العوامل العشوائية والمتداخلة وتصميم القطع المنشقة (split-plot)

ثابت أم عشوائي؟

الفرق ليس في العامل نفسه بل في السؤال. العامل الثابت – المستويات التي في التجربة هي بالضبط تلك التي تهمّنا، و"فضاء الاستدلال هو مجموعة المستويات المحددة التي اختُبرت" (Montgomery, 2020, p. 493). العامل العشوائي – المستويات "اختيرت عشوائيًا من مجتمع أكبر من المستويات، ويريد الباحث الاستدلال على المجتمع كله" (المرجع نفسه). يصوغ Maxwell وDelaney وKelley (2018) ذلك من خلال إعادة الدراسة: العامل الثابت هو الذي كانت المستويات نفسها ستُضمَّن فيه أيضًا عند إعادة الدراسة؛ أما في العشوائي فالهدف هو "التعميم لا على آثار بضعة مستويات بعينها، بل على مجتمع من المستويات لا تمثّل المستويات المختارة سوى عينة منه" (ص 548). مثل هذه العوامل "تُعايَن" أكثر مما "تُعالَج" (ص 549): المدارس، والصفوف، والمعالِجون، والمشغّلون، والدُّفعات، والأيام – والعامل العشوائي الأكثر شيوعًا بينها جميعًا، المشاركون (ص 547).

حتى عندما لا تكون المدارس عينة عشوائية حقًا – مثلًا تلك التي وافقت على المشاركة – فالسؤال هو ما إذا كان الاستنتاج يُفترض أن ينطبق عليها وحدها. إن كان كذلك، فالعامل ثابت؛ وإذا أردنا الحديث عن "المدارس عمومًا" – فهو عشوائي (Maxwell et al., 2018, p. 549). وفي المجموعات المختارة لأسباب الملاءمة، يكتب Murray وBlitstein (2003، كما ورد في Maxwell et al., 2018، ص 607) أنه ليس مسموحًا فحسب بل "ضروري" تعريف المجموعة كأثر عشوائي. وتجاهل عامل عشوائي، أو تعريفه كعامل ثابت، "قد يؤدي إلى تحيّز بعض الاختبارات نحو الأعلى" (ص 551).

عامل عشوائي واحد: مكونات التباين ومعامل الارتباط داخل المجموعات

في النموذج الأحادي العشوائي، y_ij = μ + τ_i + ε_ij، تكون الآثار τ_i متغيرًا عشوائيًا تباينه σ²_τ، ويكون تباين المشاهدة σ²_τ + σ² – "مكونات التباين" (Montgomery, 2020, p. 101). الحساب مطابق لتحليل التباين العادي، "أما الاستنتاجات فمختلفة تمامًا" (ص 103): الفرضية هي H₀: σ²_τ = 0، على مجتمع المستويات كله. ومن القيم المتوقعة E(MS_Tr) = σ² + nσ²_τ وE(MS_E) = σ² تُشتق المقدِّرات σ̂² = MS_E وσ̂²_τ = (MS_Tr − MS_E)/n (المعادلات 3.48-3.51، ص 103).

ليس لـ σ²_τ نفسه فترة ثقة دقيقة (ص 106)، لكن للنسبة σ²_τ/(σ²_τ + σ²) – معامل الارتباط داخل المجموعات (ICC) – توجد فترة كهذه (المعادلتان 3.56-3.57، ص 106)، والصفحة تحسبها. يشير ICC إلى "نسبة التباين التي تُعزى إلى العامل العشوائي" (Maxwell et al., 2018, p. 547)، وهو يقابل ω² في الآثار الثابتة (ص 565). في مثال الأنوال لدى Montgomery (المثال 3.10) – ICC بين .38 و.98 (ص 106). وفي بيانات التحصيل في المدارس تكون قيمة ICC النموذجية .15-.25 (Hedges & Hedberg, 2007، كما ورد في Maxwell et al., 2018، ص 608).

القيم المتوقعة لمتوسطات المربعات: كيف يُختار المقام

في تحليل التباين العادي يكون كل اختبار مقابل الباقي. وعند وجود عامل عشوائي لم يعد ذلك صحيحًا: "عندما يوجد عامل عشوائي في التصميم، فإن كل تفاعل له مع عامل آخر يؤثر في متوسط مربعات الأثر الرئيسي للعامل الآخر" (Maxwell et al., 2018, p. 555). مثلًا، في المنهج الدراسي (ثابت) × المدارس (عشوائية): إذا كان المنهج يعمل على نحو أفضل في بعض المدارس، فإن الفرق بين المناهج في العينة يتوقف على المدارس التي عويِنت – والاختبار مقابل الباقي "يعطي قيم F كبيرة جدًا، ما لم يكن التفاعل في المجتمع صفرًا تمامًا" (ص 558).

الأداة هي القيمة المتوقعة لمتوسط المربعات E(MS) لكل حدّ. يقدّم Montgomery (2020، القسم 13.4، ص 505-507) قواعد لكل تصميم متوازن – متقاطع أو متداخل أو مركّب: القيمة المتوقعة للحدّ هي σ²، مضافًا إليها مكوّنه الخاص، ومكونات جميع الحدود العشوائية التي تتضمنه؛ "معامل كل مكوّن هو عدد المشاهدات في كل قيمة مختلفة له" (ص 506). ويُبنى F بحيث لا "يختلف البسط والمقام إلا في المكوّن أو العامل الثابت الذي يهمّنا" (ص 505). تطبّق الصفحة القواعد بهذه الطريقة بالضبط، وتعرض القيم المتوقعة في الجدول 2 – ويمكن مقارنتها بالجداول 13.10 و14.1 و14.11 و14.17 في الكتاب. ويلخّص Maxwell et al. (2018) ذلك بقاعدة تقريبية: "باستثناء الأثر نفسه، فإن المساهمين الوحيدين في القيمة المتوقعة هم التفاعلات مع العوامل العشوائية أو الآثار العشوائية المتداخلة" (ص 593).

النموذج المختلط: مقيَّد أم غير مقيَّد؟

عندما يتقاطع عامل ثابت A مع عامل عشوائي B، توجد صيغتان للتفاعل. في النموذج المقيَّد يكون مجموع آثار التفاعل عبر مستويات A صفرًا في كل مستوى من B (Montgomery, 2020, Equation 13.8, p. 500)؛ وحينها E(MS_B) = σ² + anσ²_β، ويُختبر B مقابل الباقي. في النموذج غير المقيَّد لا يوجد مثل هذا القيد (ص 502)؛ وحينها تتضمن E(MS_B) التفاعل أيضًا، ويُختبر B مقابل MS_AB (ص 503). اختبار العامل الثابت متطابق في كليهما.

Montgomery "يفضّل النموذج المقيَّد" ويشير إلى أنه "في الواقع أعمّ قليلًا" (ص 503)؛ ويقول Maxwell et al. (2018) إنهم "يرفضون النهج غير المقيَّد"، لأن الفرضية الصفرية بشأن العامل العشوائي فيه لم تعد تعني أن المتوسطات الهامشية متساوية (ص 606). في المقابل، يعمل JMP وMinitab (افتراضيًا) بالنموذج غير المقيَّد (Montgomery, 2020, p. 504)، وكذلك lmer في R؛ ووفق Maxwell et al. (2018) – SPSS وSAS أيضًا (ص 605-606). لذلك فالإعداد الافتراضي في الصفحة هو النموذج المقيَّد، مع مفتاح للتحويل إلى النموذج غير المقيَّد؛ وتشير "قراءة النتيجة" إلى الاختبارات التي تتغير عند التحويل. العلاقة بين المكونات في النموذجين: σ²_β = σ²_γ + σ²_αγ/a – وفي الكتاب (ص 503) طُبعت المعادلة معكوسة (الملاحظة E3، انظروا لاحقًا)؛ وفي المثال 13.2: 10.2798 + (−0.1399)/3 = 10.2332.

عندما لا يوجد اختبار دقيق: F التقريبي

مع عاملين عشوائيين أو أكثر، لا يوجد أحيانًا متوسط مربعات واحد تناسب قيمته المتوقعة. حينها يُبنى تركيب: MS' = MS_r + … + MS_s في البسط وMS'' = MS_u + … + MS_v في المقام، بحيث يكون الفرق بين القيم المتوقعة هو المكوّن المختبَر بالضبط، ويتوزع F = MS'/MS'' تقريبًا توزيع F بدرجات حرية Satterthwaite (1946, as cited in Montgomery, 2020): p = (ΣMS)²/Σ(MS²/f) لكل طرف (المعادلات 13.14-13.18، ص 509). يمكن أيضًا طرح متوسطات المربعات، لكن Montgomery يفضّل تركيبًا "لا توجد فيه متوسطات مربعات بمعامل سالب" (ص 512) – والصفحة تبني دائمًا تركيبًا كهذا، وتختار أقصرها. في المثال 13.5 (انخفاض الضغط) يكون اختبار درجة الحرارة (MS_A + MS_ABC)/(MS_AB + MS_AC) = 2.22 بدرجتي حرية 2.11 و7.88 (ص 511-512)، أما Minitab، الذي يطرح، فيحصل على 2.30. هذا الاختبار "يتوزع F تقريبيًا فقط" (Maxwell et al., 2018, p. 560).

الدمج (pooling). البديل هو إخراج التفاعل الضئيل من النموذج وضمّه إلى الباقي. لكن اتخاذ قرار بشأن التفاعل انطلاقًا من البيانات "قد يكون خطيرًا"، لأنه معرَّض للخطأ من كلا النوعين (Montgomery, 2020, p. 508). القاعدة العملية: "إذا كان لمتوسط مربعات الخطأ الأصلي ست درجات حرية أو أكثر – فلا دمج"؛ وإلا فلا يُدمج إلا إذا كانت قيمة F للحدّ غير دالة عند α مرتفعة، مثل 0.25 (ص 509). ويضيف Maxwell et al. (2018) أن النهج المحافظ هو الاستمرار في استخدام التفاعل مقامًا بصرف النظر عن نتيجة الاختبار التمهيدي (ص 562)، وأن الطريقة الأكثر عملية لزيادة القوة الإحصائية هي ببساطة إضافة مستويات للعامل العشوائي (ص 563). في الصفحة تُعلَّم الحدود المراد دمجها في الإعدادات.

العوامل المتداخلة

"يكون العامل متداخلًا في عامل آخر إذا ظهر كل مستوى من مستوياته مع مستوى واحد فقط من العامل الآخر" (Maxwell et al., 2018, p. 573): صفوف في مدارس، ودُفعات لدى مورّدين، ومعالِجون في طرق علاج. الاختبار العملي لدى Montgomery: "إذا أمكن إعادة ترقيم مستويات العامل اعتباطيًا" – فالدفعة 1 لدى المورّد أ والدفعة 1 لدى المورّد ب ليستا الدفعة نفسها – "فالعامل متداخل" (2020، ص 519). لذلك لا يوجد تفاعل بين العامل المتداخل والعامل الذي يحتويه (ص 519)، ومجموع مربعاته هو مجموع الفروق بين مستوياته داخل كل مستوى أصلي (ص 521). في الصفحة يمكن ترقيم المستويات المتداخلة من جديد في كل مستوى أصلي (1-4 لدى كل مورّد) أو بالتتابع (1-12)؛ وعندما يكون الترقيم متتابعًا، تكتشف الصفحة التداخل بنفسها.

العامل المتداخل يكون عادةً عشوائيًا (Maxwell et al., 2018, p. 574)، وحينها يكون مقام العامل الذي فوقه: تُختبر المقارنة بين طرق العلاج مقابل التباين بين المعالِجين، لا بين المشاركين – "السؤال عمّا إذا كان المتدربون الذكور يقيّمون على نحو مختلف عن المتدربات يُجاب عنه على النحو الصحيح بالنسبة إلى التباين بين المتدربين" (ص 583). وكذلك في الدراسات التي تُعيَّن فيها صفوف كاملة للشروط (ص 575). يبيّن Wampold وSerlin (2000، كما ورد في Maxwell et al., 2018، ص 590) أن تجاهل عامل متداخل عشوائي قيمة ICC له .3 قد يضخّم معدل الخطأ من النوع I ثلاثة أضعاف وأكثر. وتحليل تصميم متداخل كأنه متقاطع يُنتج "تفاعلًا" لا معنى له؛ وSS_B + SS_A×B في التحليل المتقاطع هو بالضبط SS_B(A) (Montgomery, 2020, pp. 522-524). التصاميم المركّبة – بعض العوامل فيها متقاطعة وبعضها متداخلة، كما في المثال 14.2 (التجهيزات × الترتيبات، والمشغّلون متداخلون في الترتيب) – تُحلَّل بالقواعد نفسها (ص 530-534).

تصميم القطع المنشقة

أحيانًا "لا يمكن إجراء التشغيلات بترتيب عشوائي تمامًا" (Montgomery, 2020, p. 534). في مثال قوة شدّ الورق (القسم 14.4) تُختبر ثلاث طرق لتحضير عجينة الورق عند أربع درجات حرارة: تُحضَّر دفعة بطريقة واحدة، وتُقسَّم إلى أربعة أجزاء، ويُخبز كل جزء بدرجة حرارة مختلفة – "تسع دفعات في المجموع" بدلًا من 36 (ص 535). الدفعة هي القطعة الرئيسية (whole plot)، والطريقة – عامل القطعة الرئيسية، وكل جزء – قطعة فرعية (ص 535). المبدأ: "العوامل الصعبة التغيير تشكّل القطع الرئيسية، والسهلة – القطع الفرعية" (ص 539). للتصميم خطآن: يُختبر عامل القطعة الرئيسية مقابل المكرَّر × عامل القطعة الرئيسية (خطأ القطعة الرئيسية)، ويُختبر عامل القطعة الفرعية والتفاعل – مقابل أخطاء القطعة الفرعية، التي تكون عادةً أصغر، "لأن القطع الفرعية أكثر تجانسًا" (ص 537). لذلك "يُستحسن وضع العامل الذي يهمّنا أكثر في القطع الفرعية" (ص 535).

في النموذج الكامل (المعادلة 14.15) تكون المكرَّرات عشوائية، ولا يوجد اختبار للمكرَّرات ولا للمكرَّر × القطعة الفرعية (ص 536)؛ وإذا افتُرض أن التفاعلات مع المكرَّرات في القطعة الفرعية ضئيلة، تُدمج ويُحصل على نموذج أبسط (المعادلة 14.16، ص 537) – وهو النموذج الذي يستخدمه JMP (المرجع نفسه)، وكذلك aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) في R. في الصفحة: في تبويب "تخطيط تصميم القطع المنشقة" – ترتيب التشغيل والجدول المتوقع؛ وفي التحليل – المكرَّر عشوائي، والعاملان ثابتان، وللدمج يُعلَّم المكرَّر × القطعة الفرعية والمكرَّر × التفاعل. في العلوم السلوكية يُسمّى البناء نفسه أيضًا "التصميم المختلط": عامل بين الأفراد وعامل داخل الأفراد، والمشاركون متداخلون في العامل بين الأفراد (Maxwell et al., 2018, pp. 689-690) – في الصفحة: المشارك عشوائي ومتداخل في المجموعة، ومتقاطع مع العامل داخل الأفراد.

تصميم قطع منشقة "عن غير قصد". عند إجراء تجربة عاملية بترتيب يقلّل عدد مرات تغيير عامل صعب التغيير، ثم تحليلها كأن الترتيب كان عشوائيًا، "يُميل المرء إلى ارتكاب أخطاء كثيرة جدًا من النوع I في عوامل القطعة الرئيسية، وأخطاء كثيرة جدًا من النوع II في عوامل القطعة الفرعية" (Montgomery, 2020, p. 538). وقاعدة تقريبية: "إذا كانت جميع الآثار والتفاعلات دالة إحصائيًا، فمن المستحسن التحقق جيدًا من الكيفية التي أُجريت بها التجربة فعليًا" (ص 540).

مكونات التباين: التقديرات وفترات الثقة والقيم السالبة

تقدّر الصفحة مكونات التباين بطريقة ANOVA: تُحلّ معادلات القيم المتوقعة للحدود العشوائية "بعد حذف متوسطات المربعات التي تحتوي على عوامل ثابتة" (Montgomery, 2020, p. 501). وهذه طريقة عزوم "لا تتطلب افتراض الاعتدالية" (ص 103). الخطأ المعياري – √(Σ2c_i²MS_i²/f_i)، كما في مخرجات JMP في الكتاب (الجدولان 3.20 و14.7، ص 109، 527). ولتباين الخطأ فترة ثقة دقيقة من مربع كاي (المعادلة 13.19، ص 512)؛ وللبقية – تقريب Satterthwaite (المعادلات 13.20-13.23، ص 514-515)، الذي "لا يمكن استخدامه إلا عندما يكون التقدير موجبًا" (ص 515)، ويعمل جيدًا عندما تكون درجات الحرية كبيرة والمعاملات موجبة (ص 516). في المثال 13.6: σ̂²_τβ = 31.36، r = 5.19، والفترة من 12.39 إلى 179.83 (في الكتاب 180.84، بسبب تقريب المئين – الملاحظة E25).

التقدير السالب. قد يكون الفرق بين متوسطَي مربعات سالبًا. يعدّد Montgomery ثلاث طرق: قبوله دليلًا على أن المكوّن صفر – لكن "وضع الصفر مكان التقدير السالب قد يُخلّ بخصائص تقديرات أخرى"؛ أو إعادة التقدير بطريقة تعطي دائمًا قيمًا غير سالبة؛ أو عدّه دليلًا على أن النموذج خاطئ (ص 104). وطريقة عملية أخرى: عندما تكون قيمة p للتفاعل كبيرة، يُخرج التفاعل ويُعاد التحليل – "نهج سهل نسبيًا ينجح في كثير من الأحيان بقدر الطرق الأكثر تعقيدًا تقريبًا" (ص 497). ويشير Maxwell et al. (2018) إلى أن الاصطلاح هو جعل التقدير صفرًا (ص 566)، وأن ذلك عادةً دليل على عينة صغيرة أو على مكوّن قريب من الصفر (ص 964). تعرض الصفحة التقدير السالب كما هو (باللون البرتقالي)، وتحسب نسبته من التباين الكلي كأنه صفر.

ANOVA أم REML؟ REML هي "الصيغة المعتمدة من الإمكان الأعظم لتقدير مكونات التباين" (Montgomery, 2020, p. 108)، وميزتها أنها "تُنتج أخطاءً معيارية، ولذلك يسهل إيجاد فترات الثقة" (ص 513). في التصميم المتوازن "تتفق الطريقتان" (ص 109، 499) – لكن فقط عندما لا تكون REML مقيَّدة بالقيم غير السالبة (كما في JMP). أما lmer في R فيقيّد، ولذلك عندما يكون أحد تقديرات ANOVA سالبًا، يجعله صفرًا ويغيّر الآخرين أيضًا: في المثال 13.1 – الأجزاء 10.2513 بدلًا من 10.2798 (الملاحظة E9). وفي مثال الصفحة – الطريقة × المدرسة: −0.089 في ANOVA، و0 في REML. في التصميم غير المتوازن يُستخدم النموذج المختلط – "الطريقة المفضَّلة عندما تكون أحجام العينات غير متساوية" (Maxwell et al., 2018, p. 954)؛ والصفحة لا تحلّل إلا التصاميم المتوازنة، وفي التصميم غير المتوازن تقترح نصًا برمجيًا لـ R مع lmer.

كيف تُقرأ المخرجات؟

الجدول 1 – بنية التصميم كما فهمتها الصفحة: نوع كل عامل، وعدد المستويات، وفيمَ هو متداخل. يُستحسن فحصه أولًا – فمعظم الأخطاء في مثل هذا التحليل هي أخطاء في البنية.

الجدول 2 – تحليل التباين: SS وdf وMS كالمعتاد؛ العمود E(MS) – ما يقدّره كل متوسط مربعات (σ²_X – مكوّن تباين لحدّ عشوائي، θ²_X – حجم أثر لحدّ ثابت، كما لدى Maxwell et al., 2018، ص 557)؛ "مقام الاختبار" – ما يُختبر كل حدّ مقابله. F مع ^a – F تقريبي، بدرجات حرية غير صحيحة. "لا يوجد اختبار" – لا يوجد تركيب مناسب؛ "يُستخدم كباقٍ" – الحدّ الأعلى عندما لا توجد مكرَّرات في الخلايا.

الجدول 3 والشكل 1 – مكونات التباين: التقدير، والخطأ المعياري، والنسبة من التباين الكلي (ICC لكل مكوّن)، وفترة الثقة. يُظهر العمود "التقدير" المعادلة – ويمكن إعادة حسابها يدويًا من الجدول 2. ICC (في التصميم الأحادي) – مع فترة ثقة دقيقة. المتوسطات – لكل عامل ثابت، مع خطأ معياري من مقام اختباره (Montgomery, 2020, p. 501).

في المثال (ثلاث طرق تدريس × أربع مدارس، صفان في كل طريقة في كل مدرسة، ثلاثة تلاميذ في الصف): تُختبر الطريقة مقابل الطريقة × المدرسة، F(2, 6) = 5.18, p = .049 – دالّة بالكاد، بست درجات حرية فقط؛ وتُختبر المدرسة، في النموذج المقيَّد، مقابل الصفوف، F(3, 12) = 2.14, p = .148؛ والفروق بين الصفوف دالة إحصائيًا، F(12, 48) = 2.48, p = .013، ويُعزى إلى الصف نحو 30% من التباين. أما تفاعل الطريقة × المدرسة – فتقديره سالب صغير.

الافتراضات والتحذيرات

التوازن. تنطبق قواعد القيم المتوقعة على التصاميم المتوازنة فقط – العدد نفسه من المستويات في كل مستوى أصلي والعدد نفسه من المشاهدات في كل خلية (Montgomery, 2020, p. 505). وفي العامل المتداخل العشوائي ذي الأحجام غير المتساوية "لا يوجد اختبار دقيق" (Maxwell et al., 2018, p. 586).

التوزيع. الآثار العشوائية والأخطاء تتوزع توزيعًا طبيعيًا، مستقلة، بتباين متجانس – حتى داخل كل مستوى من العامل الثابت (Maxwell et al., 2018, p. 585). F التقريبي وفترات Satterthwaite – تقريبات فقط.

القوة الإحصائية. "تتوقف القوة على عدد المشاركين وعلى عدد مستويات العامل العشوائي معًا – وعدد المستويات هو عادةً الاعتبار الأهم" (Maxwell et al., 2018, p. 572). مع أربع مدارس، يكون لاختبار الطريقة ست درجات حرية فقط، حتى لو كان في كل مدرسة مئات التلاميذ.

عوامل عشوائية متقاطعة كثيرة. عندما يوجد أكثر من عامل عشوائي واحد عدا تلك التي في الحدّ، لا يوجد في الغالب اختبار دقيق (Maxwell et al., 2018, p. 559)، ويتطلب الاختبار التقريبي مستويات كثيرة.

ما لا تحسبه هذه الصفحة. التصاميم غير المتوازنة (لها – نص برمجي مع lmer)، والتصاميم المتداخلة المتدرجة (staggered; Montgomery, 2020, Section 14.1.4)، وتصميم القطع المنشقة الجزئي بلا مكرَّرات الذي يُحلَّل بالرسوم نصف الطبيعية (القسم 14.5.1)، وفترات MLS (المعادلات 13.24-13.27)، والميول العشوائية والمتنبِّئات على مستوى المجموعة (Maxwell et al., 2018, Chapter 16)، وICC لثبات المحكّمين (الفصل 11). أما تصميم القطع المنشقة المزدوج والتصميم الشريطي (القسمان 14.5.2-14.5.3) فيُحلَّلان في الصفحة كتصميم بمكرَّر عشوائي وثلاثة عوامل ثابتة أو عاملين، مع دمج الحدود المناسبة. في صفحة "تصميم التجارب" – التجارب العاملية ذات العوامل الثابتة، و2^k والتصاميم الجزئية؛ وفي صفحة "منهجية سطح الاستجابة" – العوامل الكمية ونقطة المثلى.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

في Analyze › General Linear Model › Univariate تُدخل العوامل العشوائية في Random Factor(s)؛ ويُكتب الحدّ المتداخل في أوامر Syntax، /DESIGN = A B(A). يحسب SPSS القيم المتوقعة لمتوسطات المربعات ويبني الاختبارات، بما فيها التقريبية – في النموذج غير المقيَّد (Maxwell et al., 2018, pp. 605-606)، ولذلك يُختار "غير مقيَّد" في الصفحة للمقارنة. وتُضاف اختبارات النموذج المقيَّد بـ /TEST = method VS method*school (ص 568)؛ وأوامر Syntax في الصفحة تكتبها تلقائيًا. مكونات التباين – في VARCOMP مع /METHOD=SSTYPE(3) (تقديرات ANOVA، غير مقيَّد). المسارات معلومات عامة عن البرنامج، ولم تُشغَّل أوامر Syntax في SPSS. في PSPP، البرنامج المجاني الذي يقرأ أوامر Syntax لـ SPSS، لا يوجد UNIANOVA ولا VARCOMP، والأمر GLM فيه لا يقبل الحدود المتداخلة؛ وقد فحصنا فيه مجاميع المربعات لتصميم متقاطع، وهي مطابقة للصفحة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

طريقتان. الكلاسيكية – lm لمجاميع المربعات، ثم الاختبارات والمكونات وفق القيم المتوقعة، يدويًا؛ وهذا ما يفعله النص البرمجي للصفحة، بالمقامات التي اختارتها الصفحة. ويعطي aov مع Error() اختبارات النموذج غير المقيَّد (مثلًا aov(y ~ A*B + Error(rep/A)) لتصميم القطع المنشقة). الحديثة – lmer من حزمة lme4: (1 | school) للعامل العشوائي، و(1 | method:school) لتفاعله، و(1 | school:class) للعامل المتداخل؛ وتضيف lmerTest اختبارات F. lmer نموذج غير مقيَّد بمكونات غير سالبة – انظروا "ANOVA أم REML". شُغِّل النص البرمجي أدناه كما هو على ملف المثال الإنجليزي، والقيم في التعليقات مطابقة للصفحة. قاعدة الموقع للعربية في R: ملف UTF-8، كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وأسماء المتغيرات بالإنجليزية.

# العوامل العشوائية والمتداخلة – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)   # قراءة ملفات إكسل
library(lme4)     # النماذج المختلطة (install.packages("lme4"))

# التحميل: بنية طويلة – صف = تلميذ؛ ورقة العمل "Data"
d <- as.data.frame(read_excel("C:/Rdata/DATA_mix_example_eng.xlsx", sheet = "Data"))
for (v in c("method", "school", "class")) d[[v]] <- factor(d[[v]])

# مجاميع المربعات: الطريقة، والمدرسة، والتفاعل، والصف المتداخل في الطريقة × المدرسة
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))
a <- anova(lm(score ~ method + school + method:school + method:school:class, data = d))
MS <- setNames(a[["Mean Sq"]], c("method", "school", "method:school", "class", "Residuals")); round(MS, 3)
# النتيجة: 511.097 212.759 98.690 99.222 40.056

# الاختبارات في النموذج المقيَّد (الإعداد الافتراضي في الصفحة): تُختبر المدرسة مقابل الصف، لا مقابل الطريقة × المدرسة
c(method = MS[["method"]] / MS[["method:school"]], school = MS[["school"]] / MS[["class"]],
  method.school = MS[["method:school"]] / MS[["class"]], class = MS[["class"]] / MS[["Residuals"]])
# النتيجة: 5.179 (2, 6), 2.144 (3, 12), 0.995 (6, 12), 2.477 (12, 48)

# مكونات التباين بطريقة ANOVA، في النموذج المقيَّد
c(school = (MS[["school"]] - MS[["class"]]) / 18, method.school = (MS[["method:school"]] - MS[["class"]]) / 6,
  class = (MS[["class"]] - MS[["Residuals"]]) / 3, residual = MS[["Residuals"]])
# النتيجة: 6.308, -0.089, 19.722, 40.056

# للمقارنة: REML – نموذج غير مقيَّد، ومكونات غير سالبة (الطريقة × المدرسة تصبح صفرًا)
m <- lmer(score ~ method + (1 | school) + (1 | method:school) + (1 | method:school:class), data = d)
print(VarCorr(m), comp = "Variance")
# النتيجة: المدرسة 6.318، الطريقة × المدرسة 0.000، الصف 19.663، الباقي 40.056

عرض النتائج

يجب أن يتيح التقرير إعادة إنتاج التصميم والتحليل: أي العوامل ثابتة وأيها عشوائية ولماذا، وما المتداخل في ماذا، وكم مستوى وكم مشاهدة في كل خلية؛ وأي نموذج (مقيَّد أم غير مقيَّد) وأي الحدود دُمجت؛ ولكل اختبار – F بدرجات حرية المقام الفعلي (لا الباقي، عندما يكون المقام مختلفًا) وp؛ ومكونات التباين أو ICC، مع فترات الثقة. تطلب APA (2020، القسم 6.43) "معلومات كافية ليتمكن القارئ من التحقق من التحليلات". قواعد الصياغة (القسم 6.36): p وICC من دون صفر قبل النقطة؛ وF ومكونات التباين – معه. فقرة النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو، بالعربية والإنجليزية.

أخطاء شائعة

اختبار كل شيء مقابل الباقي. عند وجود عامل عشوائي، يضخّم ذلك قيمة F للعوامل الثابتة المتقاطعة معه أو التي فوقه (Maxwell et al., 2018, pp. 558, 590).

تحليل تصميم متداخل كأنه متقاطع. يُنتج ذلك "تفاعلًا" لا تفسير له (Montgomery, 2020, pp. 522-524). يُسأل: هل الدفعة 1 لدى المورّد أ هي الدفعة نفسها كالدفعة 1 لدى المورّد ب؟

تجاهل القطع الرئيسية. تصميم القطع المنشقة الذي يُحلَّل كتصميم عشوائي بالكامل – أخطاء كثيرة جدًا من النوع I في عامل القطعة الرئيسية ومن النوع II في القطع الفرعية (ص 538).

مستويات قليلة للعامل العشوائي. ثلاث مدارس أو أربع – ويكاد اختبار الطريقة يفتقر إلى القوة الإحصائية، مهما كان عدد التلاميذ (Maxwell et al., 2018, p. 572).

مقارنة مكونات التباين بين البرامج دون التحقق من النموذج. مقيَّد أو غير مقيَّد، ANOVA أو REML، مع جعل القيم صفرًا أو بدونه – كلٌّ منها يعطي رقمًا مختلفًا للمكوّن نفسه. في مثال قوة الورق، يُبلغ JMP عن 2.4757 للمكرَّرات (الجدول 14.19، ص 538 – غير مقيَّد، مدموج)، ويعطي النموذج المقيَّد 2.90.

دمج تفاعل لمجرد أنه غير دالّ إحصائيًا. مع ست درجات حرية أو أكثر للخطأ – لا يُدمج؛ وإلا – فقط إذا كانت قيمة p أعلى من 0.25 (Montgomery, 2020, p. 509).

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Montgomery, D. C. (2020). Design and analysis of experiments (10th ed.). Wiley.

Satterthwaite (1946)، وMurray وBlitstein (2003)، وHedges وHedberg (2007)، وWampold وSerlin (2000) – كما ورد في Montgomery (2020) وفي Maxwell et al. (2018). وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المراجع التي قُرئت في أصلها؛ والاستشهادات حسب الصفحة المطبوعة. قُرئ القسم 3.9 والفصلان 13-14 من Montgomery، والفصل 10 وأقسام من الفصلين 11-12 والفصل 16 من Maxwell et al. الحساب في الصفحة متحقَّق منه مقابل R 4.3.3 (lm، وaov مع Error، وlme4، وlmerTest)، ومقابل جميع الأرقام المطبوعة في الأمثلة 3.10 و13.1-13.6 و14.1-14.2 وفي مثال قوة الورق (القسم 14.4) لدى Montgomery، وفي الجداول 10.5 و10.9 و12.19 لدى Maxwell et al.