شكل الانتشار وخط الانحدار

حاسبة

تحميل البيانات

تُلصق الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – تُحدَّد في إكسل، وتُنسخ، وتُلصق هنا (وكذلك القيم المفصولة بفواصل، مثل رباعية أنسكومب الواردة في الدليل):

اختيار المتغيرات

دليل

متى يُستخدم شكل الانتشار؟

يعرض شكل الانتشار (ويُسمّى أيضًا مخطط الانتشار، scatter plot) العلاقة بين متغيرين كمّيين. كل نقطة هي مشارك واحد: يتحدد موقعها وفق قيمته في المتغيرين – متغير على المحور X، والآخر على المحور Y، وكل مشارك هو الزوج (x, y) الخاص به. الشكل هو الخطوة الأولى قبل حساب الارتباط، لأنه يكشف ما يخفيه الرقم وحده – علاقة غير خطية، أو مشاهدات متطرفة، أو مجموعات منفصلة داخل العينة. وحتى قبل أي حساب، تُظهر نظرة إلى سحابة النقاط الخصائص الثلاث التي سيلخّصها معامل الارتباط لاحقًا في رقم واحد: الاتجاه – صاعد أم هابط؛ والشكل – خط مستقيم، أو منحنى، أو لا شيء؛ والقوة – إلى أي حد تلتصق النقاط بذلك الشكل (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 487-488; Pallant, 2020, pp. 153-154). من بين الثلاث، يلخّص الرقم جيدًا الأولى والثالثة فقط – أما الثانية فهو يفترضها مسبقًا أصلًا.

المقال الذي جعل شكل الانتشار إلزاميًا يبدأ بثلاث قناعات نشأ عليها كلنا تقريبًا، وكلها خاطئة: أن الحسابات دقيقة والأشكال "تقريبية"؛ وأن لكل نوع من البيانات حسابًا صحيحًا واحدًا؛ وأن الحسابات المعقدة فضيلة، أما النظر في البيانات فغشّ (Anscombe, 1973, p. 17). الحاسوب، كما يكتب Anscombe، ينبغي أن ينتج الحسابات والأشكال معًا – وكلاهما ينبغي تعلّمه. وعندما يُرسم Y مقابل X قبل أي حساب، سيحدث واحد من خمسة أمور: تقع النقاط تقريبًا على خط مستقيم؛ أو تقع على منحنى أملس ليس خطًا مستقيمًا؛ أو تكون مبعثرة بلا علاقة بـ X؛ أو شيء ما بين ذلك؛ أو – الحالة الأكثر إثارة للاهتمام بينها – يلتصق معظمها بخط أو منحنى، وقليل منها بعيد جدًا. في الحالة الأخيرة يوجد أثر يُرى، لكن حسابات الانحدار المعتادة قد تُغفله (المرجع نفسه). الحالة الثانية يمكن أحيانًا إعادتها إلى الأولى بتحويل لمقياس X أو Y؛ وفي الخامسة يُبدأ دائمًا بالتحقق من أن القيم المتطرفة أُدخلت بشكل صحيح – وإذا كانت حقيقية، تُوضع جانبًا لدراسة خاصة، "قد يتبيّن أنها مجزية جدًا".

ومن هنا القاعدة البسيطة لـ Gelman & Hill (2007، ص 554): إلى جانب كل انحدار يُشغَّل – يُرسم شكل انتشار؛ وليس للبيانات فقط، بل أيضًا للنموذج الذي طوبِق عليها، لأن "جدول المعاملات لا يعطي الإحساس الذي يعطيه الشكل" (المرجع نفسه، ص 548). ولهما ملاحظتان عن أيّ شكل: مصفوفة الانتشار لكل الأزواج (انظروا توسيعات) تشبه تشغيل انحدار كل متغير على كل متغير – مفيدة، لكن المرء يتعلم أكثر من أشكال اختيرت بتفكير؛ وعندما يكون للمتغيرين ترتيب زمني أو سببي، يوضع "القبل" على المحور X و"البعد" على المحور Y (المرجع نفسه، ص 553).

كيف يُقرأ الشكل: خط الانحدار وR²

خط الانحدار هو الخط المستقيم الذي يجعل مجموع مربعات المسافات الرأسية من النقاط إلى الخط أصغر ما يمكن – "الخط الأفضل" بهذا المعنى فقط، لا بمعنى أنه يمر أقرب ما يمكن من كل نقطة على حدة. يصف ميله بكم وحدة يُتوقع أن يتغير المتغير Y مقابل زيادة وحدة واحدة في X: الميل الموجب يصف علاقة صاعدة، والميل السالب – علاقة هابطة، والميل القريب من الصفر – غياب علاقة خطية.

يعبّر R² (معامل التحديد) عن نسبة التباين في المتغير Y التي "يفسّرها" خط الانحدار بواسطة X. قيمته دائمًا بين 0 و1 (أو 0% إلى 100%)، ولا تتوقف على اتجاه العلاقة: R² = .25 يعني أن 25% من التباين في Y مفسَّرة بـ X، سواء كانت العلاقة صاعدة أم هابطة. العلاقة بينه وبين معامل بيرسون بسيطة – R² هو مربع r – ولذلك للعودة من R² إلى r يؤخذ الجذر وتُضاف الإشارة وفق اتجاه خط الانحدار (صاعد = موجب، هابط = سالب). ومن هنا أيضًا سلّم حجم الأثر: R² قدره .01 علاقة صغيرة، و.09 – متوسطة، و.25 فأكثر – كبيرة (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 501) – وهي بالضبط العتبات r = .1 / .3 / .5 التي تصف الحاسبة وفقها قوة العلاقة بالكلمات. ولأن التربيع يمحو الإشارة، فإن ارتباطًا قدره +.80 وارتباطًا قدره −.80 علاقتان متسقتان بالقدر نفسه – الإشارة والقوة مستقلتان إحداهما عن الأخرى (المرجع نفسه، ص 489).

الميل ليس قوة. من الأخطاء الشائعة قراءة الخط الشديد الانحدار على أنه "علاقة قوية" والخط المعتدل على أنه "علاقة ضعيفة". قوة العلاقة هي إلى أي حد تلتصق النقاط بالخط – لا مدى انحدار الخط. يصف الميل بكم وحدة يتغير Y لكل وحدة من X، ولذلك يتوقف على وحدات القياس: البيانات نفسها بالضبط ستعطي خطًا شديد الانحدار إذا قيس Y بالنقاط ومعتدلًا إذا قيس بمئات النقاط – وارتباطًا متطابقًا في الحالتين. وبصياغة Cohen (1988، ص 75، 77): r هو نفسه ميل – ميل الخط عندما يُقيَّس المتغيران إلى التباين نفسه – بينما b هو الميل نفسه بالوحدات الخام، b = r·s_Y/s_X؛ وعندما يكون للوحدات معنى خاص بها (عملات، سنوات، نقاط في امتحان) يُفضَّل غالبًا الإبلاغ عن b، الذي يبقى أيضًا مستقرًا عندما يتغير تشتت X بين العينات. في الجدول الذي تنتجه الحاسبة يُفصَل الأمران صراحةً: r وR² يقيسان القوة، وb يقيس الميل. ويمكن رؤية ذلك أيضًا في بيانات المثال: الكفاءة×الثقة والقيادة×الجاهزية زوجان بميل متطابق تقريبًا (0.687 و0.716) لكن بـ R² مختلف (.545 مقابل .522) – والميل الأكبر هو بالذات في الزوج الأضعف.

وماذا يحدث عند تبديل المحورين. لا يعرف الارتباط أيّ المتغيرين X وأيّهما Y – r متماثل، وستُحصَل القيمة نفسها في الترتيبين. أما خط الانحدار فيعرف ذلك تمامًا: خط Y على X يقلّل المسافات الرأسية، وخط X على Y يقلّل المسافات الأفقية، وهما خطان مختلفان لا ينطبقان إلا عندما يكون الارتباط تامًا. ومعاملا الميل كذلك مختلفان – لا يتساويان إلا عندما تتساوى الانحرافات المعيارية للمتغيرين – ولذلك فإن شكل الانتشار نفسه أيضًا غير متماثل: البيانات نفسها تبدو مختلفة عند تبديل المحورين (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 110). في بيانات المثال: الثقة على الكفاءة تعطي b = 0.687؛ والكفاءة على الثقة تعطي b = 0.793 – والقيمة نفسها r = .738 في الحالتين. يمكن فحص ذلك في الحاسبة بنقرة واحدة، بتبديل المتغيرين. لهذا السبب فإن الوضع – المتنبِّئ على X، والنتيجة على Y – قرار ينبغي اتخاذه قبل الحساب والإبلاغ عنه، لا مسألة راحة.

الكلمات اصطلاح، والرقم هو النتيجة. تصف الحاسبة القوة بالكلمات وفق العتبات .1 / .3 / .5 لـ Cohen (1988) – المتعارف عليها في العلوم الاجتماعية، لكنها ليست الوحيدة. بعض الكتب الدراسية تستخدم سلّمًا من خمس درجات: حتى .1 لا علاقة، و.1-.3 ضعيفة، و.3-.5 متوسطة، و.5-.7 مرتفعة، وفوق .7 مرتفعة جدًا. الارتباط .738 في بيانات المثال "قوي" وفق أحد السلّمين و"مرتفع جدًا" وفق الآخر – ولذلك يُبلَّغ دائمًا عن الرقم، ويُذكر الوصف اللفظي كإضافة. يجدر أن نعرف أن Cohen نفسه اقترح العتبات صراحةً كاصطلاح "للاستخدام حين لا تتوفر تعريفات أنسب"، ودعا كل مجال إلى أن يحدد لنفسه تعريفات أخرى (1988، ص 79). وخلف كل عتبة تعليل: .10 علاقة لا تُرى بالملاحظة العادية، لكن كثيرًا من العلاقات التي تلاحقها العلوم "الليّنة" من هذه الرتبة (ص 79)؛ و.30 – "منتصف المدى" للارتباطات بين متغيرات نفسية مختلفة، وعلاقة يلاحظها "مراقب حساس معقول" بالعين (ص 80)؛ و.50 – "أعلى ما تصل إليه": الحد العملي للارتباطات بين متغيرات مختلفة في علم نفس الشخصية والتربية والإرشاد، مثل الارتباط بين الذكاء والدرجات المدرسية (ص 80-81). وفوقه، كما يلاحظ Cohen، لا توجد عادةً إلا معاملات الثبات (ص 78) – ولذلك فإن ارتباطًا مثل .74 بين مقياسين في استبانة، كما في بيانات المثال، مرتفع بشكل خاص وفق هذه المعايير، ومن المفيد التساؤل هل لا يقيس المقياسان جزئيًا الشيء نفسه. وإذا أُريد رقم يقيس مباشرةً التشتت حول الخط – "إلى أي حد تلتصق النقاط به" – فهذا هو الخطأ المعياري للتقدير (standard error of the estimate): الانحراف المعياري للبواقي، بوحدات Y؛ وكلما كان أصغر، كان التنبؤ أدق (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 40-41). وهو ليس في جدول هذه الصفحة، لكنه يظهر في جدول Model Summary لإجراء الانحدار (انظروا من الشكل إلى الانحدار).

ومتى ارتباط سبيرمان. يعرض الجدول الذي تنتجه الحاسبة إلى جانب بيرسون ارتباط سبيرمان أيضًا، المحسوب على رتب القيم لا على القيم نفسها. يعدّد Gravetter & Wallnau (2017، ص 510-511) حالتين يُستخدم فيهما: عندما تُقاس المتغيرات بمقياس ترتيبي (تصنيفات رتبية)، وعندما يُتوقع وجود علاقة متسقة في اتجاه واحد ليست بالضرورة خطًا مستقيمًا – مثل التدريب والأداء، الذي يتحسن مع كل تدريب لكن بوتيرة متناقصة؛ يقيس سبيرمان اتساق العلاقة بغض النظر عن شكلها، لأنه عندما تكون العلاقة متسقة تنتظم الرتب على خط مستقيم حتى لو لم تنتظم القيم. بلغة شكل الانتشار: يسأل سبيرمان هل تصعد السحابة (أو تهبط) بشكل متسق، لا بالضرورة في خط مستقيم، ولذلك فهو أقل حساسية لمشاهدة متطرفة منفردة ولانحناء لا يغيّر الاتجاه. المقارنة بين الصفين في الجدول فحص سريع: عندما يكون الاثنان متقاربين، تكون العلاقة خطية تقريبًا ومن دون قيم متطرفة مهمة؛ وعندما يكون سبيرمان أكبر بكثير من بيرسون، يوجد في السحابة شيء – انحناء أو نقطة بعيدة – يستحق العودة والنظر إليه.

وعندما لا تكون العلاقة خطًا مستقيمًا. الارتباط المنخفض لا يثبت عدم وجود علاقة: قد توجد علاقة قوية ومتسقة غير خطية، لا يراها الخط المستقيم ومعامل بيرسون ببساطة. المثال الكلاسيكي من علم النفس هو العلاقة بين القلق والأداء – حتى مستوى معيّن من القلق يتحسن الأداء، وبعده ينخفض؛ في شكل الانتشار هذا شكل U مقلوب، وقد يقترب ارتباط بيرسون من الصفر رغم أن العلاقة واضحة للعين – يقيس بيرسون العلاقات في خط مستقيم فقط، وللأشكال الأخرى مقاييس أخرى (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 488; Pallant, 2020, p. 153). وهذا سبب آخر للبدء دائمًا من الشكل – انظروا أيضًا رباعية أنسكومب في صفحة الارتباطات.

الرباعية – للتجربة في الحاسبة. مجموعات البيانات الأربع المختلَقة لـ Anscombe (1973، ص 19)، أحد عشر زوجًا في كل منها، تعطي المخرجات المعيارية نفسها بالضبط: n = 11، ومتوسط X 9.0، ومتوسط Y 7.5، وخط الانحدار Ŷ = 3 + 0.5·X، وR² = .667 – ومع ذلك فإن الأولى وحدها هي ما يتخيله معظم الناس حين يرون هذه الأرقام: الثانية منحنى أملس، والثالثة خط مستقيم تام مع نقطة واحدة تنحرف عنه، والرابعة عشر نقاط عند X نفسه ونقطة واحدة تحدد الميل وحدها. يمكن رؤية ذلك في الحاسبة التي في الصفحة: انسخوا الكتلة التالية إلى تبويب اللصق، واختاروا تباعًا x مع y1، وy2، وy3، ثم x4 مع y4:

x,y1,y2,y3,x4,y4
10,8.04,9.14,7.46,8,6.58
8,6.95,8.14,6.77,8,5.76
13,7.58,8.74,12.74,8,7.71
9,8.81,8.77,7.11,8,8.84
11,8.33,9.26,7.81,8,8.47
14,9.96,8.10,8.84,8,7.04
6,7.24,6.13,6.08,8,5.25
4,4.26,3.10,5.39,19,12.50
12,10.84,9.13,8.15,8,5.56
7,4.82,7.26,6.42,8,7.91
5,5.68,4.74,5.73,8,6.89

انتبهوا إلى صفّين في الجدول. r وR² متطابقان في الأربع (.816، .667؛ فروق تقريب في الخانة الثالثة) – وهذه بالضبط نقطة Anscombe. لكن ارتباط سبيرمان مختلف جدًا: .82، و.69، و.99 و.50 – في المجموعة الثالثة سبيرمان أعلى بكثير من بيرسون (خط تام مع قيمة متطرفة واحدة)، وفي الرابعة أدنى بكثير (عشر رتب متساوية ونقطة واحدة) – وهذه بالضبط العلامة التي وُصفت أعلاه في "ومتى ارتباط سبيرمان". الأرقام، لمن يعرف أين ينظر، تلمّح فعلًا؛ لكن الشكل يُظهر ببساطة.

وعندما تنقسم السحابة إلى كتل. السحابة التي تبدو كتلتين أو ثلاثًا منفصلة، مرتّبة قُطريًا، علامة تحذير من متغير ثالث. مثال Gravetter & Wallnau (2017، ص 497، 502-503): بين عدد الكنائس وعدد الجرائم في المدن وُجد ارتباط موجب قوي – لا لأن الصلاة تولّد الجريمة، بل لأن كليهما يزداد مع حجم المدينة؛ وداخل كل فئة حجم، تختفي العلاقة. في شكل الانتشار يبدو هذا ككتل حسب حجم المدينة، كل منها وحدها بلا اتجاه. عند الاشتباه في ذلك، يُلوَّن الشكل أو يُقسَم حسب المتغير الثالث (انظروا Overlay Scatter وPanel by في توسيعات)، أو يُحسب ارتباط جزئي – في صفحة الارتباطات.

وما يقوله الخط عن المشاركين المتطرفين. عندما لا يكون الارتباط تامًا، فإن النقاط المتطرفة في X ليست المتطرفة في Y: يميل المشاركون الأعلى في متغير إلى أن يكونوا مرتفعين – لكن بدرجة أقل – في المتغير الآخر، وكذلك الأدنى. هذا هو الارتداد نحو المتوسط (regression toward the mean; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 501-502)، وهو السبب في أن خط الانحدار دائمًا أكثر اعتدالًا من قُطر السحابة. لا توجد هنا أي قوة جاذبة – إنها حقيقة إحصائية تنبع من كون العلاقة غير تامة؛ لكنها تفسّر، مثلًا، لماذا يُخيّب "لاعب العام" في موسمه الأول الآمال في الثاني، ولماذا يكون من حصل على أعلى درجة في الامتحان أ عادةً فوق المتوسط فقط في الامتحان ب. ويحلّ Gelman, Hill & Vehtari (2020، ص 87-90) أيضًا المفارقة التي تُقلق كثيرين: إذا كانت بنات الأمهات الطويلات أقصر منهن في المتوسط، أفلن نصبح كلنا بالطول نفسه بعد بضعة أجيال؟ لا – لأن التنبؤ يرتد نحو المتوسط، لكن المشاهدة ليست التنبؤ: خطأ التنبؤ يضيف من جديد بالضبط التشتت الذي ينزعه الارتداد، ويبقى التباين بين الأجيال ثابتًا. والأخطر هو مغالطة الارتداد (regression fallacy) – أن يُنسب إلى الارتداد سبب. مثال تفرسكي وكانيمان، الذي يوردونه: مدربو طيران لاحظوا أنه بعد الثناء على مناورة ناجحة يكون الأداء التالي أسوأ، وبعد التوبيخ – أفضل، فاستنتجوا أن الثناء يضرّ؛ والواقع أن المناورة الممتازة هي أيضًا نتيجة حظ، ويُتوقع بعدها تراجع بصرف النظر عن رد فعل المدرب. والأمر نفسه مع طلاب "تكاسلوا" بعد درجة مرتفعة في امتحان منتصف الفصل: في محاكاة تكون فيها الدرجات قدرة حقيقية زائد ضجيج خالص، من دون أي دافعية، يُحصَل بالضبط على النمط نفسه. شكل انتشار لـ "القبل" مقابل "البعد" – مع خط انحدار أكثر اعتدالًا من القُطر – هو بالضبط الوضع الذي يحسن فيه تذكّر ذلك.

ولمثل هذا الشكل أداة بصرية بسيطة، غير موجودة في الحاسبة التي في الصفحة ويمكن إضافتها في SPSS أو في R: يوصي Gelman & Hill (2007، ص 556) برسم "خط افتراضي" – خط أفقي عند الصفر، أو، في شكل القبل مقابل البعد بالوحدات نفسها، القُطر y = x الذي يمثّل التساوي. ما إن يظهر القُطر على الشكل حتى يُرى الارتداد نحو المتوسط بالعين: من كان مرتفعًا في "القبل" يقع في معظمه تحت القُطر، ومن كان منخفضًا – فوقه، ويقطع خط الانحدار القُطر عند المتوسط. وفي السياق نفسه – عندما يقيس المحوران الشيء نفسه بالوحدات نفسها، يُرسم الشكل مربعًا وبالمقياس نفسه على المحورين، حتى لو بقيت أجزاء كبيرة منه فارغة؛ وعندما تكون المتغيرات مختلفة، فالأفضل ألا يكون مربعًا، كي لا يوحي ضمنًا بتساوٍ غير موجود (المرجع نفسه).

ثلاث نظرات، بهذا الترتيب. تقترح Pallant (2020، ص 156-157) قراءة كل شكل انتشار في ثلاث مراحل ثابتة، قبل حساب أي شيء:

قاعدة تقريبية للغلاف. يقترح Gravetter & Wallnau (2017، ص 489) طريقة لتقدير r بالعين: يُرسم حول النقاط غلاف – أضيق خط مغلق يحتويها كلها. الغلاف على شكل كرة القدم الأمريكية يعني ارتباطًا قدره نحو .7؛ والغلاف الأكثر امتلاءً – ارتباطًا أقرب إلى 0؛ والغلاف الأضيق – أقرب إلى 1. مع البيانات المنفصلة مثل مقاييس ليكرت، حيث تخفي نقطة واحدة عشرات المشاركين (انظروا أعلاه)، يكون هذا التقدير مضلِّلًا – وهناك يُعتمد على الرقم.

الخط الذي ترسمه العين ليس خط الانحدار. عندما يُطلب من الطلاب رسم خط الانحدار يدويًا على سحابة نقاط، يرسمون في أغلب الأحيان تقريبًا المحور الطولي للسحابة – الخط الذي "يمر أقرب ما يمكن" من كل النقاط (بلغة الإحصاء: خط المكوّن الرئيسي). لكن خط الانحدار يقلّل المسافات الرأسية فقط، وهو دائمًا أكثر اعتدالًا: في المتغيرات المعيارية بارتباط .5 يكون ميله بالضبط نصف ميل محور السحابة (Gelman, Hill & Vehtari, 2020, pp. 187-188). ورغم المظهر، فهو الخط الصحيح للتنبؤ: في الطرف الأيسر من السحابة تقع كل النقاط فوق المحور الطولي – فهو يتنبأ بقيم منخفضة جدًا لقيم X المنخفضة ومرتفعة جدًا للمرتفعة – أما خط الانحدار فيمر عبر متوسط Y عند كل قيمة لـ X. وهذا أيضًا التفسير الهندسي للارتداد نحو المتوسط الذي وُصف أعلاه.

الخط نموذج، والنموذج يتنبأ. خط الانحدار هو أبسط صورة لما يسمّيه Field (2024، القسم 9.2) "النموذج الخطي": Ŷ = b₀ + b₁X. المَعلَمتان هما بالضبط الصفّان الأخيران في الجدول الذي تنتجه الحاسبة – المقطع b₀ (a في الجدول): القيمة المتوقعة لـ Y عندما X = 0؛ والميل b₁ (b في الجدول): التغير المتوقع في Y لكل زيادة وحدة واحدة في X. القبعة فوق Y تذكّر بأن هذه قيمة متنبَّأ بها (predicted value)، لا قيمة مشاهَدة: تُعوَّض قيمة لـ X فيُحصل على Y الذي يتوقعه النموذج. في بيانات المثال، مثلًا، يتوقع النموذج لمستجيب مستوى كفاءته 4.0 ثقةً قدرها 1.159 + 0.687 × 4.0 ≈ 3.91. هذا التنبؤ ليس دقيقًا لكل مشارك – الفرق بين القيمة المشاهَدة والقيمة المتنبَّأ بها هو الباقي (residual)، والخط يُختار بحيث يكون مجموع مربعات البواقي أصغر ما يمكن (طريقة المربعات الصغرى، Field، 2024، القسم 9.2.4). ثلاث حقائق بسيطة عن هذا الخط تساعد على قراءة أي شكل (Gravetter & Wallnau, 2017, Section 16.1): يمر دائمًا بالنقطة (متوسط X، متوسط Y)؛ وإشارة ميله هي إشارة الارتباط؛ وعندما يكون الارتباط صفرًا يكون خطًا أفقيًا عند متوسط Y – وهو بالضبط نموذج "لا علاقة" في الفقرة التالية.

من أين يأتي R²، وما الاختبار الذي يقف خلف p. لمعرفة ما إذا كان النموذج جيدًا، يُقارَن بأبسط نموذج ممكن – "لا علاقة": التنبؤ لكل مشارك بمتوسط Y، أيًّا كانت قيمة X. مجموع مربعات مسافات المشاهدات عن المتوسط (SS_T) هو مقدار التباين الذي ينبغي تفسيره؛ ومجموع مربعات المسافات عن خط الانحدار (SS_R) هو ما بقي غير مفسَّر بعد مطابقة الخط؛ والفرق بينهما (SS_M) هو التحسّن الذي جاء به الخط. R² هو ببساطة النسبة SS_M / SS_T – جزء التباين الذي يفسّره النموذج مما كان ينبغي تفسيره (Field, 2024, Section 9.2.4). وعلى مجاميع المربعات نفسها يُبنى اختبار F، الذي يسأل هل النموذج أفضل من المتوسط بشكل دالّ إحصائيًا؛ وعلى الميل يُبنى اختبار t بـ n − 2 درجات حرية، الذي يسأل هل b₁ يختلف عن الصفر (القسم 9.2.5). عندما يوجد متنبِّئ واحد فقط، يكون هذان الاختباران واختبار الدلالة لارتباط بيرسون اختبارًا واحدًا في ثلاثة أزياء: F = t²، وقيمة p متطابقة في الثلاثة. لذلك فإن p في جدول الحاسبة هي في آن واحد دلالة الارتباط، ودلالة الميل، ودلالة النموذج كله.

الافتراضات والقيم المتطرفة والمشاهدات المؤثرة

الافتراضات – حسب ترتيب أهميتها

المتغيران كمّيان (متصل أو ترتيبي)؛ أما المتغير التصنيفي (مثل المنطقة أو الدين) فلا يناسب شكل الانتشار – وهناك يناسب مخطط الصندوق أو تحليل التباين. وفضلًا عن ذلك، يرتّب Field (2024، القسم 9.4.1) افتراضات النموذج الخطي حسب أهميتها، متّبعًا Field & Wilcox (2017) وGelman, Hill & Vehtari (2020، القسم 11.1). لدى الأخيرين تبدأ القائمة بافتراضين ليسا إحصائيين إطلاقًا، وهما الأهم بينها: الصدق – أن تجيب البيانات عن سؤال البحث: أن يقيس متغير النتيجة الظاهرة فعلًا (درجات الامتحان ليست "ذكاءً")، وأن يتضمن النموذج المتنبِّئات ذات الصلة، وأن يُعمَّم على الحالات التي يُراد الحديث عنها؛ والتمثيل – أن تمثّل العينة توزيع Y بمعلومية X. والتمييز العملي الذي ينبع من ذلك ثمين: انتقاء العينة وفق X (مثلًا زيادة النساء أو زيادة طوال القامة في عينة عن الطول والدخل) لا يضرّ بالانحدار؛ أما الانتقاء وفق Y (زيادة الأثرياء) فيضرّ (ص 153-154). وبعدهما فقط تأتي الافتراضات الإحصائية الأربعة، بهذا الترتيب:

النقطة المهمة وراء هذا الترتيب: خرق الافتراضات يضرّ أساسًا بـالتعميم – باختبارات الدلالة وبفترات الثقة – لا بتقديرات الخط. الميل والمقطع اللذان تعرضهما الحاسبة صحيحان للبيانات التي أمامكم حتى عندما لا تتحقق الافتراضات؛ ما يصبح موضع شك هو الاستنتاج من العينة إلى المجتمع (Field, 2024, Section 9.4). وبدقة أكبر (Field & Wilcox, 2017, Section Critical assumptions): عندما يكون تباين البواقي غير متجانس أو تكون المشاهدات معتمدة بعضها على بعض، تبقى تقديرات a وb غير متحيزة – لكن صيغة خطئها المعياري تفترض تباينًا ثابتًا، ولذلك تكون الأخطاء المعيارية متحيزة، ومعها قيم p وفترات الثقة. الخط صحيح؛ أما مقدار ما يمكن الاعتماد عليه – فلا. وكذلك Cohen (1988، ص 75): بوصفه مقياسًا وصفيًا للعلاقة الخطية، لا يتطلب r أي افتراض – لا عن توزيع المتغيرات ولا عن تجانس التباين؛ وتدخل الافتراضات فقط مع اختبار الدلالة، وحتى عندئذ فإن خرقها المعتدل، لا سيما في عينة كبيرة، لا يضرّ جديًا بصدق الاختبار. ومتطلبان عمليان آخران: يجب أن يكون للمتغيرات تباين – فالمتغير الذي كل قيمه متطابقة لا يمكنه التنبؤ بشيء (تعرض الحاسبة في هذه الحالة رسالة خطأ)؛ وينبغي أن يكون متغير النتيجة متصلًا لا "محدودًا" – فمقياس 1-5 تتركز فيه كل الإجابات في 4 و5 يقيّد ما يمكن اكتشافه.

وكيف تُفحص. الخطية تُفحص في شكل الانتشار نفسه – وهذا هو الهدف الكامل لهذه الصفحة. أما الافتراضان المتعلقان بالبواقي فيُفحصان في شكل البواقي، الذي يُحصل عليه من إجراء الانحدار لا من شكل الانتشار: على المحور X القيم المتنبَّأ بها، وعلى المحور Y البواقي، والمطلوب رؤية شريط منتظم على امتداد المدى كله – بلا قمع (خرق لتجانس التباين) وبلا قوس (أثر من علاقة غير خطية). في SPSS: في نافذة الانحدار، الزر Plots، يوضع *ZPRED في X و*ZRESID في Y. واعتدالية البواقي يُفضَّل فحصها بالعين – في المدرّج التكراري أو، والأفضل، في شكل Q-Q (هناك، بتأشير Normal probability plot): كلما التصقت النقاط بالقُطر، كان التوزيع أقرب إلى الطبيعي. اختبارات الاعتدالية الرسمية (Kolmogorov-Smirnov، Shapiro-Wilk) تتوقف على حجم العينة أكثر مما تتوقف على شكل التوزيع: في العينة الصغيرة تكون ضعيفة، وفي العينة الكبيرة تخرج دالّة إحصائيًا في أغلب الأحيان تقريبًا، حتى مع انحراف ضئيل – تلاحظ Pallant (2020، ص 138-139) أن هذا شائع في العينات الكبيرة وتحيل، متّبعةً Tabachnick & Fidell، إلى المدرّج التكراري وشكل Q-Q بدلًا منها. ويذهب Gelman, Hill & Vehtari (2020، ص 155) خطوة أبعد: لغرض تقدير الخط – تمييزًا له عن التنبؤ بمشاهدة منفردة – فإن اعتدالية البواقي "لا تكاد تكون مهمة إطلاقًا"، ولذلك لا يوصون بفحصها أصلًا؛ لا ضرر في شكل Q-Q، لكن الأجدر توجيه الانتباه إلى الصدق والتمثيل والخطية.

شكل البواقي نفسه فكرة لـ Anscombe (1973، ص 18)، وهو يفسّر لماذا لا يكفي شكل الانتشار: ظاهريًا لا يمكن لشكل البواقي أن يُظهر شيئًا غير موجود في الشكل الأصلي، لكن ما إن أزلنا الخط حتى يتمدد المحور Y ويُرى ما تبقّى بوضوح. أربعة أمور يُبحث عنها فيه: بضعة بواقٍ أكبر بكثير من كل البقية (قيم متطرفة)؛ وبواقٍ تنتظم في منحنى (علاقة غير خطية)؛ وتشتت يزداد تدريجيًا مع القيم المتنبَّأ بها (تباين غير متجانس)؛ وتوزيع ملتوٍ للبواقي. الثلاثة الأخيرة، إن حالفنا الحظ، تختفي معًا بتحويل لـ Y – مثلًا اللوغاريتم – ويُحلّ "المنحنى" أيضًا بتحويل لـ X أو بإضافة حد تربيعي. ويمكن بالطبع فحص كل منها باختبار رسمي، لكن الشكل "يُظهر طائفة من الخصائص بسرعة وحيوية، وكثيرًا ما تبدو الاختبارات الرسمية زائدة عن الحاجة" (المرجع نفسه).

وما لا يُرسم. بعد قائمة كهذه من التشخيصات، يجدر تذكّر "النصيحة السريعة" لـ Gelman & Hill (2007، ص 548): "هل تريدون حقًا إنتاج كل أشكال Q-Q، وأشكال التأثير، وكل الأشياء الأخرى التي تُخرجها الحزمة الإحصائية؟ ماذا ستفعلون بكل هذا؟" – والقاعدة التي يقترحانها بدلًا من ذلك: كل شكل يُعرض – كونوا مستعدين لشرحه. شكل الانتشار مع خط الانحدار وشكل البواقي هما الاثنان اللذان يجتازان هذا الاختبار دائمًا تقريبًا؛ أما البقية فتُرفق عندما يكون لديها ما تقوله.

القيمة المتطرفة والمشاهدة المؤثرة – ليستا الشيء نفسه

تُعلِّم الحاسبة التي في الصفحة في الشكل، وتجمع في جدول "مشاهدات تستحق الفحص"، النقاط التي تتجاوز عتبات المقاييس الثلاثة المشروحة هنا – الباقي المعياري، والرافعة، ومسافة Cook – مع التحفظ الثابت: التجاوز سبب للفحص، لا للحذف.

الأمر الثاني الذي يكشفه شكل الانتشار، بعد شكل العلاقة، هو النقاط التي تقع منفردة – بعيدًا عن السحابة، عند طرف أحد المحورين أو كليهما. قد تكون مثل هذه النقطة مشاركًا استثنائيًا حقًا، لكنها كثيرًا ما تكون مجرد رقم أُدخل خطأً، ولذلك فالخطوة الأولى دائمًا هي العودة إلى الملف وفحص القيمة. وإذا كانت حقيقية، يوصي Anscombe (1973، ص 17-18) بوضع المشاهدة جانبًا لدراسة منفصلة وبمطابقة الخط على بقية البيانات – ويضيف أن هذه الدراسة "قد يتبيّن أنها مجزية جدًا". لماذا يهمّ هذا هنا بالذات: ارتباط بيرسون حساس جدًا لنقطة منفردة. يوضح Gravetter & Wallnau (2017، ص 499) ذلك بخمس نقاط الارتباط بينها يكاد يكون صفرًا (r = −.08)؛ وإضافة نقطة متطرفة واحدة تقفز به إلى r = .85 – "علاقة قوية" تستند كلها إلى مشارك واحد. ومن يقرأ الرقم فقط لن يعرف ذلك أبدًا. ويضيف Field (2024، القسم 9.3) تمييزًا يحسن استيعابه: القيمة المتطرفة مشاهدة يتنبأ بها النموذج تنبؤًا سيئًا – باقيها كبير؛ والمشاهدة المؤثرة مشاهدة كان الخط سيبدو من دونها مختلفًا. هذان أمران مختلفان، وقد تكون المشاهدة أحدهما من دون الآخر.

مثال Field (2024، Jane Superbrain 9.1) يوضح ذلك جيدًا: في ثماني مناطق في لندن قيس عدد الحانات وعدد حالات الوفاة. في سبع منها العلاقة خطية تامة؛ أما الثامنة – "السيتي" في لندن، ميل مربع واحد فيه قليل من السكان وكثير جدًا من الحانات للمسافرين اليوميين – فتقع بعيدًا عن الجميع. ومع ذلك فإن باقيها يكاد يكون الأصغر، لأنها "تسحب" الخط إليها حتى يمر الخط قريبًا منها. وفق الباقي ليست قيمة متطرفة؛ ووفق مقاييس التأثير تغيّر الخط تمامًا. الخلاصة: في شكل الانتشار، النقطة المنفردة البعيدة عند طرف المحور X أخطر من نقطة بعيدة عن الخط في وسط المدى.

ستة تشكيلات يحسن التعرف إليها. الكتاب الذي خرجت منه معظم مقاييس التأثير الحديثة يبدأ بالذات بشكل انتشار: يعرض Belsley, Kuh & Welsch (1980، ص 8-9) ستة تشكيلات منمَّطة لـ "نقطة غريبة"، وهي خريطة جيدة لما قد يختبئ في السحابة. في الشكل أدناه الخط المتصل هو خط الانحدار على كل النقاط، والخط المتقطع – الخط الذي كان سيُحصل عليه من دون النقاط المعلَّمة:

(أ) تشتت منتظم – الوضع المرغوب؛ إذا كان تشتت X صغيرًا، فلن يكون الميل دقيقًا، لكن خطأه المعياري يقول ذلك أصلًا. (ب) قيمة متطرفة في وسط مدى X – نقطة بعيدة عن الخط، لكنها قرب متوسط X: الميل لا يكاد يتحرك، بل المقطع فقط؛ هذه هي القيمة المتطرفة "البريئة" نسبيًا، وعلامتها باقٍ كبير. (ج) فجوة، لكن متسقة – نقطة بعيدة تقع بالضبط على امتداد الخط: لا تضرّ، بل تفيد – فهي تقلّل تباين تقدير الميل. وهذا تذكير بأن النقطة المتطرفة ليست بالضرورة نقطة سيئة. (د) النقطة التي تحدد الميل – أكثر التشكيلات إثارة للقلق: من دون النقطة البعيدة لا توجد علاقة تقريبًا، ومعها توجد علاقة واضحة؛ في الواقع، كما يقول المؤلفون، توجد هنا "فعليًا نقطتان فقط". باقيها صغير – فالخط يمر عبرها – ولذلك لن تلتقطها مقاييس البواقي؛ أما الرافعة فتلتقطها. يفتتح Cook & Weisberg (1982، ص 102-103) النقاش في التأثير بالضبط بشكل كهذا، ويؤكدان أن حتى من يتوقع مسبقًا تغيّر الخط سيُفاجأ بما يحدث للمقاييس: مع النقطة البعيدة R² = .90؛ ومن دونها – أقل من .01. (هـ) اثنتان تسحبان – نقطتان برافعة عالية، كل منهما وحدها تُميل الخط؛ هنا، كما يكتب المؤلفون، يلزم إجراء: الحذف، أو – بلطف أكبر – تقليل وزنهما، أو تغيير النموذج. (و) تمويه متبادل – نقطتان متلاصقتان: حذف إحداهما لا يكاد يغيّر الخط، لأن الأخرى تواصل السحب، ولذلك فإن المقاييس التي تفحص مشاهدةً مشاهدةً (مثل مسافة Cook) قد تُغفل كلتيهما (المرجع نفسه، ص 9، 31). ولهذا لا بديل عن العين: زوج كهذا يبرز في شكل الانتشار فورًا.

للتكميم: البواقي المعيارية (standardized residuals) – البواقي بالدرجات المعيارية: القيمة المطلقة الأكبر من 3.29 سبب للقلق؛ وإذا كان أكثر من 1% من المشاهدات فوق 2.58، أو أكثر من 5% فوق 1.96 – فالنموذج يمثّل البيانات تمثيلًا سيئًا؛ ومسافة Cook – تأثير المشاهدة في النموذج كله: بكم تتحرك كل المعاملات معًا عند حذفها. المقياس، في تفكيك Cook & Weisberg (1982، ص 117)، حاصل ضرب العاملين الآخرين في هذه القائمة – مربع الباقي المعياري مضروبًا في "إمكانية" الرافعة (h/(1 − h)) – ولذلك قد تكون المشاهدة مؤثرة لسببين مختلفين: لأنها بعيدة عن الخط، أو لأنها بعيدة على المحور X؛ وفي المثال الذي يوردانه (3.5.1) تحصل أربع مشاهدات على القيمة نفسها بالضبط D = 3، اثنتان لكل سبب. العتبة المتعارف عليها، D > 1، تعني أن حذف المشاهدة يحرّك تقديرات النموذج إلى ما وراء منطقة ثقة 50% – ويقترحها Cook & Weisberg كـ"أساس للمقارنة" فقط، ويحذّران من أن تعريف "الكبير" يتوقف على المشكلة (ص 118)؛ والرافعة (leverage) – إلى أي حد قيمة X للمشاهدة متطرفة، وتُفحص القيم الأكبر من ضعف المتوسط 2(k + 1)/n (Hoaglin & Welsch، 1978، القسم 2؛ Belsley, Kuh & Welsch، 1980، ص 17؛ مع متنبِّئ واحد: 4/n). الرافعة، h، هي بالتعريف وزن المشاهدة في القيمة المتنبَّأ بها لها نفسها – عند h = 1 "يخصّص" لها النموذج مَعلَمة ويمر خط الانحدار عبرها حتمًا – وفي الانحدار البسيط لها صيغة شفافة: h = 1/n + (x − x̄)² / Σ(x − x̄)² – حصة المشاهدة من التشتت الكلي لـ X (Hoaglin & Welsch, 1978, Section 3). ومن هنا أمران يحسن تذكّرهما. في شكل انتشار لمتغيرين تكون الرافعة ببساطة مرئية: المشاهدة المتطرفة على المحور X مشاهدة برافعة عالية، ولا حاجة إلى مقياس؛ ويصبح المقياس ضروريًا فقط عند وجود عدة متنبِّئات، وعندها قد تكون المشاهدة بعيدة في توليفها من دون أن تكون متطرفة في أيّ منها، ولن يكشفها أي شكل (المرجع نفسه، القسم 2). وثانيًا، الاستراتيجية التي يقترحها Hoaglin & Welsch (القسم 5): تُفحص الرافعة لتحديد النقاط الحساسة على المحور X والبواقي التائية (studentized) لتحديد قيم Y المتطرفة – كلاهما، لأن المشاهدة ذات الرافعة العالية قد تُظهر باقيًا صغيرًا تحديدًا لأنها سحبت الخط إليها مسبقًا، ومقياس البواقي وحده سيُغفلها. وتحذير منهما يوازن كل ما قيل: النقاط المتطرفة في X هي أيضًا التي تحمل معظم المعلومات عن الميل، ولذلك قد يقلّل حذف نقطة رافعة كثيرًا الدقة التي يمكن بها تقديره – "لا يمكن اتخاذ مثل هذه القرارات آليًا". ويضيف Belsley, Kuh & Welsch مقياسين يظهران هما أيضًا في نافذة Save في SPSS: Standardized DfBeta – بكم خطأً معياريًا يتحرك الميل عند حذف المشاهدة، بعتبة 2/√n؛ وStandardized DfFit – بكم تتحرك قيمتها المتنبَّأ بها، بعتبة 2√(p/n)، حيث p عدد المَعلَمات بما فيها المقطع (1980، ص 28). الرافعة تقيس الخطر الكامن – كم تبعد المشاهدة على X؛ وهذان يقيسان الضرر الفعلي. وكل هذه تُستخرج في SPSS من إجراء الانحدار (الزر Save)، لا من شكل الانتشار – انظروا من الشكل إلى الانحدار.

مدى مقيَّد من القيم. فخّ صامت لا يُرى في الشكل نفسه: عندما تغطي العينة جزءًا ضيقًا فقط من مدى القيم الممكن – مثلًا قياس العلاقة بين الذكاء والتحصيل لدى طلاب الدراسات العليا فقط – يكون الارتباط الذي سيُحصل عليه مختلفًا، وغالبًا أدنى، عن ذاك الذي كان سيُحصل عليه من المدى الكامل. وكلما كان مدى المتغيرين في العينة أوسع، كان تقدير العلاقة أكثر موثوقية؛ وعندما تُدرس فئة متطرفة عمدًا (مثلًا مرضى بمستوى قلق مرتفع)، لا ينبغي تعميم الارتباط خارج المدى الذي سُحبت منه العينة (Pallant, 2020, p. 136). في شكل الانتشار يبدو هذا كسحابة تغطي زاوية واحدة فقط من المحورين. يوضح Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 57-58) ذلك بالأرقام: عند تقليص عينة من أعضاء هيئة التدريس إلى من أنهوا الدكتوراه قبل 5-11 سنة فقط (بدلًا من 3-18)، ينخفض الارتباط بين الأقدمية وعدد المنشورات من .657 إلى .388، وR² من .43 إلى .15 – بينما لا يكاد ميل الانحدار يتحرك (1.98 مقابل 2.46). وهذه خاصية عامة: عندما تكون العلاقة خطية، يكون b مستقرًا أمام التغيرات في تشتت X، أما r فلا. ومن هنا توصيتان عمليتان – الإبلاغ دائمًا عن الانحرافات المعيارية للمتغيرات، كي يتمكن القارئ من الحكم على ما إذا كان المدى مقيَّدًا؛ وعند مقارنة العلاقة بين عينات تختلف انحرافاتها المعيارية، مقارنة الميول لا الارتباطات.

ما لا يستطيع الشكل إظهاره: ثبات القياس. الاستبانات تقيس مع خطأ، وخطأ القياس يُضعف كل ارتباط: لا يمكن للارتباط بين درجتين مشاهَدتين أن يتجاوز الجذر التربيعي لحاصل ضرب معاملَي ثباتهما، r_XY ≤ √(r_XX·r_YY). مقياسان ثبات كل منهما .80 لن يستطيعا الارتباط بما يتجاوز .80، وارتباط مشاهَد قدره .44 بينهما يقابل ارتباطًا قدره .55 بين البُنى "الحقيقية" – وهذا هو تصحيح التوهين (correction for attenuation): يُقسَم r على الجذر نفسه (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, pp. 55-57). وينبع من ذلك أمران. أولًا، عدم الثبات تفسير كافٍ لارتباط منخفض، لكنه لا يستطيع أن يولّد ارتباطًا مرتفعًا زائفًا – فالارتباط القوي بين مقاييس غير ثابتة نتيجة قوية بشكل خاص. ويستخدم Cohen (1988، ص 79) هذا الحساب بالضبط ليشرح لماذا لا يكون r = .10 "أصغر من أن يُبحث عنه": بُنيتان نظريتان ارتباطهما الحقيقي .25، تُقاس كل منهما بأداة ترتبط .63 ببُنيتها، سترتبطان في القياس بـ .25 × .63 × .63 = .10 فقط – "في علم النفس"، في الاقتباس الذي يورده عن ثيرستون، "نقيس الناس بظلالهم". ثانيًا، الارتباط المصحَّح قيمة افتراضية لا معطى: يُبلَّغ عنه فقط إلى جانب الارتباط المشاهَد، وبحذر – فعندما تكون معاملات الثبات مقدَّرة في عينة أخرى أو مقدَّرة بأقل من حقيقتها، قد يعطي التصحيح قيمة مبالغًا فيها، بل أكبر من 1. ونقطة دقيقة عن خط الانحدار: الميل b لا يتأثر بعدم الثبات في Y (فالضجيج هناك تمتصه البواقي)، لكنه يتأثر بعدم الثبات في X. والثبات نفسه يُحسب في صفحة ألفا كرونباخ ودرجة المقياس.

الفقرة مقابل المقياس الذي هي جزء منه. فخّ قريب: شكل انتشار لفقرة منفردة مقابل الدرجة الكلية للمقياس الذي يتضمنها سيُظهر دائمًا علاقة موجبة – لمجرد أن الفقرة جزء من المجموع. مع k فقرات غير مرتبطة إطلاقًا بعضها ببعض، ترتبط كل فقرة بالمجموع بـ 1/√k: مع فقرتين – .71، ومع أربع – .50، من دون أي علاقة حقيقية (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 59). لذلك يُحسب ارتباط الفقرة بالمقياس دائمًا مقابل المقياس من دونها (corrected item-total correlation) – وهذا بالضبط العمود الذي تنتجه صفحة الثبات. وبالروح نفسها (المرجع نفسه، ص 53): r = 1 ممكن فقط عندما يتوزع المتغيران بالشكل نفسه، وكلما اختلفت التوزيعات – لا سيما عندما تلتوي في اتجاهين متعاكسين، أو عندما يكون المتغيران ثنائيين بنسب مختلفة جدًا – كان سقف الارتباط أدنى من 1.

والتحذير الأهم بينها جميعًا. مقاييس التشخيص وُضعت لمعرفة إلى أي حد يلائم النموذج البيانات – لا لتبرير حذف نقاط للحصول على نتيجة مرغوبة، مثل تحويل ميل غير دالّ إلى دالّ (Field, 2024, Section 9.3.3). Belsley, Kuh & Welsch (1980، ص 3-4)، الذين طوّروا كثيرًا من هذه المقاييس، كتبوها صراحةً لمنع العلاج الشائع وغير المناسب بالقدر نفسه – "رمي القيم المتطرفة"، وكثير منها، كما يلاحظون، ليس مؤثرًا أصلًا: المشاهدة المتطرفة ليست بالضرورة مشاهدة سيئة، وأحيانًا تحمل أكثر المعلومات إثارة للاهتمام في العينة؛ وفقط بعد تحديدها يمكن الحكم على جودتها وتقرير ما يُفعل. المشاهدة المتطرفة التي لا تؤثر في الخط لا تهدد النموذج، وفي كل الأحوال السؤال المثير للاهتمام هو لماذا لا تلائمه. طريقتان شائعتان لمعالجة القيم المتطرفة معيبتان لسبب مبدئي (Field & Wilcox, 2017, Section Alternative estimators): القطع وفق الانحرافات المعيارية – مثلًا حذف كل مشاهدة تبعد عن المتوسط أكثر من 2.5 انحراف معياري، وهي عادة منتشرة في بيانات زمن الاستجابة – يستند إلى المتوسط والانحراف المعياري، وهما نفسهما أكثر المقاييس حساسية للقيم المتطرفة، ولذلك فإن قيمة متطرفة كبيرة واحدة "تموّه" غيرها؛ والإزالة اليدوية للقيم المتطرفة، ثم تشغيل الانحدار المعتاد على ما تبقّى – تتجاهل أن البيانات قد "نُظّفت" مسبقًا، ولذلك تكون الأخطاء المعيارية الناتجة خاطئة، مهما كان حجم العينة. البدائل المتينة – المتوسطات المشذَّبة بنسبة 20%، ومقدِّرات M التي تحدد القيمة المتطرفة تجريبيًا وتقلّل وزنها، والانحدار المتين – متاحة أساسًا في R (المرجع نفسه، ص 17-18، 32-34)؛ أما ما هو متاح فعلًا في SPSS، وموصى به في كل الأحوال، فهو البوتستراب الوارد في القسم من الشكل إلى الانحدار. وماذا يُفعل عمليًا عندما تسهم مشاهدة واحدة كثيرًا في الخط؟ يصوغ Anscombe (1973، ص 18-20) الاختبار والحل. الاختبار: نكون أكثر اطمئنانًا إلى علاقة تبقى ظاهرة حتى بعد حذف بضع مشاهدات – أيًّا كانت – أي علاقة "تسري في كل المشاهدات ولا تنبع أساسًا من واحدة أو اثنتين". والحل، من مثال عن الإنفاق على التعليم في الولايات الأمريكية الخمسين أسهمت فيه ألاسكا، بقيم متنبِّئات بعيدة عن الجميع، إسهامًا خاصًا في الخط: لا تُستبعد ألاسكا – لأنه سيأتي بعدها هاواي وكاليفورنيا ونيويورك، "وأين نتوقف؟" – بل يُبلَّغ عن الانحدار على كل الولايات، ويُضاف أن ألاسكا أسهمت فيه كثيرًا، ويُذكر ما يحدث من دونها (هناك: الخط لم يكد يتغير، والأخطاء المعيارية ازدادت قليلًا وR² انخفض). الأمران معًا – العلاقة في كل البيانات والإسهام الخاص للمشاهدة – هما النتيجة. ويلخّص Cook & Weisberg (1982، ص 104) فضاء الإمكانات، بعد أن يوضحا أن المقاييس التي طوّراها "لم توضع لتقديم قواعد لرفض البيانات": المشاهدة التي مصدرها خطأ قياس أو إدخال أو ظروف تجريبية غير مناسبة – تُصحَّح أو تُحذف؛ والمشاهدة التي ليس لها تفسير كهذا – اختبار رسمي للقيم المتطرفة (مع التحفظ بأنه لا يُتوقع منه قوة كبيرة)، أو جمع بيانات إضافية، أو – وهو الأنسب غالبًا – الإبلاغ عن التحليلين، مع المشاهدة ومن دونها. والحسم النهائي، كما يكتبان، يتوقف دائمًا على السياق، ولذلك لا توجد توصية شاملة.

كم مشاركًا نحتاج؟

القواعد التقريبية الشائعة – 10 أو 15 مشاركًا لكل متنبِّئ – مبسَّطة إلى حد انعدام الفائدة (Field, 2024, Section 9.5): حجم العينة اللازم يتوقف على قوة العلاقة المتوقع إيجادها وعلى القوة الإحصائية المرغوبة. مع متنبِّئ واحد، ولقوة إحصائية 0.8 وفق المتعارف عليه (Cohen، 1988)، يحسب Field: نحو 25 مشاركًا يكفون لاكتشاف علاقة قوية (R² ≈ .26)، ونحو 55 لعلاقة متوسطة (R² ≈ .13)، لكن العلاقة الضعيفة (R² ≈ .02) تتطلب المئات. والعينة الصغيرة مضلِّلة في الاتجاه المعاكس أيضًا: قيمة R المتوقعة من بيانات عشوائية تمامًا هي k/(N − 1) – مع 21 مشاركًا ومتنبِّئ واحد، حتى الضجيج الخالص سيعطي R قدره 0.05، ومن السهل التأثر بـ"علاقة" غير موجودة.

أرقام Field تستند إلى جداول Cohen، ومن المفيد معرفتها في أصلها: في الجدول 3.4.1 (1988، ص 102)، لاختبار ثنائي الاتجاه عند مستوى .05 وقوة إحصائية .80، يلزم 28 زوجًا لاكتشاف r = .50، و85 لـ r = .30، و783 لـ r = .10 (ولقوة .90: 37، و113 و1,047). الفروق الصغيرة عن أرقام Field تنبع من أنه يعرّف الأثر بـ R² قدره .02 / .13 / .26. ويُقرأ الجدول أيضًا بالعكس: مع n = 50، مثلًا، احتمال اكتشاف علاقة متوسطة هو .57 فقط (المرجع نفسه، المثال 3.4) – وهذه عينة تبدو لكثيرين معقولة تمامًا. وملاحظة لـ Cohen يحسن تذكّرها: الجداول ليست صالحة عندما يكون مدى القيم في العينة مقيَّدًا (ص 100) – انظروا مدى مقيَّد من القيم أعلاه.

من أين تأتي هذه الأرقام. يشرح Gelman & Hill (2007، ص 441) المنطق الكامن خلف كل جدول للقوة الإحصائية في سطر واحد: كي يكون هناك احتمال 80% للحصول على نتيجة دالّة إحصائيًا، ينبغي أن يبعد الأثر الحقيقي 2.8 خطأ معياري عن الصفر – 1.96 كي لا تتضمن فترة الثقة 95% الصفر، و0.84 أخرى للوصول إلى المئين الـ80 للتوزيع الطبيعي. ومع الخطأ المعياري لمعامل الارتباط (في تحويل فيشر z، 1/√(n − 3)) تعيد هذه القاعدة إنتاج الأرقام الواردة أعلاه: لـ r = .30 يخرج 85 مشاركًا، ولـ r = .10 قرابة 780. وتنبع من ذلك خلاصتان عمليتان. الأولى: الأخطاء المعيارية تنخفض مثل 1/√n، ولذلك فإن تنصيف الخطأ المعياري يتطلب أربعة أضعاف المشاركين – عند r = .10 هذا هو الفرق بين 783 ونحو 3,100 (المرجع نفسه، ص 446). والثانية، الأهم: كل حساب للقوة الإحصائية يفترض حجم الأثر الحقيقي، "وهو افتراض لا يمكن بطبيعته فحصه من البيانات المتاحة" – فعينة سابقة أعطت r = .30 متسقة أيضًا مع علاقة أضعف بكثير – ولذلك "لا ينبغي بالضرورة توقّع الدلالة الإحصائية من دراسة مقترحة، حتى لو حُسب حجم العينة بشكل صحيح" (المرجع نفسه، ص 447). جدول القوة الإحصائية أداة تخطيط، لا وعد.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

الحاسبة التي في هذه الصفحة موازية للإجراء Simple Scatter في القائمة Graphs في SPSS. للدليل المفصّل انظروا Field (2024، القسم 5.8) وPallant (2020، ص 153-157). لـ SPSS مساران لشكل الانتشار: مربعات الحوار القديمة (Legacy Dialogs)، التي سنسير فيها هنا خطوة خطوة، وChart Builder الأحدث، الذي يُعرض في نهاية القسم. كلاهما ينتج الشكل نفسه.

ملاحظة عن الإصدارات. لقطات الشاشة في هذا القسم أُنتجت في SPSS الإصدار 21. الإجراءات نفسها مستقرة عبر الإصدارات، لكن مواضع العناصر في القائمة، وأسماء التبويبات وعدد الخيارات في المعرض قد تتغير قليلًا – وإذا بدت الشاشة لديكم مختلفة بعض الشيء، فهذا على الأرجح هو السبب. وحتى Field (2024)، الذي يستند إليه هذا القسم، كُتب وفق الإصدار 29. وField نفسه يطمئن في هذا الشأن – فبين طبعة وأخرى تصدر إصدارات جديدة، والإجراءات التي يصفها الكتاب لا تكاد تتأثر بذلك.

في القائمة يُختار Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot…:

في مربع الحوار Scatter/Dot الذي يُفتح يُختار نوع الشكل من بين خمسة خيارات، ثم يُنقر Define:

Simple Scatter – شكل انتشار لمتغير تابع واحد ومستقل واحد؛ وهو النوع الرئيسي، وما تحسبه هذه الصفحة، وهو أيضًا المحدَّد افتراضيًا عند فتح المربع. Overlay Scatter – عدة أزواج من المتغيرات على الشكل نفسه. Matrix Scatter – مصفوفة تعرض دفعة واحدة كل الأزواج الممكنة من قائمة متغيرات (هذان الاثنان يُتوسَّع فيهما لاحقًا، في القسم توسيعات). 3-D Scatter – شكل انتشار لثلاثة متغيرات دفعة واحدة. وSimple Dot، الخيار الوحيد هنا الذي ليس شكل انتشار – مخطط نقاط يصف توزيع متغير واحد، على غرار مدرّج تكراري تكون فيه كل مشاهدة نقطة.

عند اختيار Simple Scatter تُفتح نافذة الإعداد Simple Scatterplot: يُنقل المتغير التابع إلى المربع Y Axis والمتغير المستقل إلى المربع X Axis – وفي المثال الذي أمامنا الثقة (trust) على المحور Y والكفاءة (efficacy) على المحور X:

ثلاثة مربعات أخرى في النافذة مفيدة، لكنها ليست إلزامية: Set Markers by يلوّن النقاط وفق فئات متغير ثالث (الفكرة قديمة: سمّاها Anscombe، 1973، ص 20، triple scatterplot – شكل لمتغيرين يرمّز فيه رمز النقطة متغيرًا ثالثًا، وكان ذلك في نظره بديلًا فقيرًا لكنه كافٍ للشكل الثلاثي الأبعاد)؛ وLabel Cases by يضيف تسمية لكل نقطة، وهو مفيد لتحديد مشاهدة متطرفة بعينها؛ وPanel by Rows/Columns يقسم الشكل إلى أشكال فرعية منفصلة حسب المجموعات (انظروا Overlay Scatter في القسم التالي). النقر على OK ينتج الشكل:

ثلاثة أمور في هذا الشكل تستحق الانتباه قبل المتابعة. أولًا، النقاط مرتّبة في شبكة. المتغيران متوسطان لفقرات مقياس، ولذلك لا يأخذان إلا قيمًا بقفزات نصف نقطة. وهذا سليم تمامًا، ولا يدل على عطل في البيانات.

ثانيًا، وهذا أهم – تُرى على الشاشة نقاط أقل بكثير من 479. المشاركون الذين قيمهم متطابقة في المتغيرين يُرسمون بعضهم فوق بعض (overplotting)، وقد تمثّل نقطة منفردة على الشاشة عشرات المشاهدات. المعنى العملي: في مثل هذا الشكل لا يمكن تقدير قوة العلاقة بالعين، لأن الكثافة – المعلومة المهمة – ببساطة غير مرئية؛ ولذلك تُقاس برقم (r أو R²) لا بالانطباع. أما ما يُرى جيدًا فهو شكل السحابة: الزاوية اليمنى السفلى – كفاءة مرتفعة مع ثقة منخفضة – فارغة تقريبًا تمامًا، وهذه بالضبط علامة العلاقة الموجبة. (في الشكل الذي في هذه الصفحة تُرسم النقاط بشفافية جزئية، ولذلك يبدو تراكم المشاهدات في الموضع نفسه كبقعة أغمق – وهو تلميح بصري إلى الكثافة غير موجود في المخرجات المعتادة لـ SPSS.) وعلاج آخر لـ overplotting هو الإزاحة العشوائية (jittering): يُضاف إلى قيمة كل مشارك، على أحد المحورين أو كليهما، "ضجيج" عشوائي ضئيل، كي تتفرق قليلًا النقاط التي كانت متراكبة ويتكوّن إحساس بالكثافة. القيم نفسها لا تتغير – الرسم فقط – والحساب يُجرى بالطبع على البيانات الأصلية (Cohen, Cohen, West & Aiken, 2003, p. 111). والحالة التي تكون فيها هذه التقنية ضرورية حقًا هي شكل انتشار أحد متغيريه تصنيفي، مثل الجنس بترميز 0/1: من دون إزاحة عشوائية تكون كل مجموعة عمودًا رأسيًا واحدًا، لا يمكن فيه التمييز بين مشارك واحد ومئة.

كم من الضجيج يُضاف؟ يعطي Gelman & Hill (2007، ص 554) قاعدة: للبيانات ذات القيم الصحيحة – عدد عشوائي منتظم بين −0.3 و+0.3 لكل قيمة من X ومن Y؛ وعمومًا، "بالقدر الكافي بالضبط كي تبقى الطبيعة المنفصلة للبيانات واضحة". لبيانات ليكرت بقفزات نصف نقطة، كما في المثال، يكون المدى المقابل نحو ±0.15. ويرفضان أيضًا البديل الذي تُعلَّم فيه النقطة المتداخلة برقم (2، 3…) أو برمز خاص: فهو مضلِّل بصريًا، وغير كافٍ من حيث المبدأ، لأن عرض كل مشارك يتوقف عندئذ أكثر من اللازم على المشاركين الآخرين. في R هذا هو geom_jitter(width = 0.15, height = 0.15) بدلًا من geom_point في النص البرمجي الوارد في قسم R.

وثالثًا، توجد هنا مشاهدة متطرفة. في الزاوية اليسرى العليا تقع نقطة منفردة – كفاءة 1.00 مع ثقة 5.00 – بعيدًا عن نمط بقية المشاهدات. هذه بالضبط المشاهدة التي يوصي القسم الافتراضات أعلاه بالتوقف عندها وفحصها: إذا كانت خطأ إدخال، فلا مكان لها في التحليل؛ وإذا كانت معطى حقيقيًا، فهي تبقى – لكن يحسن معرفة أنها هناك، وفحص إلى أي حد تسحب إليها خط الانحدار. وختامًا، توضيح صغير لكل ما قيل في الفقرة السابقة: في ملف البيانات نفسه لا توجد هناك مشاهدة واحدة بل اثنتان – مشاركان لهما القيم نفسها بالضبط، مرسومان أحدهما فوق الآخر ويبدوان نقطة واحدة.

مرحلة التحرير: نافذة Chart Editor. بخلاف الحاسبة التي في هذه الصفحة، لا يظهر خط الانحدار في SPSS تلقائيًا مع الشكل – بل يُضاف في التحرير. النقر المزدوج (double-click) على الشكل في نافذة المخرجات يفتحه في نافذة منفصلة، Chart Editor، وتُفتح بجانبها نافذة Properties – مركز تحرير الشكل:

قاعدة واحدة مهمة في نافذة Properties: التبويبات فيها تتغير وفق ما هو محدَّد في الشكل. في اللقطة أعلاه لم يُحدَّد شيء، ولذلك يظهر تبويبان فقط – Chart Size، الذي يُحدَّد فيه ارتفاع الشكل وعرضه بالنقاط (هنا 375 في 468.75، مع الحفاظ على نسبة الارتفاع إلى العرض)، وVariables. النقر على إحدى نقاط الانتشار يحدد سلسلة النقاط كلها، ويضيف إلى النافذة تبويبين آخرين:

في Marker يُحدَّد مظهر النقاط: Type – شكل الرمز (دائرة، مربع، مثلث)؛ وSize – حجمه؛ وFill وBorder – لون التعبئة ولون الإطار. افتراضيًا تكون التعبئة فارغة (Transparent) والإطار أسود، ومن هنا الدوائر المجوّفة في المخرجات. هذا التبويب أكثر فائدة مما يبدو: تصغير الرمز، أو تعبئته بلون فاتح شفاف، يساعد بالذات في شكل كثيف مثل شكلنا، تتراكب فيه نقاط كثيرة.

يضيف التبويب Spikes من كل نقطة خطًا رفيعًا إلى مرساة ثابتة: Floor – إلى المحور X، وOrigin – إلى نقطة أصل المحورين، وCentroid – إلى مركز ثقل السحابة. الخيار الافتراضي، None، هو أيضًا الموصى به لشكل انتشار عادي؛ وقد يصلح Centroid لتوضيح درس عن التشتت حول المركز، لكنه في شكل يضم مئات المشاهدات ينتج شبكة متشابكة من الخطوط.

التبويب Variables هو الأعمق بينها: فهو يعرض العناصر التي يُبنى منها الشكل والمتغيرات التي تغذيها. القائمة المنسدلة Element Type تكشف ما يمكن رسمه أيضًا على البيانات نفسها – Marker (النقاط، وهو العنصر الموجود)، وFit Line (خط المطابقة)، وInterpolation Line، وDistribution Line، وPath وغيرها. وهنا يمكن أيضًا إضافة عنصر جديد إلى الشكل بالزر New. ومع ذلك، لا حاجة في الغالب إلى هذا المسار: خط الانحدار يُضاف بأمر مخصص واحد، وهذه هي الخطوة التالية.

وإضافة خط الانحدار نفسه. في قائمة Chart Editor يُختار Elements › Fit Line at Total…. يضيف الأمر إلى نافذة Properties تبويبًا جديدًا، Fit Line، تُختار فيه طريقة المطابقة (Fit Method): الخيار الافتراضي Linear هو الانحدار الخطي البسيط – بالضبط الذي تحسبه هذه الصفحة – وبجانبه Quadratic، وCubic، وLoess وMean of Y. النقر على Apply ثم Close يضيف الخط إلى الشكل، ويعرض عليه قيمة R Sq Linear (في الإصدارات الأقدم من SPSS يظهر النص من دون رمز التربيع، كالنص "RSq Linear"). وإغلاق نافذة Chart Editor يعيد الشكل المحدَّث إلى نافذة المخرجات.

وماذا يفعل Loess؟ هذا هو الخيار المثير للاهتمام من بين بدائل الخط المستقيم: خط ممهَّد لا يفترض شيئًا عن شكل العلاقة، بل يتبع ببساطة الاتجاه في البيانات، مقطعًا بعد مقطع (locally weighted scatterplot smoother). الاستخدام الصحيح له هو كفحص: إذا كانت العلاقة في المجتمع خطية، فينبغي أن يبدو خط Loess كتقريب خشن لخط مستقيم – وفي استعارة Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 112)، مثل "رسم طفل صغير لخط مستقيم باليد الحرة". وإذا انحنى بوضوح، فالخط المستقيم ليس النموذج الصحيح. أمران يحسن معرفتهما: عرض النافذة (في SPSS: % of points to fit) يحدد درجة التمهيد – القيمة الصغيرة جدًا ترسم كل تعرّج في الضجيج، والقيمة الكبيرة جدًا تسوّي حتى انحناءً حقيقيًا، ولذلك من المفيد تجربة قيمتين أو ثلاث؛ وعند أطراف مدى X، حيث البيانات متفرقة، يكون الخط أقل موثوقية بكثير منه في الوسط (المرجع نفسه، ص 113-114).

ونطاقات الثقة حول الخط. في التبويب نفسه Fit Line، تحت Fit Method، تقع مجموعة الخيارات Confidence Intervals. الخيار الافتراضي هو None – خط عارٍ، بلا نطاق – وبجانبه خياران يبدوان متشابهين وليسا متشابهين إطلاقًا: Mean وIndividual (مع حقل مستوى الثقة، 95 افتراضيًا). يرسم Mean عدم اليقين في الخط نفسه – أين يمر، في المجتمع، متوسط Y عند كل قيمة لـ X. أما Individual فيجيب عن سؤال مختلف تمامًا – أين يُتوقع أن يقع مشارك منفرد جديد – ونطاقه أعرض بكثير، لأنه يحمل مصدرين لعدم اليقين بدلًا من مصدر واحد: عدم اليقين في الخط، وتشتت المشاركين حوله أيضًا. ويصوغ Gelman & Hill (2007، ص 47-48) ذلك هكذا: الخطأ المعياري للتنبؤ بمشاهدة جديدة أكبر قليلًا من σ – الانحراف المعياري للبواقي، وهو Std. Error of the Estimate في جدول Model Summary – وذلك بسبب عدم اليقين في تقدير معاملات الانحدار؛ وبالتقريب الطبيعي، تقع نحو 50% من القيم الفعلية في المدى ±0.67σ حول التنبؤ، ونحو 68% في المدى ±σ ونحو 95% في المدى ±2σ.

ولماذا يضيق النطاقان في الوسط ويتسعان عند الأطراف. هذه ليست ظاهرة خاصة بـ SPSS بل خاصية للتنبؤ نفسه: يزداد عدم اليقين كلما ابتعدنا عن متوسط المتنبِّئ (Gelman & Hill, 2007, p. 44). وفي صيغة الخطأ المعياري للتنبؤ (المرجع نفسه، ص 47، الحاشية 3) يُرى ذلك مباشرةً – σ_forecast = σ √(1 + 1/n + (x − x̄)² / Σ(x_i − x̄)²): الحد الأوسط ينكمش كلما كبرت العينة؛ والحد الثالث يكبر كلما ابتعدت قيمة X التي يُتنبأ عندها عن متوسط X في العينة – ومن هنا شكل الساعة الرملية للنطاق؛ والـ1 في البداية هو بالضبط الفرق بين Individual وMean: تشتت المشارك المنفرد حول الخط، الذي لا يختفي حتى عندما تكبر العينة بلا حدود. وهذا هو التحفظ نفسه الذي قيل هنا عن أطراف خط Loess، وفي الصيغة الخطية يأخذ تعبيرًا بصريًا – النطاق نفسه يعلن أين يعرف الخط أقل.

وما الذي يُبلَّغ عنه. النطاقان يجيبان عن سؤالين مختلفين، ولذلك فالاختيار بينهما ليس مسألة ذوق: Mean يقول إلى أي حد نعرف أين يمر الخط، وIndividual يقول إلى أي حد يمكن التنبؤ بشخص واحد. الخطأ الشائع هو قراءة النطاق الضيق كأنه يقول أين يقع المشاركون، بينما هو يقول فقط أين يمر متوسطهم – وفي العينة الكبيرة يكون ضيقًا جدًا حتى عندما يكون التشتت حول الخط هائلًا. في فصل النتائج، عندما يأتي شكل الانتشار لوصف علاقة لا لاستخدامه في التنبؤ، يكون الاختيار المتعارف عليه Mean؛ وفي ملاحظة الشكل ينبغي ذكر أيّ نطاق معروض وبأي مستوى ثقة. وهذا ليس تشددًا زائدًا بل متطلب صريح: يُلزم APA (2020، القسم 7.28) بأن تُشرح في الملاحظة كل تظليل أو عنصر تصميمي آخر يحمل معنى، ويقول صراحةً إنه عندما يتضمن الشكل أشرطة خطأ ينبغي ذكر ما إذا كانت تمثّل انحرافات معيارية، أو أخطاء معيارية، أو حدود ثقة، أو مديات – ويضيف أنه يحسن ذكر حجم العينة بجانبها أيضًا. الحاسبة التي في هذه الصفحة ترسم الخط بلا نطاق، ولذلك فهذه إضافة تأتي من SPSS فقط.

النقر على Paste في أي من مربعات الحوار يحفظ العملية كأوامر Syntax:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(BIVAR)=efficacy WITH trust
  /MISSING=LISTWISE.

انتبهوا: يستخدم الأمر GRAPH افتراضيًا حذف الحالة كاملة (/MISSING=LISTWISE)، لا الحذف الزوجي الذي يستخدمه إجراء الارتباطات وحاسبة هذه الصفحة. في شكل انتشار منفرد، لزوج واحد فقط من المتغيرات، لا معنى عمليًا لذلك: الطريقتان تؤديان إلى مجموعة المشاهدات نفسها بالضبط، لأنه لا توجد هنا متغيرات إضافية تُحذف "بسببها" مشاهدات أخرى.

المسار الثاني: Chart Builder

المسار الذي وُصف حتى الآن هو مسار مربعات الحوار القديمة. في الإصدارات الحديثة من SPSS الأداة المركزية لبناء الأشكال هي Chart Builder، ويُوصَل إليها من Graphs › Chart Builder… (Field, 2024, Sections 5.3 and 5.8). النتيجة متطابقة – والفرق في طريقة البناء.

رسالة تظهر عند الفتح، ويحسن فهمها. عند فتح Chart Builder يقفز مربع يذكّر بأن مستوى القياس لكل متغير يجب أن يكون معرَّفًا بشكل صحيح – Scale، أو Ordinal أو Nominal – لأن الأداة تستند إليه لتعرف أيّ المتغيرات متصلة وأيّها تصنيفية (Field، 2024، SPSS Tip 5.1). هذا ليس خطأً بل تذكير: من عرّف المتغيرات كما ينبغي في العمود Measure في Variable View يؤكد ببساطة ويتابع. وفي اللقطة الأولى في هذا القسم يمكن رؤية ذلك بالضبط – متغيرات الصمود الخمسة معرَّفة Scale، والمتغيرات الديموغرافية Ordinal أو Nominal.

يذكّر المربع بأمر ثانٍ أيضًا: إذا تضمّن الرسم متغيرًا تصنيفيًا، فمن المستحسن أن تُعرَّف له تسميات القيم (value labels) – كي يظهر في الرسم "علماني" لا "1". يقود الزر Define Variable Properties مباشرة إلى المكان الذي يُصلَح فيه الأمران، ويتابع OK إلى النافذة نفسها.

بنية النافذة. أربع مناطق: Gallery – معرض أنواع الرسوم؛ قائمة المتغيّرات؛ الـcanvas، حيث تُبنى معاينة للرسم في أثناء العمل؛ وعلى اليمين الزرّان Element Properties وOptions، اللذان يحدّدان ما يعرضه الرسم بالضبط وكيف يتعامل مع القيم المفقودة. داخل الـcanvas تُعلَّم مناطق الإفلات (drop zones) بخط أزرق متقطع، وإليها تُسحب المتغيّرات – بدلًا من نقلها بالأسهم كما في المربعات القديمة.

تستحق تفصيلتان في الصورة نظرة. أولًا، بجانب كل متغير في القائمة يظهر رمز مستوى القياس الخاص به – مسطرة لـScale، وأعمدة لـOrdinal ودوائر ملوّنة لـNominal؛ وهذا هو التعريف نفسه الذي ذكّر به المربع السابق، وهنا يظهر للعين. وثانيًا، تحت القائمة تظهر الرسالة "No categories (scale variable)" – وهي تخص المتغير المحدَّد في القائمة وتُعلِم بأنه متصل ولذلك لا فئات له. في أسفل النافذة أربعة ألسنة تبويب: Gallery – الطريقة المعتادة، الاختيار من معرض جاهز؛ Basic Elements – البناء من الصفر، عنصرًا بعد عنصر؛ وبجانبهما Groups/Point ID وTitles/Footnotes.

وبناء شكل الانتشار. في قائمة Choose from يُختار Scatter/Dot، فيُفتح معرض أشكال الانتشار: Simple scatter، Grouped scatter، Scatterplot matrix، Simple dot plot، Summary point plot، Drop-line والنسخ ثلاثية الأبعاد. النقر المزدوج على Simple scatter (أو سحبه إلى الـcanvas) يضع رسمًا فيه منطقتا إفلات – واحدة للمحور Y وواحدة للمحور X. تُسحب المتغيّرات إليهما ويُنقر OK:

وتحذير صغير يوفّر الارتباك: فوق المعاينة مكتوب "Chart preview uses example data" – النقاط التي ترونها في النافذة ليست بياناتكم بل بيانات توضيحية. توضّح المعاينة بنية الرسم لا نتيجته، والرسم الحقيقي لا يُحصل عليه إلا بعد OK – وعندما يُحصل عليه، يكون مطابقًا تمامًا للرسم في المرحلة 4 أعلاه، الذي أُنتج في المسار القديم. مساران، والرسم نفسه بالضبط.

قاعدة الإبهام للتوزيع على المحورين هي التي اتّبعناها من قبل: متغير النتيجة على المحور Y، والمتنبِّئ على المحور X. ويضيف Field إلى ذلك تحفظًا يحسن تذكّره – في البحث الارتباطي، حيث يُقاس المتغيّران في الوقت نفسه، تصف الكلمتان "متنبِّئ" و"نتيجة" موقعهما في الرسم فقط ولا تدلّان على السببية (2024، القسم 5.8.1).

الامتدادان الواردان في القسم السابق موجودان هنا أيضًا، بأسماء أخرى: Grouped scatter يضيف منطقة إفلات ثالثة، يُسحب إليها متغير تصنيفي فتُلوَّن النقاط بحسبه – وهو مقابل Set Markers by (القسم 5.8.2)؛ وScatterplot matrix يعرض منطقة إفلات واحدة فقط، تُسحب إليها دفعة واحدة كل المتغيّرات المطلوبة – تُختار في القائمة بمساعدة Ctrl (أو Cmd في Mac) وتُسحب معًا (القسم 5.8.4).

ومن صاحب النقطة المتطرفة؟ نصيحة من Pallant (2020، ص 76، 157) توفّر البحث في الملف: في لسان التبويب Groups/Point ID في Chart Builder يُعلَّم Point ID label ويُسحب متغير المعرِّف إلى منطقة الإفلات Point ID. في الرسم الناتج يُفتح Chart Editor، ويُختار Elements › Data Label Mode (البند الأول في القائمة، في لقطة الشاشة للمرحلة 6 أعلاه) ويُنقر على نقطة – فيظهر رقم المعرِّف الخاص بها بجانبها. ومن دون متغير معرِّف يُعرض رقم الصف الذي أعطاه SPSS. هكذا يمكن العودة إلى استبانة ذلك المشارك والتحقق مما إذا كان الأمر خطأً في الإدخال. (في الحاسبة الموجودة في هذه الصفحة يعرض التمرير فوق نقطة قيمها، لكن لا يعرض المعرِّف – فعمود المعرِّف مستبعَد من التحليل.)

وأوامر Syntax هنا تبدو مختلفة تمامًا. في Chart Builder أيضًا يوجد زر Paste، لكنه لا يُنتج أمر GRAPH القصير الذي رأيناه أعلاه بل أمر GGRAPH، وداخله كتلة بلغة مخصّصة لوصف الرسوم – GPL (Graphics Production Language)، محصورة بين BEGIN GPL وEND GPL:

* Chart Builder.
GGRAPH
  /GRAPHDATASET NAME="graphdataset" VARIABLES=efficacy trust MISSING=LISTWISE REPORTMISSING=NO
  /GRAPHSPEC SOURCE=INLINE.
BEGIN GPL
  SOURCE: s=userSource(id("graphdataset"))
  DATA: efficacy=col(source(s), name("efficacy"))
  DATA: trust=col(source(s), name("trust"))
  GUIDE: axis(dim(1), label("efficacy"))
  GUIDE: axis(dim(2), label("trust"))
  ELEMENT: point(position(efficacy*trust))
END GPL.

أطول – لكنه أكثر صراحة، ولذلك يستحق تعلّم قراءته. كل سطر يجيب عن سؤال مختلف: DATA – أي المتغيّرات تدخل الرسم؛ GUIDE: axis – ما المكتوب على كل محور؛ SCALE – أي نوع من المقاييس يستخدمه كل محور؛ وELEMENT – ما يُرسم فعلًا (point، أي نقاط). السطر الأول، * Chart Builder.، هو تعليق فقط – يضيفه SPSS لتوثيق النافذة التي جاء منها الأمر، والنقطة في آخره هي التي تُنهيه. تتغير التفاصيل قليلًا بحسب الخيارات المختارة في النافذة، ولذلك قد تبدو أوامر Syntax التي ستحصلون عليها مختلفة قليلًا.

ومكافأة: تكشف أوامر Syntax كيف فهم SPSS كل متغير. لنفترض أننا بدلًا من الكفاءة سحبنا إلى المحور X متغير الدين – وهو متغير تصنيفي ذو ثلاث فئات. لن يمنع SPSS ذلك، وسيُنتج رسمًا، وهذا ما سيظهر في Paste:

DATA: dat=col(source(s), name("dat"), unit.category())
GUIDE: axis(dim(1), label("dat"))
SCALE: cat(dim(1), include("1", "2", "3"))
SCALE: linear(dim(2), include(0))
ELEMENT: point(position(dat*trust))

الكلمتان الكاشفتان هما unit.category() في سطر DATA وcat في سطر SCALE للمحور X – مقابل linear في المحور Y. أي إن أحد المحورين تصنيفي والآخر متصل، وقائمة include("1", "2", "3") تعدّد صراحة الفئات الثلاث. الرسم الناتج ليس سحابة نقاط بل ثلاثة أعمدة رأسية، واحد لكل مجموعة، ولا يمكن أن يُقرأ منه اتجاه أو أن يُطابَق عليه خط انحدار ذو معنى. هذه بالضبط الحالة التي وُصفت في قسم الافتراضات: عندما يكون المتغير المفسِّر تصنيفيًا، فالسؤال ليس "هل يوجد اتجاه صاعد" بل "هل تختلف المتوسطات بين المجموعات" – ويناسب هذا السؤالَ مخططُ الصندوق ومقارنة المتوسطات، لا شكل الانتشار. (لا تقتصر القاعدة على المتغير الاسمي: فالمتغير الترتيبي ذو القيم القليلة، كما هنا، سيعطي أعمدة لا سحابة.)

يُضاف خط الانحدار تمامًا كما وُصف أعلاه، في Chart Editor نفسه – فالمساران يلتقيان هناك. يحسن معرفة نصيحة واحدة من Field في هذا السياق: بجانب الخط يُلصق SPSS تسمية، وأحيانًا تقع فوق النقاط وتحجب بيانات؛ في هذه الحالة تُطفأ ببساطة في نافذة Properties. وفي الرسم المجمَّع، بعد إضافة الخط، سيرسم SPSS خطًا منفصلًا لكل مجموعة – والمقارنة بين ميولها هي بالضبط السؤال عمّا إذا كانت العلاقة أقوى في مجموعة منها في أخرى (القسم 5.8.2).

قراءة المخرجات

على خلاف جدول Correlations، الذي يعرض معامل الارتباط r نفسه، يعرض SPSS على شكل الانتشار – في زاويته، بجانب خط الانحدار – معامل التحديد، في صورة النص "R Sq Linear = …". مثلًا، في شكل الانتشار الذي عرّفناه للتو – الكفاءة (X) مقابل الثقة (Y) في ملف البيانات في هذه الصفحة (المستجيبون الـ512، بعد الحذف الزوجي للقيم المفقودة): R Sq Linear = .55، وN = 479.

للعودة من R² إلى معامل بيرسون r، يؤخذ الجذر وتُضاف الإشارة بحسب اتجاه خط الانحدار: هنا √.55 ≈ .74، وبما أن الخط صاعد (ميل موجب) نحصل على r = .74 – وهي بالضبط القيمة التي تظهر في خلية الارتباط بين الكفاءة والثقة في جدول الارتباطات (صفحة الارتباطات، جدول الارتباطات بين متغيرات الصمود الخمسة)، وأقوى ارتباط بين الأزواج العشرة هناك. وهذه أيضًا طريقة مريحة لاختبار أنفسكم: إذا حسبتم من قبل ارتباط بيرسون، فيُفترض أن يساوي مربعه قيمة R² Linear التي يعرضها الرسم.

إلى جانب حجم العلاقة، توضّح مقارنة ميل الخط بمعادلته المعنى العددي: في هذه العينة معادلة الخط هي Ý = 1.159 + 0.687X – أي إنه مع كل ارتفاع بنقطة واحدة في مستوى الكفاءة، يرتفع مستوى الثقة المتوقَّع بنحو 0.69 نقطة في المتوسط. نقطة التقاطع (1.159)، وهي القيمة المتوقعة عندما X = 0، تكون في الغالب بلا معنى جوهري عندما تقع 0 خارج مدى القيم التي شوهدت فعلًا في مقياس القياس.

من الرسم إلى الانحدار: الأرقام نفسها في إجراء Regression

يعرض شكل الانتشار R² والخط، لكنه لا يعرض المَعلَمات واختباراتها. الأرقام نفسها التي تعرضها الحاسبة هنا في الجدول يُحصل عليها في SPSS من إجراء الانحدار: Analyze › Regression › Linear…، المتغير التابع إلى مربع Dependent والمتنبِّئ إلى مربع Independent(s) (Field, 2024, Section 9.7). تأتي المخرجات في ثلاثة جداول (القسم 9.8)، ومن المفيد معرفة أين تقع كل قيمة من قيمنا – والجدول 1 في الصفحة يعرضها كلها من الآن (R² المعدَّل، والخطأ المعياري للتقدير، وF، وb وa مع الأخطاء المعيارية، وt وفترات الثقة). للانحدار بعدة متنبِّئات – صفحة الانحدار الخطي:

يوصي Field بتعليم Bootstrap… في النافذة الرئيسية وطلب فترات ثقة من نوع BCa لـb: فترة الثقة التي "لا تلامس الصفر" هي الدليل الأكثر مباشرة على وجود علاقة في المجتمع، والبوتستراب لا يستند إلى افتراضَي الاعتدالية وتجانس التباين (2024، القسم 9.8.2). الفكرة بسيطة (Field & Wilcox, 2017, Section Adjusting standard errors): بدلًا من افتراض كيف كان b سيتوزع في عينات متكررة، يُحاكى ذلك – تُسحب من البيانات نفسها، مع الإرجاع، عينة جديدة بالحجم الأصلي، ويُحسب عليها b، ويُكرَّر ذلك آلاف المرات (التوصية المعتادة: 2,000). القيم التي تحدّ الـ95% الوسطى من آلاف قيم b هذه هي فترة الثقة (percentile)، وBCa نسخة تصحّح للالتواء أيضًا. ولأن الطريقة لا تفترض شيئًا عن شكل التوزيع، فمن المفترض أن تصمد الأخطاء المعيارية وفترات الثقة التي تعطيها حتى عند انتهاك الافتراضات التي وُصفت أعلاه. وختامًا، جملة Field & Wilcox (ibid., Section Discussion and recommendations) التي يحسن تذكّرها أمام كل من يقول إن "الانحدار طريقة متينة": استنادًا إلى مئات الدراسات من الخمسين سنة الأخيرة، هذه الجملة ببساطة غير صحيحة – وهما يقترحان حظرها. أما بقية الإجراء – عدة متنبِّئات، ومؤشرات التشخيص، والافتراضات في المخرجات – فتفصّلها صفحة الانحدار الخطي في الموقع.

امتدادات: مقارنة المجموعات وكل الأزواج دفعة واحدة

مقارنة المجموعات في الرسم نفسه – Overlay Scatter. عند الرغبة في عرض عدة أزواج من المتغيّرات معًا، أو مقارنة الزوج نفسه بين مجموعات فرعية – مثلًا، هل العلاقة بين الكفاءة والثقة متشابهة في قوتها في مجموعات دينية مختلفة – يُختار في مربع Scatter/Dot الخيار Overlay Scatter ويُنقر Define:

في نافذة Overlay Scatterplot يُعلَّم في قائمة المتغيّرات متغيّران دفعة واحدة ويُنقلان إلى قائمة Y-X Pairs؛ كل صف فيها زوج، والمتغير الذي اختير أولًا يصبح متغير Y في الزوج. زر الأسهم (Swap Pair) يبدّل بين Y وX في الزوج المحدَّد – انتبهوا إلى أن الكفاءة في المثال الذي أمامنا هي Y بينما الثقة والانتماء هما X، عكس المثال الرئيسي في الصفحة. ولتقسيم الرسم إلى رسوم فرعية بحسب المجموعة، يُنقل متغير تصنيفي إلى مربع Columns (رسوم فرعية متجاورة) أو Rows (بعضها تحت بعض) في Panel by – هنا متغير الدين (dat):

المخرجات ثلاثة رسوم فرعية متجاورة – العلمانيون، والتقليديون، والمتدينون-الحريديم – وفي كل منها سلسلتا نقاط بلونين مختلفين، بحسب مفتاح الرسم على اليمين: الكفاءة مقابل الثقة والكفاءة مقابل الانتماء. المحاور مشتركة بين جميع الرسوم الفرعية، ولذلك يمكن المقارنة بينها مباشرة:

هنا أيضًا لا تظهر خطوط الانحدار من تلقاء نفسها: يُفتح الرسم في Chart Editor ويُختار Elements › Fit Line at Subgroups – فيُحصل على خط منفصل لكل سلسلة في كل رسم فرعي، وفي مفتاح الرسم على اليمين قيمة R² Linear لكل خط (Pallant, 2020, p. 305):

نصيحتان من Gelman & Hill (2007، ص 555) لرسم كهذا. الأولى – عن الرموز: لمجموعتين أو ثلاث تُختار رموز تتمايز للعين – دائرة مفتوحة مقابل دائرة مصمتة، لا الحرفان M وF – لأن الرمز هو الطريقة التي يقول بها الرسم "كل نقطة هي مشارك من هذه المجموعة"؛ أما حجم الرمز، في المقابل، فيكاد لا ينجح في تمثيل متغير متصل. والثانية – قصة من عملهما: رسما رسمًا قبليًا-بعديًا مع خطوط انحدار منفصلة لمجموعتي المعالجة والضبط، ولم يفهما إلا بعد أن رأيا الرسم بخطوط متوازية أن الخطوط غير المتوازية – أي التفاعل بين المعالجة وقياس "القبل" – هي النموذج الصحيح، وتبيّن أن هذه هي الحقيقة المركزية في البيانات. "الخطوط والنقاط معًا تُظهر ذلك بوضوح أكبر بكثير من أي ملخص عددي" (المرجع نفسه). وهذا بالضبط ما يتيح رسم Overlay مع Fit Line at Subgroups فحصه: هل الميول متشابهة.

هكذا يمكن الإجابة في رسم واحد عن السؤالين اللذين بُني من أجلهما. أي العلاقتين أقوى؟ لدى العلمانيين ترتبط الكفاءة بالثقة (R² = .554) أكثر من ارتباطها بالانتماء (.460)، ولدى المتدينين-الحريديم الفجوة مشابهة (.506 مقابل .404) – أما لدى التقليديين فالاثنتان متساويتان تقريبًا (.525 و.536). وهل العلاقة متشابهة بين المجموعات؟ علاقة الكفاءة-الثقة مستقرة إلى حد ما في الثلاث (.51-.55)، وعلاقة الكفاءة-الانتماء تتفاوت أكثر (.40-.54). انتبهوا إلى أن الأرقام في مفتاح الرسم هي R² لا r: الفرق بين .554 و.460 هو الفرق بين r = .74 وr = .68. وتحذير ينبع مباشرة من قسم الافتراضات – التشكيلات الست والرافعة: عندما تكون المجموعة صغيرة – كالمتدينين-الحريديم في هذه العينة، الذين يبدو رسمهم الفرعي متناثرًا بوضوح – تكفي نقطتان أو ثلاث ذات رافعة عالية لإمالة خطها في أي اتجاه، ولذلك لا تُقارَن الميول بين المجموعات إلا بعد التحقق من عدد المشاركين في كل منها، وإذا كان الفرق مهمًا – يُفحص باختبار لا بالعين.

النقر على Paste في نافذة Overlay Scatterplot يحفظ التعريف في صورة أوامر Syntax – وهي أقصر وأكثر صراحة من النافذة نفسها:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(OVERLAY)=trust belonging WITH efficacy efficacy (PAIR)
  /PANEL COLVAR=dat COLOP=CROSS
  /MISSING=LISTWISE.

تُقرأ هكذا: OVERLAY – عدة أزواج على المحاور نفسها؛ قبل WITH متغيّرات X وبعده متغيّرات Y، بالترتيب، و(PAIR) يأمر بمزاوجتها واحدًا لواحد – الأول مع الأول، والثاني مع الثاني (لا كل واحد مع كل واحد). هنا: trust مع efficacy وbelonging مع efficacy – ومرة أخرى نرى أن الكفاءة هي Y. /PANEL COLVAR=dat هو التقسيم إلى أعمدة بحسب الدين (ROWVAR كان سيقسّم إلى صفوف)، و/MISSING=LISTWISE – كما في الرسم المنفرد – يُسقط المشارك الذي تنقصه قيمة في أي من المتغيّرات الواردة في الأمر؛ وفي رسم لعدة أزواج يصبح هذا مهمًا، لأن المشارك الذي ينقصه الانتماء وحده سيختفي أيضًا من زوج الكفاءة-الثقة. وإذا أُريد الحذف الزوجي، يُستبدل بـ/MISSING=VARIABLEWISE.

نظرة على كل الأزواج دفعة واحدة – Matrix Scatter. لفحص جميع أزواج المتغيّرات دفعة واحدة – مثلًا بين متغيرات الصمود الخمسة – يُستخدم Matrix Scatter: تُنقل كل المتغيّرات إلى قائمة Matrix Variables ويُؤكَّد. كل خانة في المصفوفة هي شكل انتشار لزوج واحد، بحيث تقف المصفوفة كلها أمام مصفوفة الارتباطات في صفحة الارتباطات خانةً أمام رقم – وتُظهر ما لا يستطيعه الرقم: هل أحد الأزواج منحنٍ، وهل تقبع في أحدها مشاهدة تجذب الخط. لذلك يحسن النظر فيها قبل حساب الارتباطات لا بعده. وميزة خاصة بها: المشارك البارز في خانة واحدة يمكن البحث عنه في الخانات الأخرى، ورؤية ما إذا كان متطرفًا في كل المتغيّرات أم في زوج واحد فقط – Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 115-116) يوضّحون ذلك بإبراز المشارك نفسه في جميع الخانات.

في نافذة Scatterplot Matrix تُنقل إلى قائمة Matrix Variables كل المتغيّرات المراد رؤيتها – هنا متغيرات الصمود الخمسة. أما بقية المربعات فمألوفة من الرسم المنفرد: Set Markers by للتلوين بحسب المجموعة، وLabel Cases by للتسميات، وPanel by للتقسيم:

المخرجات شبكة من 5×5 خانات. القطر فارغ – فالمتغير مقابل نفسه لا يثير الاهتمام – وكل خانة أخرى شكل انتشار لزوج: المتغير الذي في الصف على المحور Y، والمتغير الذي في العمود على المحور X. نصفا الشبكة صورتان مرآويتان – خانة "القيادة مقابل الكفاءة" فوق القطر هي الرسم نفسه الذي في "الكفاءة مقابل القيادة" تحته، بمحورين متبادلين – ولذلك يكفي النظر في نصف واحد – إلى أن تُضاف خطوط الانحدار: في كل خانة الخط هو خط انحدار المتغير الذي في الصف على المتغير الذي في العمود، ولذلك فالخطان في الخانتين التوأمين ليسا صورتين مرآويتين بل خطان مختلفان، Y على X وX على Y (انظروا وما الذي يحدث عند تبديل المحورين). بحسب Cohen, Cohen, West & Aiken (2003، ص 115) هذا هو التحسين الرئيسي للمصفوفة على جدول الارتباطات: يعرض الجدول اتجاه العلاقة الخطية وقوتها فقط، بينما تكشف المصفوفة أيضًا العلاقات غير الخطية، التي تبدو في الجدول ببساطة ارتباطًا منخفضًا. ومرة أخرى الشبكة المألوفة: كل المتغيّرات متوسطات فقرات بقفزات نصف نقطة، ولذلك تترتب النقاط في صفوف وأعمدة، والنقطة الواحدة تمثّل مشاركين كثيرين:

وكما في كل شكل انتشار، يُضاف خط الانحدار في التحرير: Chart Editor ثم Elements › Fit Line at Total – عملية واحدة تضيف خطًا إلى كل الخانات دفعة واحدة:

ماذا نرى هنا بنظرة واحدة؟ العلاقات العشر كلها موجبة وواضحة – كل الخطوط صاعدة ولا تنحني أي سحابة – ولذلك يناسبها بيرسون جميعًا؛ هذا بالضبط الجدول المرئي لمصفوفة الارتباطات في صفحة الارتباطات (هناك: r بين .62 و.74). ما يصعب رؤيته في شبكة كهذه هو الفروق في القوة بين الأزواج: فالكثافة تخفيها، والمقارنة تُجرى بالأرقام. في المقابل، عن السؤال الأهم – هل هناك زوج يتصرف بخلاف الآخرين، بشكل منحنٍ أو بنقاط متطرفة – تجيب المصفوفة أفضل من أي جدول. هنا أيضًا يحفظ Paste أوامر Syntax، وهنا أيضًا /MISSING=LISTWISE: المشارك الذي تنقصه قيمة في أحد المتغيّرات الخمسة يختفي من الخانات العشرين كلها، ولذلك يكون N في كل خانة أصغر منه في الرسم المنفرد للزوج نفسه:

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

عرض النتائج

يتضمّن عرض شكل الانتشار عادةً الرسم نفسه (مع خط الانحدار)، وبجانبه – في النص – اتجاه العلاقة وقوتها، ومعامل التحديد، وأحيانًا معادلة الخط أيضًا. وعندما يرافق شكلُ الانتشار حسابَ ارتباط، كما هنا، يُعرض الاثنان معًا عادةً: الرسم دعمًا بصريًا، والارتباط تلخيصًا عدديًا. ويُنسَّق الرسم نفسه "شكلًا" (Figure) وفق قواعد APA: رقم الشكل في الأعلى، وعنوان وصفي بخط مائل، ومحاور بأسماء المتغيّرات، وتحت الشكل ملاحظة تشرح ما تمثله كل نقطة وما هو الخط – تمامًا كشكل الانتشار النموذجي في الدليل، حيث كل نقطة مشارك وخطوط الانحدار مشروحة في الملاحظة (American Psychological Association [APA], 2020, Sections 7.22-7.28; Section 7.36, Figure 7.15).

الرسم والجدول وجمل عرض النتائج بهذا التنسيق – r وR² بمنزلتين عشريتين من دون صفر في البداية، وb وa مع الصفر في البداية، وفترات الثقة لـr ولـb (Field, 2024, Section 9.14) – تُنتجها الحاسبة في هذه الصفحة تلقائيًا من ملف البيانات، ويمكن تنزيلها ملفًا بصيغة Word؛ أما الرسم نفسه فيُنسخ من الشاشة، وملاحظة الشكل – من جدول المخرجات.

عندما يكون الانحدار هو الأساس. إذا كان التركيز في العمل على النموذج لا على الارتباط، يحدّد Field (2024، القسم 9.14) حدًا أدنى للعرض: b مع خطئه المعياري وفترة الثقة الخاصة به (ويُفضَّل البوتستراب)، وقيمة p الدقيقة، والمعامل المعياري β، وR² – ويُستحسن المقطع أيضًا، كي يتمكن القارئ من إعادة بناء المعادلة. وفق قواعد APA (APA, 2020, Section 6.36)، القيم التي لا يمكن أن تتجاوز 1 – β وR² وp – تُكتب من دون صفر قبل النقطة (.55 لا 0.55)؛ أما b والمقطع، اللذان يمكنهما ذلك، فيُكتبان مع الصفر. الخطأ المعياري وفترة الثقة لـb ليسا في جدول هذه الصفحة – يُستخرجان من إجراء الانحدار (انظروا من الرسم إلى الانحدار). وبصياغة دنيا: الأثر المقدَّر (b)، وخطؤه المعياري وقيمة p – وبجانبها جملة تشرح ما يقوله المعامل، كي يفهم كل قارئ؛ وفي حالة الانحدار البسيط، يكون شكل الانتشار مع الخط أفضل طريقة لعرض النتيجة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

الرسم نفسه بالضبط – النقاط، وخط الانحدار، والعنوان المائل وملاحظة الشكل – يُنتَج في R بنص برمجي واحد، مع حزمة الرسوم ggplot2. الاصطلاحات مطابقة لقسم R في بقية صفحات الموقع: ملف UTF-8، وكل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وأسماء قصيرة بالإنجليزية للصيغة (efficacy = الكفاءة، trust = الثقة)، وبيئة UTF-8 للأسماء العبرية (في Windows: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") أو R 4.2 فما فوق). يتألف النص البرمجي من أربعة أجزاء: الأرقام، والرسم، والحفظ، وأشرطة الثقة. وقد شُغِّل كما هو على ملف المثال الخاص بالصفحة (DATA_scatter_example_heb.xlsx، ورقة العمل "נתונים") في R 4.3.3، والنتائج – المطابقة للجدول 1 ولجمل عرض النتائج – مدوّنة في التعليقات. استبدلوا المسار وأسماء المتغيّرات بما لديكم؛ وفي R يُكتب المسار بشرطة مائلة عادية (/).

# شكل الانتشار وخط الانحدار – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
# مرة واحدة فقط، إذا لم تكن الحزم مثبّتة: install.packages(c("readxl", "ggplot2", "ragg"))
library(readxl)    # قراءة ملف إكسل
library(ggplot2)   # الرسوم

# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغيّر؛ ورقة العمل "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_scatter_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("מסוגלות", "אמון")]
names(d) <- c("efficacy", "trust")          # أسماء قصيرة بالإنجليزية للصيغة

# --- 1. الأرقام (مطابقة للجدول 1 في الصفحة) ---
cor.test(d$efficacy, d$trust)               # قيمة r = .738, t(477) = 23.90, p < .001، فترة الثقة [.695, .776]
cor.test(d$efficacy, d$trust, method = "spearman", exact = FALSE)   # معامل rho = .728
fit <- lm(trust ~ efficacy, data = d)       # خط الانحدار: trust على efficacy (حذف زوجي تلقائي)
summary(fit)                                # القيم a = 1.159 (SE .096), b = 0.687 (SE .029, t = 23.90), s = 0.715, R² = .545، المعدَّل .544، F(1, 477) = 571.4
confint(fit)                                # فترات ثقة 95%: a [0.970, 1.349], b [0.631, 0.744]
nobs(fit)                                   # عدد N = 479 – مشاهدات ذات قيمة صالحة في المتغيّرين كليهما

# --- 2. الرسم ---
p <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, colour = "#37716D", linewidth = 0.9) +
  labs(x = "الكفاءة", y = "الثقة",
       title = "شكل 1",
       subtitle = "الثقة بوصفها دالة في الكفاءة",
       caption = paste0("ملاحظة. كل نقطة تمثّل مشاركًا واحدًا، بحسب قيمه في الكفاءة (المحور الأفقي) وفي الثقة (المحور الرأسي).\n",
                        "الخط هو خط الانحدار الخطي للثقة على الكفاءة. N = ", nobs(fit),
                        " مشاهدة ذات قيمة صالحة في المتغيّرين كليهما.")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p

# --- 3. الحفظ للعمل: 300 dpi، محرّك AGG (عربية وعلامات ترقيم سليمة) ---
ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy.png", p, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

# --- 4. أشرطة الثقة: Mean مقابل Individual (كما في الرسم في الصفحة عند تعليم الشريطين) ---
# شرح: Mean – فترة ثقة 95% للخط نفسه: se = TRUE في geom_smooth (إعداده الافتراضي)؛ Individual – فترة تنبؤ 95% لمشارك منفرد: predict(interval = "prediction")
grid <- data.frame(efficacy = seq(min(d$efficacy, na.rm = TRUE), max(d$efficacy, na.rm = TRUE), length.out = 100))
pred <- cbind(grid, predict(fit, newdata = grid, interval = "prediction", level = 0.95))
pred[c(1, 50, 100), ]                        # مثلًا x = 3: ŷ = 3.22، فترة التنبؤ [1.81, 4.62]؛ يزداد عرض الشريط قليلًا عند الطرفين

p_ci <- ggplot(d, aes(x = efficacy, y = trust)) +
  geom_ribbon(data = pred, aes(x = efficacy, ymin = lwr, ymax = upr), inherit.aes = FALSE, fill = "#A7D6D5", alpha = 0.35) +   # Individual
  geom_point(colour = "#5B63B0", alpha = 0.55, size = 2.2) +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, level = 0.95, colour = "#37716D", fill = "#37716D", alpha = 0.35, linewidth = 0.9) +  # Mean
  labs(x = "الكفاءة", y = "الثقة",
       title = "شكل 2",
       subtitle = "الثقة بوصفها دالة في الكفاءة، مع أشرطة الثقة",
       caption = paste0("ملاحظة. كل نقطة تمثّل مشاركًا واحدًا؛ N = ", nobs(fit), " مشاهدة ذات قيمة صالحة في المتغيّرين كليهما.\n",
                        "الخط هو خط الانحدار الخطي للثقة على الكفاءة.\n",
                        "الشريط الداكن – فترة ثقة 95% للخط (Mean)؛ الفاتح – فترة تنبؤ 95% لمشارك منفرد (Individual).")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(face = "italic"),
        plot.caption = element_text(hjust = 1, size = 10),
        panel.grid.minor = element_blank())
p_ci

ggsave("C:/Rdata/scatter_trust_efficacy_ci.png", p_ci, width = 7, height = 4.5, dpi = 300, device = ragg::agg_png)

ما الذي يحدث في كل جزء. في الجزء 1 يعطي cor.test قيمة r، ودرجات الحرية، وقيمة p وفترة الثقة (بتحويل فيشر – الفترة نفسها التي في الجدول 1)، وفي الدالة نفسها مع method = "spearman" – قيمة r_s؛ يقدّر lm الخط، ويطبع summary المقطع والميل مع أخطائهما المعيارية، وقيمتي t وp الخاصتين بهما، والخطأ المعياري للتقدير (Residual standard error)، وR² وF – في بيانات المثال 1.159 و0.687، وs = 0.715، وR² = .545، تمامًا صفوف الجدول 1 التي تُنتجها الحاسبة؛ ويعطي confint فترات الثقة للمعاملات، ويُعيد nobs القيمة N = 479. في الجزء 2 يرسم geom_point النقاط (بشفافية، لأن مشاركين كثيرين في مقياس ليكرت يقعون على النقطة نفسها بالضبط، وهكذا يُرى أين تكون السحابة كثيفة)، ويضيف geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) خط الانحدار من دون شريط، ويعطي labs للشكل مكوّنات APA: الرقم، والعنوان المائل (subtitle مع face = "italic")، وأسماء المتغيّرات على المحورين، وملاحظة الشكل في caption – ما تمثله كل نقطة، وما هو الخط وحجم العينة، محاذاةً إلى اليمين بـhjust = 1. يحفظ الجزء 3 ملف PNG بدقة 300 dpi وبحجم ثابت، وهذه هي النسخة التي تدخل في العمل – لا التصدير من لوحة Plots، الذي يُحفظ بدقة الشاشة وبحجم النافذة.

"التحذيران" ليسا خطأً. بعد كل تشغيل يُطبع Removed 33 rows containing missing values: 512 مشاركًا في الملف ناقص 479 ذوي قيمة صالحة في المتغيّرين كليهما – فـR يُبلغ ببساطة عن الحذف الزوجي، وهي الطريقة نفسها التي يتبعها SPSS والحاسبة في الصفحة. لا حاجة إلى فعل شيء. تُزال القيم المفقودة تلقائيًا في المراحل الثلاث كلها – cor.test وlm والرسم – ولذلك فالأرقام مطابقة لما في الجدول: r(477) = .738, p < .001.

مصيدة الكتابة العربية – وكيف يُلتفّ عليها. في التشغيل الأول يُرجَّح أن تبدو العربية في الرسم سليمة، لكن علامات الترقيم في ملاحظة الشكل ستضطرب: ستقفز النقطة الختامية إلى يسار السطر، وسينتقل N = 479 إلى موضع خاطئ في الجملة (هكذا حدث أيضًا في تشغيل الفحص الخاص بالصفحة، في بيئة لينكس من دون هذا المحرّك). ليست هذه مشكلة في الشيفرة بل في المحرّك الرسومي الذي ترسم به RStudio افتراضيًا: فهو يرتّب الحروف العربية من اليمين إلى اليسار، لكنه يفترض أن الاتجاه الأساسي للسطر من اليسار إلى اليمين، ولذلك يقع كل ما ليس حرفًا عربيًا – النقطة، والأقواس، والرقم اللاتيني – في المكان الخاطئ. العناوين وتسميات المحاور المؤلفة من كلمة أو كلمتين لا تتضرر؛ أما الجملة الكاملة مع علامات الترقيم – فنعم. الحل هو محرّك رسومي يطبّق خوارزمية يونيكود ثنائية الاتجاه كما ينبغي، AGG، الذي يأتي في حزمة ragg، في موضعين: في الملف – وهو الوسيط device = ragg::agg_png في سطر ggsave في النص البرمجي؛ وفي لوحة Plots – مرة واحدة، في الإعدادات: Tools › Global Options › General › Graphics › Backend: AGG، ثم Apply وOK:

وقاعدتان صغيرتان أخريان للعربية في R: يُحفظ ملف النص البرمجي بترميز UTF-8 (في RStudio: File › Save with Encoding) – وإلا فقد تتحوّل العربية إلى نقاط أو مربعات؛ وعند تقسيم ملاحظة طويلة إلى عدة أسطر بـ\n، يبدأ كل سطر بكلمة عربية لا بحرف لاتيني أو برقم – فالسطر الذي يبدأ بـN = 479 سيُرتَّب سطرًا لاتينيًا، وستهرب نقطته مرة أخرى.

أشرطة الثقة – عرض حي لـMean مقابل Individual

يرسم الجزء 4 من النص البرمجي الشريطين اللذين وُصفا في قسم لسان التبويب Fit Line – ويمكن أن تروا بأعينكم لماذا يهمّ التمييز بينهما. يتطلب شريط Mean كلمة واحدة: se = TRUE في geom_smooth (وهو في الواقع إعداده الافتراضي – يكفي حذف se = FALSE)، وهذه فترة ثقة 95% للخط نفسه. أما شريط Individual فليس مدمجًا في ggplot2، ولذلك يُحسب مباشرة من النموذج: predict(fit, newdata, interval = "prediction") يُعيد لكل قيمة من قيم X التنبؤ وحدود فترة التنبؤ لمشارك منفرد، ويرسمها geom_ribbon شريطًا. يُرسم الشريطان بمستوى الثقة نفسه، 95%، ومع ذلك:

يكاد شريط Mean يذوب في الخط: مع 479 مشاركًا نعرف جيدًا أين يمر الخط المتوسط، وفي عينة أكبر كان سينكمش إلى الصفر. أما شريط Individual فيمتد على نقطتين أو ثلاث في المقياس – لأنه يشمل أيضًا تشتّت المشاركين حول الخط، أي σ في ذلك القسم، الذي لا يختفي مع أي حجم عينة. وكلاهما، إذا دُقّق النظر، أضيق ما يكون حول متوسط X ويتّسع قليلًا نحو الطرفين – شكل الساعة الرملية. تقول ملاحظة الشكل في الشيفرة صراحةً ما يمثله كل شريط وبأي مستوى ثقة، كما تشترط APA (2020، القسم 7.28) – وهذا هو السبب في أن فصل النتائج يُبلَّغ فيه عادةً عن Mean وحده: السؤال هناك هو "أين تمر العلاقة"، لا "أين سيقع مشارك جديد".

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Belsley, D. A., Kuh, E., & Welsch, R. E. (1980). Regression diagnostics: Identifying influential data and sources of collinearity. Wiley.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cook, R. D., & Weisberg, S. (1982). Residuals and influence in regression. Chapman & Hall.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Field, A. P., & Wilcox, R. R. (2017). Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers. Behaviour Research and Therapy, 98, 19-38. https://doi.org/10.1016/j.brat.2017.05.013

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2020). Regression and other stories. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Hoaglin, D. C., & Welsch, R. E. (1978). The hat matrix in regression and ANOVA. The American Statistician, 32(1), 17-22. https://doi.org/10.1080/00031305.1978.10479237

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.