اختبار مربع كاي للاستقلال
العلاقة بين متغيرين تصنيفيين: جدول تقاطعي مع النسب المئوية، التكرارات المتوقعة والبواقي المعيارية، مربع كاي لبيرسون، نسبة الإمكان، تصحيح ييتس واختبار فيشر الدقيق للجدول 2×2، وقوة العلاقة – φ، V لكرامر ونسبة الأرجحية مع فترة ثقة. من بيانات خام أو من جدول تكرارات جاهز.
تحميل البيانات
الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:
اختيار المتغيرات
متى يُستخدم مربع كاي للاستقلال؟
حين يكون المتغيران تصنيفيين ويُراد معرفة ما إذا كان توزيع أحدهما يتوقف على الآخر: هل تختلف نسبة المشاركين في النشاط المجتمعي بين القدامى والجدد؟ هل يرتبط اختيار مسار الدراسة بالخلفية؟ لا متوسط للمتغير التصنيفي – "متوسط المتغير التصنيفي لا معنى له" (Field, 2024, Section 19.3) – ولذلك تُحلَّل التكرارات: كم مشاركًا وقع في كل تركيبة من الفئات. تصوغ Pallant (2020، الفصل 16) السؤال نفسه بثلاث طرق: هل توجد علاقة بين الجنس والتدخين؟ هل يميل الرجال أكثر إلى التدخين؟ هل نسبة المدخنين متساوية لدى الجنسين؟ – إنه الاختبار نفسه. وإن كان أحد المتغيرين متصلًا، فليس هذا هو الاختبار: لمقارنة المتوسطات بين المجموعات – اختبار t أو ANOVA؛ وللتنبؤ بمتغير تصنيفي من متنبِّئات متصلة – الانحدار اللوجستي (Field, Section 19.2). والجدول لثلاثة متغيرات تصنيفية فأكثر – التحليل اللوغاريتمي الخطي (Field, Section 19.4)، وهو غير موجود في الموقع.
كيف يعمل الاختبار
النموذج هو "لا توجد علاقة". إن لم توجد علاقة، فإن التكرار المتوقع في كل خلية يُشتق من هوامش الجدول فقط: E = (مجموع الصف × مجموع العمود) / N (Field, 2024, Equation 19.3). يلخّص الاختبار الفجوة بين المُشاهَد والمتوقع في جميع الخلايا، معيَّرةً وفق المتوقع – χ² = Σ (O − E)²/E (Equation 19.2; Gravetter & Wallnau, 2017, Section 17.3) – وتتوزع الإحصاءة تقريبيًا توزيع مربع كاي بـ df = (r − 1)(c − 1) درجات حرية: عدد الخلايا التي يمكن "اختيارها بحرية" بعد أن تكون مجاميع الصفوف والأعمدة معطاة (Gravetter & Wallnau, Equation 17.5). مثال Field (الجدول 19.1): دُرّب 200 قط على الرقص مقابل الطعام أو المودّة؛ رقص 28 من أصل 38 تلقّوا الطعام، مقابل 48 من أصل 162 تلقّوا المودّة – χ²(1) = 25.36, p < .001. يمكن لصق هذا الجدول في الصفحة في وضع "جدول تكرارات جاهز" والحصول على جميع الأرقام الواردة في الفصل.
الصفوف الأربعة في جدول الاختبارات – وما الذي يُبلَّغ عنه
مربع كاي لبيرسون هو الاختبار؛ وبقية الصفوف تجيب عن سؤال ماذا يحدث حين تكون العينة صغيرة. اختبار فيشر الدقيق (Field, Section 19.3.3) ليس اختبارًا آخر بل حساب دقيق للاحتمال بدلًا من التقريب لتوزيع مربع كاي – التقريب جيد حين تكون التكرارات المتوقعة أكبر من 5، ويضعف حين تكون صغيرة؛ ولذلك صُمّم فيشر للجدول 2×2 مع عينة صغيرة، ويطبعه SPSS تلقائيًا لكل جدول 2×2. نسبة الإمكان (G²; Section 19.3.4) تقوم على الإمكان الأعظم، وتتوزع مثل بيرسون، وفي العينة الكبيرة تكاد تطابقه؛ ويفضّلها Field في العينات الصغيرة. تصحيح الاتصال لييتس (القسم 19.3.5) يطرح 0.5 من كل انحراف مطلق قبل التربيع، لأن بيرسون في الجدول 2×2 يميل إلى p صغيرة أكثر من اللازم – وهنا يفترق الكتابان: يكتب Field أن هناك "قدرًا غير قليل من الأدلة" على أن التصحيح يُفرط في التصحيح ويُنتج قيم χ² صغيرة جدًا (Howell, 2012, as cited in Field)، ويلخّص "من المفيد معرفته، والأرجح أن الأفضل تجاهله"؛ في حين توجّه Pallant (2020، الفصل 16) إلى الإبلاغ في الجدول 2×2 عن صف Continuity Correction تحديدًا، وتوضح ذلك في جملة عرض النتيجة لديها. تعرض الصفحة الاثنين، وتعلّم ما يُبلَّغ عنه وفق قاعدة الموقع: بيرسون؛ وفي الجدول 2×2 الذي ينتهك شرط التكرارات المتوقعة – فيشر. ومن يطلب منه مشرفه ييتس – فالأرقام في الجدول 3، والإبلاغ بصيغة Pallant (قسم عرض النتائج أدناه).
قوة العلاقة: φ وV لكرامر ونسبة الأرجحية
الدلالة تقول إن هناك علاقة؛ لكنها لا تقول مدى قوتها، وفي العينة الكبيرة يخرج حتى الفرق الصغير في النسب المئوية دالًّا (Field, 2024, Section 19.5.3). ثلاثة مقاييس تصحّح χ² وفق حجم العينة وأبعاد الجدول للحصول على عدد بين 0 و1 (Field, Section 19.3.6): φ – √(χ²/N)، دقيق للجدول 2×2 وفيه يساوي ارتباط بيرسون بين المتغيرين الثنائيين (ولذلك له إشارة؛ Gravetter & Wallnau، 2017، المعادلة 17.8)؛ ومعامل التوافق لبيرسون، الذي نادرًا ما يبلغ 1؛ وV لكرامر – √(χ²/(N·df*)) حيث df* = min(r − 1, c − 1) (Gravetter & Wallnau, Equation 17.9) – الذي يمكن أن يبلغ 1 حتى في الجدول الكبير، ولذلك هو "الأكثر فائدة" (Field). في الجدول 2×2 يتطابق φ وV. العتبات: لتفسير φ تُستخدم عتبات الارتباط – .10 صغير، .30 متوسط، .50 كبير (Cohen، 1988، كما ورد في Pallant، 2020، وفي Gravetter & Wallnau، 2017)؛ ولـ V في جدول أكبر تكون العتبات أدنى، وفق df* (Gravetter & Wallnau, Table 17.10): لـ df* = 2 – .07 / .21 / .35؛ ولـ df* = 3 – .06 / .17 / .29. وتترجم الصفحة وفق هذا الجدول. العلاقة بين الاثنين: يعرّف Cohen المقياس w بوصفه V·√df* مع العتبات .10 / .30 / .50 – العتبات نفسها بالضبط، بمقياس مختلف.
نسبة الأرجحية (OR) هي، في رأي Field (القسم 19.8.4)، مقياس الأثر الأكثر شيوعًا وفائدة للجدول 2×2 – "النظير التصنيفي للمقارنة المركّزة". الأرجحية (odds) هي عدد الحالات التي حدث فيها الأمر مقسومًا على عدد الحالات التي لم يحدث فيها: أرجحية الرقص بعد الطعام 28/10 = 2.8، وبعد المودّة 48/114 = .42، والنسبة بينهما 6.65 – "إذا دُرّب القط بالطعام، فإن أرجحية أن يرقص أعلى 6.65 مرة مما لو دُرّب بالمودّة" (المعادلات 19.40-19.42). تضيف الصفحة فترة ثقة 95% على المقياس اللوغاريتمي (مثل Risk Estimate في SPSS): الفترة التي لا تتضمن 1 – العلاقة دالّة. انتبهوا إلى الاتجاه: الأرجحية للفئة الأولى من الأعمدة، في الصف الأول مقارنةً بالثاني – ترتيب الفئات في الجدول يحدد هل ستحصلون على 6.65 أم 1/6.65 = .15، وكلاهما النتيجة نفسها.
شكل 1. النسب المئوية نفسها، عينة أكبر: χ² يكبر، وφ يبقى
جدول Gravetter وWallnau (2017، المثال 17.6): 5/10 مقابل 10/5 – ثلثان لكل جانب. المحور الأفقي – الجدول مضاعَفًا من 1 إلى 8 مرات (N = 30 إلى 240)؛ المحور الأيسر – χ²؛ الخط الأفقي – φ (المحور الأيمن، 0-1)
ملاحظة. محسوب من الصيغ (Gravetter & Wallnau, 2017, Equations 17.8-17.9)، لا بالمحاكاة: في الجدول الأصلي (N = 30) χ² = 3.33 – غير دالّ – وφ = .333؛ وحين تُضاعَف كل خلية (N = 60) χ² = 6.66 – دالّ – وφ لا يزال .333. "العينة الكبيرة توفر دليلًا أكثر إقناعًا، ولذلك يُرجَّح أن تُنتج نتيجة دالّة"، لكن قوة العلاقة لم تتغير. لهذا السبب يُبلَّغ عن الدلالة وعن مقياس الأثر معًا (وعن النسب المئوية أيضًا – Field، 2024، القسم 19.5.3).
كيف تُقرأ المخرجات؟
الجدول 1 – النسب المئوية. يقرأ Field (2024، القسم 19.8) الجدول التقاطعي للقطط من خلال النسب المئوية داخل كل نوع تدريب: من المدرَّبين بالطعام رقص 73.7%، ومن المدرَّبين بالمودّة 29.6% – "حين كان الطعام هو المكافأة رقصت معظم القطط، وحين كانت المودّة هي المكافأة رفض معظمها". وتفعل Pallant (2020، الفصل 16) ذلك مع "% within sex": 17.9% من الرجال يدخنون مقابل 20.6% من النساء، وتذكّر بالتحقق من أن النسبتين في كل صف مجموعهما 100. هذه هي القراءة الأساسية للنتيجة؛ ولا يقول الاختبار إلا ما إذا كان الفرق بين الصفوف أكبر مما تفسّره الصدفة.
جدول 2 – المتوقَّع والبواقي. نبدأ بفحص أدنى تكرار متوقَّع (الشرط – في قسم الافتراضات). بعد ذلك، في جدول أكبر من 2×2، تبيّن البواقي أي الخلايا تقود العلاقة: الباقي المعياري (O − E)/√E هو درجة z (Field, Section 19.8.1) – خارج ±1.96 تنحرف الخلية عن المتوقَّع انحرافًا دالًّا عند .05، و±2.58 عند .01، و±3.29 عند .001، والإشارة تبيّن هل هو أكثر أم أقل من المتوقَّع؛ في مثال القطط خليتا الطعام دالّتان (3.6 و−2.8) وخليتا المودة ليستا كذلك (−1.7 و1.4): "العلاقة بين نوع المكافأة والرقص يقودها الطعام أساسًا". تستخدم Pallant الباقي المعياري المعدَّل (Adjusted Residual)، الذي يصحّح أيضًا لحجم الصف والعمود: فوق 2 – أكثر من المتوقَّع، وتحت −2 – أقل، "نوع من اختبار المقارنات البعدية". تعرض الصفحة كليهما، وتظلّل بالأصفر الخلايا التي يقع باقيها المعدَّل خارج ±1.96.
جدول 3 – الاختبارات. تُقرأ قيمة بيرسون (أو الصف المعلَّم)؛ في جدول 2×2 انتبهوا إلى أن قيمة فيشر الدقيقة تُطبع في عمود p من دون قيمة χ². جدول 4 – قوة العلاقة. V (أو φ) مع الوصف اللفظي حسب العتبات، وفي جدول 2×2 نسبة الأرجحية مع فترة الثقة. الرسم البياني يعرض جدول 1 بصريًا: إذا كانت الأعمدة في كل مجموعة بالنسبة نفسها – فلا علاقة.
الافتراضات والتحذيرات
استقلال المشاهدات. لا يستند الاختبار إلى افتراضات النموذج الخطي (الاعتدالية وما شابه – فالمتغير التصنيفي لا يمكن أن يتوزع توزيعًا طبيعيًا)، لكن له افتراضين خاصين به (Field, 2024, Section 19.5). الأول: كل مشارك أو فقرة أو كيان يسهم في خلية واحدة فقط (Section 19.5.1; Gravetter & Wallnau, 2017, Section 17.4). لذلك لا يمكن تطبيق مربع كاي على القياسات المتكررة – الأشخاص أنفسهم قبل وبعد – ولا على مشارك صُنِّف في عدة فئات. للقياسات المتكررة في متغيرين ثنائيين – اختبار ماكنمار (Pallant, 2020, Chapter 16)؛ وللتصاميم الأكثر تعقيدًا يحيل Field إلى النماذج المختلطة المعمَّمة.
التكرارات المتوقعة. في جدول 2×2 ينبغي ألا تقل أي خلية عن 5؛ وفي جدول أكبر – كل الخلايا فوق 1 وما لا يزيد على 20% منها تحت 5 (Field, Section 19.5.2). تضيف Pallant أن بعض المؤلفين يوصون في جدول 2×2 بـ10 على الأقل. الإخلال بذلك "يضرّ بقوة الاختبار ضررًا دراماتيكيًا – إلى حدّ أنه قد لا يستحق العناء" (Field). العلاج: في جدول 2×2 – اختبار فيشر الدقيق؛ وفي جدول كبير – دمج الفئات (فقط حين يكون لذلك منطق من حيث المضمون: الربيع والصيف و"الخريف/الشتاء")، أو جمع مزيد من البيانات. إضافة ثابت إلى كل الخلايا لا تحلّ شيئًا. انتبهوا: الشرط يتعلق بالتكرار المتوقَّع، لا المُشاهَد – فالخلية المُشاهَدة الفارغة ليست مشكلة في حد ذاتها.
العينة الكبيرة. "يمكن لفروق صغيرة نسبيًا في تكرارات الخلايا أن تُنتج علاقة دالّة إذا كانت العينة كبيرة بما يكفي" (Field, Section 19.5.3) – لذلك تُقرأ النسب المئوية ومؤشر حجم الأثر، لا قيمة p وحدها (الشكل 1).
ما لا تحسبه هذه الصفحة. معامل التوافق وλ لغودمان وكروسكال (Field، النصيحة 19.1)؛ اختبار z لمقارنة نسب الأعمدة مع تصحيح بونفيروني (Compare column proportions – Field، القسم 19.8: الحروف بجانب التكرارات في مخرجات SPSS)؛ عامل بايز (Bayes factor) للجدول (القسم 19.8.3)؛ التحليل اللوغاريتمي الخطي لثلاثة متغيرات فأكثر (الأقسام 19.4، 19.9-19.11)؛ اختبار ماكنمار واختبار مربع كاي لحسن المطابقة (Gravetter & Wallnau, Sections 17.1-17.2). عتبة Field للبواقي المعيارية (±1.96) وعتبة Pallant (±2) – الفكرة نفسها بتقريب مختلف؛ تستخدم الصفحة 1.96.
وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟
Analyze › Descriptive Statistics › Crosstabs… – متغير إلى Row(s)، والآخر إلى Column(s) (Pallant, 2020, Chapter 16; Field, 2024, Section 19.7.3). في زر Statistics…: Chi-square، Phi and Cramer's V، ولجدول 2×2 أيضًا Risk (نسبة الأرجحية). في زر Cells…: Observed، Expected (لفحص الشرط)، Row في النسب المئوية، وفي البواقي Standardized (Field) و/أو Adjusted standardized (Pallant). يُطبع اختبار فيشر تلقائيًا لجدول 2×2؛ ولجدول أكبر – زر Exact…. أوامر Syntax لدى Pallant، مضافًا إليها الخلايا والمؤشرات التي تعرضها الصفحة:
CROSSTABS /TABLES=training BY dance /FORMAT=AVALUE TABLES /STATISTICS=CHISQ PHI RISK /CELLS=COUNT ROW EXPECTED SRESID ASRESID /COUNT ROUND CELL.
جدول تكرارات جاهز (Field, Section 19.7.2): يُدخَل صف لكل خلية – رمز الصف ورمز العمود والتكرار – ثم تُرجَّح الحالات: Data › Weight Cases… › Weight cases by متغير التكرار (WEIGHT BY freq.). هذا ما تولّده أوامر Syntax في الصفحة حين يكون الإدخال جدولًا جاهزًا، بما في ذلك تسميات القيم. قراءة المخرجات: Crosstabulation – Count و% within = جدول 1، Expected Count وStd. Residual وAdjusted Residual = جدول 2؛ Chi-Square Tests – Pearson Chi-Square، Continuity Correction (ييتس)، Likelihood Ratio، Fisher's Exact Test في Exact Sig. (2-sided) و(1-sided) = جدول 3، والحاشية "a" – كم خلية تحت 5 وأدنى تكرار متوقَّع؛ Symmetric Measures – Phi، Cramer's V = جدول 4؛ Risk Estimate – Odds Ratio مع فترة الثقة = جدول 4. أما Linear-by-Linear Association الواردة في المخرجات – فهي اختبار للاتجاه الخطي بين متغيرين ترتيبيين، وليست في الصفحة.
وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟
كل شيء في R الأساسية: table للجدول، chisq.test مع correct = FALSE لبيرسون (الإعداد الافتراضي في R هو تصحيح ييتس في جدول 2×2 – عكس SPSS)، $expected، $residuals (المعيارية) و$stdres (المعدَّلة)، fisher.test. شُغِّل النص البرمجي كما هو على ملف المثال وأعطى قيم الجدول (في التعليقات). قاعدة الموقع للعربية والعبرية في R: يُحفظ الملف بترميز UTF-8، كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية، والأسماء بالعبرية تتطلب بيئة UTF-8 (في Windows: R 4.2 فما فوق، أو Sys.setlocale('LC_ALL', 'Hebrew')).
# اختبار مربع كاي للاستقلال – بروفيسور ستات. حُفظ هذا الملف بترميز UTF-8؛ كل سطر تعليق يبدأ بكلمة عربية
library(readxl) # قراءة ملف إكسل
# التحميل: القالب القياسي – صف = مشارك، عمود = متغير؛ ورقة العمل "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_chi_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
# الجدول التقاطعي: الصفوف = الأقدمية، الأعمدة = المشاركة (يُستبعد المشاركون الذين لديهم قيمة مفقودة في أحدهما)
tab <- table(d$"ותק_בקהילה", d$"השתתפות")
tab
prop.table(tab, 1) # نسب مئوية من الصف
# اختبار مربع كاي لبيرسون من دون تصحيح الاتصال (مثل Pearson Chi-Square في SPSS)
ct <- chisq.test(tab, correct = FALSE)
ct # χ² = 17.79, df = 2, p < .001
ct$expected # التكرارات المتوقعة – فحص الشرط (لا خلية تحت 5)
ct$residuals # البواقي المعيارية (O − E)/√E
ct$stdres # البواقي المعيارية المعدَّلة (Adjusted Residual في SPSS)
# معامل V لكرامر: √(χ² / (N · min(r − 1, c − 1)))
sqrt(ct$statistic / (sum(tab) * (min(dim(tab)) - 1))) # V = .242
# جدول 2×2: الجنس × المشاركة – تصحيح ييتس، اختبار فيشر الدقيق ونسبة الأرجحية
tab2 <- table(d$"מגדר", d$"השתתפות")
chisq.test(tab2, correct = FALSE)$statistic # بيرسون = .023
chisq.test(tab2, correct = TRUE)$statistic # تصحيح ييتس = .001
fisher.test(tab2)$p.value # فيشر ذو طرفين = .907
(tab2[1, 1] * tab2[2, 2]) / (tab2[1, 2] * tab2[2, 1]) # نسبة الأرجحية من العينة = .965 (يطبع fisher.test تقديرًا شرطيًا يختلف قليلًا)
عرض النتائج
يُبلَّغ عن الإحصاءة مع درجات الحرية وN بين قوسين، وعن p وعن مؤشر حجم الأثر؛ وفق APA (2020، القسم 6.36) تُكتب φ وV – اللتان لا تتجاوزان 1 – من دون صفر بادئ، وχ² نفسها بمنزلتين عشريتين. Field (2024، القسم 19.8.5): "وُجدت علاقة دالّة بين نوع التدريب وبين ما إذا كانت القطط قد رقصت، χ²(1) = 25.36, p < .001. وأظهرت نسبة الأرجحية أن أرجحية الرقص كانت أعلى بـ6.65 مرة إذا دُرِّبت القطة بالطعام" – ويوصي بإرفاق الجدول التقاطعي أيضًا. يضيف Gravetter وWallnau (2017، القسم 17.4) N وφ: χ²(1, n = 200) = 6.381, p < .05, φ = 0.179، تليها جملة عن الاتجاه. Pallant (2020، الفصل 16)، مع ييتس: "لم يُشِر اختبار مربع كاي للاستقلال (مع تصحيح ييتس للاتصال) إلى علاقة دالّة بين الجنس والتدخين، χ²(1, n = 436) = .34, p = .56, phi = −.03". جمل عرض النتائج في الصفحة تسير على طريقة Field مع N بين قوسين كما عند Gravetter وWallnau؛ وجملة المقارنة ("بين X كان 72%…") هي "الاتجاه" الذي يطلبه الكتابان بعد الأرقام. إذا أبلغتم عن فيشر – يُكتب "اختبار فيشر الدقيق، p = …" من دون χ².
أخطاء شائعة
قراءة التكرارات بدلًا من النسب المئوية. 48 قطة رقصت بعد المودة أكثر من 28 بعد الطعام – ومع ذلك فالطعام أنجع، لأن 162 تلقّت المودة و38 فقط تلقّت الطعام. Field (القسم 19.5.3): النسب المئوية تعكس النمط، والتكرارات تتوقف على حجم المجموعات.
فحص الشرط على المُشاهَد. الشرط يتعلق بالتكرار المتوقَّع. خلية مُشاهَدة فيها 2 من المشاركين قد تكون سليمة تمامًا؛ أما خلية متوقَّعة قيمتها 2.4 – فلا.
مربع كاي على القياسات المتكررة. الـ100 شخص أنفسهم قبل وبعد هم 100 مشاهدة، لا 200. ماكنمار (Pallant, Chapter 16).
الإبلاغ عن p من دون نسب مئوية ومن دون مؤشر حجم الأثر. في عينة من 2,000 يكون حتى فرق ثلاث نقاط مئوية دالًّا؛ V = .04 يخبر القارئ بما تخفيه p (الشكل 1).
الخلط في اتجاه نسبة الأرجحية. OR = 6.65 وOR = .15 هما النتيجة نفسها في اتجاه معاكس؛ يُقال بالكلمات أرجحية مَن ولماذا، كما في الجملة التي تولّدها الصفحة.
استغلال الصفوف الأربعة. الاختيار بين بيرسون وييتس ونسبة الإمكان وفيشر حسب أيّها يعطي p أصغر. يُحدَّد ذلك مسبقًا – قاعدة الموقع، أو تعليمات المشرف – ويُبلَّغ عن الصف نفسه في كل جداول البحث.
دمج الفئات بعد رؤية النتيجة. الدمج مسموح حين يكون له منطق من حيث المضمون ومُوثَّقًا مسبقًا (Field, Section 19.5.2)؛ أما دمج يُختار لأنه يجعل الاختبار دالًّا فهو p-hacking.
المراجع
American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000
Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.
Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.
Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.
Pearson (1900)، Fisher (1922)، Yates وHowell (2012) – كما ورد في Field (2024)؛ Cohen (1988) – كما ورد في Gravetter وWallnau (2017) وفي Pallant (2020). وفق قاعدة الموقع، لا تظهر في قائمة المراجع إلا المصادر التي قُرئت في أصلها. ملاحظة للقارئ الذي يقارن بالكتب: تطبع Pallant لعتبة "صغير" في V لفئتين .01 – وهو خطأ مطبعي صوابه .10 (القيمة عند Gravetter & Wallnau، جدول 17.10، وعند Cohen)؛ ويطبع Gravetter وWallnau χ² = 6.381 للمثال 17.4 – والحساب الدقيق يعطي 6.380 (فقد قرّبا الحدود الأربعة قبل الجمع).