الانحدار الخطي البسيط والمتعدد

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

اختيار المتغيرات

متى يُستخدم؟

عندما يُراد التنبؤ بمتغير كمي واحد – درجة، أو عمر، أو وقت، أو دخل – من متغير آخر (الانحدار البسيط) أو من عدة متغيرات معًا (الانحدار المتعدد)، ومعرفة مقدار ما تفسّره من تباينه ومن منها يُسهم. يعرضه Gravetter وWallnau (2017، ص 530) امتدادًا مباشرًا للارتباط: الارتباط يقول إن هناك علاقة خطية، والانحدار يجد الخط المستقيم الذي يصفها ويتيح التنبؤ بـ Y لكل قيمة من X؛ ومع متنبِّئين أو أكثر (ص 544) "يمكن الجمع بين عدة متنبِّئات للحصول على تنبؤ أدق". تعدّد Pallant (2020، الفصل 13) الأسئلة التي يجيب عنها الانحدار المتعدد: كم من التباين تفسّره مجموعة من المتغيرات، وأيها أفضل متنبِّئ، وهل يظل المتنبِّئ متنبِّئًا عند ضبط متنبِّئ آخر. ويبيّن Field (2024، القسم 9.2) أن هذا هو "النموذج الخطي" العام – النموذج نفسه الذي يقف وراء اختبار t وتحليل التباين، ولكن مع متنبِّئات كمية.

تحسب الصفحة الانحدار القياسي – تدخل جميع المتنبِّئات دفعة واحدة (طريقة Enter؛ Pallant، 2020، الفصل 13 – "الأكثر شيوعًا"). أما الانحدار الهرمي (كتل وفق النظرية، مع R² change)، الذي يفضّله Field (القسم 9.9.1) عند توفر معرفة مسبقة، فليس في الصفحة؛ والانحدار التدريجي (stepwise) – "توصي Pallant بشدة بعدم استخدامه"، ويقول Field: "الإحصائيون يقطّبون جباههم". التفاعل بين المتنبِّئات (التعديل) والوساطة – صفحة التعديل والوساطة؛ والمتغير المتنبَّأ به الثنائي (نعم/لا) – صفحة الانحدار اللوجستي؛ والعلاقة بين متغيرين دون اتجاه تنبؤ – صفحة الارتباطات؛ والمتنبِّئات التصنيفية ذات ثلاث مجموعات فأكثر – تحليل التباين، أو الترميز الوهمي غير المتاح في الصفحة. درجة المقياس متعدد الفقرات (صفحة ألفا كرونباخ ودرجة المقياس) تُعامَل كمتغير فتري وفق اصطلاح الموقع (صفحة المتغيرات ومستويات القياس)؛ أما فقرة ليكرت المفردة – فلا.

المنطق: الخط الذي يقلّل مربعات الأخطاء إلى أدنى حد

معادلة الانحدار Ŷ = bX + a (Gravetter & Wallnau, 2017, Equation 16.5) هي الخط المستقيم الذي يمرّ "الأقرب" إلى جميع النقاط: لكل مشارك تكون المسافة الرأسية بين قيمته الفعلية والخط هي الخطأ، Y − Ŷ، ويُختار الخط بحيث يكون مجموع مربعات الأخطاء أصغر ما يمكن – "طريقة المربعات الصغرى" (pp. 533-535; Field, 2024, Section 9.2.4). الميل b – مقدار تغيّر Y لكل زيادة بمقدار وحدة في X (b = SP/SS_X, Equation 16.2)؛ والثابت a – القيمة المتنبَّأ بها عندما X = 0. في المثال 16.1 لدى Gravetter وWallnau (ص 535؛ ثمانية أزواج) تكون النتيجة Ŷ = 2X − 1. ومع عدة متنبِّئات (ص 545-546): Ŷ = b₁X₁ + b₂X₂ + a، وكل b يصف إسهام المتنبِّئ عند ثبات الآخرين.

ما مدى جودة الخط؟ يقارن Field (القسم 9.2.4) بنموذج "صفري": التنبؤ للجميع بالمتوسط. يتحلل التشتت حول المتوسط (SS_T) إلى ما يفسّره الخط (SS_M، "الانحدار") وما يتبقى (SS_R، "الباقي") – وR² = SS_M/SS_T هو نسبة التباين المفسَّر (Equation 9.17; Gravetter & Wallnau, pp. 540-541: r²SS_Y). يُقسم كل مجموع مربعات على درجات حريته (k للنموذج، وN − k − 1 للباقي) فيُحصل على F، الذي يختبر ما إذا كان النموذج أفضل من المتوسط (Field، المعادلتان 9.19-9.20؛ Gravetter & Wallnau، "تحليل الانحدار"، ص 541-543). وفي حالة المتنبِّئ الواحد يكون هذا بالضبط اختبار الدلالة لمعامل ارتباط بيرسون: F = t² (ص 543). أمثلة Gravetter وWallnau محسوبة في الصفحة وتعطي الأرقام الواردة في الكتاب: المثال 16.5 (ص 542-543) – SS_{الانحدار} = 112.01, SS_الباقي = 43.99, F(1, 6) = 15.28؛ والمثال 16.6 (ص 546-551، مخرجات SPSS في الشكل 16.8) – R² = .557, F(2, 7) = 4.392, p = .058، وقيم b هي 2.552 و.672 و.293.

كيف تُقرأ المخرجات؟

تقترح Pallant (2020، الفصل 13) أربع خطوات – فحص الافتراضات، وتقييم النموذج، وتقييم كل متنبِّئ، واستخدام النتائج – وجداول الصفحة مرتبة وفقها (الافتراضات: قسم "الافتراضات والتشخيص والتحذيرات" والجدول 4).

الجدول 1 – ملخص النموذج (Model Summary). R² – "مقدار التباين في المتغير التابع الذي يفسّره النموذج"؛ في مثال Pallant .468، "نتيجة محترمة جدًا". R² المعدَّل – في العينة الصغيرة يكون R² "متفائلًا أكثر من اللازم"، والمعدَّل يصحّحه نحو التقدير في المجتمع (Pallant؛ Field، 2024، القسم 9.2.4 – "الانكماش")؛ ويضيف Field أنه يصحّح لعدد المتنبِّئات، لأن كل متنبِّئ إضافي يرفع R² حتى عندما يكون إسهامه معدومًا. R – الارتباط بين القيم المتنبَّأ بها والقيم المُشاهَدة (في حالة المتنبِّئ الواحد: معامل بيرسون بين المتنبِّئ والمتغير المتنبَّأ به؛ Field، القسم 9.8.1). الخطأ المعياري للتقدير – "المسافة المعيارية" بين النقاط والخط، بوحدات المتغير المتنبَّأ به (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 538-539, 548-549): صغير – تنبؤ دقيق. Durbin-Watson – قسم الافتراضات.

الجدول 2 – ANOVA. يختبر "H₀: R المتعدد في المجتمع يساوي صفرًا" (Pallant): قيمة p أصغر من .05 – النموذج يتنبأ أفضل من المتوسط وحده. Field (القسم 9.8.1): "النموذج الخطي ككل يتنبأ تنبؤًا دالًّا إحصائيًا". لكن F الدالّ لا يقول بعدُ أي المتنبِّئات يُسهم.

الجدول 3 – المعاملات (Coefficients). Pallant: يُفحص عمود Sig. – المتنبِّئ الذي قيمة p له أصغر من .05 "يُسهم إسهامًا فريدًا دالًّا إحصائيًا"؛ وقد يكون المتنبِّئ غير دالّ "بسبب التداخل مع متنبِّئات أخرى في النموذج". B – "مقدار تغيّر المتغير المتنبَّأ به لكل زيادة بمقدار وحدة في المتنبِّئ، عند ثبات الآخرين" (Field، القسم 9.11.3 – في مثال مبيعات الألبومات: كل 1,000 جنيه إسترليني للإعلان = 85 ألبومًا)؛ والثابت يكمل معادلة التنبؤ. β – المعامل المعياري، "عدد الانحرافات المعيارية التي يتغيرها المتغير المتنبَّأ به لكل انحراف معياري في المتنبِّئ"؛ ولأنه لا يتوقف على الوحدات، فهو يقارن أهمية المتنبِّئات (Gravetter & Wallnau، ص 550 – "b الأكبر لا يعني متنبِّئًا أفضل"؛ Pallant؛ Field). t وp – يختبران H₀: b = 0 ("خط مسطّح"؛ Field، القسم 9.2.5)؛ وفترة الثقة لـ B التي تتضمن الصفر تعني أن القيمة في المجتمع "قد تكون موجبة لكنها قد تكون سالبة أيضًا" (القسم 9.11.3). الارتباطات الثلاثة (Zero-order, Partial, Part في SPSS): الصفري – ارتباط بيرسون البسيط؛ والجزئي – بعد إزالة أثر بقية المتنبِّئات من المتغيرين؛ وشبه الجزئي (sr، "Part") – تؤكد عليه Pallant: مربعه هو "مقدار التباين الكلي الذي يفسّره المتنبِّئ على نحو فريد، ومقدار ما كان سينخفض به R² من دونه" (في مثالها −.40² = 16% و−.30² = 9%، ومجموعهما 25% لا 46.8% – والباقي تباين مشترك). يصل Gravetter وWallnau (ص 550-551) إلى الإسهام الفريد نفسه عبر "R² مع المتنبِّئين ناقص r² مع الأول وحده"، ويبيّنان أن t للمتنبِّئ هو الجذر التربيعي لـ F للإضافة. VIF – قسم الافتراضات.

الجدول 4 – تشخيص البواقي والحالات المؤثرة ورسم البواقي – قسم "الافتراضات والتشخيص والتحذيرات". مربع "قراءة النتيجة" يلخّص: حجم الأثر، وحجم العينة مقابل القواعد التقريبية، والإسهامات الفريدة، والتعدد الخطي، والتشخيص.

حجم الأثر

R² هو حجم الأثر للنموذج كله – نسبة التباين المفسَّر، التي يسمّيها Field (2024، القسم 9.2.4) "مقياسًا للحجم الجوهري للمطابقة". المقياس المرجعي: يعرّف Cohen (1988، ص 413-414) للانحدار المتعدد f² = .02, .15, .35 للأثر الصغير والمتوسط والكبير، ويترجمها إلى R² قدره .02 و.13 و.26 (R قدره .14 و.36 و.51) – عتبات "أعلى قليلًا" من عتبات الارتباط المفرد، لأن في النموذج عادةً عدة متنبِّئات؛ ويستخدم Field (القسم 9.5) القيم الثلاث نفسها لحسابات حجم العينة. ويذكّر Cohen بأن العتبات حلّ وسط: "الصغير" في علم النفس الإكلينيكي قد يكون "كبيرًا" في علم الاجتماع. ولكل متنبِّئ على حدة يكون حجم الأثر هو β (بوحدات الانحراف المعياري) وsr² (التباين الفريد؛ Pallant، 2020، الفصل 13)، وB مع فترة الثقة الخاصة به هو حجم الأثر بالوحدات الأصلية – ويطلب Field (القسم 9.14) الإبلاغ عنه قبل كل شيء. في العينة الكبيرة يكون R² الضئيل دالًّا إحصائيًا؛ ويُبلَّغ عن R² حتى عندما يكون النموذج غير دالّ.

الافتراضات والتشخيص والتحذيرات

أنواع المتغيرات. Field (2024، القسم 9.4.1): المتنبِّئات كمية أو تصنيفية ثنائية، والمتغير المتنبَّأ به "كمي، متصل وغير محدود". يدخل المتغير الثنائي (مثلًا الجنس 1/2، المجموعة 0/1) كمتنبِّئ، وB الخاص به هو الفرق المتنبَّأ به بين متوسطي المجموعتين؛ أما المتغير التصنيفي ذو ثلاثة مستويات فأكثر فليس عددًا – يلزم ترميز وهمي (k − 1 متغيرات 0/1)، وتحذّر الصفحة من ذلك. والمتغير الترتيبي (التعليم 1-4) يدخل فعليًا كعدد، بافتراض أن كل خطوة متساوية – وهذا شائع، لكنه يستدعي الحذر في التفسير.

حجم العينة. تورد Pallant (2020، الفصل 13) قاعدتين: Stevens – "نحو 15 مشاركًا لكل متنبِّئ"، وTabachnick وFidell – N > 50 + 8m (m – عدد المتنبِّئات؛ خمسة متنبِّئات – 90 مشاركًا على الأقل)، وأكثر عندما يكون المتغير المتنبَّأ به ملتويًا. ويرى Field (القسم 9.5) أن قواعد "10 أو 15 لكل متنبِّئ" تبسّط الأمر "إلى حدّ انعدام الفائدة": المطلوب يتوقف على حجم الأثر – للأثر الكبير يكفي 77 مشاركًا حتى مع 20 متنبِّئًا، وللأثر المتوسط 160 (ومع ما يصل إلى ستة متنبِّئات نحو 100)، وللأثر الصغير "لا تتعبوا أنفسكم من دون مئات المشاركين"؛ وقيمة R المتوقعة لبيانات عشوائية هي k/(N − 1) – ستة متنبِّئات على 21 مشاركًا تعطي R = 0.3 من لا شيء. يفحص مربع القراءة قاعدتي Pallant ويطبع قيمة R العشوائية المتوقعة.

التعدد الخطي. المتنبِّئات المرتبطة فيما بينها ارتباطًا قويًا جدًا (Pallant: r قدره .7 فأكثر؛ Field، القسم 9.9.3: .8-.9) "تُصعّب على الانحدار الفصل بين الإسهام الفريد لكل منها"، وتضخّم الأخطاء المعيارية، وقد تجعل متنبِّئات مهمة غير دالة. يطبع الجدول VIF لكل متنبِّئ (التحمّل = 1/VIF): لدى Pallant وField – VIF فوق 10 أو تحمّل دون .10 يمثّلان "مشكلة خطيرة" (Bowerman & O'Connell, 1990؛ Myers, 1990)؛ ويضيف Field: تحمّل دون .2 – "مشكلة محتملة" (Menard, 1995)، ومتوسط VIF أكبر بكثير من 1 – تحيّز محتمل. وتحذّر Pallant من أن العتبات "لا تزال تسمح بارتباطات مرتفعة نسبيًا" وتقترح فحص مصفوفة الارتباطات أيضًا. درجة المقياس مع فقراتها، أو المجموع الكلي مع مقاييسه الفرعية، تمثّل "تفرّدًا" (singularity) – وتتوقف الصفحة مع رسالة خطأ.

أربعة افتراضات حول البواقي (Pallant، متابعةً لـ Tabachnick & Fidell؛ Field، القسم 9.4.1، حسب ترتيب الأهمية): الخطية والجمعية – العلاقة مستقيمة، وآثار المتنبِّئات تُجمع؛ وانتهاكها "يجعل النموذج غير صالح" (Field). استقلال البواقي – انتهاكه يُفسد الأخطاء المعيارية وفترات الثقة والاختبارات؛ يفحص Durbin-Watson (الجدول 1) الارتباط بين البواقي المتجاورة: 2 – لا يوجد؛ "قاعدة تقريبية محافظة جدًا" – دون 1 أو فوق 3 مقلق؛ ولا معنى له إلا عندما يكون لترتيب المشاركين معنى (الزمن، الموقع)، لا في ملف ترتيبه عشوائي. تجانس التباين (homoscedasticity) – تشتت البواقي متساوٍ على امتداد القيم المتنبَّأ بها. اعتدالية البواقي – مهمة في العينة الصغيرة؛ وفي العينة الكبيرة تتكفّل بها نظرية النهاية المركزية (Field)، والمتنبِّئات نفسها "لا يلزم أن تكون طبيعية". تُفحص الافتراضات الثلاثة الأخيرة في رسم البواقي (*ZRESID مقابل *ZPRED، الشكل 2 في المخرجات): Pallant – يُؤمَل في "توزيع مستطيل تقريبًا، معظم الدرجات في الوسط على امتداد الصفر"؛ Field (القسم 9.11.7) – "ترتيب عشوائي للنقاط"؛ القمع – عدم تجانس التباين، والقوس – عدم الخطية. المدرج التكراري ورسم P-P للبواقي، اللذان تُفحص بهما الاعتدالية، ليسا في الصفحة (في SPSS من أوامر Syntax؛ وفي صفحة القيم المتطرفة والافتراضات – للمتغيرات نفسها).

القيم المتطرفة والحالات المؤثرة (الجدول 4). يميّز Field (القسم 9.3.1) بين القيمة المتطرفة – مشارك يتنبأ النموذج بقيمته تنبؤًا سيئًا – والحالة المؤثرة – مشارك كان النموذج سيختلف من دونه (الإطار 9.1). البواقي المعيارية (ZRESID، الدرجات المعيارية للأخطاء): في العينة العادية نحو 5% تتجاوز ±1.96 و1% تتجاوز ±2.58؛ وأكثر من ذلك – "قد يكون مستوى الخطأ في النموذج غير مقبول"؛ والقيمة التي تتجاوز ±3.29 – "سبب للقلق" (Pallant: 3.3، وفي العينة الكبيرة "ليس من غير المألوف أن توجد بضع منها"). في مثال الألبومات لدى Field (القسم 9.11.6؛ 200 مشارك): 12 فوق 2 (6%) و2 فوق 2.5 (1%) – "كما هو متوقع". مسافة كوك – الأثر في النموذج كله: فوق 1 "قد يكون مقلقًا" (Cook & Weisberg, 1982، لدى Field، القسم 9.3.2؛ Pallant: في مثالها القيمة العظمى .094). الرافعة (leverage) – متوسطها (k + 1)/N، وتُفحص الحالات التي تتجاوز ضعفه (Hoaglin & Welsch, 1978، لدى Field). وماذا يُفعل؟ Field (القسم 9.3.3، متابعةً لـ Belsey وآخرين، 1980): التشخيص غرضه فهم المطابقة، "لا وسيلة لتبرير حذف نقاط لتحقيق تغيير مرغوب في المعاملات"؛ والقيمة المتطرفة غير المؤثرة "ليست سببًا للقلق"، لكن يُستحسن فهم سبب عدم مطابقتها. Pallant: الحالة التي تتجاوز مسافة كوك لها 1 – تُفحص، "قد تحتاجون إلى التفكير في حذفها". مسافة ماهالانوبيس (Pallant، الجدول 13.1 – القيم الحرجة حسب عدد المتنبِّئات) وDFBeta (Field) ليستا في الصفحة، لكن أوامر Syntax تحفظهما في الملف.

القيم المفقودة. المشارك الذي تنقصه قيمة في أحد المتغيرات المختارة لا يُضمَّن إطلاقًا – حذف الحالة كاملة (/MISSING LISTWISE)، الإعداد الافتراضي في SPSS، الذي يطلب Field (القسم 9.10.5) الإبقاء عليه، "لأن الحذف الزوجي قد يعطي نتائج عبثية مثل R² سالب أو أكبر من 1"؛ أما Pallant (الفصل 13) فتختار في مربع الحوار Exclude cases pairwise، ولذلك قد تختلف أرقام مثالها قليلًا عمّا ستعطيه الصفحة على البيانات نفسها. لذلك قد يكون N في النموذج أصغر من عدد الصفوف (تُعلن الصفحة ذلك). وما العمل مع القيم المفقودة – صفحة القيم المفقودة.

التنبؤ خارج المدى. Gravetter وWallnau (2017، ص 536): المعادلة صالحة فقط ضمن مدى قيم المتنبِّئ المُشاهَدة – "لا توجد معلومات عن العلاقة خارج المدى"؛ ويطبعه مربع القراءة في الانحدار البسيط. السببية. الانحدار يصف التنبؤ لا السبب: "المتنبِّئ" و"المتغير المتنبَّأ به" دوران في النموذج (Field، القسم 9.4.1 – "متغيرات خارجية" لم تُقَس قد تفسّر العلاقة).

ما لا تحسبه هذه الصفحة. الانحدار الهرمي وR² change، والانحدار التدريجي، والترميز الوهمي التلقائي، والتفاعلات، ومسافة ماهالانوبيس، وDFBeta وDFFit، والمدرج التكراري وP-P للبواقي، والرسوم الجزئية (partial plots)، وفترات الثقة بطريقة bootstrap والانحدار المتين (Field, Section 9.12)، والانحدار البايزي (القسم 9.13)، والتحقق المتقاطع (القسم 9.4.2).

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

الإجراء (Pallant, 2020, Chapter 13; Field, 2024, Sections 9.7 and 9.10): Analyze › Regression › Linear… – المتغير المتنبَّأ به في Dependent، والمتنبِّئات في Independent(s)، Method: Enter؛ Statistics… – Estimates، Confidence intervals، Model fit، Descriptives، Part and partial correlations، Collinearity diagnostics، Durbin-Watson، Casewise diagnostics (Pallant: القيم المتطرفة التي تتجاوز 3 انحرافات معيارية؛ ويخفّضها Field إلى 2)؛ Plots… – *ZRESID في Y و*ZPRED في X، وNormal probability plot؛ Save… – Mahalanobis وCook's؛ Options… – القيم المفقودة: listwise (Field) أو pairwise (Pallant). أوامر Syntax التي تولّدها الصفحة (مع الإعداد الافتراضي لحذف الحالة كاملة):

REGRESSION
  /MISSING LISTWISE
  /STATISTICS COEFF OUTS CI(95) R ANOVA COLLIN TOL ZPP
  /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)
  /NOORIGIN
  /DEPENDENT עמדות_ציון
  /METHOD=ENTER גיל השכלה מין קבוצה
  /SCATTERPLOT=(*ZRESID ,*ZPRED)
  /RESIDUALS DURBIN NORMPROB(ZRESID)
  /CASEWISE PLOT(ZRESID) OUTLIERS(3)
  /SAVE MAHAL COOK.

قراءة المخرجات. Model Summary = الجدول 1 (R, R Square, Adjusted R Square, Std. Error of the Estimate, Durbin-Watson)؛ ANOVA = الجدول 2 (Regression, Residual, Total)؛ Coefficients = الجدول 3 – B, Std. Error, Beta, t, Sig.، وحدود فترة الثقة، وCorrelations: Zero-order, Partial, Part، وCollinearity Statistics: Tolerance, VIF؛ Collinearity Diagnostics (الجذور الكامنة ومؤشرات الحالة؛ Field، القسم 9.11.5) – ليست في الصفحة؛ Casewise Diagnostics – المشاركون ذوو |Std. Residual| > 3 (تفصّل الصفحة ما يتجاوز 1.96 في ملاحظة الجدول 4)؛ Residuals Statistics – القيمة الصغرى والعظمى لـ Std. Residual وCook's Distance وCentered Leverage Value (= الرافعة في الجدول 4 ناقص 1/N)؛ ورسم Scatterplot والرسم Normal P-P Plot في نهاية المخرجات. زر "تنزيل ملف Syntax لـ SPSS" في المخرجات يولّد أوامر التحميل، والقاموس (إذا وُجد مفتاح ترميز)، والأمر REGRESSION على المتغيرات المختارة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

في R الأساسي: تطابق lm() النموذج، وتعطي summary() المعاملات وR² وR² المعدَّل والخطأ المعياري للتقدير وF (الجداول 1-3)، وconfint() فترات الثقة، وanova() جدول ANOVA؛ وتعطي rstandard() البواقي المعيارية الداخلية (تختلف قليلًا عن ZRESID في SPSS – انظروا النص البرمجي)، وcooks.distance() وhatvalues() مسافة كوك والرافعة؛ وvif() وdurbinWatsonTest() من حزمة car. تُحسب β وsr يدويًا. شُغِّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال وأعطى قيم الجداول (في التعليقات). قاعدة الموقع للعربية في R: ملف UTF-8، كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وبيئة UTF-8 للأسماء العبرية (في Windows: R 4.2 وما بعده، أو Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# الانحدار الخطي – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)   # قراءة ملفات إكسل
library(car)      # vif, durbinWatsonTest

# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغير؛ ورقة العمل "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_regression_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
v <- c("עמדות_ציון", "גיל", "השכלה", "מין", "קבוצה")
d <- d[complete.cases(d[, v]), v]                       # حذف الحالة كاملة (113 من 120)
names(d) <- c("y", "age", "edu", "sex", "grp")           # أسماء قصيرة للمعادلة

# الجداول 1-3 – النموذج، ومربع R، وF، والمعاملات، وفترات الثقة
m <- lm(y ~ age + edu + sex + grp, data = d)
summary(m)                                               # قيمة R² = .138، وR² المعدَّل = .107، والخطأ المعياري 0.713، F(4, 108) = 4.337, p = .003؛ B: الثابت 3.064، العمر 0.012 (p = .028)، التعليم 0.022، الجنس 0.197، المجموعة −0.406 (p = .003)
confint(m)                                               # فترات الثقة 95%: العمر [0.001, 0.022]، المجموعة [−0.673, −0.138]
anova(m)                                                 # الباقي: SS 54.915، df 108، MS 0.509؛ الانحدار = 3.376 + 0.003 + 0.847 + 4.594 = 8.820 (الجدول 2)
# ملاحظة: يفكّك anova(m) الانحدار حسب المتنبِّئ (Type I)؛ صف Regression في SPSS = مجموع صفوف المتنبِّئات الأربعة

# بيتا المعيارية والارتباط شبه الجزئي (sr) – يدويًا
b <- coef(m)[-1]; sds <- sapply(d[, c("age", "edu", "sex", "grp")], sd)
b * sds / sd(d$y)                                        # قيم β: العمر .200، التعليم .030، الجنس .130، المجموعة −.270
t <- summary(m)$coefficients[-1, "t value"]; r2 <- summary(m)$r.squared; dfe <- df.residual(m)
t * sqrt((1 - r2) / dfe)                                 # قيم sr: العمر .199، التعليم .030، الجنس .129، المجموعة −.268

# التعدد الخطي واستقلال البواقي
vif(m)                                                   # قيم VIF: 1.013، 1.006، 1.012، 1.012 – لا يوجد تعدد خطي
durbinWatsonTest(m)                                      # قيمة Durbin-Watson 1.956

# الجدول 4 – التشخيص: ZRESID في SPSS = الباقي/الخطأ المعياري للتقدير؛ rstandard() = الباقي المعياري الداخلي (مقسوم أيضًا على √(1 − h))
z <- resid(m) / sigma(m)
c(over196 = sum(abs(z) > 1.96), over258 = sum(abs(z) > 2.58), over329 = sum(abs(z) > 3.29), maxZ = max(abs(z)))   # عدد 4 فوق 1.96، و2 فوق 2.58، و0 فوق 3.29؛ القيمة العظمى 3.14
c(maxCook = max(cooks.distance(m)), maxLeverage = max(hatvalues(m)), avgLeverage = mean(hatvalues(m)))             # أقصى مسافة كوك .129؛ أقصى رافعة .114، والمتوسط .044 = (k + 1)/N

# رسم البواقي: ZRESID مقابل ZPRED
plot(scale(fitted(m)), z, xlab = "ZPRED", ylab = "ZRESID"); abline(h = c(0, -1.96, 1.96), lty = c(1, 2, 2))

عرض النتائج

يُبلَّغ عن نوع التحليل (قياسي/هرمي)، وN، ثم عن النموذج – R² (أو المعدَّل)، وF مع درجتي الحرية، وp الدقيقة – ثم عن كل متنبِّئ: B مع الخطأ المعياري أو فترة الثقة، وβ، وp، ووفق Pallant أيضًا sr (Pallant, 2020, Chapter 13; Field, 2024, Section 9.14; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). مثال APA (القسم 6.43): "High school GPA predicted college mathematics performance, R² = .12, F(1, 148) = 20.18, p < .001, 95% CI [.02, .22]". وفقرة Pallant: "أُجري انحدار متعدد هرمي لتقييم قدرة مقياسَي ضبط على التنبؤ بالضغط النفسي بعد ضبط المرغوبية الاجتماعية والعمر. وأُجريت تحليلات أولية للتأكد من عدم انتهاك افتراضات الاعتدالية والخطية والتعدد الخطي وتجانس التباين. … بلغ التباين الكلي الذي فسّره النموذج كله 47%، F(4, 421) = 94.78, p < .001. … في النموذج النهائي كان مقياسا الضبط وحدهما دالّين إحصائيًا، وكانت قيمة الارتباط شبه الجزئي لـ Mastery أعلى (sr = −.36, p < .001) منها لـ PCOISS (sr = −.26, p < .001)." Field (القسم 9.14): مع عدة متنبِّئات "لا شيء يتفوق على جدول ملخِّص" – B، والخطأ المعياري، وفترة الثقة، وp وβ لكل متنبِّئ بما في ذلك الثابت ("كي يتمكن القرّاء من تركيب النموذج الكامل")، وR² تحت الجدول؛ وتقدّم APA (2020، الجداول 7.15-7.18) جداول نموذجية بالبنية نفسها، من دون فترات ثقة، ومع فترات الثقة بين قوسين أو في أعمدة منفصلة، وللانحدار الهرمي.

قواعد الصياغة (APA, 2020, Section 6.36): B وF وt وفترة الثقة لـ B مع صفر قبل النقطة؛ وR² وβ وr وsr وp من دونه (لا يمكن أن تتجاوز 1)؛ فترة الثقة بالصيغة 95% CI [LL, UL]. جمل عرض النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو، بالعربية والإنجليزية، مع معادلة التنبؤ في الانحدار البسيط ومع المتنبِّئات الدالة إحصائيًا (حسب حجم β) في الانحدار المتعدد.

أخطاء شائعة

تفسير B كمقياس للأهمية. B يتوقف على الوحدات؛ تُقارن المتنبِّئات بـ β أو بـ sr² (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 550; Pallant, 2020, Chapter 13).

جمع قيم sr² وتوقّع الحصول على R². المجموع أصغر من R² – والفرق هو التباين الذي تتقاسمه المتنبِّئات (Pallant: 25% مقابل 46.8%).

متنبِّئ تصنيفي متعدد القيم كعدد. "التعليم 1-4" كعدد يفترض خطوات متساوية؛ و"المنطقة 1-5" كعدد عبث – يلزم ترميز وهمي (Field, 2024, Section 9.4.1).

"النموذج دالّ، إذن كل المتنبِّئات مهمة" – أو العكس. F يتحدث عن النموذج كله؛ وقد يكون المتنبِّئ غير دالّ فقط بسبب التداخل مع غيره (Pallant; Field, Section 9.9.3).

حذف مشاركين لتحسين p. التشخيص لفحص النموذج، لا "وسيلة لتبرير الحذف" (Belsey وآخرون، 1980، لدى Field، القسم 9.3.3).

الانحدار التدريجي. يتأثر بالصدفة وغالبًا "لا تتكرر نتائجه"؛ تحذّر منه Pallant (الفصل 13) وField (القسم 9.9.1) – تُدخل المتنبِّئات وفق النظرية.

التنبؤ خارج المدى والحديث عن السببية. المعادلة صالحة في المدى المُشاهَد (Gravetter & Wallnau, p. 536)، و"المتنبِّئ" ليس "سببًا".

تجاهل حجم العينة. ستة متنبِّئات على 21 مشاركًا تعطي R = 0.3 حتى من الضجيج (Field, Section 9.5)؛ وR² المعدَّل يشير إلى مدى تضخّم المطابقة.

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Tabachnick وFidell (2013)، وStevens (1996، 2002)، وCook وWeisberg (1982)، وHoaglin وWelsch (1978)، وBelsey وKuh وWelsch (1980)، وBowerman وO'Connell (1990)، وMyers (1990)، وMenard (1995)، وDurbin وWatson (1951)، وMiles وShevlin (2001)، وStudenmund وCassidy (1987) – كما ورد في Field (2024) وفي Pallant (2020). وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المراجع التي قُرئت في أصلها. Field (2024) وPallant (2020) في نسخة رقمية متدفقة – الاستشهاد حسب القسم والفصل؛ Gravetter وWallnau (2017) وCohen (1988) وAPA (2020) – حسب الصفحة والقسم في الطبعة المطبوعة.