3.29 – "تقريبًا ما يُتوقع". مخطط الصندوق يعلّم القيم المتطرفة والحالات القصوى برقم الصف. رسم Q-Q يقارن البيانات بخط القطر للتوزيع الطبيعي – نقاط على الخط: طبيعي؛ انثناء إلى الأعلى: التواء موجب (القسم 6.9.4-6.9.5). كل هذه – درجات z، والمدرّج التكراري، وQ-Q، والالتواء والتفلطح مع أخطائهما المعيارية، وأيضًا الاختباران في الفقرة التالية، مع ترجيح وفق حجم العينة – تُنتجها حاسبة اختبار الاعتدالية، للعينة كلها أو حسب المجموعة. الالتواء والتفلطح: يعطي SPSS قيمًا يكون الصفر فيها طبيعيًا؛ الالتواء الموجب يجرّ المتوسط فوق الوسيط، ولذلك فإن متوسطًا أكبر من الوسيط علامة على التواء موجب؛ والتفلطح الموجب – ذيول ثقيلة. في المثال: اليوم 1 متماثل (التواء صفر تقريبًا)، واليومان 2-3 بالتواء نحو 1 – عدد أكبر من الناس بدرجات منخفضة، "أصبح الناس أكثر نتانة مع تقدّم المهرجان".

واختبارات الدلالة للاعتدالية – لا. يغطي Field (الإطار 6.7) كولموغوروف-سميرنوف وشابيرو-ويلك وليفين "أساسًا لأن الناس يتوقعون رؤيتها في الكتب التمهيدية، لا لأنها فكرة جيدة": في العينة الكبيرة تكون دالّة حتى للانحرافات الصغيرة وعديمة الأهمية – بالضبط حين لا تعود الاعتدالية مهمة؛ وفي العينة الصغيرة لا قوة إحصائية لها لكشف الانتهاكات – بالضبط حين تكون الاعتدالية مهمة. في المثال، K-S على اليوم 1 (N = 810) دالّ تقريبًا (p = .097) مع أن المدرّج التكراري طبيعي على نحو لافت. النصيحة: في العينة الكبيرة – لا تُستخدم، ولا داعي للقلق بشأن الاعتدالية أصلًا؛ في العينة الصغيرة – يُنتبه إن كانت دالّة، ولا يُطمأن إن لم تكن. ولكل العينات: ارسموا. الخطية وتجانس التباين يُفحصان معًا في رسم واحد – البواقي المعيارية مقابل القيم المتنبَّأ بها (الشكل 1): سحابة متجانسة – سليم؛ قمع – عدم تجانس التباين؛ قوس – غير خطي. مع متنبِّئ واحد، يكون شكل الانتشار العادي تقريبًا معقولًا.

والقيم المفقودة، في الطريق (Field, 2024، النصيحة 6.1): حذف الحالة كاملة (listwise deletion) يستبعد المشارك من التحليل كله إذا نقصته قيمة واحدة؛ والحذف الزوجي يستبعده فقط من التحليلات التي تتعلق بها القيمة المفقودة – ومصفوفة الارتباطات في الموقع تعمل هكذا، وتُبلغ عن N لكل زوج. استبدال القيمة المفقودة بمتوسط المتغير – الذي يقترحه SPSS أحيانًا – يقلّص الانحراف المعياري والخطأ المعياري، لأن كل قيمة مستبدَلة لا بُعد لها عن المتوسط، ومع كثرة القيم المفقودة يُنتج نتائج "دالّة" هي من صنع الاستبدال. بتوسّع – في صفحة القيم المفقودة.

6. ما الذي يُفعل – المتانة بدل الحذف والتحويل

كان الطريق التاريخي هو الاختبارات اللامعلمية، التي تحوّل الدرجات إلى رتب – فتفقد معلومات – وتغطي تشكيلة محدودة من التصاميم (Field, 2024, Section 6.10). والطريق الأفضل اليوم، بحسب Field، هو تقدير المَعلَمات والأخطاء المعيارية وفترات الثقة وp بطرق لا تتحيّز بوجود القيم المتطرفة والانتهاكات – الطرق المتينة (robust methods):

التشذيب (trimming): تُزال نسبة ثابتة من كل طرف – 5%، 10%، 20% – ويُحسب متوسط مشذَّب؛ وفي الطرف الآخر من المقياس يقع الوسيط، وهو تشذيب لكل شيء ما عدا الوسط (القسم 6.10.5). التشذيب وفق الانحرافات المعيارية ("إزالة كل ما يزيد على 2.5 انحراف معياري") فكرة سيئة (الإطار 6.8): المتوسط والانحراف المعياري نفسهما متضخّمان بفعل القيم المتطرفة، ولذلك تحرف القيم المتطرفة المعيار الذي يُفترض أن يعالجها – في مثال Field لم تُزل القاعدة أي درجة على مقياس 0-10، لأن العتبة خرجت خارج حدود المقياس. الونزرة (winsorizing): بدل الإزالة، تُستبدل الدرجات الواقعة خلف العتبة بقيمة العتبة (القسم 6.10.6). أيبدو هذا غشًا؟ Field: إذا كانت الدرجة لا تمثّل العينة وتحرف النموذج، فهذا أفضل من الإبلاغ عن نموذج متحيّز. الغش هو عدم معالجة القيم القصوى حين تحرف لصالح الفرضية، أو تغيير الدرجات بشكل منهجي لسبب آخر غير تقليل التحيّز. الأخطاء المعيارية المتسقة مع عدم تجانس التباين (HC3 أو HC4): يُقدَّر الخطأ المعياري من البواقي دون افتراض تساوي التباين (القسم 6.10.7). Bootstrap: تُعامل العينة كمجتمع، ويُسحب منها مع الإرجاع 1,000-2,000 مرة، ويُحسب التقدير في كل سحبة، ومن توزيع التقديرات تُشتق فترة ثقة (مئينية) وخطأ معياري – دون افتراض أي شيء عن شكل توزيع المعاينة (Efron & Tibshirani, 1993; Field, 2024, Section 6.10.8). في SPSS لذلك زر في معظم الإجراءات؛ ويشير Field إلى أن النتائج تختلف قليلًا في كل تشغيل لأن المعاينة عشوائية – أما في الموقع، فيجري الـ bootstrap ببذرة ثابتة، بحيث يعطي المُدخل نفسه دائمًا الفترة نفسها (انظروا الثبات بين المرمِّزين).

وعدم تحويل النتيجة (Field, 2024، القسم 6.10.3 – "لا تفعلوا ذلك"). اللوغاريتم أو الجذر من أجل "تطبيع" متغير النتيجة: الاعتدالية غير مهمة في العينة الكبيرة، ولعدم تجانس التباين حلول متينة، والتحويل يخلق مشكلات جديدة. يقتبس Field من Glass وآخرين (1972): مردود التحويلات المطبِّعة "منخفض، ونادرًا ما تستحق الجهد"، ومن النقاط الأربع لدى Games (1984): في عينة تزيد على 30 تقريبًا يكون توزيع المعاينة طبيعيًا في كل الأحوال؛ والتحويل يغيّر الفرضية – فاللوغاريتم يقارن متوسطات هندسية، لا حسابية، ويقيس بنية أخرى غير التي قيست؛ ويصعب الحسم بشأن الاعتدالية في العينة الصغيرة؛ والتحويل "الخاطئ" قد يضرّ أكثر من تحليل البيانات الخام. الاستثناء الوحيد: "تقويم" علاقة منحنية – تحويل المتنبِّئ كي يصف النموذج الخطي العلاقة وصفًا صحيحًا – وهذا هو افتراض الخطية، أهمّها جميعًا.

7. كيف تُعرض النتائج

معالجة القيم المتطرفة والافتراضات جزء من فصل المنهجية أو من بداية النتائج، ويُبلَّغ عنها كقرارات، لا كاعتذارات: أي فحوص أُجريت (رسوم بيانية، درجات معيارية، التواء وتفلطح – لا مجرد "توزعت البيانات توزيعًا طبيعيًا")؛ كم حالة استُبعدت، ووفق أي معيار، وهل حُدِّد مسبقًا، وما النتيجة مع الاستبعاد ودونه؛ أي طريقة متينة طُبِّقت – "حُسبت فترات الثقة بطريقة bootstrap المئينية، 2,000 سحبة" أو "أخطاء معيارية HC3" – ولماذا؛ وإن كانت قياسات متكررة – أي نموذج أخذ الاعتماد في الحسبان. النتيجة التي تغيّرت جوهريًا باستبعاد حالة واحدة نتيجة بحد ذاتها، ويُبلَّغ عنها. ويذكّر Field (في الحاشية للقسم 6.10.6) بأن القيم المتطرفة مثيرة للاهتمام في حد ذاتها: إن لم تكن تمثّل المجتمع، فالسؤال لماذا هي مختلفة قد يكون موضوعًا للبحث التالي.

أخطاء شائعة

"يجب أن تتوزع البيانات توزيعًا طبيعيًا." لا البيانات – بل الأخطاء، وفوق كل شيء توزيع المعاينة؛ وفي العينة الكبيرة ولا حتى هذا. متنبِّئ ثنائي "غير طبيعي" ليس مشكلة على الإطلاق.

K-S على 800 مشارك. سيكون دالًّا حتى على توزيع شبه مثالي، وسيرسلكم لإصلاح ما ليس مكسورًا. في العينة الكبيرة – رسوم بيانية لا غير.

حذف قيمة متطرفة لأنها "تُفسد". القيمة المتطرفة تبقى ما لم يثبت أنها ليست من المجتمع. الدليل هو سبب (سدّادات الأذن، خطأ طباعي)، لا البُعد عن المتوسط.

التشذيب وفق الانحرافات المعيارية. المعيار محسوب من المتوسط والانحراف المعياري – وكلاهما متضخّم بفعل القيم المتطرفة التي يُراد معالجتها. يُشذَّب وفق النسب المئوية.

لوغاريتم على النتيجة "من أجل التطبيع". يغيّر الفرضية والبنية المقيسة، ولا يستحق الجهد في الغالب. التحويل محفوظ لتقويم المتنبِّئ.

فحص الاعتدالية ونسيان الخطية. الافتراض الذي لا يعلوه شيء. قوس في رسم البواقي – النموذج خاطئ، ولن يفيد أي تصحيح للاعتدالية.

استبدال القيم المفقودة بالمتوسط. يقلّص الخطأ المعياري ويُنتج دلالة إحصائية مصطنعة. الحذف الزوجي، أو طرق التعويض القائمة على نموذج – في صفحة القيم المفقودة.

اختبار t للعينات المستقلة على قياسات متكررة. الأشخاص أنفسهم مرتين – الأخطاء غير مستقلة، والخطأ المعياري خاطئ. اختبار للعينات المترابطة أو نموذج للقياسات المتكررة.

قائمة تحقق – قبل تشغيل الاختبار

المراجع

Efron, B., & Tibshirani, R. J. (1993). An introduction to the bootstrap. Chapman & Hall. https://doi.org/10.1007/978-1-4899-4541-9

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.