ANOVA للقياسات المتكررة

حاسبة

تحميل البيانات

الصقوا الأعمدة مباشرة من ورقة العمل (بما في ذلك صف العناوين) – حدّدوها في إكسل، وانسخوها، ثم الصقوها هنا:

المتغيرات والإعدادات

دليل

متى يُستخدم؟

عندما يسهم المشاركون أنفسهم في جميع المتوسطات: يُقاسون في جميع ظروف التجربة، أو في عدة نقاط زمنية (Field, 2024, Section 15.2). أمثلة: القلق قبل البرنامج، وفي نهايته، وفي المتابعة؛ زمن الاستجابة في ثلاثة ظروف ضوضاء؛ تقدير الأشخاص أنفسهم للفقرات نفسها. وعندما توجد أيضًا مجموعات منفصلة – برنامج مقابل مجموعة ضابطة – يكون التصميم مختلطًا: عامل بين الأفراد وعامل داخل الأفراد (المرجع نفسه، القسم 16.2). قياسان فقط – تحسب الصفحة، لكن اختبار t لعينتين مترابطتين يعطي الحسم نفسه (F = t²; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 433-435) ويعطي فوق ذلك d وفترة ثقة للفرق. مجموعات مختلفة في كل ظرف – تحليل التباين الأحادي؛ عدة عوامل بين الأفراد – تصميم التجارب.

بنية البيانات

بنية عريضة، كما في SPSS: صف لكل مشارك، وعمود لكل قياس (Field, 2024, Section 15.8.1). مع عاملين داخل الأفراد – عمود لكل تركيبة، بالترتيب الذي يتبدّل فيه العامل الثاني بسرعة: (1,1)، (1,2)، (1,3)، (2,1)... – كالقائمة في نافذة SPSS (المرجع نفسه، القسم 15.14). تعرض الصفحة تحت القائمة أي عمود خُصِّص لأي تركيبة، والأسماء مثل absent_0, absent_4... تُفكَّك تلقائيًا إلى أسماء المستويات. المشارك الذي ينقصه قياس واحد – يُستبعد كليًا (حذف الحالة كاملة، كما في SPSS)، وتبلّغ الصفحة عن عدد المشاركين المستبعَدين.

المنطق: تجزئة التباين

ينقسم التباين الكلي إلى تباين بين الظروف وتباين داخل الظروف، ثم – وهنا الفرق – يتجزأ التباين داخل الظروف من جديد: جزء منه هو الفروق الثابتة بين المشاركين، ويُستخرج من الخطأ (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 420-424). ما يتبقى – التفاعل بين الظروف والمشاركين – هو مقام F. في المثال هناك: SS بين الظروف 84، وبين المشاركين 66، والخطأ 22، وF(2, 10) = 19.09 (المرجع نفسه، ص 426) – وتعطي الصفحة الأرقام نفسها. لذلك يكون تصميم داخل الأفراد أكثر حساسية: في المثال العددي لـGravetter وWallnau تعطي الفروق نفسها F قدره 1.91 في مجموعات منفصلة و11 في القياسات المتكررة (المرجع نفسه، ص 430-431). وفي التصميم ذي العاملين داخل الأفراد يكون لكل أثر خطؤه الخاص – تفاعل الأثر مع المشاركين (Maxwell et al., 2018, p. 673).

الكروية وتصحيح ε

يفترض الاختبار أحادي المتغير الكروية: أن يكون تباين الفرق بين كل قياسين متساويًا (Maxwell et al., 2018, p. 627; Field, 2024, Section 15.5.1). في قياسين يوجد فرق واحد، فيتحقق الافتراض دائمًا (Maxwell et al., 2018, p. 628). وفي القياسات عبر الزمن كثيرًا ما يُنتهك – فالقياسات المتقاربة أكثر ارتباطًا من المتباعدة – وعندئذ قد يبلغ معدل الخطأ من النوع I .10 أو .15 بدلًا من .05 (المرجع نفسه، ص 629-630).

الحل: ضرب درجات حرية الاختبار في ε، وهو تقدير لمدى الانحراف عن الكروية – 1 عندما تتحقق، وحتى 1/(k − 1) في أكبر انحراف (ibid., p. 630; Field, 2024, Sections 15.5.2, 15.5.4). F نفسها لا تتغير، بل p فقط. أربعة خيارات، من الأكثر تساهلًا إلى الأكثر تحفظًا: بلا تصحيح، وHuynh-Feldt، وGreenhouse-Geisser، والحد الأدنى. يرى Maxwell وزملاؤه أنه "لا ينبغي أبدًا استخدام" الاختبار غير المصحَّح (2018، ص 632)، وتوصيتهم العامة هي Greenhouse-Geisser، لأن Huynh-Feldt قد لا يحافظ على معدل الخطأ (المرجع نفسه، ص 634)، والحد الأدنى متحفظ أكثر من اللازم (المرجع نفسه). ويورد Field (2024، القسم 15.5.4) أيضًا القاعدة الشائعة – Huynh-Feldt عندما يتجاوز التقدير .75 – وإمكان أخذ متوسط الاثنين. تبلّغ الصفحة وفق Greenhouse-Geisser، ويمكن اختيار غير ذلك.

Mauchly: اختبار دلالة لافتراض الكروية. يوصي Field بعدم الاعتماد عليه: فهو يتأثر بحجم العينة – في العيّنة الكبيرة يكون دالًّا حتى مع انحراف ضئيل، وفي الصغيرة غير دالّ حتى مع انحراف كبير – ولذلك يُفضَّل التصحيح دائمًا وفق ε (2024، القسم 15.5.2). ويكتب Maxwell وزملاؤه أيضًا أن له "قيمة ضئيلة بوصفه اختبارًا تمهيديًا" (2018، ص 629). تعرضه الصفحة لأن SPSS يعرضه.

المقاربة متعددة المتغيرات

طريقة أخرى لا تفترض الكروية إطلاقًا: تحويل القياسات الـk إلى k − 1 من متغيرات الفروق وفحص ما إذا كانت جميع متوسطاتها صفرًا – تحليل التباين متعدد المتغيرات (Maxwell et al., 2018, pp. 728, 741; Field, 2024, Section 15.5.4). يطبع SPSS أربعة اختبارات: Pillai وWilks وHotelling وRoy. في أثر داخل الأفراد خالص تكون متطابقة دائمًا (Maxwell et al., 2018, pp. 832-833)؛ وعندما تختلف، يكون Pillai الأكثر متانة (المرجع نفسه، ص 829). تقرأ Pallant (2020، الفصل 18) الاختبار متعدد المتغيرات دائمًا.

أيهما أفضل؟ الاختبار متعدد المتغيرات دقيق عندما يكون التوزيع طبيعيًا، لكنه ضعيف في العيّنات الصغيرة، ومستحيل عندما يكون عدد المشاركين أقل من عدد القياسات (Maxwell et al., 2018, pp. 775-777). قاعدة Algina وKeselman (1997, as cited in Maxwell et al., 2018, p. 776): متعدد المتغيرات عندما يكون هناك حتى 4 قياسات، وε ≤ .90، وk + 15 مشاركًا على الأقل، أو 5-8 قياسات، وε ≤ .85، وk + 30 على الأقل؛ وإلا – أحادي المتغير مع تصحيح. تتعلق القاعدة بـε في المجتمع، والاختيار وفق التقدير من العيّنة "قد يكون إشكاليًا" (المرجع نفسه). وفي الخلاصة يمنح Maxwell وزملاؤه المقاربة متعددة المتغيرات "أفضلية طفيفة" (المرجع نفسه، ص 778). "قراءة النتيجة" في المخرجات تحسب القاعدة على بياناتكم.

التصميم المختلط

عندما يوجد أيضًا عامل بين الأفراد، يكون هناك نوعان من الاختبارات (Maxwell et al., 2018, pp. 691-693). الأثر بين الأفراد يُختبر مقابل التباين بين المشاركين داخل المجموعات – وهو مكافئ لتحليل التباين الأحادي على متوسط كل مشارك، والكروية لا تعنيه (المرجع نفسه، ص 692، 706). الأثر داخل الأفراد والتفاعل مع المجموعة يُختبران مقابل تفاعل العامل داخل الأفراد مع المشاركين داخل المجموعات. التفاعل هو في العادة السؤال: هل يختلف التغيّر عبر الزمن بين البرنامج والمجموعة الضابطة؟ ويُبلَّغ عنه أولًا (Pallant, 2020, Chapter 20).

افتراض إضافي: أن تكون مصفوفات التغاير للقياسات متساوية في المجموعات. الاختبارات متينة أمام انتهاكه عندما تكون المجموعات متساوية الحجم (Maxwell et al., 2018, p. 704). يفحصه SPSS بـBox's M؛ وتقترح Pallant (2020، الفصل 20) قراءته عند α = .001 لأنه شديد الحساسية، ويرى Maxwell وزملاؤه (2018، ص 840) أن فائدته العملية ضئيلة. تعرضه الصفحة وتعرض ليفين لكل قياس.

المقارنات المخطَّط لها، والمقارنات الزوجية، والآثار البسيطة

اختبار F يقول إن هناك فرقًا، لا أين يقع. ثلاث طرق للمتابعة – ويُختار واحد منها وفق السؤال (Field, 2024, Sections 15.9.5, 15.15.3):

المقارنات المخطَّط لها – أسئلة محددة مسبقًا: اتجاه خطي أو تربيعي عبر الزمن (متعددة الحدود، الإعداد الافتراضي في SPSS)، أو كل ظرف مقابل ظرف مرجعي (بسيطة)، أو كل مستوى مقابل التالي (متكررة) (المرجع نفسه، القسم 15.8.2). المهم هنا أن تُختبر كل مقارنة بخطئها الخاص – تباين درجات المقارنة – لا بالخطأ المشترك الذي يفترض الكروية؛ فالمقارنات المخطَّط لها أكثر حساسية لانتهاك الكروية بكثير من الاختبار الكلي (Maxwell et al., 2018, pp. 638-639). هكذا تفعل الصفحة، وهكذا يفعل SPSS.

المقارنات الزوجية – كل زوج من القياسات، مع تصحيح بونفيروني. في القياسات المتكررة هذه هي التوصية، لا Tukey الذي لا يحافظ على معدل الخطأ عند غياب الكروية (Maxwell et al., 2018, pp. 757-758; Field, 2024, Section 15.5.3).

الآثار البسيطة – عند وجود تفاعل: أثر أحد العاملين في كل مستوى من مستويات الآخر – مثلًا، التغيّر عبر الزمن في البرنامج وحده وفي المجموعة الضابطة وحدها (Field, 2024, Section 15.15.3). كل أثر كهذا اختبار إضافي؛ ويوصي Field بتفكيك التفاعل بأقل عدد ممكن من الاختبارات والتصحيح لعددها (المرجع نفسه).

أحجام الأثر

يطبع SPSS مربع إيتا الجزئي: SS_الأثر/(SS_الأثر + SS_الخطأ) – الفروق بين المشاركين ليست في المقام (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427). لذلك يكون كبيرًا، ولا يصلح للمقارنة مع مربع إيتا في دراسة بين الأفراد. يفضّل Maxwell وزملاؤه (2018، ص 634-635) مربع أوميغا الذي يُبقي التباين بين المشاركين في المقام، كما في دراسة بين الأفراد – "يبدو من المستحسن عدم تجاهله" (المرجع نفسه، ص 635) – وهو يقدّر المجتمع لا العيّنة. في مثال McCarthy هناك: ω² = .04 (المرجع نفسه)، بينما مربع إيتا الجزئي للبيانات نفسها .22. تعرض الصفحة كليهما، ومربع أوميغا – في التصاميم التي توجد له فيها صيغة في الكتاب (عامل واحد أو عاملان داخل الأفراد، أو عامل واحد مع عامل بين الأفراد؛ المرجع نفسه، المعادلات 11.35 و12.6 و12.22-12.24). وللمقارنة المخطَّط لها والمقارنة الزوجية يمكن حساب d (اختبار t لعينتين مترابطتين).

كيف تُقرأ المخرجات؟

الجداول بترتيب SPSS: المتوسطات؛ الكروية (Mauchly وε)؛ الاختبارات داخل الأفراد وفق التصحيح المختار؛ جدول يقارن قيمة p بالطرق الأربع؛ الاختبارات متعددة المتغيرات؛ وفي التصميم المختلط – الاختبار بين الأفراد، وليفين وBox's M؛ المقارنات المخطَّط لها؛ المتوسطات الهامشية؛ المقارنات الزوجية؛ الآثار البسيطة؛ ومخطط. يُقرأ التفاعل أولًا، ثم الآثار الرئيسية. "قراءة النتيجة" تشير إلى ما هو مهم في حالتكم – مدى الانحراف عن الكروية، أحادي المتغير أو متعدد المتغيرات، والتفاعل.

الافتراضات

افتراضات تحليل التباين العادي – استقلال المشاركين، والاعتدالية (لا سيما في العيّنة الصغيرة)، وتساوي التباينات – وافتراض آخر: "تجانس التغاير"، أي أن يحافظ المشاركون إلى حدّ ما على موقعهم النسبي بين الظروف (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 428). وفي صيغته الدقيقة – الكروية (أعلاه). وفي التصميم المختلط – أيضًا تساوي المصفوفات بين المجموعات (Maxwell et al., 2018, p. 704). عندما لا تتحقق الافتراضات: اختبار متين على المتوسطات المشذَّبة (rmanova في حزمة WRS2 في R؛ Field, 2024، القسم 15.10)، أو اختبار فريدمان ملاذًا أخيرًا (المرجع نفسه، القسم 15.7)، أو نموذج متعدد المستويات (المرجع نفسه، القسم 15.5.4).

وكيف يُنفَّذ ذلك في SPSS؟

Analyze → General Linear Model → Repeated Measures: يُعرَّف العامل داخل الأفراد وعدد المستويات، وتُوضع الأعمدة بالترتيب، ويُضاف عامل بين الأفراد إن وُجد (Field, 2024, Sections 15.8, 16.5; Pallant, 2020, Chapters 18, 20). في Options – الإحصاءات الوصفية، وحجم الأثر، وفي التصميم المختلط اختبارات التجانس؛ وفي EM Means – مقارنة الآثار الرئيسية مع بونفيروني. الجدول ذو الصلة: Tests of Within-Subjects Effects، في صف Greenhouse-Geisser (Field, 2024, Section 15.9). تنزّل الصفحة أوامر Syntax جاهزة (GLM ... /WSFACTOR). لا يشغّل PSPP القياسات المتكررة في GLM، ولذلك لم تُختبر أوامر Syntax فيه.

وكيف يُنفَّذ ذلك في R؟

الطريقة الأقرب إلى SPSS: نموذج متعدد المتغيرات (lm مع مصفوفة استجابة) وcar::Anova مع idata وidesign – يعطي الاختبارات متعددة المتغيرات، وأحادية المتغير، وMauchly، والتصحيحات؛ وemmeans – المتوسطات الهامشية والمقارنات. فرقان صغيران عن SPSS: Mauchly في R يتضمن حدًّا من الرتبة الثانية، وHuynh-Feldt في حزمة car يُحسب بتصحيح مختلف عند وجود مجموعات. شُغِّل النص البرمجي أدناه كما هو على ملف المثال (القيم في التعليقات).

# ANOVA للقياسات المتكررة في R – ملف المثال الخاص بالصفحة (36 طالبًا، برنامج/مجموعة ضابطة × ثلاثة قياسات لقلق الامتحانات)
library(car)       # Anova على نموذج متعدد المتغيرات
library(emmeans)   # المتوسطات الهامشية والمقارنات
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # ضروري للنوع III

d <- data.frame(group = factor(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), labels = c("program", "control")),
                pre = c(46, 53, 34, 59, 59, 50, 39, 39, 41, 61, 38, 79, 60, 59, 68, 75, 55, 43, 38, 51, 48, 44, 56, 51, 64, 51, 44, 60, 60, 61, 33, 48, 45, 39, 52, 32),
                post = c(48, 34, 39, 48, 53, 42, 32, 27, 25, 41, 44, 65, 54, 59, 51, 67, 39, 38, 40, 46, 47, 59, 45, 54, 64, 55, 55, 64, 50, 56, 30, 39, 46, 43, 50, 30),
                followup = c(34, 45, 27, 42, 55, 43, 41, 42, 40, 55, 45, 67, 55, 57, 51, 70, 44, 36, 37, 51, 53, 52, 54, 64, 78, 50, 49, 62, NA, 53, 37, 53, 47, 47, 51, 30))
d <- na.omit(d)                                     # حذف الحالة كاملة: يتبقى 35
fit <- lm(cbind(pre, post, followup) ~ group, data = d)
idata <- data.frame(time = factor(1:3))
av <- Anova(fit, idata = idata, idesign = ~ time, type = 3)
summary(av, multivariate = TRUE)
# الزمن (time): F(2, 66) = 5.94, GG eps = .94
# التفاعل (group:time): F(2, 66) = 9.46, p (GG) = .0003
# اختبار Pillai للتفاعل: V = .42, F(2, 32) = 11.50

ml <- list(time = c("pre", "post", "followup"))
pairs(emmeans(fit, ~ time | group, mult.name = "time", mult.levs = ml), adjust = "bonferroni")
# في البرنامج: pre - post = 8.44 (p = .0001)

عرض النتائج

يُبلَّغ عن التصميم، وعن التصحيح الذي أُجري وعن ε، ولكل أثر عن F مع درجات الحرية المصحَّحة (مثلًا F(1.60, 11.19))، وp، وحجم الأثر – مع ذكر نوعه (Field, 2024, Section 15.12). وعند الإبلاغ عن الاختبار متعدد المتغيرات – يُذكر Pillai (V) وقيمة F الخاصة به (المرجع نفسه؛ Pallant, 2020، الفصل 18 – وعندها Wilks). المتوسطات والانحرافات المعيارية – في الجدول. وفي التصميم المختلط – التفاعل أولًا (Pallant, 2020, Chapter 20). تكتب الصفحة فقرة كهذه بالعربية والإنجليزية.

أخطاء شائعة

تحليل القياسات المتكررة كأنها مجموعات منفصلة – تبقى الفروق بين المشاركين في الخطأ، ويفقد الاختبار معظم أفضليته (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 430-431).

قراءة الصف غير المصحَّح – "Sphericity Assumed" – من دون فحص الكروية (Maxwell et al., 2018, p. 632).

تقرير التصحيح وفق Mauchly – الاختبار يتأثر بحجم العينة؛ يُصحَّح وفق ε (Field, 2024, Section 15.5.2).

الاختيار بين Greenhouse-Geisser وHuynh-Feldt بعد رؤية أيهما دالّ – يبيّن Field (2024، القسم 15.9.3) كيف يعطي أحدهما في البيانات نفسها .063 والآخر .048؛ ينبغي أن يُتخذ القرار مسبقًا، والمهم هو حجم الأثر.

Tukey أو مقارنات مخطَّط لها بالخطأ المشترك – كلاهما يفترض الكروية؛ يُستخدم بونفيروني وخطأ منفصل لكل مقارنة (Maxwell et al., 2018, pp. 639, 757-758).

مقارنة مربع إيتا الجزئي من القياسات المتكررة بنظيره في دراسة بين الأفراد – المقامات مختلفة (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427; Maxwell et al., 2018, p. 635).

استنتاج السببية من تغيّر عبر الزمن من دون مجموعة ضابطة – آثار الترتيب مثل التمرّن والملل والتعب قد تفسّره (Field, 2024, Section 1.6.5; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 430)؛ وفي الظروف – يُوازَن الترتيب بالقرعة (Field، المرجع نفسه؛ صفحة المتغيرات ومستويات القياس وتصاميم البحث).

المراجع

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Algina وKeselman (1997) – كما ورد في Maxwell وزملائه (2018)؛ Girden (1992) وآخرون – كما ورد في Field (2024). وفق قاعدة الموقع، لا تُدرج في قائمة المراجع إلا المصادر التي قُرئت في أصلها. Field (2024) وPallant (2020) في نسخة رقمية متدفقة – الاقتباس وفق القسم والفصل؛ Maxwell وزملاؤه (2018) وGravetter وWallnau (2017) – وفق الصفحة المطبوعة. اصطلاحات الموقع: بنية عريضة وحذف الحالة كاملة كما في SPSS؛ Greenhouse-Geisser إعدادًا افتراضيًا في عرض النتائج؛ Huynh-Feldt بالصيغة الأصلية كما في SPSS؛ النوع III ومتوسطات هامشية غير موزونة؛ خانتان بعد النقطة في الجداول. الحساب محقَّق مقابل R 4.3.3 (car، emmeans) ومقابل الأرقام المطبوعة: عند Maxwell وزملائه – الجداول 11.5 و12.1 و12.7 و12.15 (مع 12.5 و12.19 وتقديرات ε)، و13.2 و14.9؛ وعند Gravetter وWallnau – الجدول 13.2 ومخرجات SPSS في الشكل 13.4؛ وبالمقارنة مع مطبوعات SPSS عند Field (2024) وPallant (2020).