تحليل التباين الأحادي (ANOVA)

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

اختيار المتغيرات

متى يُستخدم؟

حين يُراد معرفة ما إذا كان متوسط متغير كمّي يختلف بين ثلاث مجموعات منفصلة أو أكثر – ثلاثة مستويات تعليمية، أربعة ظروف تجريبية، خمس مناطق. تحدد Pallant (2020، الفصل 18) الوصفة: متغير مستقل تصنيفي واحد بثلاث مجموعات فأكثر ("أحادي" – متغير مستقل واحد؛ "بين المشاركين" – أشخاص مختلفون في كل مجموعة)، ومتغير تابع متصل واحد. ويشرح Gravetter وWallnau (2017، ص 366-370) لماذا لا تُستخدم سلسلة من اختبارات t: كل اختبار يحمل خطر خطأ من النوع I بنسبة 5%، وثلاث مجموعات تعني ثلاثة اختبارات – فـ"مستوى ألفا على مستوى التجربة" (experimentwise) يتراكم؛ أما ANOVA فتختبر جميع الفروق في اختبار واحد. ويُظهر Field (2024، القسم 12.3) أن هذا هو النموذج الخطي مع متغيرات وهمية: قيمة F نفسها التي تُستخرج من انحدار تكون فيه المجموعات متنبِّئات.

مجموعتان فقط – تحسب الصفحة، لكن اختبار t لعينتين مستقلتين يعطي الحكم نفسه (F = t²) ويضيف d لكوهين وفترة ثقة للفرق؛ المشاركون أنفسهم في عدة قياسات – تحليل التباين للقياسات المتكررة (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, Chapter 13)، في صفحة ANOVA للقياسات المتكررة؛ مقارنة بين المجموعات مع متغير متصل إضافي قيس مسبقًا (مثلًا الدرجة "القبلية") – ANCOVA، تحليل التباين المصاحب؛ متغيران مستقلان أو أكثر، أو كتل – ANOVA متعدد العوامل، في صفحة تصميم التجارب (وفيها أيضًا حجم العينة وجدول تشغيل عشوائي)؛ متغير تابع ترتيبي أو انتهاك شديد للافتراضات في عينة صغيرة – اختبار كروسكال-واليس (Pallant, Chapter 16; Gravetter & Wallnau, Appendix E). تُعامَل درجة المقياس متعدد الفقرات (صفحة ألفا كرونباخ ودرجة المقياس) كمتغير فتري وفق اصطلاح الموقع (صفحة المتغيرات ومستويات القياس)؛ أما فقرة ليكرت المفردة – فلا.

المنطق: التباين بين المجموعات مقسومًا على التباين داخلها

يفكّك Gravetter وWallnau (2017، ص 371-375) التشتت الكلي في البيانات إلى جزأين. التباين بين المجموعات – مدى تباعد متوسطات المجموعات بعضها عن بعض؛ وينبع من المعالجة (إن كان لها أثر) ومن الفروق بين الأشخاص والخطأ العشوائي أيضًا. التباين داخل المجموعات – مدى اختلاف المشاركين داخل المجموعة الواحدة بعضهم عن بعض؛ وينبع فقط من الفروق بين الأشخاص والخطأ العشوائي، لأن الجميع داخل المجموعة تلقّوا المعالجة نفسها. F هي النسبة بين الاثنين: إن لم يكن للمعالجة أثر، يقيس المصدران الشيء نفسه وتكون F قريبة من 1؛ وإن كان لها أثر، يكبر البسط وترتفع F. ويصوغ Field (2024، الأقسام 12.3.4-12.3.8) الفكرة نفسها بلغة النموذج: SS_T (التشتت الكلي حول المتوسط العام) = SS_M (ما تفسّره متوسطات المجموعات) + SS_R (ما يتبقى)، ويُقسم كل منها على درجات حريته للحصول على متوسطات المربعات – "متوسط" للتباين، لأن مجموع المربعات يكبر مع عدد المشاهدات.

درجات الحرية: df_بين = k − 1 (عدد المجموعات ناقص واحد)، df_داخل = N − k (Gravetter & Wallnau, pp. 378-379). مثال Gravetter وWallnau (المثال 12.2، ص 385-388): ثلاث استراتيجيات تعلّم، ستة طلاب في كل منها – SS_بين = 84، SS_داخل = 88، MS قدره 42 و5.87، F(2, 15) = 7.16، دالّ إحصائيًا؛ ومثال Field (القسم 12.2، الجدول 12.1): العلاج بالجراء بثلاث جرعات، خمسة في كل مجموعة – F(2, 12) = 5.12, p = .025. كلاهما محسوب في الصفحة ويعطي الأرقام الواردة في الكتابين بالضبط.

كيف تُقرأ المخرجات؟

الجدول 1 – إحصاءات المجموعات (Descriptives). Pallant (2020، الفصل 18): "افحصوا هذا الجدول أولًا دائمًا – هل N لكل مجموعة صحيح؟" المجموعة الفارغة أو الضئيلة تدل غالبًا على رمز خاطئ أو على كثرة القيم المفقودة. صف "المجموع" – المتوسط العام، الذي يُقاس حوله التباين بين المجموعات.

الجدول 2 – جدول ANOVA، وفيه أيضًا صف Welch (في SPSS يظهر في جدول منفصل، Robust Tests of Equality of Means). أيّ صف يُقرأ؟ كما في اختبار t، تختلف المراجع، وتعرض الصفحة الموقفين:

يبيّن مربع "قراءة النتيجة" في المخرجات ما إذا كان الصفّان متفقين. في مثال الجراء لـ Field يختلفان: F العادي p = .025، وWelch p = .054 – ويقول Field (القسم 12.9.1) إن هذا مربك "فقط إذا نُسبت إلى عتبة .05 قوى سحرية". F وdf وp. قيمة p أصغر من .05 – يوجد فرق دالّ إحصائيًا "في مكان ما" بين المجموعات؛ ولا يقول الجدول بين أيّها (Pallant, Chapter 18; Gravetter & Wallnau, p. 393). ولا توجد لـ F صيغة أحادية الذيل – لا يمكن قسمة p على اثنين (Field، النصيحة 12.1).

اختبارات المتابعة: بين أي المجموعات؟

F الدالّة تعني أن فرقًا واحدًا على الأقل دالّ؛ واختبارات المتابعة (post hoc) تمرّ على جميع الأزواج وتصحّح مستوى الدلالة بحيث يبقى الخطر الكلي لخطأ النوع I على جميع الأزواج معًا 5% (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 393-394; Field, 2024, Section 12.6). يقدّم SPSS نحو 18 طريقة؛ ويلخّص Field (القسم 12.6.3، على غرار Toothaker، 1993): مجموعات متساوية الحجم وتباينات متقاربة – Tukey (أو REGWQ)؛ "ضبط مضمون" لخطأ النوع I – بونفيروني؛ شكّ في تساوي التباينات – Games-Howell، "الذي أوصي بإجرائه إضافة إلى أي طريقة أخرى". تعرض الصفحة الثلاث، والجدول 3 ينتقل بينها بمفتاح تبديل:

متى تُفسَّر؟ Pallant (الفصل 18) وGravetter وWallnau (ص 393): فقط بعد F كلية دالّة ومع ثلاث مجموعات فأكثر (في مجموعتين لا يوجد ما يُسأل عنه). يُعرض الجدول دائمًا، وحين لا تكون F دالّة تقول الملاحظة إنه لا يُبلَّغ منه عن فروق. تُحدَّد الطريقة مسبقًا – لا تُختار بعد الاختبار تلك التي تعطي نجومًا أكثر؛ والإعداد الافتراضي للصفحة (Tukey حين يكون ليفين غير دالّ، وGames-Howell حين يكون دالًّا) قاعدة من هذا النوع. التخطيط المسبق لمقارنات محددة (planned contrasts, Field, Section 12.5; Scheffé, Gravetter & Wallnau, pp. 395-396) – غير موجود في الصفحة.

حجم الأثر

الدلالة ليست حجمًا: تُمثّل Pallant (2020، الفصل 18) على N = 435 – F(2, 432) = 4.64, p = .01، لكن المتوسطات 21.36 و22.10 و22.96 وη² = .02: "مع عينة كبيرة بما يكفي تخرج فروق صغيرة نسبيًا دالّة، حتى لو لم تكن لها أهمية عملية". يطبع الجدول مقياسين:

مربع إيتا (η²) – نسبة تباين المتغير التابع المفسَّرة بالانتماء إلى المجموعة: SS_بين/SS_الكلي (Gravetter & Wallnau، 2017، ص 388-389، الصيغة 12.14 – "نسبة التباين المفسَّر"، η² = 0.488 في المثال 12.2؛ Pallant، 2020، الفصل 18 – يُحسب يدويًا من جدول ANOVA؛ Field، 2024، المعادلة 12.33 – وهو R² للنموذج الخطي). عتبات Cohen (1988، ص 284-287) التي تذكرها Pallant: .01 صغير، .06 متوسط، .14 كبير.

مربع أوميغا (ω²) – Field (القسم 12.7، المعادلة 12.34): η² "متحيّز قليلًا" لأنه يعتمد فقط على مجاميع مربعات العينة؛ وω² يصحّح نحو تقدير في المجتمع: (SS_بين − df_بين·MS_داخل) / (SS_الكلي + MS_داخل) – في مثال الجراء η² = .46 لكن ω² = .35، ويعرض Field ω² (القسم 12.12) بالعتبات نفسها (Kirk، 1996). في العينة الصغيرة أو مع مجموعات كثيرة تكون الفجوة بينهما كبيرة، وفي العينة الكبيرة يكادان يتطابقان؛ ويعرض مربع "قراءة النتيجة" كليهما. ويضيف Field أن حجم الأثر الكلي أقل أهمية من حجم الفرق بين زوج من المجموعات – ولكل زوج يمكن حساب d لكوهين في صفحة اختبار t. يطبع SPSS 27 وما بعده كليهما (ANOVA Effect Sizes) مع فترات ثقة، وهي غير موجودة في الصفحة.

الافتراضات والتحذيرات

الافتراضات الثلاثة (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 391-392): المشاهدات في كل مجموعة مستقلة؛ المجتمعات اعتدالية؛ ولجميعها التباين نفسه. الاستقلال هو الافتراض الحاسم: يذكر Field (القسم 12.4.2) Scariano وDavenport – ارتباط قدره 0.5 بين المشاهدات يرفع خطأ النوع I من 5% إلى 74%. المشارك الذي قيس مرتين، والتلاميذ من الصفوف نفسها، والأزواج – ينتهكونه، والاختبار الصحيح مختلف. الاعتدالية: Gravetter وWallnau – "لا يُقلق منها عادةً، ولا سيما في العينات الكبيرة"؛ ويعترض Field (القسم 12.4.2) على خرافة أن "ANOVA حصين": الالتواء والذيول الثقيلة والتباينات المختلفة تؤثر في F حتى في المجموعات المتساوية، ومع الذيول الثقيلة تتطلب نظرية النهاية المركزية عينات أكبر بكثير من 30 – ولذلك يُنظر إلى المدرّج التكراري لكل مجموعة (صفحة التكرارات والإحصاء الوصفي) وإلى القيم المتطرفة (صفحة القيم المتطرفة والافتراضات)، وعند الشك يُجرى أيضًا اختبار حصين (Field, Section 12.10) أو كروسكال-واليس.

تجانس التباينات. Gravetter وWallnau (ص 392، وص 314): "افتراض مهم"، مع قاعدة عملية – تباين أكبر من الآخر بثلاث إلى أربع مرات سبب للقلق؛ Field (الإطار 12.2): حين تكون المجموعات غير متساوية الحجم والكبيرة منها أكثر تشتتًا، تكون F العادية محافظة، وفي الحالة المعاكسة متساهلة – ويصحّح Welch وBrown-Forsythe ذلك. تطبع الصفحة اختبار ليفين (حول المتوسط، كما في SPSS) وصف Welch؛ والاختيار – في قسم "كيف تُقرأ".

مجموعات غير متساوية الحجم. Gravetter وWallnau (ص 390): ANOVA صالح في هذه الحالة أيضًا، "ولا سيما حين تكون العينات كبيرة نسبيًا والفجوة في الأحجام غير متطرفة"، لكنه أدق ما يكون في المجموعات المتساوية. Field (القسم 12.6.2): اختبارات المتابعة هي التي تختلّ حين تختلف الأحجام والتباينات – وصُمّم Games-Howell لهذه الحالة. يُحذف من التحليل المستوى الذي فيه أقل من مشاهدتين (وتُنبّه الصفحة إلى ذلك).

القيم المفقودة. المشارك الذي تنقصه القيمة في المتغير التابع أو في متغير المجموعات لا يُشمل في تحليل ذلك المتغير التابع فقط – الحذف حسب التحليل (/MISSING=ANALYSIS)، كالإعداد الافتراضي في SPSS ولدى Pallant؛ لذلك قد يتغير N من متغير تابع إلى آخر. ماذا يُفعل بالقيم المفقودة – صفحة القيم المفقودة.

عدة متغيرات تابعة. يتحفظ Field (القسم 12.8.1) على إمكانية SPSS إجراء عدة متغيرات تابعة دفعة واحدة – "يُفقد الضبط على خطأ النوع I" – ويقترح MANOVA أو مقياسًا مركّبًا؛ وتقترح Pallant (الفصل 18) عرض سلسلة التحليلات في جدول واحد. تتيح الصفحة عدة متغيرات، وتذكّر في مربع القراءة بأن كل تحليل يحمل خطرًا بنسبة 5%.

ما لا تحسبه الصفحة. Brown-Forsythe، المقارنات المخطَّطة وتحليل الاتجاه (Field, Section 12.5)، Scheffé وREGWQ، Dunnett، فترات الثقة لـ η² وω² (SPSS 27 وما بعده)، البوتستراب والاختبار الحصين على المتوسطات المشذّبة (Field, Section 12.10)، ANOVA الثنائي ومتعدد العوامل (في صفحة تصميم التجارب) وللقياسات المتكررة (في صفحة ANOVA للقياسات المتكررة)، Bayes factor.

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

ملاحظة حول الإصدارات. الإجراء مستقر؛ منذ الإصدار 27 يتضمن مربع الحوار Estimate effect size for overall tests ويطبع جدول ANOVA Effect Sizes مع η² وε² وω² وفترات ثقة (Field، 2024، القسمان 12.8.1 و12.9.1 – وفق الإصدار 29)، في حين تكتب Pallant (2020، وفق الإصدار 26) أن SPSS "لا يُنتج حجم أثر لهذا التحليل" وتحسب مربع إيتا يدويًا. في الإصدارات القديمة – احذفوا السطر /ES=OVERALL من ملف Syntax.

الإجراء (Pallant, 2020, Chapter 18; Field, 2024, Sections 12.8.1-12.8.4): Analyze › Compare Means › One-Way ANOVA… – المتغير التابع (أو عدة متغيرات) إلى مربع Dependent List، والمتغير المستقل إلى Factor؛ Options… – Descriptive، Homogeneity of variance test، Welch (وBrown-Forsythe)، Means plot، وExclude cases analysis by analysis؛ Post Hoc… – Tukey وBonferroni تحت "تباينات متساوية"، وGames-Howell تحت "غير متساوية". ملف Syntax:

ONEWAY עמדות_ציון גיל BY השכלה
  /ES=OVERALL
  /STATISTICS=DESCRIPTIVES HOMOGENEITY WELCH
  /MISSING=ANALYSIS
  /POSTHOC=TUKEY GH BONFERRONI ALPHA(0.05).

قراءة المخرجات. Descriptives = الجدول 1 (N, Mean, Std. Deviation, Std. Error، فترة ثقة للمتوسط، القيمة الصغرى والقيمة العظمى)؛ Test of Homogeneity of Variances = اختبار ليفين الذي في ملاحظة الجدول 2 – يطبع SPSS 26 وما بعده أربع صيغ، وتقرأ الصفحة (وPallant) صيغة Based on Mean؛ ANOVA = الجدول 2 (Between Groups, Within Groups, Total)؛ Robust Tests of Equality of Means = صف Welch (Statistic, df1, df2, Sig.)؛ ANOVA Effect Sizes – Eta-squared وOmega-squared Fixed-effect اللذان في ملاحظة الجدول؛ Multiple Comparisons = الجدول 3 – يطبع SPSS كل زوج مرتين (I−J and J−I) في الكتل الثلاث (Tukey HSD، Games-Howell، Bonferroni)، مع نجمة بجانب الفرق الدالّ. زر "تنزيل ملف Syntax لـ SPSS" في المخرجات يُنتج أوامر التحميل، ودليل الترميز (إن وُجد مفتاح ترميز) وأمر ONEWAY على المتغيرات المختارة.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

في R الأساسي: aov() لجدول ANOVA، oneway.test() لـ Welch (وهو إعدادها الافتراضي)، TukeyHSD() لاختبارات Tukey (Tukey-Kramer، كما في الصفحة)، pairwise.t.test(p.adjust = "bonferroni") لبونفيروني؛ اختبار ليفين حول المتوسط – leveneTest(center = mean) من حزمة car؛ Games-Howell – حزمة rstatix أو PMCMRplus (ليس في النص البرمجي). يُحسب η² وω² يدويًا من جدول ANOVA. شُغّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال وأعطى قيم الجداول (في التعليقات). قاعدة الموقع للنص العربي في R: ملف UTF-8، كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، وبيئة UTF-8 للأسماء العبرية (في Windows: R 4.2 وما بعده، أو Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).

# تحليل التباين الأحادي – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl)   # قراءة ملف إكسل
library(car)      # اختبار ليفين: leveneTest

# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغير؛ ورقة العمل "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_anova_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[complete.cases(d[["השכלה"]], d[["עמדות_ציון"]]), ]          # الحذف حسب التحليل (117 من 120)
g <- factor(d[["השכלה"]], levels = 1:4, labels = c("תיכונית", "על-תיכונית", "תואר ראשון", "תואר מתקדם"))
y <- d[["עמדות_ציון"]]

# الجدول 1 – إحصاءات المجموعات
tapply(y, g, function(v) c(n = length(v), M = mean(v), SD = sd(v)))
# النتيجة: 17 / 18 / 50 / 32 مشاركًا؛ M 3.51, 3.21, 3.06, 3.51؛ SD 0.67, 0.81, 0.66, 0.81

# اختبار ليفين حول المتوسط – مثل Based on Mean في SPSS
leveneTest(y ~ g, center = mean)                         # F(3, 113) = 0.218, p = .884

# الجدول 2 – جدول ANOVA، وصف Welch
m <- aov(y ~ g); summary(m)                              # F(3, 113) = 3.21, p = .026; SSB 5.08, SSW 59.51
oneway.test(y ~ g)                                       # Welch F(3, 43.82) = 3.26, p = .030

# حجم الأثر: مربع إيتا = SSB/SST، مربع أوميغا = (SSB − dfB·MSW)/(SST + MSW)
s <- summary(m)[[1]]; ssb <- s[["Sum Sq"]][1]; ssw <- s[["Sum Sq"]][2]; msw <- s[["Mean Sq"]][2]; dfb <- s[["Df"]][1]
ssb / (ssb + ssw)                                        # مربع إيتا = .079
(ssb - dfb * msw) / (ssb + ssw + msw)                    # مربع أوميغا = .054

# الجدول 3 – اختبارات المتابعة: Tukey HSD (Tukey-Kramer) وبونفيروني
TukeyHSD(m)                                              # الدراسات العليا–البكالوريوس: الفرق 0.448، p = .037؛ بقية الأزواج غير دالّة إحصائيًا
pairwise.t.test(y, g, p.adjust.method = "bonferroni")    # الدراسات العليا–البكالوريوس: p = .044

عرض النتائج

يُبلَّغ عن النتيجة ثم عن الإحصاءات: متوسط كل مجموعة وانحرافها المعياري (في النص أو في جدول أو في رسم بياني)، وF مع درجتي الحرية بين قوسين، وp الدقيقة، وحجم الأثر، ثم اختبارات المتابعة – أي الأزواج اختلفت (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 389-390; Field, 2024, Section 12.12; Pallant, 2020, Chapter 18; American Psychological Association [APA], 2020, Section 6.43). مثال Gravetter وWallnau: "كشف تحليل التباين عن فروق دالّة إحصائيًا بين استراتيجيات التعلّم الثلاث، F(2, 15) = 7.16, p = .007, η² = 0.488" – وحين تتوفر p الدقيقة من الحاسوب يُبلَّغ عنها، لا p < .05. مثال Field، مع Welch وω²: "لم يوجد أثر دالّ إحصائيًا للعلاج بالجراء في مستوى السعادة، F(2, 7.94) = 4.32, p = .054, ω² = .35 [−.15, .59]" – وانتبهوا إلى أنه يعرض F غير الدالّة وحجم الأثر الملحوظ معًا. مثال Pallant: "وُجد فرق دالّ إحصائيًا عند مستوى p < .05 في درجات LOT بين الفئات العمرية الثلاث: F(2, 432) = 4.64, p = .01. ورغم الدلالة، كان الفرق الفعلي بين المتوسطات صغيرًا نسبيًا؛ وكان حجم الأثر، مربع إيتا، .02. وكشفت مقارنات المتابعة باختبار Tukey HSD أن متوسط المجموعة 1 (M = 21.36, SD = 4.55) اختلف اختلافًا دالًّا عن متوسط المجموعة 3 (M = 22.96, SD = 4.49)؛ ولم تختلف المجموعة 2 (M = 22.10, SD = 4.15) اختلافًا دالًّا عن أيٍّ منهما." ولسلسلة من التحليلات – جدول APA مع n, M, SD لكل مجموعة، وF, p وη² (Pallant).

قواعد الصيغة (APA, 2020, Section 6.36): F بصفر قبل الفاصلة العشرية (قد تتجاوز 1)، وp وη² وω² بدونه (لا يمكن أن تتجاوزه)؛ درجات حرية Welch غير الصحيحة – بخانتين. جمل عرض النتائج في المخرجات مبنية على هذا النحو، بالعربية والإنجليزية، مع اختبارات المتابعة للطريقة المختارة بالمفتاح.

أخطاء شائعة

سلسلة من اختبارات t بدلًا من ANOVA. أربع مجموعات تعني ستة اختبارات t – والخطر الكلي لخطأ النوع I يرتفع كثيرًا فوق 5% (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 369-370; Field, 2024, Section 2.10.8).

الإبلاغ عن "يوجد فرق" دون ذكر بين مَن. F الدالّة تعني فقط أن زوجًا واحدًا على الأقل اختلف؛ ودون اختبارات متابعة (أو مقارنات مخطَّطة) تبقى النتيجة ناقصة (Gravetter & Wallnau, p. 393).

تفسير اختبارات المتابعة حين لا تكون F دالّة – أو اختيار طريقة بعد رؤية النتائج. تُحدَّد مسبقًا (Pallant، 2020، الفصل 18؛ Field، القسم 12.6 – "هذا يشبه قليلًا p-hacking، إلا أن p تُصحَّح").

تجاهل صف Welch. حين يكون ليفين دالًّا، أو حين تختلف المجموعات كثيرًا في حجمها وتشتتها، قد يضلّل صف F العادي في الاتجاهين (Field, Box 12.2)؛ ويعرض Field قيمة Welch دائمًا.

الإبلاغ عن p دون حجم أثر. في العينة الكبيرة يخرج فرق ضئيل دالًّا – مثال Pallant مع η² = .02؛ ويعرض Field ω² حتى حين لا تكون F دالّة.

ANOVA أحادي على قياسات متكررة. المشاركون أنفسهم في ثلاثة مواعيد ينتهكون الاستقلال (Field, Section 12.4.2) – ANOVA للقياسات المتكررة.

الاعتماد على الرسم البياني للمتوسطات. المحور الذي لا يبدأ من الصفر يضخّم فروقًا ضئيلة (Pallant, Chapter 18)، وتداخل فترات الثقة لا يعني "غير دالّ" (Field, Section 12.9.1).

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Welch (1951)، وBrown وForsythe (1974)، وToothaker (1993)، وKirk (1996)، وScariano وDavenport (1987)، وWilcox (2017) وWeinstein وMcDermott وRoediger (2010) – كما ورد في Field (2024) وفي Gravetter وWallnau (2017). وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المراجع التي قُرئت في أصلها. Field (2024) وPallant (2020) في نسخة رقمية متدفقة – الإحالة حسب القسم والفصل؛ Gravetter وWallnau (2017) وCohen (1988) وAPA (2020) – حسب الصفحة والقسم في الطبعة المطبوعة.